О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием
На базі інтегрального представлення розв’язку диференціальної математичної моделі усталеної динаміки просторово необмеженого пружного середовища в формі Ляме побудовано інтегральну математичну модель початково-крайової задачі динаміки пружного тіла довільної геометричної конфігурації з довільними по...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208594 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208594 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2085942025-11-03T01:15:33Z О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием Про математичні моделі динаміки тривимірних пружних тіл. Частина 2. Тіла з дискретно спостережуваним початково-крайовим станом On mathematical models of dynamics of three-dimensional elastic bodies. Part II. Bodies with discretely observable initial boundary condition Стоян, В.А. Даниш, С.Т. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем На базі інтегрального представлення розв’язку диференціальної математичної моделі усталеної динаміки просторово необмеженого пружного середовища в формі Ляме побудовано інтегральну математичну модель початково-крайової задачі динаміки пружного тіла довільної геометричної конфігурації з довільними початково-крайовими умовами для нього. Розглянуто випадки як просторової необмеженості тіла, так і часового інтервалу, на якому його динаміка моделюється. Побудовані математичні моделі, точно задовольняючи класичним математичним моделям тривимірної теорії пружності, за середньоквадратичним критерієм узгоджуються зі спостереженнями за його початково-крайовим станом. Оцінюється середньоквадратична точність моделювання початково-крайових спостережень за об'єктом моделювання, які задаються при цьому в дискретно визначених поверхнево-часових точках. Записуються умови однозначності виконаного в роботі математичного моделювання. Based on the integral representation of differential mathematical model’s solution of determined dynamics of spatially infinite elastic medium in the form of Lame system an integral mathematical model of the initial boundary problem of elastic body dynamics of arbitrary geometric configuration with arbitrary initial boundary conditions is constructed for it. The cases of both spatial infinite state of the body and time interval, due to which its dynamics is modelled, are considered. Constructed mathematical models, exactly satisfying classical mathematical models of three dimensional theory of elasticity, according to the root-meen square criteria, are aqreed with observations of its initial boundary state. Root-meen square accuracy of modeling initial boudary observations of modeled object is estimated. Thus these observations are defined in discretely determined surface-time points. Conditions of uniqueness of researched mathematical modelling are also noted in this paper. 2017 Article О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208594 517.95:419.86:539.3 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i9.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Стоян, В.А. Даниш, С.Т. О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием Проблемы управления и информатики |
| description |
На базі інтегрального представлення розв’язку диференціальної математичної моделі усталеної динаміки просторово необмеженого пружного середовища в формі Ляме побудовано інтегральну математичну модель початково-крайової задачі динаміки пружного тіла довільної геометричної конфігурації з довільними початково-крайовими умовами для нього. Розглянуто випадки як просторової необмеженості тіла, так і часового інтервалу, на якому його динаміка моделюється. Побудовані математичні моделі, точно задовольняючи класичним математичним моделям тривимірної теорії пружності, за середньоквадратичним критерієм узгоджуються зі спостереженнями за його початково-крайовим станом. Оцінюється середньоквадратична точність моделювання початково-крайових спостережень за об'єктом моделювання, які задаються при цьому в дискретно визначених поверхнево-часових точках. Записуються умови однозначності виконаного в роботі математичного моделювання. |
| format |
Article |
| author |
Стоян, В.А. Даниш, С.Т. |
| author_facet |
Стоян, В.А. Даниш, С.Т. |
| author_sort |
Стоян, В.А. |
| title |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| title_short |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| title_full |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| title_fullStr |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| title_full_unstemmed |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| title_sort |
о математических моделях динамики трехмерных упругих тел. часть 2. тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208594 |
| citation_txt |
О математических моделях динамики трехмерных упругих тел. Часть 2. Тела с дискретно наблюдаемым начально-краевым состоянием / В.А. Стоян, С.Т. Даниш // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 22-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT stoânva omatematičeskihmodelâhdinamikitrehmernyhuprugihtelčastʹ2telasdiskretnonablûdaemymnačalʹnokraevymsostoâniem AT danišst omatematičeskihmodelâhdinamikitrehmernyhuprugihtelčastʹ2telasdiskretnonablûdaemymnačalʹnokraevymsostoâniem AT stoânva promatematičnímodelídinamíkitrivimírnihpružnihtílčastina2tílazdiskretnosposterežuvanimpočatkovokrajovimstanom AT danišst promatematičnímodelídinamíkitrivimírnihpružnihtílčastina2tílazdiskretnosposterežuvanimpočatkovokrajovimstanom AT stoânva onmathematicalmodelsofdynamicsofthreedimensionalelasticbodiespartiibodieswithdiscretelyobservableinitialboundarycondition AT danišst onmathematicalmodelsofdynamicsofthreedimensionalelasticbodiespartiibodieswithdiscretelyobservableinitialboundarycondition |
| first_indexed |
2025-11-03T02:06:23Z |
| last_indexed |
2025-11-04T02:05:10Z |
| _version_ |
1847823602550833152 |
| fulltext |
© В.А. СТОЯН, С.Т. ДАНИШ, 2017
22 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.95:419.86:539.3
В.А. Стоян, С.Т. Даниш
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ
ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ. ЧАСТЬ 2.
