Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов
Розглянуто ігрові задачі про зближення для нестаціонарних динамічних процесів загального вигляду з циліндричною термінальною множиною. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри за скінчений час в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Результати ілюструються на...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208495 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов / В.А. Пепеляев, Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 7-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208495 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2084952025-11-01T01:17:54Z Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов Про ігрові задачі динаміки для нестаціонарних керованих процесів On the game dynamic problems for nonstationary controlled processes Пепеляев, В.А. Чикрий, Ал.А. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто ігрові задачі про зближення для нестаціонарних динамічних процесів загального вигляду з циліндричною термінальною множиною. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри за скінчений час в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Результати ілюструються на модельному прикладі з простою матрицею. The game problems of pursuit for nonstationary controlled processes of general type with cylindrical terminal set are considered. On the basis of the method of resolving functions the sufficient conditions for the game termination in the finite time in the class of quasi- and stroboscopic strategies are derived. The results are illustrated on the model example with simple matrix. 2017 Article Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов / В.А. Пепеляев, Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 7-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208495 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i3.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Пепеляев, В.А. Чикрий, Ал.А. Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто ігрові задачі про зближення для нестаціонарних динамічних процесів загального вигляду з циліндричною термінальною множиною. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри за скінчений час в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Результати ілюструються на модельному прикладі з простою матрицею. |
| format |
Article |
| author |
Пепеляев, В.А. Чикрий, Ал.А. |
| author_facet |
Пепеляев, В.А. Чикрий, Ал.А. |
| author_sort |
Пепеляев, В.А. |
| title |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| title_short |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| title_full |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| title_fullStr |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| title_full_unstemmed |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| title_sort |
об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208495 |
| citation_txt |
Об игровых задачах динамики для нестационарных управляемых процессов / В.А. Пепеляев, Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 7-16. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT pepelâevva obigrovyhzadačahdinamikidlânestacionarnyhupravlâemyhprocessov AT čikrijala obigrovyhzadačahdinamikidlânestacionarnyhupravlâemyhprocessov AT pepelâevva proígrovízadačídinamíkidlânestacíonarnihkerovanihprocesív AT čikrijala proígrovízadačídinamíkidlânestacíonarnihkerovanihprocesív AT pepelâevva onthegamedynamicproblemsfornonstationarycontrolledprocesses AT čikrijala onthegamedynamicproblemsfornonstationarycontrolledprocesses |
| first_indexed |
2025-11-01T02:06:58Z |
| last_indexed |
2025-11-02T02:03:19Z |
| _version_ |
1847642291272941568 |
| fulltext |
© В.А. ПЕПЕЛЯЕВ, АЛ.А. ЧИКРИЙ, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 7
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.977
В.А. Пепеляев, Ал.А. Чикрий
ОБ ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ
Раздел прикладной математики, посвященный методам принятия решений
в условиях динамического противодействия, принято называть конфликтно-
управляемыми процессами. Основы этого научного направления заложены в фун-
даментальных работах Л.С. Понтрягина [1] и Н.Н. Красовского [2]. Среди зару-
бежных следует выделить ранние исследования [3–5].
Рассмотрение игровых задач, как правило, происходит в условиях различной
информированности, а эволюция процесса задается широким спектром динамиче-
ских систем.
Так в работе [6] рассматривается позиционная информированность, а в [7]
используется эффект запаздывания информации. Достаточно сложная динами-
ка управлений с дробными производными описывает игровые задачи в [8, 9],
импульсные и гибридные конфликтно-управляемые процессы изучены в [10],
а интегральные ограничения на управления рассмотрены в работе [11]. Для
последних из упомянутых работ базовым для исследования является метод
разрешающих функций [12]. Следует напомнить, что этот метод дает полное
теоретическое обоснование правила параллельного преследования, а также
сближения по лучу [5]. Для задач с группами участников он применен в рабо-
тах [12, 13], игровые задачи со случайными возмущениями изучены в [14], а в
работе [15] введены верхние и нижние разрешающие функции двух типов,
позволяющие исследовать динамические игры без классического условия
Понтрягина.
Метод разрешающих функций является эффективным средством для реше-
ния прикладных задач. В работе [16] на его основе изучена проблема безопасного
взлета и посадки самолета, а в исследованиях [17, 18] — задача о «мягкой посад-
ке».
