Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений
У першій частині огляду по ігрових задачах зближення–відхилення за участю груп керованих об’єктів розглянуто стан проблеми на даний момент, наведено основні результати, що стосуються методів маневру обходу, втечі за напрямком, змінних напрямків, а також методу інваріантних підпросторів. Розглянуто г...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208770 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 60-77. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208770 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2087702025-11-06T01:06:14Z Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений Конфліктні ситуації за участю груп керованих об’єктів. Частина 1. Уникнення сутичок Conflict situations involving controlled object groups. Part I. Collision avoidance Чикрий, А.А. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений У першій частині огляду по ігрових задачах зближення–відхилення за участю груп керованих об’єктів розглянуто стан проблеми на даний момент, наведено основні результати, що стосуються методів маневру обходу, втечі за напрямком, змінних напрямків, а також методу інваріантних підпросторів. Розглянуто грубий та тонкий випадки в задачі уникнення сутичок, умови вищих порядків, задача про втечу від групи переслідувачів та при взаємодії угрупувань. Ряд загальних результатів сформульовано для нелінійних систем, наведено твердження для багатьох конкретних лінійних задач, враховуючи складність загальної проблеми. Більшість результатів відноситься до глобальної задачі Понтрягіна–Міщенка, а ряд інших — до локальної задачі про втечу, що є розвитком теореми Пшеничного. Реалізація процесів уникнення сутичок відбувається в класах ε-стратегій, ε-контрстратегій та при позиційній інформації. Основним апаратом для обґрунтування математичних конструкцій є методи нелінійного та опуклого аналізу, теорія многозначних відображень. The article provides an overview of the game problems of pursuit-evasion with the participation of groups of controlled objects. In the first part of the review, the current state of the problem is examined. The main results concerning the methods of maneuvering around, deviation in direction, as well as the method of invariant subspaces, are presented. Rough and subtle cases of the problem of collision avoidance, conditions of higher order are explored. The problem of evasion from a group of pursuers and during interaction of the groups is considered. A number of general results for nonlinear systems are formulated, problem statements are given for many specific linear problems, given the complexity of general problem. Most of the results relate to the global Pontryagin–Mishchenko problem and a number of others relate to the local evasion problem, being a development of the Pshenicnyi theorem. Collision avoidance processes are carried out in the classes of ε-strategies, ε-counterstrategies and under positional information. The main apparatus for substantiating mathematical constructions are the methods of nonlinear and convex analysis, the theory of set-valued mappings. 2020 Article Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 60-77. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208770 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i7.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| spellingShingle |
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Чикрий, А.А. Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений Проблемы управления и информатики |
| description |
У першій частині огляду по ігрових задачах зближення–відхилення за участю груп керованих об’єктів розглянуто стан проблеми на даний момент, наведено основні результати, що стосуються методів маневру обходу, втечі за напрямком, змінних напрямків, а також методу інваріантних підпросторів. Розглянуто грубий та тонкий випадки в задачі уникнення сутичок, умови вищих порядків, задача про втечу від групи переслідувачів та при взаємодії угрупувань. Ряд загальних результатів сформульовано для нелінійних систем, наведено твердження для багатьох конкретних лінійних задач, враховуючи складність загальної проблеми. Більшість результатів відноситься до глобальної задачі Понтрягіна–Міщенка, а ряд інших — до локальної задачі про втечу, що є розвитком теореми Пшеничного. Реалізація процесів уникнення сутичок відбувається в класах ε-стратегій, ε-контрстратегій та при позиційній інформації. Основним апаратом для обґрунтування математичних конструкцій є методи нелінійного та опуклого аналізу, теорія многозначних відображень. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, А.А. |
| author_facet |
Чикрий, А.А. |
| author_sort |
Чикрий, А.А. |
| title |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений |
| title_short |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений |
| title_full |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений |
| title_fullStr |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений |
| title_full_unstemmed |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений |
| title_sort |
конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. часть 1. избежание столкновений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208770 |
| citation_txt |
Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 1. Избежание столкновений / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 4. — С. 60-77. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijaa konfliktnyesituaciipriučastiigruppupravlâemyhobʺektovčastʹ1izbežaniestolknovenij AT čikrijaa konflíktnísituacíízaučastûgrupkerovanihobêktívčastina1uniknennâsutičok AT čikrijaa conflictsituationsinvolvingcontrolledobjectgroupsparticollisionavoidance |
| first_indexed |
2025-11-06T02:14:55Z |
| last_indexed |
2025-11-07T02:32:36Z |
| _version_ |
1848097119226822656 |
| fulltext |
© А.А. ЧИКРИЙ, 2020
60 ISSN 0572-2691
КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ
И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
УДК 517.977
А.А. Чикрий
КОНФЛИКТНЫЕ СИТУАЦИИ ПРИ УЧАСТИИ
ГРУПП УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ.
Часть 1. ИЗБЕЖАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
Ключевые слова: конфликтно-управляемый процесс, избежание столкнове-
ний, теорема Пшеничного, ситуация окружения, задача Понтрягина–Мищенко,
метод маневра обхода, уклонение по направлению, метод инвариантных под-
пространств, строго выпуклый компакт, компакт с гладкой границей, набор Ка-
ратеодори.
Введение
Работа посвящена обзору исследований, касающихся динамических игровых
задач со многими участниками в составе противодействующих сторон. Она состоит
из двух частей. В первой рассматривается задача избежания столкновений (укло-
нения от встречи, убегания), которая была поставлена и решена в линейном слу-
чае Л.С. Понтрягиным и Е.Ф. Мищенко [1–4]. Задача состоит в уклонении траек-
тории конфликтно-управляемого процесса от попадания на заданное терминаль-
ное множество на всей полуоси [0, + ) из любых начальных состояний. Тем
самым условия разрешимости задачи определяют тотальное преимущество
стороны, уклоняющей траекторию, и ее называют иногда глобальной задачей
Понтрягина–Мищенко. В определенном смысле она двойственна задаче Калмана
о полной управляемости, когда из любых начальных состояний траектория может
быть приведена на заданное множество. В игровой ситуации говорят о полной кон-
фликтной управляемости [5].
Если речь будет идти об уклонении траектории из заданных начальных со-
стояний, то будем говорить о локальной задаче.
Процесс уклонения может быть реализован при различной информирован-
ности игроков. Как правило, это будут ε-стратегии, ε-контрстратегии или пози-
ционные стратегии. Специфика глобальной задачи избежания столкновений состоит
в том, что стратегию уклонения достаточно строить лишь в окрестности терми-
нального множества. Это означает, что условия преимущества убегающего можно
задавать только на самом множестве, а в окрестности они будут выполнены по
непрерывности.
В исходной работе [1] факт уклонения траектории от встречи с терминаль-
ным множеством устанавливается с помощью текущей оценки расстояния траек-
тории от множества. В последующих работах используются и другие методики.
Имеется ряд идейно различных методов и маневров избежания столкновений.
