О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов

Розглянуто проблему гарантованого результату в ігрових задачах зближення керованих об’єктів. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів та ефективність прийнятих рішень. Такі функції називаютьс...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
1. Verfasser:	Раппопорт, И.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208714
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 2. — С. 97-111. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208714
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2087142025-11-05T01:10:07Z О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов Про гарантований результат в ігрових задачах зближення керованих об’єктів Оn guaranteed result in game problems of controlled objects approach Раппопорт, И.С. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Розглянуто проблему гарантованого результату в ігрових задачах зближення керованих об’єктів. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів та ефективність прийнятих рішень. Такі функції називаються розв’язувальними функціями. Привабливість методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він дозволяє ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень і їх селектор в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отриманні на їх основі змістовних результатів. У будь-яких формах методу розв’язувальних функцій головним є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні розв’язувальної функції для оцінки якості гри першого гравця аж до досягнення деякого порогового значення. На відміну від основної схеми згаданого методу розглядається випадок, коли класична умова Понтрягіна не має місця. У цій ситуації замість селектора Понтрягіна, якого не існує, розглядається деяка функція зсуву, а з її допомогою вводяться спеціальні багатозначні відображення. Вони породжують верхні і нижні розв’язувальні функції двох типів, за допомогою яких формулюються достатні умови завершення гри за деякий гарантований час. Дається порівняння гарантованих часів для різних схем зближення керованих об’єктів. Наведено приклад зближення керованих об’єктів з простим рухом з метою отримати в явному вигляді верхні і нижні розв’язувальні функції, що дозволяють зробити висновок про можливість закінчення гри в разі, коли не має місця умова Понтрягіна. The problem of a guaranteed result in game problems of approach of controlled objects is considered. A method is proposed for solving such problems associated with the construction of some scalar functions that qualitatively characterize the course of approach of controlled objects and the effectiveness of decisions made. Such functions are called resolving functions. The attractiveness of the method of resolving functions is that it allows you to use effectively the modern technique of multi-valued mappings and their selectors in the justification of game constructions and obtaining meaningful results on their basis. In all forms of the method of resolving functions the main principle is the accumulative principle, which is used in the current summation of the resolving function to assess the quality of the game of the first player up to a certain threshold value. In contrast to the main scheme of the mentioned method, the case is considered when the classical Pontryagin condition does not hold. In this situation, instead of the Pontryagin selector, which does not exist, a certain shift function is considered, and with its help special multi-valued mappings are introduced. They generate upper and lower resolving functions of two types, with the help of which the sufficient conditions for completing a game in a certain guaranteed time are formulated. The comparison of guaranteed times for different schemes of approach of controlled objects is given. An illustrative example of the approach of controlled objects approach with simple movement is given in order to obtain explicitly the upper and lower resolving functions, which make it possible to conclude that the game can be terminated in a case when the Pontryagin condition does not hold. 2020 Article О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 2. — С. 97-111. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208714 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i3.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
spellingShingle	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Раппопорт, И.С. О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто проблему гарантованого результату в ігрових задачах зближення керованих об’єктів. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів та ефективність прийнятих рішень. Такі функції називаються розв’язувальними функціями. Привабливість методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він дозволяє ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень і їх селектор в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отриманні на їх основі змістовних результатів. У будь-яких формах методу розв’язувальних функцій головним є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні розв’язувальної функції для оцінки якості гри першого гравця аж до досягнення деякого порогового значення. На відміну від основної схеми згаданого методу розглядається випадок, коли класична умова Понтрягіна не має місця. У цій ситуації замість селектора Понтрягіна, якого не існує, розглядається деяка функція зсуву, а з її допомогою вводяться спеціальні багатозначні відображення. Вони породжують верхні і нижні розв’язувальні функції двох типів, за допомогою яких формулюються достатні умови завершення гри за деякий гарантований час. Дається порівняння гарантованих часів для різних схем зближення керованих об’єктів. Наведено приклад зближення керованих об’єктів з простим рухом з метою отримати в явному вигляді верхні і нижні розв’язувальні функції, що дозволяють зробити висновок про можливість закінчення гри в разі, коли не має місця умова Понтрягіна.
format	Article
author	Раппопорт, И.С.
author_facet	Раппопорт, И.С.
author_sort	Раппопорт, И.С.
