Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем
Розглянуто питання побудови за допомогою методу D-розбиття точної границі області стійкості одного класу динамічних систем. При цьому вилучається побудова кривої D-розбиття, необхідність використання «штриховки» за Неймарком і забезпечується машинна реалізація побудови області стійкості. Наведено пр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208593 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем / Л.Т. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2085932025-11-03T01:17:14Z Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем Визначення точної границі області стійкості одного класу динамічних систем Determining the exact boundary of the stability domain of a class of dynamical systems Мовчан, Л.Т. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто питання побудови за допомогою методу D-розбиття точної границі області стійкості одного класу динамічних систем. При цьому вилучається побудова кривої D-розбиття, необхідність використання «штриховки» за Неймарком і забезпечується машинна реалізація побудови області стійкості. Наведено приклади, які ілюструють ефективність запропонованого підходу The question of the method of construction by means of D-partition the exact boundary of the stability domain for a class of dynamical systems is considered. This excludes constructing the curve of D-partition, the need for «hatching» in Neimark machine and provides realization of building stability domain. Numerical examples illustrate the effectiveness of the proposed approach. 2017 Article Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем / Л.Т. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208593 62.501.52 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Мовчан, Л.Т. Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто питання побудови за допомогою методу D-розбиття точної границі області стійкості одного класу динамічних систем. При цьому вилучається побудова кривої D-розбиття, необхідність використання «штриховки» за Неймарком і забезпечується машинна реалізація побудови області стійкості. Наведено приклади, які ілюструють ефективність запропонованого підходу |
| format |
Article |
| author |
Мовчан, Л.Т. |
| author_facet |
Мовчан, Л.Т. |
| author_sort |
Мовчан, Л.Т. |
| title |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| title_short |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| title_full |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| title_fullStr |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| title_sort |
определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208593 |
| citation_txt |
Определение точной границы области устойчивости одного класса динамических систем / Л.Т. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 5-12. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT movčanlt opredelenietočnojgranicyoblastiustojčivostiodnogoklassadinamičeskihsistem AT movčanlt viznačennâtočnoígranicíoblastístíjkostíodnogoklasudinamíčnihsistem AT movčanlt determiningtheexactboundaryofthestabilitydomainofaclassofdynamicalsystems |
| first_indexed |
2025-11-03T02:06:20Z |
| last_indexed |
2025-11-04T02:05:08Z |
| _version_ |
1847823599832924160 |
| fulltext |
© Л.Т. МОВЧАН, 2017
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 62.501.52
Л.Т. Мовчан
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНОЙ ГРАНИЦЫ
ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО
КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение
В [1–7] рассматриваются системы, характеристические полиномы которых
могут быть приведены к виду
),()()( sKHsLsD += (1)
где ,...)( 1
1
10 nn
nn bsbsbsbsL ++++= −
− kk
kk cscscscsH ++++= −
−
1
1
10 ...)( — по-
линомы с постоянными положительными коэффициентами, а K — изменяемый
параметр, влияние которого на устойчивость нас интересует.
В настоящей работе ставится задача — получить оценку интервала области
устойчивости (ОУ) параметра K, для всех значений которого характеристический
полином (1) является полиномом Гурвица, или другими словами, все корни
характеристического уравнения левые. Как указано в [7], основной недостаток
подходов определения границы устойчивости, предложенных в [1–5], — грубая
оценка области допустимых значений K. Кроме того, необходимость получения об-
ратных матриц для матриц, соответствующих диагональным минорам определи-
теля Гурвица [2], и необходимость решения квадратичных неравенств [3, 4] при-
водят к ограничению практического применения этих методов.
В работах [6, 7] удалось сравнительно просто получить достаточные условия
устойчивости системы (1), которые позволяют оценить граничные значения варьи-
руемого параметра K непосредственно в аналитической форме. Но и в этих работах
полученная ОУ может существенно отличаться от действительной. Кроме того, рас-
сматривается два отдельных случая: в первом полином L(s) в выражении (1) является
полиномом Гурвица, во втором — Н(s), что приводит к необходимости перед реше-
нием задачи оценки ОУ исследовать устойчивость полиномов L(s) и Н(s).
