Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей
Вводяться узагальнені математичні моделі, які описують дробово-диференціальну динаміку фільтраційних процесів в складних геопористих структурах за нерівноважних умов. Побудова відповідних дробово-диференціальних математичних моделей базується на узагальненні фільтраційного закону Дарсі з залученням...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208172 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 59-71. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208172 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2081722025-10-21T00:12:46Z Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей Деякі задачі моделювання дробово-диференціальної геофільтраційної динаміки в рамках узагальнених математичних моделей Some modeling problems of fractional-differential geofiltrational dynamics within the framework of generalized mathematical models Булавацкий, В.М. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Вводяться узагальнені математичні моделі, які описують дробово-диференціальну динаміку фільтраційних процесів в складних геопористих структурах за нерівноважних умов. Побудова відповідних дробово-диференціальних математичних моделей базується на узагальненні фільтраційного закону Дарсі з залученням поняття біпорядкової дробової похідної Хільфера за часовою змінною, що дозволяє досягти значного ступеня загальності моделей, які вивчаються. В рамках некласичних математичних моделей виконано постановки та одержано аналітичні розв’язки ряду нестаціонарних крайових задач теорії нерівноважної геофільтрації. The generalized mathematical models depicting fractional-differential dynamics of filtrational processes in complex geoporous structures under nonequilibrium conditions are entered. The construction of the corresponding fractional-differential mathematical models is based on generalization of the filtrational law of a Darcy with engaging of concept biordinal fractional Hilfer’s derivative on time variable, that allows to reach a large degree of a generality of studied models. Within the framework of considered nonclassical mathematical models the statements are executed and the analytical solutions of a number of nonstationary boundary-value problems of the theory of a nonequilibrium geofiltration are obtained. 2016 Article Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 59-71. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208172 517.9:519.7 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Булавацкий, В.М. Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей Проблемы управления и информатики |
| description |
Вводяться узагальнені математичні моделі, які описують дробово-диференціальну динаміку фільтраційних процесів в складних геопористих структурах за нерівноважних умов. Побудова відповідних дробово-диференціальних математичних моделей базується на узагальненні фільтраційного закону Дарсі з залученням поняття біпорядкової дробової похідної Хільфера за часовою змінною, що дозволяє досягти значного ступеня загальності моделей, які вивчаються. В рамках некласичних математичних моделей виконано постановки та одержано аналітичні розв’язки ряду нестаціонарних крайових задач теорії нерівноважної геофільтрації. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| title_short |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| title_full |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| title_fullStr |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| title_full_unstemmed |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| title_sort |
некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208172 |
| citation_txt |
Некоторые задачи моделирования дробно-дифференциальной геофильтрационной динамики в рамках обобщенных математических моделей / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 59-71. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm nekotoryezadačimodelirovaniâdrobnodifferencialʹnojgeofilʹtracionnojdinamikivramkahobobŝennyhmatematičeskihmodelej AT bulavackijvm deâkízadačímodelûvannâdrobovodiferencíalʹnoígeofílʹtracíjnoídinamíkivramkahuzagalʹnenihmatematičnihmodelej AT bulavackijvm somemodelingproblemsoffractionaldifferentialgeofiltrationaldynamicswithintheframeworkofgeneralizedmathematicalmodels |
| first_indexed |
2025-10-21T01:20:03Z |
| last_indexed |
2025-10-22T01:09:05Z |
| _version_ |
1846642313545121792 |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 59
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.9:519.7
В.М. Булавацкий
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОФИЛЬТРАЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
В РАМКАХ ОБОБЩЕННЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Введение
Задачи моделирования особенностей динамики геофильтрационных процес-
сов в сложных и неравновесных горно-геологических условиях протекания —
одно из актуальных и интенсивно развивающихся предметных направлений гео-
информатики и геоматематики [1, 2]. Весьма актуальна и проблема построения
математических моделей процессов переноса, базирующихся на законах переноса
справедливых в условиях существенного отклонения от равновесного состояния
системы [3].
