Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных
Наведено математичні моделі представлення даних в структурному вигляді для статичного випадку, що базуються на прямій та двоїстій задачах регуляризації, та оцінки обчислювальної складності відповідних методів. На їх основі розроблено ітераційні схеми для корекції вектора невідомих параметрів у випад...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208503 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных / Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтярь // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 85-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208503 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2085032025-11-01T01:12:13Z Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных Використання методів псевдоінверсії та регуляризації в адаптивних моделях структурного зображення та обробки даних The use of pseudoinversion and regularization methods in adaptive models of structured representation and processing of data Гаращенко, Ф.Г. Дегтярь, О.С. Методы обработки информации Наведено математичні моделі представлення даних в структурному вигляді для статичного випадку, що базуються на прямій та двоїстій задачах регуляризації, та оцінки обчислювальної складності відповідних методів. На їх основі розроблено ітераційні схеми для корекції вектора невідомих параметрів у випадку динамічного надходження експериментальних даних. Отримано оцінки збіжності запропонованих ітераційних схем у класі еліпсоїдів, де фазові обмеження задаються у вигляді паралелепіпеда. Mathematical models representing data in a structured form based on direct and dual regularization problems are described for a static case. Their computational complexity is evaluated. Iterative schemes for unknown parameters vector correction are developed on their basis for the dynamic flow of experimental data. Convergence of the proposed iterative schemes was received in ellipsoids classes, where the phase limitations were set in the polygon form. 2017 Article Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных / Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтярь // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 85-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208503 519.6:621.391 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i3.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы обработки информации Методы обработки информации |
| spellingShingle |
Методы обработки информации Методы обработки информации Гаращенко, Ф.Г. Дегтярь, О.С. Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных Проблемы управления и информатики |
| description |
Наведено математичні моделі представлення даних в структурному вигляді для статичного випадку, що базуються на прямій та двоїстій задачах регуляризації, та оцінки обчислювальної складності відповідних методів. На їх основі розроблено ітераційні схеми для корекції вектора невідомих параметрів у випадку динамічного надходження експериментальних даних. Отримано оцінки збіжності запропонованих ітераційних схем у класі еліпсоїдів, де фазові обмеження задаються у вигляді паралелепіпеда. |
| format |
Article |
| author |
Гаращенко, Ф.Г. Дегтярь, О.С. |
| author_facet |
Гаращенко, Ф.Г. Дегтярь, О.С. |
| author_sort |
Гаращенко, Ф.Г. |
| title |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| title_short |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| title_full |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| title_fullStr |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| title_full_unstemmed |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| title_sort |
использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Методы обработки информации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208503 |
| citation_txt |
Использование методов псевдоинверсии и регуляризации в адаптивных моделях структурного представления и обработки данных / Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтярь // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 2. — С. 85-93. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT garaŝenkofg ispolʹzovaniemetodovpsevdoinversiiiregulârizaciivadaptivnyhmodelâhstrukturnogopredstavleniâiobrabotkidannyh AT degtârʹos ispolʹzovaniemetodovpsevdoinversiiiregulârizaciivadaptivnyhmodelâhstrukturnogopredstavleniâiobrabotkidannyh AT garaŝenkofg vikoristannâmetodívpsevdoínversíítaregulârizacíívadaptivnihmodelâhstrukturnogozobražennâtaobrobkidanih AT degtârʹos vikoristannâmetodívpsevdoínversíítaregulârizacíívadaptivnihmodelâhstrukturnogozobražennâtaobrobkidanih AT garaŝenkofg theuseofpseudoinversionandregularizationmethodsinadaptivemodelsofstructuredrepresentationandprocessingofdata AT degtârʹos theuseofpseudoinversionandregularizationmethodsinadaptivemodelsofstructuredrepresentationandprocessingofdata |
| first_indexed |
2025-11-01T02:07:24Z |
| last_indexed |
2025-11-02T02:03:42Z |
| _version_ |
1847642316027723776 |
| fulltext |
© Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, О.С. ДЕГТЯРЬ, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 85
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
УДК 519.6:621.391
Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтярь
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ
ПСЕВДОИНВЕРСИИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
В АДАПТИВНЫХ МОДЕЛЯХ СТРУКТУРНОГО
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ
Введение
С уверенностью можно сказать, что решение линейных систем — одна из
наиболее распространенных задач вычислительной математики. Множество за-
дач, связанных с цифровой обработкой информации, сводится к решению систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), например задачи распознавания и
идентификации, классификации, адаптивного контроля, аппроксимации сигналов
и т.д. При этом следует учитывать, что и в прикладных задачах исследователь ча-
сто имеет дело с приближенно заданными данными, для которых вычислительные
погрешности и распределение вероятностей случайной величины (эксперимен-
тальных данных) неизвестны. Дополнительно к задаче построения математиче-
ской модели, описывающей процесс, возникают проблемы анализа устойчивости
решений, оценки погрешностей и т.д.
