Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками

Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із запасами, що швидко псуються, за наявності повторних витрачальних заявок. Передбачається, що час життя запасів є скінченним і за наявності запасів витрачальні заявки обслуговуються миттєво, а при їх відсутності вони можуть або покинути систему,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Меликов, А.З., Пономаренко, Л.А., Шахмалыев, М.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы обработки информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208178
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 124-140. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208178
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2081782025-10-21T00:06:47Z Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками Моделі систем обслуговування-запасання із запасами, що швидко псуються, і повторними заявками Models of perishable queueing-inventory systems with repeated customers Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. Методы обработки информации Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із запасами, що швидко псуються, за наявності повторних витрачальних заявок. Передбачається, що час життя запасів є скінченним і за наявності запасів витрачальні заявки обслуговуються миттєво, а при їх відсутності вони можуть або покинути систему, або повторюватися через деякий час. Час поповнення запасів є додатною випадковою величиною, а політика поповнення належить класу (s, S). Розроблено точний і наближений методи розрахунку основних характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових експериментів. Models of perishable queueing-inventory systems with repeated consume customers are proposed. Live time of inventory is finite random quantity with exponential distribution function and customers are processed immediately. If the inventory level is zero then arrived customers either leave the system or go to orbit. Lead policy is two-level one. Both exact and approximate methods to calculate the characteristics of the proposed models are developed. The results of numerical experiments are shown. 2016 Article Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 124-140. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208178 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i6.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О. Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із запасами, що швидко псуються, за наявності повторних витрачальних заявок. Передбачається, що час життя запасів є скінченним і за наявності запасів витрачальні заявки обслуговуються миттєво, а при їх відсутності вони можуть або покинути систему, або повторюватися через деякий час. Час поповнення запасів є додатною випадковою величиною, а політика поповнення належить класу (s, S). Розроблено точний і наближений методи розрахунку основних характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових експериментів.
format	Article
author	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О.
author_facet	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Шахмалыев, М.О.
author_sort	Меликов, А.З.
title	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
title_short	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
title_full	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
title_fullStr	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
title_full_unstemmed	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
title_sort	модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208178
citation_txt	Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 3. — С. 124-140. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT melikovaz modelisistemobsluživaniâzapasaniâsoskoroportâŝimisâzapasamiipovtornymizaâvkami AT ponomarenkola modelisistemobsluživaniâzapasaniâsoskoroportâŝimisâzapasamiipovtornymizaâvkami AT šahmalyevmo modelisistemobsluživaniâzapasaniâsoskoroportâŝimisâzapasamiipovtornymizaâvkami AT melikovaz modelísistemobslugovuvannâzapasannâízzapasamiŝošvidkopsuûtʹsâípovtornimizaâvkami AT ponomarenkola modelísistemobslugovuvannâzapasannâízzapasamiŝošvidkopsuûtʹsâípovtornimizaâvkami AT šahmalyevmo modelísistemobslugovuvannâzapasannâízzapasamiŝošvidkopsuûtʹsâípovtornimizaâvkami AT melikovaz modelsofperishablequeueinginventorysystemswithrepeatedcustomers AT ponomarenkola modelsofperishablequeueinginventorysystemswithrepeatedcustomers AT šahmalyevmo modelsofperishablequeueinginventorysystemswithrepeatedcustomers
first_indexed	2025-10-21T01:20:29Z
last_indexed	2025-10-22T01:09:28Z
_version_	1846642336748011520
fulltext	© А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, М.О. ШАХМАЛЫЕВ, 2016 124 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ УДК 519.872 А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалыев МОДЕЛИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ- ЗАПАСАНИЯ СО СКОРОПОРТЯЩИМИСЯ ЗАПАСАМИ И ПОВТОРНЫМИ ЗАЯВКАМИ Введение Модели систем управления запасами (Inventory Systems — IS) зачастую предполагают, что в них отсутствует оборудование (станции), с помощью которо- го осуществляются процессы отпуска требуемых запасов. Иными словами, счи- тают, что при наличии запасов их отпускают потребителям (расходующим заяв- кам, p-заявкам) прямо со склада системы мгновенно, т.е. время обслуживания p-заявок равно нулю. В связи с этим не учитывается возможность образования очереди p-заявок. Вместе с тем во многих IS существует оборудование для об- служивания p-заявок, т.е. они представляют собой системы обслуживания– запасания (Queueing-Inventory Systems — QIS). Другим основополагающим допущением в классических моделях QIS явля- ется утверждение о том, что запасы в системе долговечны (Long-Lived Inventory System — LLIS), т.