title	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
title_short	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
title_full	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
title_fullStr	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
title_full_unstemmed	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
title_sort	о гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208714
citation_txt	О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 2. — С. 97-111. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT rappoportis ogarantirovannomrezulʹtatevigrovyhzadačahsbliženiâupravlâemyhobʺektov AT rappoportis progarantovanijrezulʹtatvígrovihzadačahzbližennâkerovanihobêktív AT rappoportis onguaranteedresultingameproblemsofcontrolledobjectsapproach
first_indexed	2025-11-05T02:13:10Z
last_indexed	2025-11-06T02:08:20Z
_version_	1848004995026255872
fulltext	© А.Н. ВОРОНИН, 2020 112 ISSN 0572-2691 РОБОТЫ И СИСТЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА УДК 519.9 А.Н. Воронин КОМПРОМИССНЫЕ РЕШЕНИЯ: СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД Ключевые слова: компромисс, многокритериальная оптимизация, системный подход, ограничения, скалярная свертка. Введение В настоящее время в научной литературе [1] значительное внимание уделяется разработке моделей и методов теории принятия решений, позволяющих эффек- тивно решать многокритериальные задачи, возникающие в различных предмет- ных областях. Это относится, например, к важным и ответственным переговор- ным процессам, задачам многокритериальной оценки и оптимизации сложных технических объектов и т.п. Такие задачи обычно плохо формализуемы. Совре- менные средства их решения, как правило, связаны с необходимостью компро- мисса. Поэтому исследования в этом направлении актуальны. Понятие «компромисс» предусматривает наличие нескольких конкурирую- щих (имеющих разные цели) субъектов, объединенных в систему. Задача этой системы — выработка общего для всех субъектов решения. Такое решение, буду- чи наилучшим для всей системы в целом, обязательно ущемляет интересы каждо- го из субъектов, т.е. принципиально является компромиссным. Задача исследова- теля — выбрать такую схему компромисса, при которой общее решение системы приемлемо для всех субъектов. Таким образом, объектом исследования представляется система, предназна- ченная для выработки компромиссного решения. При исследовании будем поль- зоваться методом системного подхода [2]. Термин «системный подход» означает, что реальный объект, представляемый как система, описывается как совокупность взаимодействующих компонентов, реализующая определенную цель. В данном случае субъекты, входящие в систему, преследуют разные цели. Если один и тот же объект может реализовать несколько целей, то относительно каждой он вы- ступает как самостоятельная система. Следовательно, можно осуществить деком- позицию решаемой задачи. Каждая самостоятельная (парциальная) система — это модель реального объекта лишь в аспекте той цели, которую он реализует. Для достижения цели не- обходимы определенные функции, по которым можно определить состав и струк- туру парциальной системы. В эту модель войдет из реального объекта только то, что необходимо и достаточно для достижения данной цели. Определив состав и структуру каждой из парциальных систем, выполнив тем самым этап декомпозиции, для получения общего компромиссного решения не- обходимо перейти к соединению в единое целое различных моделей объекта, т.е. выполнить акт композиции. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 113 Постановка задачи Рассмотрим систему выработки компромиссного решения в виде объекта ис- следования О (рис. 1). В систему входит s равноправных субъектов, каждый из которых стремится реализовать свою цель. Эффективность достижения поставленной цели коли- чественно выражается парциальным критерием оптимальности ],1[, skyk  . Парциальные (частные) критерии y1, y2, ..., ys образуют вектор Myy s kk  1}{ , где M — область определения вектора у. Его компоненты количественно выра- жают эффективность достижения парциальных целей при заданной совокупности аргументов оптимизации x = {xi} i = 1 n  X, где X — область определения векто- ра независимых переменных (аргументов оптимизации). Внешние воздействия r от нас не зависят, но известно, что они могут принимать свои значения из ком- пактного множества R. Обычно считают, что расчеты осуществляются при задан- ном и известном векторе внешних воздействий r0  R, от которого, в конечном счете, зависит ситуация принятия решения. В рамках k-й парциальной системы эффективность достижения цели коли- чественно выражается частным критери- ем оптимальности ],1[, skyk  . Реше- ние задачи оптимизации предусматри- вает достижение экстремального значе- ния критерия посредством выбора