Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения

Розглянуто загальнотеоретичну задачу синтезу субоптимального нелінійного керування на прикладі двомасової електромеханічної системи переміщення кранового механізму з урахуванням гасіння коливань транспортованого вантажу. Задача розв’язується на базі методу Белмана–Ляпунова з використанням концепції...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Кудин, В.Ф., Приймак, Б.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208046
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения / В.Ф. Кудин, Б.И. Приймак // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 56-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208046
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080462025-10-19T00:05:37Z Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения Субоптимальне нелінійне керування за критерієм швидкодії на основі методу інваріантного занурення Suboptimal nonlinear control for operation speed criterion on the basis of invariant immersion method Кудин, В.Ф. Приймак, Б.И. Оптимальное управление и методы оптимизации Розглянуто загальнотеоретичну задачу синтезу субоптимального нелінійного керування на прикладі двомасової електромеханічної системи переміщення кранового механізму з урахуванням гасіння коливань транспортованого вантажу. Задача розв’язується на базі методу Белмана–Ляпунова з використанням концепції інваріантного занурення за критерієм швидкодії. Проведено дослідження динаміки замкнутої системи із синтезованим субоптимальним регулятором. General theoretical task of suboptimal nonlinear control algorithm synthesis is under consideration. It is examined in the instance of two-mass electromechanical system of a crane moving mechanism considering load’s oscillations damping. The task is solved on the basis of Bellman-Lyapunov method using the invariant immersion concept for operation speed criterion. Analysis of feedback system dynamics is performed. 2015 Article Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения / В.Ф. Кудин, Б.И. Приймак // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 56-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208046 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i11.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Кудин, В.Ф. Приймак, Б.И. Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто загальнотеоретичну задачу синтезу субоптимального нелінійного керування на прикладі двомасової електромеханічної системи переміщення кранового механізму з урахуванням гасіння коливань транспортованого вантажу. Задача розв’язується на базі методу Белмана–Ляпунова з використанням концепції інваріантного занурення за критерієм швидкодії. Проведено дослідження динаміки замкнутої системи із синтезованим субоптимальним регулятором.
format	Article
author	Кудин, В.Ф. Приймак, Б.И.
author_facet	Кудин, В.Ф. Приймак, Б.И.
author_sort	Кудин, В.Ф.
title	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
title_short	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
title_full	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
title_fullStr	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
title_full_unstemmed	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
title_sort	субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208046
citation_txt	Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения / В.Ф. Кудин, Б.И. Приймак // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 56-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kudinvf suboptimalʹnoenelinejnoeupravleniepokriteriûbystrodejstviânaosnovemetodainvariantnogopogruženiâ AT prijmakbi suboptimalʹnoenelinejnoeupravleniepokriteriûbystrodejstviânaosnovemetodainvariantnogopogruženiâ AT kudinvf suboptimalʹnenelíníjnekeruvannâzakriteríêmšvidkodíínaosnovímetoduínvaríantnogozanurennâ AT prijmakbi suboptimalʹnenelíníjnekeruvannâzakriteríêmšvidkodíínaosnovímetoduínvaríantnogozanurennâ AT kudinvf suboptimalnonlinearcontrolforoperationspeedcriteriononthebasisofinvariantimmersionmethod AT prijmakbi suboptimalnonlinearcontrolforoperationspeedcriteriononthebasisofinvariantimmersionmethod