ТЕЛА С ДИСКРЕТНО НАБЛЮДАЕМЫМ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫМ СОСТОЯНИЕМ
Введение
Данная статья является продолжением научного исследования динамики
трехмерных упругих динамических систем, опубликованного в [1], где предло-
женные и развитые в [2, 3] подходы к математическому моделированию линей-
ных пространственно распределенных динамических систем распространены на
задачи эластодинамики. Основываясь на классически известных [4] дифференци-
альных уравнениях динамики трехмерной упругой среды, в [1], построены инте-
гральные математические модели динамики как пространственно неограниченной
упругой среды, так и выделенного из нее трехмерного упругого тела произволь-
ной геометрии. В интегральной форме представлены и математические модели
начально-краевой задачи динамики такого тела. Особенностью этих математиче-
ских моделей является то, что построены они при наличии непрерывно опреде-
ленной информации о начальном состоянии тела и текущих наблюдениях за со-
стоянием его геометрической поверхности, которые в модели учитывались по
среднеквадратическому критерию. Сформулированные в [1] задачи математиче-
ского моделирования динамики пространственно распределенного упругого тела
решаются при наличии дискретно определенной информации о его начально-
краевом состоянии. Будут построены математические модели динамики как про-
странственно-неограниченных упругих тел, так и тел произвольной геометриче-
ской конфигурации, которые функционируют как в установившемся динамиче-
ском режиме, так и при наличии дискретно наблюдаемых начальных возмущений.
Построенные математические модели являются интегральным обращением клас-
сических дифференциальных уравнений Ляме эластодинамики трехмерной упругой
среды, по среднеквадратическому критерию согласованному с дискретно определен-
ными наблюдениями за начально-краевым состоянием рассматриваемого тела.
Математическая модель динамики
пространственно-неограниченной упругой среды
Как и в [1], рассмотрим динамику (по временной координате )t отнесенной
к декартовой системе координат 321 ,, xxx среды, упругие свойства которой опре-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 23
делим константами Ляме [4] λ и .μ Пусть ),(),,(),,( 321 txftxftxf — массовые
силы, которые имеют место в точке ),,,( 321 xxxx = исследуем смещения
)3,1(),( =itxui этой точки в направлении координатных осей 321 ,, OxOxOx со-
ответственно. При этом, как и в [1], будем исходить из того, что [4]
,)(
,)(
,)(
33
2
3
22
2
2
11
2
1
3
2
1
fuu
fuu
fuu
tx
tx
tx
−=∂ρ−θ∂μ+λ+Δμ
−=∂ρ−θ∂μ+λ+Δμ
−=∂ρ−θ∂μ+λ+Δμ
(1)
где ρ — удельная плотность материала среды, символы )3,1( =∂ i
ix и t∂ — про-
изводные по пространственным координатам )3,1( =ixi и времени ,t
.,
3
1
2
3
1
∑∑
==
∂=Δ∂=θ
i
x
i
ix ii
u
Будем учитывать также то, что интегральным эквивалентом системы (1) яв-
ляется интегральное соотношение
∫
∞+
∞−
′′′−= .)()()( sdsfssGsu (2)
Здесь ),( txs =
),3,1),((col)( == isusu i
),3,1),((col)( == isfsf i
а )( ssG ′− — построенная с учетом условий непрерывности и затухания матрич-
ная функция вида
∫
∞+
∞−
− ′−
π
=′−
i
i
dpdtqssqpDqpA
i
ssG ),,(),(
)2(
1)( 1
4
(3)
при условии, что
),3,1,(diag),,( )()( ==′− ′−+′− lessqpD ttqxxp
),,,( 321 pppp =
),()()()( 333222111 xxpxxpxxpxxp ′−+′−+′−=′−
а с учетом (1)
.
