Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей

Викладено огляд методів дослідження конфліктних ситуацій за участю груп керованих об’єктів з кожної з протидіючих сторін. Анонсований принцип поінтервальної декомпозиції передбачає розв’язання типових задач цілерозподілу, групового та почергового переслідування. Для розв’язання останніх використовує...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
1. Verfasser:	Чикрий, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208784
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 5. — С. 82-108. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208784
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2087842025-11-06T12:50:56Z Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей Конфліктні ситуації за участю груп керованих об’єктів. Частина 2. Перехоплення цілей Conflict situations involving controlled object groups. Part ІІ. Target interception Чикрий, А.А. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Викладено огляд методів дослідження конфліктних ситуацій за участю груп керованих об’єктів з кожної з протидіючих сторін. Анонсований принцип поінтервальної декомпозиції передбачає розв’язання типових задач цілерозподілу, групового та почергового переслідування. Для розв’язання останніх використовується метод розв’язуючих функцій та правило екстремального прицілювання М.М. Красовського. Метод розв’язуючих функцій, зокрема, дозволив описати ситуацію оточення за наявності групи переслідувачів, а також в задачах з фазовими обмеженнями. Це дало можливість розв’язати ряд класичних задач з книги Р. Айзекса. В задачі комівояжерного типу — почергового переслідування з використанням закону паралельного зближення та властивостей аполлонієва кола дано алгоритм зведення до скінченовимірної задачі умовної оптимізації. При позиційному груповому переслідуванні використано ідеї принципу максимуму Л.С. Понтрягіна, а також схему Б.М. Пшеничного, пов’язану з часом першого поглинання. Результати ілюструються на модель-них прикладах ігрових ситуацій. Процеси переслідування реалізовані в класі квазістратегій та позиційних стратегій М.М. Красовського. An overview of research methods of conflict situations involving groups of con-trolled objects on each of the counteracting sides is presented. The announced principle of interval decomposition includes solving typical problems of target dis-tribution, group and successive pursuit. To solve them, the method of resolving functions and the extremal aiming rule of N.N. Krasovskii are used. The method of resolving functions, in particular, made it possible to describe the environment situation in the presence of a group of pursuers, as well as in the problems with phase constraints. This made it possible to solve a number of classical problems from the book of R. Isaacs. In the problem of traveling salesman type, namely, in the successive approach, using the law of parallel pursuit and the properties of the Apollonius circle, an algorithm is given for reducing to the finite-dimensional con-ditional optimization problem. In the positional group pursuit, the ideas of the L.S. Pontryagin maximum principle as well as the B.N. Pshenichnyi scheme associated with the first absorption time are used. The results are illustrated on model examples of game situations. The pursuit processes are implemented in the class of stroboscopic strategies of O. Hajek as well as with the help of quasi-strategies and positional strategies of N.N. Krasovskii. Работа выполнена при частичной поддержке Национального фонда исследований Украины. Грант № 2020.02/0121 2020 Article Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 5. — С. 82-108. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208784 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i10.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
spellingShingle	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Чикрий, А.А. Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей Проблемы управления и информатики
description	Викладено огляд методів дослідження конфліктних ситуацій за участю груп керованих об’єктів з кожної з протидіючих сторін. Анонсований принцип поінтервальної декомпозиції передбачає розв’язання типових задач цілерозподілу, групового та почергового переслідування. Для розв’язання останніх використовується метод розв’язуючих функцій та правило екстремального прицілювання М.М. Красовського. Метод розв’язуючих функцій, зокрема, дозволив описати ситуацію оточення за наявності групи переслідувачів, а також в задачах з фазовими обмеженнями. Це дало можливість розв’язати ряд класичних задач з книги Р. Айзекса. В задачі комівояжерного типу — почергового переслідування з використанням закону паралельного зближення та властивостей аполлонієва кола дано алгоритм зведення до скінченовимірної задачі умовної оптимізації. При позиційному груповому переслідуванні використано ідеї принципу максимуму Л.С. Понтрягіна, а також схему Б.М. Пшеничного, пов’язану з часом першого поглинання. Результати ілюструються на модель-них прикладах ігрових ситуацій. Процеси переслідування реалізовані в класі квазістратегій та позиційних стратегій М.М. Красовського.
format	Article
author	Чикрий, А.А.
author_facet	Чикрий, А.А.
author_sort	Чикрий, А.А.
title	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей
title_short	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей
title_full	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей
title_fullStr	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей
title_full_unstemmed	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей
title_sort	конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. часть 2. перехват целей
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208784
citation_txt	Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей / А.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 5. — С. 82-108. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT čikrijaa konfliktnyesituaciipriučastiigruppupravlâemyhobʺektovčastʹ2perehvatcelej AT čikrijaa konflíktnísituacíízaučastûgrupkerovanihobêktívčastina2perehoplennâcílej AT čikrijaa conflictsituationsinvolvingcontrolledobjectgroupspartíítargetinterception
first_indexed	2025-11-07T02:34:47Z
last_indexed	2025-11-07T02:34:47Z
_version_	1848097255978958848
fulltext	© А.А. ЧИКРИЙ, 2020 82 ISSN 0572-2691 КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ УДК 517.977 А.А. Чикрий КОНФЛИКТНЫЕ СИТУАЦИИ ПРИ УЧАСТИИ ГРУПП УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ. Часть 2. ПЕРЕХВАТ ЦЕЛЕЙ Ключевые слова: Конфликтно-управляемый процесс, условие Понтрягина, теорема Пшеничного, окружность Аполлония, метод разрешающих функций, правило экстремального прицеливания Красовского, многозначное отображе- ние, стробоскопическая стратегия Хайека, групповое и поочередное преследо- вание, ситуация окружения, принцип кратчайшей ломаной. Введение Статья является продолжением обзорной работы, первая часть которой [1] посвящена избежанию столкновений в конфликтных ситуациях с группами участников, с той лишь разницей, что проблема теперь рассматривается в интере- сах стороны, реализующей процесс сближения (преследование, перехват целей). В теории дифференциальных игр, конфликтно-управляемых процессов, где изу- чаются подобные задачи, созданы, в частности, методы, отражающие идеологию ди- намического программирования. К ним можно отнести подход, связанный с уравне- нием Гамильтона–Якоби–Беллмана–Айзекса — основным уравнением теории диф- ференциальных игр [2], а также понятные процедуры Понтрягина–Пшеничного [3, 4]. По большому счету в этой идеологии в процессе конфликтного противостоя- ния одна из сторон максимизирует, а другая минимизирует заданный функционал качества (например, время перехвата цели) в каждый текущий момент времени и, тем самым, оптимизация конфликтно-управляемого процесса в целом сводится к нахождению континуального минимакса или максимина интегрального функцио- нала. В дискретной ситуации число экстремумов счетно или конечно. Стремление найти оптимальные решения для обеих сторон, тем более при участии групп управляемых объектов, является сложнейшей задачей. Поэтому для принятия решений в конфликтных ситуациях разработан ряд эффективных математических методов, обеспечивающих гарантированный результат и дающих достаточные условия выполнения задачи, не ставя во главу угла вопрос опти- мальности, что с практической точки зрения вполне оправдано. Это, прежде все- го, первый прямой метод Л.