О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона

Досліджено питання про наближення квазігладких функцій їх інтегралами типу Пуассона. Розв’язання цієї проблеми знаходить своє застосування в різних розділах прикладної математики, зокрема, в теорії прогнозування і прийняття рішень, в математичному моделюванні складних технічних і економічних систем,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Харкевич, Ю.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Общие проблемы исследования космоса
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208595
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208595
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2085952025-11-03T01:12:34Z О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона Про наближення квазігладких функцій їх інтегралами типу Пуассона On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson-type integrals Харкевич, Ю.И. Общие проблемы исследования космоса Досліджено питання про наближення квазігладких функцій їх інтегралами типу Пуассона. Розв’язання цієї проблеми знаходить своє застосування в різних розділах прикладної математики, зокрема, в теорії прогнозування і прийняття рішень, в математичному моделюванні складних технічних і економічних систем, при розгляді задач оптимального керування, при побудові чисельних алгоритмів, а також при стисненні інформації. Отримано повні асимптотичні розклади степенями (1−r) точних верхніх граней відхилень квазігладких функцій від їх інтегралів типу Пуассона в рівномірній метриці. The question of the approximation of quasi-smooth functions by their Poisson type integrals is studied. The solution of this problem finds its application in various branches of applied mathematics, in particular, in the theory of forecasting and decision-making, in the mathematical modeling of complex technical and economic systems, in the analysis of optimal control problems, in the construction of numerical algorithms, and in the compression of information. Here we find complete asymptotic expansions in powers (1−r) of the exact upper bounds of deviations of quasi-smooth functions from their Poisson-type integrals in the uniform metric 2017 Article О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208595 517.5 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Общие проблемы исследования космоса Общие проблемы исследования космоса
spellingShingle	Общие проблемы исследования космоса Общие проблемы исследования космоса Харкевич, Ю.И. О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона Проблемы управления и информатики
description	Досліджено питання про наближення квазігладких функцій їх інтегралами типу Пуассона. Розв’язання цієї проблеми знаходить своє застосування в різних розділах прикладної математики, зокрема, в теорії прогнозування і прийняття рішень, в математичному моделюванні складних технічних і економічних систем, при розгляді задач оптимального керування, при побудові чисельних алгоритмів, а також при стисненні інформації. Отримано повні асимптотичні розклади степенями (1−r) точних верхніх граней відхилень квазігладких функцій від їх інтегралів типу Пуассона в рівномірній метриці.
format	Article
author	Харкевич, Ю.И.
author_facet	Харкевич, Ю.И.
author_sort	Харкевич, Ю.И.
title	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона
title_short	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона
title_full	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона
title_fullStr	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона
title_full_unstemmed	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона
title_sort	о приближении квазигладких функций их интегралами типа пуассона
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Общие проблемы исследования космоса
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208595
citation_txt	О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона / Ю.И. Харкевич // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 5. — С. 30-36. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT harkevičûi opribliženiikvazigladkihfunkcijihintegralamitipapuassona AT harkevičûi pronabližennâkvazígladkihfunkcíjíhíntegralamitipupuassona AT harkevičûi onapproximationofthequasismoothfunctionsbytheirpoissontypeintegrals