Это, прежде всего, метод маневра обхода [1–4] и его модификации для нелиней-
ных систем [6-9], методы постоянных и переменных направлений [10–13], метод
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 61
инвариантных подпространств [14, 15], методы, использующие исчисление
Микусинского [16, 17], рекурсивные методы [18–20] и др. Между ними суще-
ствуют глубокие связи и некоторые из упомянутых методов могут быть адаптиро-
ваны для решения глобальной задачи убегания от группы.
В задаче избежания столкновений обычно рассматривают грубый и тонкий
случаи, условия убегания высших порядков и условия убегания от группы. При
этом условия уклонения даются либо в форме минимаксных или максиминных
неравенств, либо в форме включений для множеств.
При взаимодействии группировок в локальной задаче уклонения от встречи
существенную роль играют свойства параметров конфликтно-управляемого про-
цесса — их строгая выпуклость и гладкость границы.
Вторая часть работы — перехват целей, посвящена задаче сближения (пре-
следования) траектории конфликтно-управляемого процесса с терминальным
множеством сложной структуры. С каждой из противодействующих сторон могут
участвовать группы управляемых объектов. В соответствии с этим рассматрива-
ются задачи группового и поочередного преследования, а также конфликтное вза-
имодействие группировок.
Идейную основу для исследований составляют метод разрешающих функций
и правило экстремального прицеливания. В первом случае с помощью обратных
функционалов Минковского и свойств многозначных отображений установлены
достаточные, а иногда и необходимые условия сближения, обосновано парал-
лельное преследование и сближение по лучу. При групповом преследовании фор-
мализована ситуация окружения, а для поочередного сближения — задачи ком-
мивояжерного типа с использованием окружности Аполлония и параллельного
преследования, установлен принцип кратчайшей ломаной.
При наличии фазовых ограничений с учетом окружения решены классиче-
ские задачи из книги Р. Айзекса [21] «Лев и человек», «Крыса, загнанная в угол»,
«Патрулирование коридора», «Игра с линией смерти».
При позиционном групповом преследовании, в частности, обосновано сбли-
жение по погонной кривой Эйлера, дано обобщение правила экстремального при-
целивания Н.Н.Красовского [22] в регулярном случае.
В задаче взаимодействия группировок анонсирован принцип поинтервальной
декомпозиции, рассмотрен ряд частных ситуаций и высказана гипотеза об исходе
взаимодействия группировок при простых движениях.
Как было сказано ранее, основное внимание уделено игровым задачам с группой
участников хотя бы с одной из противодействующих сторон. В свое время подоб-
ные задачи Е.Ф. Мищенко назвал (в присутствии А.С. Понтрягина) вершиной
теории дифференциальных игр. Однако для лучшего понимания математических
конструкций иногда приводятся также схемы методов в случае «один на один».
Следует также заметить, что если рассматривать историческую ретроспективу, то
имеет место следующее обстоятельство. Методы преследования–убегания оди-
ночных объектов появились раньше, чем была поставлена глобальная задача убе-
гания [1]. В то же время при наличии группировок картина обратная. Так, задача
убегания от группы преследователей была поставлена раньше [11], чем появились
методы группового преследования [23,24]. Более того, можно с уверенностью
утверждать, и об этом далее будет сказано подробнее, что задача убегания от
группы послужила толчком к изучению проблемы группового преследования.
Общая постановка задачи
Специфика задачи избежания столкновений состоит еще и в том, что, по су-
ществу, нет необходимости находить решение конфликтно-управляемой системы
в явном виде. О поведении траекторий можно судить по правой части — вектору
скоростей. Поэтому рассмотрим игровую задачу о взаимодействии групп управ-
ляемых объектов в самом общем нелинейном случае.
Пусть задан конфликтно-управляемый процесс
62 ISSN 0572-2691
,),,,( nRzvuzfz = 0)0(,, zzVvUu = . (1)
Здесь vuzf ,,( ) — непрерывная по совокупности переменных функция.
Непрерывность по z обеспечивает существование локального решения, для един-
ственности решения необходимо выполнение локального условия Липшица. Под
решением будем понимать решение по Каратеодори, т.е. абсолютно непрерывную
функцию, почти везде удовлетворяющую системе (1). Продолжимость реше-
ний на весь полуинтервал обеспечивает условие Филиппова подлинейного ро-
ста вектора скоростей
,),1(),,( nRzzCvuzf + (2)
с некоторой положительной постоянной C при любых ,, VvUu ,U ),( nRKV
)( nRK — совокупность непустых компактов евклидового пространства nR .
Уточним структуру системы (1) в соответствии с содержанием исходной за-
дачи о конфликтном взаимодействии групп управляемых объектов.
Если в игре участвуют v преследователей и μ убегающих, то будем считать,
что фазовый вектор имеет вид ),...,...,,...,,( 1111 = vv zzzzz , где ijz представляет
собой пару iji xyx ),,( — состояние i-го преследователя, а jy — состояние j-го
убегающего, ....,,1,...,,1 == ji Вектор скоростей )},,,({),,( jiijij vuzfvuzf =
,,1,,1 == ji а параметры управления групп )....,,(),...,,( 11 == vvvuuu Об-
ласти управлений == VVVUUU ...,... 11 , а пространство nR является
прямым произведением пространств .,1,,1, == jiR ijn
В качестве допустимых управлений все игроки используют измеримые по
Лебегу, далее просто измеримые, функции времени со значениями из соответ-
ствующих компактных областей управления.
Кроме процесса (1) задано терминальное множество, имеющее сложную
структуру и состоящее из цилиндрических множеств в ijn
R :
==+= ...,,1,...,,1,0 jiMMM ijijij , (3)
где
0
ijM — линейные подпространства из ijn
R , а ijM — компакты, принадлежа-
щие ортогональным дополнениям ijL к
0
ijM в ijn
R .
Содержательно подпространство
0
ijM отражает факт точного совпадения ча-
сти фазовых координат i -го игрока первой стороны с соответствующими коор-
динатами j -го игрока второй противодействующей стороны. В свою очередь,
множества ijM в простых ситуациях задают радиус захвата i -м игроком соответ-
ствующих координат j -го игрока.
Целью первой стороны является построение такой стратегии, которая позво-
ляет для каждого }...,,1{ j вывести траектории )(tzij на соответствующие
множества
ijM с некоторыми номерами i (для каждого j номера i , вообще го-
воря, различны) в конечные моменты времени. Выражаясь простым языком,
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 63
управляемые объекты первой стороны должны перехватить все цели второй сто-
роны за конечное время.
Стратегическая задача второй стороны — так управлять процессом, чтобы
хотя бы для одного }...,,1{ j и для всех }...,,1{ i ijij Mtz )( для всех
),0[ +t . Иными словами, хотя бы один из управляемых объектов второй сто-
роны должен уцелеть.
Если это невозможно, то следует максимально оттянуть время перехвата всех
целей второй стороны.
Предметом для исследования данной части работы будет задача избежания
столкновений в интересах второй стороны.
Информированность и используемые стратегии будут определены при фор-
мулировке результатов.