совокупности аргументов оптимизации. Экстремизация критерия оптималь- ности часто отождествляется с понятием реализации цели, в то время как на самом деле это разные понятия. Можно ска- зать, что критерий и цель соотносятся друг с другом как модель и оригинал со всеми вытекающими отсюда следствиями. В любом случае критерий — всего лишь суррогат цели. Критерии характеризуют цель лишь косвенно, иногда лучше, иногда хуже, но всегда приближенно. На этапе декомпозиции определяется состав и структура каждой из парци- альных систем. Это значит, что определяются функции ],1[),( skxfy kk  , связывающие частные критерии качества с аргументами оптимизации. В задачах оценивания функция f(x) называется оценочной, а в задачах оптимизации — целевой. Для получения общего компромиссного решения необходимо перейти к этапу композиции критериев. Возможны различные подходы к выполнению этого этапа. Это нахождение компромиссно-оптимального решения в интерактивной процедуре, лексикографический подход и пр. На практике чаще всего используется подход выбора адекватной скалярной свертки частных критериев и нахождения решения в процессе экстремизации этой свертки. Рассмотрим метод, при котором актом композиции является скалярная свертка частных (парциальных) критериев [3]. Скалярная свертка — это математический прием сжатия информации и количест- венной оценки ее интегральных свойств одним числом. В качестве целевой функции рассматривается некоторая функция )]([ xyY , имеющая смысл скалярной свертки вектора частных критериев, вид которой зави- сит от выбранной схемы компромиссов. Ее экстремизация приводит к искомому компромиссному решению. ys r О x1 xn y1 Рис. 1 114 ISSN 0572-2691 Ставится задача: выбрать схему компромиссов и определить вид функции )( yY , при котором компромиссное решение будет приемлемым для всех субъек- тов системы принятия решений. Формализация этих качественных понятий очень сложна, так как проблемы векторной оптимизации носят концептуальный характер и сложно формализуются. Метод решения С некоторыми оговорками задача оптимизации формулируется как нахожде- ние такого сочетания аргументов из области их определения, при котором целевая функция в заданной ситуации приобретает экстремальное значение: Rr xyYx o My Xx     )]([extrarg* . Решение оптимизационных задач предполагает наличие некоторой оценки качества работы системы, исходя из которой можно сказать, что одна система ра- ботает лучше, а другая — хуже, и насколько конкретно. Коренная проблема коли- чественной оценки объектов и процессов заключается в том, чтобы качественным понятиям «лучше» и «хуже» поставить в соответствие понятия «больше» и «меньше». Для определенности полагают, что, например, «лучше» означает «меньше». Тогда все частные критерии рассматриваются как подлежащие мини- мизации (или приводятся к такому виду). Если это так, то на практике, при фиксированном Rr î  и гарантированном ],1[, skMyk  , применяется выражение )].([minarg* xyYx Xx  Выбор схемы компромиссов и, следовательно, вида скалярной свертки част- ных критериев )( yY носит концептуальный характер. Чаще всего применяется аддитивная (линейная) скалярная свертка ,)( 1    s k k k A y yY где Ак — предельно допустимые значения критериев (ограничения). Принцип Ла- пласа в теории принятия решений состоит в экстремизации линейной скалярной свертки. Недостаток (специфика) применения линейной скалярной свертки — это возможность «компенсации» одного критерия за счет других. Мультипликативная свертка    s k kyyY 1 )( лишена этого недостатка. Принцип Паскаля — экстремизация мультипликативной скалярной свертки. Исторически принцип Паскаля [4] впервые изложен в работе «Pensees», из- данной в 1670 г. Считается, что эта работа положила начало всей теории принятия решений. Здесь введены два ключевых понятия теории: 1) частные критерии, ка- ждый из которых оценивает какую-либо одну сторону эффективности решения; 2) принцип оптимальности, т.е. правила, позволяющего по значениям критериев вычислить некоторую единую числовую меру эффективности решения. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 115 Логически обоснованной является схема компромиссов, при которой как предпочтительный рассматривается вектор компромиссного решения, наиболее близкий к идеальному (утопическому) вектору в критериальном пространстве (концепция Чарнза–Купера [5]). Это принцип оптимальности «поближе к утопи- ческой точке». В пространстве критериев (рис. 2) при заданных условиях и ограничениях определяется априори неизвестный идеальный вектор y id , для этого задача оптимизации решается s раз (по коли- честву частных критериев), причем ка- ждый раз с одним (очередным) крите- рием, как если бы остальных не было вовсе. Последовательность «однокри- териальных» решений исходной мно- гокритериальной задачи дает коорди- наты