first_indexed	2025-10-19T01:09:35Z
last_indexed	2025-10-20T01:12:22Z
_version_	1846461326058061824
fulltext	© В.Ф. КУДИН, Б.И. ПРИЙМАК, 2015 56 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 62-50 В.Ф. Кудин, Б.И. Приймак СУБОПТИМАЛЬНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО КРИТЕРИЮ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ Введение Задачи синтеза оптимальных по быстродействию алгоритмов управления остаются актуальными для проектирования автоматических систем управле- ния различными транспортными механизмами производственных цехов, сле- дящих систем различного назначения, систем управления колебаниями, ма- нипуляторами и др. [1–4]. Известно, что при проектировании систем, опти- мальных по быстродействию, синтез алгоритмов выполняется, как правило, на основе принципа максимума в сочетании с методом фазового пространст- ва [5, 6]. Возможности применения этого метода ограничены объектами третьего порядка. Математические модели управляемых объектов современ- ных механизмов и машин наряду с апериодическими звеньями зачастую со- держат и колебательные. Синтез оптимальных по быстродействию управле- ний такими системами, как показывают выполненные в [7, 8] исследования , представляют трудную, возможно, даже неразрешимую задачу. В целом мо- дели объектов являются нелинейными по переменным состояния и управ- ляющему воздействию. Кроме того, минимизируемые функционалы, исполь- зуемые при построении оптимальных систем управления, обычно неквадратичны, что усложняет процедуру аналитического конструирования оптимальных регуля- торов (АКОР). В данной статье предлагается приближенное решение нелинейной задачи АКОР по быстродействию на основе метода Беллмана–Ляпунова в сочетании с концепцией инвариантного погружения [9–11]. Отметим, что до настоящего вре- мени для решения задач синтеза метод инвариантного погружения практически не разработан. Полученное в статье общетеоретическое решение задачи синтеза су- боптимального нелинейного управления рассмотрено на примере двухмассовой электромеханической системы передвижения кранового механизма с учетом га- шения колебаний транспортируемого груза [3, 4]. Предложенный метод обладает вычислительной эффективностью и легко распространяется на нелинейные сис- темы высокой размерности. 1. Постановка задачи Предлагаемую в статье методику синтеза субоптимального нелинейного управления рассмотрим на примере двухмассовой электромеханической системы Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 57 передвижения кранового механизма с учетом гашения колебаний транспортируе- мого груза. Схема подъемно-транспортного механизма с маятниковой подвеской груза представлена на рис. 1 [3]. Здесь 1m — масса тележки (моста), 2m — масса груза, l — длина подвеса груза, y — угол отклонения груза от вертикали, F — динамическое усилие, приложенное к тележке, M — динамический момент элек- тропривода, r — радиус приведения. y l F=M / r 1m 2m gm2 Рис. 1 Движение двухмассовой системы «тележка–груз» при выполнении условия 1 2 2 sin mym  описывается нелинейным уравнением [2] , cos sincossin 11 212 1 2 lm yF y l g m mm yyy m m y     (1) где g — ускорение свободного падения. Осуществляя линеаризацию (1) относительно положения равновесия системы и учитывая электромагнитную инерционность электропривода, получаем систему дифференциальных уравнений в форме Коши:           ,1, ; ; 3333 3231212 21 ubuxax xaxax xx    (2) где Fxyxyx  321 ,,  — переменные состояния, u — управляющее воздейст- вие. Параметры модели (2) при кг,2501 m кг,252 m м,4l 2c/м81,9g равные (в соответствующих единицах системы СИ): ,7,221 a ,100,1 3 23 a ,433 a .105,3 3b По сути модель (2) представляет собой последовательное соединение апе- риодического звена первого порядка и консервативного звена при наличии огра- ничения на управляющее воздействие, которое можно приближенно представить в виде ).