Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений

Запропоновано метод оцінювання невизначеності експертних оцінок парних порівнянь в задачі обчислення ваг альтернатив рішень, коли невизначеність обумовлена шкалою Сааті, в якій виконується оцінювання, а також такими якостями експерта, як песимізм/оптимізм. Показано, що повна узгодженість експертних...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Недашковская, Н.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы обработки информации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208040
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений / Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 130-142. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208040
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080402025-10-19T00:18:28Z Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений Метод оцінювання невизначеності експертних оцінок парних порівнянь при обчисленні ваг альтернатив рішень Method for evaluation of expert pairwise comparison judgements uncertainty when calculating decision alternatives' weights Недашковская, Н.И. Методы обработки информации Запропоновано метод оцінювання невизначеності експертних оцінок парних порівнянь в задачі обчислення ваг альтернатив рішень, коли невизначеність обумовлена шкалою Сааті, в якій виконується оцінювання, а також такими якостями експерта, як песимізм/оптимізм. Показано, що повна узгодженість експертних оцінок парних порівнянь не може бути ознакою їх істинності. Тому в основу запропонованого методу покладено твердження, що експертні оцінки парних порівнянь тільки частково відображають реальні відношення ваг альтернатив і містять невизначеність незалежно від рівня їх узгодженості. Використовуючи апарат теорії довіри (свідчень) і результати комп’ютерного моделювання, визначається загальний показник невизначеності експертних оцінок парних порівнянь, яка спричинена шкалою Сааті та особистими якостями експерта. Цей показник невизначеності використовується у подальшому для обчислення довірчих інтервалів для відносних ваг альтернатив рішень, які більш достовірно, порівняно з точковими вагами, відображають відносну важливість альтернатив. Method for evaluation of expert pairwise comparison judgements uncertainty when solving the problem of decision alternatives weights calculation is supposed in the paper. This uncertainty is caused by the Saaty's evaluation scale and such expert qualities as pessimism/optimism. It is shown that total consistency of expert pairwise comparison judgments can’t be indication of their truth. Therefore proposed method is based on the statement that expert pairwise comparison judgments reflect real ratios of decision alternative weights only to a certain extent and contain uncertainty regardless of their consistency level. Using the theory of trust (evidence) and results of a computer modeling, the general index of expert pairwise comparison judgments uncertainty is defined when this uncertainty is caused by the Saaty’s evaluation scale and personal expert qualities. The general index is subsequently used to calculate confidence intervals for decision alternatives’ relative weights, which reflect alternatives’ importance more reliably in comparison with the point weights. 2015 Article Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений / Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 130-142. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208040 517.9,519.816 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i10.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Недашковская, Н.И. Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано метод оцінювання невизначеності експертних оцінок парних порівнянь в задачі обчислення ваг альтернатив рішень, коли невизначеність обумовлена шкалою Сааті, в якій виконується оцінювання, а також такими якостями експерта, як песимізм/оптимізм. Показано, що повна узгодженість експертних оцінок парних порівнянь не може бути ознакою їх істинності. Тому в основу запропонованого методу покладено твердження, що експертні оцінки парних порівнянь тільки частково відображають реальні відношення ваг альтернатив і містять невизначеність незалежно від рівня їх узгодженості. Використовуючи апарат теорії довіри (свідчень) і результати комп’ютерного моделювання, визначається загальний показник невизначеності експертних оцінок парних порівнянь, яка спричинена шкалою Сааті та особистими якостями експерта. Цей показник невизначеності використовується у подальшому для обчислення довірчих інтервалів для відносних ваг альтернатив рішень, які більш достовірно, порівняно з точковими вагами, відображають відносну важливість альтернатив.
format	Article
author	Недашковская, Н.И.
author_facet	Недашковская, Н.И.
author_sort	Недашковская, Н.И.
