К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием

Визначено аналітичні умови (необхідні/достатні) розв’язності задачі диференціальної реалізації континуального пучка керованих траєкторних кривих у класі білінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь (із запізненням і без) другого порядку в матеріальному сепарабельному гільбертовому прост...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2021
Автори:	Лакеев, А.В., Русанов, В.А., Банщиков, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208897
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием / А.В. Лакеев, В.А. Русанов, А.В. Банщиков // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 79–92. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208897
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2088972025-11-09T01:03:41Z К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием До тензорного аналізу розв'язності задачі реалізації білінійної системи другого порядку із запізненням On tensor analysis of the solvability of the problem of implementing a second-order bilinear system with delay Лакеев, А.В. Русанов, В.А. Банщиков, А.В. Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления Визначено аналітичні умови (необхідні/достатні) розв’язності задачі диференціальної реалізації континуального пучка керованих траєкторних кривих у класі білінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь (із запізненням і без) другого порядку в матеріальному сепарабельному гільбертовому просторі. Analytical conditions (necessary/sufficient) for the solvability of the differential realization problem of a continuous bundle of controlled trajectory curves in the class of bilinear non-autonomous ordinary differential equations (with and without delay) of the second order in a separable Hilbert space. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 19-01-00301). 2021 Article К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием / А.В. Лакеев, В.А. Русанов, А.В. Банщиков // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 79–92. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208897 517.93; 681.5 10.34229/1028-0979-2021-2-7 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления
spellingShingle	Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления Лакеев, А.В. Русанов, В.А. Банщиков, А.В. К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием Проблемы управления и информатики
description	Визначено аналітичні умови (необхідні/достатні) розв’язності задачі диференціальної реалізації континуального пучка керованих траєкторних кривих у класі білінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь (із запізненням і без) другого порядку в матеріальному сепарабельному гільбертовому просторі.
format	Article
author	Лакеев, А.В. Русанов, В.А. Банщиков, А.В.
author_facet	Лакеев, А.В. Русанов, В.А. Банщиков, А.В.
author_sort	Лакеев, А.В.
title	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
title_short	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
title_full	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
title_fullStr	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
title_full_unstemmed	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
title_sort	к тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Функционально-дифференциальные и импульсные системы управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208897
citation_txt	К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием / А.В. Лакеев, В.А. Русанов, А.В. Банщиков // Проблемы управления и информатики. — 2021. — № 2. — С. 79–92. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT lakeevav ktenzornomuanalizurazrešimostizadačirealizaciibilinejnojsistemyvtorogoporâdkaszapazdyvaniem AT rusanovva ktenzornomuanalizurazrešimostizadačirealizaciibilinejnojsistemyvtorogoporâdkaszapazdyvaniem AT banŝikovav ktenzornomuanalizurazrešimostizadačirealizaciibilinejnojsistemyvtorogoporâdkaszapazdyvaniem AT lakeevav dotenzornogoanalízurozvâznostízadačírealízacííbílíníjnoísistemidrugogoporâdkuízzapíznennâm AT rusanovva dotenzornogoanalízurozvâznostízadačírealízacííbílíníjnoísistemidrugogoporâdkuízzapíznennâm AT banŝikovav dotenzornogoanalízurozvâznostízadačírealízacííbílíníjnoísistemidrugogoporâdkuízzapíznennâm AT lakeevav ontensoranalysisofthesolvabilityoftheproblemofimplementingasecondorderbilinearsystemwithdelay AT rusanovva ontensoranalysisofthesolvabilityoftheproblemofimplementingasecondorderbilinearsystemwithdelay AT banŝikovav ontensoranalysisofthesolvabilityoftheproblemofimplementingasecondorderbilinearsystemwithdelay
first_indexed	2025-11-09T02:10:18Z
last_indexed	2025-11-10T02:08:09Z
_version_	1848367371555700736