Данный метод используется при поражении маневрирующих движущих-
ся целей и перехвате информации в каналах связи, может быть полезен при
управлении дронами в ситуации противодействия, при анализе конкурентно-
го взаимодействия в моделях экономической динамики, моделирования и
стабилизации функционального состояния объекта при постоянно действую-
щих возмущениях.
В настоящей работе метод разрешающих функций применяется для исследо-
вания нестационарных игровых задач, что соответствует изменяющейся обста-
8 ISSN 0572-2691
новке в процессе игрового взаимодействия. Получены достаточные условия за-
вершения игры за конечное время для различных классов стратегий, результаты
иллюстрируются на модельном примере.
1. Постановка задачи
Пусть движение объекта в конечномерном евклидовом пространстве nR
представляет собой конфликтно-управляемый процесс, эволюция которого зада-
ется соотношением
,))(),(,(),()()(
0
dvuttgtz
t
t
.00 tt (1)
Здесь функция g(t), g: ,
0
n
t RR },0:{ 00
tttRt представляет собой блок
начальных данных, она измерима по Лебегу и ограничена при ,0tt матрич-
ная функция ),,( t ,0tt измерима по t и суммируема по τ для каждого
.
0t
Rt Блок управления задается функцией ),,,( vu которая определена на
множестве ,[ 0t +∞) ,qp RR удовлетворяет условиям Каратеодори: для фик-
сированных (u, v) qp RR она локально суммируема по τ и для любого
фиксированного τ ,[ 0t +∞) непрерывна по совокупности (u, v) на .qp RR
При этом в каждый текущий момент времени параметры управления игро-
ков u и v выбираются из областей управления U(τ) и V(τ), U(τ)K ),( pR
V(τ)K ),( pR которые являются измеримыми компактнозначными отображения-
ми для τ ,[ 0t +∞).
Будем считать, что
),,( vu )( uU(τ), vV(τ), τ ,
0t
R (2)
где )( — локально суммируемая функция.
Кроме нестационарного процесса (1), задано переменное терминальное мно-
жество )(tM цилиндрического вида
),()( 0 tMMtM t ,
0t
R (3)
где 0M — линейное подпространство из ,nR )(tM — измеримое многозначное
отображение, образы которого принадлежат K(L), L =
0M — ортогональное до-
полнение к 0M в .nR
Цели игроков противоположны. Первый (u) стремится вывести траекторию
процесса (1) на терминальное множество (2) за кратчайшее время, а второй (v) —
максимально оттянуть момент попадания траектории z(t) на множество )(tM
или вообще избежать встречи.
Представление (1) позволяет в единой схеме рассмотреть широкий круг
конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем с адди-
тивно входящими в правую часть блоком начальных данных и блоком управ-
ления. Это, в частности, системы интегральных, интегро-дифференциальных,
дифференциально-разностных уравнений, а также системы уравнений с клас-
сическими дробными производными Римана–Лиувилля, регуляризованными
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 9
производными Джрбашяна–Нерсесяна–Капуто, секвенциальными производ-
ными Миллера–Росса, производными Хильфера и Грюнвальда–Летникова.
Аналогичное представление в ситуации с дискретным временем позволяет
исследовать многошаговые системы и импульсные процессы, в том числе и ги-
бридные. При этом тип конфликтно-управляемого процесса определяют
функции g(t) и ).,( t
Сосредоточим внимание на достаточных условиях выигрыша первого игрока
в задаче (1)–(3). Будем считать допустимым управлением второго игрока произ-
вольную измеримую функцию v(t) со значениями V(t), .0tt Поскольку много-
значное отображение V(t) измеримо и замкнутозначно, то в нем всегда существует
хотя бы один измеримый селектор v(t) [19]. Совокупность таких селекторов отоб-
ражения V(t) обозначим .V
Если игра (1)–(3) протекает на интервале ,[ 0t T], то квазистратегия первого
игрока [2] предписывает ему выбирать управление в момент t, t ,[ 0t T], в виде
измеримой функции
u(t) = u(g(T), )),(tv t ,[ 0t T], u(t)U(t),
где )(tv {v(s) :s ,[ 0t t]}, т.е. на основе предыстории управления второго игрока.