Проявляющиеся в сложных условиях протекания локально-неравновесные
свойства геофильтрационного процесса обусловлены рядом причин объектив-
ного характера, в частности, сложностью пространственно-временной струк-
туры геосреды, ее микронеоднородностью, кавернозностью, релаксационными
свойствами пористого скелета и насыщающих жидкостей, многофазностью
состава, неизотермичностью процессов, влиянием геохимических факторов и
т.д. [4, 5].
Попытки теретического учета эффектов неравновесности (в частности, эф-
фектов памяти и пространственных корреляций) в рамках классических матема-
тических моделей оказываются недостаточно эффективными. Эффективный
подход в описании процессов переноса в системах, для которых важен учет не-
локальных пространственно-временных свойств, связан с использованием аппа-
рата интегро-дифференцирования нецелого порядка, в рамках которого удается
получить ряд новых важных результатов [6–10]. Некоторые дробно-дифферен-
циальные математические модели для описания динамики неизотермических
геофильтрационных процессов построены в [11]. Работа [12] посвящена изуче-
нию дробно-дифференциальной математической модели для описания динамики
локально-неравновесного геофильтрационного процесса в условиях простран-
ственно-временной нелокальности. Дробно-дифференциальные геомиграционные
модели для исследования динамики некоторых фильтрационных процессов в
насыщенной солевыми растворами геопористой среде в условиях сильной вре-
менной нелокальности обобщены в [13].
Решения ряда задач моделирования дробно-дифференциальной динамики геоми-
грационных процессов с нелокальными граничными условиями приведены в [14].
60 ISSN 0572-2691
Задачам динамики локально-неравновесных во времени геомиграционных
процессов, поставленным в рамках моделей с дробной производной Хильфера,
посвящена работа [15].
Ниже выполнены постановки и получены замкнутые решения некоторых од-
номерных нестационарных краевых задач, описывающих дробно-дифференциаль-
ную динамику локально-неравновесных геофильтрационных процессов и постав-
ленных в рамках новых обобщенных математических моделей с бипорядко-
вой [16] дробной производной Хильфера .
1. Предварительные сведения
Бипорядковая дробная производная Хильфера порядков , )1,0( типа
)10( функции )(tf определяется следующим соотношением [16]:
),()(
)1)(1()1(),(
tfI
dt
d
ItfD ttt
(1)
где )(tfIt
— дробный интеграл Римана–Лиувилля [7−10] порядка )0(Re
функции действительного аргумента ).(tf
Очевидно, что дробная производная, определяемая согласно соотноше-
нию (1) является обобщением дробных производных Капуто–Герасимова и Рима-
на–Лиувилля [7, 10], поскольку имеют место соотношения
),()(
)(1),(
tfDtfD tt
),()(
0),(
tfDtfD tt
где ,
)(
tD
tD — операторы Капуто–Герасимова и Римана–Лиувилля соответственно.
Легко видеть также, что бипорядковая дробная производная является обобщени-
ем известной дробной производной Хильфера [17, 18], поскольку при имеем
),()()(
,),(),(
tfDtfDtfD ttt
где ,
tD — оператор дробной производной Хильфера.
Отметим, что определяемая согласно (1) бипорядковая дробная производная
является непрерывной интерполяцией по параметру ]1,0[ операторов различ-
ных порядков: Римана–Лиувилля
tD порядка и Капуто–Герасимова
)(
tD по-
рядка (в общем случае ). В отличие от этого, производная Хильфе-
ра ,
tD — интерполяция по операторов одного порядка:
)(
tD и .tD
Необходимо отметить также, что понятие дробной производной Хильфера в
настоящее время находит эффективные применения при теоретическом описании
ряда существенно неравновесных процессов переноса в физике и механике [17−20].
Остановимся на задаче отыскания решения уравнения дробного порядка с
бипорядковой производной Хильфера вида
),()()()(
),(
tftbutuaDtu t
(2)
удовлетворяющего начальным условиям
,)0( 0uu ,)0( 0
)1)(1(
uIt (3)
где )(tf — заданная функция источника )),,0()(( Ltf const.,, 0 ba
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 61
Применяя к (2) интегральное преобразование Лапласа по временной пере-
менной, с учетом формулы для преобразования Лапласа бипорядковой дробной
производной [16] и условий (3), получаем
),()()()()( 12010 fsAsAasAuu (4)
где
,
1
)(1
bass
sA
,)(
)1(
2
bass
s
sA
),(
)(u — образ Лапласа функции ),(tu s — параметр преобразования Лапласа.