С. Понтрягина [3], правило экстремального прицели- вания Н.Н. Красовского [5] и метод разрешающих функций [6]. Более того, два последних из упомянутых методов допускают адаптацию в задачах с группами участников. Привлекательной стороной метода разрешающих функций является тот факт, что он дает полное обоснование классического пра- вила параллельного преследования и метода сближения по лучу [7], а также поз-  Работа выполнена при частичной поддержке Национального фонда исследований Украины. Грант № 2020.02/0121 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 83 воляет эффективно использовать современную технику многозначных отображе- ний и их селекторов [8, 9] в обосновании игровых конструкций и получении на их основе содержательных результатов. Метод восходит к теореме Пшеничного [1, 10] и ситуации окружения, позво- лившей впоследствии развить теорию группового преследования [6, 11–13, 15]. Широкие возможности метода разрешающих функций продемонстрированы на задаче поочередного преследования с использованием окружностей Апол- лония [6, 14], а также в задачах с фазовыми ограничениями [6, 15], причем реше- ны классические задачи «Лев и человек», «Крыса, загнанная в угол», «Патрулиро- вание коридора», «Игра с линией смерти» [2]. Накопительный принцип, заложенный в методе, является естественным, а его универсальность позволяет в единой схеме охватить конфликтно-управляемые процессы, описываемые интегральными, интегро-дифференциальными, диффе- ренциально-разностными уравнениями [16, 17], уравнениями в частных произ- водных [18], с дробными производными [19] и импульсным воздействием [20], нестационарные процессы [21–23], гибридные системы. В свою очередь, правило экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [5], являющееся развитием принципа максимума Л.С. Понтрягина [3], в случае груп- пового и поочередного преследования позволяет реализовать позиционный спо- соб принятия решений в этих задачах и исследовать проблему конфликтного вза- имодействия групп управляемых объектов при различной информированности. Метод разрешающих функций Так же, как функция , введенная в [24] и описанная в работе [1], стимулировала формализацию ситуа- ции окружения, так и соответствующая теорема Пшеничного [10] стала толчком к разработке метода разрешающих функций [6] в задаче группового преследования. Упомянутый метод [25] является ключевым при решении задач группового и поочередного преследования. Приведем его основную схему в случае «один на один». Заметим при этом, что поскольку процесс сближения конфликтно- управляемой траектории с заданным множеством является, вообще говоря, дли- тельным, то для его реализации важно иметь представление решения управляемой системы. Такую роль для квазилинейных процессов выполняет формула Коши, ее особенность такова, что начальные данные отделены от блока управлений. Желая охватить в единой схеме широкие классы функционально-дифференциальных сис- тем, будем рассматривать в качестве исходной динамики несколько более общее представление решения. Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс, описываемый обобщенной квазилинейной системой [25], (1) Здесь функция измерима и ограниче- на при t  0, матричная функция измерима по и суммируема по для каждого Блок управления задается функцией которая непрерывна по совокупности переменных на прямом произведении непу- стых U и V из Управления игроков — измеримые функции времени. 84 ISSN 0572-2691 Терминальное множество имеет цилиндрический вид (2) где — линейное подпространство из а — ортогональное дополнение к в — совокупность непустых компактов из Приняв сторону первого игрока–преследователя, определим его стратегии, считая, что убегающий выбирает произвольное измеримое управление. Если игра (1), (2) происходит на интервале [0, T], то управление преследова- теля в момент выбираем на основе информации о и т.е. в виде где — предыстория управления убе- гающего, или в виде Управление реализует квазистратегию [5], а контруправле- ние — квазистратегию , как предписано стробоскопической стра- тегией О. Хайека [26]. Обозначим ортопроектор, действующий из в Положив рассмотрим многозначные отображения на множестве и соответственно, где Условие 1 (условие Понтрягина). Многозначное отображение замкну- тозначно и на множестве обладает непустыми образами. В силу свойств параметров конфликтно-управляемого процесса (1), (2) отоб- ражение непрерывно в метрике Хаусдорфа [9], отображение измеримо по и замкнуто по Тогда многозначное отображение является измеримым по . Из условия Понтрягина и теоремы измеримого выбора [9] вытекает, что при любом существует хотя бы один измеримый по селектор Введем функцию и рассмотрим многозначное отображение Ø}, (3) Его опорная функция в направлении + 1 (4) Эта функция названа разрешающей [6]. Желая подчеркнуть роль функционалов Минковского и обратных к ним отображений в схеме метода, выразим функцию в другой форме. Для этого введем обратный функционал Минковского [16]: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 85 Тогда Поскольку выполнено условие Понтрягина, то многозначное отображение на множестве имеет непустые замкнутые образы. В частности, при имеем и, соответственно, при любых Эта ситуация соответствует первому прямому методу Понтрягина [6]. На основе теорем о характеризации и обратном образе [9] можно показать, что многозначное отображение является -измеримым по совокупности а разрешающая функция — -из- мерима по совокупности в силу теоремы об опорной функции [9]. Обозначим через совокупность измеримых функций со значениями из Рассмотрим множество . (5) Поскольку функция — -измерима, то она суперпозиционно измерима [27] и интеграл в (5) имеет смысл. Если неравенство в (5) не выполняет- ся при всех то положим . Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие Понтрягина, множество выпукло и для заданной функции , и для некоторого селектора . Тогда траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное мно- жество (2) в момент с помощью подходящей квазистратегии. Если к тому же отображение выпуклозначно, то процесс сближе- ния может быть реализован в классе стробоскопических стратегий [25]. Метод использует совершенно естественный накопительный принцип, функ- ция — это выигрыш преследователя в момент при управляющем воз- действии противника и предполагаемом конце игры Интегральное неравен- ство в (5) определяет необходимый суммарный выигрыш преследователя для окончания игры. Следует заметить, что метод позволяет закончить игру, вообще говоря, лишь в фиксированный момент времени. Кроме приведенной основной схемы метода разрешающих функций суще- ствует ряд модификаций, ориентированных на различные аспекты игровой зада- чи. В частности, это схема приведения траектории в заданную точку множе- ства [6], вариант метода преследования с использованием лишь стробо- скопических стратегий [25], случай с независимостью функции от и дающий возможность закончить игру раньше расчетного времени — исполь- зовать ошибки убегающего [6], функциональная форма первого прямого мето- да Понтрягина [25, 27]. Существенные изменения в схему метода могут внести различные формы преимущества