Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии

Розроблено алгоритм оптимізації маневру малої зміни кута нахилу еліптичної орбіти міжорбітального транспортного апарата (МТА) з рушійною системою обмеженої потужності і акумулятором енергії. Мета оптимізації — максимізація маси корисного навантаження при заданій початковій масі МТА. Рух МТА моделюєт...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Ткаченко, Я.В., Васильев, И.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Космические информационные технологии и системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208725
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии / Я.В. Ткаченко, И.Ю. Васильев // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 3. — С. 93-107. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208725
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2087252025-11-05T01:02:57Z Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии Оптимізація маневру малої зміни кута нахилу орбіти міжорбітального транспортного апарата з рушійною системою обмеженої потужності і акумулятором енергії Optimization of a maneuver of a small change of an orbit inclination angle of the interorbital transport vehicle with a propulsion system of limited power and energy accumulator Ткаченко, Я.В. Васильев, И.Ю. Космические информационные технологии и системы Розроблено алгоритм оптимізації маневру малої зміни кута нахилу еліптичної орбіти міжорбітального транспортного апарата (МТА) з рушійною системою обмеженої потужності і акумулятором енергії. Мета оптимізації — максимізація маси корисного навантаження при заданій початковій масі МТА. Рух МТА моделюється рухом матеріальної точки змінної маси під дією сильного сферичного гравітаційного поля та тяги, що генерується рушійною системою. Початкова маса МТА складається з маси рушійної системи, маси робочої речовини, необхідної для виконання маневру, та маси корисного навантаження. В свою чергу, маса рушійної системи складається з мас двигуна, джерела енергії та акумулятора енергії. При формулюванні задачі оптимального керування використано модель ідеально керованої рушійної системи. Приймаючи до уваги малість вектора реактивного прискорення та малість приросту кута нахилу, проведено лінеаризацію рівнянь руху МТА в оскулюючих змінних. Оптимальні програми вектора реактивного прискорення побудовані з використанням методу Гамкрелідзе (розповсюдження принципу максимума Понтрягіна на задачі з фазовими обмеженнями). Лінеаризовані рівняння руху проінтегровано в елементарних функціях. Отримано аналітичні вирази для опису оптимальних режимів роботи рушійної системи. Сформульована задача оптимального керування з квадратичним критерієм оптимальності зведена до задачі пошуку мінімуму функції трьох змінних. Пошук мінімуму здійснено за допомогою чисельних методів. Показано, що існують інтервали значень питомої маси акумулятора енергії, на яких застосування акумулятора енергії в складі рушійної системи дозволяє збільшити масу корисного навантаження МТА, а отже використання акумулятора енергії в складі рушійної системи МТА має сенс. На цих інтервалах наведено оптимальні залежності між питомими характеристиками рушійної системи. An algorithm for optimizing the maneuver of inclination small change of an elliptical orbit of an orbital transport vehicle (OTV) with a bounded-power propulsion system and an energy accumulator is developed. The goal of optimization is to maximize the payload mass for a given initial OTV mass. The movement of the OTV is modeled by the movement of variable mass particle under the action of a strong spherical gravitational field and thrust generated by the propulsion system. The initial mass of the OTV consists of the mass of the propulsion system, the mass of the working substance necessary to perform the maneuver, and the mass of the payload. In turn, the mass of the propulsion system consists of the masses of the engine, an energy source and an energy accumulator. In formulating the optimal control problem, a model of ideally controlled propulsion system is used. Taking into account the smallness of the jet acceleration vector and the smallness of the increment of the inclination, the equations of motion of the OTV in the osculating variables are linearized. The optimal programs of the reactive acceleration vector are constructed using the Gamkrelidze method (extending the Pontryagin maximum principle to problems with phase constraints). The linearized equations of motion are integrated in elementary functions. Analytical expressions are obtained to describe the optimal operating modes of the propulsion system. The formulated optimal control problem with a quadratic optimality criterion is reduced to the problem of finding the minimum of the function of three variables. The search for the minimum was carried out using numerical methods. It is shown that there are intervals of values of the specific mass of the energy accumulator at which the using of the energy accumulator as part of the propulsion system makes it possible to increase the mass of the OTV payload, and therefore the using of the energy accumulator as part of the OTV propulsion system makes sense. At these intervals, the optimal dependencies between the specific characteristics of the propulsion system are given. 2020 Article Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии / Я.В. Ткаченко, И.Ю. Васильев // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 3. — С. 93-107. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208725 629.7.076.6 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i6.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы
spellingShingle	Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы Ткаченко, Я.В. Васильев, И.Ю. Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии Проблемы управления и информатики
description	Розроблено алгоритм оптимізації маневру малої зміни кута нахилу еліптичної орбіти міжорбітального транспортного апарата (МТА) з рушійною системою обмеженої потужності і акумулятором енергії. Мета оптимізації — максимізація маси корисного навантаження при заданій початковій масі МТА. Рух МТА моделюється рухом матеріальної точки змінної маси під дією сильного сферичного гравітаційного поля та тяги, що генерується рушійною системою. Початкова маса МТА складається з маси рушійної системи, маси робочої речовини, необхідної для виконання маневру, та маси корисного навантаження. В свою чергу, маса рушійної системи складається з мас двигуна, джерела енергії та акумулятора енергії. При формулюванні задачі оптимального керування використано модель ідеально керованої рушійної системи. Приймаючи до уваги малість вектора реактивного прискорення та малість приросту кута нахилу, проведено лінеаризацію рівнянь руху МТА в оскулюючих змінних. Оптимальні програми вектора реактивного прискорення побудовані з використанням методу Гамкрелідзе (розповсюдження принципу максимума Понтрягіна на задачі з фазовими обмеженнями). Лінеаризовані рівняння руху проінтегровано в елементарних функціях. Отримано аналітичні вирази для опису оптимальних режимів роботи рушійної системи. Сформульована задача оптимального керування з квадратичним критерієм оптимальності зведена до задачі пошуку мінімуму функції трьох змінних. Пошук мінімуму здійснено за допомогою чисельних методів. Показано, що існують інтервали значень питомої маси акумулятора енергії, на яких застосування акумулятора енергії в складі рушійної системи дозволяє збільшити масу корисного навантаження МТА, а отже використання акумулятора енергії в складі рушійної системи МТА має сенс. На цих інтервалах наведено оптимальні залежності між питомими характеристиками рушійної системи.