е. они никогда не портятся. Однако существует широкий класс QIS, в которых время жизни запасов является конечной величиной. Они называ- ются системами запасания со скоропортящимися продуктами (Perishable Inventory System — PIS), например, банки крови, системы обработки устаревающей инфор- мации, системы обеспечения продуктами питания и т.д. Здесь рассматриваются модели QIS, в которых p-заявки обслуживаются мгновенно, при этом уровень запасов на складе уменьшается не только после от- пуска их потребителям, а также в результате завершения времени жизни запасов в складе. Другой особенностью исследуемых моделей является то, что в них допус- кается возможность образования источника повторных p-заявок, настойчивых при попытке получения повторного обслуживания. Анализ доступной литературы по- казал, что подобные модели недостаточно изучены. Исходя из этого, здесь рас- сматривается один класс моделей PIS при достаточно общих предположениях от- носительно политики пополнения запасов и поведения p-заявок. Прежде всего вкратце рассмотрим известные результаты, полученные для моделей PIS. Краткий обзор известных результатов В работе [1] впервые была изучена модель детерминированной PIS без стан- ции обслуживания p-заявок. Затем исследователи долго не обращались к этим мо- делям. Ранний обзор известных работ, посвященных изучению PIS, можно найти в [2]. В недавних обзорных работах [3–7] содержится упоминание многочислен- ных литературных источников в этом направлении. В [8] изучена модель PIS без станции обслуживания p-заявок, в которой ис- пользуется ),( Ss -политика пополнения запасов. Это означает, что когда уро- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 125 вень ресурсов на складе системы становится меньшим или равным некоторому критическому уровню ,s отправляется заказ на вышестоящий склад на поставку ре- сурсов объемом ,sS  где S — максимальный объем склада системы. В указанной работе предполагается, что время выполнения заказа равно нулю, а время жизни запасов имеет показательную функцию распределения (ф.р.). В ней для изучения уровня запасов используется одномерный процесс размножения и гибели. Аналогич- ные модели с положительным временем выполнения заказа изучены в [9, 10]. В классе моделей PIS со станцией обслуживания p-заявок необходимо разли- чать два типа моделей: модели с мгновенным обслуживанием и модели с продол- жительным временем обслуживания. В моделях PIS с мгновенным обслуживанием очередь p-заявок образуется лишь тогда, когда отсутствуют ресурсы системы. Такие модели изучены в [11–14]. Так, в [11] предполагается, что ожидающие в конечной очереди p-заявки нетерпе- ливы. Рассмотрены модели, в которых времена выполнения заказов и жизни запа- сов имеют показательные ф.р., при этом ограничения на время ожидания в очереди могут быть детерминированными или случайными величинами с экспоненциаль- ными ф.р. Построена двумерная цепь Маркова (Two-Dimensional Markov Chain — 2-D MC) для изучения совместного распределения уровня запасов системы и чис- ла p-заявок в очереди. В [12] предполагается, что p-заявки образуют MAP-поток (Markov Arrival Process — MAP), время выполнения заказов имеет ф.р. фазового типа и время жизни запасов имеет экспоненциальную ф.р., при этом существует ограничение на мак- симальное число неудовлетворенных требований. В указанной работе построена 3-D MC для изучения функционирования изучаемой PIS, а для нахождения ее стаци- онарного распределения использован матрично-аналитический метод Ньютса [15]. Получены формулы для вычисления характеристик данной PIS. В [13] предполагается, что p-заявки образуют пуассоновский поток, время выполнения заказов имеет экспоненциальную ф.р., время жизни запасов либо имеет экспоненциальную ф.р., либо является постоянной величиной. Считается, что p-заявки в очереди нетерпеливы, при этом максимальное время ожидания в очереди также либо имеет экспоненциальную ф.р., либо является постоянной величиной. В [14] изучена модель, в которой время выполнения заказов имеет ф.р. фазового типа. Построена 2-D MC для изучения функционирования изучаемой PIS, а матрично-аналитический метод Ньютса использовался для нахождения ее стационарного распределения. Модели PIS с ненулевым временем обслуживанием p-заявок изучены в рабо- тах [16–21]. Так, в [16] изучена модель с пуассоновским потоком p-заявок, экспонен- циальными ф.р. времени выполнения заказов и времени жизни запасов и ограничен- ным буфером для ожидания в очереди p-заявок. В эту систему кроме p-заявок поступа- ет еще пуассоновский поток негативных заявок, которые не требуют никаких запасов системы, а лишь удаляют из системы некоторые p-заявки (если таковые имеются). Для нахождения стационарных характеристик системы (средний уровень запасов, вероят- ность потери p-заявок, средняя длина очереди p-заявок и т.д.) построена и исследована 3-D MC. Аналогичная модель, в которой ф.р. времени обслуживания p-заявок является распределением фазового типа, с помощью 4-D MC изучена в [17]; подобная модель при наличии еще и повторных p-заявок с помощью 5-D MC изучена в [18]. Отметим, что во всех работах [16–18] используется матрично-аналитический метод Ньютса. Для изучения модели PIS с ограниченным буфером для ожидания p-заявок, которые образуют MAP-поток, в [19] построена 6-D MC и разработан метод нахождения ее стационарных характеристик; при этом здесь также используется матрично-аналитический метод Ньютса. Аналогичная модель PIS, в которой p-заявки в очереди являются нетерпеливыми, изучена в [20] при использовании 126 ISSN 0572-2691 ),( Ss -политики пополнения запасов. В ней методы марковских процессов принятия решений (МППР) применяются для минимизации некоторой стоимостной функции, при этом принимается, что интенсивность обслуживания p-заявок — величина управляемая. Отметим, что использованная в работе цепь Маркова (ЦМ) соответ- ствует 6-D MC. Аналогичная задача рассмотрена в [21]. Модель марковской PIS с ненадежным каналом обслуживания p-заявок при использовании ),( Ss -политики пополнения запасов изучена в [22]. Предпо- лагается, что p-заявки, которые поступают в моменты отсутствия запасов системы или неисправности канала обслуживания, либо покидают систему, либо посту- пают в орбит бесконечного размера. Для изучения этой системы построена 3-D MC, а ее стационарное распределение находится с помощью матрично-аналитического метода Ньютса. Таким образом, анализ доступной литературы показал, что модели PIS с по- вторными p-заявками почти не исследованы, хотя именно такие модели наиболее адекватно описывают реальные QIS, в которых потребители, как правило, при от- сутствии запасов системы не ожидают в очереди, а повторяют свои заказы через определенное случайное время. Подобные модели LLIS изучены в [23–26]. Исходя из этого, в данной работе рассмотрены модели PIS с повторными вызовами и пред- ложены методы их точного и асимптотического анализа. Описание моделей PIS Схема изучаемой PIS с повторными p-заявками показана на рис. 1. Система имеет склад ограниченного объема .S В эту систему поступает пуассоновский поток первичных p-заявок с интенсивностью . Если в момент поступления p-заявки уровень запасов в системе положительный, то она с вероятностью 1 мгновенно обслуживается и уходит из системы; иначе (т.е. когда в системе отсут- ствуют запасы) она либо с вероятностью pH уходит в орбит для повторения сво- его запроса, либо с дополнительной вероятностью pH1 окончательно уходит из системы. Для простоты изложения предположим, что каждая p-заявка требует ре- сурса единичного размера, т.е. после обслуживания p-заявки уровень ресурсов на складе уменьшается на единицу. Первичные p-заявки Уход p-заявок С вероятностью Hp, если склад пустой Орбит для r-заявок С вероятностью Hp, если склад пустой 1 2 S   Рис. 1 Каждая p-заявка из орбита независимо от других заявок повторяет свой за- прос через случайное время, которое имеет экспоненциальную ф.р. с параметром . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 127 При этом, если в момент поступления заявки из орбита на складе имеется хотя бы одна единица запаса, то такая заявка мгновенно обслуживается и уходит из орбита; иначе повторная p-заявка либо с вероятностью rH покидает орбит, либо с до- полнительной вероятностью rH1 остается там для дальнейшего повторения своего запроса. Отметим, что ресурсы системы недолговечны, т.е. каждая единица запасов си- стемы независимо от остальных становится непригодной для использования после случайного времени, которое имеет экспоненциальную ф.р. с параметром , .0 Это означает, что уровень ресурсов на складе системы уменьшается не только после их отпуска согласно p-заявкам, но также в результате их порчи. Рассматривается два класса моделей PIS: системы с конечным и бесконечным объемом орбита для p-заявок. В модели с конечным объемом орбита поступившая в орбит p-заявка теряется с вероятностью 1, если в этот момент там уже имеется N таких заявок, где N — максимальный объем орбита; в модели с бесконечным объемом орбита любая поступившая p-заявка принимается туда с вероятностью 1. Склад системы запасами пополняется с помощью снабжающих заявок (с-заявки) и осуществляется согласно политике ).,( Ss Это означает, что когда уровень за- пасов системы становится меньшим или равным некоторой пороговой (критиче- ский уровень запасов) величине ,s отправляется заказ на вышестоящий склад на поставку запасов объема .sS  При этом требуется, чтобы после выполнения за- каза уровень запасов на складе системы был не меньше указанной величины .s Следовательно, для предотвращения случаев многократных заказов необходимо выполнение соотношения ;2/Ss  иными словами, возможными значениями s являются числа ,1 2 ...,,1,0        S s где ][a — целая часть .a Сделанный заказ выполняется с некоторой случайной задержкой с-заявок, т.е. время выполнения заказа — положительная величина. Если принято, что кри- тический уровень запасов равен ,s то указанное время имеет экспоненциальную ф.р. с параметром ),(nv который в общем случае зависит от количества n повторных заявок в орбите, ....,,1,0 Nn  При этом допускается отпуск запасов p-заявкам при их выгрузке на склад системы (т.е. во время обслуживания с-заявок). Задача состоит в определении совместного распределения уровня запасов си- стемы и длины очереди p-заявок. Решение этой задачи позволит нам определить также усредненные характеристики изучаемой модели PIS, которые оцениваются с помощью следующих параметров: средний уровень ресурсов на складе ),( avS вероятности потери p-заявок при первичном )( pP и повторном поступлении )( rP и среднее число p-заявок в орбите ).( oL Методы расчета характеристик PIS Сначала рассмотрим модель PIS с конечным объемом орбита. Ее работу мож- но описать с помощью 2-D MC с состояниями вида ),( nm , где m — уровень ре- сурсов на складе, n — число p-заявок в орбите. Эта цепь конечна, и ее фазовое пространство состояний (ФПС) определяется так: }....,,1,0;...,,1,0:),({ NnSmnmE  (1) Определим элементы производящей матрицы (Q-матрицы) данной 2-D MC. Граф переходов между состояниями этой цепи показан на рис. 2. Интенсивность 128 ISSN 0572-2691 перехода из состояния Enm ),( 11 в другое состояние Enm ),( 22 обозначим .)),(),,(( 2211 nmnmq 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4  5 4v 0v 0v 0v 4v 4v pH      2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 pH pH pH rH rH2 rH4 rH3  4  3  2  Рис. 2 Из описания изучаемой системы видно, что переходы между состояниями ФПС (1) связаны со следующими событиями: (i) с поступлением первичных p-заявок, (ii) с поступлением повторных p-заявок, (iii) с завершением времени жизни запасов и (iv) с пополнением запасов. Исходя из принятой политики по- полнения запасов, а также схемы отправки в орбит p-заявок и ухода их из него, при определении исходного состояния Enm ),( 11 необходимо различать следу- ющие случаи: 1) ;1 sm  2) .0)3;0 11  msm Сначала рассмотрим случай .1 sm  Выходы из данного состояния ),( 11 nm из-за событий типа (iv) невозможны, так как в таких состояниях склад не может пополняться запасами. Остальные переходы определяются следующим образом:  если поступает некоторая первичная p-заявка (события типа (i)), то она мгновенно обслуживается, т.