В последнее время особого внимания заслуживают методы, ориентированные
на работу в режиме реального времени. Для обработки динамических потоков
данных важны свойства высокого быстродействия и адаптации. В данной статье
предлагаются методы адаптивной обработки данных и их структурного представ-
ления, основанные на использовании математического аппарата регуляризации
Тихонова, а значит, нацеленные на работу с приближенно заданными данными,
поступающими в динамике.
Настоящая статья посвящена методам динамической обработки данных, которые
способствуют эффективному решению задач идентификации, распознавания и клас-
сификации информации, поступающей в режиме реального времени. Для представ-
ления данных в заданных структурных формах предлагаются итерационные про-
цедуры адаптивной коррекции вектора неизвестных параметров, основанные на пря-
мой и двойственной задачах регуляризации Тихонова. Проводится анализ сходимости
предложенных схем, в частности, получена оценка },1,,,{ NBc m -сходимости
в классе эллипсоидов )}.,0({0 BEG c
Прямая и двойственная задачи регуляризации.
Статический случай
Рассмотрим задачу представления данных в структурном виде. Она сводится
к поиску неизвестных параметров )(m СЛАУ
.)()()( mmm (1)
86 ISSN 0572-2691
Здесь )(m — матрица n известных m-мерных сигналов размерности nm
(заданные структурные формы), )...,,,( 21
)(
m
m — известный вектор
размерности m, который необходимо представить в структурном виде,
)...,,,( 21
)(
n
m — вектор неизвестных параметров, m — текущий шаг
алгоритма, Nm ...,,2,1 (временная переменная, когда речь идет о поступлении
данных в динамике).
В большинстве случаев исходная система не имеет точных решений. Такая
ситуация возникает, когда матрица )(m — квадратная особая, для которой не
существует обратной, или же прямоугольная, т.е. .nm Задача поиска решения
СЛАУ естественным образом сводится к поиску приближенного решения, мини-
мального по норме (нормального псевдорешения). Таким образом, с помощью
метода наименьших квадратов находятся псевдорешения системы, т.е. такие ,)(m
при которых минимизируется евклидова норма невязки .
2)()()( mmm
При этом задача представления данных в заданных структурных формах сводится
к задаче псевдообращения матрицы .)(m
Однако в прикладных задачах, где высока вероятность погрешности исход-
ной информации, неизвестные параметры, найденные как нормальное псевдоре-
шение, не всегда удовлетворяют исследователя. Они дают минимальную невязку
на тренировочной выборке (тех данных, которые учитывались при построении
модели), однако может быть значительная погрешность и при поступлении новых
наблюдений. Такой случай можно трактовать как переобучение модели.
Таким образом, когда речь идет о распознавании более общих тенденций в за-
шумленных процессах, использование псевдообращения при 0 не всегда
приводят к желаемым результатам. Для задач такого типа предлагается ис-
пользование метода регуляризации Тихонова, который заключается во введе-
нии в решение параметра регуляризации [1]. Минимизируя функцию
,min*
2)(2)()()(
mmmm можно получить регуляризированное
решение, зависящее от .* Продифференцировав по ,)(m окончательно получим
.)*( )()(1)()()( mmmmm
n
I
(2)
Следует обратить внимание, что определение псевдорешения по Муру–Пен-
роузу является предельным случаем выражения (2). Параметр * — параметр
регуляризации. Наиболее часто употребляются методы выбора параметра регуля-
ризации: кросс-валидации и L-кривой (они подробно описаны в [2, 3]).
Рассмотрим случай, когда задана возмущенная система ,
~~ )()()( mmm для
которой погрешность задания входной информации известна. Пусть погрешность
определяется согласно формуле
,
~ )()( mm ,~ )()( mm
тогда псевдорешение СЛАУ (1) можно найти с погрешностью порядка .
Эта оценка непосредственно следует из теоремы, описанной в работе [4].
