О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием

О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием

Побудовано інтегральні математичні моделі динаміки необмеженого тривимірного пружного середовища та просторово-обмеженого пружного тіла з довільною геометрією його зовнішньої поверхні. Розглянуто питання усталеної динаміки тіла з неперервно спостережуваною поверхнею. Досліджено динаміку необмеженого...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автори: Стоян, В.А., Даниш, С.Т.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Проблемы управления и информатики
Теми:
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208498
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 37-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-208498
record_format dspace
spelling irk-123456789-2084982025-11-01T01:01:07Z О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием Про математичні моделі динаміки тривимірних пружних тіл. Частина 1. Тіла з неперервно спостережуваним початково-крайовим станом On mathematical models of dynamics of three-dimensional elastic bodies. Part 1. Bodies with infinite observable initial boundary condition Стоян, В.А. Даниш, С.Т. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Побудовано інтегральні математичні моделі динаміки необмеженого тривимірного пружного середовища та просторово-обмеженого пружного тіла з довільною геометрією його зовнішньої поверхні. Розглянуто питання усталеної динаміки тіла з неперервно спостережуваною поверхнею. Досліджено динаміку необмеженого пружного середовища за його неперервно визначеним початковим станом. Побудовано математичні моделі, які аналітично точно узгоджені з класично відомою диференціальною моделлю Ляме динаміки пружного середовища та за середньоквадратичним критерієм — з наявними спостереженнями за початково-крайовим станом досліджуваних об’єктів. Оцінюється точність такого узгодження і формулюються умови його однозначності. Integrated mathematical models of the dynamics of unlimited three-dimensional elastic medium and spatially limited elastic body of arbitrary geometry of its outer surface are built. The questions of the established dynamics of the body with continuously observable surface are considered. We investigated the dynamics of infinite elastic medium, continuously determined by its initial state. Constructed mathematical models are in accurate agrement with classically known Lame differential models of elastic medium dynamics and according to the root meen-square criterion with available observations of the initial boundary condition of the investigated objects. The accuracy of this agreement is evaluated and conditions of its uniqueness are formulated. 2017 Article О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 37-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208498 517.95:419.86:539.3 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i4.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Стоян, В.А.
Даниш, С.Т.
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
Проблемы управления и информатики
description Побудовано інтегральні математичні моделі динаміки необмеженого тривимірного пружного середовища та просторово-обмеженого пружного тіла з довільною геометрією його зовнішньої поверхні. Розглянуто питання усталеної динаміки тіла з неперервно спостережуваною поверхнею. Досліджено динаміку необмеженого пружного середовища за його неперервно визначеним початковим станом. Побудовано математичні моделі, які аналітично точно узгоджені з класично відомою диференціальною моделлю Ляме динаміки пружного середовища та за середньоквадратичним критерієм — з наявними спостереженнями за початково-крайовим станом досліджуваних об’єктів. Оцінюється точність такого узгодження і формулюються умови його однозначності.
format Article
author Стоян, В.А.
Даниш, С.Т.
author_facet Стоян, В.А.
Даниш, С.Т.
author_sort Стоян, В.А.
