Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики

Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових задачах динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних функцій. Для керованих об’єктів з різною інерційністю характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Л.С. Понтрягіна, що істотно ускладнює...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
1. Verfasser:	Раппопорт, И.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208795
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 6. — С. 71-88. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208795
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2087952025-11-06T14:29:20Z Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики Достатні умови зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових задачах динаміки Sufficient conditions for the approach of controlled objects with various inertia in game dynamics problems Раппопорт, И.С. Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових задачах динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних функцій. Для керованих об’єктів з різною інерційністю характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Л.С. Понтрягіна, що істотно ускладнює застосування методу розв’язувальних функцій до цього класу ігрових задач динаміки. Розглянуто випадок, коли в основу загальної схеми методу розв’язувальних функцій покладено аналог модифікованої умови Л.С. Понтрягіна з урахуванням термінальної множини. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів з різною інерційністю і ефективністю прийнятих рішень. Такі функції називаються розв’язувальними функціями. Привабливість методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він дозволяє ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отримувати на їх основі змістовні результати. У будь-яких формах методу розв’язувальних функцій головним є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні роздільної функції для оцінки якості гри першого гравця аж до досягнення деякого порогового значення. Порівнюються гарантовані часи закінчення гри для розглянутих схем зближення керованих об’єктів з різною інерційністю. Наведено приклад. The paper considers the problem of convergence of controlled objects with different inertia in game dynamics problems based on the modern version of the method of resolving functions. For controlled objects with different inertia it is characteristic that on a certain time interval the condition of L.S. Pontryagin is not satisfied, which significantly complicates the application of the method of resolving functions to this class of game dynamics problems. We consider the case when the general scheme of the method of resolving functions is based on an analogue of the modified L.S. Pontryagin condition taking into account the terminal set. A method for solving such problems is proposed, associated with the construction of some scalar functions that qualitatively characterize the course of convergence of controlled objects and the efficiency of the decisions made. Such functions are called permissive functions. The attractiveness of the method of resolving functions lies in the fact that it makes it possible to use effectively the modern technique of multivalued mappings in substantiating game constructions and obtaining meaningful results on their basis. In any form of the method of resolving functions, the main principle is the accumulative principle, which is used in the current summation of the resolving function to assess the quality of the game of the first player until a certain threshold is reached. A comparison is made of the guaranteed end times of the game for the considered schemes of approaching controlled objects with different inertia. An example is given. 2020 Article Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 6. — С. 71-88. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208795 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i11.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
spellingShingle	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений Раппопорт, И.С. Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових задачах динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних функцій. Для керованих об’єктів з різною інерційністю характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Л.С. Понтрягіна, що істотно ускладнює застосування методу розв’язувальних функцій до цього класу ігрових задач динаміки. Розглянуто випадок, коли в основу загальної схеми методу розв’язувальних функцій покладено аналог модифікованої умови Л.С. Понтрягіна з урахуванням термінальної множини. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів з різною інерційністю і ефективністю прийнятих рішень. Такі функції називаються розв’язувальними функціями. Привабливість методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він дозволяє ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отримувати на їх основі змістовні результати. У будь-яких формах методу розв’язувальних функцій головним є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні роздільної функції для оцінки якості гри першого гравця аж до досягнення деякого порогового значення. Порівнюються гарантовані часи закінчення гри для розглянутих схем зближення керованих об’єктів з різною інерційністю. Наведено приклад.
format	Article
author	Раппопорт, И.С.
author_facet	Раппопорт, И.С.
author_sort	Раппопорт, И.С.
title	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
title_short	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
title_full	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
title_fullStr	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
title_full_unstemmed	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
title_sort	достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Конфликтно-управляемые процессы и методы принятия решений
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208795
citation_txt	Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Проблемы управления и информатики. — 2020. — № 6. — С. 71-88. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT rappoportis dostatočnyeusloviâsbliženiâupravlâemyhobʺektovsrazličnojinercionnostʹûvigrovyhzadačahdinamiki AT rappoportis dostatníumovizbližennâkerovanihobêktívzríznoûínercíjnístûvígrovihzadačahdinamíki AT rappoportis sufficientconditionsfortheapproachofcontrolledobjectswithvariousinertiaingamedynamicsproblems