format	Article
author	Ткаченко, Я.В. Васильев, И.Ю.
author_facet	Ткаченко, Я.В. Васильев, И.Ю.
author_sort	Ткаченко, Я.В.
title	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
title_short	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
title_full	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
title_fullStr	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
title_full_unstemmed	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
title_sort	оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Космические информационные технологии и системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208725
citation_txt	Оптимизация маневра малого изменения угла наклонения орбиты межорбитального транспортного аппарата с двигательной системой ограниченной мощности и аккумулятором энергии / Я.В. Ткаченко, И.Ю. Васильев // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 3. — С. 93-107. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT tkačenkoâv optimizaciâmanevramalogoizmeneniâuglanakloneniâorbitymežorbitalʹnogotransportnogoapparatasdvigatelʹnojsistemojograničennojmoŝnostiiakkumulâtoroménergii AT vasilʹeviû optimizaciâmanevramalogoizmeneniâuglanakloneniâorbitymežorbitalʹnogotransportnogoapparatasdvigatelʹnojsistemojograničennojmoŝnostiiakkumulâtoroménergii AT tkačenkoâv optimízacíâmanevrumaloízmínikutanahiluorbítimížorbítalʹnogotransportnogoaparatazrušíjnoûsistemoûobmeženoípotužnostííakumulâtoromenergíí AT vasilʹeviû optimízacíâmanevrumaloízmínikutanahiluorbítimížorbítalʹnogotransportnogoaparatazrušíjnoûsistemoûobmeženoípotužnostííakumulâtoromenergíí AT tkačenkoâv optimizationofamaneuverofasmallchangeofanorbitinclinationangleoftheinterorbitaltransportvehiclewithapropulsionsystemoflimitedpowerandenergyaccumulator AT vasilʹeviû optimizationofamaneuverofasmallchangeofanorbitinclinationangleoftheinterorbitaltransportvehiclewithapropulsionsystemoflimitedpowerandenergyaccumulator
first_indexed	2025-11-05T02:14:10Z
last_indexed	2025-11-06T02:09:57Z
_version_	1848005096853471232
fulltext	© Я.В. ТКАЧЕНКО, И.Ю. ВАСИЛЬЕВ, 2020 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 93 УДК 629.7.076.6 Я.В. Ткаченко, И.Ю. Васильев ОПТИМИЗАЦИЯ МАНЕВРА МАЛОГО ИЗМЕНЕНИЯ УГЛА НАКЛОНЕНИЯ ОРБИТЫ МЕЖОРБИТАЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО АППАРАТА С ДВИГАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ И АККУМУЛЯТОРОМ ЭНЕРГИИ Ключевые слова: оптимальная траектория, межорбитальный транспорт- ный аппарат, аккумулятор энергии. Введение В работах [1, 2] приведен метод построения оптимальных траекторий пе- релетов между произвольными эллиптическими орбитами для межорбиталь- ного транспортного аппарата (МТА) с классической идеально регулируемой двигательной системой (двигательной системой без аккумулятора энергии). Указанный метод базируется на решении задачи об оптимальном переходе между близкими орбитами в течение одного витка вокруг гравитационного центра. В работах [3, 4] исследованы оптимальные элементарные эллиптиче- ские маневры МТА с двигательной системой постоянной мощности и акку- мулятором энергии. Под элементарным понимается маневр малого изменения одного из орбитальных параметров исходной орбиты за один виток. В [1] по- казана чрезвычайно низкая эффективность использования аккумулятора энер- гии в составе двигательной системы постоянной мощности при доставке по- лезного груза с низкой монтажной орбиты на орбиты, близкие к геостацио- нарным. В [5] на примере маневрирования между близкими круговыми орбитами показано, что включение аккумулятора энергии в состав двигатель- ной системы ограниченной мощности позволяет более эффективно использо- вать аккумулятор по сравнению с его включением в двигательную систему постоянной мощности. Поэтому имеет смысл найти решение задачи об опти- мальных элементарных маневрах МТА с двигательной системой ограничен- ной мощности, в состав которой включен аккумулятор энергии. В настоящей работе исследован элементарный маневр изменения угла наклонения эллип- тической орбиты. Общая постановка задачи Движение МТА моделируем движением материальной точки переменной массы с начальной массой ,0M которая состоит из массы полезной нагрузки ,πM массы рабочего тела, необходимого для выполнения заданного межор- битального перелета FM и массы двигательной системы .M Тогда задача о максимизации полезной нагрузки, перемещаемой из заданной начальной точ- ки фазового пространства координат-скоростей },{ ii vr в заданную конечную точку },{ ff vr за фиксированное время ,T формулируется следующим об- разом: 94 ISSN 0572-2691 ,)(,)0(, ,)(,)0(, max,)(,)0(, 0 fiRe fi T T MTMMMMqM vvvvWWv rrrrvr ==+= === →−==−=     (1) где M — текущая масса МТА, q — массовый расход рабочего тела, eW — вектор реактивного ускорения от тяги двигательной системы, RW — уско- рение от действия внешних сил. Двигательная система МТА включает в себя источник энергии массой ,M обеспечивающий энергопитание двигателя, двигатель массой ,M генерирующий тягу путем разгона рабочего тела за счет подведенной к нему энергии, и аккумулятор энергии массой ,eM кото- рый позволяет перераспределять энергию источника в соответствии с требу- емым уровнем реактивного ускорения. Более детальное описание идеи включения аккумулятора энергии в двигательную систему МТА приведено в [3–6]. Для описания работы двигательной системы используем модель идеально ре- гулируемой двигательной системы ограниченной мощности [5, 6]. Эта модель предполагает, что мощность источника энергии N ограничена сверху величиной ,0N текущая потребляемая двигателем мощность ΓN ограничена сверху величи- ной ,0Nn а текущий запас энергии аккумулятора aE — его энергоемкостью .max aE Ограничения на тягу сверху не накладываются, текущие мощности и реак- тивное ускорение принимаются независимыми управлениями, массы источника энергии и двигателя пропорциональны их максимальным мощностям, а масса ак- кумулятора энергии пропорциональна его энергоемкости: .,, max 00 ae EMNnMNM ===  (2) При этом текущий расход рабочего тела вычисляется по формуле ].;0[, 2 0 22 NnN N M q e   = W (3) Систему (1) следует дополнить уравнением, описывающим изменение энергии в аккумуляторе: ].;0[ ,)(,)0(, max 0 aa T aaaaea EE ETEEENE  ==−= (4) Аккумулятор заряжается от источника мощности, поэтому максимальная ско- рость зарядки происходит при ,0NNe −= а при разрядке наколенная энергия аккумулятора и энергия источника направлены в двигатель, и соответственно .ΓNNNe =+ Таким образом, формула (3) принимает вид )].1(;[],;0[, )(2 000 22 −− + = nNNNNN NN M q e e eW (5) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 95 Положение центра масс МТА в пространстве удобно описывать с помощью орби- тальных параметров: натурального логарифма углового момента )1(ln 2ea −= a( — большая полуось), эксцентриситета ,e углового расстояния перицентра до узла  , угла наклонения ,I долготы восходящего узла Ω и эксцентрической аномалии .E При этом безразмерные уравнения движения центра масс МТА в сферическом гравитационном поле под действием тяги двигательной системы имеют вид [7] ,3,1,5,1,exp ,exp 3 1 660 3 1 ==+= =   = = kjwFF dt dE wF dt dx k ekk k ekjk j (6) где jx — компоненты вектора ,]Ω,,,,[ TIex =  kw — компоненты вектора ре- активного ускорения, а функции ijF определяются по формулам: ;sin )cos1(1 cos2 ; )cos1( cos ;0; cos1 cos cos ; cos1 sin 1;0; 1 cos1 ;0 2 2 3231 2322 2 211321211 E Eeee Eee F Eee eE F F Ee eE EF Ee E eFF e Ee FF −− −− = − − −= = − − += − −== − − == ; cos 1 ;0;sin 1 sin )(cos 1 cos ;0;sin 1 cos )(cos 1 sin ctg 33535251 2243 4241 2233 F I FFFE e eE e F FFE e eE e IF −=== −  −− −  = ==         −  +− −  −= (7) .0;sin )cos1( cos2 ; 1 1 1 )cos1( cos ; )cos1)(3(exp )1( 6362 2 61 2/32 60 = − − −= −       − − − = − − = FE Eee Ee F eEee eE F Ee e F Уравнения (6) и соотношения (7) приведены к безразмерной форме введением ха- рактерного расстояния r и характерного времени KrT /3 * = K( — гравита- ционная постоянная центрального тела), равного деленному на 2 периоду обра- щения по круговой орбите радиусом .r Для обезразмеривания первого уравнения из (1) и уравнения (4) введем характерную массу ,M характерную мощность N и характерную энергоемкость ,aE которые примем равными .,, max 00* aa EENNMM === (8) 96 ISSN 0572-2691 Безразмерные значения масс, мощностей и текущего запаса энергии обозначены строчными символами. Тогда с учетом соотношений (2) оптимальные массы со- ставляющих двигательной системы и оптимальная масса полезной нагрузки опре- деляются по формулам , 2 , 1 )( ,)1( , 1 )( , 1 )( 3 * 2 2 ee B eeB ee B ee B ee J T r n mm n n m n m  = ++ − =−= ++ − = ++ − =        (9) где .)1(,/,/ 0 2  + ++===  T e e BeeB dt nn nJmm w Уравнение (4) в безразмер- ной форме имеет вид ],1;1[],1;0[ ,)(,)0(, 0 −− ==   −= nne eTeeene ea T aaaae B a (10) где ./ = T Из формул (9) следует, что масса полезной нагрузки возрастает с уменьшением функционала .eJ Таким образом, в силу (6) и (10) задача максими- зации массы полезной нагрузки при межорбитальном переходе сводится к нахож- дению оптимальных программ компонент реактивного ускорения ,ekw мощно- стей n и ,en а также оптимальных значениях параметров B и n из задачи оп- тимального управления: ,3,1,5,1],1;1[],1;0[ ,)0(,exp ,)(,)0(,exp ,)(,)0(, min,)1( 0 3 1 660 3 1 0 0 2 ==−− =+= === ==   −= → + ++=  = =     kjnne EEwFF dt dE xTxxxwF dt dx eTeeene dt nn nJ ea k ekk f jj i jj k ekjk j T aaaae B a T e e Be  w (11) где i jx и f jx — компоненты векторов ],,,,[ iiiiii Ie =x и =f x ],,,,,[ fffff Ie = которые состоят из значений орбитальных параметров начальной и конечной орбит, 0E — начальная эксцентрическая аномалия, по- ложение на конечной орбите не фиксируется. Задача (11) представляет собой нелинейную задачу оптимального управления с фазовыми ограничениями. В общем случае получить даже численное решение этой задачи маловероятно [1, 3–5]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 97 Оптимальные управления линеаризированной задачи Пусть за один виток вектор орбитальных параметров ix получил задан- ное приращение ].,,,,[  = IeΔ Принимая во внимание малость реак- тивного ускорения (рассматриваем двигательные системы малой тяги), мо- жем утверждать, что компоненты вектора Δ будут малыми величинами. Вве- дем новый вектор ,ixxy −= который по определению является малым. Известно [8], что в линейной постановке дифференциалы времени и эксцен- трической аномалии связаны соотношением .1 60 dEFdt −= Этот факт позволяет перейти от независимой переменной t к независимой переменной .E Тогда для перелетов за один виток задача (11) после линеаризации и перехода к не- зависимой переменной E примет вид ,3,1,5,1],1;1[],1;0[ ,)2(,0)(,),(),( ,5,0)2(,5,0)(,),(ˆ min,),(ˆ)1( 00 3 1 00 2 2 3 2 2 2 1 0 0 ==−− =+== =+=   −= → + ++ ++=  = +    kjnne EyEywEFEF dE dy EeEenEF dE de dEEF nn www nJ ea jjj k ek i jk i E j aae B i E a E E i E e eee Be xx x x (12) где ).,(/1),(ˆ),,(/)(exp),( 6060 ii E iii E EFEFEFEF xxxx == Начальное и конеч- ное значения количества энергии, накопленной в аккумуляторе, как и в рабо- тах [3–5], приняты равными .5,0 Задача (12) представляет собой задачу опти- мального управления с фазовыми ограничениями. Фазовая координата ae ограничена отрезком ].1;0[ Согласно методу Гамкрелидзе [9] участки опти- мальной фазовой траектории, принадлежащие открытому ядру ),10(  ae удовлетворяют принципу максимума Понтрягина. Следуя процедуре принци- па максимума, составим гамильтониан + + ++ −= ),(ˆ 2 3 2 2 2 1 i E e eee EF nn www bH x ,),(ˆ),(),( 6 5 1 3 1 e B e i E l k ek i lkel i E nEFwEFEF   −+   = = xxx (13) где ),1( ++= nb B а ,6,1, = lel — присоединенные функции. Как следует из (13), функция H не зависит от фазовых переменных задачи (12), поэтому ,5,1, = lel будут константами, а функция 6e будет кусочно-постоянной со скачками в точках выхода фазовой координаты ae на ограничения 0=ae или .1=ae Из условия максимума гамильтониана (13) по управлениям ,, 21 ee ww nwe ,3 и en находим: 98 ISSN 0572-2691 ,0)( , , , ,1 ,1 6 222 2 2 1    −++          = = = −= =  B eCCCC Ce Ce Ce e CBAb Cw Bw Aw nn n (14) ,0)( ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 6 222 3 2 1    −++          = = = −= = B eCCCC e e e e CBAb w w w n n (15) где ./)1( , 2 ),(),(),( )(exp , 2 ),(),(),( )(exp , 2 ),(),( )exp( 535434333 323222121 313212 ++= ++ = ++ = + = nb b EFEFEF C b EFEFEF B b EFEF A BC C i e i e i ei C C i e i e i ei C C i e i ei C xxx xxx xx (16) Согласно упомянутому выше методу Гамкрелидзе оптимальные управления при движении по граничным участкам траектории 1=ae и 0=ae определяются по формулам ,0,)( ~ )( ,1,)( ~ )( , , , ,0 ,1 26 222 16 222 2 2 1 =   =   −++ =   −=   −++          = = = = = a BB e a BB e e e e e etCBAb etCBAb Cw Bw Aw n n (17) где .1 , 2 ),(),(),( )(exp , 2 ),(),(),( )(exp , 2 ),(),( )(exp 535434333 323222121 313212 ++= ++ = ++ = + = nb b EFEFEF C b EFEFEF B b EFEF A B i e i e i ei i e i e i ei i e i ei xxx xxx xx (18) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 99 В формулах (17) )(),( 21 tt  — кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие невоз- растающие функции. В точках выхода на ограничения соблюдаются условия скачка: .,1, ~ 66 ppee np =+= (19) Здесь pn — количество выходов фазовой траектории на указанные выше огра- ничения. Таким образом, оптимальная траектория состоит из участков следующих типов. Активный участок, при котором происходит разрядка аккумулятора, накопленная энергия вместе с энергией источника направлена в двигатель, а оптимальные управления определяются по формулам (14), причем .10  ae Пассивный участок, при котором двигатель отключается, реактивное ускоре- ние равно 0, и вся энергия источника направлена на зарядку аккумулятора (оптимальные управления определяются по формулам (15)). И, наконец, ак- тивный граничный участок при полностью заряженном или разряженном ак- кумуляторе, когда энергоснабжение двигателя производится только от источ- ника энергии (оптимальные управления определяются по формулам (17)). Поскольку в общем случае количество выходов фазовой траектории на фазовые ограничения неизвестно, дальнейшее решение задачи возможно для конкретных классов маневров. Поворот плоскости орбиты Рассмотрим класс маневров по малому изменению угла наклонения началь- ных орбит, у которых .0=i Начальное значение эксцентрической аномалии равно 0, а конечное — .2 Как и в работах [3, 4], распределение активных, пас- сивных и активных граничных участков вдоль траектории перехода выбираем в соответствии с уровнем оптимального реактивного ускорения для этого перехода МТА с двигательной системой без аккумулятора энергии. Эти программы модуля оптимального реактивного ускорения при различных эксцентриситетах начальной орбиты приведены на рис. 1. 0 1 2 3 4 5 6 E 0,5 0 1,5 1 2,5 2 W ×10 –3 e i =0,1 e i =0,5 e i =0,4 e i = 0,2 e i = 0,3 Рис. 1 Как видно из рис. 1, функции )(Ew симметричны относительно прямой =E и имеют три локальных максимума в точках ,0=E =E и ,2=E причем 100 ISSN 0572-2691 ).()2()0( = www Принимая во внимание результаты работ [3, 4], можем утверждать, что в зависимости от заданных величин ,,ie имеет место одна из двух последовательностей активных (разрядка аккумулятора), пассивных (зарядка аккумулятора) и активных граничных (движение с полностью разря- женным )0( =ae или заряженных )1( =ae аккумулятором) участков траекто- рии. Схематически эти последовательности изображены на рис. 2 и рис. 3. 0 E 0,5 0 1 1 ae− ae ae )1( 1E )1( 2E )1( 3E )1( 4E  )1( 5E )1( 6E  )1(  )1( 2 )1( 1 )1( 1 )1( 2 )1(  Рис. 2 0 E 0,5 0 1 ae )2( 1E )2( 2E )2( 3E )2( 4E  )2( 5E )2( 6E  )2(  )2( 3 )2( 2 )2( 1 )2( 3 )2(  )2( 7E )2( 8E )2( 1 )2( 2 Рис. 3 На этих рисунках )2( 1 )2()1( 1 )1( ,,,  — длительности активных участков траек- тории, )2( 3 )2( 2 )1( 2 ,,  — длительности активных граничных участков траекто- рии, которые подлежат определению из условия минимума функционала .eJ Пусть )1( eJ — функционал, который соответствует первой последовательно- сти (см. рис. 2), а )2( eJ — функционал, соответствующий второй последова- тельности (см. рис. 3). Таким образом, оптимальное значение функционала eJ и оптимальная последовательность активных, пассивных и активных гранич- ных участков траектории определяются из условия }.,{min )2()1( eee JJJ = (20) Введем функции ),,,( 21akt bnzzD  и ),,,,( 21pas bnzzD  которые описывают изменение количества энергии в аккумуляторе на произвольном интервале ];[ 21 zzE  для активного и пассивного участков траектории. Проинтегрируем уравнение для фазовой координаты ae из (12) на указанном интервале. Принимая во внимание (7), (14) и (15), получаем: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 101 )),sin(sin( ˆ ),,,( )),sin(sin( )1(ˆ ),,,( 211221pas 122121akt zzezz A nzzD zzezz nA nzzD i B B i B B −+−   = −+−  − =    (21) где .)1(/)3exp(ˆ 3ii eA −= При 0=i симметричность программ оптимального реактивного ускорения для задачи без аккумулятора энергии относительно =E позволяет принять за- висимости )(Eea симметричными относительно .=E Определим функционал .)1( eJ Как следует из рис. 2, .2,, ,,, )1()1( 6 )1( 2 )1( 1 )1( 5 )1( 1 )1( 4 )1( 1 )1( 3 )1( 2 )1( 1 )1( 2 )1()1( 1 −=++=+= −=−−== EEE EEE На пассивном участке траектории ];[ )1( 2 )1( 1 EEE  заряд энергии аккумулятора полу- чит приращение, равное .1 * ae− Очевидно, что ).,,,0(5,0)( )1()1(* Baktaa nDee +==  На активном участке ];[ )1( 3  EE заряд энергии аккумулятора получит прира- щение, равное .5,0− Таким образом, систему уравнений для определения )1( n и )1( B запишем ).,,,0(5,0),,,( ,5,0),,,( )1()1()1()1()1()1( 2 )1( 1 )1( )1()1()1( 1 BaktBpas Bakt nDnD nD −=−− −=−   (22) Решив систему (22) относительно )1( n и , )1( B найдем . )sin(sin )))(sin(sin)(sin(ˆ2 , )sin(sin ))(sin(sin )1()1( 1 )1( 1 )1( )1( 2 )1( 1 )1()1( 2 )1( 1 )1()1( 1 )1( 1)1( )1()1( 1 )1( 1 )1( )1( 2 )1( 1 )1( 1 )1( 2)1( −+− +−+−−−+ = −+− +−+− = i ii B i i e eeA e e n (23) Для рассматриваемой первой последовательности активных, пассивных и гра- ничных участков оптимальные управления определяются: формулами (14) при ]2;[];[];0[ )1( 6 )1( 4 )1( 3 )1( 1  EEEEE (активные участки траектории); формула- ми (15) при ];[];[ )1( 6 )1( 5 )1( 2 )1( 1 EEEEE  (пассивные участки траектории); фор- мулами (17) при ];[];[ )1( 5 )1( 4 )1( 3 )1( 2 EEEEE  (активные граничные участки тра- ектории). Проинтегрировав уравнения движения и подынтегральную функцию функционала eJ из (12), получим систему линейных алгебраических уравне- ний для определения неизвестных ,5,1, )1( = iei и формулу для определения функционала :)1( eJ 102 ISSN 0572-2691 ,2/)( , )1()1( )1( 1 Δλ ΔλΘ = = ee e J (24) где матрица Θ определяется следующим образом: , 00),(00 00),(00 00),(),(),( 000),(),( 000),(0 , 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 53 43 333231 2221 12 2 TT TT 0 T 1 )1( 6 )1( 5 )1( 4 )1( 4 )1( 3 )1( 3 )1( 2 )1( 1                       = ++ +++=    i i iii ii i E C i E E E i E E E C i E E E i E E C i E EF EF EFEFEF EFEF EF dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF x x xxx xx x F FFxFFx FFxFFxFFx Θ (25) где .1,/)1( )1()1()1()1(  ++=++= nbnb BBC Так как рассматриваем маневр изме- нения угла наклонения орбиты, то ],0,,0,0,0[ I=Δ и соответственно из (24) следует .2/Δ )1( 4 )1( IeeJ = (26) Принимая во внимание (14)–(18) и (14)–(25), можем утверждать, что функци- онал )1( eJ является функцией переменных ,,, )1( 2 )1( 1 )1(  минимум которой нахо- дим с помощью численных методов. Теперь перейдем к определению .)2( eJ В этом случае .2,2,, ,,,, )2()2( 8 )2( 3 )2()2( 7 )2( 2 )2( 1 )2( 6 )2( 1 )2( 5 )2( 1 )2( 4 )2( 2 )2( 1 )2( 3 )2( 3 )2()2( 2 )2()2( 1 −=−−=++=+= −=−−=+== EEEE EEEE Аналог системы (22) получим из условия равенства приращений величины ae на пассивном участке ];[ )2( 3 )2( 2 EEE  и активном — ];[ )2( 4  EE 1 и 5,0− соответ- ственно (см. рис. 3) .1),,,( ,5,0),,,( )2()2()2( 2 )2( 1 )2( 3 )2( )2()2()2( 1 =−−+ −=−   Bpas Bakt nD nD (27) Система линейных алгебраических уравнений (27) относительно )2()2( , Bn  имеет решение Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 103 ))).(sin)((sin(ˆ , )sin(sin ))(sinsin2)((sin )2( 2 )2( 1 )2( 3 )2()2( 3 )2( 2 )2( 1 )2()2( )2()2( 1 )2( 1 )2( )2( 3 )2()2( 1 )2( 2 )2( 1 )2( 3 )2( 2 )2( 1 )2( )2( +−++−−−−= −+− +−−+−−−+− = i B i i eA e e n (28) Интегрируя уравнения движения и подынтегральную функцию функционала eJ в (12) согласно последовательности активных, пассивных и граничных участков, указанной на рис. 3, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения вектора )2( eλ и выражение для :)2( eJ , 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ 2 ),( ~ ,2/)( , 2T TTT T 0 T 2 )2()2( )2( 2 )2( 8 )2( 8 )2( 7 )2( 6 )2( 5 )2( 5 )2( 4 )2( 4 )2( 3 )2( 2 )2( 1 )2( 1     ++ ++++ ++= = = E C Ti E E E i E E E i E E E C i E E E i E E E i E E C i E ee e dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF dE b EF J FFxFFx FFxFFxFFx FFxFFx Θ Δλ ΔλΘ (29) где ,1,/)1( )2()2()2()2(  ++=++= nbnb BBC а матрица F определяется из (25). Как и для первого случая, справедливо .2/Δ )2( 4 )2( IeeJ = (30) Из формул (14)–(18) и (28)–(30) следует, что функционал )2( eJ является функцией переменных .,,, )2( 3 )2( 2 )2( 1 )2(  Однако благодаря тому, что прираще- ния запаса энергии аккумулятора на участках ];0[ )2( 1EE  и ];[ )2( 4  EE рав- ны, переменные )2( и )2( 1 связаны между собой (см. рис. 3) алгебраическим соотношением ).,,,(),,,0( )2()2()2( 1 )2()2()2( BaktBakt nDnD −=  Поэтому )2( eJ является функцией трех независимых переменных ,,, )2( 3 )2( 2 )2( 1  поиск мини- мума которой осуществляется с помощью численных методов. Теперь, используя выражения (26) и (30), из условия (20) определяем соот- ветствующую последовательность участков траектории, значения функционала eJ и величин ,4e ,B .n Включать аккумулятор энергии в состав двигательной системы имеет смысл при выполнении условия ,1/ JJe которое указывает на то, что это включение позволяет увеличить массу полезной нагрузки при выполнении за- данного динамического маневра по сравнению со случаем использования тра- диционной двигательной системы. 104 ISSN 0572-2691 Здесь J — значение функционала, полученное при оптимизации такого же динамического маневра МТА с двигательной системой без аккумулятора энергии. В этом случае задача оптимального управления записывается следу- ющим образом [3]: .3,1,5,1],1;0[ ,)2(,0)(,),(),( min,),(ˆ)1( 00 3 1 2 0 2 3 2 2 2 1 == =+== → ++ +=   =  kjn EyEywEFEF dE dy dEEF n www J jjj k k i jk i E j i Ee xx x (31) Задача (31) имеет решение . )1(2 ),( ~ ,2/)( , , )1(2 ),(),(),( )(exp , )1(2 ),(),(),( )(exp , )1(2 ),(),( )(exp 1 2 0 T 535434333 3 323222121 2 313212 1   + = = = + ++ = + ++ = + + = = dE EF J EFEFEF w EFEFEF w EFEF w n i E iii i iii i ii i FFx Θ Δλ ΔΘλ xxx xxx xx (32) Результаты численных исследований Рассмотрим начальную орбиту, у которой угловое расстояние перицентра до узла и долгота восходящего узла равны нулю .0Ω == ii Угол наклонения начальной орбиты положим равным .3/=iI Характерное расстояние * r выбе- рем равным радиусу перицентра начальной орбиты, тогда .1ln ii e+= Просле- дим эффективность использования аккумулятора энергии в зависимости от значе- ния параметра  для ряда значений эксцентриситета начальной орбиты ie при выполнении маневра изменения угла наклонения орбиты на величину 01,0Δ =i за один виток. На рис. 4 приведены графики зависимостей JJe /)( на интервалах целесообразности использования накопителя энергии в составе двигательной си- стемы. Поведение оптимальных параметров двигательной системы ,n B про- иллюстрировано на рис. 5 и рис. 6. Кривые, изображенные на рис. 4–6, свидетельствуют о том, что существует такое значение ),(max ie= при котором оптимальная масса аккумулятора равна Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 105 нулю );0/( == mmeB 1=n — оптимальная мощность источника равна опти- мальной мощности двигателя (вся вырабатываемая источником энергия направлена в двигатель); JJe = — отсутствует выигрыш по полезной массе МТА, т.е. оптимальной становится классическая двигательная система без аккумулятора энергии. Сравнивая данные результаты с результатами, полу- ченными для двигательной системы постоянной мощности [3, 4], можем утверждать, что использование накопителя энергии предпочтительней для двигательных систем ограниченной мощности по сравнению с двигательными системами постоянной мощности. На рис. 7 показано, какая из последова- тельностей активных, активных граничных и пассивных участков траектории оптимальна; 1 соответствует первой последовательности (см. рис. 2), а 2 — второй последовательности (см. рис. 3). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 6  e i =0,1 e i =0,5 e i =0,4 e i =0,2 1 2 3 4 5  8 7 e i =0,1 e i =0,2 Рис. 5 0 0,2 0,4  e i =0,1 1 1,5 2 e i =0,3 e i =0,5 e i =0,2 0 0,2 0,4  1 1,5 2 0 0,2 0,4  1 1,5 2 0 0,2 0,4  1 1,5 2 Рис. 7 Заключение Разработан алгоритм оптимизации маневра малого изменения угла наклоне- ния эллиптической орбиты МТА с двигательной системой ограниченной мощно- сти и аккумулятором энергии. Цель оптимизации — максимизация массы полез- ной нагрузки при заданной начальной массе МТА. Получены аналитические вы- ражения для описания оптимальных режимов работы двигательной системы. Приведены оптимальные зависимости между удельными характеристиками дви- гательной системы. Результаты данной работы могут использоваться как для за- дач коррекции заданной орбиты, так и при разработке алгоритмов оптимизации переходов между отдаленными эллиптическими орбитами. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,9  e i =0,1 e i =0,5 e i = 0,4 e i =0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Je /J Рис. 4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5  e i =0,1 e i = 0,5 e i = 0,4 e i =0,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 B 0,7 0,6 Рис. 6 106 ISSN 0572-2691 ABSTRACTS Я.В. Ткаченко, І.Ю. Васильєв ОПТИМІЗАЦІЯ МАНЕВРУ МАЛОЇ ЗМІНИ КУТА НАХИЛУ ОРБІТИ МІЖОРБІТАЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО АПАРАТА З РУШІЙНОЮ СИСТЕМОЮ ОБМЕЖЕНОЇ ПОТУЖНОСТІ І АКУМУЛЯТОРОМ ЕНЕРГІЇ Розроблено алгоритм оптимізації маневру малої зміни кута нахилу еліптичної орбіти міжорбітального транспортного апарата (МТА) з рушійною системою обмеженої потужності і акумулятором енергії. Мета оптимізації — максиміза- ція маси корисного навантаження при заданій початковій масі МТА. Рух МТА моделюється рухом матеріальної точки змінної маси під дією сильного сферич- ного гравітаційного поля та тяги, що генерується рушійною системою. Почат- кова маса МТА складається з маси рушійної системи, маси робочої речовини, необхідної для виконання маневру, та маси корисного навантаження. В свою чергу, маса рушійної системи складається з мас двигуна, джерела енергії та акумулятора енергії. При формулюванні задачі оптимального керування вико- ристано модель ідеально керованої рушійної системи. Приймаючи до уваги ма- лість вектора реактивного прискорення та малість приросту кута нахилу, про- ведено лінеаризацію рівнянь руху МТА в оскулюючих змінних. Оптимальні програми вектора реактивного прискорення побудовані з використанням мето- ду Гамкрелідзе (розповсюдження принципу максимума Понтрягіна на задачі з фазовими обмеженнями). Лінеаризовані рівняння руху проінтегровано в елемен- тарних функціях. Отримано аналітичні вирази для опису оптимальних режимів роботи рушійної системи. Сформульована задача оптимального керування з ква- дратичним критерієм оптимальності зведена до задачі пошуку мінімуму функції трьох змінних. Пошук мінімуму здійснено за допомогою чисельних методів. Показано, що існують інтервали значень питомої маси акумулятора енергії, на яких застосування акумулятора енергії в складі рушійної системи дозволяє збі- льшити масу корисного навантаження МТА, а отже використання акумулятора енергії в складі рушійної системи МТА має сенс. На цих інтервалах наведено оптимальні залежності між питомими характеристиками рушійної системи. Ключові слова: оптимальна траєкторія, міжорбітальний транспортний апарат, акумулятор енергії. Ya.V. Tkachenko, І.Yu. Vasilev OPTIMIZATION OF A MANEUVER OF A SMALL CHANGE OF AN ORBIT INCLINATION ANGLE OF THE INTERORBITAL TRANSPORT VEHICLE WITH A PROPULSION SYSTEM OF LIMITED POWER AND ENERGY ACCUMULATOR An algorithm for optimizing the maneuver of inclination small change of an elliptical orbit of an orbital transport vehicle (OTV) with a bounded-power propulsion system and an energy accumulator is developed. The goal of optimization is to maximize the payload mass for a given initial OTV mass. The movement of the OTV is modeled by the movement of variable mass particle under the action of a strong spherical gravitational field and thrust generated by the propulsion system. The initial mass of the OTV consists of the mass of the propulsion system, the mass of the working sub- stance necessary to perform the maneuver, and the mass of the payload. In turn, the mass of the propulsion system consists of the masses of the engine, an energy source Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 3 107 and an energy accumulator. In formulating the optimal control problem, a model of ideally controlled propulsion system is used. Taking into account the smallness of the jet acceleration vector and the smallness of the increment of the inclination, the equa- tions of motion of the OTV in the osculating variables are linearized. The optimal programs of the reactive acceleration vector are constructed using the Gamkrelidze method (extending the Pontryagin maximum principle to problems with phase con- straints). The linearized equations of motion are integrated in elementary functions. Analytical expressions are obtained to describe the optimal operating modes of the propulsion system. The formulated optimal control problem with a quadratic optimal- ity criterion is reduced to the problem of finding the minimum of the function of three variables. The search for the minimum was carried out using numerical meth- ods. It is shown that there are intervals of values of the specific mass of the energy accumulator at which the using of the energy accumulator as part of the propulsion system makes it possible to increase the mass of the OTV payload, and therefore the using of the energy accumulator as part of the OTV propulsion system makes sense. At these intervals, the optimal dependencies between the specific characteristics of the propulsion system are given. Keywords: optimal trajectory, orbital transport vehicle, energy storage. REFERENCES 1. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В. Метод оптимальних траєкторій перельотів у сильному цен- тральному гравітаційному полі. Збірник праць Інституту математики НАН України. 2015. 12, № 1. С. 60–72. 2. Ткаченко Я.В. Метод оптимизации маневров межорбитального транспортного аппарата в сильном центральном гравитационном поле. Прикладная механика. 2019. 55, № 5. С. 101–109. 3. Кифоренко Б.Н., Ткаченко Я.В. Некоторые оптимальные околоэллиптические маневры космических аппаратов с движителем постоянной мощности и аккумулятором энергии. Проблемы управления и информатики. 2003. № 1. С. 84–100. 4. Tkachenko Ya.V. Using energy storage in low thrust constant power thruster for optimal interor- bital transfers. Stability and control. Theory and application. International Journal. 2003. 5, N 1. P. 22–40. 5. Ткаченко Я.В. Оптимальные переходы космических аппаратов с накопителем энергии и двигателем ограниченной мощности. Прикладная механика. 2003. 39, № 1. С. 134–140. 6. Гpодзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тя- гой. М. : Наука, 1966. 679 с. 7. Кифоренко Б.Н., Васильев И.Ю. Численные решения точных уравнений движения кос- мического аппарата в ньютоновском центральном гравитационном поле по многовитко- вым траекториям, близким к оптимальным. Космические исследования. 2011. 49, № 5. С. 436–452. 8. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М. : Наука, 1965. 540 с. 9. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М. : Наука, 1981. 336 с. Получено 08.11.2019

Репозитарії

Схожі ресурси