О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества
Для процесів, описаних рівняннями в частинних похідних третього порядку, методом моментів будується оптимальне керування. Показано збіжність отриманого ряду.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208188 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества / М.М. Ягубова // Проблемы управления и информатики. —2016. — № 4. — С. 47-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208188 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2081882025-10-21T00:13:28Z О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества Про побудову методом моментів оптимального керування для лінійного рівняння третього порядку з квадратичним критерієм якості On the construction of the optimal control using the method of moments for a linear third order equation with a quadratic quality criterion Ягубова, М.М. Оптимальное управление и методы оптимизации Для процесів, описаних рівняннями в частинних похідних третього порядку, методом моментів будується оптимальне керування. Показано збіжність отриманого ряду. For processes described by a linear PDE of third order, the method of moments constructs an optimal control. Convergence of the resulting series is proved. 2016 Article О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества / М.М. Ягубова // Проблемы управления и информатики. —2016. — № 4. — С. 47-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208188 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i8.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации |
| spellingShingle |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Ягубова, М.М. О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества Проблемы управления и информатики |
| description |
Для процесів, описаних рівняннями в частинних похідних третього порядку, методом моментів будується оптимальне керування. Показано збіжність отриманого ряду. |
| format |
Article |
| author |
Ягубова, М.М. |
| author_facet |
Ягубова, М.М. |
| author_sort |
Ягубова, М.М. |
| title |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| title_short |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| title_full |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| title_fullStr |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| title_full_unstemmed |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| title_sort |
о построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208188 |
| citation_txt |
О построении методом моментов оптимального управления для линейного уравнения третьего порядка с квадратичным критерием качества / М.М. Ягубова // Проблемы управления и информатики. —2016. — № 4. — С. 47-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT âgubovamm opostroeniimetodommomentovoptimalʹnogoupravleniâdlâlinejnogouravneniâtretʹegoporâdkaskvadratičnymkriteriemkačestva AT âgubovamm propobudovumetodommomentívoptimalʹnogokeruvannâdlâlíníjnogorívnânnâtretʹogoporâdkuzkvadratičnimkriteríêmâkostí AT âgubovamm ontheconstructionoftheoptimalcontrolusingthemethodofmomentsforalinearthirdorderequationwithaquadraticqualitycriterion |
| first_indexed |
2025-10-21T01:21:17Z |
| last_indexed |
2025-10-22T01:10:05Z |
| _version_ |
1846642375471923200 |
| fulltext |
© М.М. ЯГУБОВА, 2016
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 47
УДК 517.977
М.М. Ягубова
О ПОСТРОЕНИИ МЕТОДОМ МОМЕНТОВ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КВАДРАТИЧНЫМ
КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Решение многих прикладных задач приводит к исследованию разрешимости
начально-краевых задач для уравнений с частными производными, не относящих-
ся ни к одному из классических типов. Это уравнения третьего порядка, так назы-
ваемые уравнения переменного типа [1, 2]. В многочисленных работах, посвя-
щенных исследованию таких уравнений, доказываются теоремы существования
решения (обобщенного) при достаточно общих условиях на данные и определяется
гладкость решения. В связи с этим возникают различные задачи оптимального
управления для таких уравнений. В данной работе для одного частного случая об-
щего уравнения третьего порядка, возникающего в газовой динамике, исследу-
ется задача оптимального управления.
1. Постановка задачи
Пусть в области }0,0,0{ TtbyaxQ процесс описывается си-
стемой
),,( tyxuzz
t
zz ttt
, (1)
Tttbxztyaztxztyz 0,0),,(,0),,(,0),0,(,0),,0( , (2)
.),()0,,(,),()0,,( 10 yxzyxzyxzyxz t (3)
Здесь > 0 — заданное число, ),,( tyxu — управляющая функция, причем
в качестве допустимых управлений берем функции из класса )(2 QL , а
,)(,)(,)(,)()(),( 21
1
2
001
2
002
2
0 1
40 QLzW
y
z
y
z
W
x
z
x
z
WWyxz
где }0,0{ byax ,
2
2
2
2
yx
— оператор Лапласа.