недостижимого идеального век- тора  s k id k id yy 1 . После этого целевая функция (скалярная свертка критериев) Y(y) вводится как мера приближения к идеальному вектору в пространстве оптимизируемых критериев в виде некоторой неотрицательной функции вектора y id – y, например, в виде квадрата евклидовой нормы этого вектора:                 s k id k k id k id id y yy y yy yY 1 2 , затем решается задача минимизации этой целевой функции. Такой подход обес- печивает достаточно полную формализацию при постановке и решении много- критериальных задач и имеет четкий физический смысл. Эта схема компромиссов позволяет получить общее для субъектов компро- миссное решение, в наибольшей мере приближающееся к утопической точке. Не- достаток такого подхода — громоздкость вычислительного процесса, так как не- обходимо решить s + 1 оптимизационных задач. А главное, приближение к иде- альной точке осуществляется лишь в обобщенном смысле, т.е. всегда имеется возможность нарушения ограничений по одной или нескольким компонентам векторного критерия. Ограничения В теории принятия решений, кроме критериев, не менее важную роль играют ограничения. Они могут накладываться как по аргументам оптимизации Xx , так и по критериям эффективности решения My . Например, при важных пере- говорах субъекты переговорного процесса устанавливают так называемые «крас- ные линии» по критериям принятия решений, приближение к которым, а тем бо- лее их нарушение, не допускается ни при каких обстоятельствах. Ограничения, наложенные на характеристики системы при тех или иных обстоятельствах, часто могут служить причиной введения того или иного кри- терия. Для иллюстрации сказанного обратимся к примеру. В обычных наземных условиях не принято оценивать качество эргатической системы по количеству (или скорости расхода) кислорода, потребляемого человеком-оператором при вы- полнении заданной работы. Совсем другое дело, когда система функционирует без контакта с «неограниченной» земной атмосферой (в космосе, под водой и т.п.). y1 y2 y2 id y1 id Рис. 2 116 ISSN 0572-2691 В этом случае ресурсы кислорода ограничены и очень важным качеством стано- вится экономичность его расхода. Отражением этого требования является вве- дение соответствующего критерия. В таких случаях можно сказать, что ограни- чение порождает критерий. Даже небольшие изменения ограничений могут существенно сказаться на решении. И уж совсем серьезные последствия можно получить, снимая одни ог- раничения и добавляя другие при той же схеме компромиссов. В 1956 г. бразиль- ские энтомологи сочли, что пчелы вырабатывают недостаточно меда. Они прове- ли скрещивание нескольких видов европейских и добавили разновидность афри- канских пчел. Гибридные пчелы, действительно, давали больше меда, были устойчивы к болезням, отлично переносили жару, но при этом они стали неверо- ятно агрессивны и очень ядовиты. От их укусов в Бразилии и на юге США погиб- ли свыше 150 человек и сотни животных, как домашних, так и диких. Поэтому существует большая опасность при формальной оптимизации сложных систем, на что обратил внимание Н. Винер в первых публикациях по кибернетике. Дело в том, что, не задав всех необходимых ограничений, мы можем одновременно с экстремизацией целевой функции получить непредвиденные и нежелательные со- путствующие эффекты. Для иллюстрации Н. Винер любил приводить английскую сказку об обезь- яньей лапке. Обладатель этого талисмана мог с его помощью выполнить любое желание. Когда он однажды пожелал получить большую сумму денег, то оказа- лось, что за это он заплатил жизнью любимого сына. Согласимся, что часто очень трудно, а иногда и просто невозможно заранее предвидеть все последствия фор- мального принятия многокритериальных решений. Мысль Н. Винера о том, что в сложных системах мы принципиально не в со- стоянии заранее определить все условия и ограничения, гарантирующие отсутст- вие нежелательных эффектов оптимизации, позволила ему сделать мрачное пред- положение о катастрофических последствиях кибернетизации общества. Тем не менее с позиций системного анализа отношение к оптимизации мож- но сформулировать так: это мощное средство повышения эффективности приня- тия решений, но использовать его следует более осторожно по мере возрастания сложности проблемы. Нелинейная схема компромиссов Учитывая фундаментальную роль ограничений в решении многокритериаль- ных задач, формулируем, в отличие от концепции Чарнза–Купера, следующий принцип оптимальности: «подальше от ограничений» [2]. В соответствии с этим принципом определяется нелинейная схема компромиссов, позволяющая полу- чить общее для субъектов компромиссное решение, в наибольшей мере удаляю- щее парциальные критерии от своих «красных линий» (ограничений). Требования к скалярной свертке критериев )]([ xyY по нелинейной схеме компромиссов: 