fulltext	© А.В. ЛАКЕЕВ, В.А. РУСАНОВ, А.В. БАНЩИКОВ, 2021 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 79 ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 517.93; 681.5 А.В. Лакеев, В.А. Русанов, А.В. Банщиков К ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ РЕАЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Ключевые слова: тензорный анализ, нелинейный системный анализ, билиней- ная дифференциальная реализация с запаздыванием, функциональный оператор Релея−Ритца. Введение Качественная теория дифференциальной реализации (КТДР), рассматривае- мая в духе бесконечномерной постановки обратных задач математической физи- ки, сложнее, интереснее, глубже в приложениях и очень важна для понимания ос- новных свойств самих дифференциальных моделей. Ее геометрические конструк- ции могут служить отправными точками современного развития общей (аксиоматической) теории систем (в духе [1]), попутно создавая этим конструкци- ям репутацию полезного математического инструмента в прецизионном апосте- риорном моделировании нелинейных бесконечномерных динамических моделей. В методологическом плане КТДР можно рассматривать как важный шаг на пути построения общей теории апостериорного математического моделирования сложных динамических систем в контексте теории идентификации эволюцион- ных уравнений [2] на стыке функционального анализа [3, 4], теории меры и диф- ференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах [5]. Причем в тео- ретико-системном анализе непрерывных слабоструктурированных систем до ка- кого-то момента «механический» перенос качественных результатов конечно- мерной теории реализации на бесконечномерный случай проходит без особых осложнений. Это относится как к стационарным, так и нестационарным диффе- ренциальным моделям первого порядка (параболические уравнения и системы диффузионного типа) в равномерно выпуклых пространствах Гельдера [6], или гильбертовых пространствах [7, 8]. Существенные аналитические трудности начинаются при переходе к постро- ению дифференциальной реализации с динамическим порядком выше первого [9], в том числе неноминальный учет структуры гиперболических моделей [10], при представлении уравнений которых нельзя обойтись без учета нелинейности их динамики. В частности, — билинейной структуры модели реализации [11, 12], учитывающей эффект запаздывания в моделируемых билинейных обратных связях, на чем и акцентируется основное внимание в данной статье. При этом покажем, что, осуществляя аналитическую связь между проективной геометрией и диффе-  Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 19-01-00301). 80 ISSN 0572-2691 ренциальной реализацией моделируемых бесконечномерных динамических процес- сов, конструкцию проективизации функционального оператора Релея−Ритца [7, 8] и функционально-геометрический анализ условий его непрерывности удобно формулировать на языке компактных топологических многообразий тензорных произведений гильбертовых пространств в терминах CW -комплексов Уайтхеда [13]. Такая качественная теория до конца еще не создана, и не так давно не существова- ло еще и базы для нее. За последние полтора десятилетия положение существенно изменилось [7−12], можно считать, что теперь такая аналитическая база суще- ствует в виде теории расширений нестационарных Mp-операторов [7]. Данная работа развивает изыскания [12], позволяя (в перспективе) учитывать в дифференциальном моделировании многомерных уравнений динамики локаль- ных популяций нейронов [14], эффект запаздывания сигналов в нелинейных нейродинамических системах, задаваемых a posteriori функциональной моделью типа «вход−выход» (модель «черного ящика» [1, с. 21]). Постановка задачи Далее ( , ), X X  .( , ) Y Y — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (т.е. нормы удовлетворяют «условию параллелограмма» [15, с. 47]); при этом ниже используем [3, c. 176] линейную изометрию (сохраняющую норму) :E Y X→ пространств Y и X . Как обычно, ( ', '')L B B — банахово пространство (с операторной нормой) всех линейных непрерывных операторов для двух бана- ховых пространств: 'B и '',B 2( , )X XL — пространство всех непрерывных би- линейных отображений из декартового квадрата X X в пространство X , ниже активно используем линейную изометрию [3, c. 650] пространств 2( , )X XL и ( , ( , ))L X L X X . Пусть T — отрезок числовой прямой R с мерой Лебега  , μ  —  -алгебра всех  -измеримых подмножеств из T , запись mod μ S Q для μ, S Q  означает μ( \ ) 0S Q = . Сверх того, примем, что 1( , )AC T X — множество всех функций φ : T X→ , первая производная которых является абсолютно-непрерывной функ- цией (относительно меры  ) на интервале .T Если ниже ( , )B — некоторое банахово пространство, то L ( , ),p T B [1, )p  , как обычно, — банахово пространство всех классов  -эквивалентности