Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией

Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування нестаціонарним тепловим процесом з осьовою симетрією. Таким способом отримано необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті, розв’язок якого дав можливість виписати явну формулу для обчи...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Копец М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208176
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 106-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208176
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2081762025-10-21T00:16:32Z Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией Оптимальне керування нестаціонарним тепловим процесом з осьовою симетрією Optimal control of nonstationary thermal process with axial symmetry Копец М.М. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування нестаціонарним тепловим процесом з осьовою симетрією. Таким способом отримано необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті, розв’язок якого дав можливість виписати явну формулу для обчислення оптимального керуванння. The article is devoted to the linear–quadratic optimal control problem of nonstationary thermal process with axial symmetry. To find the solution of our problem we propose a method of Lagrange multipliers. In this way, we obtain necessary conditions for optimality. On the basis of these conditions it is derived integro-differential Riccati equation whose solution has made it possible to write down explicit formula for the calculation of the optimal control. 2016 Article Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 106-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208176 517.977.56 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Копец М.М. Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування нестаціонарним тепловим процесом з осьовою симетрією. Таким способом отримано необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті, розв’язок якого дав можливість виписати явну формулу для обчислення оптимального керуванння.
format	Article
author	Копец М.М.
author_facet	Копец М.М.
author_sort	Копец М.М.
title	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
title_short	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
title_full	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
title_fullStr	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
title_full_unstemmed	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
title_sort	оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208176
citation_txt	Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 106-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kopecmm optimalʹnoeupravlenienestacionarnymteplovymprocessomsosevojsimmetriej AT kopecmm optimalʹnekeruvannânestacíonarnimteplovimprocesomzosʹovoûsimetríêû AT kopecmm optimalcontrolofnonstationarythermalprocesswithaxialsymmetry
first_indexed	2025-10-21T01:20:22Z
last_indexed	2025-10-22T01:09:20Z
_version_	1846642328878448640
fulltext	© М.М. КОПЕЦ, 2016 106 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 517.977.56 М.М. Копец ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ТЕПЛОВЫМ ПРОЦЕССОМ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ Введение Исследование процессов теплопроводности имеет достаточно длительную исто- рию. Теория теплопроводности — это наука о процессах распространения тепла в сре- де с различным полем температур. Простейшей математической моделью процесса теплопроводности является уравнение теплопроводности, которое принадлежит к ли- нейным дифференциальным уравнениям с частными производными параболического типа. Непосредственно с этим уравнением связано значительное количество исследо- ваний, посвященных оптимальному в определенном смысле управлению процессами теплопроводности. В подавляющем большинстве этих исследований задачи оп- тимального управления рассматриваются в прямоугольной декартовой системе координат [1–4]. Настоящая статья представляет собой попытку исследования ли- нейно-квадратической задачи оптимального управления в полярной системе коорди- нат. Хорошо известно, что в такой постановке возникает дифференциальное уравнение Бесселя, хотя оно является дифференциальным уравнениям второго порядка, для нахождения его решения задается только одно конкретное краевое условие. Второе краевое условие состоит в требовании ограниченности этого решения. Постановка задачи Пусть управляемый процесс описывается следующим дифференциальным уравнением с частными производными: ),( ),(1),(),( 2 2 2 rtu r rtz rr rtz a t rtz                , 10 ttt  , Rr 0 . (1) Известно, что уравнение (1) описывает динамику одномерных нестационарных тепловых процессов с осевой симметрией [5, с. 74]. Начальное условие для уравнения (1) имеет вид ).