Обозначая оператор обратного преобразования Лапласа ,1 на основе результа-
тов работы [10] имеем
),())(( 1
1 tsA ),())(( 2
1 tsA
где
),(
!
)(
)( 1)(
1,1
0
atEt
k
b
t
k
k
k
k
k
(5)
),(
!
)(
)( 1)(
)1(1,1
)1(
0
atEt
k
b
t
k
k
k
k
k
(6)
),()( ,
)(
, yE
dy
d
yE
k
k
k
)(, yE — двухпараметрическая функция Миттаг–Леф-
флера [7−10].
Возвращаясь в соотношении (4) к оригиналам, с учетом теоремы умножения
изображений находим
,)()()()()(
0
00 dfttatutu
t
(7)
где )(t и )(t определяются согласно (5) и (6).
Таким образом, задача (2), (3) для уравнения с бипорядковой дробной произ-
водной имеет решение (7), (5), (6) при условии сходимости интеграла в правой ча-
сти (7).
В заключение остановимся на частном случае задачи (2), (3) соответствую-
щем .0b В этом случае имеем
),()()(
),(
tftuaDtu t
(8)
,)0( 0uu .)0( 0
)1)(1(
uIt (9)
Решение этой задачи получается из (7), (5), (6) и принимает вид
)()()( 1
)1(1,1
)1(
0
1
10 atEtaatEutu
dftaE
t
)())(( 1
1
0
. (10)
Положим в (8), (9) значение параметра 1 и рассмотрим следующую задачу
Коши для уравнения с производной Капуто–Герасимова:
),()()(
)(
tftuaDtu t
.)0( 0uu (11)
62 ISSN 0572-2691
Так как в рассматриваемом случае и ,00 u то соотношение (10) запишем
в виде
dftaEatEatatEutu
t
)())(())()(()( 1
1
0
1
2,1
11
10 . (12)
Последнее соотношение совпадает с широко известным [7−10] решением задачи (11).
2. Обобщенная математическая модель для описания
дробно-дифференциальной динамики геомиграционного процесса
и решение первой краевой задачи фильтрации
Обобщенный закон фильтрации в пористой среде в условиях временной не-
локальности запишем в виде
),(
),(
pD
x
k
u tx
(13)
где xu — скорость фильтрации, p — давление, k — коэффициент фильтрации,
— вязкость жидкости,
),(
tD — оператор бипорядковой дробной производ-
ной Хильфера [16], , — порядки производной ),1,0( — параметр
).10( Из соотношения (13) с учетом уравнения неразрывности [4, 21, 22]
),(* txf
t
p
x
ux
*( — коэффициент упругоемкости пласта, f — функция источника ) получаем
для определения фильтрационного давления p следующее неклассическое урав-
нение фильтрации:
),,()(
),(
2
2
txfpD
xt
p
t
(14)
где )(/ * k — коэффициент пьезопроводности [4, 22].
Следует отметить, что в частном случае при ,1 0 из (14) получаем
классическое уравнение фильтрации в пористой среде вида [22, 23]
.
