Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины

Розглянуто обернену задачу з визначення правої частини лінійного рівняння коливань пружної пластини. Задачу зведено до задачі оптимального керування, досліджено функціональну диференційовність і отримано необхідні і достатні умови оптимальності....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Гулиев, Г.Ф., Сейфуллаева, Х.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208502
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины / Г.Ф. Гулиев, Х.И. Сейфуллаева // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 76-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208502
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2085022025-11-01T01:03:16Z Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины Про визначення правої частини лінійного рівняння коливань пружної пластини On determination of the right part of linear equation of elastic plate vibration Гулиев, Г.Ф. Сейфуллаева, Х.И. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Розглянуто обернену задачу з визначення правої частини лінійного рівняння коливань пружної пластини. Задачу зведено до задачі оптимального керування, досліджено функціональну диференційовність і отримано необхідні і достатні умови оптимальності. The inverse problem of determining the right part of linear equation of elastic plate vibration is considered. The problem is reduced to the problem of optimal control, the differentiallity of the functional is studied, necessary and sufficient optimality conditions are obtained. 2017 Article Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины / Г.Ф. Гулиев, Х.И. Сейфуллаева // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 76-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208502 517.97 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i4.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Гулиев, Г.Ф. Сейфуллаева, Х.И. Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто обернену задачу з визначення правої частини лінійного рівняння коливань пружної пластини. Задачу зведено до задачі оптимального керування, досліджено функціональну диференційовність і отримано необхідні і достатні умови оптимальності.
format	Article
author	Гулиев, Г.Ф. Сейфуллаева, Х.И.
author_facet	Гулиев, Г.Ф. Сейфуллаева, Х.И.
author_sort	Гулиев, Г.Ф.
title	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
title_short	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
title_full	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
title_fullStr	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
title_full_unstemmed	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
title_sort	об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208502
citation_txt	Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины / Г.Ф. Гулиев, Х.И. Сейфуллаева // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 76-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gulievgf obopredeleniipravojčastilinejnogouravneniâkolebanijuprugojplastiny AT sejfullaevahi obopredeleniipravojčastilinejnogouravneniâkolebanijuprugojplastiny AT gulievgf proviznačennâpravoíčastinilíníjnogorívnânnâkolivanʹpružnoíplastini AT sejfullaevahi proviznačennâpravoíčastinilíníjnogorívnânnâkolivanʹpružnoíplastini AT gulievgf ondeterminationoftherightpartoflinearequationofelasticplatevibration AT sejfullaevahi ondeterminationoftherightpartoflinearequationofelasticplatevibration
first_indexed	2025-11-01T02:07:21Z
last_indexed	2025-11-02T02:03:39Z
_version_	1847642312682766336