( fu Примечание. Учет ограничения на управление u с помощью некоторой функции )( fu впервые предложил А. Miele [12]. Здесь роль управляющего воздействия, на которое не наложено ограничение, переходит к величине . По- 58 ISSN 0572-2691 этому формировать подынтегральную функцию )(w гораздо легче. При этом за- висимость вида 12   nu (n2, З, 4,...) позволяет при достаточно больших n аппроксимировать релейную характеристику с большой точностью на классе гладких функций. Для рассматриваемой задачи примем ,5n т.е. .9/1u В точках позиционирования тележки перемещаемый груз занимает произ- вольное положение. Возникает типичная задача АКОР по отработке началь- ных условий, исходя из условия быстрейшего затухания переходного процес- са. В этом случае критерий оптимальности и подынтегральные функции име- ют следующий вид: ,)](),,([min 321 0 dtwxxxWJ T    (3) где ,1),,( 321 xxxW ,)( 2 cw T свободно, не фиксировано, c — весовая константа. Ставится задача отыскания управления ),,,( 321 xxxf обеспечивающего переход изображающей точки пространства состояний в начало координат при произвольных начальных условиях, на решениях системы (2), исходя из миними- зации функционала (3). Рассмотрим сначала процедуру АКОР по критерию быстродействия при на- личии ограничения на управление, которое сложилось к настоящему времени. Метод динамического программирования Беллмана дает следующее функ- циональное уравнение для (2) и (3): .0)()(),,(min /91 333 3 323121 2 2 1 321                  bxa x V xaxa x V x x V xxxW После дифференцирования получаем . 18 ; 18 ;0 18 ;0 9 2 17 3 17 9 33 9 17 9 8 3 x V c b u x V c b x V c b x Vb c                     Исключая  из функционального уравнения, получаем уравнение Гамильтона– Якоби–Беллмана (ГЯБ) вида . 18 17)()(),,( /1718 3 333 3 323121 2 2 1 321                     x V c b сxa x V xaxa x V x x V xxxW (4) Разлагая правую часть (4) в цепную дробь [13], получаем           331 3 323121 2 2 1 321 )(),,( xa x V xaxa x V x x V xxxW , ...1 ... 4 122 2 121 6 113 4 112 2 111    (5) где , 18 3 1 x V c b    а ..., 1211  — постоянные коэффициенты разложения цеп- ной дроби. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 59 Уравнение ГЯБ для функционала быстродействия (3) с учетом ограничения на управление при /91)(  fu будет иметь следующий вид: . 18 17)(1 17/18 3 333 3 323121 2 2 1                     x V c b сxa x V xaxa x V x x V (6) По утверждению М. Атанса, П. Фалба [6] решение задачи синтеза по крите- рию быстродействия на базе метода динамического программирования, которое сводится к решению уравнения ГЯБ, практически невозможно. Один из реальных путей — переход к аналитическому выражению подынтегральной функции критерия быстродействия в функции пе- ременных состояния. Подынтегральную функцию 1),,( 321 xxxW можно аппроксимировать соот- ношениями вида 2 11)( 11 x exW   или )( 12 xW ).(th 2 1x Функция )( 11 xW при 100 пред- ставлена на рис. 2. Тогда для системы дифференциальных уравнений (2) и функционала (3) уравнение ГЯБ после разложения аппроксимирующей функции ),,( 3212 xxxW в цепную дробь с учетом (5) будет иметь вид       2 1 8 122 4 121 10 113 6 112 2 111 ...)()(1 ...)()()( x x V xx xxx , ...1 ... )( 4 122 2 121 6 113 4 112 2 111 333 3 323121 2          xa x V xaxa x V (7) где ..., 1211  — постоянные коэффициенты разложения цепной дроби. Прибли- женное решение этого уравнения ищется в виде последовательности степенных форм от переменных состояния )...()()()( 642 xvxvxvxV  (8) Здесь )(2 xv — квадратичная форма от переменных состояния ),,,( 321 xxxx  )(4 xv — форма четвертой степени и т.д. Параметры квадратичной формы опре- деляются системой уравнений Риккати, параметры формы четвертой степени — системой линейных алгебраических уравнений и т.д. В итоге получаем субоптимальный алгоритм управления ,sign17 u где ...)