2
2
f
x
p
t
p
В рамках математической модели неравновесного во времени фильтрационного
процесса, базирующейся на уравнении (14), простейшая краевая задача теории
фильтрации для конечного промежутка ],0[ l с проницаемыми границами форму-
лируется как задача отыскания в области ),0(),0( l решения уравнения (14)
при краевых условиях
,0),(),(),0( 1 tlptptp (15)
,0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xpIxpxp t (16)
где
tI — оператор дробного интегрирования Римана–Лиувилля порядка
по переменной ,t 10 , pp — непрерывно дифференцируемые функции своих
аргументов.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 63
Введем в рассмотрение новые переменные соотношениями
.,
1
1
2
t
l
t
l
x
x
(17)
Переходя в (14)−(16) к новым переменным согласно соотношениям (17) и опуская
в дальнейшем в целях удобства написания формул знак «штрих», имеем в области
),0()1,0( краевую задачу
),,()( )1(),(
2
2
txfpD
xt
p
t
(18)
,0),1(),(),0( 1 tptptp (19)
,0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xpIxpxp t (20)
где
).,(),(
1
1
2
)1( txf
l
txf
Осуществляя переход к однородным граничным условиям с помощью под-
становки
),()1(),(),( 1 tpxtxptxw (21)
получаем краевую задачу
),,()(
),(
2
2
txFwD
xt
w
t
(22)
,0),1(,0),0( twtw (23)
,0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xwIxwxw t (24)
где ),()1(),(),( 1
)1( tpxtxftxF )0()1()()( 100 pxxpxw и выполнено со-
отношение .0)0(1
)1)(1(
pIt
Пусть существует конечное интегральное преобразование Фурье функции
),( txw по геометрической переменной x вида
dxxtxwtw nn )(sin),()(
1
0
...).,2,1,( nnn
Тогда в пространстве изображений по Фурье задача (22)−(24) принимает вид
),()()(
),(2 tFtwDtw nntnn
(25)
,0)0(,)0(
)1)(1(
ntnn wIw (26)
где
,)(sin)(0
1
0
dxxxw nn .)(sin),()(
1
0
dxxtxFtF nn
64 ISSN 0572-2691
Решение задачи (25), (26) на основании соотношения (10) запишем в виде
)(
)0(
)(sin)()( 12
1
1
0
1
0
tE
p
dptw n
n
nn
d
p
df
l
tE
n
nn
t
)(
)(sin),())(( 1
1
0
1
1
2
12
1
0
. (27)
Далее, переходя в соотношении (27) к оригиналам по геометрической перемен-
ной, с учетом соотношения (21) получаем решение исходной задачи (18)−(20):
),(sin)(2)()1(),(
1
1 xtwtpxtxp nn
n
(28)
где )(twn определяется соотношением (27).
Остановимся на некоторых частных случаях рассматриваемой задачи.
1. В случае однородного граничного условия на левой границе области фильтра-
ции )0)(( 1 tp и при отсутствии источников давления )0( f из (27), (28) находим
dtxGptxp );,()(),( )(
0
1
0
, (29)
где
).(sin)(sin)(2);,( 12
1
1
)( xtEtxG nnn
n
Отсюда при получаем решение [24] соответствующей задачи в производ-
ных Хильфера
dtxGptxp );,()(),( )(
0
1
0
,
).(sin)(sin)(2);,( 12
1
1
)( xtEtxG nnn
n
2. При const)( 00 pxp из (29) имеем
...5,3,1
12
10
)(sin
)(4),(
n n
n
n
x
tEptxp ...).,2,1,( nnn (30)
Отсюда при ,1 0 находим
.
)(sin
)(exp4),(
...5,3,1
2
0
n n
n
n
x
tptxp
Последнее соотношение представляет собой известное решение соответствующей
фильтрационной задачи в рамках классической модели упругого режима [22].
Результаты компьютерной реализации решения (30) представлены на рис. 1, 2,
где изображена динамика безразмерных фильтрационных давлений 0/ pp для
значений параметров 7,0 и 9,0 в фиксированные моменты времени:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 65
5
1 10t (рис. 1), 1
2 10t (рис. 2). При этом графики на обоих рисунках соот-
ветствуют следующим значениям параметра : 1 (кривая 1), 8,0 (кри-
вая 2), 0 (кривая 3).
Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать следующие
выводы.
1. Базирующаяся на уравнении вида (14) неклассическая математическая мо-
дель неравновесного во времени фильтрационного процесса в геопористой среде
адекватно описывает процессы рассеивания фильтрационных давлений, причем
имеет место качественная согласованность (геометрическое подобие, см. рис. 1, 2)
полученных кривых давлений с соответствующими кривыми, построенными в
рамках классической [22] математической модели.