преследователя — условие Понтрягина. Так это условие может быть ослаблено с помощью введения в него телесной части терминального множества [6], играющего важную роль при сближении. Для объектов различной инерционности иногда используют следующий прием. На интервале, где пресле- 86 ISSN 0572-2691 дователь уступает убегающему по ресурсам управления, возможности убегающе- го подавляются, а использованный при этом ресурс вычитается из терминального множества, при этом условие Понтрягина распадается на два условия [6]. Для ко- лебательных процессов иногда используется интегральное условие Понтряги- на [6]. При мягкой встрече (совпадение геометрических координат и скоростей) эффективный результат дает принцип растяжения времени [28], при котором уже упомянутое условие приобретает специальную форму. Метод позволяет исследовать в единой схеме задачи группового преследова- ния, задачи с фазовыми ограничениями как со статическими «лежачими» пресле- дователями [6, 15], игровые задачи поочередного сближения — задачи ком- мивояжерного типа [6, 14], задачи преследования–убегания при взаимодействии группировок [6], задачи о многократной поимке [11, 12] и преследовании строя [12]. Используя представление решения из [1], метод может быть перенесен на нелинейные системы. В последнее время разработан аппарат верхних и нижних разрешающих функций двух типов [29, 30], ориентированный на ситуацию, когда и условие Понтрягина не имеет места. Кроме того, введены матричные разрешаю- щие функции [31], позволяющие не только притягивать к пересечению множество из (3) в конусе на него натянутом, но и осуществлять поворот. Упомянутые новации позволяют расширить классы игровых задач, поддаю- щихся решению, в том числе с группами участников. Групповое преследование При наличии группы из преследователей и одного убегающего можно наблюдать следующие эффекты. Каждый из группы преследователей самостоя- тельно не может поймать убегающего за конечное время, но действуя вместе они могут достичь желаемого результата [6, 11–13, 15]. Иная ситуация, каждый в от- дельности может перехватить убегающего, но сообща они достигают цели быстрее. С формальной точки зрения при постановке задачи достаточно было бы рас- сматривать динамику (1), а в качестве терминального множества — набор из цилиндрических множеств вида (2). Однако, желая подчеркнуть наличие группы преследователей, рассмотрим конфликтно-управляемый процесс (6) где функции измеримы и ограничены при матричные функции измеримы по и суммируемы по для каж- дого Блоки управления — функции непре- рывны по совокупности переменных, — непустые компакты. Допустимые управления игроков — измеримые функции, причем преследователи используют квази- или стробоскопические стратегии. Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств (7) где — линейные подпространства из а — ортогональные дополнения к в Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 87 Можно считать, что — это пара где — состояние -го пресле- дователя, а — убегающего и попадание на множество означает поимку -м преследователем убегающего, что и является целью группы преследователей хотя бы для одного Пусть — операторы ортогонального проектирования из в а Введем многозначные отображения Аналог условия Понтрягина. Многозначные отображения замкнутозначны и имеют непустые образы. Многозначные отображения являются измеримыми по и замкнутозначными, а, следовательно, существуют измеримые по τ селекторы , по аналогии со случаем Положим и введем числовые многозначные отображения Ø}, Их опорные функции в направлении + 1 Обозначим где — -мерный симплекс. Положив рассмотрим множество . (8) Если для некоторого индекса и момента выполняется вклю- чение то это означает, что в момент i-й преследователь может поймать убегающего, а формально , для всех и поимка реализуется в классе стробоскопических стратегий согласно схеме первого прямого метода Понтрягина . Если неравенство в (8) не имеет места, то полагаем Ø. Теорема 2. Пусть для задачи группового преследования (6), (7) выполнен аналог условия Понтрягина, множества выпуклы и для заданной функции существуют измеримые селекторы и число Ø. 88 ISSN 0572-2691 Тогда существует такая квазистратегия преследователей, что хотя бы одна из траекторий (6) будет приведена на соответствующее множество в момент при любом допустимом противодействии убегающего. Приведем для иллюстрации простейший пример простого группового пре- следования с равными областями управления игроков (9) с такой поимкой: (10) Здесь — операторы тождественного преобразования ко- торые задаются n-мерной единичной матрицей В представлении решения (6) и аналог условия Понтрягина выполнен причем Очевидно, и разрешающие функции являются большими положительными корнями квадратных уравнений и имеют вид Ситуация окружения по Пшеничному для начальных состояний может быть выражена в эквивалентных формах : 1) 2) 3) . Нижеследующее утверждение дает необходимые и достаточные условия успешного группового преследования–убегания, причем завершения преследова- ния в момент Следствие 1. Пусть — начальное состояние процесса (9). Тогда, если , то задача группового преследования разрешима в момент для которого справедлива оценка При этом, если — мо- мент переключения управления, являющийся нулем контрольной функции Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 89 то управления преследователей, реализующих время на активном участке , имеют вид (11) а на пассивном — для индексов удовлетворяющих равенству , для остальных индексов управления преследователей на произвольны. Если , то разрешима задача убегания. Следствие 2. Пусть в задаче простого группового преследования (9) Тогда, если то хотя бы один из преследователей ловит убегающего за конечное время. Если то возможно убегание на полубесконечном интервале времени. Следствие 3. Пусть в задаче простого группового преследования (9) Тогда является временем первого поглощения [5]. Процесс с простыми матрицами. Задана динамика Терминальное множество определяет точную поимку хотя бы одним из пре- следователей убегающего (10). Справедлив результат в виде необходимых и достаточных условий [10], ана- логичный следствию 1 и реализующий параллельное сближение (11) на активном участке, с той лишь разницей, что для гарантированного времени справедлива оценка Однотипные объекты второго порядка. Пусть , , (12) 90 ISSN 0572-2691 Терминальное множество где — разность геометрических координат преследователя и убегающе- го а — разность их скоростей, Поскольку уравнения (12) эквивалентны уравнениям второго порядка: то их характеристический полином имеет вид (13) Ограничимся случаем действительных корней и приведем результаты в виде следствий для классических примеров, вытекающие из общей методики [13, 15]. Преследователи и убегающий материальные точки [5] — крокодилы [2]. Пусть в (12) Тогда корни полинома (13) Если где то . Динамика контрольного примера Понтрягина [3] — изотропные ракеты [2]. Пусть в (12) Тогда Если где то . Если объекты не являются однотипными, т.е. вместо фигурируют то в условии окружения следует положить равным и результат остает- ся прежним [13, 15]. Конфликтно-управляемые процессы с нефиксированным временем окончания Схема метода разрешающих функций позволяет при некоторых предположе- ниях получить условия окончания игры не только в момент, но и не позже, чем за время, используя ошибки убегающего [6]. Пусть движение группы управляемых объектов в задается квазилинейными уравнениями (14) где — квадратные матрицы порядка — непустые компакты, функции непрерывны по совокуп- ности переменных. Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств (7), где — выпуклые компакты, Обозначим, как обычно, через ортопроектор, действующий из на — замыкание конуса. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 91 Условие 1. Для фиксированной точки Ø для всех Для таких точек введем разрешающие функции Ø}, и положим . Теорема 3. Пусть процесс (14), (7) такой, что телесные части начальная позиция удовлетворяет условию 1 и . Тогда игровая задача группового преследования может быть закончена из началь- ного состояния не позже, чем за время в классе стробоскопических стратегий. Рассмотрим частный случай, когда Тогда (15) Образуем многозначные отображения а для рассмотрим множества Ø Ø Введем разрешающие функции Ø Ø Положим и обозначим итоговые функции (16) 92 ISSN 0572-2691 Теорема 4. Пусть начальное состояние процесса (15) такое, что и Тогда задача группового преследования разрешима в клас- се контруправлений из начального состояния не позже, чем за время причем Если же таково, что и то разрешима задача об уклонении от группы преследователей с некоторым постоянным управлением убегающего, на котором достигается минимум в (16). Рассмотрим один частный случай процесса (15). Пусть (17) Здесь — компакт из — граница множества Терминальное множество состоит из выпуклых компактов принадлежащих про- странству Установим необходимые и достаточные условия разрешимости за- дачи группового преследования (17) из заданных начальных положений. Положим для процесса (17) Ø разрешающие функции Ø итоговая функция функция времени . Для произвольного компакта из введем опорную функцию и опорное множество Если образы отображения состоят из единственных точек при любом то говорят, что является строго выпуклым компактом. Назовем множество компактом с гладкой границей, если Ø Лемма 1. Пусть задан процесс (17), причем — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Тогда тогда и только тогда, когда . (18) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 93 Заметим следующее. Если — строго выпуклый компакт, то из неравенства следует включение (18), но, вообще говоря, не наоборот. Если же — компакт с гладкой границей, то из включения (18) следует неравенство но, вообще говоря, не наоборот. Теорема 5. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (17) и — стро- го выпуклый компакт с гладкой границей. Тогда, если то групповое преследование может быть закончено из начального состояния не позже, чем за время Если же , то из начального состояния возмож- но уклонение от встречи с группой преследователей. Групповое преследование с линейными фазовыми ограничениями Рассмотрим задачу группового преследования с линейными фазовыми огра- ничениями на состояние убегающего и покажем, что она сводится к некоторой эквивалентной задаче группового преследования без фазовых ограничений, но с большим числом преследователей [6, 13, 15]. Пусть задан конфликтно-управляемый процесс (14) Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств (19) где — линейные подпространства из а — непустые выпуклые ком- пакты из ортогональных дополнений к в причем для — векторы из Таким образом, для и множества пред- ставляют собой аффинные многообразия. Преследователи используют квазистратегии. Пусть, как обычно, — ортопроектор из на Рассмотрим многозначные отображения и для положим Условие 2. Образы отображений — непустые множества для всех Зафиксируем некоторые измеримые селекторы и положим 94 ISSN 0572-2691 Для введем разрешающие функции Ø}. Они обладают всеми свойствами, оговоренными ранее. Пусть Условие 3. Многозначные отображения являются не- прерывными однозначными функциями Положим а разрешающие функции для Будем предполагать, что они непрерывны по Обозначим . Если неравенство в скобках не имеет места, то положим . Теорема 6. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (14), (19) выполнены условия 2 и 3, для начального состояния и некоторого измеримого селектора . Тогда хотя бы для одного траектория процесса (14) может быть приведена из начального состояния на соответствующее множество в момент с использованием квазистратегий. Для иллюстрации рассмотрим линейную задачу управления группой пресле- дователей, когда убегающий не может покинуть пределы некоторого открытого многогранного множества. Движения преследователей и убегающего имеют вид (20) где — квадратные матрицы порядка а — порядка — непустые компакты, координаты убегающего стеснены ограничениями Ø. (21) Терминальное множество состоит из множеств которые вы- делены в пространствах и являются цилиндрическими. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 95 Процесс преследования считается законченным, если хотя бы один из пре- следователей ловит убегающего, т.е. для некоторого ли- бо убегающий вынужден нарушить фазовые ограничения, т.е. для не- которого Положим для Тем самым задача группового преследования (20) с фазовыми ограничения- ми (21) сведена к задаче группового преследования без ограничений вида (14), (19). Схему метода можно использовать для анализа игровой задачи с произволь- ными выпуклыми фазовыми ограничениями [6]. Рассмотрим более подробно групповое преследование для простых движений (22) убегающий стеснен фазовыми ограничениями (21). Игра группового преследования заканчивается, если для некоторого либо убегающий выходит на границу множества т.е. для некоторого выполняется равенство Традиционным способом сведем игровую задачу (22), (21) к дифференциаль- ной игре группового преследования. Для положим Тогда (23) Для положим Тогда (24) Аналог условия Понтрягина очевидно выполнен, селекторы поэтому функции а разрешающие функции имеют вид Время окончания игры группового преследования (23), (24) определяется как наименьший положительный корень уравнения (25) Поскольку в дальнейшем результат группового преследования–убегания бу- дет формулироваться в виде некоторого окружения по начальным состояниям, то приведем его различные формы [6, 12]. 96 ISSN 0572-2691 Пусть в пространстве заданы векторы Будем говорить, что они образуют положительный базис, если для каждого вектора суще- ствуют положительные числа такие, что Положим также Лемма 2. Нижеследующие утверждения эквивалентны: 1) векторы образуют положительный базис; 2) векторы образуют набор Каратеодори, т.е. ; 3) 4) 5) Теорема 7. Пусть — начальное состояние процесса (23), (24). Тогда, если существует такой номер что либо причем (26) то корень уравнения (25) существует и конечен. Следствие 4. Пусть — начальное состояние процесса (23), (24). Тогда, ес- ли то возможно убегание на множе- стве Следствие 5. Пусть для процесса (23), (24) множество — многогранник (ограниченное множество) и выполнено одно из условий: 1) для некоторого ; 2) Тогда задача группового преследования (23), (24) с фазовыми ограничениями разрешима за конечное время из любых начальных состояний. Замечание. Если для процесса (23), (24) ; и то даже в слу- чае справедливости включения возможно убега- ние на множестве Этот факт следует, в частности, из [6]. Рассмотрим ряд классических задач с фазовыми ограничениями из книги [2], решение которых вытекает из теоремы 7 и ее следствий [6]. Лев и человек. Пусть противники движутся согласно уравне- ниям (22), множество ограничено и задается неравенствами (21). В этом случае и включение (26) выполнено при любых начальных положениях. Следовательно, поимка всегда возможна. Более того, ре- зультат остается справедливым, если — произвольный выпуклый компакт. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 97 Крыса, загнанная в угол. Пусть — уравнения движения кошки и крысы соответственно (22), множество — выпуклый конус в простран- стве Барьерный конус множества — сопряженный к конус, так как опорная функция Поэтому, если существуют такие векторы , что то поимка возможна за конечное время. Патрулирование коридора. Пусть Фазовые ограничения в плоскости представляют собой две параллельные прямые с нормалями Не ограничивая общности, будем считать, что прямые параллельны оси абсцисс. Тогда и перпендикулярны ей. Достаточное условие поимки (26) приобретает вид где — первые координаты начальных положений преследователя и убегающего. Игра с линией смерти. Пусть Игра происходит в полу- плоскости — ниже оси абсцисс — линии смерти, и нормаль совпадает по направлению с осью ординат. Неравенства задают те на- чальные положения преследователя и убегающего, из которых возможна поимка за конечное время. Простое групповое преследование. Пусть Тогда доста- точное условие поимки в задаче группового преследования (23) имеет вид Оно же является необходимым. Поочередное преследование. Принцип кратчайшей ломаной Рассмотрим задачу о поочередной поимке одним преследователем группы убе- гающих. Разработаны различные схемы с фиксированным и нефиксированным мо- ментом поимки каждого из убегающих. Предлагаемые конструкции [6, 14] особен- но эффективны в случае простых движений с программным выбором порядка по- имки. В этом случае стратегией преследования является параллельное сближение и, следовательно, функционал качества — суммарное время поимки — зависит лишь от управлений убегающих. При этом экстремум функционала достигает- ся на постоянных управлениях убегающих и бесконечномерная задача макси- мизации суммарного времени преследования сводится к конечномерной зада- че условной оптимизации. Пусть задан квазилинейный конфликтно-управляемый процесс (27) где — квадратные матрицы порядка — параметры управления преследователя и убегающих, принадлежащие непустым компактам и — непрерывные по совокупности переменных функции. Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств 98 ISSN 0572-2691 (28) где — линейные подпространства из а — выпуклые компакты из ортогональных дополнений к в Цель преследователя — вывести поочередно все траектории на соответствующие множества за наименьшее суммарное время. Задача со- стоит из двух частей: управленческой и переборной, которые нельзя разделить и рассматривать отдельно. Кроме того, можно считать, что — это пара — преследователь, — убегающий, и включение означает, что преследователь поймал j-го убегающего. Будем считать, что преследователь ис- пользует квазистратегии. Говорят, что для процесса (27), (28) разрешима задача поочередного преследования из начального состояния не позже, чем в момент если существует такая квазистратегия преследователя, что при любых управлениях убегающих найдутся такие моменты что для всех Заметим при этом, что значения функций используются лишь на интервалах времени Если очередность вывода траекторий на соответствующие множества выбирается программно, т.е. фиксируется в начальный момент и потом не изменяется, то число возможных вариантов равно Обозначим совокупность возможных порядков поимки убегающих. Пусть в начальный момент преследова- тель выбирает некоторый порядок и затем его придерживается. Без огра- ничения общности, можем считать, что для описания схемы, с по- следующей минимизацией по порядку суммарного времени. Пусть — оператор ортогонального проектирования из на Положим Условие 4. Образы многозначных отображений не пусты и замкнуты для всех Отображения измеримы и замкнутозначны. Поэтому существуют измери- мые селекторы [9]. Зафиксируем их, положим и введем разрешающие функции Ø}. Они обладают всеми перечисленными ранее свойствами. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 99 Опишем рекуррентным образом моменты выхода траекторий (27) на соответ- ствующие множества (28) в порядке .l Справедливы зависимости )),(...,),(,...,,())(),(( 1 00 11 == − jjjjjjjj vvzztvtztt где           =  − −− j j t t jjjjjjj dvtztttt 1 1))(),(),(,,(:min 11 , ....,,1 =j Суммарное время поимки всех убегающих совпадает с моментом поимки по- следнего убегающего и равно .t Обозначим )).(...,),(()(),...,,( 1 00 1 0 ==  vvvzzz Тогда суммарное время ))(...,),(,...,,())(,( 1 00 1 0 =  vvzztvzT l , зависит также от порядка поимки убегающих и его оптимизация при программ- ном выборе порядка очередности поимки состоит в максимизации по )(v и ми- нимизации по порядку этой величины, т.е. )( 0 supmin))(,(   = vl zT )),(,( 0  vzT l где ))(...,),(()( 1 =  зафиксированные вначале селекторы. Теорема 8. Пусть в задаче поочередного преследования (27), (28) 0z — начальное состояние, выполнено условие 4 и существуют измеримые селекто- ры многозначных отображений ),()( tWt j j  ,0t ,...,,1 =j такие, что + ))(,( 0zT . Тогда задача поочередного преследования разрешима из начального состоя- ния 0z в момент ))(,( 0  zT в классе квазистратегий. При более жестких ограничениях на параметры конфликтно-управляемого процесса к решению задачи поочередного преследования может быть применена модифицированная схема метода с нефиксированным моментом окончания с ис- пользованием стробоскопических стратегий. В нее укладывается случай простых движений игроков. Для простоты и геометрической наглядности ограничимся случаем плоских движений. Пусть ,jj vuz −= ,2Rz j  )0(jz ,0 jz= ,1u ,1jv ,...,,1 =j (29) .,, jjjj vyuxyxz ==−=  Здесь преследователю дается преимущество перед каждым из убегающих, иначе задача не имеет смысла. Цель преследователя — привести поочередно все траектории )(tz j в ноль за конечное время, т.е. : jM .0=jz По-прежнему считаем, что приоритет в выводе имеет система с меньшим ин- дексом. Обозначим :0{min = tt j }0)( =tz j (30) момент первого попадания траектории )(tz j на множество .jM 100 ISSN 0572-2691 В данном примере },0{0 == jj MM ,2RL j = },0{, == jj AI ,),( jjj vuvu −= ....,,1 =j Далее ,co),( jj j vSvtW −= ,co)1()( StW j −= ,...,,1 =j .0t Так как ,1 то условие 4 выполнено. Выберем ,0)(  tj ....,,1 =j Тогда ,)0,,( jjj zzt = а разрешающие функции , )1(),(),( ),()0,,,,( 2 222 j jjjjjj jjjjjj z vzzvzv vzvzt −++ == ....,,1 =j При этом управление преследователя при приведении j-й системы (29) в нуль имеет вид ),,[),())(),(()()( 111 jjjjjjjj tttzvtzvu −−− −= (31) а моменты jt определяются выражением (30). Закон управления (31) реализует стратегию параллельного преследования и тесно связан с аполлониевой окружностью [6], центр которой называют точкой Аполлония. Так, в случае 1 = аполлониева окружность — это геометрическое место точек поимки преследователем убегающего, если убегающий движется прямолинейно и с максимальной скоростью, а преследователь придерживается стратегии параллельного преследования (31). При 1 в [6] показано, что при простых движениях игроков для максими- зации суммарного времени поимки всех убегающих в случае, когда преследова- тель придерживается стратегии параллельного преследования при фиксированном порядке поимки, каждому из убегающих следует двигаться прямолинейно и с максимальной скоростью. Назовем достижимой окружностью j-го убегающего .co1 0 Sty jj + − Для каждой точки этой окружности и точки )( 1−jtx существует своя окруж- ность Аполлония с соответствующим центром. Но тогда центры окружностей Аполлония, соответствующие точкам достижимой окружности j-го убегающего, также образуют окружность (окружность центров). И если в каждой точке окруж- ности центров построить соответствующую окружность Аполлония, внешняя огибающая этих окружностей как раз и представляет собой геометрическое место точек поимки игрока .jy В [6] приведено уравнение этой огибающей и в поляр- ной, и в декартовой системе координат. Таким образом, при фиксированном порядке поимки, используя закон парал- лельного преследования и учитывая прямолинейные движения убегающих с мак- симальной скоростью, получим функционал суммарного времени поимки, кото- рый зависит лишь от постоянных управлений убегающих, и его максимизация представляет собой нелинейную задачу конечномерной оптимизации [6]. Для выбора порядка поимки, который обеспечивает наименьшее суммарное время, установлен принцип кратчайшей ломаной [6]. Назовем кратчайший лома- ной ломаную минимальной длины, исходящую из начального положения пресле- дователя и проходящую через все начальные положения убегающих по одному разу. При некоторых предположениях в случае простых движений принцип крат- чайшей ломаной