интегрируемых по Бохнеру [16, c. 189] отображений :f T → B с нормой 1/( (τ) μ( τ)) , p p T f d   соответственно L ( , )T B — банахово пространство данных классов с нормой ess supT f   . В данном контексте понадобятся сле- дующие операторные пространства: 2 2 2 2 2 2: L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , ))T L X X T L X X T L Y X T X X=    LL 2 2 2 2 2 2 2 2L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , )),T X X T X X T X X T X X   L L L L * 2 2 2 2 2 : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). L X X L X X L Y X X X X X X X X X X X =         L L L L L L Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 81 Далее считаем, что на временном интервале T фиксировано (возможно, a posteriori) поведение исследуемой бихевиористической системы [17] в виде не- ограниченного по мощности нелинейного пучка N управляемых динамических процессов из 2L ( , )T Y  1( , )AC T X типа «вход−выход» (определение 1.2 [1, c. 21]), т.е. формально: 1 2 0{( , ) : ( , ), L ( , )}, Card exp ,N u x x AC T X u T Y N     где ( , )u x — пара «программное управление, траектория», 0 — алеф-нуль, 0exp — континуум; выше (и ниже) термин «нелинейный пучок» означает, что для траекторных кривых данного пучка a priori не предполагается наличие прин- ципа суперпозиции, когда зависимость выходных величин от входных воздей- ствий суть линейная (определение 1.1 [1, c. 85]). Кроме того, пусть задана, как инерционно-массовая характеристика моделируемой системы, оператор-функция при второй производной (в модели реализации) от траектории ( )t x t вида ˆ L ( , ( , )),A T L X X ˆμ{ : ( ) 0 ( , )} 0;t T A t L X X =  = при этом нарушение условия эквивалентности нормальной системе, а именно: ˆμ{ : Ker ( ) {0} } 0t T A t X    , необременительно (допустимо); в данном контексте см. ниже замечание 1. Рассмотрим задачу: для фиксированной пары ˆ( , )N A определить необходи- мые и достаточные условия, выраженные в терминах нелинейного пучка динами- ческих процессов N и оператор-функции Â , существования упорядоченного набора из восьми оператор-функций 1 0 1 2 3 4 5 2( , , , , , , , ) ,A A B D D D D D L для которого осуществима билинейная дифференциальная реализация (БДР) с посто- янным запаздыванием τ const 0=  , имеющая аналитическое представление вида 2 2 1 0 ˆ / /Ad x dt A dx dt A x+ + 1 2 3( , ) ( , / ) ( / , / )Bu x x x dx dt dx dt dx dt= + + + +D D D (1) 4 5( ( ), ) ( ( ), / ) ( , ) ;E u y E u dy dt u x N+ +  D D 0 1 0 0 ˆ ˆ( τ), åñëè τ ; ( ) : ˆ0 , åñëè τ. x t t t t t y t X t t t − +   =     + (Равенство в дифференциальном уравнении (1) рассматривается как тождество в пространстве 1L ( , )T X .) Если моделируемые операторы БДР-системы (1) предполагается искать в классе стационарных, то будем строить их в классе непрерывных и при этом писать * 1 0 1 2 3 4 5( , , , , , , , )A A B D D D D D L . В связи с означенной математической постановкой отметим, что каждая область математики, как правило, содержит свои ведущие проблемы, которые настолько трудны, что их полное решение даже и не ожидается, но которые стимулируют постоянный поток работ и служат главными вехами на пути про- 82 ISSN 0572-2691 гресса в этой области. В рамках КТДР-исследований такой проблемой является проблема классификации непрерывных бихевиористических систем, рассматри- ваемых так, как если бы они точно совпадали с решениями идеализированных дифференциальных моделей, в том числе высших порядков. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию таких систем с точностью до соответ- ствующего класса моделей дифференциальной реализации, в частности, и класса нестационарных БДР-моделей (1), в обосновании чего служат теоремы 1−3 (и их следствия), которые позволяют в означенной классификации значительно прибли- зиться к идеальному сочетанию функциональной прозрачности и геометрической наглядности [18, 19]. Характеристический признак БДР-модели с запаздыванием: эквивалентные формулировки Опишем теперь аналитическую схему решения вопроса о разрешимости (или неразрешимости) БДР-задачи (1). Итак, пусть :Z X X=  — гильбертово тензор- ное произведение [15, с. 54] гильбертовых пространств X и X с кросс-нормой Z  , определяемой внутренним произведением [4, с. 64]. Сверх того, введем новые обозначения, которыми в дальнейшем будем широко пользоваться: : ,U X X Y Z Z Z Z Z=        2 2 2 2 2 2 2 2 1/2( , , , , , , , ) : ( ) ; U X X Y Z Z Z Z Z         =  +  +  +  +  +  +  +  2 2 2 2 2: L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , ))T L X X T L X X T L Y X T L Z X=    L 2 2 2 2L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , )) L ( , ( , ));T L Z X T L Z X T L Z X T L Z X    ясно, что функциональное пространство 2L (с топологией произведения) линейно гомеоморфно банахову пространству 