Поскольку работа обзорная, доказательства опущены, иногда указаны
идеи, но в любом случае приведены ссылки на соответствующие источники.
Если с одной из противодействующих сторон участвует лишь один игрок, то
в обозначениях соответствующий индекс будем опускать. В частности, в задаче
«один на один» или в случае убегания одного от группы преследователей.
Проблема избежания столкновений
Поскольку работа [1] была первой и базовой для создания теории избежания
столкновений, приведем ее результат, касающийся линейных систем.
Пусть 1,1 ==ν , терминальное множество 0M — линейное подпространство,
задана динамика
,, nRzvuAzz −+= )(,),(, nn RKVVvRKUUu .
Обозначим через L ортогональное дополнение к 0M в nR , будем предполо-
гать, что 2dim L и пусть — ортопроектор , действующий из nR в L .
Условия Понтрягина–Мищенко состоят в следующем. Существует такое це-
лое положительное число k , что множества ,1...,,1,, −= ksVAUA ss
являются
точками, а геометрическая разность UAVA kk −
содержит внутренние относи-
тельно L точки, причем VAk является телом в L .
Приведенные условия достаточны для разрешимости глобальной задачи убе-
гания, а соответствующее доказательство основано на оценке снизу текущего рас-
стояния точки )(tz до 0M , причем убегающий в момент t может использовать
информацию о )(tz и )(tu . При этом маневр уклонения состоит в разведении
корней двух полиномов с помощью управлений, стоящих при их старших степе-
нях. Впоследствии этот прием сформулирован в виде леммы о квадратах [3] , ма-
невра уклонения и разгона [9] .
Несколько позже Р.В. Гамкрелидзе заметил, что условия Понтрягина–
Мищенко достаточно требовать лишь на некотором двумерном подпростран-
стве W пространства L , что соответствует так называемому, грубому случаю.
Остановимся более подробно на методах, использующих для установле-
ния факта уклонения проектирование траекторий на подходящие направления
из подпространства L и позволяющие в единой форме минимаксных и макси-
минных неравенств охватить различную информированность игроков в про-
цессе уклонения.
64 ISSN 0572-2691
Пусть 1,1 == и конфликтно-управляемый процесс задается нелинейной
системой (1), удовлетворяющей всем оговоренным ранее свойствам, а терминаль-
ное множество 0MM = является линейным подпространством.
Определим стратегии игроков, учитывая что игровая задача рассматривается
в интересах убегающего.
Будем говорить, что задана -стратегия убегающего, если для каждого со-
стояния nRzz , , определено положительное число )(z и функция
)](,0[),,( ztztv , удовлетворяющая условию ),()( ztvtv = — измеримая функ-
ция времени, принимающая значения из множества V .
Если )(tv постоянна при )](,0[ zt для всех nRz , то говорят о кусочно-
постоянной стратегии.
Будем говорить, что -контрстратегия убегающего задана, если для каждого
nRzz , , задано положительное число )(z и функция ),,,( uztv )],(,0[ zt
Uu , удовлетворяющая условию суперпозиционной измеримости: если )(tu из-
мерима, то функция ))(,,()( tuztvtv = также измерима и принимает значения из
множества V .
Как и ранее, L — ортогональное дополнение 0M в nR . Пусть W — некоторое
подпространство из L , а W — ортопроектор, действующий из nR в W . Обра-
зуем последовательность функций ),,()( vuzs с помощью рекуррентного соотно-
шения ),,,(),,(),,( )1()( vuzfvuzvuz s
z
s −= zvuzs
W
== ),,(...,,2,1 )0(
, где
),,()( vuzs
z — матрица первых производных от вектор-функции ),,()( vuzs
по z . Единичную сферу в W обозначим }1,:{ == pWppSW и введем
многозначное отображение
...,2,1),,,(),,( )(
,
)( ==
svuzVUz s
VvUu
s
Рассмотрим условия уклонения от встречи траекторий системы (1) с терми-
нальным множеством 0M первого порядка, т.е. тот случай, когда о возможности
уклонения делается вывод по соотношению ресурсов управления игроков в
наименьшей из производных от zW вдоль траекторий системы (1), которая за-
висит от параметров управления.
Пусть существует натуральное число k , подпространство
2dim,, WLWW , и непрерывная функция WRlzl n →::)( такие, что выпол-
нены следующие условия.
Условие 1. Образы многозначных отображений ),,,()( VUzs 1...,,1 −= ki ,
состоят из единственных точек )()( zs , nRz , причем функции )()( zs диффе-
ренцируемы по z .
Это условие содержательно означает, что до некоторого порядка производ-
ные от zW в силу системы (1) не зависят от параметров управления. Оно отра-
жает структуру конфликтно-управляемой динамической системы, ее инерцион-
ность. Так, если движения преследователя и убегающего описываются линейны-
ми уравнениями второго порядка, их состояние — это геометрические
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 65
координаты, совпадение которых определяет множество 0M , а управление воз-
действует на ускорение, то 2=k . Подобная ситуация имеет место, например,
в контрольном примере Л.С. Понтрягина [4].
Нижеследующие условия задают определенное преимущество убегающего
над преследователем в минимаксной или максиминной форме.
Условие 2. Для всех 0Mz справедливо неравенство
0))(),,(,(minmaxmin )( +
zlvuzp k
UuVvSp W
. (4)
Условие 3. Для всех 0Mz имеет место
0))(),,(,(maxminmin)( )( +=
zlvuzpz k
VvUuSp W
. (5)
Последнее неравенство (5) эквивалентно включению для многозначных
отображений
),,()()( )( VuzcocoSzzl k
Uu
W +
,
где co — овыпукление множества.
Заметим также, что экстремумы в соотношениях (4), (5) достигаются, так как
в силу предположений о параметрах конфликтно-управляемого процесса выпол-
нены условия теоремы Вейерштрасса и необходимая непрерывность по совокуп-
ности переменных имеет место.
Нижеследующие утверждения дают достаточные условия уклонения от
встречи в так называемом, грубом случае, когда есть преимущество убегающего
на некотором двумерном подпространстве из L .
Теорема 1. Пусть для нелинейного конфликтно-управляемого процесса (1–3)
выполнены условия 1 и 2. Тогда задача избежания столкновений разрешима
в классе -стратегий.
Такой результат содержится, например, в работе [9]. При дополнительном
предположении 1dim + kW ранее достаточные условия избежания столкнове-
ний в классе кусочно-постоянных стратегий были получены в [10]. К этому
направлению можно отнести работы [11–13].
Теорема 2. Пусть для нелинейного конфликтно-управляемого процесса (1–3)
выполнены условия 1 и 3. Тогда задача об избежании столкновений разрешима в
классе -контрстратегий.
Подавляющее большинство результатов по нелинейной теории избежания
столкновений покрывается теоремой 2. При этом используется различная техника,
чаще всего метод маневра обхода и его модификации.