2. Для неклассической математической модели в каждый фиксированный
момент времени имеет место свойство монотонности по параметру , заключа-
ющееся в том, что увеличение указанного параметра приводит к возрастанию зна-
чений фильтрационных давлений (см. рис. 1, 2) и, следовательно, к запаздыванию
процесса рассеивания первоначального поля давлений сравнительно с классиче-
ской моделью. При этом максимальная величина запаздывания достигается при
значении ,1 что соответствует моделированию динамики процесса на основе
модели с производной Капуто–Герасимова.
p
0
0,02
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
3
2
1
Рис. 2
3. Фильтрационная задача с нелокальными граничными условиями
Ниже приводится пример построения замкнутого решения краевой задачи с
нелокальными граничными условиями для дробно-дифференциальной математи-
ческой модели фильтрационного процесса, определяемой уравнением вида (14).
В рамках указанной дробно-дифференциальной математической модели
фильтрации моделирование неравновесной динамики фильтрационного процесса
в геомассиве единичной мощности с проницаемой верхней гранью в предположе-
нии, например, равенства расходов жидкости через грани массива сводится к ре-
шению в области ),0()1,0( краевой задачи:
),(
),(
2
2
pD
xt
p
t
(31)
,0),0( tp )),,1(()),0((
),(),(
tpD
x
tpD
x
tt
(32)
.0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xpIxpxp t (33)
Следует отметить, что неклассическое (нелокальное) граничное условие в (32) яв-
ляется аналогом хорошо известного условия Самарского–Ионкина [25], матема-
p
0
0,2
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x
0,4
0,6
0,8
3
2 1
Рис. 1
66 ISSN 0572-2691
тически выражающего равенство потоков жидкости на гранях рассматриваемого
массива в рамках классического закона фильтрации Дарси–Герсеванова [22, 23].
Согласно [25] будем искать решение задачи (31)−(33) в виде следующего
биортогонального разложения:
)],()()()([)()(),( 212
1
00 xXtxXtuxXxtxp kkkk
k
(34)
где ))(),,(()( 12 xYtxptu kk ...),2,1( k , ))(),,(()( 2 xYtxpt kk ...),2,1,0( k ,
,)(0 xxX )(sin)(2 xxX kk — собственные функции спектральной задачи
),10(0)()( xxXxX (35)
,0)0( X ),1()0( XX (36)
соответствующие собственным значениям 2)2( kk ...),2,1,0( k .
Соответствующие собственным значениям k присоединенные функции
)(12 xX k имеют вид [25]: )(cos)(12 xxxX kk ...).,2,1( k При этом, как по-
казано в [25], система собственных и присоединенных функций сопряженной
к (35), (36) задачи записывается в виде
,2)(0 xY ),(cos4)(12 xxY kk ).(sin)1(4)(2 xxxY kk
Разложив в биортогональный ряд начальную функцию )(0 xp
)],()([)()( 2
)2(
12
)1(
1
0
)2(
00 xXxXxXxp kkkk
k
(37)
))(),(( 120
)1(
xYxp kk ...),,2,1( k ))(),(( 20
)2(
xYxp kk ...),,2,1,0( k
на основании (31)−(33) для определения функций k ...),2,1,0( k и ku
...),2,1( k получаем такие последовательности задач Коши для уравнений в
дробных производных:
,0)(0 t ,)0(
)2(
00 (38)
,0)()(
),(
tuDtu ktkk ,)0(
)1(
kku ,0)0(
)1)(1(
kt uI (39)
),()()(
),(
tftDt kktkk
,)0(
)2(
kk 0)0(
)1)(1(
ktI ...),,2,1( k (40)
где )(2)(
),(
tuDtf ktkk
...).,2,1( k
С учетом изложенного выше в п. 1 решения задач (38)–(40) можно найти
в виде
,)(
)2(
00 t )()( 1
1
)1(
tEtu kkk , ...),,2,1),(( k (41)
dftEtEt k
t
kkk )())(()()( 1
1
0
1
1
)2(
)()2( 1
1
1)1()2(
tEt kkkk ...).,2,1( k (42)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 67
Кратко остановимся на вопросе сходимости ряда (34). Пусть ]1,0[)( 2
0 Cxp и
).1()0(,0)0( 000 ppp Тогда ряд )(
)2()1(
1
kk
n
сходится абсолютно. Рассмот-