В наиболее общем случае весьма удобным методом построения точной гра-
ницы области устойчивости (ГОУ) в пространстве параметров линейных систем
является классический метод D-разбиения [8], который предполагает получение
областей, отвечающих заданному числу корней характеристического уравнения
в левой полуплоскости. Уравнение границы области D-разбиения по одному
параметру для системы (1) имеет вид
),()()( ω+ω=ω jKHjLjD (2)
в котором K входит в коэффициенты Н (jω). Изменяя значения ω от – ∞ до ∞,
можно вычислить L(jω), Н(jω) и построить на комплексной плоскости параметра
6 ISSN 0572-2691
K границу всех областей метода D-разбиения. ГОУ является частью полученной
границы D-разбиения. Область устойчивости выделяют путем реализации «штри-
ховки Неймарка» для отсеивания областей с немаксимальным количеством кор-
ней характеристического уравнения, расположенных в левой полуплоскости.
В некоторых случаях для замены штриховки при выделении ГОУ используют
алгебраические критерии или прямые корневые методы.
Очевидно, что в случае применения в ручном счете классического метода
D-разбиения результат выделения области устойчивости представляется графически,
что усложняет определение точной ГОУ в аналитической форме.
Постановка задачи
В связи с изложенным возникает необходимость разработки подхода определе-
ния точной границы области устойчивости в плоскости одного параметра методом
D-разбиения в аналитической форме, который исключал бы построение кривой
D-разбиения, использование «штриховки по Неймарку», тем самым обеспечивал
бы машинную реализацию задачи определения ГОУ систем вида (1).
Решение поставленной задачи
Для решения поставленной задачи используем подход, частично изложенный
в [9]. Для этого представим выражение границы D-разбиения в плоскости од-
ного параметра (2):
,0))()(())()(()( 2121 =ω+ω+ω+ω=ω jHHKjLLjD (3)
где в общем виде при четных n = 2 m и k = 2 r (n — порядок полинома L(s), k —
порядок полинома Н(s)) имеем:
,)1(...)1()1()( 2
2
2
2
1
01 nn
nmnm bbbbL +ω−++ω−+ω−=ω −
−−
,)1(...)1()1()( 1
3
3
3
3
21
1
1
2 ω+ω−++ω−+ω−=ω −−
−−−−
nn
nmnm bbbbL
,)1(...)1()1()( 2
2
2
2
1
01 kk
krkr ccccH +ω−++ω−+ω−=ω −
−−
,)1(...)1()1()( 1
3
3
3
3
21
1
1
2 ω+ω−++ω−+ω−=ω −−
−−−−
kk
krkr ccccH
а при нечетных 12 += mn и 12 += rk получаем:
,)1(...)1()1()( 2
2
3
3
11
11 nn
nmnm bbbbL +ω−++ω−+ω−=ω −
−−−
,)1(...)1()1()( 1
3
3
2
2
1
0
1
2 ω+ω−++ω−+ω−=ω −−
−−−
nn
nmnm bbbbL
,)1(...)1()1()( 2
2
3
3
11
11 kk
kmkm ccccH +ω−++ω−+ω−=ω −
−−−
.)1(...)1()1()( 1
3
3
2
2
1
02 ω+ω−++ω−+ω−=ω −−
−−
kk
kmkm ccccH
Из уравнения (3) следует выражение для определения параметра K:
=
ω+ω
ω⋅ω−ω⋅ω
+
ω+ω
ω⋅ω−ω⋅ω−
=ω
)()(
)()()()(
)()(
)()()()()( 2
2
2
1
1221
2
2
2
1
2211
HH
HLHLj
HH
HLHLK
).()( ω+ω= jVU (4)
Поскольку параметр K — действительная, физически значимая величина,
то задачу определения границы области устойчивости методом D-разбиения в плос-
кости одного параметра можно свести к задаче определения интервала устойчивости,
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 7
которым может быть интервал вещественной оси ( KK ′′′, ) или ( K ′′ , ∞), лежащий
в плоскости [K] (рис.1).
Граничные значения KK ′′′ и
соответствуют точкам пересечения
кривой D-разбиения с действитель-
ной осью U(ω), поэтому значения
частот ω0 и ω1, которым соответст-
вуют эти граничные значения пара-
метра K, определяются из уравне-
ния
0)()()()( 1221 =ωω−ωω HLHL (5)
или
.0
)()(
)()()()(
)(
)()( 2
2
2
1
1221 =
ω+ω
ωω−ωω
=
ω
ω
=ω
HH
HLHL
Q
RV
V
V
Тогда граничные значения параметра K вычисляются из выражений
.
