О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения
Для дослідження диференціально-різницевих ігор зближення з переставними матрицями запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовується ідея інтегрального представлення розв’язку системи через запізнюючий експоненціал. Наведено достатні умови та гарантова...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208542 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения / Л.В. Барановская // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208542 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2085422025-11-02T01:09:09Z О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения Про квазiлiнійнi диференцiально-рiзницевi iгри зближення On quasi-linear differential-difference games of approach Барановская, Л.В. Проблемы динамики управляемых систем Для дослідження диференціально-різницевих ігор зближення з переставними матрицями запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовується ідея інтегрального представлення розв’язку системи через запізнюючий експоненціал. Наведено достатні умови та гарантований час для завершення гри. Результати проілюстровано на прикладі. Для дослідження диференціально-різницевих ігор зближення з переставними матрицями запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовується ідея інтегрального представлення розв’язку системи через запізнюючий експоненціал. Наведено достатні умови та гарантований час для завершення гри. Результати проілюстровано на прикладі. 2017 Article О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения / Л.В. Барановская // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208542 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i8.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Барановская, Л.В. О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения Проблемы управления и информатики |
| description |
Для дослідження диференціально-різницевих ігор зближення з переставними матрицями запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих функцій. При цьому використовується ідея інтегрального представлення розв’язку системи через запізнюючий експоненціал. Наведено достатні умови та гарантований час для завершення гри. Результати проілюстровано на прикладі. |
| format |
Article |
| author |
Барановская, Л.В. |
| author_facet |
Барановская, Л.В. |
| author_sort |
Барановская, Л.В. |
| title |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| title_short |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| title_full |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| title_fullStr |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| title_full_unstemmed |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| title_sort |
о квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208542 |
| citation_txt |
О квазилинейных дифференциально-разностных играх сближения / Л.В. Барановская // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 4. — С. 5-18. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT baranovskaâlv okvazilinejnyhdifferencialʹnoraznostnyhigrahsbliženiâ AT baranovskaâlv prokvaziliníjnidiferencialʹnorizniceviigrizbližennâ AT baranovskaâlv onquasilineardifferentialdifferencegamesofapproach |
| first_indexed |
2025-11-02T02:05:07Z |
| last_indexed |
2025-11-03T02:03:44Z |
| _version_ |
1847732915095470080 |
| fulltext |
© Л.В. БАРАНОВСКАЯ, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.977
Л.В. Барановская
О КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ
ИГРАХ СБЛИЖЕНИЯ
В теории динамических игр разработан ряд фундаментальных методов [1, 2],
ставших уже классическими.
В данной работе в качестве предмета исследований выбран метод разреша-
ющих функций [3], который широко применяется для исследования конфликтно-
управляемых процессов различной природы. Так, в [3, 4] изучаются процессы
с дробными производными, в [5] — игровые задачи поочередного сближения,
в работе [6] дается общая схема метода разрешающих функций, прикладная задача
о мягкой встрече решена в [7], случай интегральных ограничений изучен в [8], а в
работе [9] предложен вариант матричных разрешающих функций.
В настоящей статье рассматривается аналитический метод решения при фа-
зовом векторе и векторе запаздывания дифференциально-разностных игр пресле-
дования с перестановочными матрицами. При этом используется интегральное
представление решения на основе запаздывающего экспоненциала [10]. Для
локальной задачи преследования построена соответствующая схема метода раз-
решающих функций [3]. Даны достаточные условия завершения игры, которые
иллюстрируются на модельном примере. Статья примыкает к работам [11, 12]
и продолжает исследования [13].
Пусть nR — конечномерное евклидово пространство, )R( nK — совокуп-
ность непустых компактов пространства nR , )R(co nK — совокупность непустых
выпуклых компактов.
Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс
,,,R),,()()()( VvUuzvutBztAztz n (1)
где А, В — постоянные перестановочные квадратные матрицы порядка n;
,R:);R(, nn VUKVU функция непрерывна по совокупности пере-
менных, .0const
Начальным состоянием системы (1) является абсолютно непрерывная функция
),()( 0 tztz (2)
определенная на отрезке ].0;[
6 ISSN 0572-2691
Рассмотрим решение задачи Коши для линейной неоднородной системы
дифференциальных уравнений с запаздыванием (1), с соответствующей ей одно-
родной системой
).()()( tBztAztz (3)
Согласно свойствам линейных систем решение задачи Коши (1), (2) можно
записать в виде суммы )()()( 0 tztztz í решения )(0 tz однородной системы,
которая удовлетворяет начальному условию (2), и решения )(tzí неоднородной
системы, удовлетворяющей нулевым условиям ,0,)( ttz — нулевая
матрица порядка n.
Известно, что решение системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
0)0(,0,R),()( zztztAztz n
можно записать в виде матричного экспоненциала },exp{)( 0 Atztz где
,,
!!2!1
}{exp
2
2
n
t
A
t
A
t
AIAt
n
n I — единичная матрица порядка n.
Определение [10]. Запаздывающим экспоненциалом },{exp tB называется
матричная функция, которая имеет вид
ktk
k
kt
B
t
B
t
BI
tI
t
tB
k
k )1(,
!
))1((
!2
)(
!1
;0,
;,
},{exp
2
2
(4)
полинома степени k, «склеенного» в узлах ,2,1, kkt
Лемма 1 [10]. Пусть матрицы А и В однородной системы (3) перестановочны.
Тогда решение задачи Коши (2), (3) имеет вид
)(},{exp})(exp{)( 0
10 ztBtAtz
dssAzszstBtA
0
τ
00
1 ])()([},{exp})(exp{ (5)
и матрица
,0},,{exp}exp{)( 1 ttBAttF (6)
где ,}exp{1 BAB является решением системы (3), удовлетворяющим начальному
условию .0},exp{)( tAttF
Замечание 1. Из определения матричного экспоненциала (4) и условия пере-
становочности матриц А и В имеем
!!2!1
}exp{
2
2
n
t
BA
t
BA
t
ABBBAt
n
n
}.exp{
!!2!1
2
2 AtB
n
t
BA
t
BA
t
BAB
n
n
Замечание 2. Используя перестановочность матриц А и В, равенство (5)
можно переписать в виде
].])()([)()()([}exp{)(
0 000
0
dssAzszstFztFAttz
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 7
Лемма 2 [10]. Решение )(tzí неоднородной системы (1) с перестановочными
матрицами А и В, удовлетворяющее нулевым начальным условиям, для 0t име-
ет вид
.))(),((},{exp})(exp{)(
0 1
t
н dssvsustBstAtz
Лемма 3 [10]. Решение системы (1) с перестановочными матрицами А и В,
удовлетворяющее начальному условию (2), имеет вид
},{exp})(exp{)(},{exp)}(exp{)( 1
00
1 stBtAztBtAtz
.))(),((},{exp})(exp{])()([ 10
00 dssvsustBstAdssAzsz
t
Решение )(tz может быть представлено в виде
,))(),(()()()()()(
0
0
dssvsustFdssbstFatFtz
t
(7)
где
,])()([}{exp)(),(}exp{ 000 tAztzAtbzAa (8)
)(tF определена равенством (6).
Запаздывающий экспоненциал },{exp tB — непрерывная функция при .0t
Это автоматически выплывает из представления
.)1(,
!
))1((
!2
)(
!1
;32,
!3
)2(
!2
)(
!1
;2,
!2
)(
!1
;0,
!1
;0,
;,
},{exp
2
2
3
3
2
2
2
2
ktk
k
kt
B
t
B
t
BI
t
t
B
t
B
t
BI
t
t
B
t
BI
t
t
BI
tI
t
tB
k
k
Поэтому и матричная функция },{exp}exp{)( 1 tBAttF является непрерывной
функцией на полуоси ).;0[
Рассмотрим задачу сближения, заданную системой дифференциально-разност-
ных уравнений (1), удовлетворяющую начальным условиям (2) и условию пере-
становочности матриц А и В.