В этой же игре стробоскопическая стратегия Хайека [3] назначает первому игроку
контруправление по Красовскому [2]
u (t)u(g(T), )),(tv u (t)U(t), t ,[ 0t T],
причем при допустимом управлении v(t) функция u(t) должна быть измеримой.
Далее установим условия вывода траектории процесса (1) на множество )(tM
за некоторое гарантированное время для двух упомянутых типов информирован-
ности при любом допустимом противодействии второго игрока.
2. Схема метода
Пусть π — ортопроектор, действующий из nR в L.
Положим
)},(:),,({)),(,( UuvuvU ),(Vv .0t
В силу предположений о параметрах конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) и тео-
ремы о прямом образе [19] это многозначное отображение измеримо по и
непрерывно по v в метрике Хаусдорфа.
Введем многозначные отображения
),),(,(),(),,( vUtvtW ),(Vv
,),,(),(
)(
vtWtW
Vv
.0tt
Обозначим
,}:),{()( 00 tttt
),(:),{(dom tWtW Ø}.
Условие Понтрягина. Для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3)
).(dom 0tW
10 ISSN 0572-2691
Многозначное отображение ),( tW измеримо по и замкнутозначно для
),( t ),( 0t поэтому в силу теоремы измеримого выбора [19] в нем суще-
ствует измеримый по селектор ),( t такой, что ),( t ).,( tW Такие се-
лекторы будем называть Понтрягинскими. Зафиксируем один из них и обозна-
чим
dttgttgt
t
t
),()()),(),(,(
0
, .0tt
Рассмотрим многозначное отображение
))],(),(,()([)],(),,([:0{),,( ttgttMtvtWvtA Ø}, (4)
),(),( 0tt ),(Vv ,2),,( 0R
vtA
образами которого являются числовые подмножества положительной полуоси .0R
Его опорная функция в направлении 1
:{sup),,( vt )},,( vtA
называется разрешающей [12].
Легко видеть, что функция ),,( vt может быть выражена обратными функ-
ционалами Минковского [12] для замкнутых множеств X из ,nR содержащих 0,
},:0{sup)( XppX p ,nR
а именно,
))).,(),(,((sup),,( ),(),,(
)(
ttgtmvt tvtW
tMm
В силу условия Понтрягина многозначное отображение ),,( vtA корректно
определено и обладает непустыми замкнутыми образами для всех допустимых
значений аргументов. При )),(),(,( ttgt M(t) для некоторого t ,
0t
R
),,( vtA [0, + ∞) и, соответственно, ),,( vt при любых ),(Vv τ ,[ 0t t].
Из теорем об обратном образе и характеризации [19] следует, что многознач-
ное отображение ),,( vtA является BL -измеримым по ,, v ),(Vv τ ,[ 0t t],
а функция ),,( vt BL -измерима по тем же переменным в силу теоремы об
опорной функции [19], а следовательно, является суперпозиционно измеримой [20].
Последнее обстоятельство позволяет ввести множество
t
t
Vv
dvtttgT
0
1))(,,(inf:)),(),((
)(
0 . (5)
Заметим, что если )),(),(,( ttgt M(t), то ),,( vt для ,)(Vv
τ ,[ 0t t], а значение интеграла в (5) положим равным + . В случае, когда нера-
венство в (5) не имеет места при всех ,0tt положим )),(),((gT Ø.
3. Достаточные условия сближения
Имеет место следующее утверждение.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 11
Теорема. Пусть для игровой задачи (1)–(3) выполнено условие Понтрягина,
отображение M(t) выпуклозначно для .0tt Тогда, если для блока начальных
данных )(g и некоторого Понтрягинского селектора ),(
)),(),((gTT Ø,
то траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество (3)
в момент T с помощью подходящей квазистратегии.
Доказательство. Пусть )(v — измеримый селектор многозначного отобра-
жения ),(V τ ,[ 0t T]. Рассмотрим сначала случай )),(),(,( TTgT M(T).