first_indexed	2025-11-03T02:06:27Z
last_indexed	2025-11-04T02:05:13Z
_version_	1847823604986675200
fulltext	© Ю.И. ХАРКЕВИЧ, 2017 30 ISSN 0572-2691 ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОСМОСА УДК 517.5 Ю.И. Харкевич О ПРИБЛИЖЕНИИ КВАЗИГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ ИХ ИНТЕГРАЛАМИ ТИПА ПУАССОНА Введение Зачастую для вычисления определенной каким-либо образом величины необ- ходимо чрезвычайно большое число действий, что делает их выполнение практи- чески невозможным. Поэтому может быть применен какой-либо иной метод по- лучения дополнительной информации об этой величине, позволяющий найти ее решение хотя бы приближенно. В этом случае целесообразно использовать мето- ды и подходы теории приближения функций, а именно асимптотические оценки и разложения. Теория приближения функций имеет важное значение, поскольку по- зволяет практически вычислять функции и приближенно заменять сложные функции более простыми. В 30-е годы XX века одним из важнейших достижений в теории приближе- ния функций следует считать появление нового типа задач, которые в дальней- шем были названы экстремальными. Родоначальником этого направления был А.Н. Колмогоров. В дальнейшем существенный вклад в его развитие был сделан С.М. Никольским, Б. Надем, В.К. Дзядыком, Н.П. Корнейчуком, С.Б. Стечкиным, А.В. Ефимовым, С.А. Теляковским, А.И. Степанцом, А.Ф. Тиманом, В.П. Мотор- ным, М.Ф. Тиманом, В.Ф. Бабенком, И.А. Шевчуком, А.С. Романюк, А.С. Сердю- ком и др. Данная работа посвящена одной из таких задач, а именно исследованию ап- проксимативных свойств интегралов типа Пуассона на классах квазигладких функций в равномерной метрике. Решение экстремальных задач такого типа имеет практическую ценность при построении математических моделей и прогнозировании сложных систем, а также в теории хранения, передачи и поиска информации. 1. Постановка задачи Согласно [1] рассмотрим интеграл типа Пуассона , ),()(1),,(, dttrKtxfxfrP qs + π = ∫ π π− ,,10 π≤≤π−<≤ xr (1) где ,cos))1)(1(1( 2 1),( 1 ktrrrsktrK kq k −+++= ∑ ∞ = ,1, 2 10 ≥≤≤ qs (2) — ядро интеграла типа Пуассона. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 31 Отметим, что в случае 0=s из (1) и (2) получим интеграл Абеля–Пуассона [2, 3] .10,cos 2 1)(1),,( 1 <≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ π = ∑∫ ∞ = π π− rdtktrxtfxfrA k k Если в (1) и (2) положить , 2 1 =s ,1=q то будем иметь [4, 5] так называемый би- гармонический интеграл Пуассона .10,cos)1( 2 1 2 1)(1),,( 1 2 <≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+++ π = ∑∫ ∞ = π π− rdtktrrktxfxfrB k k Пусть далее C — пространство π2 -периодических непрерывных функций с нормой .)(max xff xC = Определение 1 [6]. Множество всех π2 -периодических непрерывных функ- ций, которые равномерно на всей числовой оси удовлетворяют неравенству hhxfxfhxf 2)()(2)( ≤++−+ , (3) называют классом квазигладких функций и обозначают .2H Следует отметить, что квазигладкие функции [6], с одной стороны, можно рассматривать как обобщение гладких функций, впервые изучаемых еще Риманом в общей теории тригонометрических рядов, и, с другой стороны, как обобщение функций, удовлетворяющих условию Липшица hxfhxf ≤−+ )()( . В [7] показано, что в ряде вопросов (наилучшее приближение, дробное диф- ференцирование и интегрирование, теория сопряженных функций, тригонометри- ческие ряды) этот класс квазигладких функций 2Н в известном смысле является более естественным, чем класс функций, удовлетворяющих условию Липшица. В течение последних десятилетий наблюдается тесная взаимосвязь теории приближения с другими направлениями математики, особенно прикладного ха- рактера. В частности, интересным является вопрос о приближении одних матема- тических объектов другими, как правило, более простой природы, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых известны, а также вопросы оценки погрешностей