)()(
)()()()()(
,
)()(
)()()()()(
1
2
21
2
1
1212111
1
0
2
20
2
1
02020101
0
ω+ω
ωω−ωω−
=ω=′′
ω+ω
ωω−ωω−
=ω=′
HH
HLHLKK
HH
HLHLKK
(6)
В общем случае кривая D-разбиения может пересекать действительную ось
U(ω) в плоскости одного параметра больше двух раз. Претендентом на интервал
устойчивости является интервал, расположенный в области, внутрь которой на-
правлена штриховка по Неймарку.
По определению границу D-разбиения штрихуют слева при изменении ω от
– ∞ до + ∞. Поэтому при KK ′′<′ интервал ( KK ′′′ и ) является интервалом устой-
чивости, если кривая D-разбиения при изменении ω от ω0 = 0 до ω1 расположена
ниже оси U(ω), т.е. V(ω) < 0 (рис. 2).
Если кривая D-разбиения для KK ′′<′ и при изменении ω от ω0 до ω1 распо-
ложена выше оси U(ω), т.е. V(ω) > 0, то интервал K ′′ до ∞ является областью ус-
тойчивости (рис. 3).
U(ω) K ′′
jV(ω)
ω0 = 0
K ′
ω→∞
ω1
[K]
Рис. 3
При KK ′′>′ интервал ( KK ′′′, ) будет интервалом устойчивости, если кривая
D-разбиения при изменении ω от ω0 = 0 до ω1 расположена выше оси U(ω), т.е.
V(ω) > 0 (рис. 4).
Если кривая D-разбиения при KK ′′>′ и при изменении ω от ω0 = 0 до ω1 рас-
положена ниже оси U(ω), т.е. V(ω) < 0, областью устойчивости является интервал
( K ′ , ∞) и интервал (– ∞, K ′′ ) (рис. 5).
U(ω) K ′′
jV(ω)
ω0
K ′
ω → ∞
ω1
ω → – ∞
[K]
Рис. 1
U(ω) K ′′
jV(ω)
ω = 0
K ′
ω→∞
ω = ω1
[K]
Рис. 2
8 ISSN 0572-2691
U(ω) K ′′
jV(ω)
ω0 = 0
K ′
ω1
[K]
∞ ← ω
Рис. 5
Из изложенного выше следует, что для определения интервала устойчиво-
сти в плоскости параметра K, используя уравнение (5) и выражения (6), необ-
ходимо определить точки пересечения кривой D-разбиения с осью U(ω) (ω0,
ω1, KK ′′′, ) и соотношение значений параметра K в этих точках. Установить
факт устойчивости или неустойчивости интервалов, полученных при пересе-
чении оси U(ω) кривой D-разбиения, можно путем определения знака V(ω)
в пределах граничных значений первого интервала ( KK ′′′, ). Для этого числи-
тель выражения V(ω) представим в виде
,...)()()()()( 1
3
2
4
2
2
11221 ω+ω++ω+ω+ω=ωω−ωω=ω −
−
−
− aaaaaHLHLR l
q
l
q
l
qV (7)
где knl += ,
2
1+
=
lq при непарных значениях )( kn + и 1−+= knl ,
2
1+
=
lq
при парных значениях ).( kn +
Знак V(ω) для частот от ω = ω0 = 0 до ω = ω1 определяется знаком коэффици-
ента 111 −− −= nkkn bccba при ω с наименьшим показателем степени. Поэтому при
KK ′′<′ интервалом устойчивости будет интервал ( KK ′′′, ) при а1 < 0 и ( K ′′ , ∞)
при а1 > 0, а при KK ′′>′ — интервал ( KK ′′′, ) при а1 > 0 и ( K ′ , ∞) при а1<0.
Для иллюстрации возможности практического использования предложенного
подхода и получения сравнительной оценки размеров областей устойчивости об-
ратимся к следующим примерам.
Пример 1. Рассмотрим, как и в [6,7], систему с характеристическим полиномом
)35,11145,6()1069532()()()( 2342345 ++++++++++=+= ssssKssssssKHsLsD . (8)
Уравнение границы D-разбиения по одному параметру имеет вид
)).5,65,11()314(())652(
)1093(())()(())()(()(
32435
24
2121
ω−ω++ω−ω+ω+ω−ω+
++ω+ω=ω+ω+ω+ω=ω
jKj
jHHKjLLjD
После некоторых преобразований получаем выражение для определения
параметра K:
.