title	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
title_short	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
title_full	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
title_fullStr	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
title_full_unstemmed	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
title_sort	метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208040
citation_txt	Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений / Н.И. Недашковская // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 5. — С. 130-142. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT nedaškovskaâni metodocenivaniâneopredelennostiékspertnyhocenokparnyhsravnenijprivyčisleniivesovalʹternativrešenij AT nedaškovskaâni metodocínûvannâneviznačenostíekspertnihocínokparnihporívnânʹpriobčislennívagalʹternativríšenʹ AT nedaškovskaâni methodforevaluationofexpertpairwisecomparisonjudgementsuncertaintywhencalculatingdecisionalternativesweights
first_indexed	2025-10-19T01:09:02Z
last_indexed	2025-10-20T01:11:44Z
_version_	1846461285812666368
fulltext	© Н.И. НЕДАШКОВСКАЯ, 2015 130 ISSN 0572-2691 УДК 517.9,519.816 Н.И. Недашковская МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ВЕСОВ АЛЬТЕРНАТИВ РЕШЕНИЙ Введение Для решения задач поддержки принятия решений в разных предметных об- ластях применяется декомпозиционный метод анализа иерархий [1–3], входной информацией в котором являются количественные данные и экспертные оценки. Этот метод имеет ряд преимуществ перед другими методами, использующими экспертные оценки, среди которых можно выделить следующие: экспертиза осно- вана на процедуре парных сравнений, которая наилучшим образом учитывает психофизиологические особенности человека; в результате эксперт дает избыточ- ное количество оценок парных сравнений, что позволяет на следующем этапе ме- тода проанализировать согласованность знаний эксперта. Практическое применение любого метода, использующего субъективную ис- ходную информацию, требует ответа на вопрос о достоверности получаемых ре- зультатов. Некоторые известные методы [4–8] основаны на допущении, что оцен- ки эксперта, заданные в шкалах, не содержат ошибок и проверять их качество нет необходимости: «Эксперт всегда прав, поскольку он выражает именно свое мне- ние» [4, с. 84]. Однако эксперт может не обладать полными знаниями по рассмат- риваемому вопросу, не всегда может выразить свои знания в предлагаемой шкале, допустить случайную ошибку и прочее. Под возможными ошибками эксперта в данной работе будем понимать неопределенность задания экспертом степени пре- восходства одной альтернативы над другой при их парном сравнении. В методе анализа иерархий качество экспертных оценок парных сравнений проверяется с помощью коэффициента согласованности и предполагается, что ес- ли эксперт указал множество полностью согласованных оценок, то эти оценки ис- тинны, т.е. отображают истинные веса альтернатив по критерию решений. Это утверждение не всегда верно, поскольку эксперты, выполняя оценивание в шкале, могут поставить в соответствие реальным весам разные множества полностью со- гласованных оценок парных сравнений. Поэтому требуются дополнительные средства оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений. С этой целью разрабатываются методы парных сравнений в нечетких шкалах [9, 10], предлагаются законы распределения экспертных оценок [11, 12]. Для вычисления весов альтернатив решений на основе экспертных оценок парных сравнений альтернатив используется метод главного собственного векто- ра (ЕМ) [1, 2], модели оптимизации [13] и др. [14]. Цель данного исследования — разработать метод оценивания неопределен- ности экспертных парных сравнений в задаче вычисления весов альтернатив ре- шений. В результате альтернативам решений ставятся в соответствие доверитель- ные интервалы для относительных весов альтернатив, которые более достоверно, по сравнению с точечными весами по методу ЕМ (Eigenvector Method — ЕМ) и др., отображают относительную важность альтернатив решений. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 131 1. Постановка задачи Дано: }...,,1{ niaA i  — множество альтернатив решений, С — характе- ристика, по которой сравниваются эти альтернативы, в дальнейшем — крите- рий решений. Необходимо определить }...,,1],[{ niwwww iii  — доверительные ин- тервалы для весовых коэффициентов (весов) альтернатив. Используем для вычисления весов альтернатив метод парных сравнений экс- пертного оценивания, в соответствии с которым по оценкам эксперта, выполнен- ным в шкале отношений, строится матрица }...,,1,{ njidD ijnn  парных сравнений (МПС), ,0ijd ijji dd /1 [1, 2]. Элементы ijd показывают отноше- ния неизвестных значений весов альтернатив по критерию решений: ,ij j i ij v v d  где 0ij — возмущение. Для экспертного оценивания наиболее часто исполь- зуется шкала отношений Саати {1, 2, 3,…, 9}, в которой 1 соответствует одинако- вой важности сравниваемых элементов, 3 — слабому превосходству, 5 — силь- ному превосходству, 7 — очень сильному превосходству, 9 — абсолютному пре- восходству и 2, 4, 6, 8 — промежуточным значениям [1, 2]. Для оценивания противоречивости экспертных оценок парных сравнений ис- пользуются коэффициенты несогласованности CR, GCI, HCR, .trCI Описание и анализ показателей несогласованности можно найти в [3, 15]. МПС D называется полностью согласованной (в дальнейшем, для сокращения, согласованной), если kjikij ddd  для nkji ...,,1,,  [1, 2]. Несогласованность МПС допустима, когда показатели несогласованности CR, GCI, HCR, trCI не превышают установленные для них пороговые значения. МПС согласованна тогда и только тогда, когда эти показатели равны нулю. Полная согласованность экспертных оценок парных сравнений не может быть признаком их истинности, т.е. если оценки полностью согласованны, то они не обязательно отображают истинные веса альтернатив. Для иллюстра- ции этого утверждения рассмотрим модельный пример — обратную задачу вычисления весов. Пример 1. Пусть известны реальные веса )20,0,10,0,25,0,45,0(realw четы- рех альтернатив относительно некоторой общей для них характеристики. Не со- общая реальных весов, экспертов попросили рассмотреть и попарно сравнить эти альтернативы в шкале Саати так, чтобы оценки были полностью согласованными. Для построения согласованной МПС nxnD достаточно определить ее n– 1 веду- щих элементов [5]. Каждый из экспертов выбрал разные множества пар альтерна- тив в качестве ведущих элементов МПС. Остальные элементы МПС вычислены на ос- новании множества ее ведущих элементов, используя условия согласованности kjikij ddd  для nkji ...,,1,,  и обратной симметричности ./1 ijji dd  В результа- те разные эксперты поставили в соответствие заданным альтернативам разные полно- стью согласованные МПС 41 DD  (ведущие элементы обозначены кружочками): , 1212/1 2/112/14/1 1212/1 2421 1             D , 1312/1 3/113/16/1 1312/1 2621 2             D , 113/16/1 113/16/1 3312/1 6621 3             D . 112/14/1 112/14/1 2212/1 4421 4             D 132 ISSN 0572-2691 МПС в вещественнозначной шкале, соответствующая весам ,realw оче- видно равна . 15,0/125,1/125,2/1 5,015,2/15,4/1 25,15,218,1/1 25,25,48,11                       real j real ireal w w D Все эксперты имели высокую компетентность. Экспертов, которые задали МПС 1D и ,2D назовем экспертами-реалистами, поскольку определенные ими значения ведущих элементов МПС в точности равны соответствующим отноше- ниям реальных весов ,         real j real i w w округленным по законам математики к ближай- шим делениям шкалы Саати. МПС 1D и 2D ближайшие в шкале Саати к realD при разных множествах ведущих элементов. Будем их называть в дальнейшем не- смещенными МПС по отношению к реальным весам. Экспертов, которые задали МПС 3D и ,4D назовем экспертами-оптимиста- ми/пессимистами: ведущие элементы 3 4,3d и 4 4,3d в МПС 3D и 4D были завыше- ны на одно деление шкалы, а ведущий элемент 4 3,2d в МПС 4D занижен на одно деление шкалы, т.е. проявляются такие личные качества эксперта, как оптимизм и пессимизм, выражаемые в склонности к незначительному (на одно деление шка- лы) завышению или занижению реальных значений. Такие МПС в дальнейшем будем называть смещенными МПС. Веса 41 ww  альтернатив, вычисленные известным методом анализа иерар- хий [1–3] по МПС :41 DD  ),222,0,111,0,222,0,444,0(1 w ),231,0,077,0,231,0,462,0(2 w ),091,0,091,0,273,0,545,0(3 w ),125,0,125,0,250,0,500,0(4 w отличаются между собой и от реальных весов .realw Различие в построенных МПС 41 DD  и, следовательно, в полученных весах 41 ww  обусловлено шкалой, используемой для построения МПС (так, шкала не позволяет различить альтернативы 2a и 4a в МПС 1D и ),2D и требованием полной согласованности МПС. Таким образом, подтверждается утверждение, что полная согласованность экспертных оценок парных сравнений не может быть признаком их истинности. В данной работе ставится задача — разработать метод оценивания неопреде- ленности, которая присутствует в МПС и обусловлена используемой шкалой Саати и возможными ошибками эксперта при выполнении парных сравнений вследствие таких личных качеств эксперта, как пессимизм и оптимизм. 2. Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений В основу предлагаемого метода при вычислении весов альтернатив решений по заданной экспертом МПС }...,,1,{ njidD ijnn  положено утверждение, что эта МПС только в некоторой степени отражает реальные отношения весов аль- тернатив и содержит неопределенность независимо от уровня ее согласованности. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 133 Предположим, что задача вычисления весов на основании МПС содержит следующие виды неопределенности. 1. Неопределенность, вносимую шкалой, в которой эксперт выполняет оценива- ние. С теоретической точки зрения, чем большее количество делений имеет шкала, тем более точными могут быть оценки. Однако на практике вследствие психофизиологи- ческих особенностей человека не рекомендуется использовать шкалу, содержащую более девяти делений [16]. От выбранной шкалы (числа ее делений) зависит, очевидно, количество объектов, которые могут быть в ней различимы. 