(),( 0 rfrtz  (2) Краевые условия для этого уравнения заданы следующим образом: )0,(tz , ,0),( Rtz (3) где действительные числа ,00 t 01 tt  , 0R и функция ),0()( 2 RLrf  известны. Функция ),( rtu называется допустимым управлением, если ),(),( 2 Lrtu где множество  имеет вид }.],0[],,[:),({ 10 Rrtttrt  Под производными под- разумеваются обобщенные производные в смысле Соболева. В случае фиксиро- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 107 ванного допустимого управления ),( rtu решением ),( rtz краевой задачи (1)–(3) считается обобщенное решение )(),( 2 Lrtz . На множестве решений краевой задачи (1)–(3) рассматривается задача минимизации функционала .]),(),([ 2 1 ),( 2 1 ),( 22 0 1 2 0 1 0 rdrdtrturtzrdrrtzzuI Rt t R   (4) Допустимое управление ),( rtu , на котором реализуется наименьшее возможное значение функционала (4), называется оптимальным управлением. Необходимые условия оптимальности Необходимые условия оптимальности для сформулированной выше задачи оптимизации можно найти с помощью метода множителей Лагранжа. С этой целью рассмотрим следующий вспомогательный функционал:   rdrdtrturtzrdrrtzzupJ Rt t R )],(),([ 2 1 ),( 2 1 ),,( 22 0 1 2 0 1 0 , ),( ),( ),(1),( ),( 2 2 2 0 1 0 rdrdt t rtz rtu r rtz rr rtz art Rt t                        (5) где неизвестная функция ),( rt — множитель Лагранжа. Таким путем задачу на условный экстремум функционала (4) можно свести к задаче минимизации функционала (5) с учетом условий (2) и (3). Затем находим приращение J функционала (4) ).,,(),,( zuJzzuuJJ  Если предположить выполнение условий  )0,(t и ,0),(  Rt то после дву- кратного применения формулы интегрирования по частям получим              rdrdt r rtz rr rtz rt Rt t ),(1),( ),( 2 2 0 1 0 .),( ),(1),( 2 2 0 1 0 rdrdtrtz r rt rr rt Rt t               (6) Принимая во внимание соотношение (6) и используя аналогичные преобразова- ния, используемые в работе [6], приходим к такому соотношению:                  2 2 2 0 111 0 ),( ),(),(]),(),([ 1 0 r rt artzrdrrtzrtrtzJ Rt t R                     rdrdtrturtrturtz t rt r rt r ),(]),(),([),( ),(),(1 rdrdt t rtz rtu r rtz rr rtz art Rt t                           ),( ),( ),(1),( ),( 2 2 2 0 1 0 .]]),([)],([[ 2 )],([ 2 22 0 2 2 1 0 2 1 0 rdrdtrturtzrdrrtz Rt t R       (7) 108 ISSN 0572-2691 На основании выражения (7) можно сделать следующий вывод. Теорема 1. Оптимальное управление ),( rtu в задаче оптимизации (1)–(4) единственно и определяется из системы соотношений                                                   .0),(),( ,)0,(,0),(),,(),( ),,( ),(1),(),( ,0),(,)0,(),(),( ),,( ),(1),(),( 11 2 2 2 0 2 2 2 rtrtu tRtrtzrt rtz r rt rr rt a t rt Rtztzrfrtz rtu r rtz rr rtz a t rtz (8) Доказательство. Равенство нулю первой вариации функционала (5) является необходимым условиям его экстремума. Для этого достаточно одновременное выполнение следующих равенств: 0),(),( 11  rtrtz , ,0),(),(  rtrtu 0 ),(),(1),( ),( 2 2 2                 t rt r rt rr rt artz , ,0),(  Rt 0 ),( ),( ),(1),( 2 2 2                  t rtz rtu r rtz rr rtz a . Присоединив к ним условия (2) и (3), получим систему соотношений (8). В случае выполнения системы соотношений (8) выражение (7) примет вид rdrdtrturtzrdrrtzJ Rt t R ]]),([)],([[ 2 )],([ 2 22 0 2 2 1 0 2 1 0       . (9) При условии, что ),( rtu не равно нулю, из соотношения (9) имеем .0 J Это означает, что на управлении ),( rtu реализуется минимум функционала (5). Единственность оптимального управления доказывается следующим образом. Предположим, что существует еще одно оптимальное управление ),( rtu ).,(),( rturtu  Тогда для обоих управлений ),( rtu и ),( rtu справедлива си- стема соотношений (8) и должно выполняться равенство .0 J Из (9) следует, что это возможно только при условии, когда .0),(  rtu Отсюда следует, что ),(),( rturtu  , что и завершает доказательство теоремы 1. Вывод интегро-дифференциального уравнения Риккати В дальнейшем все равенства, связанные с обобщенными функциями, следует понимать в смысле