)5,65,11()314(
975,69115,132
)5,65,11()314(
30985,485,410
)(
)(
)(
)()()()(
23224
3579
23224
2468
ω−ω++ω−ω
ω+ω−ω+ω+ω−
+
+
ω−ω++ω−ω
−ω+ω−ω−ω
=
ω
+
ω
ω
=ω+ω=ω
j
uQ
Rj
Q
RjVUK
V
V
U
V
Из уравнения 0975,69115,132)( 3579 =ω+ω−ω+ω+ω−=ωVR определяем
значения частот ω0 = 0, ω1 = 2,6395 рад/с, которые соответствуют точкам пересе-
чения кривой D-разбиения с осью U(ω), для которых V(ω) = 0. Граничные значе-
U(ω)
K ′′
jV(ω)
ω0=0
K ′
∞ ← ω
ω1
[K]
Рис. 4
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 9
ния K(ω0) и K(ω1) точек пересечения определяем из выражении (6). В результате
получаем K ′= K(ω0) = – 3,3333, K ′′ = K(ω1) = 2,01987689.
Параметр K — действительная физически значимая величина, претендентом
на область устойчивости является интервал (0, K ′′ ) или ( K ′′ , ∞).
Поскольку KK ′′<′ и коэффициент в V(ω) при ω больше нуля (97 > 0), то ин-
тервалом устойчивости будет ( ,K ′′ ∞), т.е. система будет устойчива при всех
K > 2,01987689. (9)
Корни характеристического уравнения исследуемой системы при KK ′′=′ =
= 2,01987689 равны: s1 = – 1,666121, s2,3 = 0,00000 ± j2,63949, s4,5 = – 0,42191 ±
± j71579; при K = 2,00 < K ′′ – s1 = – 1,666208, s2,3 = 0,00376 ± j2,631199, s4,5 =
= – 0,42079 ± j0,718715, при K = 2,03 > K ′ – s1 = – 1,666208, s2,3 = – 0,019207 ±
± j2,643694, s4,5 = – 0,422474 ± j0,715786.
Таким образом, система находится на границе устойчивости при KK ′′= , ус-
тойчива при K = 2,03 и неустойчива при K = 2,00, что дополнительно подтвержда-
ет условие устойчивости (9).
Условия устойчивости описаны в работе [7]:
K > 4. (10)
Сравнивая области устойчивости (9) и (10), можно сделать вывод, что об-
ласть, полученная с помощью предложенного подхода, более широкая и является
точной границей допустимых значений параметра K.
Применяемый в ручных расчетах классический метод D-разбиения позволяет
графически изобразить границу D-разбиения системы (8) в плоскости параметра K
(рис. 6). Учитывая, что параметр K — действительная, физически значимая величина,
используя правило штриховки, выделяем границу области устойчивости в интервале
вещественной оси (K (ω1) < K < + ∞),
что еще раз дополнительно подтвер-
ждает условия устойчивости (9), полу-
ченные в аналитической форме с по-
мощью вышепредложенного подхода.
Пример 2. Пусть, как и в [6,7],
+++++= ssssssD 3015202()( 2345
.41552()5 234 ++++++ ssssK (11)
Выражение для определения па-
раметра K имеет вид
=
ω
ω
+
ω
ω
=ω
)(
)(
)(
)(
)(
V
V
U
U
Q
R
j
Q
R
K
.
)215()45(
4557421
)215()45(
2036527230
23224
3579
23224
246
ω−ω++ω−ω
ω−ω−ω−ω+ω−
+
ω−ω++ω−ω
−ω−ω+ω−
= j
Из уравнения 04557421)( 3579 =ω−ω−ω−ω+ω−=ωVR определяем значе-
ния частот, а из выражения (6) — граничные значения параметра K, которые со-
ответствуют точкам пересечения кривой D-разбиения с осью U(ω). В результате
получаем ω0 = 0, ω1 = 2,17689 рад/с, ω2 = 4,0597 рад/с и K ′ (ω0) = K ′= – 1,25,
K ′′ = K (ω1) = 7,663515, K(ω2) = K ′′ = – 1,55. Претендентом на область устойчи-
вости является интервал (0, K ′′ ) или ( K ′′ , ∞). Так как K ′< K ′′ , а коэффициент
K(ω1)
V(ω)
– 4
)0(K
ω → ∞
ω → – ∞
U(ω)
– 2 2 4
– 4
– 2
2
4
0
][K
Рис. 6
10 ISSN 0572-2691
при ω в RV(ω) меньше нуля (– 45 < 0), то интервалом устойчивости будет
(0, K ′′ ), т.е. система будет устойчива для всех
0 ≤ K < 7,663515. (12)
Корни характеристического уравнения исследуемой системы при K =
= K ′′ =7,66315 равны: s1 = – 0,268, s2,3 = 0,00000 ± j2,177, s4,5 = – 4,698 ± j2,45; при
K = 7,6< K ′′ – s1 = – 0,268; s2,3 = – 0,00195 ± j2,175, s4,5 = – 4,664 ± j2,48; при K =
= 7,7 > K ′′ – s1 = – 2,68; s2,3 = 0,00111 ± j2,178, s4,5 = – 4,717 ± j2,429.