е. осуществляется переход из данного состояния в состояние ;),1( 11 Enm  интенсивность этого перехода равна ;  в момент поступления повторной p-заявки (события типа (ii)) она также мгновенно обслуживается, т.е. осуществляется переход из данного состояния в состояние ;)1,1( 11 Enm  интенсивность этого перехода равна ;  после завершения времени жизни запасов на складе (события типа (iii)), осуществляется переход из данного состояния в состояние ;),1( 11 Enm  интен- сивность этого перехода равна .1m Следовательно, для случаев sm 1 элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 2):          случаях. остальных в0 ,1,1 если, ,,1 если, )),(),,(( 12121 12121 2211 nnmmn nnmmm nmnmq (2) Если в исходном состоянии Enm ),( 11 выполняется условие ,0 1 sm  то интенсивности переходов для указанных выше событий типа (i)–(iii) определяются аналогично соотношениям (2). Вместе с тем в момент поступления заказа объема sS  (события типа (iv)) происходит переход из этого состояния в состояние Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 129 ),( 11 nsSm  ; интенсивность такого перехода равна ).( 1nv Следовательно, для слу- чаев sm  10 указанные выше элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 2):             случаях. остальных в0 ,, если),( ,1,1 если, ,,1 если, )),(),,(( 12121 12121 12121 2211 nnsSmmn nnmmn nnmmm nmnmq (3) И наконец, пусть в исходном состоянии Enm ),( 11 выполняется условие .01 m В этом случае выходы из данного состояния из-за событий типа (iii) невоз- можны, так как в состояниях такого типа склад системы пустой. В этих состояни- ях интенсивности переходов для событий типа (iv) определяются аналогично соот- ношениям (3). Остальные переходы определяются следующим образом:  если поступает некоторая первичная p-заявка (события типа (i)), то она с ве- роятностью pH уходит в орбит, т.е. осуществляется переход из данного состоя- ния в состояние ;)1,0( 1 En  интенсивность этого перехода равна ;pH  если поступает некоторая повторная p-заявка (события типа (ii)), она с ве- роятностью rH покидает орбит, т.е. осуществляется переход из данного состоя- ния в состояние ;)1,0( 1 En  интенсивность этого перехода равна .1 rHn  Следовательно, для случаев 01 m элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 2):             случаях. остальных в0 ,, если),( ,1, если, ,1, если, )),(),,(( 12121 12121 1212 2211 nnsSmmn nnmmHn nnmmH nmnmq r p (4) Из формул (2)–(4) видно, что все состояния этой конечной 2 -D MC являются сообщающимися, следовательно, в этой системе существует стационарный режим (см. также рис. 2). Пусть ),( nmp — стационарная вероятность состояния .),( Enm  Эти веро- ятности находятся в результате решения соответствующей системы уравнений равновесия (СУР), которая составляется на основе соотношений (2)–(4). Из-за очевидности ее составления явный вид этой СУР не приводится. После нахождения совместного распределения уровня ресурсов на складе си- стемы и длины очереди p-заявок можно вычислить указанные выше усредненные характеристики исследуемой PIS. Так, средний уровень ресурсов на складе )( avS и среднее число p-заявок в орбите )( avL определяются как математические ожи- дания соответствующих случайных величин, т.е. ),( 01 nmpmS N n S mav    , (5) .),( 01 nmpnL S m N nav    (6) Вероятности потери p-заявок определяются следующим образом. Первичная p-заявка теряется с вероятностью 1, если в момент ее поступления склад системы является пустым и в орбите отсутствует свободное место; она также теряется 130 ISSN 0572-2691 с вероятностью pH1 , если в момент ее поступления склад системы пустой и в орбите имеется хотя бы одно свободное место. Следовательно, вероятность поте- ри первичных p-заявок )( pP вычисляется следующим образом: ).,0()1(),0( 1 0 npHNpP N n pp     (7) Повторная p-заявка теряется, если в момент ее поступления склад системы пустой (вероятность такого события равна rH ). Следовательно, вероятность по- тери повторных p-заявок )( rP вычисляется так: .),0( 1 npHP N n rr    (8) Таким образом, для точного расчета характеристик (5)–(8) изучаемой модели PIS необходимо найти решение указанной выше СУР для стационарных вероят- ностей состояний. В этой связи отметим, что нам не удалось найти ее аналитиче- ское решение. К сожалению, изучаемая 2-D MC не является хотя бы квазипроцес- сом размножения–гибели, для расчета которого существуют эффективные чис- ленные методы [20, 21]. Поэтому для решения поставленной задачи необходимо использовать известные численные методы теории марковских цепей [22, 23]. Од- нако эти методы работоспособны лишь для цепей малой и умеренной размерно- сти и становятся вообще бесполезными для цепей большой и сверхбольшой раз- мерности, которые являются моделями реальных PIS. Здесь для решения указанной проблемы используется приближенный метод [24], позволяющий осуществить асимптотический анализ характеристик данной моде- ли PIS при больших размерностях склада системы )(S и объема орбита )(N для p-заявок. При этом принимается, что суммарная интенсивность поступления пер- вичных p-заявок и порчи запасов намного превосходит интенсивность поступле- ния повторных p-заявок. Отметим, что последнее допущение выполняется в ре- альных PIS. Ранее этот метод успешно применялся для анализа различных моде- лей систем обслуживания [24–27]. При выполнении указанного допущения рассмотрим следующее расщепле- ние исходного ФПС (1):   N n nnn nnEEEE 0 21,0, 21  , (9) где ....,,1,0},...,,1,0:),({ NnSmEnmEn  Расщепление (9) означает, что класс состояний nE содержит те состояния ),( nm из исходного ФПС (1), в которых число р-заявок в орбите равно n незави- симо от уровня запасов на складе (т.