Терминальное множество является цилиндрическим и имеет вид
,0 MMM (9)
где 0M — линейное подпространство из nR , M — непустой компакт из ортого-
нального дополнения L к 0M . Состоянием системы (1) в момент t является отре-
зок траектории }.0),({)( sstzzt
Цель преследователя (u) — вывести траекторию процесса (1), (2) на терми-
нальное множество M за кратчайшее время, цель убегающего (v) — уклонить
8 ISSN 0572-2691
траекторию от встречи с этим множеством на всем полубесконечном интервале
времени 0t или, если это невозможно, максимально оттянуть момент встречи.
Обозначим V
совокупность измеримых по Лебегу функций ,)(),( Vtvtv
.0t
Аналогично определяется U . Отображение, действующее из nR в V ,
назовем программной стратегией убегающего, а ее конкретную реализацию при
заданном начальном состоянии )(0 z процесса (1), (2) — программным управле-
нием. В ходе игры (1), (2) убегающий использует программные управления
.)( Vv Контруправлением преследователя, которое соответствует начальному
состоянию ),(0 z назовем функцию ,0),)(,),(()( 0 ttvtzutu такую, что если
,)( Vv то .)( Uu Контруправление предписывается стробоскопической
стратегией Хайека [17].
Если игра происходит на интервале ],,0[ T то будем считать, что преследователь
выбирает управление вида
],,[),)(,),((
];,0[),)(,),((
)(
0
2
0
1
Ttttvtzu
tttvtzu
tu
где ),0[ t — активный участок, ],[ Tt — пассивный участок, а ))(( vtt —
момент переключения с одного закона выбора контруправления на другой, зави-
сящий от предыстории управления убегающего. На первом участке работает соб-
ственно метод разрешающих функций [3], на втором — первый прямой метод
Л.С. Понтрягина [1].
Таким образом, в целом управление преследователя строим в виде )(tu
,0),)(,),(( 0 tvtzu t где },)(],,0[:)({)( Vt vtssvv причем .)( Uu
В этом случае говорят об использовании квазистратегий [2].
В этих предположениях, приняв сторону преследователя, найдем доста-
точные условия на параметры процесса (1), (2) для приведения траектории (1)
на множество M (9) за некоторое гарантированное время (локальная задача
преследования).
Пусть — ортопроектор, действующий из nR в L. Рассмотрим многозначные
отображения
,),()(),,()(),(
Vv
vtWtWvUtFvtW
где )(tF определена равенством (6).
Условие Понтрягина. Отображение )(tW для всех .0t Так как в силу
предположений о параметрах процесса (1), (2) многозначное отображение ),( vtW
непрерывно на множестве ,),0[ V то )(tW полунепрерывно сверху, а значит,
борелевское [15], к тому же оно замкнутозначно.
Согласно теореме измеримого выбора [16] существует хотя бы один борелевский
селектор .0),()(),( ttWtgtg Обозначим }0),()(:)({ ttWtggG сово-
купность борелевских селекторов многозначного отображения )(tW . Зафиксиру-
ем некоторый элемент Gg )( и положим
,)()()()())(),(,(
0
00 dssgdssbstFatFgzt
t
где )(tF определена равенством (6), )(, tba — равенством (8).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 9
Рассмотрим функцию
)))(),(,(())(,,),(,,( 0
)(),(
0 gztmgvmzst stgvstW
для .R,,)(,,0 nxMmGgVvst
В силу свойств суперпозиции многозначных отображений и функций она
борелевская по совокупности s, v [3].
Положив ),)(,,),(,,(max))(,),(,,( 00
gvmzstgvzst
Mm
получим равенство
])(),([:0sup{))(,),(,,( 0 stgvstWgvzst
}.]))(),(,([ 0 gztM (10)
Функцию (10) назовем разрешающей по аналогии с [3]. Отсюда вытекает утвер-
ждение: для того чтобы функция Mgvzst ))(,),(,,( 0 равнялась тожде-
ственно по ,],,0[ Vvts необходимо и достаточно, чтобы .))(),(,( 0 Mgzt
Если же ,))(),(,( 0 Mgzt то разрешающая функция (10) принимает конечные
значения.