2. Второй вид неопределенности обусловлен возможными ошибками экспер- та при выполнении парных сравнений и его личными качествами, такими как оп- тимизм/пессимизм. Ошибочность оценок не связываем с понятием их согласован- ности: как показано выше в примере 1, согласованные оценки парных сравнений также могут содержать ошибки. Для количественного оценивания неопределенности описанных выше видов, в дальнейшем будем называть ее неопределенностью экспертных оценок, и по- строения доверительных интервалов для весов альтернатив в работе предлагается метод, использующий аппарат теории доверия (свидетельств) [17, 18]. 2.1. Основные понятия теории доверия. Рассмотрим основные понятия теории доверия, приведенные в [19]. Пусть  — конечное множество. Возмож- ными гипотезами в теории доверия являются все возможные подмножества мно- жества . Базовым распределением доверия называется функция ],1,0[2: m определенная на подмножествах  и удовлетворяющая аксиомам: 0)( m и .1)( 2   Bm B Значение доверия )(m к множеству  показывает уровень неопределенности. Функция доверия ]1,0[2: Bel определяется следующими аксиомами: ,0)( Bel 1)( Bel и .1)()(  ABelABel Величина )(ABel вычисляется как сумма базовых доверий по всем подмножествам A: )()( BmABel AB    и пока- зывает полное доверие к гипотезе .A Величина )( ABel  показывает уро- вень сомнения в гипотезе A и вычисляется по формуле ).()( BmABel BA B     Функция правдоподобия ],1,0[2: Pls где )(APls показывает величину максимального значения доверия, которое может быть по возможности назначено :A ).(1)( ABelAPls  Функции )(ABel и )(APls интерпретируются как нижние и верхние веро- ятности появления гипотезы A в том смысле, что предполагается существо- вание некоторой истинной вероятности )(Ap появления гипотезы ,A такой что ).()()( APlsApABel  Интервал )](),([ APlsABel называется доверитель- ным интервалом. Следующие два неравенства: 1)()(  ABelABel и ,1)()(  APlsAPls ,A которые являются следствием приведенных выше определений, показы- вают главное отличие теории доверия от традиционного байесовского подхода, в котором вероятность )(Ap события A удовлетворяет условию .1)()(  ApAp В случае, когда каждое подмножество A состоит только из одного элемента, по- лучим ),()()( AmAPlsABel  следовательно, в этом случае выполняется 134 ISSN 0572-2691 .1)()(  ABelABel Поэтому теорию доверия можно рассматривать как обоб- щение байесовской теории вероятности. Для агрегирования независимых доверий относительно одних и тех же гипотез разработаны правила Демпстера, Ягера, Иганаки, дисконтирования доверий, Дю- буа–Прада и др. (сравнение и анализ этих правил можно найти, например, в [20]). 2.2. Вычисление показателя неопределенности в задаче нахождения весов альтернатив с использованием теории доверия и результатов моделирования. Пусть }...,,1,{ njidD ijnn  — построенная на основании экспертных оценок МПС альтернатив решений ....,,, 21 naaa При решении задачи вычисления весов альтернатив на основе МПС с использованием теории доверия рассмотрим сле- дующие гипотезы:  одноэлементные множества }{...,},{},{ 21 naaa включают отдельные альтер- нативы решений;  множество  }...,,,{ 21 naaaA включает все альтернативы решений. Базовые доверия })({ ii amm  к альтернативам соответствуют весам альтер- натив, а базовое доверие )(m к множеству, содержащему все альтернативы, как доверие к гипотезе, что все альтернативы неразличимы экспертом или имеют одинаковую важность для эксперта, предлагается использовать для выражения уровня неопределенности экспертных оценок в задаче вычисления весов. Базовое доверие к альтернативе ia определим следующим образом: , 1 Xv v m j n j i i     ,...,,1 ni  (1) где 0iv — ненормированный вес ,ia вычисленный на основе МПС одним из известных методов анализа иерархий: главного собственного вектора EM, геомет- рической средней RGMM или др., 0X — ненормированный показатель уровня неопределенности экспертных оценок. Значение базового доверия ко всему множеству альтернатив — нормирован- ный показатель уровня неопределенности экспертных оценок — определим . 1 Xv X m j n j      (2) Выполняется равенство .1  mmi i Показатель Х определим как некоторый процент от суммы j j v всех весов следующим образом:  если экспертные оценки полностью согласованы, то , 1 11 j n j vkXX    где параметр )1,0(1 k моделирует неопределенность, которую вносит шкала Саати, а также неопределенности вследствие личных качеств эксперта, таких как песси- мизм и оптимизм;  если в экспертных оценках присутствует несогласованность, то уровень не- определенности 1X увеличивается мультипликативно в соответствии со значени- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 135 ем показателя согласованности (ПС) МПС, взятым с некоторым коэффициентом :02 k ).