Доказательство теорем 1 и 2 основано на представлении проекции решения
нелинейной системы (1) в виде некоторого аналога формулы Тейлора
−
−
+=
−
=
−
dvuz
k
t
z
i
t
tz k
k
i
t k
o
i
i
W ))(),(),((
)!1(
)(
)(
!
)( )(
1
0 0
1
)( , (6)
которое может быть получено с помощью интегрирования по частям системы (1)
с учетом условия 1. Это представление, по существу, заменило формулу Коши для
квазилинейных систем. Формула (6) получена в работах [10, 25] и явилась толчком к
исследованию задачи избежания столкновений для нелинейных систем.
Следует заметить, что грубый случай соответствует ситуации, когда, напри-
мер, терминальное множество определяется совпадением лишь геометрических
66 ISSN 0572-2691
координат управляющих объектов. Тонкий же случай предполагает, в частности,
совпадение не только геометрических координат, но и скоростей объектов. Суще-
ствуют даже специальные термины для обозначения этой ситуации, такие как
«мягкая посадка» или «причаливание».
Поэтому в плане избежания столкновений появляются дополнительные воз-
можности получить более тонкие условия. Процедура получения достаточных
условий избежания столкновений в тонком случае полностью аналогична опи-
санной в грубом случае. Рассмотрим два одномерных подпространства 1W и 2W
из L и образуем последовательности функций
),,(),,(),,(
)1()( vuzfvuzvuz
s
rz
s
r
−
= ,
,),,()0( zvuz
rWr = 2,1...,,2,1 == rs ,
где
rW — ортопроекторы, действующие из nR в rW .
Пусть существуют натуральные числа 1k и 2k , 21 kk , одномерные подпро-
странства 1W и 2W из L , 1W 2W , и непрерывные скалярные функции
,2,1,:)( =→ rWRzl r
n
r такие, что выполнены следующие условия.
Условие 4. Образы многозначных отображений ),,,(
)(
VUz
s
r ,1...,,1 −= rks
2,1=r , состоят из единственных точек )(
)(
z
s
r при всех nRz , причем эти
функции дифференцируемы по z .
Условие 5. Для всех 0Mz справедливы неравенства
.2,1,0))(),,(,(minmaxmin
)(
=+
rzlvuzp r
k
r
UuVvSp
r
rW
(7)
Условие 6. Для всех 0Mz справедливы неравенства
.2,1,0))(),,(,(maxminmin
)(
=+
rzlvuzp r
k
r
VvUuSp
r
rW
(8)
Теорема 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1–3) с ,1=
1= и линейного подпространства 0M в качестве терминального множества
выполнены условия 4 и 5. Тогда возможно уклонение от встречи в классе -
стратегий, если же выполнены условия 4 и 6, — то в классе -контрстратегий.
Результаты, касающиеся тонкого случая, содержатся, например, в работе [9].
Отдельного внимания заслуживают условия высших порядков. Когда сравнение
ресурсов управления игроков в наименьшей производной от zW , зависящей
от параметров управления, не дает преимущества убегающему, то приходится
привлекать производные более высоких порядков. Другими словами, условия 2
и 3 не имеют места, но существует некоторое равенство по ресурсам управле-
ния. Тогда процедуру построения последовательности ...,2,1),,,()( = svuzs
,
следует продолжить до тех пор, пока не проявится преимущество убегающего
в виде некоторых аналогов неравенств (4), (5). В этом случае достаточные
условия избежания столкновений называют условиями высших порядков. По-
добные результаты на основе маневра обхода содержатся в работах П.Б. Гу-
сятникова, другие результаты с помощью методов уклонения по направлению
получены, в частности, в работе [13].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 67
Убегание от группы преследователей. Теорема Пшеничного
Развитие методов избежания столкновений в случае «один на один» стиму-
лировало поиск новых задач, связанных с уклонением от встречи. Первой из та-
ких проблем, попавшей в поле зрения исследователей, оказалась задача об убега-
нии от группы преследователей, главное отличие которой в том, что терминаль-
ное множество — объединение линейных подпространств и, следовательно, не
является выпуклым.
Автор данной работы в конце 1973 г. сделал доклады в Математическом
институте им. В.А. Стеклова и в Московском университете им. М.В. Ломоносова
по решению линейной задачи убегания от группы преследователей на основе
метода уклонения по направлению, результаты опубликованы в [11]. Была
введена функция
2,2,,,),(minmaxmin),(
...,,111
=
===
nRvRpvpn nn
ii
ivpi
,
которая определяет преимущество в ресурсах управления убегающего над
каждым из преследователей. Ввиду важности этой функции приведем более
точно результат для простых движений.
Динамика группы преследователей и убегающего имеет вид
,,)0(,...,,1,1, 0
.
n
iiiiii Rxxxiuux ===
nRyyyavvy == ,)0(,, 0
.
. (9)
Поимка i -м преследователем убегающего означает, что yxi = . Оказывается,
что при условии 1),( an прямолинейное движение убегающего в подхо-
дящем направлении позволяет уклониться от встречи с преследователями из
любых начальных состояний. Заметим, что функция ),( n обладает следую-
щими свойствами:
,
2
sin)2,(
n
n =
=
2
sin),2( .
Кроме того, ),max(,1
2
sin),(0 =
nn .
Поскольку задача новая, то после упомянутых выступлений последовало раз-
витие во многих направлениях. Так, в работе [26] показано, что в задаче (10) при
более сложном маневре убегания с использованием движения по логарифмической
спирали достаточно иметь преимущество над каждым из преследователей по скоро-
сти ( 1a ). Развитие подхода последовало, например, в работе [27].
Отметим, что независимо задача убегания от группы преследователей на ос-
нове маневра обхода рассматривалась П.Б. Гусятниковым. Оба эти подхода до-
кладывались на Одесской конференции по теории игр в 1974 г.
Однако, по-видимому, наиболее важный шаг после появления функции
),( n был сделан Б.Н. Пшеничным [28].
Положим, 1=a и рассмотрим задачу (9) с точки зрения группы преследова-
телей. В выражении для функции ),( n уберем внешний минимум и модуль,
положив =
−
−
= ...,,1,
00
00
i
yx
yx
p
i
i
i . Тогда условие 0),(minmax
,...,11
==
vpi
iv
эквива-
лентно включению
68 ISSN 0572-2691
}...,,{int 00
1
0
xxcoy , (10)
которое означает, что в начальный момент положение убегающего принадлежит
внутренности выпуклой оболочки, натянутой на начальные положения убегающих.
Включение (10) назовем окружением по Пшеничному [28]. Справедливо
следующее утверждение.
Теорема Пшеничного. Пусть задана задача группового преследования–
убегания (10), причем 1=a . Тогда для того, чтобы группа преследователей могла
поймать убегающего за конечное время, необходимо и достаточно, чтобы было
выполнено включение (10) для начальных положений игроков.