()( 31  xx , )(1 x — линейная форма от переменных состояния, )(3 x — кубическая форма от переменных состояния. Однако предложенная процедура решения уравнения ГЯБ достаточно сложна в вычислительном отношении и для систем выше третьего порядка практически не реализуема. Поэтому используем процедуру синтеза субоптимального управ- ления на базе метода Беллмана–Ляпунова в сочетании с принципом инвариантно- го погружения [9–11]. – 3 – 2 – 1 0 1 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x1 W1(x1) Рис. 2 60 ISSN 0572-2691 2. Решение задачи АКОР методом инвариантного погружения Сформулируем принцип инвариантного погружения. Основная идея его заклю- чается в следующем [9, 14]: «Вместо того чтобы решать сложную исходную задачу нелинейного синтеза оптимального управления, ее включают в некоторое семейство более простых задач оптимизации. При этом необходимо найти взаимосвязь между отдельными более простыми задачами оптимизации, которые легко решаются. Тогда, используя решение последней и соотношение, связывающие отдельные простые задачи оптимизации, получаем решение исходной сложной задачи оптимального управления.» 2.1. Решение задачи АКОР на основе классического функционала. Таким образом, решается задача синтеза на основе метода инвариантного погружения в три этапа: 1) процесс погружения исходной сложной нелинейной задачи в семейство более простых задач аналитического конструирования регуляторов; 2) анализ полученных решений более простых задач оптимизации и нахож- дение взаимосвязи между отдельными решениями; 3) приближенное решение задачи синтеза для исходной нелинейной задачи с учетом соотношений, учитывающих взаимосвязи между отдельными простыми задачами оптимизации. Для осуществления процесса погружения исходной нелинейной задачи оп- тимизации в семейство более простых линейных задач линеаризируем неквадра- тичный функционал и динамическую модель управляемого объекта. Преобразуем подынтегральную функцию минимизируемого функционала ,)(1),,( 2 11321 xxqxxxW  где 2 11 /1)( xxq  — весовая константа. В итоге полу- чаем критерий оптимальности вида ,])([min 22 11 0 dtcxxqI     (9) т.е. неквадратичный функционал сведен к квадратичному, весовая константа ко- торого )( 1xq является функцией переменной состояния .1x Линеаризованную по управлению и переменным состояния систему дифференциальных уравнений (2) определим следующим образом: .)( ; ; 3333 3231212 21    abhxax xaxax xx    (10) Управляющее воздействие ),( fu где )(f — функция нелинейного преобразо- вания А. Miele, представлена в виде , )( )(          f ahu где . )( )(    f ah Здесь )(ah — коэффициент статической линеаризации для затухающих переходных про- цессов [15], который для фиксированной области пространства состояний — посто- янная величина, a — амплитуда колебаний. Примечание. Коэффициент )(ah — приближенный эквивалент коэффициента гармонической линеаризации, а также линеаризации по методу секущей [16], по- скольку его можно получить методом среднеквадратичного приближения. Тогда для системы уравнений (10) и функционала (9) получаем функциональное уравнение Беллмана для фиксированной области пространства состояний вида Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 61 ,0))(()()(min 333 3 323121 2 2 1 22 11                  abhxa x V xaxa x V x x V cxxq отсюда получаем . 2 )( 3x V c abh    В итоге имеем систему уравнений Риккати для решения линейно-квадратич- ной задачи синтеза для различных областей пространства состояний: ; )( 2 ; )( 2 ; )( 2)( 2 33 22 1323 2 23 22 12 2 31 22 21211 k c bah ka k c bah k k c bah akxq    . )( ; )( ; )( 3313 22 313323212312 3332 22 3233222313 3231 22 3233122313 kk c bah kakaak kk c bah kakak kk c bah kakak    (11) Затем решаем задачу АКОР для различных областей пространства состояний. При этом функции )( 1xq и )(ah аппроксимируем с помощью кусочно-постоянных функций. Графики этих функций (кривые 1) и их аппроксимации (кривые 2) пред- ставлены на рис. 3, а и рис. 3, б соответственно. 0 2 1 1x q(x1) q1 q2 0 2 1 a h(a) h1 h2 а б Рис. 3 Желательно реализовать процедуру погружения для некоторого множества областей пространства состояний с управлениями ).