ПС1( 21  kXX Таким образом, ),ПС1( 2 1 11    kvkXX j n j (3) где ),1,0(1 k ,02 k .0ПС  Тогда значение базового доверия к альтернативе ia равно , ))ПС1(1( 1 21 j n j i i vkk v m     (4) а нормированный показатель уровня неопределенности экспертных оценок — , )ПС1(1 )ПС1( 21 21    kk kk m ....,,1 ni  (5) Если МПС полностью согласованна, то значения базовых доверий im j n j i vk v     1 1)1( к альтернативам уменьшаются, а значение показателя неопреде- ленности 1 1 1 k k m   увеличивается с ростом параметра .1k Доверие Bel к одноэлементному множеству совпадает со значением базового доверия к нему, поэтому доверие к }{ ia равно .})({ ii maBel  Правдоподобие для :}{ ia .})({  mmaPls ii Таким образом, доверительный интервал для альтернативы :ia ].,[],[  mmmPlsBel iiii (6) Проведем сравнение со значением j j ii vvw  / локального веса альтерна- тивы в традиционном методе анализа иерархий. Выполняется неравенство , mmwm iii где im и m вычисляются по (1) и (2) соответственно, поэто- му получаем следующее утверждение. Утверждение 1. Локальный вес альтернативы ia в известном методе анализа иерархий [1–3] всегда содержится в доверительном интервале (6). Рассмотрим предельный случай: шкала, в которой эксперт выполняет парные сравнения — это множество положительных вещественных чисел .nR Тогда эле- менты МПС, построенной на основании экспертных оценок в этой шкале, .n ij Rd  Для такой шкалы справедливо следующее утверждение. Утверждение 2. Пусть nreal Rv  — вектор ненормированных весов n альтернатив,          nji v v dD real j real i ij ...,,1, — МПС, ,/ real k k realreal vvw  I }...,,1],{[ niPlsBel ii  — доверительные интервалы (6) для весов альтернатив, вычисленные на основании МПС D. Тогда ],[ ii real i PlsBelw  для всех ....,,1 ni  . Доказательство. По построению МПС D полностью согласованна. Поэтому векторы k k vvw  / нормированных весов, где v вычислены на основании D 136 ISSN 0572-2691 разными методами парных сравнений (EM, RGMM и др.), совпадают между собой и совпадают с :realw .realRGMMEM wwww  Для согласованной МПС D вектор весов равен нормированному столбцу D: kj n k ij i d d w    1 для любого ....,,1 nj  (7) Зафиксируем j — номер столбца D, ....,,1 nj  Пусть вектор ненормирован- ных весов )....,,1( nidv ij  Тогда в доверительном интервале (6) величины , 11 Xd d Xv v m kj n k ij j n j i i       . 11 Xd X Xv X m kj n k j n j        Так как ,i real i ww  с учетом (7) и 0X получим неравенство  real ii wm , mmi что и требовалось доказать. Предлагается следующий подход к оцениванию значения параметра 1k в (3)–(5) с использованием результатов компьютерного моделирования суждений экспертов. 2.3. Моделирование оценок эксперта-реалиста, пессимиста и оптимиста. Моделирование оценок эксперта-реалиста. Пусть парные сравнения проводят- ся экспертом-реалистом, т.е. неопределенность задачи обусловлена только ис- пользуемой шкалой Саати. Пусть nreal Rv  — случайным образом сгенериро- ванный вектор ненормированных весов [21], ./ real k k real i real i vvw  Вычисляется МПС D (несмещенная МПС), которая наиболее близка к отношениям весов ,/ real j real i vv т.е. элемент ijd этой МПС — это округленное к ближайшему деле- нию шкалы Саати значение отношения ./ real j real i vv Выполняется округление от- ношений 1/ real j real i vv в соответствии с законами математики, когда это не при- водит к конфликту (см. пример 2 ниже). Остальные значения МПС D вычисля- ются с учетом ./1 ijji dd  Моделирование проводится в общем случае для большого количества тесто- вых МПС D разных размерностей .9....,,5,4,3n Зафиксируем .n Пусть nreal Rlw )( — случайным образом сгенерированный вектор реальных весов, )(* lD — соответствующая ему несмещенная МПС, l — номер эксперимента, .10...,,1 5l Рассматриваются значения норм отклонения )(lwreal от вектора )(lw вычисленных весов: ,)()()(1   lwlwlp real (8) где i ni aa ,...,1 max   — чебышевская норма, ,)()()( / k k lvlvlw вектор )(lv вычислен на основании )(* lD методом главного собственного вектора EM [1–3], .10...,,1 5l Параметр 1k определим как некоторую функцию от :1p ).( 11 pfk  (9) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 137 На рисунке представлены гистограммы распределений величины )(1 lp   )()( lwlw real для эксперта-реалиста при n3 (а), n5 (б), n7 (в), n9 (г), полученные по результатам M10 5 экспериментов. Эти гистограммы и значения величин эксцесса и асимметрии (рисунок) позволяют сделать вывод, что величина )(1 lp (8) чебышевской нормы отклонений вычисленных весов от реальных весов для эксперта-реалиста при 5n имеет распределение, близкое к нормальному с парамет- рами, приведенными в табл. 1. В качестве оценки для параметра ,1p которая затем ис- пользуется при вычислении 1k (9) и далее — доверия )()( lmlBel ii  (4), уровня не- определенности задачи )(lm (5) и правдоподобия ),()()( lmlmlPls ii  предла- гается использовать значение ),(3,1ˆˆ 11 90,0 1 ppp av  (10) которое соответствует квантилю уровня 0,90. Таблица 1 n 3 4 5 6 7 8 9 avp1ˆ 0,032 0,029 0,026 0,021 0,017 0,014 0,012 )( 1p 0,017 0,013 0,010 0,009 0,006 0,005 0,004 Запишем оценки значений параметра 1p в