обеспечивает наименьшее суммарное время поимки [6]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 101 Попытки рассмотреть позиционный порядок поимки предприняты в рабо- тах [32]. Задаче поочередного преследования посвящены работы [33, 34]. Окружение и перехват движущихся объектов при взаимодействии группировок Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс, когда движения преследова- телей и убегающих линейны, разделены и проходят в одном пространстве nR : ,iiii uxCx += ii Uu  ,n i Rx  ,)0( 0 ii xx = ,...,,1 =i ,jjjj vyBy += ,jj Vv  ,n j Ry  ,)0( 0 jj yy = ....,,1 =j (32) Предположим, что преследователи располагают информацией лишь о начальном состоянии конфликтно-управляемого процесса (32) ),...,,,...,,(),( 00 1 00 1 000 == yyxxyxz им также известны динамические характеристики процесса (32), области управ- лений ,, ji VU а также множества ,iM ,...,,1 =i ....,,1 =j Обратим внимание, что для простоты предполагается независимость «радиусов захвата» iM пресле- дователей от номеров убегающих. Однако преследователям недоступна текущая информация и движения убе- гающих и тем более информация о выборе управлений убегающими наперед. Формально это означает, что преследователи выбирают свои управления про- граммно в виде функций ),,,()( 00 yxtutu ii = ....,,1 =i Обозначим области достижимости систем (32) ,),,( 0 )(00 +=  − dUexeUxtX t i Ct i tC ii ii +=  − dVeyeVytY t j Bt j tB jj jj 0 )(00 ),,( из начальных состояний ,0 ix 0 jy за время .t Здесь под интегралом от многознач- ного отображения понимается интеграл Ауманна [9]. Пусть существует момент времени 0,  tt , и точки ),,,( 0 iii UxtXx  ,...,,1 =i такие, что выполнены следующие условия. Условие 5 (условие окружения). Справедливо включение }....,,{co)(),,( 1 0 ,1 0 ,1 ___________    =  =           + xxMxVytY ii i jj j  Обозначим s ...,,1 )1( −n -мерные грани многогранника },...,{ co{ 1    xx и бу- дем считать, что ,, skk  состоит из номеров тех векторов ,ix которые являют- ся вершинами многогранника, образующего грань .k Условие 6 (об отсутствии щелей). Для всех }...,,1{ sk имеют место включения ).(}{co ii i i i Mxx kk +      102 ISSN 0572-2691 Условие 7 (о стягивании в точку). Существует точка x }...,,{co 1    xx и про- граммные управления преследователей ,),(  tui ,...,,1 =i переводящие за конечное время траектории (32) из точек }...,,{ 1    xx в точку x такие, что для со- ответствующих траекторий преследователей выполнены включения ),)(()(co ii i i i Mxx kk +   ,)(   = ii xtx для всех .,...,,1 = tsk Теорема 9. Пусть конфликтно-управляемый процесс с  преследователями и  убегающими (32) находится в состоянии 0z и для него выполнены условия 5–7. Тогда из начального состояния 0z разрешима задача о поимке всех убегаю- щих за конечное время. Легко видеть, что преследователи могут существенно уступать убегающим по ресурсам управления. Этот недостаток можно компенсировать как численно- стью так и размерами областей захвата — множеств ,iM ....,,1 =i Если },0{=iM ,...,,1 =i то «окружение» в указанном смысле невозможно. Отметим также, что уравнения движения убегающих могут быть нелинейны- ми. Достаточно лишь уметь строить или оценивать их области достижимости для проверки условия. Внешне неконструктивное условие 7 автоматически выполне- но для полностью управляемых процессов. В частности, оно имеет место для про- цессов с простыми матрицами, еще проще для простых движений с областями управлений в виде шара Sco с центром в нуле. Разумеется, области захвата ,iM ,...,,1 =i должны быть телесными в ,nR например, шарами ненулевых радиусов с центрами в начале координат. Позиционное групповое преследование Рассмотрим позиционный метод группового преследования, восходящий к пра- вилу экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [5] и связанный со временем первого поглощения. По-видимому, первой работой в этом направлении является ста- тья [35], где участвует группа преследователей, дальнейшее развитие [13, 36]. Данное изложение базируется на работе [37] и, по-существу, развивает пред- ложенную технику на случай группы преследователей в регулярном случае, регу- лируемый случай рассмотрен в [38] с использованием аппарата вычетов и диффе- ренциальных включений. При этом иллюстрируется следующий эффект: если каждый из преследова- телей, действуя самостоятельно, ловит убегающего, то преследуя вместе, они до- стигают цели за меньшее время. Пусть движение вектора z в конечномерном евклидовом пространстве nR описывается квазилинейными дифференциальными уравнениями ),,( vuAzz += ,, VvUu  (33) где A — постоянная квадратная матрица порядка ,n функция ),( vu непрерыв- на по совокупности аргументов, U и V — компакты из .nR Можно считать, что система (33) является более общей формой записи, включающей ситуацию ),...,,( 1 = zzz iz — пара ),,( yxi ix — состояние i-го преследователя, y — убегающего, ,..., 1 = nnnn i RRRRz i           = A A A 0 01  , )),,(...,),,((),( 11 vuvuvu = ),...,,( 1 = uuu .,...1 ii UuUUU =  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 103 Терминальное множество M является объединением цилиндрических множеств ,0 iii MMM += ,...,,1 =i (34) где 0 iM — линейные подпространства из ,i n R iM — выпуклые замкнутые мно- жества, принадлежащие iL -ортогональным дополнениям к 0 iM в .i n R Цель первой стороны )(u — вывести траекторию системы (33) на множество ,M вторая )(v этому препятствует. При этом первая сторона использует инфор- мацию о текущей позиции. Обозначим через i оператор ортогонального проектирования из in R на ,iL рассмотрим )1( − -мерный симплекс S и прямое произведение единичных сфер в ....1  LL }.1,),...,,(:{ 1 ===  iii pLppppp Для   pS , введем функцию     =  =    += 1 0 1 ,)),(,)((maxmin),)((),,,( i t i iiii UuVv iii dvupztpztW где )(t — матрица, сопряженная с фундаментальной матрицей однородной си- стемы (33). Далее, положим = ),,,( pzt ,)(),,,( 1   = −+ i iMi pCpztW i где )( iM pC i — опорная функция множества ,iM и введем функции    = Sp zt maxmin),( ),,,,( pzt    = S zt max),( p min ).,,,( pzt  . Отдельно рассмотрим функции  −+=    t i Uu ii dvuptzptvpztW 0 ,))(,(,)((max),)(())(,,,( = ))(,,( vzti 1 min =ip +))(,,,([ vpztW i )],( iM pC i − = ),(0 zt = ,...,1)( maxmin iVv )).(,,(  vzti Легко видеть, что Mz  тогда и только тогда, когда .0),0(0  z Условие 8. Отображение ,),,( VvvU  — выпуклозначно. Обозначим барьерные конусы ....,,1},)(:{)( =+= ipCpMK iiMii Условие 9. Барьерные конусы ,...,,1),( =iMK i непусты и замкнуты, а опор- ные функции )( iM i C  непрерывны на соответствующих конусах ).( iMK 104 ISSN 0572-2691 Пусть )(0 zT — точная нижняя грань корней уравнения = ),(0 zt 0, .0t Содержательный смысл времени )(0 zT следующий: если группе преследователей известно наперед управление убегающего ),(v то не позже, чем за время )(0 zT , он будет пойман при начальных состояниях .z С другой стороны, если ),(0 zTt  то у убегающего существует такое управление ),(v что за время t поимка не произойдет. В случае 1= )(0 zT называют временем первого поглощения, а функцию — ),(0 zt — программным максимином [5]. В случае разделенных движений пре- следователей и убегающего и },0{=iM ,...,,1 =i функция )(0 zT содержательно означает тот первый момент, когда объединение областей достижимости пресле- дователей полностью накрывает область достижимости убегающего. Между функциями ),,( zt ),,( zt ),(0 zt следующие связи [13]. Очевидно всегда  ),( zt ).,( zt При условиях 8 и 9  ),(0 zt ),,( zt если ,),( vuvu −= то при 0),(0  zt имеет место равенство = ),(0 zt ),,( zt .,0 nRzt  Рассмотрим следующие маргинальные многозначные отображения: = pzt {),( : ),( zt  = S max )},,,,( pzt  =),,( pztS :{  S = ),,,( pzt  S max )}.,,,( pzt  Условие 10. Многозначное отображение ),,( pztS непрерывно по ,p ),( ztp  при всех .,0 nRzt  Обозначим через )(zT  первый положительный корень уравнения .0),( = zt Пусть ),,()(,),()()(),( 0 0 0 0 00 ztDzDdVUztztD T t T t = =+=   где рассматривается интеграл Ауманна от соответствующего многозначного ото- бражения [9]. Будем считать, что первый игрок использует позиционные контрстратегии, а второй — произвольные измеримые управления. Теорема 10. Пусть для конфликтно–управляемого процесса (33), (34) вы- полнены условия 8 и 9, для каждой точки 1z такой, что  )( 1zT + )( 0zT , )( 0 )(1 0 zDz zT  , выполнены условия: а) отображение ),( zt состоит из единственного вектора ),( ztp для всех t и z из некоторой окрестности };),({ 11 zzT  б) отображение )),(,,( ztpztS состоит из единственного вектора ),( zt для всех t и z из указанной окрестности; в) функция   =   1 )),(),,()()(,( i ii vuztptzt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 105 достигает своего максимума по u на единственном векторе ),,( vztu для всех t и z из указанной ранее окрестности и .Vv Тогда из начального состояния 0z игру (33), (34) можно закончить за время, не превосходящее числа ).