Введем функцию
.)(,1))(,),(,,(inf:0inf))(),(( 0
0
0 GgdsgvzsttgzT
Vv
t
(11)
Если неравенство в фигурных скобках не выполняется для всех ,0t то
будем полагать .))(),(( 0 gzT
Теорема. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1) с начальным со-
стоянием (2) и перестановочными матрицами А и В выполнено условие Понтря-
гина, множество М выпукло, для начального состояния )(0 z и некоторого селек-
тора .))(),(()( 000 gzTTGg
Тогда траектория процесса (1) может быть приведена из начального состо-
яния )(0 z на терминальное множество M в момент Т с использованием подхо-
дящей квазистратегии.
Доказательство. Пусть .)( Vv Рассмотрим сначала случай ),(,( 0 zt
.))(0 Mg Введем контрольную функцию
.0,))(),(),(,,(1))(),(),(,,,()( 00
0
00 tdsgsvzsTgvzstThth
t
Функция )(th непрерывна, не возрастает и .1)0( h
Из определения момента Т следует, что существует такой момент ))(( vtt ,
,0 Tt что .0)( th Как отмечалось выше, момент переключения t разбивает
процесс преследования на активный и пассивный участки. Таким образом, в момент
переключения с одного закона выбора управления на другой контрольная функ-
ция будет равняться нулю.
Укажем способ выбора управления преследователя на этих участках.
Введем многозначное отображение
)(),()(:{),( 0
1 sTgvustFUuvsU
10 ISSN 0572-2691
}.]))(),(,([))(),(),(,,( 0000 gzTMgsvzsT (12)
В силу предположений о параметрах процесса (1), (2) и свойств разрешающей
функции следует, что отображение ),(1 vsU является борелевским на множестве
V ),0[ [13]. Тогда его селектор
),(lexmin),( 11 vsUvsu (13)
— борелевская функция по совокупности переменных [13].
Управление преследователя на интервале ),0[ t положим равным
),)(,()( 1 svsusu (14)
которое является измеримой функцией (по Лебегу) как суперпозиция внешней
борелевской и измеримой функций.
На пассивном участке ],[ Tt положим
].,[,0))(),(),(,,( 00 TtsgsvzsT
Введем многозначное отображение
,],,[
},0)(),()(:{),( 0
2
VvTts
sTgvusTFUuvsU
(15)
которое также является борелевским по совокупности переменных, и его селектор
),(lexmin),( 22 vsUvsu (16)
— борелевская по совокупности переменных функция.
Управление преследователя на пассивном интервале положим равным
).)(,()( 2 svsusu
(17)
Пусть .))(),(,( 00 Mgzt Тогда управление преследователя на интерва-
ле ],0[ T выберем в виде (17).
Таким образом, определен закон управления преследователя для любой из
возможных ситуаций. Покажем, что при этом траектория процесса (1) в момент Т
попадет на терминальное множество M при любых допустимых управлениях
убегающего.
Из леммы 3 для системы (1), удовлетворяющей начальному условию (2), при
условии перестановочности матриц А и В следует представление
,))(),(()()()()()(
0
0
dssvsusTFdssbsTFatFTz
t
(18)
где )(tF определена равенством (6), )(, tba — равенствами (8).
