Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара

Одним з популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного програмування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі математичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності т...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Ведель, Я.И., Голубєва, Е.Н., Семенов, В.В., Чабак, Л.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы оптимизации и оптимальное управление
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208767
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара / Я.И. Ведель, Е.Н. Голубева, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 21-33. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208767
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2087672025-11-06T01:18:40Z Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара Адаптивний екстрапроксимальний алгоритм для задачі про рівновагу в просторах Адамара Adaptive extra-proximal algorithm for equilibrium problems in Hadamard spaces Ведель, Я.И. Голубєва, Е.Н. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. Методы оптимизации и оптимальное управление Одним з популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного програмування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі математичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності та багато ігрових задач. Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з’явилось в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми проксимального типу для розв’язання задач про рівновагу запропонував А.С. Антіпін. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді опуклих (точніше, геодезично опуклих) в просторі з спеціально підібраною метрикою. У даній роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено новий ітераційний адаптивний екстрапроксимальний алгоритм. На кожному кроці алгоритму слід здійснити послідовну мінімізацію двох спеціальних сильно опуклих функцій. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібне знання інформації про величину ліпшіцевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведено теорему про слабку збіжність породжених алгоритмом послідовностей. Доведення засноване на використанні фейєрівської властивості алгоритму відносно множини розв’язків задачі про рівновагу. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до варіаційних нерівностей з ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та псевдомонотонними операторами, що діють в гільбертових просторах. One of the most popular areas of modern applied nonlinear analysis is the study of equilibrium problems (Ky Fan inequalities, equilibrium programming problems). In the form of an equilibrium problem, one can formulate mathematical programming problems, vector optimization problems, variational inequalities, and many game theory problems. The classical formulation of the equilibrium problem first appeared in the works of H. Nikaido and K. Isoda, and the first general proximal algorithms for solving equilibrium problems were proposed by A.S. Antipin. Recently, interest has arisen due to the problems of mathematical biology and machine learning to construct the theory and algorithms for solving mathematical programming problems in Hadamard metric spaces. Another strong motivation for studying these problems is the ability to write down some nonconvex problems in the form of convex (more precisely, geodesically convex) in a space with a specially selected metric. In this paper, we consider general equilibrium problems in Hadamard metric spaces. For an approximate solution of problems, a new iterative adaptive extra-proximal algorithm is proposed and studied. At each step of the algorithm, sequential minimization of two special strongly convex functions should be done. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithm does not calculate bifunction values at additional points and does not require knowledge of information on of bifunction’s Lipschitz constants. For pseudo-monotone bifunctions of Lipschitz type, weakly upper semicontinuous in the first variable, convex and lower semicontinuous in the second variable, the theorem on weak convergence of sequences generated by the algorithm is proved. The proof is based on the use of the Fejer property of the algorithm with respect to the set of solutions of equilibrium problem. It is shown that the proposed algorithm is applicable to variational inequalities with Lipschitz- continuous, sequentially weakly continuous and pseudomonotone operators acting in Hilbert spaces. Работа выполнена при финансовой поддержке МОН Украины (проект«Математичне моделювання та оптимiзацiя динамiчних систем для оборони, медицини та екології»,номер госрегистрации 0219U008403)и НАН Украины (проект «Нові методи дослідження коректності та розв'язання задач дискретної оптимізації, варіаційних нерівностей та їх застосування», номер гос-регистрации 0119U101608). 2020 Article Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара / Я.И. Ведель, Е.Н. Голубева, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 21-33. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208767 517.988 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i8.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы оптимизации и оптимальное управление Методы оптимизации и оптимальное управление
spellingShingle	Методы оптимизации и оптимальное управление Методы оптимизации и оптимальное управление Ведель, Я.И. Голубєва, Е.Н. Семенов, В.В. Чабак, Л.М. Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара Проблемы управления и информатики
description	Одним з популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного програмування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі математичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності та багато ігрових задач. Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з’явилось в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми проксимального типу для розв’язання задач про рівновагу запропонував А.С. Антіпін. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді опуклих (точніше, геодезично опуклих) в просторі з спеціально підібраною метрикою. У даній роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено новий ітераційний адаптивний екстрапроксимальний алгоритм. На кожному кроці алгоритму слід здійснити послідовну мінімізацію двох спеціальних сильно опуклих функцій. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібне знання інформації про величину ліпшіцевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведено теорему про слабку збіжність породжених алгоритмом послідовностей. Доведення засноване на використанні фейєрівської властивості алгоритму відносно множини розв’язків задачі про рівновагу. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до варіаційних нерівностей з ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та псевдомонотонними операторами, що діють в гільбертових просторах.
format	Article
author	Ведель, Я.И. Голубєва, Е.Н. Семенов, В.В. Чабак, Л.М.
author_facet	Ведель, Я.И. Голубєва, Е.Н. Семенов, В.В. Чабак, Л.М.
author_sort	Ведель, Я.И.