Приведенные выше результаты относятся к прямой задаче нахождения регу-
ляризированного решения. В этом случае для нахождения n-мерного вектора не-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 87
известных параметров )(m приходится решать систему n линейных уравнений
с n неизвестными. Вычислительная сложность такой задачи — ).( 3nO В резуль-
тате аппроксимированные данные восстанавливаются по формуле
.)(,)( )()(1)()()()()()( mmmmmmmm
n
If
Наряду с прямой задачей предлагается двойственная к задаче нахождения ре-
гуляризированного решения системы (1). Она заключается в переходе к задаче
поиска m-мерного вектора неизвестных параметров .)(mw Вывод соответствую-
щих формул подробно описан в работе [5]. Окончательно выражение для вектора
неизвестных параметров )(mw на m-м шаге имеет вид
,)( )(1)()( m
m
mm IGw
(3)
где
)()()( mmmG (матрица Грамма составлена из вектор-строк матрицы ),)(m
mI — единичная матрица размерности .mm
Нахождение вектора неизвестных параметров )(mw сводится к решению
m линейных уравнений с m неизвестными. Результирующая аппроксимация имеет вид
)(,))(,( )()()()()()( mmmmmm wwg
.,,
1
)()()()(
1
)()(
n
i
m
i
mm
i
m
i
n
i
m
i
m ww
Вычислительная сложность двойственной задачи — ).( 3mO Таким образом,
в случае недоопределенной системы использование двойственной задачи суще-
ственно сокращает количество операций и ускоряет вычисления, что особенно
важно при работе с динамическими потоками данных.
Из найденного решения двойственной задачи легко восстанавливается ис-
ходный вектор неизвестных параметров из соотношения .)()()( mmm w
Динамическая модель нахождения аппроксимации
с использованием прямой и двойственной задач регуляризации
Когда речь идет о поступлении данных в режиме реального времени, есте-
ственно возникает вопрос, как изменится псевдообратная матрица при расшире-
нии исходной матрицы )(m на одну строку. При этом увеличение размерности
может происходить как при поступлении новых наблюдений, так и при расширении
системы базисных функций (т.е. увеличении точности аппроксимации).
Матрица )1( m и вектор
)1( m
при поступлении новых наблюдений на
( 1m )-м шаге принимают вид
)1()1(
2
)1(
1
)(
)1(
)(
)1(
... m
n
mm
m
m
m
m , (4)
1
)(
)1(
m
m
m
x
.
88 ISSN 0572-2691
Тогда регуляризированное решение системы ,)1()1()1( mmm построенной
с учетом новых данных, находится по формуле
.)*( )1()1(1)1()1()1( mmmmm
n
I
В случае двойственной задачи вектор неизвестных параметров выразим
следующим образом:
,)( )1(1
1
)1()1(
m
m
mm IGw
где )1( mG — матрица Грамма, составленная из вектор-строк матрицы .)1( m
Для коррекции вектора неизвестных параметров при поступлении новых экс-
периментальных данных справедливы итерационные схемы, которые приводятся
в теоремах 1, 2.
Теорема 1. При добавлении к матрице )(m одной строки снизу коррекция
вектора неизвестных параметров происходит по итерационной схеме
,...,,2,1),( )()()()1( NmсQ mmmm (5)
где начальные данные вычисляются по формуле
.
)1()1(
)1()1(
)1(
Для доказательства теоремы необходимо выразить n-мерный вектор неиз-
вестных параметров на )1( m -й итерации через соответствующий n-мерный век-
тор на m-й итерации.
На m-й итерации вектор неизвестных параметров )(m вычисляется по фор-
муле (2), на )1( m -й итерации вектор )1( m — по формуле
.)( )1()1(1)1()1()1( mm
n
mmm I (6)
Матрицу )( )1()1(
n
mm I в соответствии с (4) можно расписать сле-
дующим образом:
).()(
T)1()1()(T)()1(T)1( mm
n
mm
n
mm II
Тогда (6) преобразуется в
.)
(
1
)(
)1(
)(
1)1()1(
)()()1(
T
m
m
Tm
m
mm
n
mmm
x
I
Согласно формуле Шермана–Моррисона [6] 1)1()1()()( )(
mm
n
mm I
можно записать
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 89
1)1()1(1)1()1()()( )()( n
mmmm
n
mm II
.
)(1
)()(
)1(1)1()1()1(
1)1()1()1()1(1)1()1(
m
n
mmm
n
mmmm
n
mm
I
II
Вектор )1( m получим из формулы
1)()()1( )( n
mmm I
)1(1)()()1(
1)()()1()1(1)()(
)(1
)()(
m
n
mmm
n
mmmm
n
mm
I
II
1)()()()(1)()(
1
)1()()( )()()( n
mmmm
n
mm
m
mmm IIx
)1(1)()()1(
)()(1)()()1()1(1)()(
1
)1(
)(1
)()(
m
n
mmm
mm
n
mmmm
n
mm
m
m
I
II
x
.