2L ( , ( , ))T L U X . Пусть  — универсальное билинейное отображение π : X X → X X→  ; на языке категорий морфизм  определяет тензорное произведение как универ- сальный отталкивающий объект [15, с. 40]. Универсальность билинейного отоб- ражения  состоит также в том, что π : ,X X X X →  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(x , x ) π(x , x ) x x , x x x x ; Z X X =   = данные соотношения важны для определения конструкции нелинейного функци- онального оператора Релея−Ритца в части конкретизации нормы U  . Далее считаем, что декартов квадрат 2X X X=  наделен нормой 2 2 1/2( ) X X  +  . В данной постановке 2π ( , )X Z L и с учетом теоремы 2 [3, с. 245], для любого билинейного отображения 2( , )X XD L всегда найдется линейный непрерывный оператор D ( , )L Z X такой, что D π,=D при этом для любой па- ры ( , )u x N будут выполняться включения: π( , ), π( , / ), π( / , / ) L ( , ),x x x dx dt dx dt dx dt T Z 2π( ( ), ), π( ( ), / ) L ( , ).E u y E u dy dt T Z Данные построения подытоживает следующее утверждение. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 83 Лемма 1. Для любого набора 1 0 1 2 3 4 5 2( , , , , , , , )A A B D D D D D L и отоб- ражения 2 2 2: L ( , ) L ( , ) L ( , )F T X T X T Y   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1L ( , ) L ( , ) L ( , ) L ( , ) L ( , ) L ( , ),T X T X T X T X T X T X     → =:),,,,,,,(),,,,,,,( 8765432187654321 yyyyyyyyFyyyyyyyy  1 1 0 2 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8: A y A y B y y y y y y= + + + + + + +D D D D D существуют единственный кортеж оператор-функций 1 2 3 4 5 6 7 8 2( , , , , , , , )D D D D D D D D L и, соответственно, единственное линейное отображение 2 1:L ( , ) L ( , ),M T U T X→ имеющее аналитическое представление вида 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8( , , , , , , , ) ( , , , , , , , ) :z z z z z z z z M z z z z z z z z = 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 ,D z D z D z D z D z D z D z D z= + + + + + + + такое, что выполняется следующее функциональное равенство: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8( , , , , , , , ) ( , , , , , , , )y y y y y y y y F y y y y y y y y = 1 2 3 4 5 6 7 8( , , ,π( ),π( ),π( ),π( ),π( )),M y y y y y y y y= которое, в свою очередь, индуцирует для оператор-функций из конструкций отображений F и M следующие операторные соотношения: 1 1 0 2 3, , ,A D A D B D= = = 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8π, π, π, π, πD D D D D= = = = =D D D D D . Следующая лемма обобщает бихевиористическое условие (7) [7]. Лемма 2. Пусть μ, S Q  , тогда mod μ S Q , если имеют место равенства: ˆ: { : ( ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )) 0 },S t T g t w t v t q t s t h t u t u t U=  =  ˆ: { : ( ) 0 }, / , ( , , , , , , , ) ,NQ t T g t X g dg dt g w v q s h u u V=  =  =  : Span{( / , , , π( , ), π( , / ), π( / , / ),NV dx dt x u x x x dx dt dx dt dx dt= 2π( ( ), ), π( ( ), / )) L ( , ): ( , ) }.E u y E u dy dt T U u x N  Далее, пусть ( L ( , )T R+ , L ) — положительный конус [20, c. 194] классов  -эквивалентности всех вещественных неотрицательных  -измеримых на интер- вале T функций с квазиупорядочением L , при котором L' ''   в том и только в том случае, если ξ'( ) ξ''( )t t  -почти всюду в T . При этом для заданного подмножества L ( , )W T R+ через Lsup W обозначим наименьшую верхнюю грань подмножества W , если эта грань существует в конусе L ( , )T R+ в струк- туре квазиупорядочения L , в частности, легко установить, что имеет место соотношение 84 ISSN 0572-2691 1 Lsup { ', ''} ' '' : 2 ( ' '' \| ' '' \|).−  =   =  + +  − В данной постановке рассмотрим решетку с ортодополнением [4, с. 339]: L L( ): {ξ L ( , ): ξ sup }W T R W+=  R . Тогда L( ( ), )W R — решетка с наименьшим χ  L ( , )T R+ и наибольшим Lsup W  L ( , )T R+ элементами; здесь и далее χ — «нуль–функция» конуса L ( , )T R+ . В контексте определения 3 [16, c. 504] из теоремы 17 [3, c. 68] и следствия 1 [3, c. 69] несложно извлечь более общее утверждение; ниже Linf — наибольшая нижняя L -грань. Лемма 3. Решетка ( )WR — полная, т.е. L Linf , sup ( )V V WR ( )V W R . Пусть : L ( , )NV T R+ → — функциональный оператор Релея−Ритца [7, 8]: ˆ ( ) ( ) / φ( ) , åñëè φ( ) 0 ; (φ)( ): 0 , åñëè φ( ) 0 ; UX A t g t t t U t t R t U     =    =  где ˆφ : ( , , , , , , , ) Ng w v q s h u u V=  . Ясно, что имеет место равенство ˆ( ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )) : U g t w t v t q t s t h t u t u t = 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2 Z Z ˆ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) . X X Y Z Z Z g t w t v t q t s t h t u t u t= + + + + + + + В силу леммы 2 на интервале времени T выполняется ˆsupp (φ) supp (mod μ) X Ag = ; здесь в определении supp-конструкции носителя функции следуем [3, с. 137] (т.