1) «штрафовать» частные критерии за приближение к своим ограничениям; 2) быть дифференцируемой по своим аргументам. Из возможных функций, отвечающих перечисленным требованиям, выберем простейшую:    s k kkk xyAAxyY 1 1,)]([)]([ где kA — ограничения сверху на минимизируемые критерии: ,kk Ay  ].,1[ sk  Когда улучшение качества решения отражается увеличением критериев, ска- лярная свертка критериев по нелинейной схеме компромиссов имеет вид Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 117    s k kkk BxyBxyY 1 1,])([]),([ где kB — ограничения снизу на максимизируемые критерии: ].,1[, skBy kk  Минимизация целевой функции в обоих случаях приводит к общему ком- промиссному решению, в наибольшей мере удаляющему парциальным критериям от своих ограничений. Для минимизируемых критериев      s k kkk Xx xyAAx 1 1.)]([minarg* В случае максимизируемых критериев      s k kkk Xx ByBx 1 1.][minarg* Скалярная свертка по нелинейной схеме компромиссов штрафует частные критерии за приближение к своим предельным значениям. Действительно, пусть какой-либо критерий )(xym из числа ],1[ s опасно приближается к своему огра- ничению. Это значит, что в случае минимизируемых критериев стремится к нулю разность 0)]([  xyA mm и соответствующий член )(xyA A mm m  в минимизи- руемой сумме стремительно возрастает. Аналогично обстоит дело и в случае мак- симизируемых критериев при .0])([  mm Bxy При существенном возрастании )(xym и, следовательно, члена )(xyA A mm m  минимизация всей суммы сводится к минимизации только этого, наиболее «не- благополучного» члена. Это значит, что нелинейная схема компромиссов при опасном возрастании одного или нескольких минимизируемых частных критери- ев действует как минимаксная (чебышевская) модель оптимизации ).(maxminarg* ],1[ xyx k skXx   Соответственно в случае максимизируемых критериев чебышевская модель оптимизации максиминна: ).(minmaxarg* ],1[ xyx k skXx   Ситуацию, в которой частные критерии находятся в опасной близости к сво- им ограничениям, принято считать напряженной. Наоборот, если критерии далеки от ограничений, ситуация спокойная. В такой ситуации нелинейная схема ком- промиссов действует как интегральная модель оптимизации:    s k k k Xx A xy x 1 )( minarg* для минимизируемых критериев и     s k k k Xx B xy x 1 )]([ minarg* для критериев, подлежащих максимизации. 118 ISSN 0572-2691 Таким образом, нелинейная схема компромиссов адаптируется к ситуации принятия решения. Модель оптимизации варьируется от интегральной в спокой- ных ситуациях до эгалитарной (чебышевской) в напряженных ситуациях. В про- межуточных ситуациях получаются схемы компромиссов, удовлетворяющие ча- стным критериям в той мере, в какой они удалены от своих ограничений. Это зна- чит, что вместо выбора схемы компромиссов в различных ситуациях можно применять единую универсальную нелинейную схему компромиссов, автомати- чески дающую схему, адекватную данной конкретной ситуации. С этой точки зрения традиционные схемы компромиссов можно рассматри- вать как результат «линеаризации» нелинейной схемы в различных «рабочих точ- ках» — ситуациях. Этим, кстати, объясняется название предложенной нелиней- ной схемы компромиссов, так как в других отношениях она не более «нелиней- на», чем другие схемы, рассматриваемые в теории принятия решений. Подчеркнем, что адаптация нелинейной схемы к ситуации осуществляется непре- рывно, в то время как традиционный выбор схемы компромиссов делается дис- кретно, что к субъективным погрешностям добавляет еще и ошибки, связанные с квантованием схем компромиссов. Весовые коэффициенты Если лицо, принимающее решение (ЛПР), считает, что субъекты парциаль- ных систем неравноправны, то оно назначает весовые коэффициенты для частных критериев системы выработки компромиссных решений. По сути, ЛПР становит- ся единственным субъектом для данной системы. Скалярная свертка по нелиней- ной схеме компромиссов приобретает вид     s k kk s k kkkk xyAAxyY 11 1 ,1,0,)]([]),([ где s kk 1}{  — вектор весовых коэффициентов. Фундаментальным отличием свертки по нелинейной схеме от других извест- ных скалярных сверток является органическая связь с ситуацией принятия много- критериального решения. По сути, эта свертка представляет собой нелинейную функцию регрессии (линейную по параметрам  ), выбранную по физическим со- ображениям и поэтому эффективную. Коэффициенты  в выражении для нели- нейной скалярной свертки имеют смысл параметров нелинейной содержательной функции регрессии, поэтому, будучи найденными в номинальном режиме, они не изменяются от ситуации к ситуации, как в случае линейной и других известных сверток, не адаптирующихся к ситуации. Весовые коэффициенты отражают индивидуальные предпочтения ЛПР по отдельным парциальным критериям. Субъективность допустима и даже жела- тельна, если многокритериальная