Процесс группового преследования окруженного убегающего реализуется с
помощью стратегии параллельного сближения [29]. Если же начальное положение
убегающего лежит на границе или вне выпуклой оболочки, натянутой на началь-
ные положения преследователей, то всегда существует гиперплоскость, вообще
говоря, нестрого отделяющая убегающего от группы преследователей, и движе-
ние по нормали к этой гиперплоскости в соответствующую сторону обеспечивает
убегающему уклонение от встречи с каждым из группы преследователей. Следует
заметить, что как функция ),( n стимулировала формализацию окружения по
Пшеничному и появление соответствующей теоремы, так и теорема Пшеничного
послужила толчком к разработке методов решения локальной (из заданных
начальных положений) задачи группового преследования и локальной задачи убе-
гания от группы преследователей.
Далее предлагается один из способов получения достаточных условий разреши-
мости глобальной задачи избежания столкновений при участии одного убегающего
и группы преследователей на основе метода уклонения по направлению [10].
Пусть задана нелинейная дифференциальная игра (1) с терминальным множе-
ством, которое является объединением конечного числа линейных подпространств
00
1 ...,, vMM из nR . В общей постановке задачи ν преследователей и один убегаю-
щий ( 1= ), ,...,,1,0,0 === iMMM iii ,mn
RR i = ....
ν
mmn RRR =
Путь iL — ортогональное дополнение к
0
iM в mR ; iW — некоторые под-
пространства из iL , а i — ортопроектор из mR в iW .
По аналогии с предыдущими построениями образуем последовательность
функций
),,(),,(),,(
)1()(
vuzfvuzvuz
s
iz
s
i
−
= , == ...,,1...,,2,1 is , .),,(
)0(
zvuz ii =
Обозначим прямое произведение единичных сфер = ...,,1, iS
iW :
}1,),...,,(:{... 11
====
iiiWW pWpppppSSS .
По заданному
Sp из 2 векторов = ...,,1, ipi , образуем наборы по
векторов )...,,( 1 = ppp
, где ip
равно либо ip , либо ip− . Обозначим )( pK всю
совокупность указанных наборов для
Sp .
Пусть существуют натуральные числа = ...,,1, iki , линейные подпростран-
ства iii LWW , , и непрерывные функции i
m
ii WRlzl →:),( , такие, что выполне-
ны следующие условия.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 69
Условие 7. =+ ...,,1,2dim ikW ii .
Условие 8. Образы многозначных отображений ),,(
)(
VUz
s
i , ,1...,,1 −= iks
= ...,,1i , состоят из единственных точек )(
)(
z
s
i , nRz , а функции )(
)(
z
s
i
дифференцируемы по z .
Условие 9. Имеет место неравенство
0))(),,(,(minminmaxmaxmin
)(
,..,1)(
+
=
zlvuzp i
k
ii
iUuVvpKpSp
i
(11)
либо
0))(),,(,(minmaxmaxmaxmin
)(
,..,1)(
+
=
zlvuzp i
k
ii
iUuVvpKpSp
i
, (12)
для всех 0
,...,1
i
i
MUz
=
.
Теорема 4. Пусть в нелинейной задаче убегания от группы преследователей
выполнены условия 7, 8 и неравенство (11) условия (9). Тогда возможно убегание
в классе кусочно-постоянных -стратегий. Если же имеет место лишь неравен-
ство (12) условия (9), то убегание возможно в классе -контрстратегий.
Доказательство может быть получено на основе метода убегания по направ-
лению [12], условие 7 допускает ослабление с использованием переменных
направлений [13], оно может быть существенно ослаблено до
== ...,,1,2dim iWi , в грубом случае с использованием -контрстратегий с по-
мощью маневра обхода и его модификаций [7–9], но при этом вместо неравен-
ства (12) следует требовать более жесткое условие преимущества убегающего
на подпространствах = ...,,1, iWi .
В иллюстративных примерах грубое преимущество убегающего над каждым
из преследователей может быть определено с помощью функции ),( n [11].
Метод инвариантных подпространств
Стремление обеспечить избежание столкновений с минимальными требова-
ниями на параметры конфликтно-управляемого процесса (1–3) привело к одному
специальному методу, который называют метод инвариантных подпространств
[14, 15]. При некоторых довольно жестких предположениях в случае «один на
один» для убегания требуется преимущество убегающего лишь на некотором
одномерном подпространстве из L , либо равенство по ресурсам управления в
проекции на некоторое конечное число направлений из L -ортогонального до-
полнения к линейному подпространству 0M .
Обозначим Ate фундаментальную матрицу однородной системы ,Azz = A —
квадратная матрица порядка n , и положим для процесса (1)
Azvuzfvuz −= ),,(),,( .
Теорема 5. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1–3) 1,1 == ,
терминальное множество — линейное подпространство 0M , существует квад-
ратная матрица A , одномерное подпространство W из L , непрерывная строго
положительная функция
1:),( RRz n → и число 0 такие, что WW AA = и
для всех LcoSMz + 0
, )](,0( z , справедливо одно из неравенств:
,0)),,(,(minmaxmin −
vuzep A
UuVvSp W
(13)
70 ISSN 0572-2691
,0)),,(,(maxminmin −
vuzep A
VvUuSp W
(14)
причем максимум по v в каждом случае достигается на единственном элементе.
Тогда, если выполнено неравенство (13), возможно избежание столкновений
в классе позиционных стратегий, а если выполнено неравенство (14) — то в клас-
се позиционных контрстратегий .
Заметим, что условие коммутативности заведомо выполняется, если 0M —
инвариантное подпространство матрицы A . Последнее имеет место, например,
если }0{0 =M .
Приведем несколько иную форму метода. Для этого обозначим s ,
Llls dim,1 =+ , набор векторов 1,),...,,( 1 = iis pLppp , таких, что их
выпуклая оболочка содержит начало координат в качестве внутренней точки.
Такой набор векторов называют положительным базисом или набором Кара-
теодори [23, 24].
Теорема 6. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (1–3), ,1=
1= , а терминальное множество 0M — линейное подпространство. При этом
существует квадратная матрица A , набор Каратеодори s , непрерывная число-
вая строго положительная функция )(z и число 0 такие, что LL AA = и
для всех LcoSMz + 0
и )](,0( z выполняется одно из неравенств:
,0)),,(,(minmaxmin
)( ,...,1
−
vuzep A
i
UuVvpp s
s
(15)
,0)),,(,(maxminmin
)( ,...,1
−
vuzep A
i
VvUupp s
s
(16)
причем максимум по v в каждом случае достигается на единственных элементах.
Тогда если выполнено условие (15), то возможно убегание в классе позици-
онных стратегий, а если имеет место неравенство (16), — то в классе позицион-
ных контрстратегий.
Заметим, что в квазилинейном случае )),(),,(( vuAzvuzf += условия из-
бежания столкновений упрощаются [14].
Распостраним идеологию метода инвариантных подпространств на случай
группы преследователей.
Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (1–3) с 1= , — конечно.
Пространство nR имеет вид =
nnn RRR ...1 . В каждом из in
R выделено линей-
ное подпространство }0{,0 =ii MM . В in
R изменяются координаты ,iz
)...,,( 1 = zzz , )...,,()),,,(...,),,,({),,( 1111 == uuuvuzfvuzfvuzf — управ-
ление группы преследователей, iUUUU ,...1 = — компакт из in
R .
