О решении линейных матричных уравнений

Для знаходження розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь запропоновано алгоритм, що базується на апараті лінійних матричних нерівностей. Зазначається, що при використанні даного алгоритму слід враховувати особливості шуканого рішення (симетрична матриця і т.п.). Розглянуто можливість викор...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
1. Verfasser:	Ларин, В.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208027
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О решении линейных матричных уравнений / Ларин В.Б. // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208027
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080272025-10-19T00:02:47Z О решении линейных матричных уравнений Про розв’язок лінійних матричних рівнянь On solution of the linear matrix equations Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем Для знаходження розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь запропоновано алгоритм, що базується на апараті лінійних матричних нерівностей. Зазначається, що при використанні даного алгоритму слід враховувати особливості шуканого рішення (симетрична матриця і т.п.). Розглянуто можливість використання ітераційних процедур для підвищення точності розв’язків. На прикладах розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь показано ефективність запропонованого алгоритму. The algorithm of finding solutions of various types of the linear matrix equations is offered. The algorithm is based on the linear matrix inequalities. It is noted the opportunity, to take into account the feature of the searched solution (a symmetric matrix, etc.) at use of the given algorithm. On the examples of solving various types of the linear matrix equations, the efficiency of offered algorithm is shown. 2015 Article О решении линейных матричных уравнений / Ларин В.Б. // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208027 62-502 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i9.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Ларин, В.Б. О решении линейных матричных уравнений Проблемы управления и информатики
description	Для знаходження розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь запропоновано алгоритм, що базується на апараті лінійних матричних нерівностей. Зазначається, що при використанні даного алгоритму слід враховувати особливості шуканого рішення (симетрична матриця і т.п.). Розглянуто можливість використання ітераційних процедур для підвищення точності розв’язків. На прикладах розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь показано ефективність запропонованого алгоритму.
format	Article
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	О решении линейных матричных уравнений
title_short	О решении линейных матричных уравнений
title_full	О решении линейных матричных уравнений
title_fullStr	О решении линейных матричных уравнений
title_full_unstemmed	О решении линейных матричных уравнений
title_sort	о решении линейных матричных уравнений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208027
citation_txt	О решении линейных матричных уравнений / Ларин В.Б. // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb orešeniilinejnyhmatričnyhuravnenij AT larinvb prorozvâzoklíníjnihmatričnihrívnânʹ AT larinvb onsolutionofthelinearmatrixequations
first_indexed	2025-10-19T01:08:04Z
last_indexed	2025-10-20T01:09:34Z
_version_	1846461149815504896
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 62-502 В.Б. Ларин О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ Введение Уравнение Ляпунова (здесь и далее верхний индекс T означает транспо- нирование) ,T CXAAX =+ (1) уравнение Сильвестра ,CAXBX =− (2) обобщенное уравнение Сильвестра CAXBEX =− (3) и линейные матричные уравнения более сложной структуры привлекали и про- должают привлекать внимание исследователей (см., например, [1–13] ссылки к ним). Так, в [14] приводятся условия существования решения следующей сис- темы линейных матричных уравнений: , 1 vuvuv vS u CXBA =∑ = ,,,2,1 tv K= (4) где vS — положительные целые числа. В [15] рассматривается система линейных матричных уравнений: ,MCYDAXB =+ .NGYHEXF =+ (5) Все эти уравнения (1)–(5), c использованием аппарата тензорного или Кронеке- ровского произведения (операция kron.m пакета MATLAB), могут быть сведены к системе линейных алгебраических уравнений (см. п.8.4 [16]). Однако, как отмечено в [2], даже в случае уравнения Ляпунова (1) такой подход не всегда может быть эффективным. Вероятно поэтому разработаны и продолжают разрабатываться алгоритмы решения таких уравнений. Отметим, что эти уравнения не описывают многих матричных задач механики и теории управления (см., например, [17, 18]). Ниже демонстрируется возможность построения решения уравнений (3)–(5) с использованием аппарата линейных матричных неравенств (ЛМН) [19]. Отметим, что ЛМН применялись в анало- гичных задачах (см. [20]). На примерах 1, 2 проводится сравнение предлагаемых вычислительных процедур с известными алгоритмами, в частности с процедурой пакета MATLAB. Рассматривается возможность использования итерационных процедур для повышения точности решения. 6 ISSN 0572-2691 1. Общие соотношения Как отмечено в [19] (соотношения (2.3), (2.4)), матричное неравенство ,0 )()( )()( T > ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ xRxS xSxQ (6) где матрицы ),()( T xQxQ = ),()( T xRxR = )(xS линейно зависят от ,x эквивалентно следующим матричным неравенствам: ,0)( >xR .0)()()()( T1 >− − xSxRxSxQ (7) Рассмотрим следующее ЛМН: ,0T > ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ IT ТZ .,T IZZZ λ<= (8) Здесь и далее I — единичная матрица соответствующего размера, λ — скаляр. Приняв во внимание (6), (7), соотношения (8) можно переписать следующим образом: IZTTZ λ<> ,T или .TTTI >λ (9) Соотношения (9) позволяют рассмотреть следующую стандартную задачу ЛМН на собственные значения (п. 2.2.2 [19]), а именно, задачу минимизации λ при выполнении условий (9). Соотношения (8) можно обобщить в виде следующей системы ЛМН: ,0T > ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ IT TZ i i ki ,,2,1 K= ,,T IZZZ λ<= (10) которые можно представить в виде, аналогичном (9): ,T iiTTZ > ,,,2,1 ki K= .IZ λ< (11) Применительно к (11) также можно рассматривать стандартную задачу ЛМН на собственные значения и для ее решения использовать процедуру gevp.m пакета MATLAB [21]. 2. Обобщенное уравнение Сильвестра Суть рассматриваемого подхода удобно изложить на примере решения с по- мощью ЛМН обобщенного уравнения Сильвестра (3). Итак, пусть в (8) .CAXBEXT −−= Используя процедуру gevp.m пакета MATLAB, найдем минимальное значение λ (и соответствующее значение X ), при которых выполняются соотношения (9). Очевидно, что при достаточно малой величине λ норма матрицы T также будет достаточно мала, т.е. 0≅T и, следовательно, полученное в результате исполь- зования процедуры gevp.m, значение X можно рассматривать как полученное с определенной точностью решение уравнения (3). В связи с тем, что минимизируется не норма матрицы ,T а норма матрицы ,TTT можно ожидать снижения точности результата решения (3). Проиллюстрируем этот подход к решению (3) на примере (6.1) [13]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 7 Пример 1. Итак, фигурирующие в (3) матрицы имеют вид: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3012 4311 1143 0003 6 1A , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε− = 11 11 B , ,10 2−=ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 87 65 43 21 0X , },1011{diag=E .00 BAXEXC −= В результате применения описанной выше процедуры получено решение ,X которому соответствует норма погрешности .102,2 3 0 − ∞ ⋅=−= XXnx При этом процедуру минимизации матрицы TTT можно считать достаточно эффективной. Так, полученному значению X соответствует следующая величина нормы матрицы :TTT .105,5 13T − ∞ ⋅== TTnt Естественно, что использование процедур [10, 13], ориентированных на решение этого уравнения, позволяет получить решение с существенно большей точностью (вопросы уточнения полученных решений см. в разд. 5). В этой связи заметим, что в обычных алгоритмах решения этого уравнения трудно учесть особенности искомого решения, в частности находить решение в классе симметричных матриц. В то же время рассматриваемый алгоритм, базирующийся на процедурах ЛМН, позволяет легко учесть такую особенность искомого решения. Другими словами, в