Требуется найти такое допустимое управление ),,( tyxu , для соответствую-
щего решения задачи (1)–(3) которого выполнялось бы условие
0),,( Tyxz
и функционал
dxdydttyxuuJ
Q
),,(| || | 22
принимал наименьшее значение.
Отметим, что уравнение (1) является частным случаем уравнения из [1, с. 171].
48 ISSN 0572-2691
2. Представление решения задачи (1)–(3)
Решение задачи (1)–(3) ищем в виде
,),,(),,(),,( tyxWtyxVtyxz
где ),,( tyxV — решение задачи
),,( tyxuVV
t
VV ttt
, (4)
,0),,(),,(),0,(),,0( tbxVtyaVtxVtyV (5)
,0)0,,(,0)0,,( yxVyxV t (6)
а ),,( tyxW — решение задачи
,0
WW
t
WW ttt (7)
,0),,(),,(),0,(),,0( tbxWtyaWtxWtyW (8)
),()0,,(,),()0,,( 10 yxzyxWyxzyxW t . (9)
Сначала решим задачу (4), (2), (3), применяя метод Фурье. Ищем решение в виде
.)(),(),,( tTyxXtyxW
Тогда относительно ),( yxX получаем следующую задачу на собственные
значения:
,0,0
XXX
где — граница .
Известно [4], что собственные значения этой задачи
,
22
b
n
a
m
mn
а соответствующие ортонормированные собственные функции
...,2,1,,sinsin
2
),(
nm
b
yn
a
xm
ab
yxXmn .
Тогда относительно )(tT получаем уравнение (при )mn с постоянными
коэффициентами
.0)1( TTT mnmn
(10)
Поскольку корни соответствующего характеристического уравнения
2
4)1()1(
),(
2
1
mnmnmn
nmk ,
2
4)1()1(
),(
2
2
mnmnmn
nmk ,
получим решения уравнения (10)
...,2,1,,)(
),(),( 21 nmebeatT
tnmk
mn
tnmk
mnmn .
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 49
Легко видеть, что 0),(),( 21 nmknmk .
Таким образом, решение задачи (7)–(9) формально можно представить в виде
1
),(),(
1
,sinsin)(
2
),,( 21
m
tnmk
mn
tnmk
mn
n b
ym
a
xm
ebea
ab
tyxW (11)
а коэффициенты mnmn ba , определяются из выполнения краевых условий
,sinsin]),(),(),([
)),(),((2
0
102
012
dxdy
b
yn
a
xm
yxzyxznmk
nmknmk
ab
a
a b
mn
(12)
.sinsin]),(),(),([
)),(),((2
0
011
012
dxdy
b
yn
a
xm
yxznmkyxz
nmknmk
ab
b
a b
mn
(13)
Решение задачи (4)–(6) ищем в виде
1 1
.sinsin)(),,(
m
mn
n
b
yn
a
xm
tTtyxV (14)
Тогда относительно )(tTmn получаем задачу
)()1( tuTTT mnmnmnmnmnmn , (15)
0)0(,0)0( mnmn TT , (16)
где
.sinsin),,(
2
)(
0 0
dxdy
b
yn
a
xm
tyxu
ab
tu
a b
mn
Легко показать, что решение задачи (15), (16) имеет вид
,])[(
)),(),((
1
)(
))(,())(,(
012
12 dseesu
nmknmk
tT
stnmkstnmk
mn
t
mn
где ),(),,( 21 nmknmk — приведенные выше корни характеристического уравнения.