title	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара
title_short	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара
title_full	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара
title_fullStr	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара
title_full_unstemmed	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара
title_sort	адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах адамара
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Методы оптимизации и оптимальное управление
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208767
citation_txt	Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара / Я.И. Ведель, Е.Н. Голубева, В.В. Семенов, Л.М. Чабак // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 21-33. — Бібліогр.: 32 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT vedelʹâi adaptivnyjékstraproksimalʹnyjalgoritmdlâzadačioravnovesiivprostranstvahadamara AT golubêvaen adaptivnyjékstraproksimalʹnyjalgoritmdlâzadačioravnovesiivprostranstvahadamara AT semenovvv adaptivnyjékstraproksimalʹnyjalgoritmdlâzadačioravnovesiivprostranstvahadamara AT čabaklm adaptivnyjékstraproksimalʹnyjalgoritmdlâzadačioravnovesiivprostranstvahadamara AT vedelʹâi adaptivnijekstraproksimalʹnijalgoritmdlâzadačíprorívnovaguvprostorahadamara AT golubêvaen adaptivnijekstraproksimalʹnijalgoritmdlâzadačíprorívnovaguvprostorahadamara AT semenovvv adaptivnijekstraproksimalʹnijalgoritmdlâzadačíprorívnovaguvprostorahadamara AT čabaklm adaptivnijekstraproksimalʹnijalgoritmdlâzadačíprorívnovaguvprostorahadamara AT vedelʹâi adaptiveextraproximalalgorithmforequilibriumproblemsinhadamardspaces AT golubêvaen adaptiveextraproximalalgorithmforequilibriumproblemsinhadamardspaces AT semenovvv adaptiveextraproximalalgorithmforequilibriumproblemsinhadamardspaces AT čabaklm adaptiveextraproximalalgorithmforequilibriumproblemsinhadamardspaces
first_indexed	2025-11-06T02:14:30Z
last_indexed	2025-11-07T02:32:21Z
_version_	1848097103315730432
fulltext	© Я.И. ВЕДЕЛЬ, Е.Н. ГОЛУБЕВА, В.В. СЕМЁНОВ, Л.М. ЧАБАК, 2020 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 21 УДК 517.988 Я.И. Ведель, Е.Н. Голубева, В.В. Семенов, Л.М. Чабак АДАПТИВНЫЙ ЭКСТРАПРОКСИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ В ПРОСТРАНСТВАХ АДАМАРА Ключевые слова: пространство Адамара, задача о равновесии, псевдомоно- тонность, экстрапроксимальный алгоритм, адаптивность, сходимость. Введение Одним из популярных направлений современного прикладного нелинейного анализа является исследование задач о равновесии (неравенств Ки Фаня, задач ра- вновесного программирования) вида [1–13]: найти Ñx : 0),( yxF Ñy , (1) где Ñ — непустое подмножество гильбертова пространства H , R: →CCF — функция, такая, что 0),( =xxF Ñx (называемая бифункцией). В виде (1) можно сформулировать задачи математического программирования, вариационные неравен- ства и многие игровые задачи. Приведем три типичные формулировки [1, 4]. 1. Если )()(),( xyyxF −= , где R: → C , то задача (1) является задачей условной минимизации .min C → 2. Если ),(),( xyAxyxF −= , где HCA →: , то задача (1) сводится к класси- ческому вариационному неравенству найти Ñx : 0),( − xyAx Ñy . 3. Пусть I — конечное множество индексов. Для каждого Ii заданы множество iC и функция R: → Ci , где   = Ii iCC . Для Cxx Iii = )( обо- значим }{\)( iIjj i xx = . Точку Cxx Iii = )( называют равновесием Нэша, если для всех Ii выполняются неравенства ),()( iiii yxx  ii Ñy  . Определим функцию R: →CCF следующим образом:   −= Ii ii i i xyxyxF ))(),((),( . Точка Cx  — равновесие Нэша, если и только если она является решением задачи (1). Исследование алгоритмов решения равновесных и близких задач активно продолжается. Частным случаем задач о равновесии являются вариационные не- равенства [14, 15]. Для их решения Г.М. Корпелевич предложила экстраградиент-  Работа выполнена при финансовой поддержке МОН Украины (проект «Математичне мо- делювання та оптимiзацiя динамiчних систем для оборони, медицини та екології», номер госре- гистрации 0219U008403) и НАН Украины (проект «Нові методи дослідження коректності та ро- зв'язання задач дискретної оптимізації, варіаційних нерівностей та їх застосування», номер гос- регистрации 0119U101608). 22 ISSN 0572-2691 ный метод [16]. Для вариационных неравенств одним из современных вариа- нтов экстраградиентного метода является проксимальный зеркальный метод А.С. Немировского [17]. Данный метод можно проинтерпретировать как вариант екст- ра- градиентного метода с проектированием, понимаемым в смысле расхождения Брэгмана. В [18–20] предложены адаптивные модификации проксимального зер- кального метода, не требующие знания констант Липшица операторов для опре- деления величины шага. Аналогам экстраградиентного метода для задач о равно- весии и вопросам по данной тематике посвящены работы [5, 7, 8, 21–25]. Следуя А.