е. осуществляется разбиение графа состоя- ний, показанного на рис. 2, по столбцам). Далее в исходном ФПС (1) определяется следующая функция укрупнения:  nnmU )),(( , (10) где n — укрупненное состояние, которое объединяет в себе класс состояний ....,,1,0, NnEn  Обозначим .},...,1,0:{ Nnn  Стационарное распределение исходной модели приближенно определяется следующим образом (см. [24]): Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 131 ,)()(),(  nmnmp n (11) где )(mn — вероятность состояния ),( nm внутри расщепленной модели с простран- ством состояний ,nE а )(  n — вероятность укрупненного состояния .n Из расщепления (9) видно, что во всех состояниях ),( nm внутри расщеплен- ной модели с ФПС nE вторая компонента постоянная, и поэтому все состояния из этого класса определяются лишь первой компонентой. Отсюда при изучении расщепленных моделей с ФПС nE состояние nEnm ),( может быть задано лишь первой компонентой, т.е. для удобства изложения при изучении расщепленной моде- ли с ФПС nE ее состояние ),( nm просто обозначается как ....,,1,0, Smm  Интенсивность перехода между состояниями 1m и 2m расщепленной модели с ФПС nE обозначается .),( 21 mmqn Из соотношений (2)–(4) получаем, что эти параметры вычисляются так (рис. 3):          случаях. остальных в0 ,, если),( ,1 если, ),( 121 121 21 sSmmsmn mmm mmqn (12) vk vk vk 5   2  3  4  5 0 1 2 3 4 5 Рис. 3 Из соотношений (12) удается выразить вероятности состояний расщепленной модели с ФПС nE через вероятность состояния 1s следующим образом (здесь промежуточные преобразования опускаются):           .1 если),1()( ,1 если),1()( ,0 если),1()( )( SmsSsn sSmssn smsn m nm nm nm n (13) Здесь и далее приняты следующие обозначения: ,...,,2,1, Siii  .)( )( )(;)(; )( )( 11 1 1 n n nn n n i s sSmi m m m s m s mi i i m                Вероятность )1(  sn находится из условия нормировки, т.е. .)()()()1( 1 110               nnns m S sSm m sS sm m s m n (14) Укрупненная модель описывается одномерным процессом размножения– гибели. Интенсивность перехода из укрупненного состояния  1n в другое укруп- 132 ISSN 0572-2691 ненное состояние  2n обозначим  2121 ,),,( nnnnq . Согласно [24] эти параметры определяются следующим образом: .),()),(),,((),( 112211 ),( ),( 21 222 111 nmpnmnmqnnq n n Enm Enm     (15) С учетом (2)–(4) и (12)–(14) из (15) после определенных математических пре- образований имеем:          случаях.остальныхв0 ,1 если),)0()1(1( ,1 если),0( ),( 121 12 21 1 1 nnHn nnH nnq nr np (16) Из соотношений (15) с помощью классических формул процесса размножения– гибели определяются вероятности состояний ,),(  nn укрупненной модели. Следовательно, с учетом соотношений (12)–(16) из (11) находим совместное рас- пределение уровня запасов на складе системы и числа повторных p-заявок в орбите. Далее с использованием (6)–(8) получаем следующие формулы для приближенно- го расчета характеристик изучаемой PIS с ограниченным размером орбита: ,)()( 1 0      S m n N n av nmmS (17) ,)( 1    nnL N n o (18) ,)()0()()0()1( 1 0     NnHP Nn N n pp (19) .)()0( 1    nHP n N n rr (20) Теперь рассмотрим модель PIS с неограниченным размером орбита, при этом предположим, что время выполнения заказа не зависит от числа повтор- ных p-заявок в орбите. Работа данной PIS описывается бесконечномерной ЦМ с состояниями вида ),( nm , где m — уровень ресурсов в складе, n — число p-заявок в орбите, т.е. ФПС этой модели задается так: ....},1,0;...,,1,0:),({  nSmnmE (21) Замечание. Здесь и в дальнейшем для упрощения изложения в обеих моделях используются одинаковые обозначения для их ФПС, стационарных распределений и характеристик. Однако из контекста ясно, о каких именно моделях идет речь. Элементы Q-матрицы данной ЦМ определяются аналогично (2), (3). Средний уровень ресурсов в складе и среднее число p-заявок в орбите определяются анало- гично (5) и (6), но при этом следует иметь в виду, что в этих формулах необходи- мо положить .N При определении вероятности потери p-заявок в данной модели отсутствует первое слагаемое в формуле (7), так как орбит для p-заявок имеет бесконечную размерность. Следовательно, в данной модели для вычисления вероятности поте- ри p-заявок получим следующую формулу: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 133 .),0()1( 0 npHP n pp     (22) Вероятность потери повторных p-заявок в данной модели вычисляется так: .),0( 1 npHP n rr     (23) Для нахождения стационарного распределения соответствующей бесконеч- номерной ЦМ не удается использовать соответствующую СУР для стационарных вероятностей состояний, так как здесь также не удалось найти аналитические вы- ражения для их вычисления или разработать эффективные численные процедуры. Использование метода двумерных производящих функций сопровождается из- вестными трудностями. Поэтому для нахождения стационарного распределения этой бесконечномерной ЦМ используется описанный выше приближенный метод. Специфика его применения для данной модели излагается ниже в краткой форме. Как и выше, рассматривается аналогичное (9) расщепление ФПС (21) и соот- ветствующим образом строится функция укрупнения (см. (10)). В данном случае стационарные вероятности состояний внутри всех расщеп- ленных моделей с ФПС nE не зависят от ...,2,1,0, nn (12), т.е. они вычисляют- ся так (см. также формулы (13), (14)):           ,1 если),1( ,1 если),1( ,0 если),1( )( SmsSs sSmss sms m m m m (24) где .;; 1 1 1 1                 s sSmi i m m m s m i is mim Как и выше, вероятность )1(  s находится из условия нормировки, т.е. .)1( 1 110               m S sSm m sS sm m s m s Интенсивности переходов между состояниями укрупненной модели опреде- ляются так (см. формулу (16)):          случаях,остальныхв0 ,1 если, ,1 если, ),( 121 12 21 nnΜn nn nnq (25) где .))0()1(1(),0(  rp HΜH Из соотношений (25) получаем, что вероятности состояний укрупненной мо- дели совпадают с соответствующими вероятностями состояний модели системы обслуживания // MM с нагрузкой Μ/ erl, т.