задача решается в интересах конкретного чело- века. Так, костюм, сшитый в ателье по индивидуальной мерке заказчика, обычно лучше костюма, купленного в магазине готовой одежды. Поэтому механизм ин- дивидуальных предпочтений достаточно интенсивно применяется в практике ре- шения многокритериальных задач. Однако субъективность в их решении допустима и желательна лишь до тех пор, пока результат предназначается для конкретных ЛПР или небольших коллек- тивов людей со сходными предпочтениями. Если же он предназначен для общего использования, то обязан быть вполне объективным, унифицированным. В этих случаях механизм индивидуальных предпочтений из методики решения много- критериальных задач должен быть исключен во избежание произвола и неодно- значности результатов решения [3]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 119 Унификация Когда результат решения многокритериальной задачи предназначается для широкого использования, он унифицируется, и индивидуальные предпочтения нивелируются по статистике; становится применим принцип недостаточного ос- нования Бернулли–Лапласа: если априорные вероятности возможных гипотез не- известны, то их следует положить равными, т.е. все гипотезы считать равноверо- ятными. В применении к многокритериальной задаче это означает, что все весо- вые коэффициенты  k, k  [1, s], в выражении для скалярной свертки частных критериев должны быть равными, если только нет никаких предварительных дан- ных о неравноценности критериев. Так, субъекты переговорного процесса обычно полагаются одинаковыми по важности (равноправными). Следовательно, при унификации необходимо принять все весовые коэффи- циенты равными:  k  1/s, k  [1, s]. Тогда       s k kkk s k kkkk xyAA s xyAAxyY 1 1 1 1 .)]([ 1 )]([]),([ Учитывая, что умножение на 1/s является монотонным преобразованием, ко- торое, по теореме Гермейера, не изменяет результатов сравнения, переходим к унифицированному выражению для скалярной свертки критериев при минимизи- руемых критериях:      s k kkk xyAAxyY 1 1.)]([ Аналогичным образом при максимизируемых критериях    s k kkk BxyBxyY 1 1.])([)]([ Эту формулу рекомендуется применять во всех случаях, когда многокрите- риальная задача решается не в интересах какого-то одного конкретного ЛПР, а для широкого использования. Дуальный подход Если же многокритериальная задача решается в интересах конкретного ЛПР, то в выражении скалярной свертки необходимо определить весовые коэффициенты k, k  [1, s], отражающие его индивидуальные предпочтения. Для определения коэффициентов  можно применять различные подходы. Наиболее обоснован- ным представляется дуальный подход [3]. Представим схему нахождения компромиссных решений для минимизируе- мых критериев в виде модели         s k kkkk Xx XxyAAx 1 1)( .,)(minarg Выбирая различные значения параметров  из допустимой области ,1,0 1             s k kkX по этой схеме получаем различные компромиссные решения x () . Задача заключается в такой организации интерактивной процедуры, чтобы последовательность генерируемых точек улучшилась с точки зрения ЛПР. 120 ISSN 0572-2691 Таким методом, основанным на сопоставлении предпочтений при специаль- но рассчитываемых альтернативах, является порядковый аналог метода симплекс- планирования [6]. Дуальная процедура начинается с нахождения первого («общего») решения при k 0 = 1/s, k  [1, s] , что соответствует унифицированной модели      s k kkk Xx xyAAx 1 1)0( .)]([minarg Полученное решение и соответствующие ему значения частных критериев предъявляются ЛПР для оценки. Если ЛПР считает, что решение x (0) его не удов- летворяет и требуется коррекция согласно его индивидуальным предпочтениям, то организуется интерактивная процедура симплекс-планирования. Напомним, что симплексом называется набор s + 1 вершин простейшей фигуры (многогран- ника) в s-мерном критериальном пространстве. В каждой вершине исходного симплекса, начиная с S0, рассчитываются ком- промиссные решения x () и соответствующие им значения частных критериев y(x () ) предъявляются ЛПР для выбора наихудшей, с его точки зрения, вершины. По идее метода симплекс-планирования значение функции полезности с большой вероятностью улучшится, если найти решение в новой точке, прямо противопо- ложной худшей вершине в смысле исходного симплекса. Механизм симплекс- планирования состоит в том, что на каждой итерации текущий симплекс заменя- ется новым: худшая вершина отбрасывается и вместо нее в набор вводится новая, получаемая зеркальным отражением худшей точки относительно центра противо- положной грани. Так получается последовательность симплексов S0, S1, S2, ... Поиск прекра- щается, когда ЛПР считает, что решения перестают существенно улучшаться. Согласно изложенному последовательность генерируемых точек )(x является улучшающейся, с точки зрения ЛПР, и сходится к наилучшему, по его мнению, решению )(  xx . Тем самым одновременно определяется вектор  , отра- жающий предпочтения данного конкретного ЛПР. Важным фактором, обусловливающим эффективность изложенного метода, представляется то, что начальная точка поиска выбирается не как произвольная точка в критериальном пространстве, а как обоснованное базовое решение, кото- рое следует лишь скорректировать в соответствии с неформальными предпочте- ниями конкретного ЛПР. Пользуясь нашей аналогией, костюм, купленный в мага- зине готовой одежды, только немного подгоняется по фигуре заказчика (если это нужно). Процесс корректировки является дуальным, он обеспечивает взаимную адаптацию: человек адаптируется к данной конкретной многокритериальной за- даче, а модель нелинейной схемы компромиссов становится отражением индиви- дуальных предпочтений данного человека. Задача определения коэффициентов  в дуальной процедуре может рассмат- риваться как задача синтеза решающего правила, которое, будучи применено формально, отражает адекватным образом логику конкретного ЛПР в любой воз- можной ситуации. Такая задача возникает, например, когда многокритериальная система работает в режиме советчика оператора в условиях дефицита времени. Здесь желательно, чтобы система в любой ситуации принимала такое же решение, как и данный оператор, если бы у него была возможность спокойно подумать. Сходные проблемы приходится решать и при разработке решающей системы ин- теллектуального робота, функционирующего в изменяющихся и неопределенных динамических средах, если хотят, чтобы он поступал так же, как на его месте по- ступил бы обучивший его человек, и т.п. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 121 Иллюстрационный пример В качестве примера использования нелинейной схемы компромиссов рас- смотрим задачу компромиссно-оптимального распределения ограниченных ре- сурсов [3]. Для выполнения двух рейсов ( n = 2) аэропорт располагает топливом общим ограниченным объемом R = 12 т (цифры условные). Минимальная по- требность первого рейса составляет min11 Br  = 2 т, второго рейса min22 Br  = 5 т, это ограничения снизу для парциальных ресурсов. Меньше выделять топливо бес- смысленно, самолеты просто не долетят до пункта назначения. Так вводятся «красные линии», пересекать которые нельзя ни при каких обстоятельствах. Ставится задача: получить аналитическое решение r* компромиссно- оптимального распределения топлива между рейсами. Задача решается посредством минимизации целевой функции    n i iii BrBrY 1 1 minmin )()( при изопериметрическом ограничении    n i i Rr 1 . Здесь )(rY — скалярная сверт- ка максимизируемых частных критериев по нелинейной схеме компромиссов. Будем решать поставленную задачу методом неопределенных множителей Лагранжа. Строим функцию Лагранжа )()()(),( 21 1 min22min2 1 min11min1 RrrBrBBrBrL   , где  — неопределенный множитель Лагранжа. Необходимое условие минимума этой функции приводит к системе уравнений: .0 ,0)( ),( ,0)( ),( 21 2 min22min2 2 2 min11min1 1          Rrr BrB r rL BrB r rL Подставляя числовые данные 012 ,0)5(5 ,0)2(2 21 2 2 2 1      rr r r и решая эту систему методом Гаусса (последовательного исключения пере- менных), получаем 1r 3,94 т, 2r 8,06 т. Поставленная задача решена в предположении, что относительная важность обоих рейсов для ЛПР одинакова. Если же нет, то в целевую функцию вводятся весовые коэффициенты 1 и 2 , отражающие индивидуальные предпочтения ЛПР. Эти коэффициенты должны быть нормированы и определены на симплексе: }]2;1[,1,0{, 2 1 21      n i iii iX . 122 ISSN 0572-2691 Заключение Преимуществом концепции нелинейной схемы компромиссов является воз- можность принятия многокритериального решения формально, без непосредст- венного участия человека. При этом на единой идейной основе решаются как за- дачи, имеющие значение для общего использования, так и те, основной содержа- тельной сущностью которых является удовлетворение индивидуальных предпочтений ЛПР. Аппарат нелинейной схемы компромиссов, разработанный как формализованный инструмент для исследования систем принятия решений и управления с противоречивыми критериями, позволяет практически решать мно- гокритериальные задачи широкого класса. А.