е. носитель определяется с точностью до множества меры нуль; не путать с определением 4 [16, с. 45]). Нелинейный оператор  удовлетворяет весьма простым (но важным) соот- ношениям: * Lχ (φ) ( φ), : \{0}, φ ;Nr r R R V   =  =  ниже будем различать в обозначениях образ точки (φ) и образ множества [{φ}] . Теория оператора Релея−Ритца нуждается в точном функционально- геометрическом языке, что заставляет уделять этому языку особое внимание. Поэтому введем дополнительную терминологию. А именно, функциональный оператор  индуцирует отображение : L ( , )NP P T R+ → , которое, по сложив- шейся в теории представлений традиции [15, c. 239], назовем проективизацией оператора Релея−Ритца: (γ) : [γ], γ (γ ).N NP P V =   Здесь NP — вещественное проективное пространство, ассоциированное с линейным многообразием NV (с топологией, индуцированной из пространства 2L ( , ));T U т.е. NP — множество орбит мультипликативной группы R , действующей на \{0}NV . В данной геометрической трактовке ключевым моментом являются то- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 85 пологические свойства пространства 0, dimN NP P  , разумеется, в первую оче- редь (в контексте теоремы 2), его компактность, в частности, если имеет место dim 3NV = , то компактное 2-многообразие NP устроено как лист Мебиуса, к ко- торому по его границе приклеен круг [13, c. 162]. Попутно отметим, что на NP можно ввести геометрическую структуру CW-комплекса [13, c. 140], что, в свою очередь, упрощает рассмотрение вопроса о геометрической реализации многооб- разия NP — теорема 9.7 [13, c. 149]. Теорема 1. Каждое из следующих трех условий влечет за собой два других: (i) БДР-задача (1) разрешима относительно 1 0 1 2 3 4( , , , , , , ,A A B D D D D 5 2)D L ; (ii) 2 Lθ L ( , ): (φ) θ, φ ;NT R V      (iii) L L 2sup [ ]: sup [ ] L ( , ).N NP P P P T R    При этом для выполнения 1 0 1 2 3 4 5( , , , , , , , )A A B D D D D D L необходимо, чтобы ( [ ]) L ( , )NP P T R R . Замечание 1. Теорему 1 можно рассматривать как начальный этап в изучении проблемы, когда пучку N от неявного дифференциального уравнения с запазды- ванием высшего порядка требуется сопоставить явную нестационарную билиней- ную дифференциальную систему второго порядка с тем же запаздыванием и тем же динамическим пучком N . В частности, данная постановка уместна, когда раз- решимую для пары 1 ˆ( , )N A БДР-задачу необходимо редуцировать к разрешимой БДР-задаче для пары 2 ˆ( , )N A в положении, когда 1 ˆμ{ : Ker ( ) 0 } 0t T A t X    , 2Â — оператор гомотетии с коэффициентом 1; характер сопутствующих вычислений проиллюстрирован в примерах 1, 2. Доказательство. Будем пользоваться идеями работы [18]. Придерживаясь определения 1 [18], введем в рассмотрение конструкцию 2M -оператора 2 1:L ( , ) L ( , )M T U T X→ вида 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ˆ( , , , , , , , ) : ( , , , , , , , ):D D D D D D D D M g w v q s h u u  =L 1 2 3 4 5 6 7 8ˆD g D w D v D q D s D h D u D u= + + + + + + + , 2ˆ( , , , , , , , ) L ( , ).g w v q s h u u T U  Остальные детали доказательства с небольшими уточнениями (с учетом леммы 1–3 для решетки ( [ ])NP PR ) содержит схема 2M -продолжимости в форме следствия 2 и теоремы 3 [18], при этом необходимое условие для * 1 0 1 2 3 4 5( , , , , , , , )A A B D D D D D L устанавливается модификацией доказательства теоремы 3 [7]. ■ Замечание 2. Необходимо отметить, что даже в случае 01 Card N  имеет место положение 0Card expNP =  ; но можно показать, что существует (теорема 17 [3, c. 68]) такое счетное множество NG P , что если в пространстве L ( , )T R+ лежит Lsup [ ]NP P , то вещественную функцию Lζ : sup [ ]NP P=  осу- ществляет следующая sup -конструкция: ζ( ) sup{ (γ)( ) : γ }.t t P t R G=    86 ISSN 0572-2691 Замечание 3. Доказательство теоремы 1 легко модифицировать так, чтобы сформулировать критерий теоремы 3, выражающий в терминах углового расстоя- ния (в гильбертовом пространстве) условия существования билинейной системы (1), реализующей пучки 1 2,N N , каждый из которых обладает своей БДР- моделью, в том числе, в математической постановке [7, 19], когда моделируемые операторы дифференциальной системы (1) суть стационарные, т.