fulltext	© Г.Ф. ГУЛИЕВ, Х.И. СЕЙФУЛЛАЕВА, 2017 76 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 517.97 Г.Ф. Гулиев, Х.И. Сейфуллаева ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ Известно, что колебания упругой пластины описываются дифференциальными уравнениями с частными производными четвертого порядка [1 , 2]. Поэтому ис- следование обратных задач для уравнений с частными производными [3], в частности для уравнения упругой пластины, имеет большое теоретическое и практическое значение [4]. Один из подходов для решения обратных задач — оптимизационный метод. Суть его состоит в том, что обратная задача сводится к задаче оптималь- ного управления, и эта новая задача исследуется методами теории оптимального управления. Изучение таких задач начато с конца ХХ века, и в данное время они интен- сивно исследуются [4–6]. 1. Постановка задачи Требуется найти пару функций )()(),( 2 1,2 2 TT QLQWu  из следующих соотношений: ,),,( ),,,(2)1()( 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 TQtyx tyx x u y D y u x D yx u yx D uD t u h                             (1) ,),( )0,,( ),,()0,,( 10 yx t yxu yxyxu     ,),( yx (2) ,0,0,0 ),,( ,0),,(,0 ),,( ,0),,( ,0,0,0 ),0,( ,0),0,(,0 ),,0( ,0),,0( Ttby y tbxu tbxu x tyau tyau Ttax y txu txu x tyu tyu               (3) ),,(),,( 0 yxTyxu  .),( yx (4) Здесь },0 ,0:),{(),( byaxyxyx  ),,0( Tt ),,0( TQT  ,a ,b T — заданные положительные числа, ),( yx — плотность массы пластины в точке ),,( yx ),( yxh — толщина пластины в точке ),,( yx ),,( tyxu — прогиб пластины в точке ),( yx в момент времени ,t  — оператор Лапласа по yx, , Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 77 )1(12 2 3   Eh D — цилиндрическая жесткость,         2 1 0 — коэффициент Пуассона, 0E — модуль Юнга, )(),( 3 2 Wyxh — заданная функция, причем ,),(0  yxh , 2 2 M x h    , 2 M yx h    , 2 2 M y h    где , , M — задан- ные положительные числа, ),(),( 2 20  o Wyx )(),( 21  Lyx — заданные начальные функции, )(),( 20  Lyx — заданная функция. Обозначим )(1,2 0,2 TQW класс функций ),( 1,2 2 TQW элементы которого удовлет- воряют граничным условиям .0 ),,( ,0),,(,0 ),,( ,0),,( ,0 ),0,( ,0),0,(,0 ),,0( ,0),,0(               y tbx tbx x tya tya y tx tx x ty ty Рассмотрим обобщенное решение задачи (1)–(3). Под обобщенным решением задачи (1)–(3) для каждой функции ),,( tyx из )(2 TQL понимается такая функция ),(),,( 1,2 0,2 TQWtyxu  что для любой функции ),(),,( 1,2 0,2 TQWtyx  ,0),,(  Tyx выполняется интегральное тождество                                       dxdydt x u y D y u x D yx u yx D uD tt u h TQ 2 2 2 2 2 2 2 222 2)1( .),,()0,,(),(1    TQ dxdydttyxdxdyyxyxh Приведем эту задачу к следующей задаче оптимального управления: найти минимум функционала   .),();,,()( 2 00 dxdyyxTyxuJ    (5) При ограничениях (1)–(3) ),,( tyx назовем управляющей функцией, );,,(  tyxuu обозначим обобщенным решением задачи (1)–(3), соответствую- щим управлению ).,,( tyx Классом допустимых управлений adU будем считать замкнутое множество из ).(2 TQL Задачу (1)–(3), (5) регуляризуем следующим образом: вместо функционала (5) рассмотрим функционал     TQ dxdydtJJ 2 0 )( 2 )()( , (6) где 0 — положительное число, )(2 TQL — заданная функция. Как и в работе [6], отметим, что при каждом фиксированном управлении ),,( tyx краевая задача (1)–(3) имеет единственное обобщенное решение из ).(1,2 2 TQW 78 ISSN 0572-2691 В данной задаче выполняются все условия из работы [8]. Поэтому в новой задаче оптимального управления (1)–(3), (7) существует единственное оптималь- ное управление. 2. О разрешимости задачи (1)–(3), (5) в случае )( T2 QLadU  Теперь рассмотрим задачу: при каких условиях .0)(inf 0 )(2   J TQL (7) Пусть ),(0 yx — заданная функция из )(2 L такая, что ,0);,,(),(0   dxdyTyxuyxh ).