Согласно общей схеме метода разрешающих функций [12] введем контроль-
ную функцию
dvTth
t
t
))(,,(1)(
0
, .0tt
Как было указано ранее, функция ),,( vT суперпозиционно измерима, а значит,
)(th абсолютно непрерывна. Она, к тому же, не возрастает, 1)( 0 th и .0)( Th
Поэтому в силу известной теоремы анализа существует такой момент времени ,t
t ,[ 0t T], зависящий от ),(v что h .0)( t
Промежутки времени ,[ 0t ),t ,[ t T] называют обычно активными и пас-
сивными соответственно. Определим управление первого игрока на активном
участке. Для этого рассмотрим компактнозначное отображение
),,(),(:)({),( vuTUuvU ),(T
))]},,(),(,()()[,,( TTgTTMvtT ).,[),( 0 ttVv (6)
В силу теоремы об обратном образе [19] оно BL -измеримо и согласно теореме
измеримого выбора содержит хотя бы один BL -измеримый селектор ),,( vu
который является суперпозиционно измеримой функцией [20]. Положим управ-
ление первого игрока
)(u = )),(,( vu τ ,[ 0t ).t (7)
На пассивном участке рассмотрим многозначное отображение
},0),(),,(),(:)({),(0
TvuTUuvU (8)
),(Vv τ ,[ t T],
совпадающее с отображением ),( vU при .0),,( vT
По тем же причинам, что и в предыдущем случае, отображение ),(0 vU со-
держит суперпозиционно измеримый селектор ).,(0 vu Положим управление
первого игрока на пассивном участке равным
,))(,()( 00 vuu τ ,[ t T]. (9)
В случае )),(),(,( TTgT M(T) выберем управление первого игрока на всем ин-
тервале ,[ 0t T] в виде (9).
12 ISSN 0572-2691
Далее покажем, что при указанном способе выбора управлений первым игро-
ком траектория конфликтно-управляемого процесса (1) будет приведена на тер-
минальное множество в момент T при любых допустимых управлениях второго
игрока.
Пусть )),(),(,( TTgT M(T). Проекция траектории (1) на подпространство L
имеет вид
)()( TgTz dvuT
T
t
))(),(,(),(
0
. (10)
В силу соотношений (6)–(10) получим включение
)(Tz )),(),(,( TTgT ))(,,(
0
vT
t
t
M(T) d . (11)
Так как по предположению M(T) — выпуклый компакт, а ))(,,( vT — неотри-
цательная измеримая функция для τ ,[ 0t ),t причем ,1))(,,(
0
dvT
t
t
то
).()())(,,(
0
TMdTMvT
t
t
Поэтому из включения (11) следует, что )(Tz
M(T), т.е. )(Tz M (T).
В случае )),(),(,( TTgT M(T) из представления (10) с учетом равенства в (8)
получим
)(Tz = )),(),(,( TTgT M(T).
Таким образом, теорема доказана.
Заметим, что для определения момента ,t разделяющего активный и пас-
сивный участки, необходимо знание предыстории управления второго игрока.
Это свидетельствует о том, что первым игроком используется квазистратегия.
Если же )),(),(,( TTgT M(T), то, как видно из доказательства, первый иг-
рок применяет стробоскопическую стратегию. В последнем случае, как неод-
нократно отмечалось, минимальное гарантированное время сближения данно-
го метода совпадает с гарантированным временем первого прямого метода
Понтрягина [12].
4. Стробоскопические стратегии
Представляет интерес вопрос о том, при каких дополнительных предположе-
ниях относительно параметров конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) дока-
занная теорема может быть реализована во всех случаях в классе стробоскопиче-
ских стратегий, т.е. без использования предыстории управления второго игрока,
а только контруправлений.
Сформулируем эти условия для )),(),((( gTT Ø.
Условие 1. Отображение A ),,( vt является выпуклозначным, т.е.
A ),,( vt = ))](,,(,0[ vT ),( Vv .0tT
Условие 2. Функция ),,(inf)(
)(
vT
Vv
измерима по τ, τ [ ,0t T], и
dvT
T
t
Vv
))(,,(inf
0
)(
.)(
0
d
T
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 13
Следствие. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина, )(tM =co ),(tM ,0tt для некоторой функции )(g и Понтря-
гинского селектора ),( )),(),((gT Ø.
Тогда для любого )),,(),(( gTT такого, что выполнены условия 1 и 2,
траектория системы (1) может быть приведена на терминальное множество )(tM
в момент T с использованием стробоскопической стратегии.
Доказательство. Пусть Vv )( и )),(),(,( TTgT M(T).