)(1
)()(
)1(1)()()1(
1
)1(1)()()1()1(1)()(
m
n
mmm
m
m
n
mmmm
n
mm
I
xII
Обозначим .')( )()()( m
n
mm I
Тогда
)1(1)()1(
)()1()1(1)(
1
)1(1)()()1(
)(1
)(
)(
mmm
mmmm
m
mmmm x
)1(1)()1(
)1()1(1)(
)1(1)()1(
1
)1(1)()1()1(1)(
)(1
)(
)(1
)()(
mmm
mmm
n
mmm
m
mmmmm
I
x
.)(
)(1
)(
1
)1(1)(
)1(1)()1(
)1()1(1)(
)(
m
mm
mmm
mmm
n
m xI
Для удобства вычислений выражение для )1( m окончательно можно пере-
писать в виде
).)'((
)'(1
)'(
1
)1(1)()(
)1(1)()1(
)1()1(1)(
)1(
m
mmm
mmm
mmm
n
m xI
90 ISSN 0572-2691
Следовательно, имеем итерационную схему (5), где параметры ,)(mQ )(mс
получим из формул
,)(
,
)(1
)(
1
)1(1)()(
)1(1)()1(
)1()1(1)(
)(
m
mmm
mmm
mmm
n
m
xс
IQ
что и доказывает теорему.
Теорема 2. Для коррекции вектора неизвестных параметров при последователь-
ном поступлении экспериментальных данных справедлива итерационная схема
,...,,2,1,
)(
)()()(
)1( Nm
p
ñwP
w
m
mmm
m
(7)
где начальные данные задаются такими:
.
)1()1(
)1(
)1(
T
w
Доказательство теоремы основано на рекурсивном вычислении квадратной мат-
рицы ),( IG которая на m-м шаге имеет вид )( mm -мерной квадратной матри-
цы
.,1,,1,,)(
,,1,,1,,
1
2
1)(
mjmiji
mjmiji
n
i
i
k
n
i
j
k
i
k
m
При поступлении )1( m -го наблюдения матрица )1( m принимает вид
.
)1(
)1()(
)1(
m
mm
m
Используя формулы для нахождения матрицы, обратной матрице, представ-
ленной в блочном виде [7], получим выражение для матрицы :)( 1)1( m
,
1)(
)()()(
)(
)(
)1(1)(
)1(1)(1)()1()1(1)(
1)(
1)1(
mm
mmmmmm
m
m
где )1(1)()1( )( mmTm — дополнение Шура матрицы )(m к мат-
рице )1( m [8].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 91
Подставив ее в (7), получим
1
)(
1)1(
)1(
)(
' m
m
m
m
xw
w
.
)(
)()()(
)(
1)(
)1(1)(
1
)1(1)(
)(
1)()1()1(1)(
)(1)(
mm
mm
m
mm
m
mmmm
mm
x
x
Следовательно, имеет место итерационная схема
.
)(
)()(
'
1)(
)1(1)(
1
)1(1)()1()1(1)(
)(
)1(
mm
mm
m
mmmmm
m
m
m
x
xIw
w
w
Окончательно получим
,
)(
,
)(
1
)1(1)(
)(
)1()1(1)(
)(
m
mm
m
mmm
m
m
xс
IP
,
)( 1)(
)1(1)(
)(
mm
mm
m x
p
что доказывает теорему.
Исследование сходимости разработанных схем
Для общих методов анализа сходимости разработанных итерационных схем
рассмотрим систему в виде
,...,,2,1,)()()()1( NmbA mmmm
(8)
где nm R )( — искомый вектор неизвестных параметров на m-м шаге, )(mA —
)( nn -мерные невырожденные матрицы, .)( nm Rb
Пусть ),(0 BEG c
c — множество начальных условий, которое задается в
виде эллипсоида радиуса c с центром в точке ,c где В — положительно-опре-
деленная симметричная матрица размерности ,nn ограничения на траектории
системы задаются в виде параллелепипеда
,...,,2,1},1:{
1
NmlR sm
n
k
s
m
m
,nsm Rl
где sml — n-мерные векторы, mk — количество фазовых ограничений на
m-м шаге.