рим функцию ),()()()(),( 212 xXtxXtutxp kkkkk для которой очевидно имеем
).0())()((),( 11 CttuCtxp kkk Учитывая асимптотические оценки функ-
ции )(, zE для больших значений z [7−10] для любого 0 tt из (41) имеем
)1(
21
2)1(1
1
)1(
1
)()( k
k
kkkk С
t
С
tEtu
).0...,,2,1( 2 Ck (43)
Аналогично из (42) получаем
)(2)()( 1
1
1)1(1
1
)2(
tEttEt kkkkkk
)(
1
2
1
)2()1(
31
1
)1(
1
)2(
3 kk
k
k
k
k
k C
t
t
t
C
).0...,,2,1( 3 Ck (44)
Таким образом, для любых 0 tt из (43), (44) имеем
).0())()((),(
)2()1(
CttCtxp kkk
Следовательно, мажорантным для ряда (34) является абсолютно сходящийся
ряд. Таким образом, ряд (34) сходится равномерно для ],0[]1,0[),( Ttx T
и ).(),( TCtxp
4. Модель фильтрационного процесса
с пространственно-временнóй дробно-дифференциальной динамикой
Неклассическое уравнение геофильтрации (14) можно распространить также
на случай учета пространственной дробно-дифференциальной динамики процесса
переноса следующим образом:
),,()(
),(
txfpDD
t
p
tx
(45)
где
xD — оператор дробной производной Римана−Лиувилля порядка )21(
по геометрической переменной .x (Легко видеть, что из уравнения (45) при
2 получаем уравнение (14).)
В рамках базирующейся на уравнении (45) математической модели фильтра-
ционного процесса первая краевая задача теории фильтрации для конечного про-
межутка ],0[ l с хорошо проницаемыми обеими границами формулируется как за-
дача отыскания в области ),0(),0( l решения уравнения (45) при краевых
условиях
,0),(,0),0( tlptp (46)
,0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xpIxpxp t (47)
где сохранены введенные в п. 2 обозначения.
Рассмотрим новые переменные:
t
l
t
l
x
x
1
1
, ).21( (48)
68 ISSN 0572-2691
Переходя в (45)−(47) к новым переменным согласно соотношениям (48) и опуская
в дальнейшем знак «штрих» над соответствующими переменными, имеем в обла-
сти ),0()1,0( в условиях отсутствия источников )0( f краевую задачу
),(
),(
pDD
t
p
tx
(49)
,0),1(,0),0( tptp (50)
.0)0,(),()0,(
)1)(1(
0
xpIxpxp t (51)
Представляя искомое решение задачи (49)−(51) в виде произведения ),( txp
)()( tTxX и разделяя переменные, получаем
,
)(
)(
)(
)(
),(
tTD
tT
xX
xXD
t
x (52)
где const — постоянная разделения. Отсюда для функции )(xX имеем зада-
чу Штурма–Лиувилля (задачу на собственные значения) вида
,0)()( xXxXDx ,0)0( X .0)1( X (53)
Как известно [26], только для собственных значений ,n являющихся нулями
функции )(, E ),( R существуют собственные функции задачи (53), равные
).()( ,
1
xExxX nn
Этим собственным значениям n соответствуют решения уравнения
,0)()(
),(
tTDtT tn
удовлетворяющие второму из начальных условий (51) и имеющие вид
)()( 1
1
tEutT nnn ),(
где nu — неопределенные коэффициенты. Функции
)()(),( ,
11
1
xExtEutxp nnnn (54)
являются частными решениями уравнения (49), удовлетворяющими однородным
граничным условиям (50) и второму из начальных условий (51). Составим фор-
мально ряд
).()(),(),( ,
11
1
11
xExtEutxptxp nnn
n
n
n
(55)
Требуя выполнения первого из начальных условий (51), получаем
).()( ,
1
1
0
xExuxp nn
n
(56)
Известно [26, 27], что система функций
1,
1 )}({)( nnn xExxr образует
базис в ).1,0(2L Так как этот базис неортогональный, то вместо указанной систе-
мы будем рассматривать [27] систему
,)})1(()1{()( 1,
1
nnn xExxg
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 69
биортогональную к системе ).(xrn С учетом изложенного из соотношения (56)
окончательно находим
,)()()]([ 0
1
0
12
2, dxxgxpEu nnn
(57)
где )(, yE
— трехпараметрическая функция Миттаг–Леффлера [7−10].