Таким образом, система находится на границе устойчивости при K = K ′′ =
= 7,66315, устойчива при K = 7,6 и неустойчива при K = 7,7, что дополнительно
подтверждает условие устойчивости (12).
Условия устойчивости системы (11) получены в работах [6,7]:
0 < K < 0,3, (13)
0 < K < 0,7. (14)
Из сравнения областей (12)–(14) следует, что предложенный подход позволя-
ет получить максимальную область устойчивости, которая более чем на порядок
больше областей, полученных в [6, 7].
Аналогично, как и для примера 1, применяя в ручных расчетах классический
метод D-разбиения, получаем в графической форме границу D-разбиения сис-
темы (11) в плоскости параметра K (рис. 7, а). Для более наглядного представле-
ния области устойчивости граница D-разбиения в начале координат плоскости
параметра K изображена на рис. 7, б в меньшем масштабе. Согласно правилу
штриховки выделяем ГОУ в виде полуинтервала 0 ≤ K < K (ω1), что еще раз до-
полнительно подтверждает условия устойчивости (12).
K(ω1)
V(ω)
– 5
U(ω)
– 5
5 10
– 10
5
10
0
][K
K(ω1)
V(ω)
)0(K
ω → ∞
ω → – ∞
U(ω)
– 2 1
– 1
– 2
1
2
0
][K
а б
Рис. 7
Пример 3. Рассмотрим квазистационарную систему с характеристическим
уравнением
.0)(])(5,45,1[])(02,04[ 23 =++−+−+ tKstKstKs (15)
В работе [3] путем решения системы алгебраических неравенств получены
условия устойчивости системы (15):
1 ≤ K(t) ≤ 100. (16)
Для определения точной границы устойчивости системы запишем выражения
для определения граничных значений параметра K(t):
.
25,20)02,01(
5,197,1602,0
25,20)02,01(
75,1058,4)()()( 222
35
222
24
ω+ω+
ω+ω−ω
+
ω+ω+
ω+ω
=ω+ω=ω jjVUK
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 11
Из уравнения 05,197,1602,0 35 =ω+ω−ω определяем значения частот, кото-
рые соответствуют точкам пересечения кривой D-разбиения с осью U(ω). Гранич-
ные значения параметра K(t) для этих частот определяем из выражения
.
25,20)02,01(
75,1058,4)( 222
24
ω+ω+
ω+ω
=ωK
В результате получаем ω0 = 0, ω1 = 0,297322, ω2 = 29,127506 и K(ω0) = 0,
K(ω1) = 0,352978, K(ω2) = 188,869245.
На область устойчивости претендуют интервалы ))(),((),)(),0(( 211 ωωω KKKK
и )),(( 2 ∞ωK . Так как ),()( 10 ω<ω KK а коэффициент при ω в числителе V(ω) боль-
ше нуля (1,5 > 0), то интервалом устойчивости является
0,352978 < K(t) < 188,86925. (17)
Корни характеристического уравнения исследуемой системы при K = K(ω2) =
= 188,86925 равны: s1 = – 0,22262, s2,3 = 0,00000 ± j29,12751; при K = 188,8 <
< K(ω2) – s1 = – 0,22260, s2,3 = – 0,000699 ± j29,12301; при K = 188,96 > K (ω2) – s1 =
= – 0,22261, s2,3 = 0,000907 ± j29,134608.
Корни характеристического уравнения системы при K = K (ω1) = 0,352978
равны: s1 = –3,99294, s2,3 = 0,00000 ± j0,297323; при K = 0,35 < K (ω1) – s1 =
= – 3,99627, s2,3 = 0,001637 ± j0,295185; при K = 0,355 > K (ω1) – s1 = –3,99036,
s2,3 = – 0,001297 ± j0,299603;
Таким образом, система находится на границе устойчивости при K = K (ω2) =
= 188,86925 и K = K (ω1) = 0,352978, устойчива при K = 188,8 < K (ω2) и K =
= 0,352978 > K (ω1) и неустойчива при K =188,96 > K (ω2) и K = 0,35 < K (ω1), что
дополнительно подтверждает условия устойчивости (17).