равенстве (9) при вычислении довери- тельных интервалов для весов альтернатив (эксперт-реалист): ;9,8,7,6,5,4,3n 0,017.,021,0,025,0,033,0,039,0,046,0,054,0:ˆˆ 90,0 11 pp  0,00 2,00 4,00 6,00 0,01 0,03 0,05 0,07 Series: CHEB_DIST_VECT Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0,031764 Median 0,030470 Maximum 0,080590 Minimum 6,74e–05 Std.Dev. 0,016976 Skewness 0,332063 Kurtosis 2,353725 Jarque-Bera 3578,058 Probability 0,000000 а 0,00 2,00 4,00 6,00 0,01 0,03 0,05 0,07 Series: CHEB_DIST_VECT Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0,025683 Median 0,025400 Maximum 0,067180 Minimum 0,001008 Std.Dev. 0,010354 Skewness 0,209146 Kurtosis 2,596161 Jarque-Bera 1408,563 Probability 0,000000 8,00 б 138 ISSN 0572-2691 0,00 2,00 4,00 6,00 0,01 0,03 0,05 0,07 Series: CHEB_DIST_VECT Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0,016613 Median 0,015860 Maximum 0,047540 Minimum 0,001535 Std.Dev. 0,006456 Skewness 0,527721 Kurtosis 2,955672 Jarque-Bera 4650,818 Probability 0,000000 8,00 в Продолжение рисунка 0,00 2,00 4,00 6,00 0,005 0,010 0,015 0,020 Series: CHEB_DIST_VECT Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0,012078 Median 0,011800 Maximum 0,028960 Minimum 0,001859 Std.Dev. 0,003608 Skewness 0,479473 Kurtosis 3,309473 Jarque-Bera 4230,635 Probability 0,000000 8,00 0,025 10,00 12,00 г Эти значения оценивают неопределенность экспертных суждений в задаче вычисления весов альтернатив методом главного собственного вектора EM, когда эта неопределенность обусловлена используемой шкалой Саати. Как видно из значений, эта неопределенность уменьшается с ростом n. 2.4. Моделирование оценок эксперта-пессимиста и оптимиста. Компью- терное моделирование осуществляется аналогично предыдущему, за исключени- ем того, что в каждом эксперименте после вычисления МПС )(* lD осуществляет- ся ее смещение по следующим правилам:  для оптимиста каждый элемент ,9)(1 *  ldij ji  случайным образом увеличивается на единицу (одно деление шкалы Саати) или остается неизмен- ным: ),()()( * lldld ij optim ij  где )(l выбирается случайным образом из мно- жества };1,0{  для пессимиста каждый элемент 9)(1 *  ldij случайным образом умень- шается на единицу (одно деление шкалы Саати) или остается неизменным: ),()()( * lldld ij pessim ij  где )(l выбирается случайным образом из множест- ва }.1,0{  Далее на основании )(lDoptim и )(lD pessim вычисляются значения чебышевских норм )(1 lp optim и )(1 lp pessim в соответствии с (8). Распределения величин )(1 lp optim и )(1 lp pessim близки к нормальному; гистограммы распределений и значения коэф- фициентов эксцесса и асимметрии аналогичны приведенным на рисунке для оценок эксперта-реалиста. Выборочные средние значения и стандартные отклонения для величин )(1 lp optim и )(1 lp pessim приведены в табл. 2. Оценки величины 1p для Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 139 эксперта-пессимиста и оптимиста вычисляются по формуле (10) и соответствуют квантилю уровня 0,90 (табл. 3). Таблица 2 Эксперт-пессимист n 3 4 5 6 7 8 9 avp1ˆ 0,073 0,066 0,058 0,050 0,044 0,039 0,036 )( 1p 0,041 0,030 0,023 0,018 0,015 0,013 0,011 Эксперт-оптимист n 3 4 5 6 7 8 9 avp1ˆ 0,063 0,061 0,055 0,049 0,044 0,040 0,036 )( 1p 0,033 0,026 0,022 0,018 0,015 0,013 0,011 Таблица 3 n 3 4 5 6 7 8 9 pessim p1 ˆ 0,126 0,105 0,088 0,073 0,064 0,056 0,050 optim p1 ˆ 0,106 0,095 0,084 0,072 0,064 0,056 0,050 Результаты табл. 2 и 3 показывают, что параметры распределений, как и оценки значений параметра 1p для оценок эксперта-пессимиста и оптимиста, совпадают в пределах практической точности. Значения, приведенные в табл. 3, оценивают неопределенность экспертных оценок в задаче вычисления весов аль- тернатив методом главного собственного вектора EM, обусловленную такими личными качествами эксперта, как пессимизм и оптимизм, и используемой шка- лой Саати. Эта неопределенность уменьшается с ростом n. Пример 2. Для вектора весов )20,0;10,0;25,0;45,0(realw из примера 1 несмещенная МПС равна . 1212/1 2/113/15/1 1312/1 2521 *             D Конфликт имеет место, например, для ).20,0;10,0;28,0;42,0(realw В этом случае ближайшее к отношению 4,1/ 42 realreal ww деление шкалы Саати равно единице, 124 d и соответственно 142 d (назовем это первым вариантом при- ведения к шкале Саати). Если же рассматривать обратно симметричное отноше- ние ,7,0/ 24 realreal ww то ближайшее к нему деление шкалы равно 1/2, следова- тельно, 2/142 d и 224 d (второй вариант приведения к шкале Саати). Исследуя средние по всем экспериментам значения нормы (8) для первого и второго вариантов приведения отношений real j real i vv / к шкале Саати, приходим к выводу, что в вычисленных весах меньше ошибок при втором варианте, который и используется в данной работе в случае возникновения конфликта при по- строении МПС ).