Проанализируем сначала случай .))(),(,( 00 Mgzt Для этого прибавим
и вычтем из правой части (18) вектор .)(0
0
dssTg
T
Тогда, используя закон
выбора управления преследователя (12)–(17), получим
dssTgdssbsTFaTFTz
T
)()()()()( 0
0
0
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 11
))(),(,(])())(),(()([ 000
0
gzTdssTgsvsusTF
T
))(),(,(]))(),(,([))(,),(,,( 000000
0
gzTdsgzTMgvzsT
T
.))(),(,())(,),(,,())(,),(,,( 0000
0
00
0
dsgzTgvzsTMdsgvzsT
TT
(19)
Поскольку согласно методу разрешающих функций ),(,,( 0 zsT ,0))(),( 0 gsv
],,[ Tts из (19) имеем
.))(),(),(,,(
))(),(),(,,(1))(),(,()(
00
0
00
0
00
MdsgsvzsT
dsgsvzsTgzTTz
t
t
Учитывая, что 1))(),(),(,,( 00
0
dsgsvzsT
t
и множество М выпукло,
окончательно получим .)( MTz
Пусть .))(),(,( 00 MgzT Тогда, учитывая закон выбора управления пре-
следователя, из представления (18) сразу получим включение .)( MTz
Следствие. Пусть конфликтно-управляемый процесс (1), (2) линеен
),),(( vuvu матрицы А и В перестановочны, выполнено условие Понтря-
гина, существует непрерывная положительная функция ,RR:),( rtr число
,0l такие, что ,,)()( lSMStrUtF где )(tF определена равенством (6),
S — единичный шар пространства L с центром в нуле.
Тогда разрешающая функция ))(,),(,,( 0 gvzsT , определенная равен-
ством (10), при lSgzT ))(),(,( 0 является большим положительным корнем
квадратного уравнения
lstrgztstgvstF )())(),(,()()( 0 (20)
относительно .0
Доказательство. Из выражения (10) с учетом условия имеем, что разреша-
ющая функция ))(,),(,,( 0 gvzsT при фиксированных значениях аргументов
является таким максимальным числом , что
.]))(),(,([])()()([ 0 gztlSstgvstFSstr
Последнее равносильно включению
.])([))(),(,()()( 0 SlstrgztstgvstF
В силу линейности здесь левой части по при максимальном вектор
))(),(,()()( 0 gztstgvstF
будет лежать на границе шара Slstr ])([ , т.е. длина вектора будет равна
радиусу шара, что и выражено равенством (20).
Пример. Пусть движения преследователя и убегающего описываются уравнениями
,R),()1()(
,R),()()(
222
111
n
n
ztvtztz
ztutztz
(21)
12 ISSN 0572-2691
где )(),( tvtu — n-мерные векторы из nR , удовлетворяющие условиям ,2u
.1v
В качестве терминального множества M в n2R берется линейное подпро-
странство, состоящее из векторов ),,( 21 zzz удовлетворяющее условию .21 zz
Начальное состояние системы положим равным абсолютно непрерывной
функции
.01),)(),(()( 0
2
0
1
0 ttztztz
Очевидно, что };),,(:R{ 1221
2 zzzzzzL n ортопроектор π задается мат-
рицей ,
2
1
nn
nn
II
II
где nI — единичная матрица порядка n.
Запишем уравнения (21) в виде системы (1), где матрицы ,
00
0
nI
A
nI
B
0
00
, под нулями подразумеваются нулевые матрицы n-го порядка:
).()()1()()( tvtutBztAztz
Области управления —
,2,R:
0
)(
uu
tu
U n .1,R:
)(
0
vv
tv
V n
Здесь матрицы А и В перестановочные,
.,,0 BBAABAAB nn (22)
Определим функциональную матрицу )(tF из равенства (6), являющегося
решением однородной системы
n
n
n I
tFtF
tFtFI
I
tFtF
tFtF
)()(
)()(
00
0
)()(
)()(
2221
1211
2221
1211
nn
n
I
tFtF
tFtF
I
tFtF
tFtF
I
)1()1(
)()(
)1()1(
)1()1(
0
00
2221
1211
2221
1211
и удовлетворяющего начальному условию .01},exp{)( tAttF
Из равенства (6) с учетом (22) получим
.)
!
)1(
!3!2
(}exp{
32
1 BB
n
AAA
AIBAB
n
n
Тогда
!!3!2
},{exp}exp{)(
3
3
2
2
n
t
A
t
A
t
AAtItBAttF
n
n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 13
BtI
n
nt
B
t
B
t
BBtI
n
n
!
))1((
!3
)2(
!2
)1( 3
3
2
2
,
)(0
0
!
...
!3
!2!
))1((
!3
)2(
!2
)1(
22
3
3
2
2
3
3
2
2
n
tn
n
n
n
I
tF
e
n
t
A
t
A
t
AAt
n
nt
B
t
B
t
B
где числовая функция
,
!