title О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
title_short О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
title_full О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
title_fullStr О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
title_full_unstemmed О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
title_sort о математических моделях динамики трехмерных упругих тел. часть 1. тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
topic_facet Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208498
citation_txt О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 37-44. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT stoânva omatematičeskihmodelâhdinamikitrehmernyhuprugihtelčastʹ1telasnepreryvnonablûdaemymnačalʹnokraevymsostoâniem
AT danišst omatematičeskihmodelâhdinamikitrehmernyhuprugihtelčastʹ1telasnepreryvnonablûdaemymnačalʹnokraevymsostoâniem
AT stoânva promatematičnímodelídinamíkitrivimírnihpružnihtílčastina1tílazneperervnosposterežuvanimpočatkovokrajovimstanom
AT danišst promatematičnímodelídinamíkitrivimírnihpružnihtílčastina1tílazneperervnosposterežuvanimpočatkovokrajovimstanom
AT stoânva onmathematicalmodelsofdynamicsofthreedimensionalelasticbodiespart1bodieswithinfiniteobservableinitialboundarycondition
AT danišst onmathematicalmodelsofdynamicsofthreedimensionalelasticbodiespart1bodieswithinfiniteobservableinitialboundarycondition
first_indexed 2025-11-01T02:07:09Z
last_indexed 2025-11-02T02:03:27Z
_version_ 1847642300274966528
fulltext © В.А. СТОЯН, С.Т. ДАНИШ, 2017 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 37 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.95:419.86:539.3 В.А. Стоян, С.Т. Даниш О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ. ЧАСТЬ 1. ТЕЛА С НЕПРЕРЫВНО НАБЛЮДАЕМЫМ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫМ СОСТОЯНИЕМ Введение Динамика большинства математически формализованных пространственно распределенных экономических, физико-химических и механических процессов описывается системами дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование состояния таких процессов традиционно было задачей непростой, особенно, если эти процессы неопределенные по начально-краевым возмущениям. Для частного случая, когда математическая модель динамики процесса — одно дифференциальное уравнение, в [1] предложена методика построения функции состояния и управления [2, 3] этой функцией так, чтобы последняя, будучи реше- нием дифференциального уравнения процесса, по среднеквадратическому крите- рию согласовывалась с начально-краевыми, текущими и желаемыми (для задач управления) значениями независимо от их количества и качества (дискретные или непрерывные). Основой для развитого в [2, 3] метода математического моде- лирования решений прямых и обратных задач динамики неполно наблюдаемых пространственно распределенных динамических систем был интегральный эквива- лент дифференциальной модели процесса. Для распространения результатов работ [1–3] на исследование динамических процессов, описанных системами дифференциальных уравнений, ниже предложена методика перехода от дифферен- циальной формы модели динамических систем к ее интегральному представлению. С использованием полученных результатов будет решена сложная задача мате- матической теории упругости — замена известных дифференциальных урав- нений Ляме динамики пространственно неограниченной упругой среды [4] их инте- гральным эквивалентом. Будут построены интегральные математические модели установившейся динамики пространственно-ограниченных, изначально возму- щенных и неограниченных пространственно упругих тел, а также начально- краевых задач для них. Дифференциальная математическая модель динамики трехмерной упругой среды Рассмотрим динамику (по временной координате t ) неограниченной по де- картовым координатам 321 ,, xxx среды, упругие свойства которой определяются константами Ляме  и  [4]. Обозначив ),(),,(),,( 321 txftxftxf массовые силы, 38 ISSN 0572-2691 которые могут иметь место в точке ),,( 321 xxxx  , исследуем смещения ),(),,(),,( 321 txutxutxu этой точки в направлении координатных осей ,, 21 OxOx 3Ox соответственно. При этом будем исходить из того, что [4]: ,),(),(),()(),( ,),(),(),()(),( ,),(),(),()(),( 33 2 3 22 2 2 11 2 1 3 2 1 txftxutxtxu txftxutxtxu txftxutxtxu tx tx tx    (1) где  — удельная плотность материала среды, )3,1(  i ix и t — производные по пространственным координатам )3,1( ixi и времени ,t .),,(),( 2 3 1 3 1 ii x i ix i txutx    Введем в рассмотрение вектор-функции )3,1),,((col),(  itxutxu i , )3,1),,((col),(  itxftxf i и матричный дифференциальный оператор , )()2( )( )( )()( )()2()( )()()2( )( 2222 2222 2222 213 32 31 2323 31212 21321                      txxx xx xx xxxx txxxxx xxtxxx sL (2) в котором ),,,(),(),,( 321 txxxtxstxs  . После этого систему урав- нений (1) запишем в виде .)