(* lD Пример 3. Для иллюстрации результатов вычислим доверительные интервалы для МПС 41 DD  из примера 1 при условии, что функция f в равенстве (9) прини- мает вид .11 pnk  Значение 046,01 p для МПС 1D и ,2D заданных экспертами- реалистами. Значение 095,01 p для МПС 3D и ,4D заданных экспертами- 140 ISSN 0572-2691 оптимистами. Ненормированные веса iv альтернатив ia вычислим методом главного собственного вектора ЕM. В соответствии с (6) вычислим значения доверий )( j i DBel и правдоподобий )( j i DPls для весов альтернатив ia (табл. 4). Таблица 4 МПС Значения доверий )( j i DBel и правдоподобий )( j i DPls m 1a 2a 3a 4a Bel Pls Bel Pls Bel Pls Bel Pls 0,45 0,25 0,10 0,20 МПС 1D 0,376 0,531 0,188 0,343 0,094 0,249 0,188 0,343 0,155 МПС 2D 0,390 0,545 0,195 0,350 0,065 0,220 0,195 0,350 0,155 МПС 3D 0,395 0,670 0,198 0,473 0,066 0,341 0,066 0,341 0,275 МПС 4D 0,363 0,637 0,181 0,456 0,091 0,366 0,091 0,366 0,275 Результаты табл. 4 позволяют сделать следующие выводы. 1. Реальные веса )20,0,10,0,25,0,45,0(realw содержатся во всех соответ- ствующих интервалах: )](),([ j i j i real i DPlsDBelw  , ,4...,,1i .4...,,1j 2. Реальный вес realw3 альтернативы 3a практически равен значению дове- рия ),( 1 3 DBel вычисленного на основании МПС 1D (левому концу доверитель- ного интервала). Также для альтернативы 4a значение realw4 практически равно значению доверия ),( 2 4 DBel вычисленного на основании МПС 2D (левому кон- цу доверительного интервала). Аналогично для альтернативы 3a значение realw3 практически равно значению доверия ),( 4 3 DBel вычисленного на основании МПС .4D Поэтому полученные в табл. 4 значения m неопределенности для данного примера обоснованны. 3. Значения показателя неопределенности m для МПС 3D и 4D превы- шают значения m для МПС 1D и ,2D так как кроме неопределенности, кото- рую вносит используемая шкала Саати, в МПС 3D и 4D присутствует неопреде- ленность вследствие факторов пессимизм/оптимизм. Заключение В настоящей работе рассмотрена задача вычисления весов альтернатив решений на основе экспертных суждений парных сравнений альтернатив в шкале Саати. Пред- полагается, что эти суждения только в некоторой степени отражают реальные отно- шения весов альтернатив и содержат неопределенность независимо от уровня их со- гласованности. Сделана попытка моделирования суждений эксперта-реалиста, неоп- ределенность которых обусловлена только используемой шкалой Саати, а также экспертов-пессимиста и оптимиста, в суждениях которых присутствует дополнитель- ная неопределенность, обусловленная этими личными качествами эксперта. Компью- терное моделирование позволило получить количественные оценки неопределенно- сти суждений эксперта-реалиста, пессимиста и оптимиста в задаче вычисления весов методом главного собственного вектора парных сравнений в шкале Саати. Используя аппарат теории доверия (свидетельств), предлагается общий показатель неопределен- ности экспертных оценок рассматриваемой задачи вычисления весов, обусловленной указанными выше факторами неопределенности. Дальнейшие исследования будут направлены на конкретизацию вида функции (9) при определении параметра ,1k а также определение весового коэффициента 2k уровня несогласованности экспертных оценок. Предполага- ется целесообразным в дальнейшем оценивать эти параметры по результатам Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 5 141 компьютерного моделирования, исходя из условия, чтобы не менее чем в 90 % экспериментов все координаты реального вектора весов содержались в своих доверительных интервалах (6). Н.І. Недашківська МЕТОД ОЦІНЮВАННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК ПАРНИХ ПОРІВНЯНЬ ПРИ ОБЧИСЛЕННІ ВАГ АЛЬТЕРНАТИВ РІШЕНЬ Запропоновано метод оцінювання невизначеності експертних оцінок парних порівнянь в задачі обчислення ваг альтернатив рішень, коли невизначеність обумовлена шкалою Сааті, в якій виконується оцінювання, а також такими яко- стями експерта, як песимізм/оптимізм. Показано, що повна узгодженість експе- ртних оцінок парних порівнянь не може бути ознакою їх істинності. Тому в основу запропонованого методу покладено твердження, що експертні оцінки парних порівнянь тільки частково відображають реальні відношення ваг альтернатив і містять невизначеність незалежно від рівня їх узгодженості. Використовуючи апарат теорії довіри (свідчень) і результати комп’ютерного моделювання, визначається загальний показник невизначеності експертних оцінок парних порівнянь, яка спричинена шкалою Сааті та особистими якостями експерта. Цей показник невизначеності використовується у подальшому для обчислення довірчих інтервалів для відносних ваг альтернатив рішень, які більш достовірно, порівняно з точковими вагами, відображають відносну важливість альтернатив. N.I. Nedashkovskaya METHOD FOR EVALUATION OF EXPERT PAIRWISE COMPARISON JUDGEMENTS UNCERTAINTY WHEN CALCULATING DECISION ALTERNATIVES' WEIGHTS Method for evaluation of expert pairwise comparison judgements uncertainty when solving the problem of decision alternatives weights calculation is supposed in the paper. This uncertainty is caused by the Saaty's evaluation scale and such expert qualities as pessimism/optimism. It is shown that total