)()2()()(
)()()2()(
)()()()2(
),(
22
2
2
1
2
32313
32
22
3
2
1
2
212
3121
22
3
2
2
2
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ−+μ+μ+λμ+λμ+λ
μ+λρ−+μ+μ+λμ+λ
μ+λμ+λρ−+μ+μ+λ
=
qppppppp
ppqppppp
ppppqppp
qpA
Заметим, что варианты вычисления интеграла в (3) рассматривались в [2].
Если обозначить )),(),,((Re kk qpqps Φ интегральный вычет матричной функции
),,(),(),( 1 ssqpDqpAqp ′−=Φ −
в полюсе ),,( kk qp то согласно одному из таких
вариантов [2, 5] без учета условий непрерывности и затухания
.)),(),,((Re)(
1
∑
=
Φ=′−
K
k
kk qpqpsssG
24 ISSN 0572-2691
Математическая модель динамики пространственно-ограниченного
упругого тела на ограниченном временном интервале
Рассмотрим упругое тело, пространственной областью Γ выделенное из опи-
санной соотношениями (1), (2) упруго-динамической среды. В этом случае мате-
матические модели (1), (2) динамики пространственно неограниченной упругой
среды дополним начально-краевыми наблюдениями за телом, которые в отличие
от [1] запишем
);,1;,1()()( 00
0
0
0
0
0
LlRrUsuL rl
Sxx
ttr
l
===∂
∈=
= (4)
),,1;,1()()(
],0[ ΓΓ
Γ
ρ
×Γ∈=
Γ
ρ ==ρ=∂
Γ
LlRUsuL lTssx
l
(5)
где ),1()(),,1()( 0
0
Γ
Γ
ρ =ρ∂=∂ RLRrL xtr — линейные дифференциальные операторы,
а 0S — трехмерная пространственная область, занятая рассматриваемым телом.
Согласно [2, 3] начально-краевые внешнединамические возмущения (4), (5)
будем моделировать трехмерными вектор-функциями )(0 sf и ),(sfΓ определен-
ными в областях ]0,(0
0 ∞−×= SS и ],0[)\( 0
3 TSRS ×=Γ соответственно, или
векторами ),,1,(col 000 Mmff m == ),1,(col ΓΓΓ == Mmff m их значений
)( 0
00 mm sff = и )( Γ
ΓΓ = mm sff в точках 00 Ssm ∈ и ΓΓ ∈Ssm соответственно.
При этом функции
,)()()(
0
00 ∫ ′′′−=
S
sdsfssGsu (6)
,)()(
0
1
0
0
0 ∑
=
−=
M
m
mm fssGsu (7)
,)()()( ∫
Γ
′′′−= ΓΓ
S
sdsfssGsu (8)
∑
Γ
=
Γ
Γ
Γ −=
M
m
mm fssGsu
1
)()( (9)
будут определять эффект действия наблюдаемых согласно (4), (5) начальных и
краевых внешнединамических возмущений, которые имеют место в точке
),1( 00
0 LlSxl =∈ при 0=t и точке )Γ∈Γ
lx ),1( Γ= Ll при ].,0[ Ttl ∈Γ
С учетом определенных согласно (2) воздействий объемно определенных
массовых сил )3,1()( =isfi функцию смещений )(su точек ограниченного по-
верхностью Γ трехмерного упругого тела при наличии наблюдений (4), (5) за его
начально-краевым состоянием выразим соотношением
),()()()( 0 susususu Γ∞ ++= (10)
в котором
,)()()(
],0[
0
0
∫
×
∞ ′′′−=
TS
sdsfssGsu
а )(0 su и )(suΓ — вектор-функции, определенные согласно (6), (8) и (7), (9) для
непрерывно и дискретно заданных моделирующих факторов.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 25
Последнее означает, что математические модели ограниченного поверхно-
стью Γ упругого тела будут иметь вид
),()()()()()()(
0
0
0
],0[
susdsfssGsdsfssGsdsfssG
SSTS
=′′′−+′′′−+′′′− ∫∫∫
Γ
Γ
×
(11)
).()()()()(
11
0
0
],0[
0
0
sufssGfssGsdsfssG
M
m
mm
M
m
mm
TS
=−+−+′′′− ∑∑∫
Γ
=
Γ
Γ
=×
(12)
Как показано в [2, 3], обе математические модели эквивалентны дифферен-
циальной модели (1) при любых ),(0 sf )(sfΓ и ,,0 Γff для аналитического оп-
ределения которых остаются только наблюдения (4), (5) за начально-краевым со-
стоянием рассматриваемого тела.