таких приближений. В связи с этим представляет известный интерес приближение квазигладких функций их интегралами типа Пуассона (1), а именно, исследование асимптоти- ческого поведения величины .),,()(sup))(;( ,, 2 2 Cqs Hf Cqs xfrPxfrPH −= ∈ Ε (4) Определение 2 [8, c. 198]. Если в явном виде найдена функция ),1( r−ϕ такая, что при 01−→r можно записать асимптотическое равенство )),1(()1())(;( , 2 rorrPH Cqs −ϕ+−ϕ=Ε говорят что, решена задача Колмогорова–Никольского для интеграла типа Пуассона и класса 2Н в метрике пространства C. 32 ISSN 0572-2691 Определение 3 [9]. Формальный ряд )1( 0 rgn n −∑ ∞ = называется полным асимпто- тическим разложением или полной асимптотикой функции )(rf при ,01−→r ес- ли для всех N ∈n ))1(()1(1 rgorg nn −=−+ и при любом N ∈m .01)),1(()1()( 0 −→−+−= ∑ = rrgorgrf mn m n Кратко запишем это следующим образом: ).1()( 0 rgrf n n −≅ ∑ ∞ = Аппроксимативные свойства как интегралов Абеля–Пуассона, так и бигар- монических интегралов Пуассона достаточно хорошо изучены в [10–16] и [17–22] соответственно. Таким образом, главной целью данной работы является нахождение полного асимптотического разложения для величины (4) по степеням )1( r− при ,01−→r которое позволяет выписывать константы Колмогорова–Никольского произволь- но высокого порядка малости. 2. Приближение квазигладких функций интегралами типа Пуассона В принятых выше обозначениях имеет место теорема. Теорема. При 01−→r выполняется полное асимптотическое разложение ⎜ ⎝ ⎛ + − −+−++− π ≅ r rrrsrPH q Cqs 1 1ln)1()1)(2ln1( 4 1ln)1(2))(;( , 2Ε ,)1( 1 1ln)1(12 2)1( )1()1(ln 1 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −γ+ − − π +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − −−+ ∑∑ ∞ = − ∞ = k k k k k k k r r r kkk rr …=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+=γ −− = ∑ ,2,1,212ln1 1 1 k jkk jk j k . Доказательство. Убедимся сначала в том, что .0),( ≥trK Для этого запи- шем ядро типа Пуассона (2) в виде .cos)1)(1(cos 2 1 cos])1)(1(1[ 2 1),( 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = −+++= =−+++= k k kqk kq k ktkrrrsktr ktrrrsktrK Так как для первого слагаемого из правой части последнего равенства выполняет- ся равенство )cos21(2 1cos 2 1 2 2 1 rtr rktr k k +− − =+ ∑ ∞ = (5) (формула (1.447.3) из [23]), найдем аналогичное равенство и для суммы ∑ ∞ =1 .cos k k ktkr Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 33 Используя формулу (1.447.1) из [23], имеем . cos21 sinsin 2 1 rtr trktr k k +− =∑ ∞ = Продифференцируем обе части последнего равенства по t, в результате чего получим . )cos21( 2coscoscos 22 23 1 rtr rtrtrktkr k k +− −+ =∑ ∞ = (6) Таким образом, на основании соотношений (5) и (6) имеем = +− −+ −++ +− − = 22 23 2 2 )cos21( 2coscos)1)(1( )cos21(2 1),( rtr rtrtrrrs rtr rtrK q . )cos21( )2coscos()1)(1(2)cos21)(1( 22 2322 rtr rtrtrrrsrtrr q +− −+−+++−− = Так как знаменатель дроби из правой части последнего равенства всегда поло- жительный, проанализируем его числитель. Первое слагаемое числителя =+−+−−=+−− )coscoscos21)(1()cos21)(1( 22222222 rtrtrtrrrtrr ,0)sin)cos1)((1())cos1()cos1)((1( 2222222 >+−−=−+−−= trtrrtrtrr поэтому, показав, что второе слагаемое числителя меньше первого, можем сде- лать вывод, что числитель также будет положительным. Этот факт вытекает из следующих соображений. Необходимо показать, что ).cos21)(1()2coscos()1)(1(2 2223 rtrrrtrtrrrs q +−−<−+−+ (7) Так как 12 ≤s и ),1()1)(1()1)(1( 212 rrrrr qq −≤−−=−+ − для доказательства (7) дос- таточно убедиться в справедливости следующего неравенства: <−+ 23 2coscos rtrtr 2cos21 rtr +−< или .03coscos31 23 >+−− rtrtr Действительно, ,0)1(3313coscos31 33223 >−=−+−≥+−− rrrrrtrtr ).1,0(∈r Итак, ).1,0(,0),( ∈> rtrK А поскольку ,0 2 1),0( >=tK получаем, что 0),( >trK при всех .10 <≤ r Также нетрудно убедиться в том, что .1),(1 = π ∫ π π− dttrK Учитывая (1) и предыдущее равенство, запишем =− ),,()( , xfrPxf qs .),())()(( dttrKtxfxf +−= ∫ π π− Далее, используя свойства определенного интегра- ла и положительность ядра (2), имеем .),()()(2)(),,()( 0 , dttrKtxfxftxfxfrPxf qs ∫ π −+−+≤− Отсюда, используя (4) и (3), получаем