Относительно условий сходимости ряда (55) необходимо отметить сле-
дующее. Согласно [7−10] для Rx имеет место неравенство
x
M
xE
1
)(, ).0,10( (58)
Дополнительно потребовав ограниченности на отрезке ]1,0[ функции начального
давления ),(0 xp из (54), (57), с учетом (58) имеем
)()( ,
11
1 xExtEu nnn
.
)1)(1( 2121
nn
n
nn
n
C
xt
M
u
xt
M
u
Так как для достаточно больших по абсолютной величине нулей n функции
)(, nE имеет место [26, 27] соотношение n ~ )( nO )21( и мажориру-
ющий ряд
2
1
1
nn
является сходящимся обобщенным гармоническим рядом, то
на основании мажорантного признака Вейерштрасса ряд (55) равномерно сходит-
ся на любом компактном подмножестве множества ).,0(]1,0[
Аналогично устанавливается и равномерная сходимость при Ttt )0( t
рядов производных: ,
),(
1 t
txpn
n
)).,((
),(
1
txpDD ntx
n
В заключение отметим, что при 2 из найденного решения, в частности,
получаем решение рассмотренной выше в п.2 фильтрационной задачи с учетом
лишь временной неравновесности процесса.
Действительно, решая уравнение ,0)(2,2 E получаем собственные значе-
ния: .)( 2 nn Также нетрудно показать справедливость равенства )(2
4,2 nE
.
2
)1( 1
n
n
Тогда при const)( 00 pxp из (55) получаем соотношение
n
n
n
n
x
tEptxp
)(sin
)(4),( 1
1
...5,3,1
0 ...),,2,1,)(( 2 nnn
с точностью до обозначений совпадающее с соотношением (30) п. 2.
Заключение
Для математического моделирования фильтрационных процессов в сложных
геопористых структурах, при неравновесных условиях протекания, вводятся в
рассмотрение обобщенные математические модели, описывающие дробно-
дифференциальную динамику указанных процессов. Построение соответствую-
70 ISSN 0572-2691
щих дробно-дифференциальных математических моделей процесса геофильтра-
ции в условииях временной неравновесности базируется на обобщении фильтра-
ционного закона Дарси с привлечением понятия бипорядковой дробной произ-
водной Хильфера по временной переменной, что позволяет достичь достаточно
большой степени общности изучаемых моделей. Рассматривается также модель
существенно неравновесного фильтрационного процесса с учетом как временнóй,
так и пространственной дробно-дифференциальной динамики.
В рамках указанных неклассических математических моделей выполнены
постановки и получены аналитические решения основных нестационарных крае-
вых задач теории неравновесной геофильтрации, в частности приведено решение
краевой задачи с нелокальными граничными условиями.
В.М. Булавацький
ДЕЯКІ ЗАДАЧІ МОДЕЛЮВАННЯ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ
ГЕОФІЛЬТРАЦІЙНОЇ ДИНАМІКИ
В РАМКАХ УЗАГАЛЬНЕНИХ
МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
Вводяться узагальнені математичні моделі, які описують дробово-диферен-
ціальну динаміку фільтраційних процесів в складних геопористих структурах
за нерівноважних умов. Побудова відповідних дробово-диференціальних мате-
матичних моделей базується на узагальненні фільтраційного закону Дарсі з за-
лученням поняття біпорядкової дробової похідної Хільфера за часовою змін-
ною, що дозволяє досягти значного ступеня загальності моделей, які вивча-
ються. В рамках некласичних математичних моделей виконано постановки та
одержано аналітичні розв’язки ряду нестаціонарних крайових задач теорії нері-
вноважної геофільтрації.
V.M. Bulavatsky
SOME MODELING PROBLEMS
OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
GEOFILTRATIONAL DYNAMICS
WITHIN THE FRAMEWORK
OF GENERALIZED MATHEMATICAL MODELS
The generalized mathematical models depicting fractional-differential dynamics of
filtrational processes in complex geoporous structures under nonequilibrium condi-
tions are entered. The construction of the corresponding fractional-differential math-
ematical models is based on generalization of the filtrational law of a Darcy with en-
gaging of concept biordinal fractional Hilfer’s derivative on time variable, that allows
to reach a large degree of a generality of studied models. Within the framework of
considered nonclassical mathematical models the statements are executed and the an-
alytical solutions of a number of nonstationary boundary-value problems of the theo-
ry of a nonequilibrium geofiltration are obtained.
1. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 288 с.
2. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів гео-
гідродинаміки. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с.
3. Соболев С.Л. Локально–неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических
наук. — 1997. — 167, № 10. — С. 1095–1106.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 71
4. Молокович Ю.М., Непримеров Н.И., Пикуза В.И., Штанин А.В. Релаксационная фильтра-
ция. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та,1980. — 136 с.
5. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Волновые задачи биогидродинамики и биофизики. — Киев :
Наук. думка, 2013. — 308 с.
6. Учайкин В.В. Метод дробных производных. — Ульяновск : Изд-во «Артишок», 2008. —
512 с.
7. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.
8. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional or-
der // Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi.
— Wien : Springer Verlag, 1997. — P. 223–276.
9. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. — Imperial College Press,
2010. — 368 p.
10. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academic Press, 1999. — 341 p.
11. Bulavatsky V.M. Nonclassical mathematical model in geoinformatics to solve dynamic problems
for nonequilibrium nonisothermal seeapage fields // Cybernetics and Systems Analysis. — 2011.
— 47, N 6. — P. 898–906.
12. Bulavatsky V.M., Krivonos Yu.G. Mathematical modelling in the geoinformation problem of the dy-
namics of geomigration under space- time nonlocality // Ibid. — 2012. — 48, N 4. — P. 539–546.
13. Bulavatsky V.M. One generalization of the fractional differential geoinformation model of re-
search of locally-nonequilibrium geomigration processes // Journal of Automation and Infor-
mation Sciences. — 2013. — 45, N 1. — P. 59–69.
14. Bulavatsky V.M. Fractional differential mathematical models of the dynamics of nonequilibrium
geomigration processes and problems with nonlocal boundary conditions // Cybernetics and Sys-
tems Analysis. — 2014. — 50, N 1. — P. 81–89.
15. Bulavatsky V.M., Gladky A.V. Mathematical modeling of the dynamics of a nonequilibrium diffu-
sion process on the basis of integro-differentiation of fractional order // Ibid. — 2015. — 51, N 1.
— P. 134–141.
16. Bulavatsky V.M. Closed form of the solutions of some boundary-value problems for anoma-
lous diffusion equation with Hilfer’s generalized derivative // Ibid. — 2014. — 50, N 4. —
P. 570–577.
17. Hilfer R. Fractional time evolution // Applications of fractional calculus in physics. — Singapore :
World scientific, 2000. — P. 87–130.
18. Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential
equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives // Fractional calculus and ap-
plied analysis. — 2009. — 12, N 3. — P. 299–318.
19. Sandev T., Metzler R., Tomovski Z. Fractional diffusion equation with a generalized Riemann-
Liouville time fractional derivative // Journal of physics A. — 2011. — 44. — P. 5–52.
20. Tomovski Z., Sandev T., Metzler R., Dubbeldam J. Generalized space-time fractional diffu-
sion equation with composite fractional time derivative // Physica A. — 2012. —391. —
P. 2527–2542.
21. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. — М. : Наука, 1973. — 2. — 584с.
22. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. — М. : Высшая шк., 1991.
— 447 с.
23. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. — Киев : Наук. думка, 1991. — 264 с.
24. Al-Homidan S., Ghanam R.A., Tatar N. On a generalized diffusion equation arising in petroleum
engineering // Advances in difference equations. — 2013. — 349. — P. 1–14.
25. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим
краевым условием // Дифференциальные уравнения. — 1977. — 13, № 2. — С. 294–304.
26. Djrbashian M.M. Harmonic analysis and boundary-value problems in the complex domain. —
Basel : Springer Basel AG, 1993. — 255 p.
27. Aleroev T.S., Kirane M., Tang Y.-F. Boundary-value problems for differential equations of frac-
tional order // J. of Mathematical Sciences. — 2013. — 194, N 5. — P. 499–512.
Получено 07.12.2015
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|