Далее, iL — ортогональное дополнение к
0
iM в in
R , iW — некоторые под-
пространства из iL , а i — ортопроектор из in
R в iW .
Положим =−= ...,,1,),,(),,( izAvuzfvuz iiiiiiii , где iA — квадратные
матрицы порядка
tA
i
ien , — фундаментальные матрицы однородных систем
iii zAz = .
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 71
Теорема 7. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1–3) с группой
преследователей и одним убегающим существуют квадратные матрицы iA , дву-
мерные подпространства iW из iL , = ...,,1i , непрерывная строго положитель-
ная функция )(z и число 0 такие, что iiii AA = и для всех
iLii coSMzz + 0, , )](,0( z , имеет место одно из неравенств:
0)),,(,(minminmaxmaxmin
,..,1)(
−
=
vuzep iii
A
i
iUuVvpKpSp
i
, (17)
.0)),,(,(minmaxminmaxmin
,..,1)(
=
vuzp iiii
iVvUupKpSp
(18)
Причем максимум по v достигается на единственном элементе.
Тогда в случае (17) возможно избежание столкновений в классе позиционных
стратегий, а в случае (18) — в классе позиционных контрстратегий.
Избежание столкновений при взаимодействии группировок
управляемых объектов
Рассмотрим игровую задачу, в которой, с одной стороны, участвуют пре-
следователей, а с другой — убегающих, причем движения игроков линейны,
разделены и происходят в nn
RR ij = для всех == ...,,1,...,,1 ji . Пусть движе-
ние преследователей
=+= ...,,1,, iUuuAxx iiiii , (19)
а динамика убегающих
=+= ...,,1,, jVvvAyy jjjjj , (20)
причем в начальный момент 00
ji yx , где )0(0
ii xx = , )0(0
ij yy = , при всех
== ...,,1,...,,1 ji .
Здесь A — квадратная матрица порядка n , области управлений игроков iU ,
jV компакты, при этом будем предполагать, что
,...,,1, == jVV j = ...,,1, icoVUi . (21)
Под поимкой понимается точное совпадение координат объектов, т.е. i -й
преследователь поймал j -го убегающего, если ji yx = , иначе говоря,
ijM = }:),{(0
jijiij yxyxM == . (22)
Допустимыми управлениями игроков являются измеримые функции време-
ни, при этом убегающие могут использовать информацию о текущей позиции
( yyxx ...,,,...,, 11 ).
Задача убегающих — хотя бы одному уцелеть при ),0[ +t .
Для точной формулировки результатов определим понятия строго выпуклого
компакта и компакта с гладкой границей [23].
Для произвольного компакта X из nR стандартным образом введем опор-
ную функцию [30]
n
Xx
RppxpXC =
),,(max);( ,
и опорное множество
72 ISSN 0572-2691
0)},;(),(:{);( == ppXCxpXxpXH .
Если образы отображения );( pXH состоят из единственных точек при лю-
бом nRp , то говорят, что множество X — строго выпуклый компакт.
Назовем множество X компактом с гладкой границей, если
);( 1pXH =);( 2pXH Ø 1,,, 212121 == pppppp .
Нижеследующие результаты зависят от соотношений между числами ,,, n
а также от свойств границы множества V .
Утверждение 1. Пусть в игре (19), (20), (22) выполнено условие (21), причем
множество V является строго выпуклым компактом. Тогда если выполнено хотя
бы одно из условий: ;2,1 + n ,,12 nn − то разрешима глобальная
задача избежания столкновений.
Утверждение 2. Пусть в игре (19), (20), (22) выполнено условие (21), а мно-
жество V является строго выпуклым компактом с гладкой границей. Тогда если
имеет место хотя бы одно из условий: ;2,2 + n ,,2 nn то разрешима
глобальная задача избежания столкновений.
Из приведенных утверждений вытекают следствия.
Следствие 1. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (19)–(22), при-
чем 2,3 == , а V — строго выпуклый компакт. Тогда разрешима глобальная
задача убегания.
Для простых движений с единичными шарами в качестве областей управле-
ния этот результат получен в [31].
Следствие 2. Пусть для процесса (19)–( 22) 2,4 == , а V — строго вы-
пуклый компакт. Тогда разрешима глобальная задача убегания.
Этот существенно более сложный случай исследован при простых движениях
в работе [32].
Отметим отдельно, что при 2,5 == в случае простых движений на плос-
кости с единичными шарами в качестве областей управления существует взаим-
ное расположение игроков типа окружения по Пшеничному, при котором оба
убегающих могут быть пойманы [31].
Нижеследующее утверждение дает оценку снизу минимального количества
убегающих, при котором в игре (19)–(22) с преследователями разрешима гло-
бальная задача избежания столкновений независимо от размерности игрового
пространства.
Утверждение 3. Пусть в игре (19) — (22) множество V является строго вы-
пуклым компактом с гладкой границей, причем имеют место неравенства
][)],1([log],12)1[(2,2 2 −=++ qq q
— целая часть числа.
Тогда разрешима глобальная задача избежания столкновений.
Результаты утверждений 1–3 содержатся в работах [35, 36, 23]. В случае про-
стых движений результат утверждения, состоящий в оценке по заданному числу
преследователей минимального количества убегающих )(, = , при кото-
ром разрешима глобальная задача убегания, получен в [37]. Там же получены
оценки сверху и снизу величины )( .
Высказана следующая гипотеза [33]. Для простых движений в nR с областя-
ми управлений — единичными шарами при n2,2 = — разрешима глобаль-
ная задача избежания столкновений.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 73
Для случая 2=n гипотеза подтверждена в [32], а при 3=n — в [34].
Наконец, приведем утверждение для 3= , которое не следует из приве-
денных выше.
Утверждение 4. Пусть в игре (19)–(22) ,,0 coSVVUA ji ==== =S
______
,1,,1},1:{ ==== jipp .
Тогда, если при 3= выполнено одно из условий: ,2,6 n ,3,7 n
то разрешима глобальная задача избежания столкновений.
Локальная задача уклонения от встречи группы убегающих
от группы преследователей
Рассмотрим игровую задачу (19)–(22) с преследователями и убегающи-
ми, начальное состояние обозначим
)...,,,...,,(),( 00
1
00
1
000
== yyxxyxz
и установим локальные условия избежания столкновений на ),0[ + в зависимо-
сти от расположения игроков в начальный момент.
Пусть G — некоторое непустое подмножество пространства nR . Положим
)...,,(),...,,( 11 == yyyxxx и определим множества индексов:
}),...,,1(:{),( GxiiGxI i = ,
}),...,,1(:{),( GyjjGyJ j = ,
причем, если существуют индексы ...,1),...,,1),),(( 21 = jjsslGtyJjl
sj... , такие, что )(...)()(
21
tytyty
sjjj === , то полагаем )),(( GtyJjl для
sl ...,,2= .