first_indexed	2025-11-07T02:36:41Z
last_indexed	2025-11-07T02:36:41Z
_version_	1848097375366676480
fulltext	© И.С. РАППОПОРТ, 2020 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 71 КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ УДК 517.977 И.С. Раппопорт ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СБЛИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ С РАЗЛИЧНОЙ ИНЕРЦИОННОСТЬЮ В ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ Ключевые слова: управляемые объекты с различной инерционностью, квази- линейная дифференциальная игра, многозначное отображение, измеримый се- лектор, стробоскопическая стратегия, разрешающая функция. Введение Работа посвящена изучению проблемы сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики на основе метода разрешающих функций [1] и его современной версии [2]. Для управляемых объектов с различной инерционностью характерно, что на некотором интервале времени не выполняется условие Л. С. Понтрягина. Это существенно затрудняет применение метода разрешающих функций к этому классу игровых задач дина- мики. Примером может служить задача «мальчик и крокодил» [1]. А.А. Чикрий предложил один из способов привлечения терминального множества для расширения класса задач динамики, для которых применим метод разрешающих функций [1]. В настоящей публикации рассматривается случай, когда в основу общей схе- мы метода разрешающих функций положен аналог модифицированного условия Л.С. Понтрягина с учетом терминального множества [1]. Рассматриваются спе- циальные многозначные отображения, порождающие верхние и нижние разрешаю- щие функции двух типов, впервые введенные в [3]. С помощью этих функций полу- чены некоторые достаточные условия разрешимости задачи сближения управляемых объектов с различной инерционностью за гарантированное время. Результаты иллю- стрируются на модельном примере «мальчик и крокодил». Работа продолжает исследования [1–4], примыкает к публикациям [5–28] и расширяет класс игровых задач сближения управляемых объектов, которые имеют решение. Общая схема метода, разрешающие функции первого типа Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс, эволюция которого описыва- ется равенством 0 ( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( )) t z t g t t u v d= +       , 0t  . (1) Здесь ( ) nz t R , функция ( )g t , : ng R R+ → , измерима по Лебегу [9] и огра- ничена при 0t  , матричная функция ( , )t  , 0t    , измерима по t , а также 72 ISSN 0572-2691 суммируема по  для каждого t R+ . Блок управления задается функцией ( , )u v , : nU V R  → , которая считается непрерывной по совокупности пере- менных на прямом произведении непустых компактов U и V , m , l , n — натуральные числа. Управления игроков ( )u  , :u R U+ → , и ( )v  , :v R V+ → , являются измери- мыми функциями времени. Кроме процесса (1), задано терминальное множество M , имеющее цилин- дрический вид 0 ,M M M = + (2) где 0M — линейное подпространство из nR , а M — выпуклый компакт из орто- гонального дополнения L к подпространству 0M в nR . Цели первого ( )u и второго ( )v игроков противоположны. Первый (назовем его преследователем) пытается вывести траекторию процесса (1) на терми- нальное множество (2) за кратчайшее время, а другой (назовем его убегаю- щим) — максимально оттянуть момент попадания траектории на множество M или вообще избежать встречи. Примем сторону первого игрока и будем считать, что если игра (1), (2) про- должается на интервале [0, ]T , то управление первого игрока в момент t будем выбирать на основе информации о ( )g T и ( )tv  , т.е. в виде измеримой функции ( ) ( ( ), ( ))tu t u g T v=  , [0, ]t T , ( ) ,u t U (3) где ( ) { ( ) : [0, ]}tv v s s t =  — предыстория управления второго игрока к моменту ,t или в виде контруправления ( ) ( ( ), ( ))u t u g T v t= , [0, ]t T , ( ) .u t U (4) Если, в частности, 0( ) Atg t e z= , ( )( , ) A tt e −  = , 0(0)z z= , а Ate — матрич- ная экспонента, то говорят, что управление 0( ) ( , ( ))tu t u z v=  реализует квазистра- тегию [7], а контруправление [5] 0( ) ( , ( ))u t u z v t= является проявлением стробо- скопической стратегии Хайека [8]. Сформулируем необходимые факты из выпуклого [1, 10] анализа в виде леммы. Лемма 1. Пусть nX R — выпуклый компакт, ( )  — неотрицательная ограниченная измеримая числовая функция. Тогда 0 0 ( ) ( ) T T Xd d X   =     , 0T  . Если ( )x X  , ( )x  — измеримая функция, [0, ]T , 0 ( ) 1 T d   = , то 0 ( ) ( ) T x d X    . Если 0 X , ( ) ( )f X   и 0 ( ) 1 T d    , то 0 ( ) T f d X  , ( )f  — измеримая функция, [0, ]T . Обозначим  оператор ортогонального проектирования из nR в L . Поло- жив ( , )U v = { ( , ): }u v u U  , рассмотрим многозначные отображения ( , , ) ( , ) ( , )W t v t U v =    , ( , ) ( , , ) v V W t W t v   =  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 73 на множествах V и  соответственно, где  = {( , ) : 0 }t t      . Предпо- ложим, что многозначное отображение ( , , )W t v имеет замкнутые значения на множестве V . Условие Понтрягина. Многозначное отображение ( , )W t  принимает непус- тые значения на множестве  . С учетом предположений о матричной функции ( , )t  можно сделать вывод, что при любом фиксированном 0t  вектор-функция ( , ) ( , )t u v   будет L B -измеримой по ( , ) [0, ]v t V   и непрерывной по .u U Поэтому на осно- вании теоремы о прямом образе [9] при любом фиксированном 0t  многознач- ное отображение ( , , )W t v является L B -измеримым по ( , ) [0, ]v t V   . Если выполнено условие Понтрягина, то на множестве  существует по крайней мере один селектор 0 ( , )t  отображения ( , )W t  , 0 ( , ) ( , )t W t    . Такой селектор называют селектор Понтрягина. Сформулируем условие Понтрягина в эквива- лентной форме. На множестве  существует селектор Понтрягина 0 ( , )t  , для которого справедливо включение 00 [ ( , , ) ( , )] v V W t v t    −   . Пусть ( , )t  , : L → ,  = {( , ) : 0 }t t      , некоторая, почти везде ограниченная измеримая по t и суммируемая по  , [0, ]t для каждого 0t  функция, которую назовем функцией сдвига. Пусть 1M — выпуклый компакт из ортогонального дополнения L к подпространству 0M в nR такой, что если 1m M , то 1m M−  , и 2 1 1{ : }M M M m L m M M= =  +  = 1 ( ) m M M m  = −   , где  — геометрическая разность Минковского [1]. Будем называть допустимыми функцию ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых справедливы указанные условия и свойства. Рассмотрим при [0, ]t , 0t  , v V , для допустимых функции ( , )t  и множества 1M многозначное отображение ( , , ) { 0 : 0 ( , , )t v W t v  =     + 1 ( , )}M t+ −   . Если на множестве V выполнено условие ( , , )t v    , то рассмотрим скалярную функцию ( , , ) inf{ : ( , , )}t v t v  =    , [0, ]t , v V . Можно по- казать [12], что многозначное отображение ( , , )t v  замкнутозначно, L B - измеримо по совокупности ( , )v , [0, ]t , ,v V а функция ( , , )t v  L B - измерима по совокупности ( , )v , [0, ]t , ,v V и поэтому суперпозиционно из- мерима [12], т.