С. Антипину, экстрапроксимальным будем называть следующий аналог экстраградиентного метода для задач о равновесии [2, 5]:     = = +  ,prox ,prox ),(1 ),( nyFn nxFn xx xy nn nn где ),0( +n , prox — проксимальный оператор функции  . В 1980 г. Л.Д. Попов [26] предложил для поиска седловых точек выпукло- вогнутых функций, определенных в конечномерном евклидовом пространстве, интересную модификацию метода Эрроу–Гурвица. В [9] для решения задач о рав- новесии в гильбертовом пространстве предложен двухэтапный проксимальный алгоритм вида     = = +  − ,prox ,prox ),(1 ),( 1 nyFn nyFn xx xy nn nn где ),0( +n , являющийся адаптацией метода Л.Д. Попова к общим задачам равновесного программирования (см. также [10, 27, 28]). В последнее время возник обусловленный проблемами математической био- логии и машинного обучения интерес к построению теории и алгоритмов реше- ния задач математического программирования в метрических пространствах Адамара [29] (также известных под названием )0(CAT пространств). Еще одной сильной мотивацией для изучения данных задач является возможность записать некоторые невыпуклые задачи в виде выпуклых (точнее, геодезически выпуклых) в пространстве со специально подобранной римановой метрикой [11, 29]. Некоторые авторы начали изучать задачи о равновесии в пространствах Ада- мара [11–13]. В работе [11] получены теоремы существования для задач о равно- весии на многообразиях Адамара, рассмотрены приложения к вариационным не- равенствам и обоснован резольвентный метод для аппроксимации решений задач о равновесии и вариационных неравенств. В [12] для более общих задач о равно- весии с псевдомонотонными бифункциями в пространствах Адамара получены теоремы существования и предложен проксимальный алгоритм и доказана его сходимость. Более конструктивному подходу посвящена работа [13], авторы ко- торой, отталкиваясь от результатов статьи [5], предложили и обосновали для псевдомонотонных задач о равновесии в пространствах Адамара аналог экстра- градиентного (или экстрапроксимального) метода. В данной работе, продолжающей [18, 25], предлагается новый адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для приближенного решения задач о равновесии в пространствах Адамара. В отличие от применявшихся ранее правил выбора ве- личины шага [2, 5, 13, 17, 19, 20, 23, 24] в предлагаемом алгоритме не произво- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 23 дится вычислений значений бифункции в дополнительных точках и не требуется знания липшицевых констант бифункции. Для псевдомонотонных бифункций липшицевого типа доказана теорема о слабой сходимости (или  -cходимости) порожденных алгоритмом последовательностей. Доказательство основано на ис- пользовании фейеровского свойства алгоритма относительно множества решений задачи. Показано, что предложенный алгоритм применим к псевдомонотонным вариационным неравенствам в гильбертовых пространствах. Вспомогательные сведения Приведем несколько понятий и фактов, связанных с метрическими простран- ствами Адамара (подробнее см. в [29–31]). Пусть ),( dX — метрическое пространство и x , Xy . Геодезическим путем, соединяющим точки x и y , называют изометрию Xyxd → )],(,0[: такую, что x= )0( , yyxd = )),(( . Множество Xyxd  )]),(,0([ обозначают ],[ yx и назы- вают геодезическим сегментом с концами x и y (или просто геодезическим). Метрическое пространство ),( dX называют геодезическим пространством, если любые две точки X можно соединить геодезическим, и однозначно геодезиче- ским пространством, если для любых двух точек X существует только одна гео- дезическая их соединяющая. Геодезическое пространство ),( dX называют )0(CAT -пространством, если для любой тройки точек 0y , 1y , Xy 2 таких, что == ),(),( 02 2 01 2 yydyyd ),( 21 2 2 1 yyd= , выполняется неравенство ),( 0 2 yxd ),( 4 1 ),( 2 1 ),( 2 1 21 2 2 2 1 2 yydyxdyxd −+ Xx . (2) Неравенство (2) называют CN -неравенством [30] (в евклидовом простран- стве (2) превращается в тождество), а точку 0y — серединой между точками 1y и 2y (она всегда существует в геодезическом пространстве). Известно, что )0(CAT -пространство является однозначно геодезическим [29]. Для двух точек x и y )0(CAT -пространства ),( dX и ]1,0[t будем обо- значать yttx )1( − такую единственную точку z сегмента ],[ yx , что ( ) ( )yxdtxzd ,1),( −= и ),(),( yxtdyzd = . Множество XC  называется выпук- лым (геодезически выпуклым), если для всех x , Cy и ]1,0[t выполняется Cyttx − )1( . Полезным инструментом для работы в )0(CAT -пространстве ),( dX служит неравенство − ),)1((2 zyttxd ( ) ( ) ( ) ( ) ),(1,1, 222 yxdttzydtzxtd −−−+ , Xzyx },,{ , ]1,0[t . (3) Важными примерами )0(CAT пространств являются евклидовы пространства, R -деревья, многообразия Адамара (полные связные римановы многообразия непо- ложительной кривизны) и гильбертов шар с гиперболической метрикой [29–31]. Полное )0(CAT -пространство называют пространством Адамара. 