е. * 1 0 1 2 3 4 5( , , , , , , , )A A B D D D D D L , в частности, с минимальной нормой [18, 28]. В конкретных рассуждениях важен также следующий частный случай. Следствие 1. Если 0dim NV  , 2[ ] L ( , )NV T R  и найдется [1, )p  , при котором 1 2 L 1 2 1 2(φ φ ) (φ ) (φ ), (φ ,φ ) ,N Np p V V +   +    то БДР-задача (1) разрешима. Заметим, что при 1p = данное свойство в (контексте квазиупорядочения L ) сродни свойству «сублинейности» [20, c. 400] функциональных операторов. Непрерывность оператора Релея−Ритца в анализе разрешимости БДР-задачи с запаздыванием В случае компактности проективного многообразия NP (равносильно, 0dim NP  ) естественно попытаться связать это свойство с задачей построения решетки ( [ ])NP PR в контексте условий непрерывности проективизации опера- тора Релея−Ритца (см. также [21]); ниже при выборе в теореме 2 метрической структуры в конусе L ( , )T R+ прибегли к теоремам 15, 16 [3, c. 65, 67] (в данной постановке L ( , )T R+ — полное сепарабельное метрическое пространство). Теорема 2. Пусть 0dim NP  и конус L ( , )T R+ наделен топологией, индуци- рованной сходимостью по мере  , или, что эквивалентно, инвариантной метрикой 1 1 2 1 2 1 2 1 2ρ ( , ): \| (τ) (τ) \|(1 \| (τ) (τ) \|) μ ( τ), , L ( , ).T T f f f f f f d f f T R− += − + −  Тогда оператор : L ( , )NP P T R+ → будет непрерывным, если пучок N та- ков, что φ \{0}: supp φ (mod μ),N U V T  = (2) в частности, если γ : supp (γ) (mod μ).NP P T   = (3) (Инвариантность предполагает ρ ( , ) ρ ( , )T Tf q g q f g+ + = для любых , ,f g q L ( , )T R+ ; вариант неинвариантной неполной метрики, обеспечивающей непре- рывность оператора Релея−Ритца, рассмотрен в [21]). Отметим, что теорема 2 является развитием теоремы 3 [8], что подтверждает ее методологическую важность в математическом (апостериорном) моделирова- нии сложных динамических систем [7, 8, 18, 19]. Одним из приложений этого ре- зультата (с учетом теоремы 3 [22, с. 61] и следствия 5.3 [23, с. 137]) является сле- дующее геометрическое утверждение. Следствие 2. Если при выполнении (2) или (3) оператор P взаимно- однозначный, то P — гомеоморфизм, а фундаментальная группа метрического Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 87 пространства ( [ ], ρ )N TP P изоморфна аддитивной группе целых чисел Z при dim Span 2N = и группе вычетов 2Z при dim Span 3N  , причем простран- ство ( [ ], ρ )N TP P ориентируемо, если размерность линейной оболочки Span N четная, и неориентируемо, если она нечетная. Принимая во внимание, что непрерывная вещественная функция на компакт- ном пространстве достигает своих наибольшего и наименьшего значений, прихо- дим к заключению, что в положении следствия 2 и теоремы 5 [3, с. 28], для слу- чая, когда 01 dim NP  и при наличии Lsup [ ]NP P , найдутся такие точки γ', γ'' NP , что ρ ( (γ'), χ ) sup{ρ ( (γ), χ ) : γ }T T NP P P  =    Lρ (sup [ ], χ )T NP P   μ ( ),T L Lρ ( (γ''), sup [ ]) inf {ρ ( (γ), sup [ ]) : γ }T N T N NP P P P P P P  =     0. Заметим, что включение 2(γ') L ( , )P T R  не гарантирует вложения 2( [ ]) L ( , )NP P T R R (см. пример 1 из [8]). При этом отметим, что dim 0NP = приводит к положению 2 2 2 42 2 L X ˆsup [ ] [ ] / / ( /N N X X Y X P P P P Ad x dt dx dt x u x =  = + + + + 2 2 4 2 2 2 2 1/2/ / ( ) ( ) / ) . X X X X X X X x dx dt dx dt E u y E u dy dt+ + + + (4) В контексте теорем 1, 2 можно уточнить условия существования решетки ( [ ])NP PR . В качестве отправной точки введем вспомогательную конструкцию: для натурального i обозначим через iW некоторое конечное 1i − — плотное подмножество в метрическом пространстве ( [ ], ρ )N TP P ; подмножество iW найдется в силу теоремы 2. Ниже ρLim {ξ } T n означает предел последователь- ности {ξ } L ( , )n T R+ в топологии, индуцированной метрикой ρ .T Теорема 3. Пусть ][}ζ,,ζ{,}{ 1,1, Nkinii PPWW i ==  и ,ζζξ,ξξ: 11 ikinnf ==  .1 ni  Тогда конус ),(L RT+ содержит решетку ])[( NPPR , если и только если ),(0),(ρ →→ mnff mnT , причем БДР-разрешимость приобретает вид: пара )ˆ,( AN обладает дифференци- альной реализацией (1) тогда и только тогда, когда ),(L}{Lim 2ρ RTfn T  , что равносильно 2( [ ]) L ( , ).NP P T R R В завершение приведем примеры, снимающие возможное представление, что выше особое ударение всюду делали исключительно на идейном аспекте каждого понятия, тем самым невольно пренебрегая его рассмотрением с вычислительной точки зрения; всюду ниже считаем, что моделирование осуществляется с нулевым запаздыванием 0τ = (т.е. )()( = xy ). Пример 1. Пусть [0, 10], : ,T Y X= = Â — оператор гомотетии с единичным коэффициентом [20, c. 87] 88 ISSN 0572-2691 ),,(0),,(0 2 54311 XXXXLA LDDDD ===== ,Xe 1\|\|\|\| =Xe , ),,(L0)( 2 XTtut = ( ) ( sin ) .t x t t t e= Тогда функция 2 2 2 2 2 1/2 L: sup ( ) \|\| / \|\| (\|\| \|\| \|\| \|\| \|\| / \|\| )N X X X Xf P P d x dt x x dx dt −=  = + (рис. 1, где 2 2 2 2 2 1( ) (2cos sin ) (( sin ) ( sin ) (sin cos ) ) )f t t t t t t t t t t t −= − + + не принад- лежит пространству ),(L2 RT и согласно теореме 1 и формуле (4) реализация (1) для неуправляемого процесса N )},{( xu= не существует. Пример 2. Изменим постановку примера 1: 2 1 2( ) ( sin 2 sin2t u t t t t t−= + + cos ) .t e+ Тогда (рис. 2, где 2 2 2 2( ) (2cos sin ) (( sin ) ( sin ) (sinf t t t t t t t t t= −  + + 2 2 1 2 2 1cos ) ( sin 2 sin2 cos ) )t t t t t t t− −+ + + + ) 2 2 2 L: sup ( ) \|\| / \|\| (\|\| \|\|N X Xf P P d x dt x=  = + 2 2 2 1/2\|\| \|\| \|\| / \|\| \|\| \|\| )X X Yx dx dt u −+ +  ),(L2 RT и, значит, реализация (1) для управля- емого процесса N )},{( xu= существует; нетрудно установить, что 2 2 2/ 2 2 ( , / ),d x dt x u x dx dt+ = − D где ,,2 eX=D X , — скалярное произведение в .X Рис. 1 Рис. 2 Отметим, что для более сложных вариантов задания пары ( )(tut  , )(txt ) символьные вычисления функции )(2 f (аналогичной рис. 1, 2) можно проводить средствами компьютерной алгебры математической физики [24]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 89 В данном контексте схему анализа разрешимости БДР-задачи примеров 1, 2 мож- но модифицировать для качественного анализа редукции точных многомерных решений диффузии со степенными нелинейностями [25] к задаче Коши для счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полилиней- ной структурой. Пример 3. В силу (4) и теоремы 1 покажем, что любой динамический процесс ),,(L),,(),,( 2 1 YTuXTACxxu  обладающий дифференциальной реализацией (1), имеет реализацию в классе линейных систем (т.е. с нулевыми операторами 54321 ,,,, DDDDD ) — факт по- лезный, поскольку применим в рамках метода «квазилинеаризации» [17, c. 168], используемого для построения оптимального программного управления по техно- логии последовательных приближений [17, c. 174] (известной как метод Пикара [20, c. 215]) в решении двухточечной краевой задачи. Представляется, что приведенные выше примеры дают дополнительные ос- нования для дальнейшего изучении БДР-моделей с запаздыванием (в контексте развития тензорного анализа квазилинейных векторных полей [26, 27], в том числе с минимальной операторной нормой [28]), в частности, для апостериорного моде- лирования нестационарных билинейных динамических систем, траектории кото- рых суть аналитические функции, что a priori обеспечивает условие (2) теоремы 2 в силу принципа изолированности нулей [29, с. 228]. Заключение Настоящий период развития КТДР в бесконечномерной постановке в значи- тельной мере связан с созданием нового языка — теории расширений Mp-опе- раторов [18]. Данная теория существенным образом перестроила и укрепила тео- ретико-системные основания КТДР и обеспечила гармоничную связь чисто гео- метрических идей Mp-продолжимости с методами теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах [5], причем делая упор на прило- жения [17], а не на достижение максимальной общности изложения. К тому же, не будет преувеличением заметить, что «билинейный аппарат» КТДР, получивший продвижение выше, доставляет, по меньшей мере, эстетическое удовлетворение; аналитик, преследующий чисто эстетические цели, как правило, содействует сози- данию нового формального языка, более приспособленного к тому, чтобы удовле- творить математические запросы физики. Действительно, часто математические модели и законы постулируются на основе философии Аристотеля и эстетическо- го подхода и только позднее выясняется, что они также могли быть до некоторой степени выведены из имеющихся (или пополненных) знаний и наблюдаемых фак- тов. В качестве примера можно указать на историю разработки гиперболоидной модели сетчатой башни Шухова. Еще более показательна история открытия зако- на всемирного тяготения [30, c. 115], сформулированного Гуком в одном из писем Ньютону. Гук считал [31, c. 410], что сила притяжения тела распространяется равномерно по сфере, окружающей (равноудалено) это тело, и, следовательно, обратно пропорциональна квадрату радиуса данной сферы, т.е. фактически Гук утверждал, что этот закон является следствием трехмерной геометрии окружающе- го физического пространства. Это побудило Ньютона отказаться от намерения оставить занятия наукой, в итоге по существу послужив для него поводом написа- ния знаменитых «Principia» [32], с которых практически началась современная ма- тематическая физика. Последнее обстоятельство не могло не наложить свой отпечаток и на содер- жание данной работы, а именно, — так как во многих практически важных зада- чах реализации дифференциального представления моделируемых континуаль- ных пучков программно-управляемых динамических процессов необходимо учи- тывать нелинейную взаимосвязь как от самой траектории и скорости движения на 90 ISSN 0572-2691 ней, так и от программного управления, то выше основное внимание было сосре- доточено на модели реализации, зависящей от пяти нестационарных билинейных структур. Первая из них задана на самой траектории, второй билинейный опера- тор зависит от траектории и скорости движения по ней, третий зависит только от скорости движения по этой траектории и два других учитывают эти переменные в связи с влиянием на них программного управления и эффекта запаздывания. Для того чтобы пойти дальше, можно вполне уверенно указать теоретико- системное направление, которое составит алгебраическую основу (без чрез- мерного нагнетания технических средств алгебраической геометрии) следую- щего этапа развития качественной теории дифференциальной реализации высших порядков [33], а именно, переход от билинейной структуры нелинейных связей к полилинейным. Методологически данный переход состоит в использова- ния геометрического языка тензорных структур пространств Фока [4, с. 68] и проективных представлений [15, с. 238] в контексте исследования метрических свойств операторов Релея−Ритца [21] средствами компьютерной алгебры в матема- тической физике [24, 34]. А.