Подставляя это в (14), получаем решение задачи (4)–(6), соответствующее за-
данному допустимому управлению
dssuee
nmknmk
tyxV mn
stnmkstnmk
t
m n
)(][
)),(),((
1
),,(
))(,())(,(
0121 1
12
b
yn
a
xm
sinsin . (17)
Тогда получим решение задачи (1)–(3):
),,(),,(),,( tyxWtyxVtyxz
1
))(,())(,(
0121
sin)(][
)),(),((
1
12
m
mn
stnmkstnmk
t
n
a
xm
dssuee
nmknmk
tnmk
ba
m n
ezznmk
nmknmkb
yn ),(
102
00121 1
1]),(),(),([
),(),(
1
sin
.sinsinsinsin),(),(),(
),(
011
2
b
yn
a
xm
dd
b
n
a
m
eznmkz
tnmk
(18)
50 ISSN 0572-2691
3. Сведение задачи к проблеме моментов
Учитывая представление (18), условие 0),,( Tyxz можно записать в виде
dssuee
nmknmk
mn
T
sTnmksTnmk
m n
)(][
)),(),((
1
0
))(,())(,(
121 1
12
),,(sinsin TyxW
b
yn
a
xm
. (19)
Полагая
b
yn
a
xm
fTyxW
m
mn
n
sinsin),,(
1 1
,
,sinsin]),,([
0 0
dxdy
b
yn
a
xm
TyxWf
a b
mn
из равенства (19) получаем уравнения
...,2,1,,)(
)),(),(( 12
))(,()(),(
0
12
nmfdssu
nmknmk
ee
mnmn
sTnmksTnmkT
, (20)
для определения )(tumn .
В силу ортонормированности системы
...,2,1,,sinsin
2
nm
b
yn
a
xm
ab
ясно, что для функции
b
yn
a
xm
tutyxu
m
mn
n
sinsin)(),,(
1 1
(21)
выполняется равенство Парсеваля
dttudxdydttyxu
T
m
mn
nQ
)(),,(
0 1
2
1
2
. (22)
Таким образом, поставленную выше задачу можно сформулировать следую-
щим образом: найти управление ),,( tyxu , представимое в виде (21), такое, чтобы
последовательность ...},2,1,),({ nmtumn удовлетворяла системе уравнений (15)
и при этом функционал
dttuJ
T
m
mn
n
)(
0 1
2
1
(23)
принимал наименьшее значение.
Уравнения системы (20) не зависят одно от другого, поэтому, записывая
функционал (23) формально в виде
1 10 1 1
2 )(
m n
mn
T
m n
mn JdttuJ , (24)
получаем, что задача сводится к определению функции )(tumn из уравнения
,)()(
0
mnmnmn
T
fdttutTF (25)
доставляющей минимум функционалу mnJ , где
.
)),(),((
)(,)(
12
))(,())(,(
2
0
12
nmknmk
ee
tTFdttuJ
tTnmktTnmk
mnmn
T
mn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 51
Так как равенство (24) получено формально, после определения
функции )(tumn нужно исследовать сходимость ряда в функционале (23).
Пусть mnH — одномерное подпространство пространства ),(2 QL состоящее
из элементов вида
)()( tTFCt mnmnmn ,
где mnC — произвольная постоянная.
Известно [5], что любой элемент из )(2 QL можно представить в виде
)()()( tttu mnmnmn , (26)
где )(tmn
mnH , т.е.
.0)()(),(
0
dtttuu mnmn
T
mnmn (27)
Тогда ясно, что
dttdttdttu mn
T
mn
T
mn
T
)()()( 2
0
2
0
2
0
и
.)(][)(][
))(,())(,(
0
))(,())(,(
0
1212 dtteedttuee mn
tTnmktTnmk
T
mn
tTnmktTnmk
T
Это означает, что )(tmn не влияет на решение уравнения (25). Подставляя (26)
в уравнение (25), находим единственное решение из mnH :
)()(0 tTF
f
t mn
mn
mn
mn
,
где dttTFmn
T
mn )(2
0
.
При 0
mn получим
,
)(2
0
2
dttTF
f
J
mn
T
mn
mn
dttTF
f
JJ
mn
T
mn
m nm
mn
n
)(2
0
2
1 11 1
. (28)
Чтобы исследовать сходимость полученного двойного ряда, для удобства
введем обозначения (опуская индексы)
2
4)1(
,
2
1
2
mnmnmn
и оценим общий член этого ряда.