24 ISSN 0572-2691 Пусть ),( dX — метрическое пространство и )( nx — ограниченная после- довательность элементов X . Пусть ),(lim))(,( n n n xxdxxr → = . Число =))(( nxr ))(,(inf nXx xxr= называют асимптотическим радиусом )( nx , а множество ))}(())(,(:{))(( nnn xrxxrXxxA == — асимптотическим центром )( nx . Извест- но, что в пространстве Адамара ))(( nxA состоит из одной точки [29]. Последовательность )( nx элементов пространства Адамара ),( dX слабо сходится (или, как иногда говорят,  -сходится [30]) к элементу Xx , если }{))(( xxA kn = для любой подпоследовательности )( knx . Известно, что произ- вольная последовательность элементов ограниченного, замкнутого и выпуклого подмножества K пространства Адамара имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу из K [29, 30]. При доказательстве слабой сходимости последовательностей элементов про- странства Адамара полезен известный аналог леммы Опяла. Лемма 1 [29, p. 60]. Пусть последовательность )( nx элементов пространства Адамара ),( dX слабо сходится к элементу Xx . Тогда для всех }{\ xXy имеем ),(lim),(lim yxdxxd n n n n →→  . Пусть ),( dX — пространство Адамара. Функция }{RR: +=→ X называется выпуклой (геодезически выпуклой), если для всех x , Xy и ]1,0[t выполняется − ))1(( yttx )()1()( ytxt −+ . Например, в пространстве Адамара функции ),( xydy  выпуклы. Если же существует такая константа 0 , что для всех x , Xy и ]1,0[t выполняется − ))1(( yttx ),()1()()1()( 2 yxdttytxt −−−+ , то функция  называется сильно выпуклой. Известно, что для выпуклых функций полунепрерывность снизу и слабая полунепрерывность снизу экви- валентны [29, p. 64], а сильно выпуклая полунепрерывная снизу функция до- стигает минимума в единственной точке. Замечание 1. Многие важные для приложений конструкции в пространствах Адамара связаны с точками минимума выпуклых функций [29, 31]. Например, пусть даны набор точек miix ,1 }{ = метрического пространства ),( dX и набор по- ложительных чисел mii ,1 }{ =  . Барицентром (центром масс, средним Фреше) то- чек }{ ix с весами }{ i называется точка  =   m i iiXy xydz 1 2 ),(argmin . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 25 В пространстве Адамара функции ),(2 ixydy  сильно выпуклы (следует из неравенства (3)), поэтому функция  =  m i ii xydy 1 2 ),( также сильно выпукла. Отсюда следует, что барицентр существует и единственен. Для выпуклой, собственной и полунепрерывной снизу функции =→ R: X }{R += проксимальный оператор определяется следующим образом [29]. )),()((argminprox 2 2 1 xydyx Xy +=  . Поскольку функции ( )xd ,2 2 1 + сильно выпуклы, то определение прокси- мального оператора корректно, т.е. для каждого Xx существует единственный элемент .prox Xx Перейдем к формулировке задачи о равновесии в пространстве Адамара. Задача о равновесии в пространстве Адамара Пусть ),( dX — пространство Адамара. Для непустого выпуклого замкнуто- го множества XÑ  и бифункции R: →CCF рассмотрим задачу о равнове- сии (или задачу равновесного программирования [2, 4, 9]): найти Ñx : 0),( yxF Ñy . (4) Предположим, что выполнены условия: 1) 0),( =xxF для всех Ñx ; 2) функции R:),( → CxF выпуклы и полунепрерывны снизу для всех Cx ; 3) функции R:),( → CyF слабо полунепрерывны сверху для всех Cy ; 4) бифункция R: →CCF псевдомонотонна, т.е. для всех x , Cy из 0),( yxF следует 0),( xyF . 5) бифункция R: →CCF липшицевого типа, т.е. существуют две констан- ты 0a , 0b , такие, что ),(),(),(),(),( 22 yzbdzxadyzFzxFyxF +++ Czyx  ,, . (5) Замечание 2. Условие 5) типа липшицевости в евклидовом пространстве вве- дено G. Mastroeni [3]. Рассмотрим дуальную задачу о равновесии: найти Ñx : 0),( xyF Ñy . (6) Множества решений задач (4) и (6) обозначим S и S . При выполнении условий 1)–4) имеем SS = [12]. Кроме того, множество *S выпукло и замкнуто. Далее будем предполагать, что S . Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм Для приближенного решения задачи (4) рассмотрим экстрапроксимальный алгоритм с адаптивным выбором величины шага. 26 ISSN 0572-2691 Алгоритм 1. Инициализация. Выбираем элемент Ñx 1 , )1,0( , ),0(1 + . Полагаем 1=n . Шаг 1. Вычислить      +==  ),(),(argminprox 2 2 1 ),( nnCynxFn xydyxFxy nnn . Если nn yx = , то остановить и Sxn  . Иначе перейти на шаг 2. Шаг 2. Вычислить      +== + ),(),(argminprox 2 2 1 ),(1 nnCynyFn xydyyFxx nnn . Шаг 3. Вычислить               −− +  −− = ++ + ++ + èíà÷å. , )),(),(),(( ),(),( 2 ,min ,0),(),(),( åñëè, 11 1 22 11 1 nnnnnn nnnn n nnnnnnn n xyFyxFxxF yxdyxd xyFyxFxxF Положить 1: += nn и перейти на шаг 1. Замечание 3. Обоснование правила остановки в алгоритме 1 приведено ниже (см. (11)). Замечание 4. На каждом шаге алгоритма 1 следует решить две выпуклые за- дачи с сильно выпуклыми функциями. Предположим возможность их эффектив- ного решения. В предлагаемом алгоритме параметр 1+n зависит от расположения точек nx , ny , 1+nx , значений ),( 1+nn xxF , ),( nn yxF и ),( 1+nn xyF . Никакая инфор- мация о константах a и b из неравенства (5) не используется. Очевидно, что по- следовательность )( n неубывающая. Также она ограничена снизу числом         },max{2 ,min 1 ba . Действительно, имеем +−− +++ ),(),(),(),(),( 1 22 11 nnnnnnnnnn