( 0zT  Заметим, что условие б) может быть ослаблено, если для каждого упомянуто- го 1z существует такое pzzTS ,),(( 110  )),),(( 11 zzT  что с ним выполнено условие в). Единственность по u также не обязательна, но при этом маргинальное отоб- ражение из экстремальных элементов должно быть полунепрерывным сверху для обеспечения решения соответствующего уравнения в контингенциях [5]. В условии а) единственность должна быть лишь по тем компактам ),,( ztpi которые соответствуют ненулевым числам ....,,1,0 = ii Аналогичные результаты имеют место и для времени )(zT — первого по- ложительного корня уравнения 0),( = zt [37]. Рассмотрим случай, когда преследователи действуют индивидуально, игно- рируя интерес группы. Положим для ,...,,1, = iLp ii ,)),(,)((maxmin),)((),,( 0 +=     dvupzptpztW i t UuVv ii = ),( zti 1 min =ip +),,([ ipztW )].( iM pC i − Очевидно имеет место неравенство  ),( zt ),(max ,...,1 zti i  = , .,0 nRzt  Отсюда следует, что преследование группой обеспечивает меньше времени поимки, чем каждым в отдельности. Однако условия регулярности являются бо- лее удобно проверяемыми и простыми при индивидуальном преследовании [13]. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Принцип поинтервальной декомпозиции Рассмотрим игровую задачу взаимодействия  преследователей и  убега- ющих. Цель преследователей — переловить всех убегающих, цель убегающих — хотя бы одному избежать поимки. Общая постановка охватывает, в частности, эту задачу. Изложенные в предыдущих разделах способы решения задач поочередно- го и группового преследования позволяют предложить некоторый упрощающий алгоритм, названный в [6] принципом поинтервальной декомпозиции. Станем на сторону группы преследователей и спланируем стратегию их действий. Поскольку имеется  преследователей и  убегающих, то в начальный мо- мент разобьем их на подгруппы (произведем целераспределение), каждая из кото- рых будет состоять либо из нескольких преследователей и одного убегающего, либо из одного преследователя и нескольких убегающих. Случай, «один на один» можно отнести к любой подгруппе. При этом каждый из преследователей и убе- гающих может участвовать только в одной подгруппе. Такое разбиение можно производить различными способами: располагая определенным опытом планиро- вания операций или используя методы дискретной оптимизации. В любом случае вместо сложнейшей задачи конфликтного взаимодействия групп управляемых объектов получим несколько задач группового и поочередного преследования. 106 ISSN 0572-2691 Таким образом, процесс взаимодействия групп распараллелен на независимые подзадачи группового и поочередного преследования. Зафиксируем тот первый момент времени ,1t когда решена одна из подзадач. Содержательно это означает, что пойман хотя бы один из убегающих, и, следова- тельно, он или они могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения, а высво- бодившиеся преследователи могут быть использованы в составе других подгрупп. В момент 1t произведем новое разбиение групп преследователей и оставшихся убегающих на подгруппы, каждая из которых имеет в своем составе либо одного пре- следователя, либо одного убегающего и несколько преследователей. Анализируя по- лученные задачи группового и поочередного преследования, определим момент 2t решения первой из них. В момент 2t производим новое целераспределение и т.д. Таким образом, процесс оптимизации конфликтного взаимодействия групп управляемых объектов представляет собой итерационную процедуру и на каждой итерации предполагает решение типичных задач целераспределения, группового и поочередного преследования. Предложенная методика эффективна при моделировании взаимодействия до- статочно большого числа участников ибо в этом случае процессы, протекающие параллельно, существенно проще исходной задачи. Использование закона парал- лельного сближения, который является оптимальным для простых движений в случае «один на один», является положительным фактом и позволяет подчас вы- разить суммарное время поимки через начальные состояния и управления убега- ющих с последующей оптимизацией по ним. Ряд задач конфликтного взаимодействия управляемых объектов в дискретной ситуации содержится в [39], обзор по игровым задачам с группами участников — в работе [40]. Заключение Изложен обзор методов исследования конфликтных ситуаций при участии групп управляемых объектов с каждой из противодействующих сторон. Анонси- рованный принцип поинтервальной декомпозиции предполагает решение типич- ных задач целераспределения, группового и поочередного преследования. Для решения последних используется метод разрешающих функций и правило экс- тремального прицеливания Н.Н. Красовского. Метод разрешающих функций, в частности, позволил описать ситуацию окружения при наличии групп преследо- вателей, а также в задачах с фазовыми ограничениями. Это дало возможность ре- шить ряд классических задач из книги Р. Айзекса. В задаче коммивояжерского типа — поочередного преследования с использованием закона параллельного сближения и свойств аполлониевой окружности дан алгоритм сведения к конеч- номерной задаче условий оптимизации. При позиционном групповом преследо- вании использованы идеи принципа максимума Л.С. Понтрягина, а также схема Б.Н. Пшеничного, связанная со временем первого поглощения. Результаты иллю- стрируются на модельных примерах игровых ситуаций. Процессы преследования реализованы в классе стробоскопических стратегий О. Хайека, а также с помо- щью квазистратегий и позиционных стратегий Н.Н. Красовского. ABSTRACTS А.О. Чикрій КОНФЛІКТНІ СИТУАЦІЇ ЗА УЧАСТЮ ГРУП КЕРОВАНИХ ОБ’ЄКТІВ. Частина 2. ПЕРЕХОПЛЕННЯ ЦІЛЕЙ Викладено огляд методів дослідження конфліктних ситуацій за участю груп керо- ваних об’єктів з кожної з протидіючих сторін. Анонсований принцип поінтерваль- ної декомпозиції передбачає розв’язання типових задач цілерозподілу, групового та Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 5 107 почергового переслідування. Для розв’язання останніх використовується метод розв’язуючих функцій та правило екстремального прицілювання М.М. Красов- ського. Метод розв’язуючих функцій, зокрема, дозволив описати ситуацію оточен- ня за наявності групи переслідувачів, а також в задачах з фазовими обмеженнями. Це дало можливість розв’язати ряд класичних задач з книги Р. Айзекса. В задачі комівояжерного типу — почергового переслідування з використанням закону пара- лельного зближення та властивостей аполлонієва кола дано алгоритм зведення до скінченовимірної задачі умовної оптимізації. При позиційному груповому переслі- дуванні використано ідеї принципу максимуму Л.С. Понтрягіна, а також схему Б.М. Пшеничного, пов’язану з часом першого поглинання. Результати ілюструють- ся на модельних прикладах ігрових ситуацій. Процеси переслідування реалізовані в класі квазістратегій та позиційних стратегій М.