е. ( , , ( ))t v   измерима по  , [0, ]t , при любой измеримой функ- ции ( ) ( )v V   , где ( )V  — совокупность измеримых функций ( )v  , [0, ] + , со значениями из V . Отметим также, что функция ( , , )t v  полунепрерывна снизу по переменной v и функция v V sup ( , , )t v    измерима по  , [0, ]t . Условие 1. На множестве  существуют допустимые функция ( , )t  и мно- жество 1M , для которых справедливы условие ( , , )t v    , v V , и включение 1 v V 0 [ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] v V W t v t v M t    +   −   . 74 ISSN 0572-2691 Условие 1 является аналогом модифицированного условия Понтрягина [1]. Обозначим 0 ( ) ( , ( ), ( , )) ( ) ( , ) t t t g t t g t t d =    =  +    и рассмотрим множество 2 v V0 ( ( ), ( , )) { 0 : ( ) , sup ( , , ) 1} t g t t M t v d       =       = . Если соотношения в фигурных скобках не выполняются ни для каких 0t  , то положим ( ( ), ( , ))g     =  . Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 1, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M мно- жество ( ( ), ( , ))g     не пусто и ( ( ), ( , ))g     . Тогда игра может быть законче- на в момент  с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта V , [0, ]  . Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим при v V , [0, ]  , компактнозначное многозначное отображение 1 v V ( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , ) 0}U v M v u U m M u v v m    =       +    −    = . В силу свойств параметров процесса (1) копактнозначное отображение ( ( , ), ( , ))U v M v  L B -измеримо [12] при v V , [0, ]  . Поэтому по теореме об измеримом выборе селектора [9] многозначное отображение ( ( , ), ( , ))U v M v  содержит L B -измеримый селектор ( ( , ), ( , ))u v m v  , который является супер- позиционно измеримой функцией [12]. Положим управление первого игрока ( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v  =     , [0, ]  . Принимая во внимание формулу (1), получим v V0 ( ) sup ( , , ) ( )z v m d     = −      + v V0 ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , ))u v v m d   +  +       +     −     . В силу леммы 1 имеем 1 v V0 sup ( , , ) ( )v m d M        и поэтому 1 v V0 sup ( , , ) ( )v m d M   −      . Тогда с учетом закона выбора управления первым иг- роком получим 1 1 2( ) ( )z M M M M   +   +  и, следовательно, ( )z M   , что и завершает доказательство теоремы. Замечание 1. Теорема 1 является аналогом первого прямого метода Понтря- гина [1] для управляемых объектов с различной инерционностью, когда на неко- тором интервале времени не выполняется условие Л.С. Понтрягина. Если условие Понтрягина выполнено на множестве  , то на множестве  v V sup ( , , ) 0t v    = и условие 1 переходит в условие Л.С. Понтрягина. Рассмотрим при [0, ]t , 0t  , v V многозначное отображение 1 2 v V ( , , ) { 0 :[ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] [ ( )] }t v W t v v M t M t   =    +    −    −  A . (5) Условие 2. На множестве  существуют допустимые функция ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых справедливо условие ( , , )t v    , v V , и включение Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 75 1 2 v V 0 {[ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] ( , , )[ ( )]} v V W t v t v M t t v M t    +   −   −  −  A . Если выполнено условие 2, то рассмотрим верхнюю и нижнюю скалярные разрешающие функции [3]:  ( , , ) sup : ( , , )t v t v  =   A , ( , , ) inf{ : ( , , )}t v t v  =   A , [0, ]t , v V . Можно показать [12], что многозначное отображение ( , , )t vA замкнуто- значное, L B -измеримое по совокупности ( , )v , [0, ]t , v V , а верхняя и нижняя разрешающие функции L B -измеримы по совокупности ( , )v , [0, ]t , v V , поэтому они суперпозиционно измеримы [12], т.е. ( , , ( ))t v   и ( , , ( ))t v   измеримы по  , [0, ]t , при любой измеримой функции ( ) ( )v V   , где ( )V  — совокупность измеримых функций ( )v  , [0, ] +  , со значениями из V . Отметим также, что верхняя разрешающая функция полуне- прерывна сверху, а нижняя — полунепрерывна снизу по переменной v и функции v inf ( , , ) V t v    и v V sup ( , , )t v    измеримы по  , [0, ]t . Рассмотрим множество 1 2 v V v V0 0 ( ( ), ( , )) { 0 : ( ) , sup ( , , ) 1, sup ( , , ) 1} t t g t t M t v d t v d         =       =      . (6) Если соотношения в фигурных скобках равенства (6) не выполняются ни для каких 0t  , положим 1 ( ( ), ( , ))g     =  . Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 2, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M мно- жество 1 ( ( ), ( , ))g     не пусто и 1 1 ( ( ), ( , ))g       . Тогда игра может быть за- кончена в момент 1  с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта ,V 1[0, ]  . Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим при v V , 1[0, ]  , компактнозначное многозначное отображение 1 1 1 1 1 1 v V ( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , )U v M v u U m M u v v m        =       +    −     1 1 2( , , )[ ( )]}v M     −   . В силу свойств параметров процесса (1) и нижней разрешающей функции 1( , , )v    копактнозначное отображение 1 1( ( , ), ( , ))U v M v   L B -измери- мо [12] при v V , 1[0, ]  . Поэтому по теореме об измеримом выборе селек- тора [9] многозначное отображение 1 1( ( , ), ( , ))U v M v   содержит L B -изме- римый селектор 1 1( ( , ), ( , ))u v m v   , который является суперпозиционно измеримой функцией [12]. Положим управление первого игрока 1 1 1( ( ), ( )) ( ( , ( )),u m u v    =   1( , ( )))m v   , 1[0, ]  . Принимая во внимание формулу (1), получим 76 ISSN 0572-2691 1 1 1 1 v V0 ( ) sup ( , , ) ( )z v m d        = −      + 1 1 1 1 1 1 1 v V0 ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , ))u v v m d         +  +       +     −     . (7) В силу леммы 1 имеем 1 1 1 1 v V0 sup ( , , ) ( )v m d M          , поэтому 1 1 1 1 v V0 sup ( , , ) ( )v m d M     −      . В силу выбора управления и по определению момента 1  получим 1 1 1 1 1 1 1 2 v V ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , ) ( , , )[ ( )]u v v m v M               +     −       −  , 1 20 ( )M  −  , 1 1 v V0 sup ( , , ) 1v d          . Тогда с учетом леммы 1 справедливо включение 1 1 1 1 1 1 1 2 v V0 ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) ( )u v v m d M               +     −     −  . Таким образом, соотношение (7) дает 1 1 1 1 2( ) ( ) ( )z M M     +   + −   = 1 2M M M= +  , следовательно, 1( )z M    , что и завершает доказательство теоремы. Лемма 2. Для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 1 тогда и только тогда, когда существуют допустимые функция ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых справедливо условие 2 и 0 ( , , )t v A на множестве V . Доказательство. Пусть существуют допустимые функция ( , )t  и множе- ства 1M , 2M , для которых справедливо условие 2 и 0 ( , , )t v A на множестве V . Тогда нулевое значение  обеспечивает непустоту пересечения в выраже- нии (5), поэтому 1 v V 0 ( , , ) sup ( , , ) ( , )W t v t v M t    +   −   , ( , )t   , v V . Отсюда вытекает, что для ( , )t   имеем 0 [ ( , , ) v V W t v    + 1 v V sup ( , , )t v M    − ( , )]t  , т.е. справедливо условие 1. Рассуждая в обратном порядке, придем к нужному выводу. Замечание 2. Если существуют допустимые функция ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых выполнено условие 1, то в силу леммы 1 ( , , ) inf{ : ( , , )} 0t v t v  =    =A на множестве V . Условие 3. На множестве  выполнено условие 2 и справедливо включение 1 2 v V 0 {[ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] sup ( , , )[ ( )]} v Vv V W t v t v M t t v M t     +   −   −   −  . Замечание 3. Если существуют допустимые функция ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых выполнено условие 1, то по аналогии с леммой 1 выполне- но условие 3 и sup ( , , ) 0 v V t v    = . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 77 Рассмотрим множество 0 ( ( ), ( , )) { 0 : sup ( , , ) 1, t v V T g t t t v d     =     = 0 0 inf ( , , ) 1, sup ( , , ) 1} t t v V v V t v d t v d             . (8) Если при некотором 0t  ( , , )t v   + для [0, ]t , v V , то в этом случае значение соответствующего интеграла в фигурных скобках равенства (8) естественно положить равным + и ( ( ), ( , ))t T g t    , если для этого t справед- ливы другие соотношения в фигурных скобках равенства (8) . В случае, когда со- отношения равенства (8) не выполняются при всех 0t  , положим ( ( ), ( , ))T g t    =  . Теорема 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 3, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M мно- жество ( ( ), ( , ))T g     не пусто и ( ( ), ( , ))T T g     . Тогда игра может быть закон- чена в момент T с использованием управления вида (3). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта V , [0, ]T . Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим сначала случай 2( , ( ), ( , ))T g T M     и введем контрольную функцию 0 ( ) 1 ( , , ( )) sup ( , , ) t T v Vt h t T v d T v d   = −     −     , [0, ]t T . По определению T имеем 0 (0) 1 sup ( , , ) 0 T v V h T v d  = −     , 0 0 ( ) 1 ( , , ( )) 1 inf ( , , ) 0 T T v V h T T v d T v d   = −      −      . В силу непрерывности функции ( )h t существует такой момент времени t , (0, ]t T , что ( ) 0h t = . Отметим, что момент переключения t зависит от предыстории управления второго игрока ( ) { ( ) : [0, ]}.tv v s s t   =  Промежутки времени [0, )t , [ , ]t T будем называть «активным» и «пассив- ным» соответственно. Опишем способ управления первым игроком на каждом из них. Для этого рассмотрим компактнозначные отображения * * 1 1 1( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , )U v M v u U m M T u v  =      + 2sup ( , , ) ( , )) ( , , )[ ( )]} v V T v m T T v M T  +   −     − , [0, )t , (9) 1 1 * * 1( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , )U v M v u U m M T u v  =      + 2sup ( , , ) ( , )) sup ( , , )[ ( )]} v V v V T v m T T v M T   +   −      −  , [ , ]t T . (10) Многозначные отображения * * 1 1( ( , ), ( , ))U v M v  и 1 1 * ( ( , ), ( , ))U v M v  имеют непустые образы. В силу свойств параметров процесса (1), функций sup ( , , ) v V T v    , ( , , )T v  и sup ( , , ) v V T v    копактнозначные отображения 1( ( , ),U v 78 ISSN 0572-2691 * 1 ( , ))M v , [0, )t , и * * 1 1( ( , ), ( , ))U v M v  , [ , ],t T при v V L B -изме- римы [4]. Поэтому по теореме об измеримом выборе селектора [9] в каждом из них существует хотя бы по одному L B -измеримому селектору 1 1( ( , ), ( , ))u v m v   и 1 1( ( , ), ( , ))u v m v   , которые являются суперпозиционно из- меримыми функциями [12]. Положим управление первого игрока на «активном» промежутке равным 1 1 1 1( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v     =     , [0, )t , а на «пас- сивном» — равным 1 1 1 1( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v     =     , [ , ]t T . Принимая во внимание формулу (1), при выбранных управлениях получаем * * * 1 1 0 ( ) sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t T v V v Vt z T T v m d T v m d      = −     +     +      * 1 1 0 ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) t v V T T u v T v m T d    + +      +    −    + 1 1( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) T v Vt T u v T v m T d     +      +    −    . (11) В силу леммы 1 имеем * * * 1 1 1 0 sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) t T v V v Vt T v m d T v m d M       +      , поэтому * * * 1 1 1 0 [ sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t T v V v Vt T v m d T v m d M   −     +       . Тогда с учетом леммы 1 cоотношения (9)–(11) дают 1 2 2 0 ( ) ( ) ( , , ( ))[ ( )] sup ( , , )[ ( )] t T v Vt z T M T T v M T d T v M T d        +  +    − +   −  =  1 2 0 ( ) ( , , ( )) [ ( )] t M T T v d M T  = +  +     −  2sup ( , , ) [ ( )] T v Vt T v d M T    +    − = 1 0 ( )[1 ( , , ( )) sup ( , , ) ] t T v Vt M T T v d T v d      = +  −     −    +  2 1 2 0 [ ( , , ( )) sup ( , , ) ] t T v Vt T v d T v d M M M M      +     +    = +   . Здесь учтено равенство ( ) 0h t = и включение 1 2M M M+  . Для случая 2( , ( ), ( , ))T g T M     достаточно применить теорему 2. Условие 4. На множестве  выполнено условие 2 и справедливо включение * 1 20 {[ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] inf ( , , )[ ( )]}. v Vv Vv V W t v t v M t t v M t    +   −   −   − Теорема 4. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнены условия 3, 4, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M множество ( ( ), ( , ))T g     не пусто и ( ( ), ( , ))T T g     . Тогда игра может быть за- кончена в момент T с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта V , [0, ]T . Укажем способ выбора управления преследователем. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 79 Рассмотрим сначала случай 2( , ( ), ( , )T g T M     и введем контрольную функцию * 0 ( ) 1 inf ( , , ) sup ( , , ) t T v V v Vt h t T v d T v d   = −    −     , [0, ]t T . По определению T имеем ( ) ( ) 0 0 1 sup , , 0 T v V h T v d  = −     , 0 ( ) 1 inf ( , , ) 0 T v V h T T v d  = −     . В силу непрерывности функции ( )h t существует такой момент времени t , ( 0,t T  , что ( ) 0h t = . Отметим, что момент переключения t не зависит от предыстории управления второго игрока ( ) { ( ) : [0, ]}tv v s s t   =  . Промежутки времени [0, )t , [ , ]t T будем называть «активным» и «пассив- ным» соответственно. Опишем способ управления первым игроком на каждом из них. Для этого рассмотрим компактнозначные отображения * 1 1 1( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , ) v V U v M v u U m M T u v T v m T    =      +   −    2inf ( , , )[ ( )]} v V T v M T     − , [0, )t , (12) ( )1 1 * * 1( , , ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , ) v V U v M v u U m M T u v T v m T    =      +   −    ( ) 2sup , , [ ( )]} v V T v M T     − , [ , ]t T . (13) Многозначные отображения * 1 1( ( , ), ( , ))U v M v   и ( )1 1 * ( , , ( , ))U v M v  имеют непустые образы. В силу свойств параметров процесса (1) функций inf ( , , ) v V T v    и ( )sup , , v V T v    копактнозначные отображения 1( ( , ),U v  1 ( , ))M v , [0, )t , и ( )1 1 * ( , , ( , ))U v M v  , [ , ]t T , при v V L B -измеримы [12]. Поэтому по теореме об измеримом выборе селектора [9] в каждом из них существует хотя бы по одному L B -измеримому селектору 1 1( ( , ), ( , ))u v m v   и 1 1 ( ( , ), ( , ))u v m v  , которые являеются суперпозиционно измеримыми функциями [12]. Положим управление первого игрока на «активном» промежутке равным 1 1( ( ), ( ))u m   = 1 1( ( , ( )), ( , ( )))u v m v =     , [0, )t , а на «пассивном» — равным 1 1 * ( ( ), ( ))u m  = 1 1 ( ( , ( )), ( , ( )))u v m v=     , [ , ]t T . Принимая во внимание формулу (1), при выбранных управлениях получим * * 1 1 0 ( ) [ sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t T v V v Vt z T T v m d T v m d    = −     +     +  * 1 1 0 ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) t v V T T u v T v m T d    + +      +    −    + 1 1( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) T v Vt T u v T v m T d     +      +    −    . (14) 80 ISSN 0572-2691 В силу леммы 1 имеем * * * 1 1 1 0 sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) t T v V v Vt T v m d T v m d M       +      , поэтому * * * 1 1 1 0 [ sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t T v V v Vt T v m d T v m d M   −     +       . Тогда с учетом леммы 1 cоотношения (12)–(14) дают 1 2 2 0 ( ) ( ) inf ( , , )[ ( )] sup ( , , )[ ( )] t T v V v Vt z T M T T v M T d T v M T d         +  +   − +   −  =  1 2 0 ( ) inf ( , , ) [ ( )] t v V M T Ò v d M T    = +  +    −  2sup ( , , ) [ ( )] T v Vt T v d M T    +    − = 1 0 ( )[1 inf ( , , ) sup ( , , ) ] t T v V v Vt M T Ò v d T v d       = +  −   −    +  2 1 2 0 [ inf ( , , ) sup ( , , ) ] t T v V v Vt Ò v d T v d M M M M       +   +    = +   . Здесь учтено равенство ( ) 0h t = и включение 1 2 .M M M+  Для случая ( ) ( )( ) 2, , ,T g T T M    достаточно применить теорему 2. Модификация метода, разрешающие функции второго типа Рассмотрим многозначное отображение ( , ) ( , , ) v V t t v   = A A , ( , )t   . (15) Условие 5. На множестве  существуют допустимые функция ( , )t  и множества 1M , 2M , для которых справедливы условие ( , , )t v    , v V , и включение 1 20 {[ ( , , ) sup ( , , ) ( , )] ( , )[ ( )]} v Vv V W t v t v M t t M t    +   −   −  −  A . Если выполнено условие 5, то многозначное отображение ( , )t A не пусто на множестве  и порождает верхнюю и нижнюю скалярные разрешающие функции  ( , ) sup : ( , )t t  =   A , ( , ) inf{ : ( , )}t t  =   A , [0, ]t . Можно показать [12], что многозначное отображение ( , )t A замкнутознач- но, L -измеримо по  , [0, ]t , а верхняя ( , )t  и нижняя ( , )t  разрешаю- щие функции L -измеримы по переменной  , при фиксированном t . Замечание 4. Если для некоторых допустимых функции ( , )t  и множеств 1M , 2M на множестве  выполнено условие 3, то sup ( , , ) ( , ) v V t v t     A , [0, ]t . Тогда выполнено условие 5 и справедливо равенство sup ( , , ) ( , ) v V t v t     =   , [0, ]t . Если для некоторых допустимых функции ( , )t  и множеств 1M , 2M на множестве  выполнено условие 4, то inf ( , , ) ( , ) v V t v t     A , [0, ]t . Тогда выполнено условие 5 и справедливо ра- венство inf ( , , ) ( , ) v V t v t    =   , [0, ].t Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 81 Рассмотрим множество 2 2 v V0 0 ( ( ), ( , )) { 0 : ( ) , sup ( , , ) 1, ( , ) 1}. t t g t t M t v d t d        =       =      (16) Если соотношения в фигурных скобках равенства (16) не выполняются ни для каких 0t  , то положим 2 ( ( ), ( , ))g     =  . Теорема 5. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 5, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M мно- жество 2 ( ( ), ( , ))g     не пусто и 2 2 ( ( ), ( , ))g       . Тогда игра может быть за- кончена в момент 2  с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта V , 2[0, ]  . Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим при v V , 2[0, ]  , компактнозначное многозначное отображение 2 2 2 2 2 1 v V ( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , )U v M v u U m M u v v m        =       +    −     2 2 2( , )[ ( )]}M     −   . В силу свойств параметров процесса (1) и нижней разрешающей функции 2( , )    копактнозначное отображение 2 2( ( , ), ( , ))U v M v   L B -измеримо [12] при v V , 2[0, ]  . Поэтому по теореме об измеримом выборе селектора [9] многозначное отображение 2 2( ( , ), ( , ))U v M v   содержит L B -измеримый се- лектор 2 2( ( , ), ( , ))u v m v   , который является суперпозиционно измеримой функ- цией [12]. Положим управление первого игрока 2 2 2 2( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v     =     , 2[0, ]  . Принимая во внимание формулу (1), получим 2 2 2 2 2 v V0 ( ) sup ( , , ) ( ) ( )z v m d         = −      +  + 2 2 2 2 2 2 v V0 ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) .u v v m d        +       +     −     (17) В силу леммы 1 имеем 2 2 2 1 v V0 sup ( , , ) ( )v m d M          , поэтому 2 2 2 1 v V0 sup ( , , ) ( ) .v m d M     −      В силу выбора управления и по определению момента 2  получим 2 2 2 2 2 2 2 2 v V ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , ) ( , )[ ( )],u v v m M               +     −       −  2 20 ( )M  −  , 2 2 0 ( , ) 1d        . Тогда с учетом леммы 1 справедливо включение 2 2 2 2 2 2 2 2 v V0 ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) ( )u v v m d M               +     −     −  . 