Обозначим T =
dvT
Vv
T
t
),,(inf
)(
0
и положим ),( T = 1 / T
),,(inf
)(
vT
tVv
.
Поскольку T 1 в силу формулы (5) и условия 2, а также учитывая условие 1,
получим неравенство
),(T ),,( vT ),( Vv ],,[ 0 Tt
следовательно, ),( T является измеримым селектором многозначного отобра-
жения A ),,,( vT т.е. ),( T A ),,,( vT ),(Vv ].,[ 0 Tt
Рассмотрим многозначное отображение
),,(),(:)({),( vuTUuvU ),(T
))]},,(),(,()()[,( TTgTTMT ].,[),( 0 TtVv (12)
Из выражения (12) и предположений о параметрах конфликтно-управляемого
процесса (1)–(3) следует, что отображение ),( vU компактнозначно и BL -из-
меримо. Поэтому в силу теоремы об измеримом выборе [19] в нем существует
BL -измеримый селектор ),,( vu являющийся суперпозиционно измеримой
функцией. Положим управление первого игрока равным
)(u = )),(,( vu ].,[ 0 Tt (13)
При )),(),(,( TTgT M(T) выберем управление первого игрока на всем
интервале ],[ 0 Tt в виде (9). Проследим за траекторией процесса (1). При
)),(),(,( TTgT M(T) из представления (10) с учетом включения в выраже-
нии (12) и закона управления (13)
)(Tz )),(),(,( TTgT
dT
T
t
),(1
0
),(
0
T
T
t
M(T) d . (14)
Поскольку M(T) — выпуклый компакт, ),( T — неотрицательная функция
и ,1),(
0
T
T
t
),(
0
T
T
t
M(T) d = M(T).
14 ISSN 0572-2691
Таким образом, из включения (14) получим )(Tz M(T). Это же включение
получим и при )),(),(,( TTgT M(T) из представления (10) с учетом закона
выбора управления первым игроком в виде (9) на всем интервале ].,[ 0 Tt
5. Иллюстративный пример
Рассмотрим иллюстративный пример конфликтно-управляемого процесса,
который задается системой линейных дифференциальных уравнений с простой
матрицей
,)()()( vtcutbztaz
,)( 00 ztz ,00 tt
где ,, SvSu }1:{ zzS — единичный шар, а непрерывные ограни-
ченные функции a(t), b(t), c(t) принимают неотрицательные значения при
.0tt Терминальное множество SttM )()( — переменная окрестность
начала координат, )(,0)( tt — непрерывная ограниченная функция.
В данном примере
,)( 0
)(
0 zetg
t
t
dssa
,),(
)(
Eet
t
dssa
E — единичная матрица,
,)()( StbtU ,)()( StctV },0{0 M ,0
nRML ,E ,)()( SttM
.)()(),,( vcubvu
Понтрягинское многозначное отображение
SbetW
t
dssa
)(),(
)(
* ,))()(()(
)()(
ScbeSce
tt
dssadssa
где * — геометрическая разность множеств Минковского [12]. Условие Понтря-
гина выполнено, если )()( cb для .0t
В шарообразном отображении ),( tW в качестве понтрягинского селектора
),( t выберем его центр, т.е. .0),( t Тогда
)),(),(,( ttgt ,0
)(
0 ze
t
t
dssa
а многозначное отображение
])([))()((:0),,( 0
)()(
0 zeStvcSbevtA
t
t
t
dssadssa
Sbetvceze
ttt
t
dssadssadssa
)]()([)(:0
)()(
0
)(
0 .
Опорная функция образов этого многозначного отображения в направлении 1
является большим положительным корнем квадратного уравнения относительно α
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 15
.)()()(
)()(
0
)(
0
betvceze
ttt
t
dssadssadssa
Далее, обозначив ),(t ,
)(
t
dssa
e а ),( 0tt ,0
)(
t
t
dssa
e получим
)(),(
)(),()()),(,)(),((
),,(
22
00
00
tztt
bttzttvct
vt
.
)(),(
))()()(,())(),(()(),()()),(,)(),((
22
00
222222
0000
tztt
vcbttzttbttzttvct
Тогда
)(),(
))()()(,(
),,(min
00 tztt
cbt
vt
Sv
и достигается на элементе ,
0
0
z
z
v следовательно,
t
t
d
tztt
cbt
ttzttT
0
1
)(),(
))()()(,(
:)0,),((
00
000 .