теории обобщенных функций. Предположим, что между функциями ),( rt и ),( rtz , которые удовлетворяют системе соотношений (8), существует следующая зависимость: ,),(),,(),( 0   dtzrtPrt R (10) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 109 где функцию ),,( rtP требуется найти. Тогда имеют место равенства ,),( ),,(1),,(),(1),( 2 2 0 2 2                      dtz r rtP rr rtP r rt rr t R (11) . ),( ),,(),( ),,(),( 0               d t tz rtPtz t rtP t rt R (12) Непосредственно из системы (8) и соотношения (10) находим .),(),,( ),(1),(),( 0 2 2 2                  R sdsstzstP tztz a t tz С учетом этого соотношения равенство (12) примет вид                 2 2 2 0 ),( ),,(),( ),,(),( tz rtPatz t rtP t rt R .),(),,(),,( ),(1 0              dsdsstzstPrtP tz R (13) Из соотношений 0),(  Rt получим 0),,( RtP . Полагая, что функция ),,( rtP симметрична относительно переменных r и , имеем также равенство 0),,( RrtP . Тогда справедливо соотношение .),( ),,(1),,(),(1),( ),,( 2 2 0 2 2 0                                 dtz rtPrtP d tztz rtP RR (14) Кроме этого, очевидно следующее соотношение: .),(),,(),,(),(),,(),,( 0000   dtzsdsstPsrtPdsdsstzstPrtP RRRR (15) Принимая во внимание соотношения (14) и (15), вместо равенства (13) получим соотношение                       ),,(1),,(),,(),( 2 2 2 0 rtPrtP a t rtP t rt R .),(),,(),,( 0        dtzsdsstPsrtP R (16) С помощью дельта-функции Дирака )(r имеем такое равенство: .),()( 1 ),()(),( 00     dtzrdtzrrtz RR (17) Тогда уравнение ),( ),(1),(),( 2 2 2 rtz r rt rr rt a t rt                110 ISSN 0572-2691 с учетом выражений (11) и (17) примет следующий вид: .),()( 1),,(1),,(),( 2 2 2 0                              dtzr r rtP rr rtP a t rt R (18) Из соотношений (16) и (18) непосредственно следует                    )( 1),,(1),,(),,( 2 2 2 r r rtP rr rtP a t rtP .0),,(),,( ),,(1),,( 0 2 2 2                sdsstPsrtP rtPrtP a R (19) Кроме того, условие ),(),( 11 rtzrt  с учетом соотношения (10) приводит к равенству .),()( 1 ),( 1 0 1     dtzrrt R (20) Сопоставляя выражения (10) и (20), получаем равенство )( 1 ),,( 1    rrtP . (21) Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Функция ),,( rtP есть решение интегро-дифференциального уравнения (19), удовлетворяет краевым условиям 0),,(,0),,(  RrtPRtP и дополнительному условию (21). Если известна функция ),,( rtP , то оптимальное управление ),( rtu имеет вид ,),(),,(),( 0   dtzrtPrtu R где функция ),( tz является решением интегро-дифференциального уравнения sdsstzstP tztz a t tz R ),(),,( ),(1),(),( 0 2 2 2                  и удовлетворяет условиям ),(),( 0  ftz )0,(tz , 0),( Rtz . Построение решения интегро-дифференциального уравнения Риккати Пусть m и n — положительные корни уравнения ,0)(0 J где )(0 J — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Тогда справедливы соот- ношения ,,0 0 00 nmrdr R r J R r J R nm                ),( 2 2 1 2 2 0 0 n n R J R rdr R r J         где )(1 J — функция Бесселя первого рода первого порядка. Исходя из этих со- отношений для дельта-функции Дирака ),(r получаем выражение . )( 2 )( 2 1 00 1 2 n nn n J R J R r J R r                     Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 111 Отсюда непосредственно находим )( 2 )( 1 2 1 00 1 2 n nn n J R J R r J R r                     . (22) Соотношение (22) дает основание для построения следующего выражения: )( )( 2 ),,( 2 1 00 1 2 n nn n n J R J R r J tp R rtP                    , (23) где )(tpn — неизвестные функции. Исходя из соотношения (23), легко убедиться в справедливости следующих равенств: )( )(2),,( 2 1 00 1 2 n nn n n J R J R r J dt tdp Rt rtP                      , (24) , )( )( 2 ),,(),,( 2 1 00 2 1 2 0 n nn n n R J R J R r J tp R sdsstPsrtP                    (25)                            ),,(1),,(),,(1),,( 2 2 2 2 2 2 rtPrtP a r rtP rr rtP a . )( )( 2 2 1 002 1 2 n nn n n n J R J R r J tp R a R                           (26) Подставляя выражения (22), (24)–(26) в уравнение (19), получаем 0 )( 1)()(2 )(2 2 1 00 2 2 1 2                                    n nn nn nn n J R J R r J tptp R a dt tdp R . Отсюда для нахождения функций )(tpn имеем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати ,2,1,01)()(2 )( 2 2         ntptp R a dt tdp nn nn (27) Принимая во внимание выражения (21)–(23), находим краевые условия для системы уравнений (27) ,2,1,1)( 1  ntpn (28) Каждому уравнению системы (27) можно поставить в соответствие матрицу                                2 2 1 1 R a R a H n n n . (29) 112 ISSN 0572-2691 Собственные значения матрицы (29) равны: nn  1, , nn  2, , где 12  nn , 2         R a n n . Легко проверить, что справедливо соотношение          )()( )()( )(exp 2221 1211 tsts tsts tH nn nn n , где функции )(tsnij заданы следующим образом: n nnnn n tt ts    )(sinh)(cosh )(11 , n n nn t tsts    )(sinh )()( 2112 , n nnnn n tt ts    )(sinh)(cosh )(22 . Используя способ, аналогичный описанному в [7, с. 121], легко находим формулу для вычисления функции :)(tpn ,2,1, ))((sinh)1())((cosh ))((sinh)1())((cosh )( 11 11     n tttt tttt tp nnnn nnnn n (30) При этом имеем ,2,1,1 )0(sinh)1()0(cosh )0(sinh)1()0(cosh )( 1     ntp nn nn n (31) Теорема 3. Функцию ),,( rtP можно представить рядом Фурье-Бесселя (23), коэффициенты )(tpn которого вычисляются по формулам (30) и удовлетворяют дополнительным условиям (31). Иллюстративный пример Рассмотрим пример с такими параметрами: ,1 Ra .01,0,0 10  tt Ниже показаны графики функций )(tpn для значений n от 1n до 6n . n = 1 n = 3 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,2 0 0,3 0,001 0,01 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 n = 2 Рис. 1 Из рисунков видно, что эти графики при 5n и 6n практически совпада- ют. Отсюда можно сделать вывод, что ряд (23) сходится очень быстро. В свою очередь данный факт свидетельствует о корректности постановки рассматрива- емой выше задачи оптимизации. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 113 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,1 0 0,3 0,001 0,01 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 n = 4 n = 5 n = 6 0,2 Рис. 2 Заключение В настоящей статье исследована задача минимизации квадратического функцио- нала на множестве решений линейного дифференциального уравнения параболическо- го типа, которое описывает нестационарный тепловой процесс с осевой симметрией. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптималь- ности. Эти условия позволили составить интегро-дифференциальное уравнение Рикка- ти, решение которого дает возможность выписать явную формулу для оптимального управления. Следует отметить целесообразность обобщения полученных в данной ра- боте результатов на случай второй и третьей краевых задач для уравнения (1). Также представляет интерес исследование аналогичной задачи для нестационарных тепловых процессов с центральной симметрией. М.М. Копець ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНИМ ТЕПЛОВИМ ПРОЦЕСОМ З ОСЬОВОЮ СИМЕТРІЄЮ Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального керування нестаціонарним тепловим процесом з осьовою симетрією. Таким способом отримано необхідні умови оптимальності. На основі цих умов виведено інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті, розв’язок якого дав можливість виписати явну формулу для обчислення оптимального керуванння. М.М. Kopets OPTIMAL CONTROL OF NONSTATIONARY THERMAL PROCESS WITH AXIAL SYMMETRY The article is devoted to the linear–quadratic optimal control problem of nonstationary thermal process with axial symmetry. To find the solution of our problem we propose a method of Lagrange multipliers. In this way, we obtain necessary conditions for op- timality. On the basis of these conditions it is derived integro-differential Riccati equation whose solution has made it possible to write down explicit formula for the calculation of the optimal control. 1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными парамет- рами. — М.: Наука, 1965. — 476 с. 2. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с. 3. Лионс Ж.–Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частны- ми производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с. 4. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: Наука, 1975. — 480 с. 5. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физ- матлит, 2001. — 576 с. 6. Копец М.М. Оптимальное управление процессом теплопереноса // Международный научно- технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2014. — № 4. — С. 126–134. 7. Naidu D.S. Optimal control systems. (Electrical engineering textbook series). — Boka Raton; London; New York; Washington, D. C. CRC PRESS, 2003. — 433 p. Получено 16.10.2014 После доработки 26.06.2015

Оптимальное управление нестационарным тепловым процессом с осевой симметрией

Institution

Ähnliche Einträge