82 ISSN 0572-2691 Таким образом, равенство (17) дает 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )z M M     +   + −   = 1 2 ,M M M= +  следовательно, 2( )z M    , что и завершает доказательство теоремы. Замечание 5. Если для некоторых допустимых функции ( , )t  и множеств 1M , 2M на множестве  выполнено условие 1, то 0 ( , )t A , [0, ]t .Тогда выполнены условия 3, 5 и справедливо равенство sup ( , , ) ( , ) 0 v V t v t     =   = , [0, ]t . Рассмотрим множество v V0 0 0 ( ( ), ( , )) { 0 : sup ( , , ) 1, ( , ) 1, ( , ) 1}. t t t g t t t v d t d t d       =     =           (18) Если при некотором 0t  ( , )t   + для [0, ]t , то в этом случае зна- чение соответствующего интеграла в фигурных скобках равенства (18) есте- ственно положить равным + и ( ( ), ( , ))t g t    , если для этого t справедли- вы другие соотношения в фигурных скобках равенства (18) . В случае, когда со- отношения равенства (18) не выполняются при всех 0t  , положим ( ( ), ( , ))g t    =  . Теорема 6. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 5, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M мно- жество ( ( ), ( , ))g     не пусто и ( ( ), ( , ))g     . Тогда игра может быть закон- чена в момент  с использованием управления вида (4). Доказательство. Пусть ( )v  — произвольный измеримый селектор компакта V , [0, ]  . Укажем способ выбора управления преследователем. Рассмотрим сначала случай ( , ( ), ( , )g M       и введем контрольную функцию 0 ( ) 1 ( , ) ( , ) t t h t d d  = −     −      , [0, ]t  . По определению  имеем ( ) 0 0 1 ( , ) 0h d  = −      , 0 ( ) 1 ( , ) 0h d   = −      . В силу непрерывности функции ( )h t существует такой момент времени t , ( 0,t   , что ( ) 0h t = . Отметим, что момент переключения t не зависит от предыстории управления второго игрока ( ) { ( ) : [0, ]}tv v s s t   =  . Промежутки времени [0, )t , [ , ]t  будем называть «активным» и «пассив- ным» соответственно. Опишем способ управления первым игроком на каждом из них. Для этого рассмотрим компактнозначные отображения: * 2 2 1 v V ( ( , ), ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , )U v M v u U m M u v v m    =       +    −     2( , )[ ( )]}M   −  , [0, )t , (19) ( )2 2 * * 1 v V ( , , ( , )) { , : ( , ) ( , ) sup ( , , ) ( , )U v M v u U m M u v v m    =       +    −     2( , )[ ( )]}M   −  , [ , ]t  . (20) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 83 Многозначные отображения * 2 2( ( , ), ( , ))U v M v   и ( )2 2 * ( , , ( , ))U v M v  имеют непустые образы. В силу свойств параметров процесса (1), функций ( , )   и ( , )   копактнозначные отображения 2 2( ( , ), ( , ))U v M v   , [0, )t , и ( )2 2 * ( , , ( , ))U v M v  , [ , ]t  при v V L B -измеримы [12]. Поэтому по теореме об измеримом выборе селектора [9] в каждом из них существует хотя бы по одному L B -измеримому селектору 2 2( ( , ), ( , ))u v m v   и 2 2 ( ( , ), ( , ))u v m v  , которые являются суперпозиционно измеримыми функциями [12]. Положим управление первого игрока на «активном» промежутке равным 2 2 2 2( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v     =     , [0, )t , а на «пассивном» — равным 2 2 2 2 ( ( ), ( )) ( ( , ( )), ( , ( )))u m u v m v    =     , [ , ]t  . Принимая во внимание формулу (1), при выбранных управлениях получим * * * 2 2 v V v V0 ( ) [ sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t t z v m d v m d       = −     +      +  * 2 2 v V0 ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) t u v v m d    +   +       +     −     + 2 2 v V ( ( , ) ( ( ), ( )) sup ( , , ) ( ) ( , )) t u v v m d      +       +     −     . (21) В силу леммы 1 имеем * * * 1 1 1 v V v V0 sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) t t v m d v m d M         +       , поэтому * * * 1 1 1 v V v V0 [ sup ( , , ) ( ) sup ( , , ) ( ) ] t t v m d v m d M     −      +        . Тогда с учетом леммы 1 cоотношения (19)–(21) дают 1 2 0 ( ) ( ) ( , )[ ( )] t z M M d     +   +    −    2( , )[ ( )] t M d   +    −   = 1 2 0 ( ) ( , ) [ ( )] t M d M  = +   +     −   2( , ) [ ( )] t d M   +     −  = 1 0 0 ( )[1 ( , ) ( , ) ] [ ( , ) t t t M d d d       = +   −    −     +    +   2 1 2( , ) ] . t d M M M M   +     = +  Здесь учтено равенство ( ) 0h t = и включение 1 2 .M M M+  Для случая 2( , ( ), ( , ))g M       достаточно применить теорему 5. Сравнение гарантированных времен Лемма 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) и для неко- торых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M выполнено условие 5, причем 2( , ( ), ( , ))t g t t M    . Тогда имеют место неравенства sup ( , , ) ( , ) v V t v t        , ( , )t   , (22) 84 ISSN 0572-2691 * inf ( , , ) ( , ) v V t v t       , ( , )t   . (23) Если к тому же выполнено условие 3, то неравенство (22) превращается в равенство. Если же справедливо условие 4, то в равенство превращается не- равенство (23). При этом если многозначное отображение ( , , )t vA принимает выпуклые значения на множестве V , то справедливы условия 3 и 4 и в соот- ношениях (22), (23) имеет место равенство. Теорема 7. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) и для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M выполнено усло- вие 5. Тогда имеют место включения 2 1 ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))T g g g g g                            . При этом, если к тому же выполнены условия 3 и 4, или если многозначное отображение ( , , )t vA принимает выпуклые значения на множестве V , справедливы равенства ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))T g g    =      , 2 1 ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )).g g g     =      =      Доказательство леммы 3 и теоремы 7 непосредственно следует из конструк- ций соответствующих определений, замечаний и теорем. Теорема 8. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1), (2) выполнено условие 2, для некоторых допустимых функции ( , )   и множеств 1M , 2M множе- ство ( ( ), ( , ))T g     не пусто, ( ( ), ( , ))T T g     и многозначное отображение ( , , )T vA принимает выпуклые значения для всех ( , )v , [0, ]T , v V . Тогда игра может быть закончена в момент T с использованием управления вида (4). Доказательство автоматически вытекает из леммы 3 и теорем 6 и 7. Замечание 6. Если существует такой измеримый по  , [0, ],t селектор ,( , ) ( , )vt t    , что 0 ( , ) 1 t t d   = , то в формулировке условий и теорем можно заменить v V sup ( , , )t v    на ( , )t  , причем доказательство соответствующих ре- зультатов не изменится. Пример «Мальчик и крокодил». Динамика преследователя и убегающего задается уравнениями соответственно ,x u= sx R , 2s  , u   , 0  , ,y v= sy R , 2s  , v   , 0  . (24) Преследование считается завершенным, если x y l−  . Исходная задача (24) может быть сведена к конфликтно-управляемому про- цессу следующим образом. Введем новые переменные 1 2( , )z z z= : 1z x y= − , 2z x= . (25) Продифференцируем по времени соотношения (25). С учетом исходных уравнений (24) получим 1 2z z v= − , 2z u= . (26) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 85 Терминальное множество 1{ : }M z z l=  , 0 1{ : 0}M z z= = , 1 2{ : , 0}.M z z l z=  = Тогда 2{ : 0}L z z= = , 0 0 0 E   =     , 1z z = , 0 0 0 E A   =     . Области управлений имеют вид 0 :U u u     =         , : 0 v V v     =         . Фундаментальная матрица однородной системы (26) 0 0 At E tE e   =     . Тогда получим Ate U tS =  , Ate V S =  , M lS= , где S — единичный шар подпро- странства L с центром в нуле. Условие Понтрягина не выполнено на интервале [0, )  : ( )At Ate U e V tS S t S  =  =  − =    , [0, )t   . Обозначим 11 1 2 2 1 1 2 1, ( ) ,M l S M l S M lS lM l S l S l l l= = = = = − − = , 1l l . Выберем функцию сдвига ( ) 0t  . Тогда 1 2( ) Ate z zt tz=  = + . Простые вычисления дают 1 ], 0 , , {0}, [ 0 : 0 [ ( , ) . tS v S t t v t l v S − +               = , ( , ) inf{ : ( , )}t v t v =   , 1 , 0 ( ) , , ( , ) 0, ( ) , v t t v v S lt v t v   −       =      1 , [0, ], max ( , ) 0, . v S t t lt v t  −     =      Имеем 1 1 0, 0 , ( max ( , ) ) ( max ( , ) ) ( ) , .v S v S t tS t v l S S t t v l S t S t       +  =  +  − =   −       Таким образом, условие 1 выполнено. Если 2 1 2l =   , то при t    0 max ( , ) 1 t v S v d     = и можно искать время окончания игры на интервале [ , )  + . Пусть 1 2 0( ) Ate z tt z z +=  =  . Так как выполнено условие 1, то справедли- вы условия 2, 3 и ( , , ) sup ( , , ) 0 v V t v t v     =   = . Если 2( )t l S  , в силу теоремы 1 или теоремы 2 игра может быть закончена в момент t с использованием управле- ния вида (4). Пусть 2( )t l S  .Тогда верхняя разрешающая функция ( , , )t v  определяется из соотношения 2 1( , , ) sup ( }{ 0 : ) ( ) max ( , ) v S v t l tv t v lt   − =  + −  +  − =    , v S . Поэтому функция ( , , )t v  является большим положительным корнем квадратного уравнения 86 ISSN 0572-2691 2 2 2 2 1 2( ( ) ( ) ) 2[ ( , ( )) [ ( ) max ( , ) ] ] v S t l v t t t v l l   −  −   +  −  +  −  − 22 2 1[[ ( ) max ( , ) )] ] 0 v S t t v l v  −  −  +  −  − = относительно  , если 2( )t l S  , v S . После вычислений получим 1 2 ( ) ma min x ( , ) ( ( , , ) )v S v S t t v l t l t v     −  +  − −   =   − . Соотношение 0 1 2 ( ) max ( , 1 ) ( ) t v S t t v d l t l   −  +  −    − − = эквивалентно уравнению 2 1 2 ( 2)z tz t t l+ =  − + . (27) Наименьший положительный корень уравнения (27) является моментом окончания игры в силу теоремы 3 с использованием управления вида (3). Легко проверить, что справедливо условие 4 и наименьший положительный корень уравнения (27) — момент окончания игры в силу теоремы 4 с использованием управления вида (4). При 0t = левая часть уравнения (27) равна 1z и с ростом t растет линейно, а правая часть равна l и растет квадратично. Так как 1z l , то для любых 1z и 2z момент окончания игры конечен. Равенство 1 2 0z tz+ = может быть выполнено только позже равенства (27). Потому этот случай рассматривать не следует. Если 2 1 2l    , то при всех 0t  справедливо неравенство 2 1( 2) 0t t l − +  . (28) Пусть 2 1 2l    и t    . Положим 2 ( ) ( , ) ( 2) t t t t − −  +   =  −  . Тогда в силу не- равенства (28) получим max ( , ) ( , ) v S t v t   −     , ) ( , )( , vt t −   и 0 ( , ) 1 t t d   = . С учетом замечания 6 соответствующая верхняя разрешающая функция сов- падает с построенной выше функцией ( , , )t v  , если в последней max ( , ) v S t v   −  заменить на ( , )t  . Тогда 1 2 m ( in ( , ) , ( , ) ( ) )v S t t t l t v l    −  + −   = −   . (29) Аналогично предыдущему случаю с учетом равенства (29) получим уравне- ние (27) для определения момента окончания игры в силу теорем 3 и 4. Заключение В настоящей работе рассматривается проблема сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики. Сформули- рованы достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в случае, когда условие Понтрягина не выполняется. Введены верхние и нижние разрешающие функции специального типа и на их основе предложены две схемы метода разрешающих функций, обеспечивающих завершение конфликтно- управляемого процесса в классе квазистратегий и контруправлений. Сравнивают- ся гарантированные времена окончания игры для разных схем сближения управ- ляемых объектов с различной инерционностью. Приведен пример. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2020, № 6 87 ABSTRACTS Й.С. Раппопорт ДОСТАТНІ УМОВИ ЗБЛИЖЕННЯ КЕРОВАНИХ ОБ’ЄКТІВ З РІЗНОЮ ІНЕРЦІЙНІСТЮ В ІГРОВИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в іг- рових задачах динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних фун- кцій. Для керованих об’єктів з різною інерційністю характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Л.С. Понтрягіна, що істотно ускладнює за- стосування методу розв’язувальних функцій до цього класу ігрових задач ди- наміки. Розглянуто випадок, коли в основу загальної схеми методу розв’язувальних функцій покладено аналог модифікованої умови Л.