consistency of expert pairwise comparison judgments can’t be indication of their truth. Therefore proposed method is based on the statement that expert pairwise comparison judgments reflect real rati- os of decision alternative weights only to a certain extent and contain uncertainty re- gardless of their consistency level. Using the theory of trust (evidence) and results of a computer modeling, the general index of expert pairwise comparison judgments uncertainty is defined when this uncertainty is caused by the Saaty’s evaluation scale and personal expert qualities. The general index is subsequently used to calculate confidence intervals for decision alternatives’ relative weights, which reflect alterna- tives’ importance more reliably in comparison with the point weights. 1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М. : Радио и связь, 1993. — 320 с. 2. Саати Т.Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. Изд. 2-е. — М. : ЛИБРОКОМ, 2009. — 360 с. 3. Панкратова Н.Д., Недашківська Н.І. Моделі і методи аналізу ієрархій: Теорія. Застосуван- ня. — Київ: Політехніка, 2010. — 371 с. 4. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмический аспект. — Киев : Наук. думка, 2002. — 381 с. 142 ISSN 0572-2691 5. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — 44, № 7. — С. 1261–1270. 6. Macharis C., Springael J., Brucker K.D., Verbeke A. PROMETHEE and AHP: The design of op- erational synergies in multicriteria analysis. Strenhthening PROMETHEE with ideas of AHP // European Journal of Operational Research. — 2004. — 153, N 2. — P. 307–317. 7. Beynon M.J. DS/AHP method: A mathematical analysis, including an understanding of uncertain- ty // Ibid. — 2002. — 140. — P. 148–164. 8. Beynon, M.J. Reflections on DS/AHP: Lessons to be learnt // Belief Functions: Theory and Ap- plications. Lecture Notes in Computer Science. — 2014. — 8764. — P. 95–104. 9. Wang Y.M., Chin K.S. A linear goal programming priority method for fuzzy analytic hierarchy process and its applications in new product screening // International Journal of Approximate Reasoning. — 2008. — 49, N 2. — P. 451–465. 10. Wang J., Lan J., Ren P., Luo Y. Some programming models to derive priority weights from additive interval fuzzy preference relation // Knowledge-Based Systems. — 2012. — 27. — P. 69–77. 11. Durbach I., Lahdelma R., Salminen P. The analytic hierarchy process with stochastic judgements // European Journal of Operational Research. — 2014. — 238, N 2. — P. 552–559. 12. Hahn E.D. Decision making with uncertain judgments: a stochastic formulation of the analytic hierarchy process // Decision Sciences. — 2003. — 34, N 3. — P. 443–466. 13. Павлов А.А., Лищук Е.И., Кут В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и находжения весов объектов в методе парных сравнений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 13–21. 14. Циганок В.В. Метод обчислення ваг альтернатив на основі результатів парних порівнянь, проведених групою експертів // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2008. — 10, № 2. — С. 121–127. 15. Pankratova N., Nedashkovskaya N. The method of estimating the consistency of paired comparisons // Information Technologies and Knowledge. — 2013. — 7, N 4. — P. 347–361. 16. Saaty T.L., Ozdemir M.S. Why the magic number seven plus or minus two // Mathematical and Computer Modelling. — 2003. — 38, N 3–4. — P. 233–244. 17. Dempster A.P. A generalization of Bayesian inference (with discussion) // Journal of the Royal Statistical Society Ser. B. — 1968. — 30. — P. 205–247. 18. Shafer G. A Mathematical theory of evidence. — New York: Princeton University Press, — 1976. — 314 p. 19. Недашковская Н.И. Принятие решений по многим критериям при неполных эксперт- ных оценках на базе метода анализа иерархий и теории Демпстера-Шафера // Наукові праці. Науково-методичний журнал Миколаївського державного гуманітарного університету ім. Петра Могили. Серія «Комп’ютерні технології». — 2010. — 143, вип. 130. — С. 6–14. 20. Pankratova N., Nedashkovskaya N. Estimation of sensitivity of the DS/AHP method while solv- ing foresight problems with incomplete data // Intelligent Control and Automation. — 2013. — 4, N 1. — P. 80–86. 21. Недашковская Н.И. Сравнительный анализ методов парного экспертного оценивания аль- тернатив решений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 35–44. Получено 19.01.2015 После доработки 23.05.2015 http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-11191-9 http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-11191-9 http://link.springer.com/bookseries/558 http://scholar.google.com/scholar?oi=bibs&hl=en&cluster=2380372973550993938&btnI=1 http://scholar.google.com/scholar?oi=bibs&hl=en&cluster=2380372973550993938&btnI=1 http://scholar.google.com/scholar?oi=bibs&hl=en&cluster=2380372973550993938&btnI=1

Метод оценивания неопределенности экспертных оценок парных сравнений при вычислении весов альтернатив решений

Репозитарії

Схожі ресурси