Применяя к интегралу теорему о среднем значении и учитывая выражения
,, mnmn Ff после несложных преобразований получаем
,
)(
)(
1
)(
)(
2
]1[)(
2
2
00
2
2
0
2
)0(2
0
tT
et
T
mnmn
mn
mn
mn
mn
mn
T
mn
e
eba
T
ab
tTF
f
TtTTF
f
dttTF
f (29)
где .0 0 Tt
52 ISSN 0572-2691
Так как в силу (12), (13) с учетом ),(),( 12 nmknmk
)(
4
1
,)(
4
1
2120221202 zzkbzzka mnmn
и 12 kk , из (29) получим
dttTF
f
mn
T
mn
)(2
0
2
2
]1[)(
222
21202
)0(2
0
)1()),((
16 tT
et
T
e
ezznmk
T
ab
. (30)
Поскольку ,1)1)(1(1и21
)()()()(22 0000 tTtTtTtTT eeeee
то
2)(2)(2
]1[
1
]1[
1
00 tTtT
ee
.
Поэтому из (30) получаем оценку
dttTF
f
mn
T
mn
)(2
0
2
2
21202
1
),(
4 0
0
0
t
t
t
e
e
e
zznmk
T
ab
. (31)
Отсюда следует, что для доказательства сходимости ряда (28) достаточно до-
казать сходимость ряда
1 1
2
21202
1 1 1
),(
0
0
0
m
mn
n
t
t
t
m n
A
e
e
e
zznmk
, (32)
где
2
),(
),(
21202
1
),(
0
0
0
tnm
tnm
tmn
e
e
e
zznmk
A .
Введем обозначение
2222
,,
b
n
a
m
b
n
a
m
nmnmmn .
Легко показать, что
10lim
1,
1,1
m
m
m A
A
, 10lim
1,
1,1
n
n
m A
A
.
Отсюда, в силу признака Даламбера, получаем, что обычные ряды
1
1,
m
mA
1
1
n
mA сходятся.
Так как
22
1,1 )12()12(
b
n
a
mmnnm ,
1
1
1
lim
1,1
mn
nm
nm
, ,1
)1(
)1(
lim
00
00
),()1,1(
),()1,1(
tnmtnm
tnmtnm
nm ee
ee
0
1
limlim
01,10
0
)()1,1(
),(
tnmtnm
tnm
nm mnnmee
e
,
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2016, № 4 53
легко показать, что
01lim
1,1
mn
nmmn
nm A
AA
.
Тогда получаем, что знакоположительный ряд (32) и, следовательно, ряд (28)
сходятся [6].
М.М. Ягубова
ПРО ПОБУДОВУ МЕТОДОМ МОМЕНТІВ
ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
З КВАДРАТИЧНИМ КРИТЕРІЄМ ЯКОСТІ
Для процесів, що описуються початково-крайовою задачею для лінійного рів-
няння з частинними похідними третього порядку методом моментів, будується
оптимальне керування. При цьому спочатку методом поділу змінних отримує-
мо зображення рішення початково-крайової задачі. Далі за допомогою методу
моментів будується оптимальне керування в вигляді подвійного ряду та дово-
диться сходження цього ряду.
M.M. Yagubova
ON THE CONSTRUCTION OF THE OPTIMAL CONTROL
USING THE METHOD OF MOMENTS FOR A LINEAR
THIRD ORDER EQUATION WITH A QUADRATIC
QUALITY CRITERION
For the processes, described by initial-boundary value problem for linear partial dif-
ferential equations of the third order, by method of the moments in the optimal con-
trol is constructed. In addition, first method of separation of variables obtained repre-
sentation of the solution of an initial boundary value problem. Further, applying a
method of the moment’s optimal control in the form of double rows is constructed
and convergence of this row is proved.
1. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. —
Новосибирск: Наука, 1983. — 269 с.
2. Кожанов А.И. Смешанная задача для одного класса уравнений неклассического типа //
Дифференциальные уравнения. — 1972. — 15, № 2. — С. 272–280.
3. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.:
Наука, 1978. — 463 с.
4. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями второго порядка. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 2. — 554 с.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — М.: Физмат, 1959. — 655 с.
6. Салехов Г.С. Вычисление рядов. — М.: ГИТТЛ, 1955. — 143 с.
7. Кулиев Г.Ф., Назарова В.Б. Применение метода проблемы моментов к решению задачи оп-
тимального управления для уравнения колебаний стержня // Известия Бакинского универ-
ситета. Сер. физ.-мат. наук. — 2013. — № 1. — С. 11–17.
8. Егоров А.И. Основы теории управления. — М.: Физматлит, 2004. — 504 с.
Получено 24.06.2015
|