yxbdyxadxyFyxFxxF )),(),(}(,max{ 1 22 nnnn yxdyxdba ++ . Для вариационных неравенств в гильбертовом пространстве алгоритм 1 принимает следующий вид. Алгоритм 2. Инициализация. Выбираем элемент Ñx 1 , )1,0( , ),0(1 + . Полагаем 1=n . Шаг 1. Вычислить )( nnnCn AxxPy −= . Если nn yx = , то остановить и nx — решение. Иначе перейти на шаг 2. Шаг 2. Вычислить )(1 nnnCn AyxPx −=+ . Шаг 3. Вычислить               −− −+−  −− = + + + + èíà÷å. , ),(2 ,min ,0),( åñëè, 1 2 1 2 1 1 nnnn nnnn n nnnnn n yxAyAx yxyx yxAyAx (7) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 27 Положить 1: += nn и перейти на шаг 1. Замечание 5. Алгоритм 2 отличается от изученного в [18, 25] алгоритма пра- вилом выбора параметра 1+n . В [18, 25] вместо (7) рассматривалось следующее правило:                − −  = + èíà÷å. , ,åñëè ,,min 1 n nn nn nn n n AyAx AyAx yx Перейдем к обоснованию сходимости алгоритма 1. Сходимость алгоритма Сначала докажем важное неравенство. Лемма 2. Для Ñx и xx xF ),(prox  + = , где 0 , имеет место неравенство −+ ),(),( yxFxxF )),(),(),(( 2 1 222 yxdxxdxyd ++ −−  Ñy . (8) Доказательство. Из определения )),(),((argmin 2 2 1 xydyxFx Cy  + += следует ),( 2 1 ),(),( 2 1 ),( 22 xpdpxFxxdxxF  +  + ++ Ñp . (9) Положив в (9) yttxp )1( −= + , Ñy , )1,0(t , получим ( ) ( ) −  +−  + ++++ ),1( 2 1 )1,(),( 2 1 ),( 22 xyttxdyttxxFxxdxxF +−+ + ),()1(),( yxFtxxtF )).,()1(),()1(),(( 2 1 222 yxdttxydtxxtd ++ −−−+  Таким образом, ),()1(),()1( yxFtxxFt −−− +   )),()1(),()1(),()1(( 2 1 222 yxdttxydtxxdt ++ −−−+−−  . (10) Сократив в (10) t−1 и совершив предельный переход при 1→t , получим (8). ■ Из леммы 2 следует, что для последовательностей )( nx , )( ny , порожденных алгоритмом 1, имеют место неравенства − ),(),( yxFyxF nnn )),(),(),(( 2 1 222 yydyxdxyd nnnn n −−  Ñy , (11) −+ ),(),( 1 yyFxyF nnn )),(),(),(( 2 1 1 2 1 22 yxdxxdxyd nnnn n ++ −−  Ñy . (12) Неравенство (11) обосновывает правило остановки алгоритма 1. Действи- тельно, при nn yx = из (11) вытекает 0),( − yxF n Ñy , т.е. Sxn  . Замечание 6. На самом деле имеет место эквивалентность: Sx  xx xF ),(prox = , 0 . 28 ISSN 0572-2691 Докажем важную оценку, связывающую расстояния между порожденными алгоритмом 1 точками и произвольным элементом множества решений S . Лемма 3. Для последовательностей )( nx , )( ny , порожденных алгоритмом 1, имеет место неравенство ),(1),(1),(),( 2 1 1 2 1 2 1 2 nn n n nn n n nn xydyxdzxdzxd           −−          −− + + + + , (13) где Sz . Доказательство. Пусть Sz . Из псевдомонотонности бифункции F имеем 0),( zyF n . (14) Из (14) и (12) следует  + ),(2 1nnn xyF ),(),(),( 1 2 1 22 zxdxxdxzd nnnn ++ −− . (15) Из правила вычисления 1+n получаем оценку )),(),(( 2 ),(),(),( 1 22 1 11 nnnn n nnnnnn yxdyxdxyFyxFxxF + + ++ +   −− . (16) Оценив снизу левую часть (15) с помощью (16), получим )),(),(()),(),((2 1 22 1 1 nnnn n n nnnnn yxdyxdyxFxxF + + + +   −−   ),(),(),( 1 2 1 22 zxdxxdxzd nnnn ++ −− . (17) Для оценки снизу )),(),((2 1 nnnnn yxFxxF − + в (17) воспользуемся нера- венством (11). Имеем )),(),((),(),(),( 1 22 1 1 2 1 22 nnnn n n nnnnnn yxdyxdxxdxydyxd + + ++ +   −−+   ),(),(),( 1 2 1 22 zxdxxdxzd nnnn ++ −− . (18) Перегруппировав (18), получим (13). ■ Для доказательства сходимости алгоритма 1 нам потребуется элементарная лемма о числовых последовательностях. Лемма 4. Пусть )( na , )( nb — две последовательности неотрицательных чи- сел, удовлетворяющих неравенству nnn baa −+1 для всех Nn . Тогда существует предел n n a → lim и 1)( nb . Сформулируем основной результат работы. Теорема 1. Пусть ),( dX — пространство Адамара, XC  — непустое, выпуклое, замкнутое множество, для бифункции R: →CCF выполнены усло- вия 1)–5) и S . Тогда порожденные алгоритмом 1 последовательности )( nx , )( ny слабо сходятся к решению Sz задачи о равновесии (4), причем Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 29 0),(lim),(lim 1 == + →→ nn n nn n xydxyd . Доказательство. Пусть Sz . Положим ),( nn xzda = , ),(1),(1 2 1 1 2 1 nn n n nn n n n xydyxdb           −−          −= + + + . Неравенство (13) принимает вид nnn baa −+1 . Поскольку существует 0lim  → n n , то 1 1 +  − n n −→1 )1,0( при →n . Из леммы 4 можем сделать вывод, что существует предел ),(lim 2 n n xzd → и ++  = + 1 2 1 2 )),(),(( n nnnn xydyxd . Отсюда получаем ограниченность последовательности )( nx и 0),(lim),(lim),(lim 11 === + → + →→ nn n nn n nn n xxdyxdxyd . (19) Рассмотрим подпоследовательность )( knx , слабо сходящуюся к некоторой точке Cz . Тогда из (19) следует, что )( kny слабо сходится к z . Покажем, что Sz . Имеем −−  − +++ )),(),(),(( 2 1 ),(),( 1 2 1 22 1 yxdxxdxydxyFyyFv kkkk k kkk nnnn n nnn −+   −− + + + )),(),(( 2 ),(),( 1 22 1 1 kkkk k kkkk nnnn n nnnn yxdyxdyxFxxF −  −−  − +++ ),(( 2 1 )),(),(),(( 2 1 1 2 1 2 1 22 kk k kkkk k nn n nnnn n xxdyxdxxdxyd −+   −−− + + + )),(),(( 2 )),(),( 1 22 1 1 22 kkkk k kkkk nnnn n nnnn yxdyxdxydyxd )),(),(),(( 2 1 1 2 1 22 yxdxxdxyd kkkk k nnnn n ++ −−  − Ñy . (20) Совершив предельный переход в (20) с учетом (19) и слабой полунепрерыв- ности сверху функции R:),( → CyF , получим 0),(lim),(  → yyFyzF kn k Ñy , т.