Предположим, что G — выпуклый компакт, т.е. )( nRcoKG . Обозначим
)(tj решение сопряженной системы −= A , соответствующее начальному
условию jj p= )0( , где jp — единичный опорный вектор к множеству G
в граничной точке ),(, 00 GyJjy j .
Пусть ),(,)\,( 00 GyJGRxI n — количество элементов соответствующих
множеств.
Теорема 8. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (19)–(22). Тогда,
если существует такой выпуклый компакт G , что ),( 0 GyJ )\,( 0 GRxI n
и
для любого ),( 0 GyJj опорная функция );( jVC дифференцируема по j
вдоль траектории )(tj системы (20) для почти всех 0t , то для конфликтно-
управляемого процесса (19)–(22) из начального состояния 0z разрешима локаль-
ная задача убегания.
Следствие 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (19)–(22) множе-
ство V строго выпукло и существует вектор 1, =pp , и индекс )...,,1( j та-
кие, что
74 ISSN 0572-2691
0),(max 00
,...,1
−
−
ji
i
yxp .
Тогда из начального состояния 0z разрешима локальная задача убегания.
Заметим, что в случае простых движений ( 0=A ) при 1= ,
coSVUU ==== ...1 из следствия 3 вытекает известный результат из [28]: если
начальное положение убегающего не принадлежит внутренности выпуклой обо-
лочки, натянутой на начальные положения преследователей, то возможно убега-
ние на полубесконечном интервале ),0[ .
Теорема 9. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (19)–(22), причем
V — строго выпуклый компакт с гладкой границей.
Если существуют множества 1G и 2G из )( nRcoK такие, что 21
0 GGxi
для любого )...,,1( i и имеет место неравенство
)\,( 21
0 GGxI + ))(\,( 21
0 GGRyJ n ),( 2
0 GyJ ,
то из начального состояния 0z разрешима локальная задача убегания.
Следствие 4. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (19)–(22), причем
V — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Существуют гиперплоскости
}),(:{1 == xpRxH n
,
RRpxpRxH nn +== ,}0,),(:{2 ,
и множества )...,,1( I , )...,,1( J такие, что: ,,),( 0 Iixp i ),( 0
ixp
,+ ;\)...,,1( Ii ,),( 0 + jyp Jj , J .I
Тогда из начального состояния 0z разрешима задача убегания.
В случае простых движений игроков с областями управлений — единичными
шарами с центром в нуле — результат следствия содержится в [37].
Об избежании столкновений для объектов,
управляемых по ускорению
Рассмотрим конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов,
движение которых подчинено второму закону Ньютона:
,1, = iii uux
00 )0(,)0( iiii xxxx == , = ...,,1i ,
,1, = jjj vvy
00 )0(,)0( jjjj yyyy == , = ...,,1j ,
причем
0
ix 0
jy при всех = ...,,1i , = ...,,1j .
Такую динамику называют движением материальных точек [22], или движе-
нием крокодилов [21], имея ввиду инерционность объектов. Цель группы убега-
ющих — хотя бы одному избежать поимки ( j i ji yx ). Будем считать, что
все игроки движутся в 2, nRn
.
Введем переменную jiij yxz −= . Тогда получим
,1,1, −= jijiij vuvuz
0)0( ijij zz =
0)0( ijij zz = ,00 ijz
______
,1,,1 == ji .
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 75
Утверждение 5. Пусть для процесса (23) с 1= выполнено условие
=
_
,1
0
0
i
izco .
Тогда из начального состояния )...,,,...,,( 00
1
00
1
0
= zzzzz разрешима задача
избежания столкновений.
Утверждение 6. Пусть для процесса (23) 2,3 == . Тогда для него разре-
шима глобальная задача убегания.
Утверждения 5 и 6 содержатся в [23].
Многие результаты для процессов более сложной структуры [38–46] могут
быть перенесены на ситуацию с группами участников.
Заключение
В первой части обзора по игровым задачам сближения–уклонения с участием
групп управляемых объектов рассмотрено состояние проблемы на данный мо-
мент, приведены основные результаты, касающиеся методов маневра обхода, убе-
гания по направлению, переменных направлений, а также метода инвариантных
подпространств.
Рассмотрены грубый и тонкий случаи в задаче избежания столкновений,
условия высших порядков, задача убегания от группы преследователей и при вза-
имодействии группировок. Ряд общих результатов сформулирован для нелиней-
ных систем, приведены утверждения для многих конкретных линейных задач,
учитывая сложность общей проблемы.
Большинство результатов относится к глобальной задаче Понтрягина–
Мищенко, а ряд других — к локальной задаче убегания, являясь при этом разви-
тием теоремы Пшеничного.
ABSTRACTS
А.О. Чикрій
КОНФЛІКТНІ СИТУАЦІЇ ЗА УЧАСТЮ
ГРУП КЕРОВАНИХ ОБ’ЄКТІВ.
Частина 1. УНИКНЕННЯ СУТИЧОК
У першій частині огляду по ігрових задачах зближення–відхилення за участю
груп керованих об’єктів розглянуто стан проблеми на даний момент, наведено
основні результати, що стосуються методів маневру обходу, втечі за напрям-
ком, змінних напрямків, а також методу інваріантних підпросторів. Розглянуто
грубий та тонкий випадки в задачі уникнення сутичок, умови вищих порядків,
задача про втечу від групи переслідувачів та при взаємодії угрупувань. Ряд
загальних результатів сформульовано для нелінійних систем, наведено тверд-
ження для багатьох конкретних лінійних задач, враховуючи складність загальної
проблеми. Більшість результатів відноситься до глобальної задачі Понтрягі-
на–Міщенка, а ряд інших — до локальної задачі про втечу, що є розвитком тео-
реми Пшеничного. Реалізація процесів уникнення сутичок відбувається в кла-
сах ε-стратегій, ε-контрстратегій та при позиційній інформації. Основним апа-
ратом для обґрунтування математичних конструкцій є методи нелінійного та
опуклого аналізу, теорія многозначних відображень.
Ключові слова: конфліктно-керований процес, уникнення сутичок, теорема
Пшеничного, ситуація оточення, задача Понтрягіна–Міщенка, метод маневру
76 ISSN 0572-2691
обходу, відхилення за напрямком, метод інваріантних підпросторів. строго
опуклий компакт, компакт з гладкою границею, набір Каратеодорі.
A.A. Chikrii
CONFLICT SITUATIONS INVOLVING
CONTROLLED OBJECT GROUPS.
Part I. COLLISION AVOIDANCE
The article provides an overview of the game problems of pursuit-evasion with the
participation of groups of controlled objects. In the first part of the review, the cur-
rent state of the problem is examined. The main results concerning the methods of
maneuvering around, deviation in direction, as well as the method of invariant sub-
spaces, are presented. Rough and subtle cases of the problem of collision avoidance,
conditions of higher order are explored. The problem of evasion from a group of pur-
suers and during interaction of the groups is considered. A number of general results
for nonlinear systems are formulated, problem statements are given for many specific
linear problems, given the complexity of general problem. Most of the results relate
to the global Pontryagin–Mishchenko problem and a number of others relate to the
local evasion problem, being a development of the Pshenicnyi theorem. Collision
avoidance processes are carried out in the classes of ε-strategies,
ε-counterstrategies and under positional information. The main apparatus for substan-
tiating mathematical constructions are the methods of nonlinear and convex analysis,
the theory of set-valued mappings.