(),(),( 321 xxx  Однако для упрощения вычислительной процедуры ограничимся двумя областями простран- ства состояний: областью малых и больших значений начального положения изо- бражающей точки (начальных условий) в пространстве состояний. На первом этапе решаем задачу АКОР в малой области пространства состоя- ний (см. рис. 3) при 10,10)(,100)( 1111  ссhahqxq и получаем закон управления ).10774,126,139,2( )()()( 3 4 21 332211333232131 1 1 1 xxx xkxkxkxkxkxk c bh x   На втором этапе получаем решение задачи АКОР в большом (см. рис. 3) при 2 2221 )33/1(,8,0)(,1)(  ссhahqxq в виде ).10026,285,139,23( )()()( 3 3 21 332211333232131 2 2 2 xxx xkxkxkxkxkxk c bh x   62 ISSN 0572-2691 На втором этапе реализации процедуры инвариантного погружения найдем взаи- мосвязь между отдельными решениями, т.е. между оптимальными управлениями )( 11  fu и ).( 22  fu Эта взаимосвязь определяется тем, что при переходе фа- зовой траектории из области в большом в положение равновесия субоптимальное управление порождает некоторую вариацию управления. При этом взаимосвязь между 1u и 2u можно представить в виде соотношения )],()([sign)(sign)( 122 xxxxu  (12) где .)()()( 33221112 xkxkxkxxx  Вариации параметров ,ik возникающих при переходе изображающей точки из одной области пространства состояний в другую, можно рассматри- вать как управляющие воздействия. Таким образом, получена последователь- ность мгновенных оптимальных управлений для некоторых совокупностей на- чальных условий. На заключительном этапе процедура синтеза проводится в соответствии с методикой, изложенной в [17–19]. Ставится задача минимизации функционала dtkckcxqJ kk     0 2 22 2 11 2 11 , )(min 21 (13) на решениях системы дифференциальных уравнений .sign)( ; ; ; 3 1 2211 3333 3231212 21              i ii xkxkxkfu buxax xaxax xx    (14) Процесс определения допустимого управления по переменной состояния 3x приводит к весьма малому значению эффективности управления, что позволяет в (13) и (14) соответственно пренебречь слагаемыми 2 33 kc  и .33xk В итоге функциональное уравнение Беллмана для системы (14) и функционала (13) опре- деляется соотношением [15]             )(min 323121 2 2 1 2 22 2 11 2 11 , 21 xaxa x V x x V kckcxq kk .02211 3 1 2333 3                             xkxkxkbhxa x V ii n i (15) После дифференцирования получаем . 2 ; 2 2 32 2 21 31 2 1 x x V c bh kx x V c bh k       (16) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 63 Подставляя (16) в (15), приходим в итоге к модифицированному уравнению ГЯБ вида        )( 323121 2 2 1 2 11 xaxa x V x x V xq . 4 2 3 2 22 1 3 1 2333 3                           x V bh c x xkbhxa x V i i n i ii n i (17) Решение этого уравнения аппроксимируется последовательностью степен- ных форм ...)()()()()( 6422 1     xvxvxvxvxV m m (18) Параметры квадратичной и последующих форм определяются из системы линейных алгебраических уравнений. Окончательно получаем субоптимальный нелинейный закон управления, справедливый для всей области пространства со- стояний )...].()()([sign 2 sign 531 3 22 1 23322112 xxx x V c x bhxkxkxku i i n i                (19) 2.2. Решение задачи АКОР по неклассическому функционалу. Рассмот- рим решение задачи АКОР для неклассического функционала — критерия обоб- щенной работы А.А. Красовского. Решение задачи на заключительном этапе фор- мулируется следующим образом. Для нелинейного управляемого объекта (14) оп- тимальными в смысле минимума неклассического функционала вида dt x V bh c x kcxqJ i i n i ii n ikk                           2 3 1 2 22 1 2 2 1 2 11 0 , 4 min 21 (20) являются управления . 2 ; 2 2 3 1 2 2 21 3 1 1 2 1 x x V c bh kx x V c bh k       (21) При этом оптимальная функция Беллмана–Ляпунова )(1 xV — решение линейного уравнения в частных производных — уравнения ГЯБ .0)( 3 1 2333 3 1 323121 2 1 2 1 12 11                       ii n i xkbhxa x V xaxa x V x x V xq (22) Решение этого уравнения представляет собой квадратичную форму от переменных состояния, параметры которой определяются линейной системой алгебраических уравнений. Доказательство данного утверждения полностью аналогично предыду- щему решению задачи АКОР на первых этапах. После подстановки (21) в (19) получим закон управления, справедливый для области пространства состояний «в большом» )].()([sign 2 sign 31 3 1 23 1 2 2 1 `2 xx x V c x bhxku i i n i ii n i                  (23) 64 ISSN 0572-2691 3. Получение закона управления и моделирование замкнутой системы Используя квадратичную форму, которая является решением уравнения (22), получаем нелинейный закон управления )].()([sign 3332321312 2 221 2 213322112 xkxkxkxkxkxkxkxku  (24) Исследование динамики замкнутого контура в виде синтезированного регу- лятора (24) и нелинейного объекта управления (1) при учете электромагнитной инерционности электропривода (третье уравнение в системе (2)) выполнено мето- дом цифрового моделирования. Результаты моделирования приведены на рис. 4, 5. Переходные процессы угла )(ty при отработке начальных отклонений )0(y транспортируемого груза, находящихся в пределах рабочей зоны ,6060  y представлены на рис. 4. На этом рисунке кривая 1 получена при рад,3,0)0( y а кривая 2 — при рад.1)0( y Эти кривые позволяют сделать вывод о достаточно эффективном гашении системой колеба- ний груза. При этом длительность обоих переходных процессов не превышает пе- риода свободных колебаний груза, равного c.481,9/42/g2  lT В целях проверки работоспособно- сти синтезированной системы управле- ния в случае выхода углового положения груза за пределы рабочей зоны, а также для анализа ее субоптимальных свойств было проведено моделирование при рад.5,1)0( y Полученные переходные процессы углового положения груза )(ty и прикладываемого к тележке усилия )(tF представлены на рис. 5, а (кривые 1, 2 со- ответственно), а управляющее воздействие )(tu — на рис. 5, б. Графики показывают, что колебания груза успешно гасятся сис- темой управления. Следует отметить, что в первых двух случаях отработки начальных условий управление )(tu имело два интервала по- стоянных значений, а в третьем случае — три (рис. 5, б). В заключение целесообразно сравнить результаты моделирования синтезиро- ванной системы с субоптимальным управлением (24) и результаты моделирования достаточно близкого динамического объекта, для которого получено точное решение синтеза оптимального регулятора на основе принципа максимума [5, гл. VIII]. Прин- ципиальная основа для сопоставления этих объектов — наличие в них свойств коле- бательности. При этом различие (не столь существенное для исполняемого анализа) состоит в том, что в нашем случае управляемый объект включает консервативное звено (коэффициент затухания ),0 а в [5] — колебательное звено ).2,0(  0 1 2 3 4 – 0,5 0 0,5 1 1 2 t, с y, рад Рис. 4 –1 0 1 2 1 2 y, рад; F, кН а 0 1 2 3 4 5 6 – 1 0 1 t, с u, В б Рис. 5 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 65 При исследовании динамики на практике обычно ограничиваются рас- смотрением совокупности начальных условий, расположенных в ограничен- ной области пространства состояний, из которой изображающая точка прихо- дит в начало координат при оптимальном управлении за определенное коли- чество интервалов. Поэтому переходные процессы целесообразно сравнивать не по отработке равных начальных условий, а по количеству интервалов пе- реходного оптимального процесса и управления, при котором изображающая точка фазовой траектории достигает начала координат. Сравнительный анализ субоптимального и оптимального динамических процессов, представленных на рис. 5 и в главе VIII монографии [5], показы- вает, что в обоих случаях количество интервалов управления равно трем, а по основному показателю качества — длительности переходного процесса; ре- зультаты практически совпадают. Заключение Таким образом, сочетание двух подходов — процедуры АКОР по класси- ческому функционалу с процедурой синтеза по обобщенному критерию А.А. Кра- совского позволяет найти приближенное решение нелинейной задачи Лето- ва–Калмана в замкнутой форме для управляемых динамических систем , т.е. в предлагаемом методе на основе инвариантного погружения решение задачи нелинейной оптимизации сводится к последовательному решению линейных задач АКОР, что обеспечивает высокую вычислительную производительность метода. В.Ф. Кудін, Б.І. Приймак СУБОПТИМАЛЬНЕ НЕЛІНІЙНЕ КЕРУВАННЯ ЗА КРИТЕРІЄМ ШВИДКОДІЇ НА ОСНОВІ МЕТОДУ ІНВАРІАНТНОГО ЗАНУРЕННЯ Розглянуто загальнотеоретичну задачу синтезу субоптимального неліній- ного керування на прикладі двомасової електромеханічної системи пере- міщення кранового механізму з урахуванням гасіння коливань транспор- тованого вантажу. Задача розв’язується на базі методу Белмана–Ляпунова з використанням концепції інваріантного занурення за критерієм швидко- дії. Проведено дослідження динаміки замкнутої системи із синтезованим субоптимальним регулятором. V.F. Kudin, B.I. Pryymak SUBOPTIMAL NONLINEAR CONTROL FOR OPERATION SPEED CRITERION ON THE BASIS OF INVARIANT IMMERSION METHOD General theoretical task of suboptimal nonlinear control algorithm synthesis is under consideration. It is examined in the instance of two-mass electromechan- ical system of a crane moving mechanism considering load’s oscillations damp- ing. The task is solved on the basis of Bellman-Lyapunov method using the in- variant immersion concept for operation speed criterion. Analysis of feedback system dynamics is performed. 66 ISSN 0572-2691 1. Динамика машин и управление машинами / Под ред. Крейнина Г.В. — М. : Машинострое- ние, 1988. — 240 с. 2. Терехов В.М., Осипов О.И. Системы управления электроприводов. — М. : Академия, 2005. — 300 с. 3. Герасимяк Р.П., Параил В.А. Электроприводы крановых механизмов. — М. : Энергия, 1970. — 136 с. 4. Герасимяк Р.П. Лещев В.А. Анализ и синтез крановых электромеханических систем. — Одесса : СНИЛ, 2008. — 192 с. 5. Павлов А.А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию: метод фазового пространства. — М. : Наука, 1966. — 392 с. 6. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. — М. : Машиностроение. 1968. — 764 с. 7. Федунов Б.Е. Синтез оптимального по быстродействию управления колебательным звеном // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 3. — С. 78–84. 8. Крутько П.Д. Исследование динамики субоптимальных по быстродействию автоматиче- ских систем // Там же. — 2004. — № 2. — С. 16–33. 9. Беллман Р., Калаба Р., Сридхар Р. Анализ чувствительности и инвариантное погружение. / Чувствительность автоматических систем // Труды Международного симпозиума по чувст- вительности систем автоматического управления. — М. : Наука, 1968. 10. Булатов В.Н. Методы погружения в задачах оптимизации. — Новосибирск : Наука, 1977. — 154 с. 11. Баранов А.Ю, Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Обоснование метода погружения в вариацион- ных задачах // Автоматика и телемеханика. — 1967. — № 7. — С. 10–14. 12. Miele А. Genегаl variation theory of the light paths of rocket-powered aircraft, missiles and satel- lite carriers // Astronaut Асta. — 1958. — 4. — P. 264–288. 13. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М. : Гостехиздат, 1956. — 203 с. 14. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптималь- ные и адаптивные системы. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. 15. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. — М. : Нау- ка, 1973. — 584 с. 16. Пальтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных ав- томатических системах. — М. : Наука, 1975. — 367 с. 17. Кудин В.Ф. К вопросу построения нелинейного регулятора методом динамического про- граммирования // Автоматика. — 1968. — № 1. — С. 32–38. 18. Кудин В.Ф. Аналитическое конструирование нелинейных регуляторов с помощью метода гармонической линеаризации // Электромеханика. — 1989. — № 9. — С. 60–66. 19. Kudin V., Kolachny I. Sinthesis of suboptimal nonlinear regulator bу immersion method // Jour. Еlесtгiсаl engineering. — 1998. — 49, N 1–2. — P. 11–15. Получено 03.03.2015 После доработки 18.06.2015

Субоптимальное нелинейное управление по критерию быстродействия на основе метода инвариантного погружения

Institution

Ähnliche Einträge