е. Sz . Применяя вариант леммы Опяла для пространств Адамара (лемма 1), получа- ем слабую сходимость последовательности )( nx к точке Sz . Действительно, 30 ISSN 0572-2691 рассуждаем от противного. Пусть существует подпоследовательность )( kmx , сла- бо сходящаяся к некоторой точке Cz  и zz  . Ясно, что Sz  . Далее, имеем === →→→→ ),(lim),(lim),(lim),(lim zxdzxdzxdzxd n n n k n k n n kk ),,(lim),(lim),(lim zxdzxdzxd n n m k m k kk →→→ == что невозможно. Следовательно, )( nx слабо сходится к Sz . Из (19) следует, что и последовательность )( ny слабо сходится к Sz . ■ Замечание 7. Как видно из доказательства теоремы 1, для последовательно- сти )( nx , начиная с некоторого номера N , выполняется фейеровское условие от- носительно множества решений S . Рассмотрим частный случай задачи о равновесии: вариационное неравенство в гильбертовом пространстве H : найти Ñx : 0),( − xyAx Ñy . (21) Из теоремы 1 вытекает следующий результат. Теорема 2. Пусть H — гильбертово пространство, XC  — непустое, выпук- лое, замкнутое множество, оператор HCA →: псевдомонотонный, липшицевый, секвенциально слабо непрерывный и существуют решения (21). Тогда порожден- ные алгоритмом 2 последовательности )( nx , )( ny слабо сходятся к решению вариационного неравенства (21), причем =− → nn n xylim 0lim 1 =− + → nn n xy . Заключение В данной работе, продолжающей [18, 25], предложен новый адаптивный экс- трапроксимальный алгоритм для приближенного решения задач о равновесии в пространствах Адамара. Алгоритм имеет следующую структуру:            +==      +== +  ,),(),(argminprox ,),(),(argminprox 2 2 1 ),(1 2 2 1 ),( nnCynyFn nnCynxFn xydyyFxx xydyxFxy nnn nnn где 0n подбирается адаптивно. В отличие от применявшихся ранее правил выбора величины шага [2, 5, 13, 17, 19, 20, 23, 24] в предлагаемом алгоритме не проводятся вычисления значений бифункции в дополнительных точках и не требуется знания липшицевых констант бифункции. Для псевдомоно- тонных бифункций липшицевого типа доказана теорема о слабой сходимости (  -cходимости), порожденных алгоритмом последовательностей. Доказа- тельство основано на использовании фейеровского свойства алгоритма отно- сительно множества решений задачи. Показано, что предложенный алгоритм применим к псевдомонотонным вариационным неравенствам в гильбертовых пространствах. В одной из ближайших работ планируется представить адаптивный вариант двухэтапного проксимального алгоритма вида Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 31            +==      +== + − − .),(),(argminprox ,),(),(argminprox 2 2 1 ),(1 2 2 1 1),( 1 nnCynyFn nnCynyFn xydyyFxx xydyyFxy nnn nnn Данный алгоритм для задач в гильбертовом пространстве предложен в ра- боте [9] (см. также [10, 27, 28]). Заметим, что в последнее время вариант этого алгоритма для вариационных неравенств известен в среде специалистов по машинному обучению под названием «Extrapolation from the Past» [32]. Также представляет интерес построение рандомизированнных адаптивных версий алгоритмов. ABSTRACTS Я.І. Ведель, К.М. Голубєва, В.В. Семенов, Л.М. Чабак АДАПТИВНИЙ ЕКСТРАПРОКСИМАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧІ ПРО РІВНОВАГУ В ПРОСТОРАХ АДАМАРА Одним з популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є до- слідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного про- грамування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі мате- матичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності та багато ігрових задач. Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з’явилось в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми прокси- мального типу для розв’язання задач про рівновагу запропонував А.С. Антіпін. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та ма- шинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних прос- торах Адамара. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді опуклих (точніше, геоде- зично опуклих) в просторі з спеціально підібраною метрикою. У даній роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено новий іте- раційний адаптивний екстрапроксимальний алгоритм. На кожному кроці алго- ритму слід здійснити послідовну мінімізацію двох спеціальних сильно опуклих функцій. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібне знання інформації про величину ліпшіцевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівне- перервних знизу по другій змінній, доведено теорему про слабку збіжність по- роджених алгоритмом послідовностей. Доведення засноване на використанні фейєрівської властивості алгоритму відносно множини розв’язків задачі про рівновагу. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до варіаційних нерівностей з ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та псевдомонотонними операторами, що діють в гільбертових просторах. Ключові слова: простір Адамара, задача про рівновагу, псевдомонотонність, екстрапроксимальний алгоритм, адаптивність, збіжність. Ya.I. Vedel, E.N. Golubeva, V.V. Semenov, L.M. Chabak ADAPTIVE EXTRA-PROXIMAL ALGORITHM FOR EQUILIBRIUM PROBLEMS IN HADAMARD SPACES One of the most popular areas of modern applied nonlinear analysis is the study of equilibrium problems (Ky Fan inequalities, equilibrium programming problems). In 32 ISSN 0572-2691 the form of an equilibrium problem, one can formulate mathematical programming problems, vector optimization problems, variational inequalities, and many game theory problems. The classical formulation of the equilibrium problem first appeared in the works of H. Nikaido and K. Isoda, and the first general proximal algorithms for solving equilibrium problems were proposed by A.S. Antipin. Recently, interest has arisen due to the problems of mathematical biology and machine learning to con- struct the theory and algorithms for solving mathematical programming problems in Hadamard metric spaces. Another strong motivation for studying these problems is the ability to write down some nonconvex problems in the form of convex (more pre- cisely, geodesically convex) in a space with a specially selected metric. In this paper, we consider general equilibrium problems in Hadamard metric spaces. For an ap- proximate solution of problems, a new iterative adaptive extra-proximal algorithm is proposed and studied. At each step of the algorithm, sequential minimization of two special strongly convex functions should be done. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithm does not calculate bifunction values at additional points and does not require knowledge of information on of bi- function’s Lipschitz constants. For pseudo-monotone bifunctions of Lipschitz type, weakly upper semicontinuous in the first variable, convex and lower semicontinuous in the second variable, the theorem on weak convergence of sequences generated by the algorithm is proved. The proof is based on the use of the Fejer property of the al- gorithm with respect to the set of solutions of equilibrium problem. It is shown that the proposed algorithm is applicable to variational inequalities with Lipschitz- con- tinuous, sequentially weakly continuous and pseudomonotone operators acting in Hilbert spaces. Keywords: Hadamard space, equilibrium problem, pseudo-monotonicity, extra- proximal algorithm, adaptivity, convergence. REFERENCES 1. Kassay G., Radulescu V.D. Equilibrium problems and applications. London: Academic Press, 2019. 419 p. 2. Antipin A.S. Equilibrium programming: Proximal methods. Comput. Math. Math. Phys. 1997. 37. P. 1285–1296. https://doi.org/10.1134/S0965542507120044. 3. Mastroeni G. On auxiliary principle for equilibrium problems. Daniele, P. et al. (eds.) Equilibrium Problems and Variational Models. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003. P. 289–298. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0239-1. 4. Combettes P.L., Hirstoaga S.A. Equilibrium programming in Hilbert spaces. J. Nonlinear Convex Anal. 2005. 6. P. 117–136. 5. Quoc T.D., Muu L.D., Hien N.V. Extragradient algorithms extended to equilibrium problems. Optimization. 2008. 57. P. 749–776. https://doi.org/10.1080/02331930601122876. 6. Semenov V.V. On the parallel proximal decomposition method for solving the problems of convex optimization. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. 42. N 4. P. 13–18. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v42.i4.20. 7. Lyashko S.I., Semenov V.V., Voitova T.A. Low-cost modification of Korpelevich’s methods for monotone equilibrium problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. 47. N 4. P. 631–639. https://doi.org/10.1007/s10559-011-9343-1. 8. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the Set of Solutions the Equilibrium Problems. In: Zgurovsky M.Z. and Sadovnichiy V.A. (eds.) continuous and distributed systems. Solid Mechanics and Its Applications, 211, Springer International Publishing Switzerland, 2014. P. 131–146. https://doi.org/10.1007/978-3-319- 03146-0_10. 9. Lyashko S.I., Semenov V.V. A New two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. Goldengorin B. (ed.) Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications, 2016. 115, Springer, Cham, P. 315–325. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42056-1_10. 10. Chabak L., Semenov V., Vedel Y. A new non-euclidean proximal method for equilibrium problems. In: Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (eds.) Recent developments in data science and intelligent analysis of information. ICDSIAI. Advances in Intelligent Systems and Computing, 2018. 836. 2019. P. 50–58. https://doi.org/10.1007/978-3-319-97885-7_6. 11. Colao V., Lopez G., Marino G., Martin-Marquez V. Equilibrium problems in Hadamard manifolds. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2012. 388. P. 61–77. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.11.001. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 33 12. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Monotone and pseudo-monotone equilibrium problems in Hadamard spaces. Journal of the Australian Mathematical Society. 2019. P. 1–23. https://doi.org/10.1017/S1446788719000041. 13. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Approximating solutions of equilibrium problems in Hadamard spaces. Miskolc Mathematical Notes. 2019. 20. No. 1. P. 281–297. https://doi.org/ 10.18514/MMN.2019.2361. 14. Kinderlehrer D. Stampacchia G. An introduction to variational inequalities and their appli- cations. New York: Academic Press, 1980. Russian transl. M. : Mir, 1983. 256 p. 15. Sandrakov G.V. Homogenization of variational inequalities for non-linear diffusion problems in perforated domains. Izvestiya Mathematics. 2005. 69. N 5. P. 1035–1059. http://dx.doi.org/ 10.1070/IM2005v069n05ABEH002287. 16. Korpelevich G.M. An extragradient method for finding saddle points and for other problems. Matecon. 1976. 12. N 4. P. 747–756. 17. Nemirovski A. Prox-method with rate of convergence O(1/T) for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems. SIAM J. Optim. 2004. 15, N 1. P. 229–251. https://doi.org/10.1137 /S1052623403425629. 18. Denisov S.V., Semenov V.V., Stetsyuk P.I. Bregman extragradient method with monotone rule of step adjustment. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. 55, N 3. P. 377–383. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00144-5. 19. Stonyakin F.S. On the adaptive proximal method for a class of variational inequalities and related problems. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2019. 25 N 2. P. 185–197. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-2-185-197. 20. Stonyakin F.S., Vorontsova E.A., Alkousa M.S. New version of mirror prox for variational inequalities with adaptation to inexactness. In: Jaćimović M., Khachay M., Malkova V., Posypkin M. (eds.) Optimization and applications. OPTIMA 2019. Communications in computer and information science, 1145. Springer, Cham, 2020. P. 427–442. https://doi.org/10.1007/978-3-030-38603-0_31. 21. Semenov V.V. A Strongly convergent splitting method for systems of operator inclusions with monotone operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. 46, N 5. P. 45-56. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.40. 22. Semenov V.V. Hybrid splitting methods for the system of operator inclusions with monotone operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. 50. N 5. P. 741–749. https://doi.org/ 10.1007/s10559-014-9664-y. 23. Verlan D.A., Semenov V.V., Chabak L.M. A strongly convergent modified extragradient method for variational inequalities with non-lipschitz operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. 47. N 7. P. 31–46. https://doi.org/10.1615/ JAutomatInfScien.v47.i7.40. 24. Semenov V.V. Modified extragradient method with bregman divergence for variational inequalities. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. 50. N 8. P. 26–37. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v50.i8.30. 25. Denisov S.V., Nomirovskii D. A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of extragradient algorithm with monotone step size strategy for variational inequalities and operator equations. Journal of Automation and Information Sciences. 2019. 51. N 6. P. 12–24. https://doi.org/ 10.1615/JAutomatInfScien.v51.i6.20. 26. Popov L.D. A modification of the Arrow-Hurwicz method for search of saddle points. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1980. 28. N 5. P. 845–848. https://doi.org/10.1007/BF01141092. 27. Semenov V.V. A version of the mirror descent method to solve variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. 53. N 2. P. 234–243. https://doi.org/10.1007/s10559- 017-9923-9. 28. Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of two-stage method with breg- man divergence for solving variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. 55. N 3. P. 359–368. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00142-7. 29. Bacak M. Convex analysis and optimization in hadamard spaces. Berlin-Boston: De Gruyter, 2014. viii+185 p. 30. Kirk W., Shahzad N. Fixed point theory in distance spaces. Cham: Springer, 2014. xii+173 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10927-5. 31. Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A course in metric geometry. graduate studies in mathematics. 2001. 33. Providence: AMS, xiv+415 p. 32. Gidel G., Berard H., Vincent P., Lacoste-Julien S. A variational inequality perspective on genera- tive adversarial networks. arXiv preprint arXiv:1802.10551. 2018. Получено 21.01.2020 Статья представлена к публикации чл.-корр. НАН Украины С.И. Ляшко. javascript:void(0) javascript:void(0) https://www.scopus.com/sourceid/23294?origin=recordpage

Адаптивный экстрапроксимальный алгоритм для задачи о равновесии в пространствах Адамара

Репозитарії

Схожі ресурси