ряде задач рассматриваемый алгоритм может дать возможность найти решение (3), в то время как обычные алгоритмы могут не быть эффективными. Проиллюстрируем это на примере. Пример 2. Пусть матрицы, определяющие уравнение (3), имеют вид: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3012 4311 1143 0003 6 1A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1000 0000 0010 0000 B , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4654 6313 5122 4321 0X , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 0000 0000 7654 4321 E , .00 BAXEXC −= В связи с тем, что матрица A имеет обратную, (3) можно свести к уравнению Ляпунова .11 XBEXACA −= −− (12) Если при нахождениях решения (12) использовать стандартную процедуру lyap.m пакета MATLAB, то получим решение, существенно отличающееся от ,0X а именно: .49,150 =−= ∞ XXnx Дело в том, что ранг матриц EA 1− и B равен 2, т.е. в этом примере нельзя использовать стандартную процедуру lyap.m. Существенно, что при использовании этой процедуры нельзя отыскать решение этого примера в классе симметричных матриц. Использование в этом примере процедуры, базирующейся на аппарате ЛМН, легко позволяет учесть требование симметричности матрицы искомого 8 ISSN 0572-2691 решения. Так, использование аппарата ЛМН, позволило получить решение примера, которому соответствуют следящие характеристики погрешностей: ,107,7 7 0 − ∞ ⋅=−= XXnx .101,7 30T − ∞ ⋅== TTnt Таким образом, в данном примере не удалось получить решение с помощью стандартной процедуры MATLAB, однако алгоритм, базирующийся на ЛМН, оказался вполне «работоспособным». 3. Система уравнений (4) Очевидно, соотношения (4) можно представить в следующей эквива- лентной форме: ,0 1 ∑ = =+ iS u uiuii XBAC .,,2,1 ki K= (13) Предположим, что одинаковые размеры матриц vC в (4) и соответствующих матриц iC в (13) (в ряде случаев это условие может быть нарушено, см. пример 3). Итак, пусть в (10) матрицы iT имеют вид , 1 ∑ = += iS u uiuiii XBACT .,,2,1 ki K= (14) При таких исходных данных, используя применительно к (10) процедуру gevp.m пакета MATLAB, можно найти решение системы (4) или (13). Как уже упоминалось, использование процедур, базирующихся на ЛМН, позволяет накладывать определен- ные ограничения на матрицу .X Так, можно искать решение (13) в классе симметрич- ных матриц. Проиллюстрируем это на примере решения системы двух уравнений. Пример 3. Итак, пусть в (14) ,111 XACT += ,2222 XBACT += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 654 321 1A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 211 121110 987 2A , (15) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 000 000 001 2B , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 313 122 321 0X , ,011 XAC −= .2022 BXAC −= Отметим, что при исходных данных (15) ранг матрицы соответствующей линейной системы, определяющей элементы матрицы ,X равен 7 (подробности см. п. 8.4 [16]), в то время как размер искомой матрицы равен 33× , т.е. число неизвестных равно 9 и, следовательно, система не имеет единственного решения. Однако если наложить условие, что искомая матрица является симметричной (т.е. число неизвестных равно 6), то в этом случае система (13) при исходных дан- ных (15) однозначно определяет матрицу .X Отметим, что в данном примере, матрица 1C и соответственно 1T имеют размер ,32× в то время как матрицы 22 , TC имеют размер .33× В этой связи пополним матрицу 1A нулевой строкой, а именно, будем счи- тать, что матрица 1A имеет вид ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 000 654 321 1A . (16) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 9 С одной стороны, такая замена не изменит условия задачи, с другой стороны, матрицы 1T и 2T будут иметь одинаковый размер .33× Итак, в результате решения этого примера, при условии, что разыскивается симметричная матрица ,X а матрица 1A определяется (16), получено решение ,X которому соответствует следующая норма погрешности: .107,7 7 0 − ∞ ⋅=−= XXn Этому значению X соответствуют следующие нормы матриц T 11 TT , :T 22 TT ,109,1 15T 111 − ∞ ⋅== TTnt .109,8 15T 222 − ∞ ⋅== TTnt Таким образом, в рассматриваемом примере, описанный выше алгоритм оказался достаточно эффективным. 