))1((
!3
)2(
!2
)1(
!1
1},{exp)(
32
122
k
ktttt
tItF
k
n
,2,1,0,)1( kktk (23)
Таким образом, при .
)(0
0
)(0
22
n
t
I
tF
e
tFt
Выберем селектор )(tg тождественно равным нулю. Проверим выполнение
условия Понтрягина.
Для линейного процесса VtFUtFtW )()()( UtF )( представляет собой
шар пространства L с центром в нуле и радиуса ;2 2
1
tel VtF )( — шар про-
странства L с центром в нуле и радиуса ).(
2
2
222 tFl
Таким образом, )(tW —
шар пространства L с центром в нуле и радиуса ).)(2(
2
2
2221 tFelll t
По-
скольку )(22 tF растет не быстрее, чем ,
!0 i
t
e
i
i
t
то 0)(2 22 tFet при ,0t по-
этому )(tW при ,0t следовательно, условие Понтрягина выполнено.
Положим ,)()1()()0),(,(
0
1
0 dssbstFatFzt где ),1(}exp{ 0 zAa
].)()([}exp{)( 00 tAztzAtb
Тогда имеем
}exp{
)1(
)1(
)(0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
}exp{)0),(,(
0
2
0
1
22
0 A
z
z
ItF
Ie
II
II
Azt
n
n
t
nn
nn
ds
z
zI
sz
sz
IstF
Ie
II
II
n
n
n
st
nn
nn
)1(
)1(
00
0
)(
)(
)1(0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
0
1
0
2
0
1
22
1
0
1
.
})()1())()(({
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
})()1())()(({
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
dsszstFszsze
e
ztFeze
dsszstFszsze
e
ztFeze
st
A
AtA
st
A
AtA
14 ISSN 0572-2691
Таким образом, ,
)(
)(
)0),(,( 0
tG
tG
zt т.е. является блочной функциональной
матрицей порядка .),,(,),,(,12 T0
2
0
21
0
2
0
1
0
11
0
1 n
T
n zzzzzzn
Для нахождения разрешающей функции воспользуемся следствием. Вы-
берем положительную непрерывную функцию tetr 2)( и число l = 0. Тогда
,0,)()( lSMStrUtF
где S — единичный шар пространства L с центром в
нуле. Поскольку ,)0),(,( 0 lSzt то функция )0,),(,,( 0 vzst согласно след-
ствию 1 является большим положительным корнем квадратного уравнения
),1()0),(,()1( 0 strztvstF которое перепишем в виде
.0)1()1(
))0),(,(,)1((2)0),(,(
22
0202
strvstF
ztvstFzt
В результате получим
.
)0),(,(
))1()1(()0),(,())0),(,(,)1((
)0),(,(
))0),(,(,)1((
)0,),(,,(
20
222020
20
0
0
zt
strvstFztztvstF
zt
ztvstF
vzst
Поскольку
,
)1(
2
1
)1(
2
1
)1(
2
1
.............................
)1(
2
1
)1(
2
1
..........................
)1(
2
1
)1(
22
22
22
122
22
122
vstF
vstF
vstF
vstF
vstF
vstF
vstF
n
n
где ,),,( T
1 nvvv то
.)1(
2
1
)1(),)(,()1(
)(
)(
,
)1(
2
1
)1(
2
1
)0),(,(,)1((
22
22
2
22
22
22
0
vstFvstFtGvstF
tG
tG
vstF
vstF
ztvstF
Также очевидно, что .)(2)0),(,(
220 tGzt
Имеем
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 15
.
)(2
2)1(
2
1
)(2))(,)(1(
)(2
))(,)(1(
)0,),(,,(
2
)1(222
22
222
22
2
220
tG
evstFtGtGvstF
tG
tGvstF
vzst
st
Минимум достигается на векторе
)(
)(
tG
tG
v и равен
.
)(2
2)1(
)(2
)2)1(
2
1
()(2)(2)1(
)(2
)()1(
)0,),(,,(min
2
1
22
2
)1(22
22
222
22
2
220
1
tG
estF
tG
estFtGtGstF
tG
tGstF
vzst
st
st
v
Следовательно, из начального состояния )(0 z можно завершить преследова-
ние за конечное время ,)0),(( 0 zTT являющееся согласно (11) наименьшим по-
ложительным корнем уравнения
))()(()1()()1( 0
1
0
1
10
1
0
222
0
1 szszeeztFeze stAAtA
,))1(2()()1( 220
0
222 dssFedsszstF st
(24)
где )(22 tF — многочлен N-й степени, выраженный равенством (23).
Решение уравнения (24) существует для любых начальных состояний
),(0 z .0)1(0
1 z
Действительно, в начальный момент левая часть (24) равна
,)1()1( 0
2
0
1 zz а правая — 0, причем .0)1()1( 0
2
0
1 zz Поскольку )(22 tF —
многочлен N-й степени на интервалах ,,1,0,1 NNtN то имеем экви-
валентность
,)1())()1())(
)((()1()()1(
0
1
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
zedsszstFsz
szeeztFeze
tA
stAAtA
поскольку .,0
)(
t
e
tP
t
N
Аналогично правая часть (24) при t эквивалентна ).1(2 te Старший
член )1(2 te справа в (24) растет быстрее, чем старший член слева. Таким образом,
момент поимки завершен.
16 ISSN 0572-2691
Укажем управление преследователя:
,)1()0),(,()0,),(,,()1( 00 vsTFzTvzsTusTF
,
)(
2
1
)(
2
1
0
)(
)1(
2
1
2
1
)1(
2
1
2
1
)1(
1
1
22
1
22
1
sue
suesu
IsTFIe
IsTFIe
usTF
sT
sT
nn
sT
nn
sT
где .)0,,0(0,),,(
TT
1
n
nuuu
Поскольку в евклидовом пространстве ,,),(R
2
11
i
n
i
n
i
ii
n xxyxyx
то
,
)(
)(
0
0
))0),(,(,(
1
0
tv
tv
ztv
n
dsszstFszsze
e
ztFeze
dsszstFszsze
e
ztFeze
dsszstFszsze
e
ztFeze
dsszstFszsze
e
ztFeze
nnn
st
A
n
A
n
tA
st
A
AtA
nnn
st
A
n
A
n
tA
st
A
AtA
))()1())()(((
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
))()1())()(((
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
))()1())()(((
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
))()1())()(((
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
0
2122
0
11
0
11
10
1
0
2122
0
11
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
0
2122
0
11
0
11
10
1
0
2122
0
11
).())()1(
))()(((
2
)1()(
2
1
)1(
2
1
0
222
0
1
0
1
10
1
0
222
0
1
1
svdsszstF
szsze
e
ztFeze
ii
ii
st
A
i
A
i
tA
n
i
Обозначив
)1()(
2
1
)1(
2
1
)( 0
222
0
1 i
A
i
tA
i ztFezetg
,))()1())()(((
2
0
1
0
222
0
1
0
1
1
dsszstFszsze
e
iii
st
A
получим
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 4 17
.
)(2
2)1(
2
1
)(2)()()1(
)(2
)()()1(
)0,),(,,(
2
1
)1(222
22
2
1
2
1
2
22
2
1
1
22
0
Tg
evsTFTgsvTgsTF
Tg
svTgsTF
vzsT
i
n
i
sT
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
Управление преследователя будет
)()1(
2
1
)()1(
2
1
)()1(
2
1
)()1(
2
1
)(
)(
)(
)(
)0,),(,,(
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
22
122
22
122
1
1
0
1
1
1
1
1
1
svsTF
svsTF
svsTF
svsTF
Tg
Tg
Tg
Tg
vzsT
sue
sue
sue
sue
n
n
n
n
n
sT
sT
n
sT
sT
или
).()1()()0,),(,,(2)( )1(
22
0)1( svesTFTgvzsTesu i
sT
i
sT
i (25)
Таким образом, если ))(( vtt — момент переключения, являющийся
нулем контрольной функции ,)0,),(,,(1 0
0
dsvzsT
t
то управление преследова-
теля, реализующее время Т, на интервале ),0[ t имеет вид ,))(,),(()( T
1 sususu n
где )(sui определены равенством (25).
Таким образом, разработана схема метода разрешающих функций для класса
дифференциально-разностных игр преследования с перестановочными матрицами
для случая одного убегающего и одного преследователя. Найдены достаточные
условия на параметры процесса для гарантированной поимки. Указан метод
нахождения фундаментальной матрицы системы и способ построения разрешающей
функции. Результаты проиллюстрированы на контрольном примере.
Л.В. Барановська
ПРО КВАЗIЛIНІЙНI
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВI
IГРИ ЗБЛИЖЕННЯ
Для дослідження диференціально-різницевих ігор зближення з переставними
матрицями запропоновано аналітичний підхід на основі методу розв’язуючих
функцій. При цьому використовується ідея інтегрального представлення роз-
18 ISSN 0572-2691
в’язку системи через запізнюючий експоненціал. Наведено достатні умови та га-
рантований час для завершення гри. Результати проілюстровано на прикладі.
L.V. Baranovska
ON QUASI-LINEAR
DIFFERENTIAL-DIFFERENCE
GAMES OF APPROACH
An analytic approach based on the method of resolving functions is suggested to
study differential-difference games of approach with delay and commutative matri-
ces. The use is made of the idea of integral representation system solution through
time-lag exponential. The sufficient conditions and guaranteed time of the game
completion are given. The results are illustrated by an example.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М.: Наука, 1988. — 2. — 576 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука,
1974. — 455 с.
3. Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. — Springer Science &Business Media, 2013. —
404 p. — doi: 10.1007/978-94-017-1135-7.
4. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг-Леффлера в игро-
вых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка // Кибернетика и системный
анализ. — 2000. — № 3. — С. 3–32.
5. Chikrii A.A., Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object //
Cybernetics. — 1987. — 23. — N 4. — P. 437–445.
6. Chikrii A.A. Analytical method in dynamic pursuit games // Proceedings of the Steklov Institute
of Mathematics. —2010. — 271. — P. 69–85.
7. Albus J., Meystel A., Chikrii A.A., Belousov A.A., Kozlov A.J. Analytical method for solution of
the game problem of softlanding for moving objects // Cybernetics and systems analysis. — 2001.
— 37, N 1. — P. 75–91.
8. Чикрий А.А., Белоусов А.А. О линейных дифференциальных играх с интегральными огра-
ничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2009. —15, № 4. —
C. 290–301.
9. Chikrii A.A., Chikrii G.Ts. Matrix resolving functions in game problems of dynamics // Proceedings
of the Steklov Institute of mathematics. — 2015. — 291, N 1. — P. 56–65.
10. Хусаинов Д.Я., Диблик Й., Ружичкова М. Линейные динамические системы с последей-
ствием. Представление решений, устойчивость, управление, стабилизация. — Киев : ГП
Информ.-аналит. агентство, 2015. — 252 с.
11. Baranovska L.V. Method of resolving functions for the differential-difference pursuit game for
different-inertia objects // Advance in Dynamical Systems and Control. — 2016. — P. 159–176. — doi:
10.1007/978-3-319-40673-2_7.
12. Барановская Л.В. Метод разрешающих функций для одного класса задач преследования //
Восточно-европейский журнал передовых технологий. — 2015. — № 2/4 (74). — C. 4–8. —
doi: 10.15587/1729-4061.2015.39355.
13. Baranovskaya G.G., Baranovskaya L.V. Group pursuit in quasilinear differential-difference
games // Journal of Automation and Information Sciences. — 1997. — 29, N 1. — P. 55–62.
14. Барановская Л.В. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина для одной задачи преследования //
Сборник научных трудов SWORLD. — 2015. — 21, вып. 1(38). — С. 91–94.
15. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. — 479 с.
16. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. — 461 p.
17. Hajek O. Pursuit games. — N.Y.: Acad. Press, 1975. — 12. — 266 p.
Получено 21.03.2017
|