М. Красовського. Ключові слова: Конфліктно-керований процес, умова Понтрягіна, теорема Пшеничного, аполлонієве коло, метод розв’язуючих функцій, правило екстре- мального прицілювання Красовського, многозначне відображення, стробоско- пічна стратегія Хайека, групове та почергове переслідування, ситуація оточен- ня, принцип найкоротшої ламаної. A.A. Chikrii CONFLICT SITUATIONS INVOLVING CONTROLLED OBJECT GROUPS. Part ІІ. TARGET INTERCEPTION An overview of research methods of conflict situations involving groups of controlled ob- jects on each of the counteracting sides is presented. The announced principle of interval decomposition includes solving typical problems of target distribution, group and succes- sive pursuit. To solve them, the method of resolving functions and the extremal aiming rule of N.N. Krasovskii are used. The method of resolving functions, in particular, made it pos- sible to describe the environment situation in the presence of a group of pursuers, as well as in the problems with phase constraints. This made it possible to solve a number of classical problems from the book of R. Isaacs. In the problem of traveling salesman type, namely, in the successive approach, using the law of parallel pursuit and the properties of the Apolloni- us circle, an algorithm is given for reducing to the finite-dimensional conditional optimiza- tion problem. In the positional group pursuit, the ideas of the L.S. Pontryagin maximum principle as well as the B.N. Pshenichnyi scheme associated with the first absorption time are used. The results are illustrated on model examples of game situations. The pursuit pro- cesses are implemented in the class of stroboscopic strategies of O. Hajek as well as with the help of quasi-strategies and positional strategies of N.N. Krasovskii. Keywords: Conflict-controlled process, Pontryagin’s condition, Pshenichnyi’ theo- rem, Apollonius circle, method of resolving functions, Krasovskii’ extremal aiming rule, set-valued mapping, stroboscopic strategy of Hajek, group and sequential pur- suit, encirclement situation, principle of shortest polygonal line. REFERENCES 1. Чикрий А.А. Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объек- тов. Часть 1. Избежание столкновений. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». 2020. № 4. C. 60–77. 2. Isaacs R. Differential games. New York : John Wiley. 1965. 480 p. 3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М. : Наука, 1988. 2. 576 с. 4. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев : Наук. думка, 1992. 260 с. 5. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М. : Наука, 1970. 420 с. 6. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Springer Science and Busines Media. Dordrecht, Bos- ton; London. 2013. 424 p. 7. Locke S. Arthur, Guidance. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, 1955. 776 p. 8. Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation. I Basic Theory, 330. 582 p., II – Applications. 331. 612 p., Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2006. 9. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin; Birkhauser , 1990. 461 p. 10. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами. Кибернетика. 1976. № 3. С. 145–146. 11. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про- цессами . М. : МГУ, 1980. 198 с. 12. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек- тов. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2009. 266 с. 108 ISSN 0572-2691 13. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями. Тр. Междунар. Мат. Центра им. С. Банаха, Варшава. 1985. 14. C. 81–107. 14. Chikrii A.A., Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object. Cy- bernetics. 1987. N 4. P. 437–445. 15. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференци- альных играх. Wissenschaftliche zeitschrift, Leipzig, 1982. P. 13–27. 16. Baranovskaya L.V., Chikrii Al.A. Game problems for a class of hereditary systems. Journal of Automation and Information Sciences. 1997. 29, N 2. P. 87–97. 17. Vlasenko L.A. Existence and uniqueness theorems for an implicit delay differential equations. Differential Equations. 2000. 36. N 5. P. 689–694. 18. Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Optimal control of a class of random distributed Sobolev type sys- tems with aftereffect. Journal of Automation and Information Sciences. 2013. 45, N 9. P. 66–76. 19. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. J. Optimization Methods and Software. Taylor and Francis, Oxfordshire, UK, 2008. 3, N 1. P. 39–73. 20. Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Stochastic impulse control of parabolic systems of Soblev type. Dif- ferential Equations. 2011. 47, N 10. P. 1498–1507. 21. Pepelyaev V.A., Chikrii Al.A. On the game dynamics problems for nonstationary controlled pro- cesses. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 3. P. 13–23. 22. Bigun Ya. J., Krivonos I. Yu., Chikrii Al.A., Chikrii K.A. Group approach under phase con- straints. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. 46, N 4. P. 1–8. 23. Krivonos I. Yu., Chikrii Al.A., Chikrii K.A. On an approach scheme in nonstationary game prob- lems. Journal of Automation and Information Sciences. 2013. 45, N 8. P. 32–40. 24. Chikrii A.A. Linear problem of avoiding several pursuers. Engineering Cybernetics. 1976. 14, N 4. P. 38–42. 25. Chikrii A.A An analitical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. 271. P. 69–85. 26. Hajek O. Pursuit games. New York : Academic Press, 1975. 12. 266 p. 27. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх. М. : Изд-во МГУ, 1984. 65 с. 28. Chikrii G.T. Principle of time stretching in evolutionary games of approach. Journal of Automa- tion and Information Sciences. 2016. 48, N 5. P. 12–26. 29. Nakonechnyi A.G., Mashchenko S.O., Chikrii V.K. Motion control under conflict condition. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. 50, N 1. P. 54–75. 30. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mappings in game problems of motion control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. 48, N 3. P. 20–35. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.30 31. Breakwell J.V., Hagedorn P. Point capture of two evaders in succession. J. Opt. Theory and Appl. 1979. 27, N 1. P. 89–97. 32. Chikrii A.A., Perekatov A.E. Successive positional pursuit. Automation and Remote Control. 1993. 54, N 10. P. 1485–1492. 33. Маслов Е.П., Рубинович Е.Я. Дифференциальные игры преследования - уклонения с групповой целью. Итоги науки и техники, Техническая кибернетика. М. : ВИНИТИ, 1991. 32. С. 32–59. 34. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л. : Изд –во ЛГУ, 1977. 35. Тарлинский С.И. Об одной линейной дифференциальной игре сближения нескольких управляемых объектов. ДАН СССР. 1976. 230, № 3. С. 36. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Linear problem of pursuit by several guided objects. Cybernetics. 1978. 14. N 3. P. 407–414. 37. Пшеничный Б.Н Линейные дифференциальные игры. Автоматика и телемеханика. 1968. № 1. С. 65–78. 38. Чикрий А.А. Позиционная конфликтная управляемость квазилинейных процессов. Кибер- нетика и вычислительная техника. 1993. вып. 97, С. 22–27. 39. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. К. : Наук. думка, 2006. 264 с. 40. Kumkov S.S., Menec S.L., Patsko V.S. Zero-sum pursuit –evasion differential games with many objects: survey of publications. J. Dynamic Games and Applications. 2017. 7, N 4. P. 609–633. Получено 24.04.2020 http://www.dl.begellhouse.com/ru/journals/2b6239406278e43e,27ddd3ba46288289,5455999f5c285c1a.html http://www.dl.begellhouse.com/ru/journals/2b6239406278e43e,27ddd3ba46288289,5455999f5c285c1a.html

Конфликтные ситуации при участии групп управляемых объектов. Часть 2. Перехват целей

Institution

Ähnliche Einträge