е. ....,2,1,0,)(           ne Μ n Μ n (26) Следовательно, используя соотношения (5), (6) и (21)–(26), после определенных преобразований получим следующие формулы для вычисления приближенных значений характеристик модели PIS с неограниченным размером орбита: 134 ISSN 0572-2691 ,)( 1 mmS S m av    (27) ,/ΜLo  (28) ,)0()1(  pp HP (29) .)1( /Μ rr eHP  (30) Из формулы (27) видно, что в данной модели средний уровень запасов си- стемы зависит от интенсивностей поступления p-заявок )( , порчи ),( пополне- ния запасов ),( критического уровня запасов )(s и не зависит от параметров настойчивости первичных )( pH и повторных p-заявок )( rH , а также от интен- сивности поступления повторных p-заявок )( . Этот факт имеет следующее эври- стическое объяснение: здесь орбит имеет бесконечный размер и согласно приня- тому асимптотическому условию суммарная интенсивность поступления первич- ных p-заявок и порчи запасов намного превосходит интенсивность поступления повторных p-заявок (т.е. по принятому допущению  S ), поэтому сред- ний уровень запасов системы не зависит от интенсивности повторных p-заявок, которая определяется в основном параметрами настойчивости первич- ных и повторных p-заявок. Вместе с тем остальные характеристики зависят от всех параметров системы (см. формулы (28)–(30)). Численные результаты Рассмотрим результаты вычислительных экспериментов, которые проводи- лись с использованием разработанных выше алгоритмов. Они позволяют изучить поведение характеристик исследуемых моделей PIS относительно изменения как структурных, так и нагрузочных параметров системы. Для конкретности изложения здесь изучается поведение характеристик PIS относительно изменения критического уровня запасов. Перейдем к определению параметров модели. Логично предположить, что функции ,...,1,0),( nnv должны быть неубывающими, т.е. с увеличением числа повторных p-заявок в орбите интенсивность пополнения запасами должна увели- чиваться, чем больше число p-заявок в орбите, тем быстрее должны пополняться запасы. Поэтому ниже для конкретности изложения принимается, что в случае пе- ременной интенсивности пополнения запасами ,1)(  nn а в случае постоянной интенсивности пополнения запасами 10)(  n для всех .n Выбраны такие параметры гипотетической модели: ,5,50 S .5,0 В модели с ограниченным размером орбита для повторных p-заявок принимается, что .100N Относительно параметров, определяющих степень настойчивости p-заявок, отметим, что здесь рассматривается два варианта их определения: 1) более настойчивые и 2) менее настойчивые. Для варианта 1 принимается, что ,8,0pH 1,0rH , а для варианта 2 — 4,0,2,0  rp HH . Приведенный ниже анализ осно- ван исключительно на этих данных. Результаты численных экспериментов для модели с ограниченным размером орбита (при v(n) = n + 1) показаны на рис. 4–7, где обозначения  и  на кривых относятся к результатам для вариантов 1 и 2 соответственно. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 135 0,5 -2,5 -2 -1 -3 LgPp -3,5 15 10 5 20 s 1 0 -1,5 Рис. 5 -0,5 -2,5 -2 -1 -3 LgPo 15 10 5 20 s 1 0 -1,5 Рис. 7 Из рис. 4 видно, что для обоих вариантов определения настойчивости p-заявок средний уровень запасов )( avS является возрастающей функцией отно- сительно критического уровня запасов )(s , и при этом их абсолютные значения для различных вариантов почти совпадают. Вместе с тем вероятность потери пер- вичных p-заявок )( pP является убывающей функцией относительно критического уровня запасов, и при этом их абсолютные значения для различных вариантов существенным образом отличаются (см. рис. 5), т.е. значения этой функции для первого варианта оказываются существенно меньшими, чем для второго. Этого следовало ожидать, так как, во-первых, в варианте 1 с ростом значений параметра s увеличивается средний уровень запасов (т.е. уменьшается вероятность опустоше- ния склада системы), во-вторых, в этом случае p-заявки более настойчивые и при поступлении в орбит, и при поступлении с орбита в случаях отсутствия запасов системы. Вероятность потери повторных p-заявок )( rP также является убываю- щей функцией относительно критического уровня запасов, однако интересно (равно как и неожиданно), что ее значения в различных вариантах почти совпа- дают (см. рис. 6). На рис. 7 показан график функции ;oL отсюда видно, что среднее число p-заявок в орбите — убывающая функция относительно критическо- го уровня запасов. Этот результат ожидаемый, так как с ростом параметра s увели- чивается вероятность получения требуемого обслуживания (см. рис. 5 и 6) и тем самым уменьшается вероятность поступления в орбит. С другой стороны, из этого рисунка также видно, что для варианта 1 среднее число p-заявок в орбите оказы- вается существенно большим, чем для варианта 2; этот результат также имеет вполне логическое объяснение — в первом варианте p-заявки более настойчивы, чем во втором. Результаты численных экспериментов для модели с неограниченным разме- ром орбита от параметра s при v (n) = 10 показаны на рис. 8–11. 0 15 10 5 20 25 35 Sav 30 15 10 5 20 s 1 Рис. 4 -2 -5 -4 -1 -6 LgPr -7 15 10 5 20 s 1 0 -3 Рис. 6 136 ISSN 0572-2691 -4 -10 -8 -2 -12 LgPp -14 15 10 5 20 s 1 0 -6 Рис. 9 -4 -10 -8 -2 -12 LgLo 15 10 5 20 s 1 0 -6 Рис. 11 Из рис. 8 (зависимость функции Sav ) видно, что, как и в случае модели с ограниченным размером орбита (см. рис. 4), в обоих вариантах абсолютные зна- чения среднего уровня запасов почти совпадают. Вместе с тем, в отличие от предыдущей модели, здесь изучаемая функция не является возрастающей относи- тельно критического уровня запасов, т.