Из условий среднеквадратического выполнения (4), (5) находим, что модели-
рующие вектор-функции ),(0 sf )(sfΓ и их дискретные аналоги ,0f Γf будут
определяться как решения задач
,min
)(),(0 sfsf Γ
→Φ (13)
,min
,0 Γ
→Φ
ff
(14)
в которых
.||)()(||||)()(||
1 1
2
1
200
0 0
0 ∑∑∑∑
Γ Γ
Γ
=ρ =
Γ
ρ
=
Γ
ρ
= = =
= −∂+−∂=Φ
R L
l
lssx
R
r
L
l
rl
xx
ttr UsuLUsuL
ll
При этом [2, 3]
),()())(),(()( 0
T
21
T
110 svAUPsAsAsf v +−= +
),()())(),(()( T
22
T
12 svAUPsAsAsf v Γ
+
Γ +−=
,)(),( 0
T
21
T
110 vvAUPAAf +−=
+
Γ
+
Γ +−= vvAUPAAf )(),(
T
22
T
12
при произвольных интегрируемых в областях ,0S ΓS вектор-функциях
),()( 0
0 Sssv ∈ ),()( Γ
Γ ∈ Sssv 3 0M -и 3 ΓM -мерных векторах ,0v ,Γv
)),(),((col)( 0 svsvsv Γ= ),,(col 0 Γ= vvv
а также
),,1),,1,)()((col)( 000
0
1
0
RrLlssGLsA
lxx
ttri ==′−∂=′
=
=
),,1),,1,)()((col)(2 ΓΓ
=
Γ
ρ =ρ=′−∂=′
Γ
RLlssGLsA
lssxi
0( Ss ∈′ при ;1=i Γ∈′ Ss при )2=i
),,1),,1),,1,)()((str((col 0000
00
11
0
RrLlMmssGLA
lxx
tmtr ===−∂=
=
=
),,1),,1),,1,)()((str((col 000
0
12
0
RrLlMmssGLA
lxx
tmtr ===−∂= Γ
=
=
Γ
),,1),,1),,1,)()((str((col 0
0
21 ΓΓ
=
Γ
ρ =ρ==−∂=
Γ
RLlMmssGLA
lssmx
26 ISSN 0572-2691
),,1),,1),,1,)()((str((col22 ΓΓΓ
=
ΓΓ
ρ =ρ==−∂=
Γ
RLlMmssGLA
lssmx
),,1),,1,((col 00
0
0 RrLlUU rl ===
),,1),,1,((col ΓΓ
Γ
ρΓ =ρ== RLlUU l
которые являются компонентами матричной функции
,
))()(())()((
))()(())()((
)(
22
0
21
12
0
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈∈
∈∈
=
Γ
Γ
SssASssA
SssASssA
sA
матрицы 2,
1,][ =
== ji
jiijAA и вектора ).,(col 0 Γ= UUU
Матрицы ,+P
+
P — псевдообращение матриц ∫
⋅
=
)(
T )()( dssAsAP (знак )(⋅
здесь и далее означает интегрирование по области изменения аргумента подынте-
гральной функции) и
T
AAP = соответственно, а .)()(
)(
∫
⋅
= dssvsAAv
Математическая модель установившейся динамики
пространственно-ограниченного упругого тела
Остановимся на вопросах построения математической модели установив-
шейся ));(( ∞+−∞∈t динамики упругого тела, пространственной поверхностью
Γ выделенного из упругого среды.