()()( sfsuL s  (3) Интегральная математическая модель динамики трехмерной упругой среды Рассмотрим задачу перехода от дифференциальной модели (3) к ее инте- гральному эквиваленту: .)()()( sdsfssGsu     (4) Здесь 33)(  RssG — матричная функция такая, что ),()()( ssssGL s  (5) где )3,1),((diag)(  lssss , а )( ss  —  -функция Дирака. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 39 Для решения матричного уравнения (5), как и в [3], будем исходить из того, что для данного случая [3]        ddess ttixxi )()( 416 1 )( (6) при )()(,),,,( 3 1 321321 jjj j xxxxdddd    и мнимом i . Заме- тим, что представление (6) можно заменить следующим: .)(cos)(cos 1 )( 3 10 4       ddttxxss jjj j С учетом (6) решение уравнения (5) представим в виде        ddeiiAssG ttixxi )()(1 4 ),(Re 16 1 )( , (7) где символ Re означает действительную часть следующего после него интеграла, а с учетом (2) . )()2( )( )( )()( )()2()( )()()2( ),( 22 2 2 1 2 3 32 31 2323 22 3 2 1 2 212 21 22 3 2 2 2 1                    A В общем случае при работе с представлением (7) функции )( ssG  могут возникнуть проблемы с ограниченностью интеграла в (7). Заменив ,,,, 332211 qipipipi  последний, однако, можно свести к контурным интегралам, хорошо изученным в теории функций комплексной переменной. При этом )),((Re),,(),( )2( 1 )( 1 1 4 k K k i i ppsdpdqssqpDqpA i ssG         , (8) где ),1(),(,),,,,(),( 321321 Kkqppdpdpdpdpqpppqpp kkk  — полюса матричной функции ),,(),()( 1 ssqpDqpAp   при ,)3,1,(diag),,( )()(   lessqpD ttqxxp а )),((Re kpps  — интегральный вычет матричной функции )( p в точке kp . Заметим, что особенности реализации представления (8) подробно рассмот- рены в [3]. Остается напомнить, что в соотношении (4) вычисленная согласно (8) функция )( ssG  должна быть [3] непрерывной, симметричной относительно точки s и удовлетворять условиям затухания на бесконечности. 40 ISSN 0572-2691 Учитывая структуру (2) оператора )( sL  , а следовательно, и матричной функции ),( A , обозначая             3,1),(cos)(cosdiag),,( 3 1 lttxxssD jjj j , функцию )( ssG  уравнения (4), определенную согласно (7), в данном случае за- пишем в виде       ddssDAssG ),,(),( 1 )( 1 0 4 (9) (здесь, как и выше, 321  dddd ), что вполне доступно для численно- аналитического использования. Предполагая использовать полученное выше интегральное представление (4) математической модели динамики упругой среды к решению задачи эластоди- намики упругих пластин, плит и оболочек, где доминирующими являются смещения ),(3 txu , исследованы особенности практического применения соотно- шения (9) к решению задачи вычисления элементов )3,1()(3  jssG j матричной функции .)( ssG  При этом исходили из соотношения (9), матричную функцию ),(1 A в котором определяли алгебраическими дополнениями )3( j -элементов )3,1( j последней. Вычисления элементов матричной функции ),( ssG  опреде- ленной согласно (9), упрощаются также, если учесть четность подынтегральной функции и то, что координаты 321 ,, xxx при каждом 3,1j равноценны. Результаты численной проверки предложенной интегральной модели динамики упругой среды (4) оказались удовлетворительными, что позволяет представле- ния (4), (7) в дальнейшем (по методике, предложенной в [2, 3]) использовать для решения неполно определенных по начально-краевым наблюдениям начально-краевых задач эластодинамики пространственно распределенных упру- гих тел и конструкций. Интегральная математическая модель установившейся динамики трехмерного упругого тела Остановимся на особенностях построения интегральной математической мо- дели упругого тела, пространственная область 0S которого  -поверхностью вы- делена из рассматриваемой упругой среды. Будем исходить из того, что кроме введенных выше к рассмотрению