е. в малых значениях этого параметра она растет, а при 5s начинает убывать. Здесь также вероятность потери первичных p- заявок является убывающей функцией относительно критического уровня запасов в обоих вариантах (см. рис. 9, зависимость функции Pp ), и при этом их абсолют- ные значения в данной модели существенным образом меньше (на несколько по- рядков), чем в модели с ограниченным размером орбита (см. рис. 5). Этого следо- вало ожидать, так как в данной модели потери p-заявок происходят только из-за их малой настойчивости при отсутствии запасов системы. Как и в случае модели с ограниченным размером орбита, значения этой функции в первом варианте ока- зываются меньшими, чем во второй схеме. График функции rP показан на рис. 10; она также является убывающей функцией относительно критического уровня запасов, при этом интересно что, как и в случае модели с ограниченным размером орбита (см. рис. 6), здесь также ее значения в различных вариантах почти совпа- дают. Вместе с тем в данной модели ее значения на несколько порядков меньше, чем в модели с ограниченным размером орбита. График функции oL показан на рис. 11. Поведение этой функции при различных вариантах аналогично тому, ко- торое было замечено в модели с ограниченным размером орбита (см. рис. 7). Сле- дует отметить, что здесь, несмотря на то, что размер орбита является бесконеч- ным, среднее число повторных p-заявок в орбите существенно меньше, чем в мо- дели с ограниченным размером орбита. Это объясняется тем, что в различных моделях используются различные политики пополнения запасов. Нами также изучены зависимости характеристик системы с ограниченным размером орбита от политики пополнения запасов при фиксированных парамет- рах, которые определяют степень настойчивости первичных и повторных p-заявок. 0 10 20 40 50 Sav 30 15 10 5 20 s 1 Рис. 8 -5 -10 -15 LgPr -20 15 10 5 20 s 1 0 -25 Рис. 10 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 137 Принималось, что эти параметры постоянные )1,0,8,0(  rp HH и сравнива- лись характеристики системы при 1)(  nn и 10)(  n для всех .n При этом управляемым параметром также является критический уровень запасов. Эти ре- зультаты показаны на рис. 12–15, где обозначения  и  соответствуют результа- там для случаев 1)(  nn и 10)(  n для всех n соответственно. Из рис. 12 видно, что при постоянной интенсивности пополнения запасов их средний уровень оказывается существенно большим, чем при переменной интен- сивности. Функция avS в обоих случаях при малых значениях параметра s си- стематически растет, а затем начинает уменьшаться. При этом скорости их изме- нения и интервалы переключения характера их роста существенно отличаются. Так, в случае постоянной интенсивности пополнения запасов функция avS с до- статочно высокой скоростью растет до значения ,9s а в случае переменной ин- тенсивности пополнения запасов она растет с малой скоростью до значения .19s Функция pP в обоих случаях систематически уменьшается, при этом ее значения при постоянной интенсивности пополнения запасов оказываются суще- ственно меньшими (на несколько порядков), чем при переменной интенсивности (см. рис. 13). Аналогичная картина наблюдается для функций rP и oL (см. рис. 14 и рис. 15 соответственно). Отметим, что в обоих случаях имеет место соотношение ,pr PP  особенно при больших значениях параметра .s -4 -10 -8 -2 -12 LgPp -14 15 10 5 20 s 1 0 -6 Рис. 13 -4 -10 -8 -2 -12 LgLo 15 10 5 20 s 1 0 -6 Рис. 15 Вычислительные эксперименты показывают, что характеристики модели PIS существенно зависят от многих факторов: от интенсивности поступления первичных p-заявок, от параметров, которые характеризуют их настойчивость при поступле- нии в орбит и с орбита, от интенсивности порчи запасов, а также от интенсивно- сти и политики пополнения запасов. Поэтому зачастую трудно заранее (аналити- чески) прогнозировать поведение характеристик изучаемых PIS, и, следовательно, 0 10 20 40 50 Sav 30 15 10 5 20 s 1 Рис. 12 -5 -10 -15 LgPr -20 15 10 5 20 s 1 0 -25 Рис. 14 138 ISSN 0572-2691 для каждой конкретной PIS нужно проводить вычисления на основе предложен- ных алгоритмов. Заключение В настоящей работе предложены модели систем обслуживания–запасания со скоропортящимися запасами, в которых расходующие заявки обслуживаются мгновенно. В случае отсутствия запасов системы поступившие расходующие за- явки либо уходят в орбит для повторения запроса через некоторое случайное вре- мя, либо окончательно покидают систему. Поступающие с орбита расходующие заявки при отсутствии запасов системы либо опять возвращаются в орбит для по- вторения запроса, либо снимают свои запросы, при этом уход в орбит расходую- щих заявок (первичных и повторных), либо их уход из системы имеет рандомизи- рованный характер. Время выполнения заказов системы для пополнения запасов, а также время жизни запасов системы — случайные величины, которые имеют экспоненциальные распределения с известными средними значениями. Политика пополнения запасов принадлежит классу политик двух уровней. Разработаны точный и приближенный методы для определения характеристик изучаемых си- стем с ограниченным и неограниченным размерами орбита для расходующих за- явок. Точный метод эффективен для систем с умеренными значениями объема склада системы и размера орбита расходующих заявок. Приближенный подход основан на алгоритмах фазового укрупнения состояний двумерных ЦМ и может применяться для систем любой размерности. А.З. Меліков, Л.А. Пономаренко, М.О. Шахмалиєв МОДЕЛІ СИСТЕМ ОБСЛУГОВУВАННЯ-ЗАПАСАННЯ ІЗ ЗАПАСАМИ, ЩО ШВИДКО ПСУЮТЬСЯ, І ПОВТОРНИМИ ЗАЯВКАМИ Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із запасами, що швид- ко псуються, за наявності повторних витрачальних заявок. Передбачається, що час життя запасів є скінченним і за наявності запасів витрачальні заявки обслу- говуються миттєво, а при їх відсутності вони можуть або покинути систему, або повторюватися через деякий час. Час поповнення запасів є додатною випад- ковою величиною, а політика поповнення належить класу (s, S). Розроблено точ- ний і наближений методи розрахунку основних характеристик запропонованих моделей. Наведено результати числових експериментів. A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, M.O. Shahmaliyev MODELS OF PERISHABLE QUEUEING-INVENTORY SYSTEMS WITH REPEATED CUSTOMERS Models of perishable queueing-inventory systems with repeated consume customers are proposed. Live time of inventory is finite random quantity with exponential distribution function and customers are processed immediately. If the inventory level is zero then arrived customers either leave the system or go to orbit. Lead policy is two-level one. Both exact and approximate methods to calculate the characteristics of the proposed models are developed. The results of numerical experiments are shown. 