Исходя из интегрального представления (2) состояния пространственно-
неограниченной упругой среды и с учетом наблюдений (4), (5) за состоянием по-
верхности Γ рассматриваемого тела математическую модель последнего пред-
ставим одним из двух следующих соотношений:
),()()()()(
0
sutdsfssGxdtdsfssGxd
SS
=′′′−′+′′′−′ ∫ ∫∫ ∫
Γ
∞+
∞−
Γ
∞+
∞−
(15)
).()()()(
10
sufssGtdsfssGxd
M
m
mm
S
=−+′′′−′ ∑∫ ∫
Γ
=
Γ
Γ
+∞
∞−
(16)
Учитывая, что определенная согласно (15), (16) вектор-функция )(su является [2]
решением системы уравнений (1) при любых ),(sfΓ ,Γf моделирующую вектор-
функцию )(sfΓ и вектор Γf ее значений ),1( ΓΓ = Mmf m найдем из условий
,min
)(sfΓ
→ΦΓ (17)
,min
Γ
→ΦΓ
f
(18)
где при определенной в (15), (16) вектор-функции )(su
2
Г
ρ
Г
ρ
11ρ
Г
ГГ
)()( lssx
L
l
R
UsuL
l
−∂=Φ =
==
Γ ∑∑
При этом при определенных выше матричной функции ),(22 sA матрице ,22A
векторе ,ΓU произвольной интегрируемой в ΓS вектор-функции ),(svΓ 3 ΓM -
мерном векторе Γv и
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 27
,)()( T
2222∫
Γ
=Γ
S
dssAsAP ,
T
2222 AAP =Γ
∫
Γ
ΓΓ =
S
v dssvsAA )()(22
решениями задач (17), (18) будут
),()()()( 22 svAUPsAsf v
T
ΓΓΓ
+
ΓΓ +−=
.)( 2222 ΓΓΓ
+
ΓΓ +−= vvAUPAf T
Математическая модель начально возмущенной
пространственно-неограниченной упругой среды
Рассмотрим инициированную начальным возмущением (4) динамику про-
странственно-неограниченно упругой среды при ].,0[ Tt∈
При отсутствии краевых ограничений (5) математическую модель динамики
упругой среды в этом случае получим из (11), (12) при .0)( ≡Γ su При этом соот-
ношения
),()()()()(
0
0
0
susdsfssGtdsfssGxd
S
T
=′′′−+′′′−′ ∫∫ ∫
+∞
∞−
(19)
),()()()(
0
1
0
0
0
sufssGtdsfssGxd
M
m
mm
T
=−+′′′−′ ∑∫ ∫
=
+∞
∞−
(20)
точно [2] удовлетворяя (1), будут математической моделью динамики рассматри-
ваемой среды, если вектор-функцию )(0 sf и вектор 0f определить из условий
,min
)(
0
0 sf
→Φ (21)
,min
0
0
f
→Φ (22)
где при определенной в (19), (20) вектор-функции )(su
.||)()(||
0 0
01 1
20
0
0
0 ∑∑
= = =
= −∂=Φ
R
r
L
l
rl
xx
ttr UsuL
l
При этом, как и выше, при определенных выше матричной функции ),(11 sA
матрице ,11A векторе 0U и
,)()(
0
T
11110 ∫=
S
dssAsAP ,
T
11110 AAP =
∫=
0
)()( 0110
S
v dssvsAA
находим [2], что решениями (21), (22) будут
),()()()( 0000
T
110 svAUPsAsf v +−= +
001100
T
110 )( vvAUPAf +−=
+
при произвольных интегрируемой в 0S вектор-функции )(0 sv и 3 0M -мерном
векторе .0v
28 ISSN 0572-2691
Условия точности и однозначности математических моделей
динамики трехмерных упругих тел
В заключение еще раз подчеркнем, что математические модели (11)–(12),
(15)–(16), (19)–(20) являются интегральным обращением дифференциальных
уравнений Ляме (1), которые с начально-краевыми наблюдениям (4), (5) за на-
чальными (при наличии начальных возмущений) и краевыми (при ограниченно-
сти пространственной области тела) состояниями упругого тела согласуются по
среднеквадратическим критериям (13)–(14), (17)–(18) и (21)–(22).
При этом:
1) для моделей (11)–(12) динамики (на временном интервале T])[0, про-
странственно-ограниченного поверхностью Γ упругого тела
,minmin TT
)(),()(
2
)11(
0
UPPUUU
sfsfsu
+−=Φ=Φ=ε
Γ
;minmin TT
,)(
2
)12(
0
UPPUUU
ffsu
+
−=Φ=Φ=ε
Γ
2) для моделей (15)–(16) установившейся динамики пространственно-
ограниченного упругого тела
,minmin TT
)()(
2
)15( Γ
+
ΓΓΓΓΓΓΓ −=Φ=Φ=ε
Γ
UPPUUU
sfsu
;minmin TT
)(
2
)16( Γ
+
ΓΓΓΓΓΓΓ −=Φ=Φ=ε
Γ
UPPUUU
fsu
3) для моделей (19)–(20) динамики (на временном интервале ]),0[ T про-
странственно-неограниченного упругого тела
,minmin 000
T
00
T
00
)(
0
)(
2
)19(
0
UPPUUU
sfsu
+−=Φ=Φ=ε
.minmin 000
T
00
T
000
)(
2
)20(
0
UPPUUU
fsu
+
−=Φ=Φ=ε
Построенные выше модели (11)–(12), (15)–(16), (19)–(20) будут однозначно
описывать динамику ограниченного (модели (11)–(12), (15)–(16)) и неограничен-
ного (модели (19)–(20)) по пространственным координатам в установившемся
(модели (15)–(16)) режиме и на временном интервале ],0[ T (модели (11)–(12),
(19)–(20)) рассматриваемого упругого тела (модели (11)–(12), (15)–(16)) и неогра-
ниченной упругой среды (модели (19)–( 20)) при большем нуля определителе
матриц P (модель (11)), P (модель (12)), ΓP (модель (15)), ΓP (модель (16)), 0P
(модель (19)), 0P (модель (20)) соответственно.