Сравнивая (16) и (17) , можно сделать вывод, что предложенный подход по-
зволяет получить точную границу области устойчивости, которая существенно
шире области, полученной в работе [3].
На рис. 8, а в графической форме представлена в плоскости параметра K(t)
граница D-разбиения системы (15), полученная с помощью классического метода
D-разбиения. Для определения нижней границы области устойчивости исследуе-
мой системы кривая D-разбиения на рис. 8, б представлена в начале координат
в существенно меньшем масштабе. Учитывая, что параметр K(t) — действительная,
физически значимая величина и используя правило штриховки, выделяем ГОУ
в виде интервала K(ω1) < K(t) < K(ω2), что еще раз дополнительно подтверждает
условие устойчивости (17).
K(ω2)
V(ω)
ω → ∞
ω → – ∞
U(ω)
100 200
– 10
– 5
5
10
0
][K
K(ω1)
V(ω) )0(K
U(ω)
0,4
– 0,4
– 0,2
0,2
0,4
0
][K
а б
Рис. 8
12 ISSN 0572-2691
Заключение
Предложенный подход позволяет в аналитической форме определить с по-
мощью метода D-разбиения точную границу области устойчивости в плоско-
сти одного параметра класса динамических систем вида (1). При этом исклю-
чается построение кривой D-разбиения, не требуется использование «штри-
ховки по Неймарку» и обеспечивается машинная реализация построения
области устойчивости.
Рассмотрены примеры, в которых иллюстрируется эффективность указанно-
го подхода и подтверждается корневыми методами, что получены именно точные
границы области устойчивости для однопараметрического семейства рассматри-
ваемого класса систем.
Л.Т. Мовчан
ВИЗНАЧЕННЯ ТОЧНОЇ ГРАНИЦІ
ОБЛАСТІ СТІЙКОСТІ ОДНОГО КЛАСУ
ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Розглянуто питання побудови за допомогою методу D-розбиття точної границі
області стійкості одного класу динамічних систем. При цьому вилучається по-
будова кривої D-розбиття, необхідність використання «штриховки» за Неймар-
ком і забезпечується машинна реалізація побудови області стійкості. Наведено
приклади, які ілюструють ефективність запропонованого підходу.
L.T. Movchan
DETERMINING THE EXACT BOUNDARY
OF THE STABILITY DOMAIN OF A CLASS
OF DYNAMICAL SYSTEMS
The question of the method of construction by means of D-partition the exact
boundary of the stability domain for a class of dynamical systems is considered.
This excludes constructing the curve of D-partition, the need for «hatching» in
Neimark machine and provides realization of building stability domain. Numeri-
cal examples illustrate the effectiveness of the proposed approach.
1. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение / Под ред.
М.Г. Крейна. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 170 с.
2. Лебедев А.Н. Простой грубый критерий устойчивости линейных непрерывных систем //
Изв.вузов. Приборостроение. — 1968. — № 3 — С. 51–54.
3. Маковеев В.И., Новиков А.Н., Соколов Н.И. К вопросу устойчивости линейных квазиста-
ционарных систем //Автоматика и телемеханика. — 1976. — № 5. — С. 22–26.
4. Липатов А.В., Соколов Н.И. О некоторых достаточных условиях устойчивости и неустойчиво-
сти линейных непрерывных стационарных систем // Там же. — 1978. — № 9. — С. 30–37.
5. Воронов В.С. О достаточных условиях неустойчивости и устойчивости динамических сис-
тем // Изв. Вузов. Приборостроение. — 1980. — № 9. — С. 40–43.
6. Цыбулькин Г.А. Об одном алгебраическом условии устойчивости линейных динамических
систем // Кибернетика и вычислительная техника. — 1986. — Вып. 69. — С. 28–33.
7. Цыбулькин Г.А. К оценке устойчивости одного класса динамических систем // Международный
научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2014. — № 3. — С. 5–10.
8. Неймарк Ю.Н. Устойчивость линеаризованных систем. — Л. : ЛКВВИЛ, 1949. — 140 с.
9. Мовчан Л.Т., Мовчан С.Л. Машино–ориентированный подход к построению области
устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управле-
ния методом D-разбиения // Международный научно-технический журнал «Проблемы
управления и информатики». — 2011. — № 1. — С. 30–35.
Получено 13.03.2017
После доработки 15.05.2017
|