4. Система уравнений (5) Как и в случае системы (4), перепишем уравнение (5) в эквивалентной форме, аналогичной (13): ,0=++ CYDAXBM (17) .0=++ GYHEXFN Далее, как и разд. 3, будем предполагать, что размеры матриц M и N совпа- дают. Итак, пусть в (10) матрицы iT имеют вид: ,1 CYDAXBMT ++= .2 GYHEXFNT ++= Используя применительно к (10) процедуру gevp.m пакета MATLAB, при таких исходных данных, как и в случае системы (13), можно найти решение системы (17) или (5). Проиллюстрируем это на примере. Пример 4. Матрицы, фигурирующие в (17), имеют вид: }1011{diag−=A , ,IB = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3012 4311 1143 0003 6 1C , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε− = 11 11 D , ,10 2−=ε ,3,2,, T DHCGDFCE ==== ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 87 65 43 21 0X , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 12 34 56 78 0Y , ,00 DCYBAXM −−= 10 ISSN 0572-2691 .00 HGYFEXN −−= При таких исходных данных, используя процедуру gevp.m пакета MATLAB, получены значения X и ,Y которым соответствуют нормы погрешностей ,108,4 3 0 − ∞ ⋅=−= XXnx .107,5 4 0 − ∞ ⋅=−= YYny Нормы величин невязок следующие: ,109,1 28T 111 − ∞ ⋅== TTnt .1036,2 11T 222 − ∞ ⋅== TTnt Таким образом, можно констатировать эффективность использования пред- ложенного алгоритма при решении данного примера. 5. Уточнение полученных решений Выше отмечалось, что рассматриваемый подход может уступать в точности результата алгоритмам, ориентированным только на решение того или иного типа уравнений. Имеется возможность с помощью итерационных процедур повысить точность рассматриваемых алгоритмов. В частности, можно использовать итераци- онные процедуры, аналогичные тем, которые в [22] применяются для построения решения уравнения (4) при .1=v Существенно, что в этих итерационных процедурах могут использоваться описанные выше алгоритмы. Итак, рассмотрим уравнение (4) при .1=v Пусть известно начальное при- ближение решения этого уравнения, которое обозначим .1X Аналогичная [22] итерационная процедура уточнения полученного решения выглядит следующим образом. Будем искать уточненное решение 2X в виде ,112 XXX ε+= (18) где 1Xε — искомая поправка. Имеем (в обозначениях (4) ,1=v kSv = ): ,11 1 CBXA uu k u =ε∑ = (19) .1 1 1 uu k u BXACC ∑ = −= Отметим, что уравнение (19), определяющее поправку ,1Xε имеет структуру (4) и, следовательно, для итерационной процедуры уточнения решения (4) (нахождения 1Xε ) могут использоваться алгоритмы, описанные в разд. 2, 3. Аналогичный подход может применяться и для уточнения решения сис- темы (5). Так, имея начальное приближение решения (5), которое обозначим ,, 11 YX уточненное значение этого решения будем искать в виде ,112 XXX ε+= .112 YYY ε+= (20) Подставив (20) в (5), будем иметь: ,111 MDYCBXA =ε+ε ,111 DCYBAXMM +−= ,111 NHYGFXE =ε+ε .111 HGYFEXNN −−= Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 11 Таким образом, для определения ,1Xε 1Yε можно использовать процедуры, описанные в разд. 4. Проиллюстрируем возможность повышения точности на рассмотренных выше примерах. Итак, в примере 1 после двух описанных выше итерационных процедур получено значение X , решения (3), которому соответствуют .1048,3 10 0 − ∞ ⋅=−= XXnx Сравнивая эту норму погрешности с результатом, полученном в примере 1, можно констатировать уменьшение нормы величины погрешности на семь порядков. Рассмотрим пример 4. В результате уточнения решения примера 4 при исполь- зовании двух описанных выше итерационных процедур получены значения ,,YX решения (5), погрешности которых следующие: ,1062,3 4 0 − ∞ ⋅=−= XXnx .104,4 5 0 − ∞ ⋅=−= YYny Сравнивая полученные значения ,, yx nn с приведенными в примере 4, можно констатировать повышение точности на порядок. Однако в этом при- мере дальнейшее увеличение числа итераций не сопровождается повышением точности результата. Заключение Предложен алгоритм нахождения решений различных типов линейных матричных уравнений. Алгоритм базируется на аппарате линейных матричных неравенств. При использовании данного алгоритма отмечается возможность, при- нимать во внимание особенности разыскиваемого решения (симметричная матри- ца и т.п.). На примерах решения различных типов линейных матричных уравне- ний демонстрируется эффективность предлагаемого алгоритма. В.