Заключение
Решена сложная математическая задача построения математических моделей
динамики трехмерного упругого тела с произвольной геометрией его поверхности
и неполно определенной информацией как о состоянии этой поверхности, так и о на-
чальном состоянии тела вообще. Рассмотрены случаи неограниченности пространст-
венной области тела и неопределенности его динамики от начальных возмущений.
Построенные математические модели являются решениями классически из-
вестных дифференциальных математических моделей Ляме и за среднеквадрати-
ческим критерием согласованы с дифференциально определенными начально-
краевыми наблюдениями за состоянием упругого тела при произвольной структу-
ре и количестве последних. В работе выполнена оценка точности построенных
моделей и сформулированы условия их однозначности.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 29
В.А. Стоян, С.Т. Даниш
ПРО МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ
ТРИВИМІРНИХ ПРУЖНИХ ТІЛ. ЧАСТИНА 2. ТІЛА
З ДИСКРЕТНО СПОСТЕРЕЖУВАНИМ ПОЧАТКОВО-
КРАЙОВИМ СТАНОМ
На базі інтегрального представлення розв’язку диференціальної математичної
моделі усталеної динаміки просторово необмеженого пружного середовища
в формі Ляме побудовано інтегральну математичну модель початково-крайової
задачі динаміки пружного тіла довільної геометричної конфігурації з довільними
початково-крайовими умовами для нього. Розглянуто випадки як просторової
необмеженості тіла, так і часового інтервалу, на якому його динаміка моде-
люється. Побудовані математичні моделі, точно задовольняючи класичним
математичним моделям тривимірної теорії пружності, за середньоквадратичним
критерієм узгоджуються зі спостереженнями за його початково-крайовим станом.
Оцінюється середньоквадратична точність моделювання початково-крайових
спостережень за об'єктом моделювання, які задаються при цьому в дискретно
визначених поверхнево-часових точках. Записуються умови однозначності
виконаного в роботі математичного моделювання.
V.A. Stoyan, S.T. Danysh
ON MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMICS OF
THREE-DIMENSIONAL ELASTIC BODIES. PART 2.
BODIES WITH DISCRETELY OBSERVABLE INITIAL
BOUNDARY CONDITION
Based on the integral representation of differential mathematical model’s solution of
determined dynamics of spatially infinite elastic medium in the form of Lame system
an integral mathematical model of the initial boundary problem of elastic body
dynamics of arbitrary geometric configuration with arbitrary initial boundary
conditions is constructed for it. The cases of both spatial infinite state of the body and
time interval, due to which its dynamics is modelled, are considered. Constructed
mathematical models, exactly satisfying classical mathematical models of three
dimensional theory of elasticity, according to the root-meen square criteria, are
aqreed with observations of its initial boundary state. Root-meen square accuracy of
modeling initial boudary observations of modeled object is estimated. Thus these
observations are defined in discretely determined surface-time points. Conditions of
uniqueness of researched mathematical modelling are also noted in this paper.
1. Стоян В.А., Даниш С.Т. О математических моделях динамики трехмерных упругих тел.
Часть 1. Тела с непрерывно наблюдаемым начально-краевым состоянием // Международ-
ный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2017. —
№ 2. — С. 37–44.
2. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних
систем. — Київ. : ВПЦ «Київський університет», 2011. — 320 с.
3. Скопецький В.В., Стоян В.А., Зваридчук В.Б. Математичне моделювання динаміки
розподілених просторово-часових процесів. — Київ : Сталь, 2008. — 316 с.
4. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. — М. : Гостехиздат, 1955. —
492 с.
5. Стоян В.А., Двірничук К.В. До побудови інтегрального еквівалента лінійних
диференціальних моделей // Доповіді НАН України. — 2012. — № 9. — С. 36–43.
Получено 21.12. 2016
Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.
|