Key words: conflict-controlled process, collision avoidance, Pshenichnyi theorem,
environment situation, Pontryagin–Mishchenko problem, bypass maneuver method,
deviation in direction, method of invariant subspaces, strictly convex compact, com-
pact with a smooth border, Caratheodory set.
REFERENCES
1. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от друго-
го. ДАН СССР. 1969. 189, № 4. С. 721–723.
2. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференци-
альных играх. Дифференциальные уравнения. 1971. 7, № 3. С. 436–445.
3. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания. Тр. МИАН. 1971. 112. С. 30–63.
4. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М.: Наука, 1988. 2. 576 с.
5. Belousov A.A., Chikrii A.A. Complete conflict controllability of quasilinear processes. Journal of
Applied mathematics and Mechanics, 1990, 54, N 6. P. 735–744.
6. Пшеничный Б.Н. О задаче убегания. Кибернетика. 1975. № 4. С. 120–127.
7. Гусятников П.Б. Дифференциальная игра убегания m-лиц. Изв. АН СССР, Техн кибернети-
ка. 1978. № 6. С. 3–14.
8. Гусятников П.Б. Убегание одного нелинейного объекта от нескольких более инертных пре-
следователей. Дифференциальные уравнения. 1976. 12, № 2. С. 1316–1324.
9. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев: Наук. думка, 1992. 260 с.
10. Chikrii A.A. Deviation problems in nonlinear differential games. Cybernetics, 1975, 11, N 3.
P. 412–415.
11. Chikrii A.A. Linear problem of avoiding several pursuers. Engineering Cybernetics, 1976, 14,
N 4, P. 38–42.
12. Chikrii A.A. Sufficient conditions for avoidance in nonlinear differential games between several
persons. Engineering Cybernetics, 1978, 16, N 6. P. 8–15.
13. Chikrii A.A. Method of alternating directions in nonlinear differential games of evasion. Cyber-
netics, 1984, 20, N 1. P. 71–82.
14. Pshenichnyi B. N., Chikrii A.A. Differential game of avoidance. Engineering Cybernetics, 1977,
15, N 1. P. 1–5.
15. Chikrii A.A. Technique for avoiding several pursuers. Automation and remote control, 1978, 39,
N 8. P. 122–126.
16. Gamkrelidze R. V., Kharatishvili G. L. A differential game of evasion with nonlinear control. SI-
AM J. Control. 1974. 12, N 2. P. 332–349.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2020, № 4 77
17. Никольский М.С. О линейной задаче убегания. ДАН СССР. 1974. 218, № 5. С. 1024–1027.
18. Borovko P., Rzymowski W., Stachura A. Evasion from many pursuers in the simple case.
J. Math. Anal. And Appl., 1988. 135, N 1. P. 75–80.
19. Chodun W. Differential games of evasion with many pursuers. J. Math. Anal. And Appl., 1989,
142, N 2. P. 370–389.
20. Губарев Е.В. Убегание от группы преследователей. Автоматика. 1992. № 5. С. 66–70.
21. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.
22. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
23. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Springer Science and Busines Media. Dordrecht, Bos-
ton; London. 2013. 424 p.
24. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек-
тов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.
25. Pshenichnyi B. N., Chikrii A.A. The problem of avoiding contact in differential games. USSR
Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1974, 14, N 6. P. 46–56.
26. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.; Наука, 1978. 280 с.
27. Зак В.Л. Об одной задаче уклонения от многих преследователей. ПММ. 1979. 43, № 3.
С. 57–71.
28. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами. Кибернетика. 1976. № 3.
С. 115–116.
29. Locke S. Arthur, Guidance. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, 1955. 776 p.
30. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.
31. Григоренко Н.Л. Преследование несколькими управляемыми объектами двух убегающих.
ДАН СССР. 1985. т. 282, № 5. С.1051–1054.
32. Чикрий А.А., Прокопович П.В. О взаимодействии групп управляемых объектов. Теория
оптимальных решений. 1987. С. 71–75.
33. Chikrii A.A. Escape Problem for Control Dynamic Objects. Journal of Automation and Infor-
mation Sciences, 1997, 29, N 6. P. 71–82.
34. Chikrii A.A, Ignatenko A.P. A problem of evasion of two controlled objects from a group of pur-
suers in the three-dimensional space. Journal of Automation and Information Sciences, 2002, 34,
N 1. P. 1–26.
35. Прокопович П.В., Чикрий А.А. Линейная задача убегания при взаимодействии групп объ-
ектов. ПММ. 1994. 58, № 4. С. 12–20.
36. Chikrii A.A., Prokopovich P.V. Linear avoidance in the case of interaction of controlled objects
group. Annals of International Society of Dynamic Games, New Trends in Dynamic Games and
Applications, Birkhauser. 1995, 3. P. 259–269.
37. Петров Н.Н., Петров Н.Н. О дифференциальной игре «казаки-разбойники». Дифференци-
альные уравнения. 1983. 19, № 8. С.1366–1374.
38. Baranovskaya L.V., Chikrii Al.A. Game problems for a class of hereditaly systems. Journal of
Automation and Information Sciences, 1997, 29, N 2. P. 87–97.
39. Chikrii G.T. Principle of time stretching in evolutionary games of approach. Journal of Automa-
tion and Information Sciences, 2016, 48, N 5. P. 12–26.
40. Nakonechnyi A.G., Mashchenko S.O., Chikrii V.K. Motion control under conflict condition.
Journal of Automation and Information Sciences, 2018, 50, N 1. P. 54–75.
41. Bigun Ya. I., Kryvonos I. Iu., Chikrii Al.A., Chikrii K.A. Group approach under phase con-
straints. Journal of Automation and Information Sciences, 2014, 46, N 4. P. 1–8.
42. Pepelyaev V.A., Chikrii Al.A. On the game dynamics problems for nonstationary controlled pro-
cesses. Journal of Automation and Information Sciences, 2017, 49, N 3. P.13–23.
43. Kryvonos I. Iu., Chikrii Al.A., Chikrii K.A. On an approach scheme in nonstationary game prob-
lems. Journal of Automation and Information Sciences, 2013, 45, N 8. P. 32–40.
44. Vlasenko L.A. Existence and uniqueness theorems for an implicit delay differential equations,
Differential Equations, 2000, 36, N 5. P. 689–694.
45. Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Stochastic impulse control of parabolic systems of Soblev type, Dif-
ferential Equations, 2011, 47, N 10. P. 1498–1507.
46. Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Optimal control of a class of random distributed Sobolev type sys-
tems with aftereffect, Journal of Automation and Information Sciences, 2013, 45, N 9. P. 65–76.
Получено 04.05.2020
|