оценку .),(2))(;( 0 , 2 dttrtKrPH Cqs ∫ π ≤Ε (8) 34 ISSN 0572-2691 Кроме того, запишем ,)0,,()0(sup))(;( ,, 2 2 Cqs Hf Cqs frPfrPH −= ∈ Ε и так как в классе квазигладких функций 2Н существует функция периода π2 , равная t на отрезке ];[ ππ− , которая предыдущее неравенство (8) обращает в равенство, то =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+++ π == ∑∫∫ ∞ = ππ dtktrrrsktdttrtKrPH kq k Cqs cos))1)(1(1( 2 12),(2))(;( 100 , 2Ε . cos)1)(1(2cos 2 12 1010 dtktkrtrrsdtktrt k k qk k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ π +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + π = ∑∫∑∫ ∞ = π∞ = π (9) В [10] показано, что для первого интеграла из правой части равенства (9) при 01−→r имеет место полное асимптотическое разложение ,)1( 1 1ln)1(1cos 2 1 110 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −γ+ − −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑∫ ∞ = ∞ = π k k k k k k r r r k dtktrt (10) …=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+=γ −− = ∑ ,2,1,212ln1 1 1 k jkk jk j k . Преобразуем второй интеграл из правой части равенства (9) . 12 2coscos 12 10110 − −==⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −∞ = π∞ = ∞ = π ∑∫∑∑∫ j rktdttkrdtktkrt j j k k k k Используя формулу (1.513.1) из [23] , 12 12 1 1ln 12 1 − ∞ = − = − + ∑ k k r kr r имеем = − + −+−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∑∫ ∞ = π r rrrsdtktkrtrrs qk k q 1 1ln)1)(1(cos)1)(1( 10 =+−−+−= ))1(ln)1()(ln1()1( rrrrs q )). 1(ln)1()1(ln))1(2(()1( rrrrrs q ++−−−−−= (11) Подставляя (10) и (11) в правую часть (9), получим +++−−−−−− π = ))1(ln)1()1(ln)1()1ln(2()1(2 ))(;( , 2 rrrrrrsrPH q CqsΕ . 01, )1( 1 1ln)1(12 1 −→⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −γ+ − − π + ∑ ∞ = rr r r k k k k k (12) Далее, разложив функцию )1(ln)1()( rrr ++−=ϕ в ряд Тейлора по степеням )1( r− , имеем . 2)1( )1()1)(2ln1(2ln2)1(ln)1( 1 2 − ∞ = − − −−++−=++− ∑ k k k kk rrrr Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2017, № 5 35 Выполнив необходимые тождественные преобразования в квадратных скоб- ках выражения (12), находим +−=++−−−−− 2)1(ln)1(ln)1()1(ln)1()1(ln2 rrrrrr . 2)1( )1()1)(2ln1( 4 1ln )1( 1ln)1( 1 2 − ∞ = − − −−+++ − −+ ∑ k k k kk rr r r Подставив последнее соотношение в формулу (12), получим утверждение теоремы. Замечание. Отметим, что при 0=s из доказанной выше теоремы получим уже известный результат [10], а в случае 2 1 =s и 1=q будем иметь результат из [17]. Заключение Основной результат данной работы состоит в нахождении полных асимпто- тических разложений точных верхних граней приближений интегралами типа Пу- ассона на классах квазигладких функций 2H в равномерной метрике. Таким об- разом, решена одна из экстремальных задач теории аппроксимации функций дей- ствительного переменного. Такие задачи можно эффективно использовать при составлении математических моделей и исследовании их поведения в ходе реше- ния задач оптимального управления различными сложными механическими, фи- зическими и экономическими процессами. Ю.І. Харкевич ПРО НАБЛИЖЕННЯ КВАЗІГЛАДКИХ ФУНКЦІЙ ЇХ ІНТЕГРАЛАМИ ТИПУ ПУАССОНА Досліджено питання про наближення квазігладких функцій їх інтегралами типу Пуассона. Розв’язання цієї проблеми знаходить своє застосування в різних роз- ділах прикладної математики, зокрема, в теорії прогнозування і прийняття рі- шень, в математичному моделюванні складних технічних і економічних систем, при розгляді задач оптимального керування, при побудові чисельних алгорит- мів, а також при стисненні інформації. Отримано повні асимптотичні розклади степенями )1( r− точних верхніх граней відхилень квазігладких функцій від їх інтегралів типу Пуассона в рівномірній метриці. Yu.I. Kharkevych ON APPROXIMATION OF THE QUASI-SMOOTH FUNCTIONS BY THEIR POISSON-TYPE INEGRALS The question of the approximation of quasi-smooth functions by their Poisson type integrals is studied. The solution of this problem finds its application in various branches of applied mathematics, in particular, in the theory of forecasting and deci- sion-making, in the mathematical modeling of complex technical and economic sys- tems, in the analysis of optimal control problems, in the construction of numerical al- gorithms, and in the compression of information. Here we find complete asymptotic expansions in powers )1( r− of the exact upper bounds of deviations of quasi-smooth functions from their Poisson-type integrals in the uniform metric 36 ISSN 0572-2691 1. Gonzales L., Keller E., Wildenhain G. Uber das randverhalten des poisson-integrals des polyhar- monischen gleichung // Math. Nachr. — 1980. — 95. — P. 157–164. 2. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel-Poisson integrals // Ukr. Math. J. — 2009. — 61, N 1. — P. 86–98. 3. Baskakov V.A. Some properties of operators of Abel-Poisson type // Mathematical Notes. — 1975. — 17, N 2. — P. 101–107. 4. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),( βψ -differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals // Ukr. Math. J. — 2012. — 63, N 12. — P. 1820–1844. 5. Kharkevych Yu.I., Kal'chuk I.V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals // Ibid. — 2007. — 59, N 8. — P. 1224–1237. 6. Тимман А.Ф. О квазигладких функциях // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1951. — 15, № 3. — С. 243–254. 7. Zygmund A. Smooth function // Duke Math. J. — 1945. — 12, N 1. — P. 47–76. 8. Степанец А.И. Методы теории приближения. — Киев : Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. І. — 427 с. 9. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of differentiable periodic functions by their bi- harmonic Poisson integrals // Ukr. Math. J. — 2002. — 54, N 9. — P. 1462–1470. 10. Stark E.L. The complete asymptotic expansion for the measure of approximation of Abel- Poisson's singular integral for 1Lip // Mathematical Notes. — 1973. — 13, N 1. — P. 14–18. 11. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by bi- harmonic Poisson integrals // Ukr. Math. J. — 2000. — 52, N 7. — P. 1113–1117. 12. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by λ-methods of summation of their Fourier integrals // Ibid. — 2004. — 56, N 9. — P. 1509–1525. 13. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),( βψ -differentiable functions defined on the real axis by Abel-Poisson operators // Ibid. — 2005. — 57, N 8. — P. 1297–1315. 14. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),( βψ -differentiable functions by Poisson in- tegrals in the uniform metric // Ibid. — 2009. — 61, N 11. — P. 1757–1779. 15. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class ψ ∞β,С by Poisson in- tegrals in the uniform metric // Ibid. — 2009. — 61, N 12. — P. 1893–1914. 16. Kharkevych Yu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes αψ ∞β НС , // Mathematical Notes. — 2014. — 96, N 5-6. — P. 1008–1019. 17. Фалалеев Л.П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из Lip11 от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Мате- риалы всесоюз. симп. — Алма-Ата : Наука, 1976. — C. 163–167. 18. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo Т.V. Approximation of function from class ψ ∞β,С by Poisson bihar- monic operators in the unifom metric // Ukr. Math. J. — 2008. — 60, N 5. — P. 769–798. 19. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by bihar- monic Poisson intrgrals // Ibid. — 2009. — 61, N 3. — P. 399–413. 20. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes ψ ∞β,С by bihar- monic Poisson intrgrals // Ibid. — 2011. — 63, N 7. — P. 1083–1107. 21. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu. I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes α β НW r // Ibid. — 2017. — 68, N 11. — P. 1727–1740. 22. Жигалло Т.В., Харкевич Ю.І. Апроксимативні властивості бігармонічних операторів Пуас- сона на класах ψ β 1,L̂ // Укр. мат. журн. — 2017. — 69, № 5. — С. 650–656. 23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М. : Физматгиз, 1963. — 1100 с. Получено 26.06.2017 Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором физ.-мат. наук И.М. Черевко.

О приближении квазигладких функций их интегралами типа Пуассона

Institution

Ähnliche Einträge