массовых сил ,(),( 0Sxtxfi  )3,1),,(  it на вектор-функцию )(su состояния рас- сматриваемого тела влияют и контурные внешнединамические возмущения, эффект действия которых на динамику внутренних точек тела определим соотношением ),,1()()()(       RsUsuL x (10) где ),(),(  txs , )( xL   — )33(  -мерный матричный диференци- альный оператор, а 3)( RsU   — заданные вектор-функции. С учетом (10) вектор-функцию )(su смещений точек рассматриваемого тела представим [3] в виде ),()()( sususu   (11) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 41 где при определенной в (8), (9) матричной функции )( ssG  ,)()( 0 tdsfssGxdu S      (12) mm M m fssGsu        )()( 1 при ).,1(),()\( 0 3    MmSRsm Заметим, что вектор-функция (11) будет удовлетворять [3] дифференциаль- ному уравнению (3) точно при любых ),1(3   MmRf m . Поэтому вектор ),1,(col   Mmff m определим из условия среднеквадратического выполне- ния граничного наблюдения (10) за динамикой рассматриваемого тела, которое запишем в виде .min))()()(( )( 2 1 su x R dtsUsuLdx           (13) Согласно [3] решением задачи (13), или (что эквивалентно) задачи   f min (14) будет       vPPvAPf U , (15) где при произвольном  M Rv 3 и матрице  P , псевдообратной к dtsAsAdxP T )()(      , имеем dtsUsAdxA T U )()(      , ),1),,1),()((str(col)(     RMmssGLsA mx , ),1),((col)(     RsUsU . При этом ,0v если ,0det P а ,)()(minmin T )( 2 UU T fsu APAdtsUsUdx          а это значит, что интегральной математической моделью рассматриваемого тела будет соотношение )()()()( 1 0 sufssGtdsfssGxd mm M mS         (16) при определенных согласно (8), (9), (14), (15) матричной функции )( ssG  и век- торе f соответственно. 42 ISSN 0572-2691 Интегральная математическая модель динамики начально-возмущенной трехмерной упругой среды Аналогично (16) построим интегральную математическую модель динамики рассматриваемой упругой среды при условии, что динамика эта начинается так, что ),1()()()( 0 0 0 0 RrxUsuL r t tr   (17) при 3Rx , заданных )33(  -мерном матричном диференциальном операторе )(0 trL  и 3-мерной вектор-функции )(0 xUr . Как и выше, будем исходить из того, что начальные возмущения ),1,()( 0 30 RrRxxUr  моделируются [3] значениями ),1()( 0 0 00 Mmsff mm  моделирующей функции )(0 sf ])0,(( 3 Rs такими, что 0 0 min))()()(( 20 0 0 1 0 f r t tr R r dxxUsuL      (18) при      0 1 0 0 0 )()()()( M m mm fssGtdsfssGxdsu , (19) ),1(]0,(),( 0 3000 MmRtxs mmm  и .),1,(col 000 Mmff m  Заметим, что решением задачи (18), как и выше, будет вектор 0000000 vPPvAPf U   , (20) где при произвольном 03M -мерном векторе 0v и матрице  0P , псевдообратной к ,)()( 0 T 00 dxxAxAP     имеем dxxUxAA U )()( 0 T 00     , ),1),,1,)()((str(col)( 00 0 00 0 RrMmssGLxA t mtr   , ),1(),((col)( 0 0 0 RrxUxU r  . Точность решения задачи (18) будет определяться величиной UU f APAdxxUxU 00 T 00 T 00 2 )()(min 0      . Решение (20) задачи (18) будет однозначным )0( 0 v , если .0det 0 P Послед- нее означает, что при любых начальных условиях (17) динамика рассматриваемой упругой среды описывается интегральной математической моделью (19). Интегральная математическая модель начально-краевой задачи динамики упругого тела В заключение рассмотрим интегральную математическую модель динамики упругого тела, ограниченного поверхностью , для которого имеют место начально-краевые условия (10), (17), а ]T,0[t . Согласно [3] интегральным эквивалентом дифференциальной модели (3), (10), (17) будет следующая: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 43 .)()()()()( 1 0 0 1 T 0 0 0 mm M m mm M mS fssGfssGtdsfssGxdsu       (21) Здесь, как и выше, )( ssG  — матричная функция, определенная в (8), (9), ),1(]0,( 0 30 MmRsm  , ]T,0[)\( 0 3  SRsm , а векторы ,(col 00 mff  ),1 0Mm  и ),1,(col   Mmff m такие, что при заданной согласно (21) вектор-функции )(su .min , 0 0    ff При этом PvQQvAQQf U ),(),( 1211012110  , PvQQvAQQf U ),(),( 22212221   . Здесь при произвольных 03M - и M3 -мерных векторах 0v и v ),(col 0  vvv , ,][ 2, 1,    PQ ji jiij dssAsAP )()(T )(    , dssUsAAU )()(T )(    , )( обозначает интегрирование по области изменения аргумента следующих мат- ричной и векторной функций:          ))],0[()(())],0[()(( ))()(())()(( )( 2221 012011 TssATssA SxxASxxA sA ,             ))],0[()(( ))()(( )( 00 TssU SxxU sU . Здесь ),1),,1,)()((str(col)( 00 0 00 11 RrMmssGLxA t mtr   , ),1),,1,)()((str(col)( 0 0 0 12 RrMmssGLxA t mtr     , ),1),,1),()((str(col)( 0 0 21     RMmssGLxA mx , ),,1),,1),()((str(col)(22     RMmssGLxA mx а вектор-функции )(0 xU и )(sU определены ранее. Как и выше, однозначность )0( v математической модели (21) динамики рассматриваемого упругого тела будет определяться условием 0det P , а точность интегральной модели по отношению к дифференциальной модели — величиной .)