(2 TQL (8) Выясним, будет ли отсюда следовать, что .0),(0  yx Введем функцию ),,( tyxW как решение задачи: ,),,( 02)1()( 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 TQtyx W x D y W y D x W yx D yx WD t W h                                                     (9) ,),( ),,( ,0),,( 0 yx t TyxW TyxW     ,),( yx (10) .0,0,0 ),,( ,0),,(,0 ),,( ,0),,( ,0,0,0 ),0,( ,0),0,(,0 ),,0( ,0),,0( Ttby y tbxW tbxW x tyaW tyaW Ttax y txW txW x tyW tyW               (11) Как и в работе [7], покажем, что задача (9)–(11) имеет единственное обоб- щенное решение из класса ).( 1,2 0,2 TQW В силу определения обобщенного решения задачи (1)–(3) имеем: при 0t выполняется условие ),()0,,( 0 yxyxu  и для произвольной функции ),(),,( 1,2 0,2 TQWtyx  ,0),,(  Tyx выполняется интегральное тождество ,),,()0,,(),( 2)1( 1 2 2 2 2 2 2 2 222 dxdydttyxdxdyyxyxh dxdydt x u y D y u x D yx u yx D uD tt u h T T Q Q                                           (12) а в силу определения обобщенного решения задачи (9)–(11) при Tt  выполняется условие 0),,( TyxW и для произвольной функции )(),,( 1,2 0,2 TQWtyxg  выпол- няется интегральное тождество .0),,(),( 2)1( 0 2 2 2 2 2 2 2 222                                          dxdyTyxgyxh dxdydtW x g y D y g x D yx g yx D gWD t g t W h TQ (13) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 79 Теперь если в (12) вместо ),,( tyx подставить ),,,( tyxW а в (13) вместо ),,( tyxg подставить );,,( tyxu и из (12) вычесть (13), получим соотношение          TQ dxdydttyxWtyxdxdyyx t yxW h dxdyTyxuyxhdxdyyxWyxh .),,(),,(),( )0,,( );,,(),()0,,(),( 0 01 Если учесть условие (8), то .0),,(),,()0,,(),(),( )0,,( 10             dxdydttyxWtyxdxdyyxWyxyx t yxW h TQ (14) Если (14) записать для произвольных ),,(1 tyx и ),,,(2 tyx то: ,0),,(),,()0,,(),(),( )0,,( 110             dxdydttyxWtyxdxdyyxWyxyx t yxW h TQ .0),,(),,()0,,(),(),( )0,,( 210             dxdydttyxWtyxdxdyyxWyxyx t yxW h TQ Из полученных двух равенств имеем ,0)( 21  Wdxdydt TQ ).(, 221 TQL Отсюда, в свою очередь, следует, что 0),,( tyxW почти всюду в .TQ Значит, в силу (10) .0),(0  yx Таким образом, в силу теоремы Хана–Банаха [8] получаем, что .0)(inf 0 )(2   J TQL Если образ )(2 TQL при отображение );,,(  Tyxu замкнут в ),(2 L то, возможно, существует такой элемент ),(),,( 20 TQLtyx  что .0)()(min 000 )(2   JJ TQL 3. Дифференцируемость функционала (6) и необходимое и достаточное условие оптимальности Введем сопряженную задачу к задаче (1)–(3), (6) для заданного управления :)(),,( 2 TQLtyx  ,),,( ,02)1()( 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 TQtyx x D yy D xyx D yx D t h                                                        (15) ,0),,(  Tyx )],,();,,([ ),,( 0 yxTyxu t Tyx h     ,),( yx (16) ,0,0,0 ),,(),0,( ,0),,(),0,( ,0,0,0 ),,(),,0( ,0),,(),,0( Ttby y tbx y tx tbxtx Ttax x tya x ty tyaty               (17) где );,,( tyxu — решение задачи (1)–(3) для заданного управления ).,,( tyx 80 ISSN 0572-2691 Из условий, наложенных на данные задачи (1)–(4), следует, что сопряженная задача имеет единственное обобщенное решение в пространстве )( 1,2 2 TQW [6]. Для вывода необходимого условия оптимальности в рассматриваемой задаче возьмем два произвольных допустимых управления: ),,(0 tyx и ).,,(),,(0 tyxtyx  Соответствующие решения задачи (1)–(3) обозначим );,,( 0tyxu и ).,,();,,();,,( 00 tyxutyxutyxu  Тогда  ),,( tyxu );,,();,,( 00  tyxutyxu — решение следующей краевой задачи: ),,,( )()()( 2)1( ))(( )( 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 tyx x u y D y u x D yx u yx D uD t u h                             (18) ,0)0,,(  yxu ,0 ))0,,((    t yxu (19) .0 )),,(()),0,(( ,0),,(),0,( ,0 )),,(()),,0(( ,0),,(),,0(               y tbxu y txu tbxutxu x tyau x tyu tyautyu (20) Покажем, что . )()( 2 1,2 2 TT QLQW Cu  (21) Применим метод Фаедо–Галеркина. Берем базис   1)},({ ii yx из ),(2 2   W причем система    1),( ii yx ортонормирована в ),(2 L и приближенное реше- ние задачи (18)–(20) ищем в виде    N i i N i N yxtctyxu 1 ),()(),,( из следующих равенств:       dxdyyxuDdxdyyx t u h j N j N ),(),( 2 2                           dxdyyx x u y D y u x D yx u yx D j NNN ),(2)1( 2 2 2 2 2 2 2 222 (22) ,1,),(),,( Njdxdyyxtyx j    ,0)0( N ic .0)( 0  t N i tc dt d Обе части равенства (22) умножим на )(tc dt d N j и просуммируем по j от 1 до .N Тогда получим            dxdy t u uDdxdy t u t u h N N NN 2 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 81                             dxdy t u x u y D y u x D yx u yx D NNNN 2 2 2 2 2 2 2 222 2)1( .),,( dxdy t u tyx N      Отсюда следует, что                        dxdyuD t u h dt d N N 2 2 )( 2 1                             dxdy t u x u y D y u x D yx u yx D NNNN 2 2 2 2 2 2 2 222 2)1( .),,(     dxdy t u tyx N Если проинтегрировать это равенство по ,t при заданных условиях на дан- ные задачи получим следующее неравенство:                            t NN N syxuCCdxdytyxu t tyxu 0 22 2 )),,(()),,(( ),,(                                              2 2 2 222 ),,(),,(),,(),,( x syxu y syxu x syxu t syxu NNNN , ),,(),,( 2 0 2 2 2 2 2 dxdydsdxdyds y syxu yx syxu tNN                               ],,0[ Tt где C — различные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и до- пустимых управлений. В силу эквивалентности норм в пространстве )(2 2   W имеем                                         222 2 ),,(),,(),,( )),,(( y tyxu x tyxu t tyxu tyxu NNN N ),,( )),,(()),,(( 2 2 0 2                         t syxu syxuCCdxdytyxu N N t N                                   2 2 2 22 ),,(),,(),,( x syxu y syxu x syxu NNN (23) . ),,(),,( 2 0 2 2 2 2 2 dxdydsCdxdyds y syxu yx syxu tNN                               В силу известного неравенства [10] , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dxdy y u x u dxdy y u yx u x u NNNNN                                                         82 ISSN 0572-2691 из неравенства (23) получим                                         222 2 ),,(),,(),,( )),,(( y tyxu x tyxu t tyxu tyxu NNN N                                       Cdxdy y tyxu yx tyxu x tyxu NNN 2 2 2 2 2 2 2 2 ),,(),,(),,(                                          222 2 0 ),,(),,(),,( )),,(( y syxu x syxu t syxu syxuC NNN N t . ),,(),,(),,( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                          TNNN dxdydtCdxdydt y syxu yx syxu x syxu Применяя лемму Гронуолла, получаем .],0[, ),,(),,(),,( ),,(),,(),,( )),,(( 2 )( 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 TtCdxdy y tyxu yx tyxu x tyxu y tyxu x tyxu t tyxu tyxu TQL NNN NNN N                                                                                (24) Отсюда, интегрируя по ,t имеем . 2 )( 2 )( 21,2 2 T T QLQW N Cu  (25) Из этого неравенства следует, что из последовательности )},,({ tyxuN можно выделить такую подпоследовательность (которую тоже обозначим )},,,({ tyxuN что она слабо сходится в )( 1,2 2 TQW к некоторой функции ),,( tyxu при .N Тогда в силу слабой полунепрерывности снизу норм в гильбертовом пространстве из (25) следует оценка (21). Вычислим приращение функционала :)(J   )()()( JJJ    dxdyyxTyxuyxTyxu }]),();,,([)],();,,([{ 2 1 2 0 2 0    )( 2 2 )( 2 )( 22 TT QLQL ,)(),,(]),();,,([ 0 RdxdydtdxdyTyxuyxTyxu TQ    (26) где dxdydtdxdyTyxuR TQ 22 2 ),,( 2 1      — остаточный член. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 83 Поскольку u — обобщенное решение задачи (18)–(20), для произвольной функции ),(),,( 1,2 0,2 TQWtyx  ,0),,(  Tyx имеем .0),,( 2)1( 2 2 2 2 2 2 2 222                                          T T Q Q dxdydttyxdxdydt x u y D y u x D yx u yx D uD tt u h (27) Так как ),,( tyx — решение сопряженной задачи (15)–(17), для любой функции ),(),,( 1,2 0,2 TQWtyxg  ,0)0,,( yxg получим .0),,( ),,( 2)1( 2 2 2 2 2 2 2 222                                              dxdyTyxg t Tyx hdxdydt x g y D y g x D yx g yx D gD t g t h TQ (28) Если в (27) вместо ),,( tyx подставить ),,,( tyx а в (28) вместо ),,( tyxg подставить ),,( tyxu и из (27) вычесть (28), учитывая формулу (26), получим .])([)( 0 RdxdydtJ TQ   (29) Поскольку вложение )()( 2 1,2 2  LQW T ограничено, справедливо неравенство .),,( 2 )( 2 )( 1,2 22 TQWL uCTyxu   Отсюда и из оценки (21) имеем .),,( 2 )( 2 )( 22 TQLL CTyxu   (30) Теперь, учитывая оценку (30), оценим остаточный член :R .),,( 2 ),,( 2 1 0 2 )( 22 2 T TT QL QQ CdxdydttyxdxdyTyxuR     Тогда из (29) получим, что градиент функционала имеет вид ).()( grad J Таким образом, в силу известной теоремы из [11], для того чтобы управление ),,(0 tyx было оптимальным, необходимо выполнение неравенства ,0)(])([ 0  dxdydt TQ .adU (31) Поскольку функционал (6) строго выпуклый в ,adU а задача (1)–(3) линей- ная, условие (31) является и достаточным условием оптимальности. Таким образом, доказана следующая теорема. 84 ISSN 0572-2691 Теорема. Пусть выполняются вышеналоженные условия на данные задачи (1)–(3), (6). Тогда для оптимальности управления ),,(0 tyx в этой задаче необ- ходимо и достаточно выполнение неравенства (31). Г.Ф. Гулієв, Х.І. Сейфуллаєва ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ПРАВОЇ ЧАСТИНИ ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ КОЛИВАНЬ ПРУЖНОЇ ПЛАСТИНИ Розглянуто обернену задачу з визначення правої частини лінійного рівняння коливань пружної пластини. Задачу зведено до задачі оптимального керування, досліджено функціональну диференційовність і отримано необхідні і достатні умови оптимальності. H.F. Guliyev, Kh.I. Seyfullayeva ON DETERMINATION OF THE RIGHT PART OF LINEAR EQUATION OF ELASTIC PLATE VIBRATION The inverse problem of determining the right part of linear equation of elastic plate vibration is considered. The problem is reduced to the problem of optimal control, the differentiallity of the functional is studied, necessary and sufficient optimality conditions are obtained. 1. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. — М. : Мир, 1975. — 160 с. 2. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределен- ными параметрами к задачам оптимизации конструкций. — М. : Мир, 1977, — 144 с. 3. Латтес Р, Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М. : Наука, 1970. — 280 с. 4. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск : Сибирские научные издания, 2009. — 457 с. 5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некор- ректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. — М. : Наука, 1988. — 288 с. 6. Gasimov Y.S. On a shape design problem for one spectral functional // Journal of Inverse and Ill- Posed Problems. — 2013. — 21, N. 5, — P. 629–637. 7. Guliyev H.F., Seyfullayeva Kh. I. On an optimal control problem for the vibration equation of the thin plate // News of Baku State University. — 2013. — N 3. — P. 64–73. 8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М. : Мир, 1972. — 416 с. 9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1981. — 544 с. 10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 408 с. 11. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач — М. : Наука, 1981. — 399 с. Получено 22.11.2016

Об определении правой части линейного уравнения колебаний упругой пластины

Institution

Ähnliche Einträge