В некоторых частных случаях наименьшее гарантированное время может быть
найдено в явном виде. Если ,00 t a(t) 0, b(t) = 0, c(t) = c, ,)( t при ,0t то
,)}0,(:min{
0
01
cb
z
zTttt
а если же ,00 t a(t) a, b(t)b, c(t) c, ,0)( t то
cb
z
a
zeTttt at 0
02 1ln
1
)}0,(:min{ ,
причем 1t и 2t являются оптимальными гарантированными временами сближения.
В.А. Пепеляєв, Ол.А. Чикрій
ПРО ІГРОВІ ЗАДАЧІ ДИНАМІКИ
ДЛЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ КЕРОВАНИХ
ПРОЦЕСІВ
Розглянуто ігрові задачі про зближення для нестаціонарних динамічних проце-
сів загального вигляду з циліндричною термінальною множиною. На основі
методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри за скі-
нчений час в класі квазі- та стробоскопічних стратегій. Результати ілюструють-
ся на модельному прикладі з простою матрицею.
16 ISSN 0572-2691
V.A. Pepelyaev, Аl.A. Chikrii
ON THE GAME DYNAMIC PROBLEMS
FOR NONSTATIONARY CONTROLLED
PROCESSES
The game problems of pursuit for nonstationary controlled processes of general type
with cylindrical terminal set are considered. On the basis of the method of resolving
functions the sufficient conditions for the game termination in the finite time in the
class of quasi- and stroboscopic strategies are derived. The results are illustrated on
the model example with simple matrix.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М. : Наука, 1988, — 2. — 576 с.
2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с.
3. Hajek O. Pursuit games. — New York : Academic Press, 1975. — 12. — 266 p.
4. Айзекс Р. Дифференциальные игры . — М. : Мир, 1967. — 480 с
5. Локк А.С. Управление снарядами. — М. : Гос.изд-во техн.-теор. л-ры, 1957. — 775 с.
6. Chikrii A.A., Chikri G.Ts., Volyanskiy K.Y. Quasilinear positional integral games of approach //
Journal of Automation and Information Sciences. — 2001. — 33, N 10. — P. 31–43.
7. Chikri G.Ts. Using the effect of information delay in differential pursuit games // Cybernetics and
systems analysis. — 2007. — 43, N 2. — P. 233–245.
8. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем с
дробными производными Римана–Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. — 2001.
— № 6. — С. 66–99.
9. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игро-
вых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка // Там же. — 2000. — № 3. —
С. 3–32.
10. Кривонос Ю.Г, Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектория-
ми. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с.
11. Чикрий А.А., Белоусов А.А. О линейных дифференциальных играх с интегральными
ограничениями. — Труды ИММ УрО РАН. — 2009. — 15. № 4. — С. 290–301.
12. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Springer Science and
Busines Media, 2013. — 424 p.
13. Chikrii A.A., Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object // Cy-
bernetics. — 1987. — 23, N 4. — P. 437–445.
14. Chikrii V.K. Mean approach time for game problems with random perturbations // Journal of Au-
tomation and Information Sciences. — 2015. — 47, N 8. — P. 74–84.
15. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mapping in game problems of motion
control // Ibid. — 2016. — 48, N 3. — P. 20–35.
16. Belousov A.A., Kuleshyn V.V. Game approach to control of running start of aircraft on its take off //
Ibid. — 2012. — 44, N 8. — P. 78–84.
17. Chikrii A.A., Belousov A.A. Game problems of «soft landing» for second — order systems //
Journal of Mathematical Sciences. — 2006. — 139(5). — P. 6997–7012.
18. Analitical method for solution of the game problem of soft landing for moving objects / J. Albus,
A. Meystel, A.A. Chikrii, A.A. Belousov, A.J. Kozlov // Cybernetics and systems analysis. —
2001. — 37, N 1. — P. 75–91.
19. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990.
— 461 p.
20. Chikrii A.A. An analitical method in dynamic pursuit games // Proceedings of the Steklov Institute
of Mathematics. — 2010. — 271. — P. 69–85.
Получено 13.12.2016
|