М. Воронін КОМПРОМІСНІ РІШЕННЯ: СИСТЕМНИЙ ПІДХІД Розглянуто проблему побудови системи вироблення компромісного рішення для суб’єктів, що мають різні цілі. Проблема вирішується в рамках системного підходу. Описано процедури декомпозиції і композиції часткових критеріїв в багатокритеріальних задачах прийняття рішення. Компромісне рішення можна отримати шляхом екстремізації скалярної згортки часткових критеріїв, що ві- дображають ступінь досягнення цілей суб’єктів. Показано фундаментальну роль обмежень в оптимізаційних задачах. Описано види скалярних згорток, що застосовуються в багатокритеріальних задачах. Сформульовано концепцію не- лінійної схеми компромісів, що заснована на принципі «подалі від обмежень». Екстремізація цільової функції призводить до загального компромісного рі- шення, яке в найбільшій мірі віддаляє часткові критерії від своїх обмежень. На єдиній ідейній основі вирішуються як завдання, що мають значення для загаль- ного використання, так і ті, основною змістовною сутністю яких є задоволення індивідуальних переваг особи, що приймає рішення (ОПР). Апарат нелінійної схеми компромісів, розроблений як формалізований інструмент для досліджен- ня систем прийняття рішень і управління з суперечливими критеріями, дозво- ляє практично вирішувати багатокритеріальні задачі широкого класу. Багаток- ритеріальність — це втілення принципу додатковості в методології дослід- ження складних систем. Взагалі, одночасний опис явища (об’єкта) з декількох сторін завжди дає якісно нове, більш досконале уявлення про описуване явище (об’єкт) порівняно з будь-яким «одностороннім» описом. Так, навіть два плос- ких знімка, що утворюють стереопару, складають об’ємне зображення об’єкта, не кажучи про можливості голографії. Багатокритеріальний підхід, що дає «стереоскопічний» погляд на оцінку функціонування системи, відкриває нові шляхи для вдосконалення складних систем управління і прийняття рішень. Для цілісного сприйняття складної системи в різних умовах її роботи необхідно за- стосовувати багатокритеріальний підхід. Ключові слова: компроміс, багатокритеріальна оптимізація, системний підхід, обмеження, скалярна згортка. A.N. Voronin COMPROMISE SOLUTIONS: A SYSTEMATIC APPROACH The problem of constructing a system for developing a compromise solution for subjects with different goals is considered. The problem is solved within the framework of a systematic approach. The decomposition procedures and composition of partial criteria in multicriteria decision-making problems are described. A Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 2 123 compromise solution is obtained by extremizing the scalar convolution of partial criteria, reflecting the degree which the goals of the subjects are achieved. The fundamental role of constraints in optimization problems is shown. The types of scalar convolutions used in multicriteria problems are described. The concept of a nonlinear compromise scheme is formulated, based on the principle «away from restrictions». Extremization of the objective function leads to a general compromise solution, which to the greatest extent removes partial criteria from its limitations. On a single ideological basis, both tasks that are important for general use and those whose main substantive essence is the satisfaction of the individual preferences of the decision maker (DM) are solved. The apparatus of a nonlinear compromise scheme, designed as a formalized tool for studying decision-making and control systems with conflicting criteria, allows one to practically solve multicriteria problems of a wide class. Multicriteria is the embodiment of the principle of complementarity in the methodology of the study of complex systems. In general, the simultaneous description of a phenomenon (object) from several sides always gives a qualitatively new, more perfect idea of the described phenomenon (object) in comparison with any «one-sided» description. So, even two flat images forming a stereo pair make up a three-dimensional image of an object, not to mention the possibilities of holography. A multi-criteria approach, giving a “stereoscopic” look at assessing the functioning of the system, opens up new paths for improving complex control systems and decision making. For a holistic perception of a complex system in different conditions of its operation, it is necessary to apply a multi-criteria approach. Keywords: compromise, multicriteria optimization, system approach, restrictions, scalar convolution. 1. Волошин О.Ф., Мащенко О.С. Моделі та методи прийняття рішень. Київ: Вид-во «Київсь- кий університет», 2010. 330 с. 2. Voronin Albert N.. Optimization problem: systemic approach. Handbook of research on social and organizational dynamics in the digital era, IGI Global, USA. 2019. P. 276–291. 3. Воронин А.Н., Зиатдинов Ю.К., Куклинский М.В. Многокритериальные решения: Модели и методы. Киев: НАУ, 2011. 348 с. 4. Перегудов Ф.И. Введение в системный анализ. М. : Радио и связь, 1989. 320 с. 5. Charnes A., Cooper W. Management models and industrial applications of linear programming. New York: Wiley, 1961. 240 p. 6. Voronin A. Multicriteria decision-making: systemic approach. LAMBERT Academic Publishing. Deutschland : Saarbrucken. 2014. 139 p. Получено 23.09.2019 После доработки 28.11.2019

О гарантированном результате в игровых задачах сближения управляемых объектов

Institution

Ähnliche Einträge