92 ISSN 0572-2691
Определение 1. Дискретную итерационную процедуру (8) будем называть
},1,,{ 0 NG m -сходящейся, если для любых начальных данных 0
)1( G соот-
ветствующие решения системы (8) ,)( )1()(
m
m .,2 Nm
Определение 2. Дискретную итерационную процедуру (8) будем называть
},1,,,{ NBc m -сходящейся, если для любых исходных данных 0
)1( G
),( BE c
c соответствующие решения системы (8) ,)( )1()(
m
m .,2 Nm
Решение (8) можно записать в виде ,,2,)()1()()( NmgQ mmm где
,... )1()1()( AAQ mm ,... )()()()2()1(
1
1
)( mjjmm
m
j
m bbAAAg
1
1
)2()1()( ...
m
j
mmm AAg
,... )()()( mjj bbA ,,2 Nm ,)1( IQ .0)1( g Справедлива оценка (9), основан-
ная на результатах, полученных в работе [9] (для доказательства необходи-
мо выбрать функцию Ляпунова в виде ,)(1)( )(1)(2/1)( mmm gQBсV
)....,,2,1 Nm
Критерий 1. Для дискретной итерационной процедуры (9) оптимальная
оценка },1,,,{ NBc m -сходимости в классе эллипсоидов )},0({0 BEG c такова:
.
1
minmin
)(1)(
)(
,1,1
opt
sm
mm
sm
m
sm
ksNm lQВQl
gl
c
m
(9)
Заключение
Разработаны итерационные схемы для динамической обработки данных в
целях их аппроксимации в заданных структурных формах. Такие схемы осно-
вываются на использовании математического аппарата регуляризации и наце-
лены на работу с приближенно заданными данными с гарантированной точно-
стью аппроксимации.
На основе прямой и двойственной задач регуляризации Тихонова в статиче-
ском случае разработаны итерационные процедуры, позволяющие корректировать
вектор неизвестных параметров по мере поступлений новых наблюдений. Они
представлены в виде дискретных итерационных схем, анализ сходимости ко-
торых можно проводить по одному из известных методов. В частности, в
настоящей работе получена оценка сходимости с начальным приближением в
классе эллипсоидов.
Разработанные алгоритмы могут эффективно применяться к задачам распо-
знавания, идентификации и классификации, которые возникают при решении за-
дач в различных прикладных областях.
Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтяр
ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ ПСЕВДОІНВЕРСІЇ
ТА РЕГУЛЯРИЗАЦІЇ В АДАПТИВНИХ МОДЕЛЯХ
СТРУКТУРНОГО ЗОБРАЖЕННЯ ТА ОБРОБКИ ДАНИХ
Наведено математичні моделі представлення даних в структурному вигляді для
статичного випадку, що базуються на прямій та двоїстій задачах регуляризації,
та оцінки обчислювальної складності відповідних методів. На їх основі розроб-
лено ітераційні схеми для корекції вектора невідомих параметрів у випадку ди-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 2 93
намічного надходження експериментальних даних. Отримано оцінки збіжності
запропонованих ітераційних схем у класі еліпсоїдів, де фазові обмеження зада-
ються у вигляді паралелепіпеда.
F.G. Garashchenko, O.S. Degtiar
THE USE OF PSEUDOINVERSION AND
REGULARIZATION METHODS IN ADAPTIVE
MODELS OF STRUCTURED REPRESENTATION
AND PROCESSING OF DATA
Mathematical models representing data in a structured form based on direct and dual
regularization problems are described for a static case. Their computational complex-
ity is evaluated. Iterative schemes for unknown parameters vector correction are de-
veloped on their basis for the dynamic flow of experimental data. Convergence of the
proposed iterative schemes was received in ellipsoids classes, where the phase limita-
tions were set in the polygon form.
1. Дегтяр О.С. Алгоритм розв’язання задачі оцінювання концентрації хлорофілу за допомо-
гою введення параметра регуляризації // Вісник Київського національного університету
ім. Тараса Шевченка. — 2013. — № 4. — С. 104–107.
2. Bowman A. An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates //
Biometrica. — 1984. — 71. — P. 353–360.
3. Hansen P.C. The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems // Com-
putational Inverse Problems in Electrocardiology. — Southampton: WIT Press, 2001. —
Р. 119–142.
4. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М. : Наука, 1983. — 335 с.
5. Дегтяр О.С. Метод оцінювання концентрацій хлорофілу за допомогою використання
двоїстої задачі до задачі регуляризації Тихонова // Вісник Київського національного
університету ім. Тараса Шевченка. — 2014. — № 2. — С. 118–123.
6. Meyer Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra book and solutions manual. — Phila-
delphia : SIAM, 2001. — 718 p.
7. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М. : Наука,
1987. — 360 с.
8. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с.
9. Башняков О.М., Пічкур В.В., Хітько І.В. Умови практичної стійкості дискретних систем
і функції Ляпунова // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2012. — № 3. —
С. 125–133
Получено 14.03.2017
|