1. Ghare P.M., Schrader G.F. A model for an exponentially decaying inventory // Journal of Indus- trial Engineering. — 1963. — 14. — P. 238–243. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 3 139 2. Nahmias S. Perishable inventory theory: A review // Operations Research — 1982 — 30. — P. 680–708. 3. Nahmias S. Perishable inventory theory — Heidelberg; Dordrecht; London; New York: Springer, 2011. — 80 p. 4. Baron O., Berman O., Perry D. Continuous review inventory models for perishable items ordered in batches // Mathematics Methods of Operations Research. — 2010. — 72. — P. 217–247. 5. Lawrence A.S, Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facility and finite source // Applied Mathematical Modeling. — 2013. — 37. — P. 4771–4786. 6. Goyal S., Giri B. Recent trends in modeling of deteriorating inventory // European Journal of Operations Research. — 2001. — 134, N 1. — P. 1–16. 7. Karaesmen I., Scheller-Wolf A., Deniz B. Managing perishable and aging inventories: Review and future research directions // Planning production and inventories in the extended enterprise. A state of the art handbook. — 2011. — 1. — P. 393–438. 8. Liu L. An (s,S) continuous review models for inventory with random lifetimes // Operations Re- search Letters. — 1990. — 9, N 3. — P. 161–167. 9. Liu L., Yang T. An (s,S) random lifetimes inventory model with positive lead time // European Journal of Operations Research. — 1999. — 113, N 1. — P. 52–63. 10. Kalpakam S., Sapna K.P. Continuous review (s,S) inventory system with random lifetimes and positive lead times // Operations Research Letters. — 1994. — 16, N 2. — P. 115–119. 11. Perry D., Stadje W. Perishable inventory systems with impatient demands // Mathematics Methods of Operations Research. — 1999. — 50. — P. 77–90. 12. Charkravarthy S., Daniel J. A Markovian inventory systems with random shelf time and back orders // Computers and Industrial Engineering. — 2004. — 47. — P. 315–337. 13. Ioannidis S. et al. Control policies for single-stage production systems with perishable inventory and customer impatience // Annals of Operations Research. — 2012. — 209. — P. 115–138. 14. Ko S.S., Kang J., Kwon E.Y. An (s, S)-inventory model with level-dependent G/M/1-type struc- ture // Journal of Industrial and Management Optimization. — 2016. — 12, N 2. — P. 609–624. 15. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: An algorithmic approach. — Balti- more : John Hopkins University Press, 1981. — 332 р. 16. Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities and negative customers // Advance Modeling and Optimization. — 2006. — 7, N 2. — P. 193–210. 17. Manuel P., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities, MAP arrivals and PH-service times // Journal of Systems Science and Systems Engineering. — 2007. — 16, N 1. — P. 62–73. 18. Manuel P., Sivakumar B., Arivarignan G. A perishable inventory system with service facilities and retrial customers // Computers and Industrial Engineering. — 2008. — 54. — P. 484–501. 19. Amirthakodi M., Radhamami V., Sivakumar B. A perishable inventory system with service facility and feedback customers // Annals of Operations Research. — 2015. — 233. — P. 25–55. 20. Al Hamadi H.M., Sangeetha N., Sivakumar B. Optimal control of service parameter for a perisha- ble inventory system maintained at service facility with impatient customers // Ibid. — 2015. — 233. — P. 3–23. 21. Berman O., Sapna K.P. Optimal service rate of service facility with perishable inventory items // Naval Research Logistics. — 2002. — 49. — P. 464–482. 22. Laxmi P.V., Soujanya M.L. Perishable inventory systems with service interruptions, retrial de- mands and negative customers // Applied Mathematics and Computation. — 2015. — 262. — P. 102–110. 23. Ushakumari P.V. On (s, S) inventory system with random lead time and repeated demands // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2006. — Article ID 81508. — 22 p. 24. Artalejo J.R., Krishnamoorthy A., Lopez-Herrero M.J. Numerical analysis of (s, S) inventory system with repeated attempts // Annals of Operations Research. — 2006. — 141. — P. 67–83. 25. Lopez-Herrero M.J. Waiting time and other first-pasage time measures in an (s, S) inventory system with repeated attempts and finite retrial group // Computers & Operations Research. — 2010. — 37. — P. 1256–1261. 26. Krishnamoorthy A., Jose K.P. Comparision of inventory systems with service, positive lead-time, loss, and retrial of customers // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2007. — Article ID 37848. — 23 p. 27. Пономаренко Л.А., Меликов А.З., Багирова С.А. Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2016. — № 1. — С. 96–110. Получено 27.01.2016 140 ISSN 0572-2691 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 135 Поправка к статье «Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками» / Меликов А.З., Пономаренко Л.А., Шахмалыев М.О. — 2016. — № 3. — C. 124–139. В указанной статье авторами были допущены неточности. Правильный вариант следующий: с. 130, 2-й абзац, 6-я строка сверху: вместо [20, 21] нужно [15]; 2-й абзац, 7-я строка сверху: ссылку [22, 23] убрать без замены; 3-й абзац, 1-я строка сверху: вместо [24] надо [27]; последний абзац, 2-я строка: вместо [24] надо [27]. с. 131, последний абзац, 3-я строка: вместо [24] надо [27].

Модели систем обслуживания-запасания со скоропортящимися запасами и повторными заявками

Institution

Ähnliche Einträge