Б. Ларін ПРО РОЗВ’ЯЗОК ЛІНІЙНИХ МАТРИЧНИХ РІВНЯНЬ Для знаходження розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь запропоно- вано алгоритм, що базується на апараті лінійних матричних нерівностей. Зазначається, що при використанні даного алгоритму слід враховувати особливості шуканого рішення (симетрична матриця і т.п.). Розглянуто можливість викори- стання ітераційних процедур для підвищення точності розв’язків. На прикладах розв’язків різних типів лінійних матричних рівнянь показано ефективність запропонованого алгоритму. V.B. Larin ON SOLUTION OF THE LINEAR MATRIX EQUATIONS The algorithm of finding solutions of various types of the linear matrix equa- tions is offered. The algorithm is based on the linear matrix inequalities. It is noted the opportunity, to take into account the feature of the searched solution (a symmetric matrix, etc.) at use of the given algorithm. On the examples of solving various types of the linear matrix equations, the efficiency of offered algorithm is shown. 12 ISSN 0572-2691 1. Jones J. Solution of certain matrix equations // Proc. American Math. Society. — 1972. — 31. — P. 333–339. 2. Pace I.S., Barnett S. Comparison of numerical methods for solving Lyapunov matrix equations // Int. J. Control. — 1972. — 15. — P. 907–915. 3. Шестопал В.Е. Решение матричного уравнения CXBAX =− // Математические заметки. — 1975. — 19, № 3. — С. 449–451. 4. Ларин В.Б. Решение матричного уравнения // Математическая физика. — 1977. — Вып. 22. — С. 12–14. 5. Gardiner J.D., Laub A.J., Amato J.J., Moler C.B. Solution of the Sylvester matrix equation ECXDAXB =+ TT // ACM Transactions on Math. Software. — 1992. — 18, N 2. — P. 223–231. 6. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems: analytical methods and computa- tional algorithms. — Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 1998. — 261 p. 7. Jiang T., Wei M. On solutions of the matrix equations CAXBX =− and CBXAX =− // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — 367. — P. 225–233. 8. Adam M., Assimakis N., Sanida F. Algebraic solutions of the matrix equations // Intern. Journal of Algebra. — 2008. — 2, N 11. — P. 501–518. 9. Wu A.G., Duan G.R., Zhou B. Solution to generalized Sylvester matrix equations // IEEE Trans. Automat. Control. — 2008. — 53, N 3. — P. 811–815. 10. Ларин В.Б., Алиев Ф.А. Об использовании соотношения Баса при решении матричных уравнений // Докл. НАН Азербайджана. — 2008. — № 4. — С. 15–25. 11. Larin V.B. On solutions of the Lyapunov equations // Appl. and Computational Math. — 2008. — 7, N 2. — P. 162–167. 12. Ларин В.Б. О решении уравнения Сильвестра // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 29–34. 13. Larin V.B. Solution of matrix equations in problems of the mechanics and control // Int. Appl. Mech. — 2009. — 45, N 8. — P. 847–872. 14. Zhang X. A Remark on common solutions of a pair of matrix equation // Acta Math. Univ. Come- nianae — 2004. — LXXII, N 2. — P. 151–154. 15. Dehghan M., Hajarian M. An iterative method for solving the coupled Sylvester matrix equations over generalized bisymmetric matrices // Appl. Math. Modelling — 2010. — 34. — P. 639–654. 16. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978. — 280 с. 17. Lukyanova T.A., Martynyuk A.A. Sufficient conditions of connective stability of motion on time scale // Int. Appl. Mech. — 2013. — 49, N 2. — P. 232–244. 18. Larin V.B., Tunik A.A. On inertial-navigation system without angular-rate sensors // Ibid. — 2013. — 49, N 4. — P. 488–500. 19. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. — Philadelphia: SIAM, 1994. — 193 p. 20. Larin V.B. Algorithms for solving a unilateral quadratic matrix equations and model updating problem // Int. Appl. Mech. — 2014. — 50, N 3. — P. 321–334. 21. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI control toolbox users guide. — The Math- Works Inc. — 1995. — P. 130. 22. Kressner D., Sirkovic P., Truncated low-rank methods for solving general linear matrix equations // Numer. Linear Algebra Appl. — 2015. — 22. — P. 564–583. Получено 03.06.2015

О решении линейных матричных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge