К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными

Досліджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного методу, заснованого на методі простої ітерації, до розв’язування задачі чисельного диференціювання дискретного часового ряду, в тому числі задачі відшукання найменшої допустимої кількості елементів часового ряду для отримання значень його п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Киселева, Е.М., Гарт, Л.Л., Довгай, П.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208049
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными / Е.М. Киселева, Л.Л. Гарт, П.А. Довгай // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 89-104. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208049
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080492025-10-19T00:04:29Z К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными До питання про чисельне моделювання похідної дискретного часового ряду з наближеними даними On a problem of numerical simulating the derivative of descrete time series with approximate values Киселева, Е.М. Гарт, Л.Л. Довгай, П.А. Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Досліджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного методу, заснованого на методі простої ітерації, до розв’язування задачі чисельного диференціювання дискретного часового ряду, в тому числі задачі відшукання найменшої допустимої кількості елементів часового ряду для отримання значень його похідної першого порядку з заданою точністю обчислень. Сформульовано теорему про збіжність проекцiйно-iтерацiйного методу, отримано оцiнку похибки. Розроблено програмний продукт, що дозволяє моделювати розв’язок задачі чисельного диференціювання, проведено порiвняльний аналiз запропонованого методу та обчислювальної схеми проекційного типу на прикладі розв’язання задачі диференціювання певного класу функцій. The problem of applying the projection-iteration method based on the simple iteration method to solving the numerical differentiation problem is investigated including the problem of finding a least admissible number of discrete time series elements for obtaining the time series derivative of the first order values with a given precision. The theorem of projection-iteration method convergence is formulated, the error estimate is obtained. The program simulating the numerical differentiation problem’s solution is worked out, the comparative analysis of the suggested method and a computational scheme of projection type is carried out for example of differentiation problem solving of determined class of functions. 2015 Article К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными / Е.М. Киселева, Л.Л. Гарт, П.А. Довгай // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 89-104. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208049 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i12.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
spellingShingle	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Методы управления и оценивания в условиях неопределенности Киселева, Е.М. Гарт, Л.Л. Довгай, П.А. К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными Проблемы управления и информатики
description	Досліджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного методу, заснованого на методі простої ітерації, до розв’язування задачі чисельного диференціювання дискретного часового ряду, в тому числі задачі відшукання найменшої допустимої кількості елементів часового ряду для отримання значень його похідної першого порядку з заданою точністю обчислень. Сформульовано теорему про збіжність проекцiйно-iтерацiйного методу, отримано оцiнку похибки. Розроблено програмний продукт, що дозволяє моделювати розв’язок задачі чисельного диференціювання, проведено порiвняльний аналiз запропонованого методу та обчислювальної схеми проекційного типу на прикладі розв’язання задачі диференціювання певного класу функцій.
format	Article
author	Киселева, Е.М. Гарт, Л.Л. Довгай, П.А.
author_facet	Киселева, Е.М. Гарт, Л.Л. Довгай, П.А.
author_sort	Киселева, Е.М.
title	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
title_short	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
title_full	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
title_fullStr	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
title_full_unstemmed	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
title_sort	к вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методы управления и оценивания в условиях неопределенности
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208049
citation_txt	К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными / Е.М. Киселева, Л.Л. Гарт, П.А. Довгай // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 6. — С. 89-104. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kiselevaem kvoprosuočislennommodelirovaniiproizvodnojdiskretnogovremennogorâdaspribližennymidannymi AT gartll kvoprosuočislennommodelirovaniiproizvodnojdiskretnogovremennogorâdaspribližennymidannymi AT dovgajpa kvoprosuočislennommodelirovaniiproizvodnojdiskretnogovremennogorâdaspribližennymidannymi AT kiselevaem dopitannâpročiselʹnemodelûvannâpohídnoídiskretnogočasovogorâduznabliženimidanimi AT gartll dopitannâpročiselʹnemodelûvannâpohídnoídiskretnogočasovogorâduznabliženimidanimi AT dovgajpa dopitannâpročiselʹnemodelûvannâpohídnoídiskretnogočasovogorâduznabliženimidanimi AT kiselevaem onaproblemofnumericalsimulatingthederivativeofdescretetimeserieswithapproximatevalues AT gartll onaproblemofnumericalsimulatingthederivativeofdescretetimeserieswithapproximatevalues AT dovgajpa onaproblemofnumericalsimulatingthederivativeofdescretetimeserieswithapproximatevalues
first_indexed	2025-10-19T01:09:50Z
last_indexed	2025-10-20T01:12:49Z
_version_	1846461354260561920
fulltext	© Е.М. КИСЕЛЕВА, Л.Л. ГАРТ, П.А. ДОВГАЙ, 2015 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 89 МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УДК 519.6 Е.М. Киселева, Л.Л. Гарт, П.А. Довгай К ВОПРОСУ О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОИЗВОДНОЙ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ Введение Задача численного дифференцирования, как известно, состоит в приближен- ном вычислении производной функции по заданным значениям этой функции в некотором конечном наборе точек ее области определения. Решение задачи чис- ленного дифференцирования имеет большое значение при обработке результатов измерений параметров движущихся объектов, в геологии при обработке измере- ний, в экологии при решении обратных задач, в численных методах решения ска- лярных уравнений, когда функция, входящая в уравнение, задана таблично или является слишком сложной для аналитического дифференцирования и многих других задачах. В основе численного дифференцирования лежат различные идеи. Первая со- стоит в том, чтобы доопределить (восстановить) таблично заданную функцию до функции непрерывного аргумента, к которой уже применима обычная операция дифференцирования. При реализации такого подхода полезной оказывается тео- рия интерполирования [1]. В частности, таблично заданную функцию можно за- менить ее интерполяционным полиномом и его производные считать производ- ными рассматриваемой функции. Для этой процедуры подходит также интерпо- ляция сплайнами или другими функциями. Другим подходом к получению формул численного дифференцирования является метод неопределенных коэф- фициентов, конструктивно более простой и особенно удобный в многомерном случае, когда построение интерполяционного полинома становится непростым. Пусть задан набор узлов Mttt ...,,, 10 на отрезке ],,[ ba которые образуют сет- ку с шагом ,1 iii tt где , 2,..., 1, Mi  0M — заданное число. Пусть из- вестны значения Mххх ...,, , 10 функции )(tx такие, что ),( ii txx  ,,0 Mi  т.е. задан дискретный временной ряд. Напомним, что временным рядом называется последовательность значений функции )(tx в моменты времени ], ,[ bat други- ми словами, множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Если ошибки измерений и возмущения, действующие на систему, не учиты- ваются, то говорят о задачах детерминированного наблюдения и анализа дан- ных. В противном случае возникают различные задачи нахождения производ- ных при наличии ошибок измерений или задачи анализа данных при неполной информации [2]. 90 ISSN 0572-2691 Задача численного дифференцирования временных рядов, допускающих ап- проксимацию полиномиальными многочленами, исследовалась многими автора- ми. В работе [3], в частности, предлагается строить интерполяционный многочлен )(tPm по )1( m узлам )( Mm  так, чтобы соблюдалось приближенное равенст- во ),()( tPtx m ], ,[ bat и значение k-й производной интерполяционного много- члена )(tPm принимать за приближенное значение k-й производной функции ),(tx т.е. ),()( )()( tPtx k m k  ], ,[ bat .mk  Для случая равноотстоящих узлов с шагом ,1 ii tt ,,1 Mi  интерполяционный многочлен задается формулой Ньютона: ),( ! )( )( 1- 0 0 0 j i j i im i m tt i tx tP       ], ,[ bat где )( 0 txi — конечная разность i-го порядка от функции )(tx в точке 0tt  [3]. При этом показано, что k-я производная такого интерполяционного многочлена в точке 0tt  равна ),( ! ! )( 0 )( 0 )( tx i Sk tP i k i m ki k k m      ], ,[ bat ,mk  где )(k iS — целые числа, называемые числами Стирлинга первого рода. Анало- гичными выражениями записываются соответствующие производные интерполя- ционного многочлена для любого узла ,jt .,0 Mj  Недостатком такого подхода является необходимость вычисления конечных разностей от k-го до m-го поряд- ков. Операция вычисления конечных разностей высокого порядка сопровождает- ся значительными ошибками округления. Эти ошибки существенно возрастают, если временной ряд содержит случайные ошибки измерений. Посредством дифференцирования интерполяционных формул выводятся формулы для приближенного вычисления производных различного порядка точ- ности, наиболее распространенные из которых можно найти, например, в рабо- тах [1, 3, 4]. В [5] ставится задача об отыскании устойчивых относительно ошибок округ- ления формул численного дифференцирования вида ),()()( 0 1 1 ijim m i ijim m i j txtxtx         ,Mjm  где imim   , — некоторые числовые коэффициенты. Такая задача возникает, когда приходится вычислять значения производной на основании дискретно по- ступающей информации о значениях функции. Показана устойчивость формул при любом Mm  и указан наиболее высокий порядок аппроксимации без учета случайных ошибок измерений. В настоящее время методы численного дифференцирования детерминиро- ванных временных рядов исследованы достаточно полно. Существенно меньше внимания по сравнению с детерминированным случаем уделяется решению зада- чи численного дифференцирования временных рядов, содержащих случайные ошибки измерений. Наиболее значимыми в этом направлении являются работы, позволяющие получить решение такой задачи с помощью аппроксимации экспе- риментальных данных кубическими сплайнами с последующим аналитическим Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 91 дифференцированием соответствующей кривой, а также работы, посвященные диф- ференцированию случайных процессов. Следует особо отметить важность работ по развитию методов регуляризации для задачи дифференцирования, некоррект- ность которой приводит к малой точности расчетных формул из-за погрешности исходных данных. Операция дифференцирования , dt d L  , )()( lim)( )( 0 t txttx tx dt tdx Lx t      как известно, неустойчива к возмущениям исходных данных, что приводит к су- щественным трудностям при отыскании производной )(tx от функции ),(tx за- данной с некоторой погрешностью [6]. Если функция )(tx задана своим -при- ближением )(tx в некотором нормированном функциональном пространстве Y и оператор дифференцирования L действует из Y в нормированное пространство ,X то для обеспечения устойчивости решения вводится регуляризующий операцию L оператор R такой, что для любой функции )(tx с условием   Y xx будет 0 X LxxR при .0 Другими словами, точное решение задачи диффе- ренцирования заменяется регуляризованным приближенным решением, которое стремится к точному при отсутствии погрешностей измерений (подробнее о раз- личных вариантах стабилизации решения см. в [6, 7]). На практике регуляризация обычно сводится либо к сглаживанию исходных данных в физическом простран- стве, либо к подавлению высоких частот в спектре измеренных данных. Еще один подход к решению задачи дифференцирования может быть осно- ван на том, что она является частным случаем задач решения интегральных урав- нений первого рода, поскольку ),()()( i t t txtxdssx i   ], ,[ bat (1) для любого узла ,it .,0 Mi  Поэтому для ее решения могут применяться многие общие методы решения некорректно поставленных задач [6–9]. Значительная часть некорректных задач, в том числе и задача (1), может быть представлена в виде операторного уравнения первого рода fAu  (2) с заданным оператором A, действующим из X в Y (X, Y — метрические простран- ства, в отдельных случаях банаховы или гильбертовы), и элементом .Yf  Особое место среди методов решения некорректных задач занимают итерацион- ные методы. В 30-е годы прошлого века в работах Т. Карлемана (Т. Carleman), Г.М. Голузина и В.И. Крылова были предложены первые методы приближений, даю- щие в пределе точные решения уравнения (2), если данные (оператор A и правая часть )f заданы точно. В работе [8] М.М. Лаврентьев обосновал сходимость ме- тода последовательных приближений при приближенной правой части линейных уравнений и распространил полученные результаты на случай нелинейных уравнений. Различные схемы итерационных методов, предложенные В.Н. Страховым, М.А. Крас- носельским, Г.М. Вайникко и П.П. Забрейко, А.С. Апарциным, В.К. Ивановым, М.М. Лаврентьевым, В. Липфертом (W. Lipfert), А.Б. Бакушинским и А.В. Гончар- ским, В.А. Морозовым, В.В. Васиным и другими авторами, применялись для ре- шения многих некорректных задач в банаховых и гильбертовых пространствах. Метод простой итерации при приближенно заданных правой части и операторе изучался в работах А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича [10]. 92 ISSN 0572-2691 Большинство перечисленных работ посвящено априорному выбору числа итераций k. Это означает, что в предположении об истокопредставимости ,zAu p ,0p ,Xz точного решения уравнения (2) находится оценка по- грешности метода, которая затем оптимизируется по k, т.е. определяется такое число итераций ,optk при котором эта оценка минимальна. В отсутствие сведений об истокопредставимости точного решения итерационные методы решения не- корректных задач также можно сделать вполне эффективными, если воспользо- ваться правилами останова по невязке или по поправке. Апостериорный выбор числа итераций для метода простой итерации впервые был предложен И.В. Еме- линым и М.А. Красносельским [11] и в дальнейшем получил развитие в работах Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенникова, В.Ф. Савчука. Они обосновали возможность применения правил останова по невязке и по соседним приближениям для раз- личных схем методов итераций, явных и неявных, которые превращают предло- женные итеративные методы в регуляризующие алгоритмы для задачи (2), не тре- буя при этом знания истокопредставимости точного решения, а в случае истоко- представимости обеспечивают оптимальную в классе скорость сходимости. Помимо итерационных методов для приближенного решения некорректных задач широко применяются проекционные методы, позволяющие (по Л.В. Канто- ровичу [12]) уравнение (2), рассматриваемое в каком-то сложном пространстве, заменить приближенным уравнением, заданным в более простом пространстве, и принять точное решение приближенного уравнения в качестве приближения к решению исходного уравнения. Установлению критериев сходимости, исследова- нию скорости сходимости, получению оценок погрешности, изучению устойчиво- сти вычислительных схем и различным приложениям проекционных методов по- священы фундаментальные работы С.Г. Михлина, Л.В. Канторовича, Н.И. Поль- ского, М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, В.В. Иванова, В.В. Петришина, а также работы Ю.И. Грибанова, Б.Г. Габдулхаева, А.Ю. Лучки, С.Д. Балашовой и других авторов. При этом привлечение идей функционального анализа дало возможность выработать единый подход к решению самых разнооб- разных задач, поскольку различные конкретные виды уравнений представляют собой частные случаи некоторого операторного уравнения, а также теоретически обосновать исследуемые методы. Несмотря на широкую область применения, проекционные методы имеют свои недостатки. Хотя приближенные уравнения и проще исходного, тем не ме- нее, получение их точных решений практически затруднительно, а иногда просто нецелесообразно (из-за погрешностей задания исходных данных). Сложен также вопрос о выборе порядка приближенного уравнения, который обеспечил бы полу- чение решения с заданной точностью. Если решение приближенного уравнения некоторого порядка n не удовлетворяет поставленным требованиям, то приходит- ся решать уравнение более высокого порядка, никак не используя при этом ре- зультат, полученный на предыдущем шаге. Попытки устранения перечисленных недостатков привели к возникновению группы методов под названием проекционно-итерационные, которые основаны на возможности применения итерационных методов для приближенного решения приближенных уравнений. Так, согласно идее С.Д. Балашовой [13], реализован- ной для корректно поставленных задач, для каждого из приближенных уравнений (n-го уравнения) следует находить итерационным методом лишь несколько )( nk приближений, последнее из которых полагать равным начальному приближению к решению следующего )1( n -го уравнения. Такой подход естественно устраняет трудности, возникающие при решении исходного уравнения обычным проекци- онным методом. Кроме того, применение итерационных методов не к исходному Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 93 уравнению, а к более простым приближенным уравнениям позволяет наиболее просто строить последовательность приближений к решению, а также облегчает задачу о выборе начального приближения. В данной работе в рамках общей методологии [13] впервые исследована воз- можность применения проекционно-итерационного метода, основанного на мето- де простой итерации, к решению задачи дифференцирования в форме (1) с при- ближенными данными. Показана теоретическая и практическая сходимость про- екционно-итерационного метода, программно реализованного для задачи (1), а также возможность численного моделирования производной дискретного вре- менного ряда с любой наперед заданной точностью вычислений за счет соответ- ствующего количества членов временного ряда. Постановка задачи Пусть функция )(tx определена и дифференцируема на ]. ,[ ba Задача А. Пусть известны значения ),( ii txx  ,,0 Mi  в узлах равномер- ной сетки },0, ,:] ,[{ Miiatbat ii  , M ab   0.M Требуется вычислить значение )( jtx производной первого порядка функции )(tx в точке ,jt используя значения этой функции в некотором наборе точек из . А именно, найти такую функцию ) ...,, ,( 1 mjjj xxx  и такое наименьшее из чи- сел ,1m для которых будет выполняться неравенство ,) ...,, ,()( 1   mjjjj xxxtx где 0 — наперед заданное малое число, jt ).( Mjm  Для задачи А в работе [14] на основе метода неопределенных коэффициен- тов, дающего линейное представление для зависимости ), ...,, ,( 1 mjjj xxx  ис- следован вопрос о нахождении наименьшего допустимого количества элементов детерминированного временного ряда , ...,, , 10 Mххх обеспечивающего заданную точность вычислений значений его первой производной; разработан программный продукт, позволяющий на классе гладких функций моделировать соответствую- щую погрешность численного дифференцирования; проведен анализ предложен- ной методики на примере решения конкретной задачи. В работе [14] рассмотрен лишь один из источников погрешности численного дифференцирования — погрешность аппроксимации, которая определяется вели- чиной остаточного члена. Другой источник погрешности численного дифферен- цирования связан с погрешностями исходных данных и с погрешностями округ- лений при проведении расчетов на компьютере. Обусловленные этими причинами погрешности, в отличие от погрешности аппроксимации, возрастают с уменьше- нием шага  . В связи с этим актуальным представляется вопрос разработки но- вых эффективных методов и алгоритмов численного дифференцирования, осно- ванных на идее регуляризации. Задача В. Пусть вместо точных значений ),( ii txx  ,,0 Mi  заданы при- ближенные значения iii xx ˆ функции )(tx на сетке  и пусть известна гра- ница  погрешностей этих данных, т.е. ,i ,,0 Mi  так, что ,ˆ  ii xx .,0 Mi  (3) 94 ISSN 0572-2691 Требуется найти такую функцию  и такое наименьшее из чисел ,1m для ко- торых будет выполняться неравенство ,)ˆ ...,,ˆ ,ˆ()( 1   mjjjj xxxtx (4) где ),( jt ).( Mjm  Цель данной работы — исследование применения проекционно-итерацион- ного метода, основанного на методе простой итерации, к решению задачи чис- ленного дифференцирования дискретного временного ряда с приближенными данными, в том числе задачи отыскания наименьшего допустимого количества элементов ряда для получения значений его производной первого порядка с за- данной точностью вычислений. Проекционный метод Пусть задано уравнение fAu  (5) с линейным ограниченным оператором A, действующим в гильбертовом про- странстве H со скалярным произведением Hvu ) ,( произвольных элементов Hvu  , и порождаемой им нормой . ,) ,( Huuuu HH  Предположим, что обратный оператор 1A существует, но не является ограниченным в ,H т.е. не выполняется третье условие корректности задачи по Адамару (устойчивость) [6]. Обозначим Hu * точное решение уравнения (5). Наряду с уравнением (5) рассмотрим последовательность приближенных уравнений , ~~ ~ nnn fuA  ...2, 1,n , (6) где nA ~ — линейный ограниченный оператор, действующий в конечномерном гильбертовом пространстве nH ~ со скалярным произведением nHnn vu ~)~ ,~( и нор- мой ,)~ ,~(~ ~~ nn HnnHn uuu  , ~~ ,~ nnn Hvu  изоморфном подпространству nH ис- ходного пространства H ,......( 21 HHHH n  ).1 H Пусть n — линейный оператор, ставящий во взаимно-однозначное соот- ветствие каждому элементу nn Hu  элемент ; ~~ nn Hu  1n — оператор, осуще- ствляющий обратное отображение. Введем также оператор ,n являющийся расширением оператора n на все пространство .H В роли n может высту- пать, например, оператор ,nnn P где nP — оператор ортогонального проек- тирования H на nH ).1 , ,( 2  nnnnn PPPPP Не ограничивая общности, бу- дем считать, что пространства nH и nH ~ изометричны, откуда следует, что .11   nn (При указанном выборе оператора n выполняется также ус- ловие .)1n В противном случае в пространствах nH ~ можно ввести новую метрику, обеспечивающую указанную изометричность [13]. Заметим, что если , ~ ff nn  то от уравнения (6) легко перейти к уравнению ,nnn f uA  ...2, 1,n , заданному в подпространстве ,HHn  и наоборот, при этом , ~1 nnnn AA   .fPf nn  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 95 Введенные пространства и операторы при каждом натуральном Nn свя- жем условиями близости: — для любого nn Hu ~~  ;~ ~ ~ ~~ ~~ 1 nn HnnHnnnnn uuAuA   (7) — для любого nn Hu ~~  существует элемент nn Hz ~~  такой, что ;~ ~ z~~ ~~ 11 nn HnnHnnnn uuA   (8) — для любого Hf  ,~ 1 HnHnn fff  (9) где ,~ n , ~ n n ~ — положительные числа, не зависящие от nn Hu ~~  и Hf  со- ответственно, причем ,0~ n ,0 ~ n 0~ n при n . Обозначим 0}:{Ker  AuHuA подпространство нулей оператора ,A AHH Ker\ — фактор-пространство пространства H по подпространству AKer нулей оператора ,A а A — линейный оператор из H в ,H индуцированный оператором A в фактор-пространстве H [12]. Теорема 1 (о сходимости проекционного метода). Пусть уравнение (5) раз- решимо при любой правой части Hf  и выполнены условия близости (7)–(9). Тогда при всех ,1 Nn удовлетворяющих неравенству ,1) ~~(~ 1   nnnn PEA (10) приближенное уравнение (6) также разрешимо при любой правой части nn Hf ~~  и последовательность ,}~{ 1    Nnnn u где nn Hu ~~*  — точное решение уравнения (6), сходится к точному решению Hu * уравнения (5) по норме пространства H с оценкой погрешности ,~~1 nHnn uu  ,Nn  (11) где ); ~~~(~ 2~ 11 nnnnHnnn PEOuAfA   E — единичный оператор в ,H ,: HYPE n  }. ~~ ,~, ~~:{ 11 nnnnnnn HfufuAyHyY   Если к тому же, начиная с некоторого номера ,0 NNn  выполнено условие ,~ 1 nHnn uu  (12) где 0 ~ n при  n , то справедлива оценка ,~~ ~ ~ * nnHnn n uu  .0Nn  (13) Доказательство теоремы проводится с использованием теоремы 1 из [15]. Предположим теперь, что исходные данные задачи (5) заданы с погрешно- стью , т.е. вместо правой части Hf  нам известно Hf  такое, что .  H ff (14) Требуется по Hf  построить приближенное решение Hu  уравнения (5), удовлетворяющее условию uu  при .0 96 ISSN 0572-2691 Для приближенного решения задачи (5) при условии (14) аппроксимируем уравнение  fAu (15) так же, как и раньше, последовательностью приближенных уравнений ),( ~~~  nnn fuA ,Nn  (16) где nA ~ — линейный ограниченный оператор в пространстве , ~ nH .)( ~  ff nn Из определения оператора nnn P вытекает, что отклонение правых частей приближенных уравнений (6) и (16) в смысле нормы пространства nH ~ не превос- ходит погрешности  задания правой части уравнения (5): , )( ~~ H ~   HnnnHnn ffffff n .Nn  (17) По теореме 1 из разрешимости уравнения (5) при любой правой части и вы- полнимости условий (7)–(9) следует разрешимость каждого из приближенных уравнений (16) для всех ,Nn  удовлетворяющих неравенству (10), причем по- следовательность ,)}(~{ 1     Nnnn u где nn Hu ~ )(~*  — точное решение прибли- женного уравнения (16), сходится к точному решению Hu  * уравнения (15) с оценкой погрешности ,)(~ 2)(~)(~ 111       nnnnn uAfAuu .Nn  Проекционно-итерационный метод Предположим, что каждый из линейных операторов nA ~ положителен (а значит, самосопряжен) в nH ~ и область его определения ) ~ ( nAD плотна в . ~ nH Некоррект- ность приближенных уравнений (16) связана с тем, что собственные значения опера- тора , ~ nA упорядоченные по убыванию ( ,0 ~ ... ~ ~ ( )(i(2)(1) n  nnn ), ~ dim nn Hi  стремятся к нулю. Будем считать, что соответствующая система собственных функ- ций ), ~ (}~{ (i) nn AD , ...,2, ,1 nii  оператора nA ~ ортонормированна и полна в , ~ nH так что для любого элемента nn Hv ~~  справедливо разложение ,~~~ )()( 1 i n i n i i n Cv n   где nH i nn i n vC ~)()( )~ ,~( ~  — коэффициенты Фурье элемента .~ nv Для решения каждого из приближенных уравнений (16) будем применять яв- ный двухслойный итерационный метод (метод простой итерации) )),( ~~ ~ (~~~ )()()1(  n k nnn k n k n fuAuu ...,1 ,0k , ,Nn  (18) где n k n k n Huu ~ )(~~ )()(  — k-е итерационное приближение к точному решению nn Hu ~ )(~  уравнения (16), 0~ n — итерационный параметр, постоянный при данном n. Если в приближенном уравнении (16) оператор nA ~ не является самосопря- женным и положительным, то можно провести предварительную симметризацию по Гауссу и применить итерационный метод к симметризованному уравнению )( ~~~~~ **  nnnnn fAuAA c положительным в nH ~ линейным оператором , ~~* nn AA где ~ nA — сопряженный оператор по отношению к . ~ nA Соответствующую итерационную формулу Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 97 )),( ~~~ ~~ (~~~ )()()1(  nn k nnnn k n k n fAuAAuu ...,1 ,0k , ,Nn  (19) в зависимости от контекста можно интерпретировать как итерационный метод решения вариационной задачи минимизации функционала невязки )~( nn uJ .)( ~~~ 2 ~ nHnnn fuA  Как известно [10], итерационный метод (18) для уравнения (16) сходится в nH ~ при , ~ /2~0 )1( nn  (20) где 0 ~(1) n — наибольшее собственное значение оператора , ~ nA однако из-за близости к нулю нижней границы спектра оператора nA ~ сложно конкретизиро- вать скорость такой сходимости. Кроме того, при итерационном решении каждого из уравнений (16) с учетом неточного задания правой части (оценка (17)) следует выбирать условие окончания итераций, согласуясь с уровнем этой погрешности, т.е. продолжать итерации до некоторого номера ).(k Рассмотрим проекционно-итерационный принцип решения задачи (5) при ус- ловии (14), основанный на применении к решению каждого из приближенных уравнений (16) итерационного метода (18), (20). Построив с помощью этого мето- да для n-го приближенного уравнения лишь несколько приближений , ~~ )( n k n Hu  nkk ...,2, ,1 ))((  kkn и взяв последнее из них за начальное приближение в итерационном процессе для следующего, 1)( n -го уравнения, получим последо- вательность    Nn k nn nu }~{ )(1 приближений к решению Hu  уравнения (5), оп- ределяемую формулами )),( ~~ ~ (~~~ )()()1(  n k nnn k n k n fuAuu ;1...,1,,0  nkk (21) ,~~ )(1 1 (0) 1 nk nnnn uu    ;Nn  . ~~(0) NN Hu  Здесь n k n k n Huu ~ )(~~ )()(  для всех , ...,1, ,0 nkk  ), ~ /2 ,0(~ (1) nn  .Nn  Достаточные условия сходимости последовательности    Nn k nn nu }~{ )(1 к u в H устанавливает следующая теорема. Теорема 2 (о сходимости проекционно-итерационного метода). Пусть вы- полнены условия теоремы 1 и в проекционно-итерационном методе (20), (21) при каждом Nn  число итераций удовлетворяет условию ),( kkn причем 0)( k при .0 Тогда последовательность ,}~{ )(1    Nn k nn nu определяемая по формулам (20), (21), сходится в H к решению u задачи (5) при условии (14), если ,0 и справедлива оценка погрешности ),(~ )(~ )(1  nH k nn uu n ,Nn  (22) где ;~~)(~~ ~)(~ ~ )0( nnnnHNnn kz N   ,~~ jk j n Nj n q   ,~)~~~(~ 1 1 1 jk j n ij iiii n Ni n qk        ,1 ~~~~0  jjjj AEq jE ~ — единичный оператор в , ~ jH ,~~~ (0)(0) NNN uuz  n ~ дается в (11). 98 ISSN 0572-2691 Если к тому же, начиная с некоторого номера ,0 NNn  выполнено усло- вие (12), то справедлива оценка ,~)(~)(~ ~ )( nnHn k n n n uu  .0Nn  (23) Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоре- мы 2 из [15]. При изучении факта сходимости проекционно-итерационного метода следу- ет, что сходимость последовательности     Nn k nn nu )}(~{ )(1 к ,u если ,0 имеет место при произвольном выборе чисел ,nk в частности, все числа nk могут быть равными 1. Следует, однако, иметь в виду, что с возрастанием n увеличива- ется объем вычислительной работы, необходимой для нахождения очередного приближения. Поэтому нужно стремиться к тому, чтобы за счет подходящего вы- бора nk по возможности максимально приблизиться к искомому решению при данном n и только после этого переходить к уравнению более высокой размерно- сти. С другой стороны, не следует выбирать число nk при данном n слишком большим, поскольку, начиная с некоторого момента, увеличение этого числа не приводит к существенному улучшению (по отношению к решению u исходного уравнения) очередных приближений. Таким образом, возникает вопрос о целесо- образном выборе чисел nk ),( Nn  ответ на который в общем случае затрудни- телен, однако могут быть даны некоторые рекомендации [15]. Оценка (22), в ча- стности, показывает, что в случае применения проекционно-итерационного мето- да (20), (21) к решению задачи (5) при условии (14) в качестве параметра регуляризации выступает число итераций ,nk которое следует согласовывать как с погрешностью  в задании правой части, так и с погрешностью n проекцион- ного метода. Отметим также, что метод простой итерации (18), (20) для решения некор- ректных уравнений (17), когда отношение )((1) ~ / ~ ni nn  наибольшего и наименьшего собственных значений оператора nA ~ велико, является медленно сходящимся ме- тодом. Проекционно-итерационный подход позволяет ускорить сходимость про- цесса итерационных приближений к решению задачи (5) при условии (14) и тем самым уменьшить количество вычислительных затрат, так как значительная часть этих приближений строится для приближенных уравнений (16) невысокой раз- мерности при неизменной погрешности  их правых частей. Кроме того, уско- рить сходимость итерационных процессов при решении приближенных уравне- ний (16) можно, во-первых, за счет применения неявных итерационных методов и, во-вторых, оставаясь в классе явных методов, за счет выбора итерационного параметра ,~ n зависящего от номера итерации. Используются также неявные итерационные методы с переменными итерационными параметрами. Проекционно-итерационный принцип решения задачи дифференцирования Рассмотрим вопрос применения проекционно-итерационного подхода к ре- шению задачи о нахождении производной )()( txtu  для непрерывно-дифферен- цируемой функции ),(tx заданной на отрезке ] ,[ ba своим  -приближением ).(ˆ tx Эта задача с учетом (1) может быть сведена к задаче решения линейного инте- грального уравнения Вольтерра первого рода Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 99 ),(ˆ)(ˆ)( j t t txtxdssu j  ], ,[ bat (24) при обобщающем (3) условии ,)(ˆ)( max ],[   txtx bat где  — заданный уровень погрешности исходных данных, ], ,[ bat j   .,0 Mj  На основании теоре- мы 3.18.5 книги [16] решение уравнения (24) существует и единственно. На уравнение (24) с приближенной правой частью можно смотреть как на опера- торное уравнение (15) при условии (14) ,)(( dssuAu t t j  ,ˆˆ jxxf  ),(ˆˆ jj txx  ),2 ab  заданное в гильбертовом пространстве ],,[2 baLH  с линейным ограниченным компактным в H оператором ,A для которого обратный опера- тор 1A существует, но является неограниченным [16]. Следуя постановке задачи В, рассмотрим частный случай уравнения (24): ),(ˆ)(ˆ)( j t t txtxdssu j  ], ,[ jmj ttt  (25) где ], ,[] ,[ batt jmj  ;1 Mjm  ,it .,0 Mi  Дискретизируем уравнение (25) на промежутке ] ,[] ,[ batt jmj  при фикси- рованных значениях j и m из указанного диапазона с помощью метода квадра- тур. Для этого запишем уравнение (25) в узлах ], ,[ jmji ttt  , , jmji  равно- мерной сетки : ),(ˆ)(ˆ)( ji t t txtxdssu i j  , , jmji  и после замены полученного интеграла с помощью той или иной квадратурной формулы придем к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ,ˆˆ)( 0 pjji p i p i xxuB    ,,0 mp  (26) где , )( p iB ,,0 pi  ,,0 mp  — квадратурные коэффициенты; ),( ii suu  ,,0 mi  — приближенные значения искомой функции )()( txtu  в квадратурных узлах ,  its mji .,0 mi  Особенность СЛАУ (26), имеющей треугольную матрицу коэффициентов, состоит в невозможности непосредственного определения значения ),(0 mjtxu   поскольку при jtt  интеграл в уравнении (25) равен нулю. Преодолеть это затруд- нение можно, если воспользоваться конечно-разностным отношением  )( mjtx ,/)ˆˆ( 1   mjmj xx имеющим с учетом (3) суммарную погрешность аппрокси- мации и округлений, не превосходящую  /2)(O . Тогда, заменив в системе (26) первое уравнение (при )0p уравнением ,ˆˆ 10 mjmj xxu   (27) обладающим погрешностью порядка ,2)( 2 O приходим к замкнутой СЛАУ, позволяющей последовательно определить искомые приближенные значения ,)(   itxu mji  ,,0 mi  по рекуррентным формулам. 100 ISSN 0572-2691 Метод квадратур сведения интегрального уравнения (25) к конечной системе уравнений (27), (26) с mp ,1 является по существу методом проекционного ти- па. В самом деле, на указанную систему при условии (3) и при фиксированном nmm  ...,2 ,1( n ) можно смотреть как на «приближенное» операторное урав- нение (16) при условии (17), заданное в конечномерном гильбертовом про- странстве 1~   nm n RH векторов )...,, ,(~ 10 nmn uuuu  cо скалярным произведе- нием    ii m i Hnn vuvu n n 0 ~)~ ,~( и нормой ,~ 2 0 ~    i m i Hn uu n n в котором , 0 00 ~ )()( 1 )( 0 )1( 1 )1( 0                     n n nn m m mm n BBB BB A     . ˆˆ ˆˆ ˆˆ )( ~ 1 1                        n nn mjj jj mjmj n xx xx xx f  (28) Подпространства ], ,[2 baLHn  изоморфные пространствам , ~ nH можно выби- рать различными для различных квадратурных формул. В случае квадратурной формулы прямоугольников в качестве nH разумно выбрать подпространство сту- пенчатых функций ),(tun постоянных на каждом из элементарных промежутков :] ,[) ,[ 1 bass ii  ),( )( 0 tutu ii m i n n    ], ,[ bat (29) где )(ti — характеристическая функция промежутка ), ,[ 1ii ss   its nmji , . ,0 nmi  Функция (29), очевидно, принимает в каждом узле ist  значение ,iu . ,0 nmi  Тем самым определено отображение n подпространства nH на , ~ nH которое каждой ступенчатой функции nn Htu )( вида (29) ставит в соответствие вектор nmn Huuuu n ~ )...,,,(~ 10  ее значений в узлах ,is , ,0 nmi  отрезка ]. ,[ ba Оператор nnn HH  ~ :1 осуществляет обратное отображение и позволяет полу- чить на ] ,[ ba кусочно-постоянное восполнение вида (29) для таблицы значений . ...,, , 10 nmuuu Что касается оператора , : nn HH  то он каждой функции ],[)( 2 baLtu  ставит в соответствие вектор ))( ...,),( ),((~ 10 nmn sususuu  ее значе- ний в узлах nmsss ...,, , 10 отрезка ]. ,[ ba Тогда оператор nnnP  1 ортогональ- ного проектирования H на подпространство ,nH очевидно, любую функцию ],[)( 2 baLtu  переводит в функцию )(tun вида (29). Легко видеть, что простран- ства nH и nH ~ изометричны:    dttudttuu ii m i b a n b a baLn n )()( 2 0 22 ],[2 .~1 )( 2 ~ 2 0 2 0 2 0 1 n ni i nn Hni m i s s i m i i b a i m i uudtudttu     Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 101 Так же, как в работе [17], можно показать выполнимость условий теоремы 1, гарантирующих сходимость проекционного метода решения интегрального урав- нения (25). Поскольку точное решение СЛАУ (16), (28) в условиях приближенно задан- ной правой части на практике нецелесообразно и, более того, в силу неустойчиво- сти решения поиск его нуждается в подключении процедуры регуляризации, бу- дем применять к решению такой СЛАУ метод простой итерации (19) с итераци- онным параметром . ~ /2~0 2 nn A При этом для нахождения наименьшего из чисел nm ),1( Mjmn  позволяющего в соответствии с постановкой задачи В получить приближенное значение )( jm txu n  с точностью ),( О воспользу- емся проекционно-итерационным принципом решения этой задачи. Аппроксимируем интегральное уравнение (25) при условии (3) последователь- ностью конечных систем (16), (28) так, что ,11 m ,11  nn mm ,Mjmn  .1n Для каждой n-й такой системы будем находить итерационным методом (19) лишь несколько )( nk приближений , ~~ )( n k n Hu  , ...,2, ,1 nkk  последнее из кото- рых с помощью кусочно-постоянного восполнения (29) будем полагать равным начальному приближению в итерационном процессе для следующей, )1( n -й системы: )),( ~~~ ~~ (~~~ )(*)()1(  nn k nnnn k n k n fAuAAuu ;1...,1,,0  nkk (30) ,~~ )(1 1 (0) 1 nk nnnn uu    ;1n ; ~~ 1 (0) 1 Hu  ). ~ /2 ,0(~ 2 nn A Обоснование сходимости в ],[2 baL последовательности приближений },~{ )(1 nk nn u а также оценку погрешности метода (30) можно получить с исполь- зованием теоремы 2. В частности, из оценки (23), факта поточечной сходимости в 1~   nm n RH векторной последовательности },~{ )(k nu ) ...,, ,(~ )()( 1 )( 0 )( k m kkk n n uuuu  и эквивалентности норм в nH ~ вытекает равносильное (4) неравенство ,)( )(  n n k mj utx ,1n (31) где )ˆ ...,,ˆ ,ˆ( 1 )( n n n mjjj k m xxxu  — последняя координата вектора , ~~ )( n k n Hu n  определяемого по формулам (30), ;1 Mjmn  ),~)(~()( nnO  )(~ n и n ~ даются формулами (22) и (12) соответственно, ,2 ab   — граница погрешности данных (3). Заметим, что неравенство (31) можно рассматривать как близкий к «истин- ному» критерий окончания проекционно-итерационного процесса (30) для реше- ния задачи В о дифференцировании дискретного временного ряда с приближен- ными данными. Однако критерием (31), как и связанным с ним, вообще говоря, «ложным» критерием   )()( 1 1 n n n n k m k m uu удобно пользоваться лишь в тех случа- ях, когда используемые здесь величины, входящие в оценку (23), легко вычисля- ются, что не всегда имеет место при решении практических задач. Численный эксперимент и анализ полученных результатов Задача нахождения минимального количества членов временного ряда (числа ),1m достаточного для получения приближенного значения производной ),( jtx 102 ISSN 0572-2691 jt )( Mjm  с заданной точностью  , согласованной с погрешностью  исходных данных, вряд ли имеет аналитическое решение, поскольку практическая точность полученного решения в методах регуляризации, очевидно, существен- но зависит от характера искомой функции, который в практических задачах не всегда можно предвидеть заранее. В связи с этим возникает предположение, требующее дополнительных исследований, о том, что величина m зависит не только от погрешности  исходных данных, но и от характера функции )(tx из выражения (25). В качестве тестового примера рассмотрим класс гиперболических функций, представляющих собой семейство элементарных функций, выраженных через эк- споненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Следует отдельно заметить, что цель данного эксперимента — не нахожде- ние как можно более надежного числа m для всего класса гиперболических функ- ций, а лишь проверка способности вычислительных алгоритмов на основе пред- ложенных выше проекционного и проекционно-итерационного методов давать адекватные результаты. В качестве эталонных для класса гиперболических функций возьмем сле- дующие функции с известными точными производными: а) , 2 )(sh tt ee t   ; 2 )(ch )(sh tt ee tt dt d   б) ),(ch t );(sh )(ch tt dt d  в) , 1 1 )(ch )(sh )(th 2 2    t t e e t t t . )( ch 1 )(sech)(th 2 2 t tt dt d  Будем искать приближенное решение задачи В о дифференцировании дис- кретного временного ряда, определенного на равномерной сетке 1], ,1[ 10, с погрешностью исходных данных, не превосходящей .01,0 На пер- вом шаге проекционно-итерационного алгоритма (при )1n начальное значение для m было выбрано равным ,21 m и к решению соответствующей системы линейных уравнений вида (16), (28), полученной с использованием квадратур- ной формулы трапеций, применялся метод простой итерации с начальным при- ближением ).0 ,0 ,0(~ )0( 1 u Количество nk строящихся приближений на каж- дом n-м шаге алгоритма )1( n выбиралось по принципу невязки [6], т.е как наименьшее целое ,k удовлетворяющее условию ,)( ~~~ ~ )( nHn k nn n fuA  где )( 2  nn С ( 0constnС ) задавалось величиной порядка суммарной по- грешности аппроксимации интегрального уравнения (25) и погрешности исход- ных данных. Начальное приближение )0( 1 ~ nu в итерационном процессе для системы (16), (28), полученной на )1( n -м шаге алгоритма, определялось с по- мощью функции вида (29), восполняющей приближенное решение ,~ )( nk nu полу- ченное на предыдущем шаге. Заданная точность вычислений 001,0 в критерии n окончания работы алгоритма была достигнута при выполнении указанного в таблице количества N шагов алгоритма и соответствующего суммарного коли- чества итераций, необходимых для отыскания оптимального значения .Nmm  Сравнение полученного приближенного решения задачи дифференцирования с Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 6 103 известным для выбранных тестовых функций точным решением показало совпа- дение результатов до второго знака после запятой, что согласуется с погрешно- стью исходных данных. Результаты работы программы, реализующей проекционную расчетную схе- му (ПРС) и проекционно-итерационную расчетную схему (ПИРС), основанные на методе простой итерации, приведены в таблице. Таблица Тестовая функция Значение Nmm  Число итераций (ПРС) Число итераций (ПИРС) )(sh t 5 24173928108 2414141163 )(ch t 4 23273383 23181253 )(th t 7 142713123236134 1421107181181 Из таблицы видно, что применение проекционно-итерационного подхода, основанного на методе простой итерации, к решению задачи численного диффе- ренцирования дискретного временного ряда позволяет существенно уменьшить суммарное число итераций по сравнению с обычным проекционным методом. Заключение В работе рассмотрен вопрос теоретического обоснования проекционно- итерационного метода решения некорректного линейного операторного уравне- ния в гильбертовом пространстве, основанного на методе простой итерации. Сформулированы теоремы о сходимости проекционного и проекционно-итера- ционного методов, получены оценки погрешности. Даны рекомендации по выбору регуляризирующего количества итераций при решении каждого из приближенных уравнений, рассматриваемых в конечномерных гильбертовых пространствах, изо- морфных подпространствах исходного пространства. В работе исследован вопрос о возможности применения проекционно- итерационного подхода к решению задачи дифференцирования временного ряда с приближенными данными, а также задачи нахождения наименьшего допустимого количества элементов дискретного временного ряда ,ˆ ...,,ˆ ,ˆ 10 Mххх обеспечиваю- щего достижение заданной точности вычислений его первой производной. Разра- ботан программный продукт, позволяющий на классе одномерных непрерывно- дифференцируемых функций получать математические модели численного диф- ференцирования; проведен анализ предложенной методики на примере решения конкретных задач. Авторы выражают благодарность В.М. Кунцевичу, обратившему наше вни- мание на актуальность решения рассматриваемой проблемы. О.М. Кісельова, Л.Л. Гарт, П.О. Довгай ДО ПИТАННЯ ПРО ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОХІДНОЇ ДИСКРЕТНОГО ЧАСОВОГО РЯДУ З НАБЛИЖЕНИМИ ДАНИМИ Досліджено питання про застосування проекцiйно-iтерацiйного методу, засно- ваного на методі простої ітерації, до розв’язування задачі чисельного диферен- ціювання дискретного часового ряду, в тому числі задачі відшукання най- меншої допустимої кількості елементів часового ряду для отримання значень його похідної першого порядку з заданою точністю обчислень. Сформульовано теорему про збіжність проекцiйно-iтерацiйного методу, отримано оцiнку похиб- ки. Розроблено програмний продукт, що дозволяє моделювати розв’язок задачі 104 ISSN 0572-2691 чисельного диференціювання, проведено порiвняльний аналiз запропонованого методу та обчислювальної схеми проекційного типу на прикладі розв’язання задачі диференціювання певного класу функцій. E.M. Kiseleva, L.L. Hart, P.A. Dovgay ON A PROBLEM OF NUMERICAL SIMULATING THE DERIVATIVE OF DESCRETE TIME SERIES WITH APPROXIMATE VALUES The problem of applying the projection-iteration method based on the simple itera- tion method to solving the numerical differentiation problem is investigated including the problem of finding a least admissible number of discrete time series elements for obtaining the time series derivative of the first order values with a given precision. The theorem of projection-iteration method convergence is formulated, the error es- timate is obtained. The program simulating the numerical differentiation problem’s solution is worked out, the comparative analysis of the suggested method and a com- putational scheme of projection type is carried out for example of differentiation problem solving of determined class of functions. 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М. : Физматлит, 2001. — 630 с. 2. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при ограниченных по- мехах измерений // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 125–133. 3. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. — М. : Физматгиз, 1962. — 345 с. 4. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифферен- циальные уравнения). — М. : Высш. шк., 2001. — 266 с. 5. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М. : Наука, 1976. — 248 с. 6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М. : Наука, 1979. — 288 с. 7. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. — Киев : Наук. думка, 1986. — 584 с. 8. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новоси- бирск : Изд-во СО АН CCCР, 1962. — 92 с. 9. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М. : Изд-во МГУ, 1974. — 320 с. 10. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математиче- ской физики. — М. : Изд-во ЛКИ, 2009. — 480 с. 11. Емелин И.В., Красносельский М.А. К теории некорректных задач // Докл. АН СССР. — 1979. — 244, № 4. — С. 805–808. 12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — СПб. : Невский диалект, 2004. — 816 с. 13. Балашова С.Д. Приближенные методы решения операторных уравнений. — Днепропет- ровск : ДГУ, 1980. — 112 c. 14. Киселева, Е.М., Гарт Л.Л., Довгай П.А. О численном моделировании производной детер- минированного временного ряда // Питання прикладної математики i математичного моде- лювання. — Днепропетровск : Ліра, 2015. — С. 61–74. 15. Гарт Л.Л. Явный проекционно-итерационный метод решения некорректных операторных уравнений // Там же. — Днепропетровск : Ліра, 2015. — С. 33–47. 16. Чеб Е.С. Функциональный анализ и интегральные уравнения. — Минск : Изд-во Белорус. гос. ун-та, 2007. — 140 с. 17. Гарт Л.Л., Поляков Н.В. Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канто- ровича для решения нелинейных интегральных уравнений // Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 1. — С. 70–78. Получено 01.08.2015

К вопросу о численном моделировании производной дискретного временного ряда с приближенными данными

Репозитарії

Схожі ресурси