С. Понт- рягіна з урахуванням термінальної множини. Запропоновано метод вирішення таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій, що якісно ха- рактеризують хід зближення керованих об’єктів з різною інерційністю і ефек- тивністю прийнятих рішень. Такі функції називаються розв’язувальними функ- ціями. Привабливість методу розв’язувальних функцій полягає в тому, що він дозволяє ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відобра- жень в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отримувати на їх основі змістовні результати. У будь-яких формах методу розв’язувальних функцій головним є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні роздільної функції для оцінки якості гри першого гравця аж до досягнення де- якого порогового значення. Порівнюються гарантовані часи закінчення гри для розглянутих схем зближення керованих об’єктів з різною інерційністю. Наве- дено приклад. Ключові слова: керовані об’єкти з різною інерційністю, квазілінійна диферен- ціальна гра, багатозначне відображення, вимірний селектор, стробоскопічна стратегія, розв’язувальна функція. I.S. Rappoport SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE APPROACH OF CONTROLLED OBJECTS WITH VARIOUS INERTIA IN GAME DYNAMICS PROBLEMS The paper considers the problem of convergence of controlled objects with different inertia in game dynamics problems based on the modern version of the method of re- solving functions. For controlled objects with different inertia it is characteristic that on a certain time interval the condition of L.S. Pontryagin is not satisfied, which sig- nificantly complicates the application of the method of resolving functions to this class of game dynamics problems. We consider the case when the general scheme of the method of resolving functions is based on an analogue of the modified L.S. Pontryagin condition taking into account the terminal set. A method for solving such problems is proposed, associated with the construction of some scalar functions that qualitatively characterize the course of convergence of controlled objects and the ef- ficiency of the decisions made. Such functions are called permissive functions. The attractiveness of the method of resolving functions lies in the fact that it makes it pos- sible to use effectively the modern technique of multivalued mappings in substantiat- ing game constructions and obtaining meaningful results on their basis. In any form of the method of resolving functions, the main principle is the accumulative principle, which is used in the current summation of the resolving function to assess the quality of the game of the first player until a certain threshold is reached. A comparison is made of the guaranteed end times of the game for the considered schemes of ap- proaching controlled objects with different inertia. An example is given. 88 ISSN 0572-2691 Keywords: controlled objects with different inertia, quasilinear differential game, multi-valued mapping, measurable selector, stroboscopic strategy, resolving function. REFERENCES 1. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Springer Science and Business Media. 2013. 424 p. 2. Chikrii A. A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. 271. P. 69–85. 3. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mappings in game problems of motion control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. 48, N 3. P. 20–35. 4. Чикрий А.А. Верхняя и нижняя разрешающие функции в игровых задачах динамики. Тр. ИММ УрО РАН. 2017. 23, № 1. С. 293–305. DOI:https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23- 1-293-305. 5. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 455 с. 6. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М.: Наука. 1988. 2. 576 с. 7. Субботин А.И., Ченцов А.Г.Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с. 8. Hajek O. Pursuit Games. New York: Academic Press. 1975. 12. 266 p. 9. Aubin J.–P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser. 1990. 461 p. 10. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с. 11. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с. 12. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Метод разрешающих функций в теории конфликтно- управляемых процессов. Кибернетика и системный анализ. 2012. 48, № 4. С. 40–64. 13. Chikrii A. A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of Au- tomation and Information Sciences. 1995. 27, N 1. P. 27–38. 14. Pittsyk M. V., Chikrii A. A. On group pursuit problem. Journal of Applied Mathematics and Me- chanics. 1982. 46, N 5. P. 584–589. 15. Чикрий А. А., Дзюбенко К. Г. Билинейные марковские процессы поиска движущихся объ- ектов. // Проблемы управления и информатики. 1997. № 1. С. 92–107. 16. Eidelman S. D., Chikrii A. A. Dynamic game problems of approach for fractional-order equa- tions. Ukrainian Mathematical Journal. . 2000. 52, N 11. P. 1787–1806. 17. Chikrii A. A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Springer Optimi- zation and its Applications. 2008. 17. P. 349–387. 18. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные кофликтно-управляемые процессы. Прикл. математика и механика. 1993. 57, № 3. С. 3–14. 19. Chikrii A.A. Quasilinear controlled processes under conflict. Journal of Mathematical sciences. 1996. 80, N 3. P. 1489–1518. 20. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем с дробными производными Римана–Лиувилля. Кибернетика и системный анализ. 2001. № 6. С. 66–99. 21. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems Optimiza- tion Methods and Software. 2008. 23, N 1. P. 39–72. 22. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игровых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка. Кибернетика и систем- ный анализ. 2000. № 3. С. 3–32. 23. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестн. МГУ. Сер. математика, механика, астрономия, физика, химия. 1959. № 2. С. 25–32. 24. Половинкин Е.С. Элементы теории многозначных отображений. М.: Изд-во МФТИ, 1982. 127 с. 25. Rappoport I. S. On Guaranteed result in game problems of controlled objects approach. Journal of Automation and Information Sciences. 2020. 52, N 3. P. 48–64. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i3.40. 26. Belousov A.A., Kuleshyn V.V., Vyshenskiy V. I. Real–time algorithm for calculation of the dis- tance of the interrupted take-off. Journal of Automation and Information Sciences. 2020. 52, N 4, P. 38–46. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i4.40. 27. Chikriy A.A., Chikrii G.T., Volyanskiy K.Yu. Quasilinear positional integral games of approach. Journal of Automation and Information Sciences. 2001. 33, N 10, P. 31–43. DOI: 10.1615/ JAutomatInfScien.v33.i10.40. 28. Chikrii G.T. Principle of time stretching in evolutionary games of approach Journal of Automa- tion and Information Sciences. 2016. 48, N 5. P. 12–26. DOI: 10.1615/ JAuto- matInfScien.v48.i5.20. Получено 29.07.2020 После доработки 10.09.2020

Достаточные условия сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики

Institution

Ähnliche Einträge