()()(min)(min TT )( 0 , 0 )( 2 0 UU ffsu AAdssUsU       Заключение Таким образом, сформулирована и решена сложная задача трехмерной теории упругости — задача исследования поля упругих динамических смещений точек упру- гого тела с произвольной геометрией его поверхности при условии, что имеется информация о непрерывно определенном состоянии точек этой поверхности, и 44 ISSN 0572-2691 начальном состоянии внутренних точек всего тела на заданном временном интервале. Построены математические модели динамики рассматриваемого тела, которые, точно удовлетворяя классически известным уравнениям Ляме трехмерной теории упру- гости, по среднеквадратическим критериям согласуются с имеющимися начально- краевыми наблюдениями за исследуемым телом. Рассмотрены случаи простран- ственной неограниченности тела и его установившейся динамики. С учетом воз- можных неоднозначностей в описании поля упругих динамических смещений рассматриваемых упругих тел, которые могут иметь место в силу неполноты и не- определенности информации о начально-краевом состоянии исследуемого тела, в ра- боте формулируются условия однозначности построенных математических моде- лей. Оценивается степень согласованности каждой из названых математических мо- делей с системой непрерывно определенных начально-краевых наблюдений за состоянием исследуемых упруго-динамических тел. В.А. Стоян, С.Т. Даниш ПРО МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ ТРИВИМІРНИХ ПРУЖНИХ ТІЛ. ЧАСТИНА 1. ТІЛА З НЕПЕРЕРВНО СПОСТЕРЕЖУВАНИМ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИМ СТАНОМ Побудовано інтегральні математичні моделі динаміки необмеженого тривимір- ного пружного середовища та просторово-обмеженого пружного тіла з довіль- ною геометрією його зовнішньої поверхні. Розглянуто питання усталеної дина- міки тіла з неперервно спостережуваною поверхнею. Досліджено динаміку не- обмеженого пружного середовища за його неперервно визначеним початковим станом. Побудовано математичні моделі, які аналітично точно узгоджені з кла- сично відомою диференціальною моделлю Ляме динаміки пружного середови- ща та за середньоквадратичним критерієм — з наявними спостереженнями за початково-крайовим станом досліджуваних об’єктів. Оцінюється точність тако- го узгодження і формулюються умови його однозначності. V.A. Stoyan, S.T. Danysh ON MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMICS OF THREE-DIMENSIONAL ELASTIC BODIES. PART 1. BODIES WITH INFINITE OBSERVABLE INITIAL BOUNDARY CONDITION Integrated mathematical models of the dynamics of unlimited three-dimensional elas- tic medium and spatially limited elastic body of arbitrary geometry of its outer sur- face are built. The questions of the established dynamics of the body with continu- ously observable surface are considered. We investigated the dynamics of infinite elastic medium, continuously determined by its initial state. Constructed mathemati- cal models are in accurate agrement with classically known Lame differential models of elastic medium dynamics and according to the root meen-square criterion with available observations of the initial boundary condition of the investigated objects. The accuracy of this agreement is evaluated and conditions of its uniqueness are for- mulated. 1. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Проб- лемы управления и информатики. — 1998. — № 1. — С. 79–86. 2. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю.Г. Математичне моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. — Київ : Наук. думка, 2002. — 361 с. 3. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних систем. — Київ. : ВПЦ «Київський університет», 2011. — 320 с. 4. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. — М. : Гостехиздат, 1955. — 492 с. Получено 21.12.2016 Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.

Схожі ресурси