В. Лакеєв, В.А. Русанов, А.В. Банщіков ДО ТЕНЗОРНОГО АНАЛІЗУ РОЗВ’ЯЗНОСТІ ЗАДАЧІ РЕАЛІЗАЦІЇ БІЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ Визначено аналітичні умови (необхідні/достатні) розв’язності задачі диферен- ціальної реалізації континуального пучка керованих траєкторних кривих у класі білінійних неавтономних звичайних диференціальних рівнянь (із запізненням і без) другого порядку в матеріальному сепарабельному гільбертовому просторі. Ця задача відноситься до типу обернених задач для адитивної комбінації нестаціо- нарних лінійних і білінійних операторів еволюційних рівнянь у нескінченнови- мірному гільбертовому просторі. Метамовою даної теорії служать конструкції тензорних добутків гільбертових просторів, структури решіток з ортодопов- ненням і функціональний апарат нелінійного оператора Релея–Рітца. При цьо- му показано, що в разі кінцевого пучка траєкторій наявність властивостей типу сублінійності даного оператора дозволяє отримати достатні умови для існуван- ня таких реалізацій. Попутно обгрунтовуються тополого-метричні умови без- перервності проективізаціі нелінійного функціонального оператора Релея–Рітца з обчисленням фундаментальної групи його образу. Отримані результати спо- нукають до розвитку теорії нелінійної структурної ідентифікації полілінійних диференціальних моделей вищих порядків (наприклад, для моделювання бага- токанальних нейроімплантів типу «Neuralink»). Ключові слова: тензорний аналіз, нелінійний системний аналіз, білінійна диферен- ціальна реалізація із запізненням, функціональний оператор Релея–Рітца. A.V. Lakeyev, V.A. Rusanov, A.V. Banshchikov TO A TENSOR ANALYSIS OF THE SOLVABILITY OF THE PROBLEM OF REALIZATION OF A SECOND-ORDER BILINEAR SYSTEM WITH DELAY The analytical conditions (necessary and sufficient) are defined for the solvability of the problem of differential realization of a continuous beam of controlled trajectory curves in the class of bilinear nonautonomous ordinary differential equations (with delay and without it) of the second order in a real separable Hilbert space. The problem under consideration belongs to the type of inverse problems for an additive Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2021, № 2 91 combination of nonstationary linear and bilinear operators of evolution equations in an infinite-dimensional Hilbert space. The meta-language of this theory is the constructions of tensor products of Hilbert spaces, the structures of lattices with ortho-complementation, and the functional apparatus of the nonlinear Rayleigh-Ritz operator. It is shown that in the case of a finite bundle of trajectories, the presence of a sublinearity-type property of this operator allows us to obtain sufficient conditions for the existence of such realizations. Along the way, the topological-metric conditions for the continuity of the projectivization of the nonlinear Rayleigh-Ritz functional operator with the calculation of the fundamental group of its image are justified. The results obtained provide the motivation for the development of a qualitative theory of nonlinear structural identification of higher-order multi-linear differential models (e.g. for processes, induced by the «brain–machine» interface- platform of the type of Neuralink). Keywords: tensor analysis, nonlinear system analysis, bilinear delay differential re- alization, functional Rayleigh-Ritz operator. REFERENCES 1. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. М. : Мир, 1978. 312 с. 2. Ahmed N.U. Optimization and identification of systems governed by evolution equations on Ba- nach space. New York : John Wiley and Sons, 1988. 187 p. 3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с. 4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М. : Мир, 1977. 360 с. 5. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М. : Наука, 1983. 384 с. 6. Гольдман Н.Л. Определение коэффициентов при производной по времени в квазилиней- ных параболических уравнениях в пространствах Гельдера. Дифференциальные уравнения. 2012. 48, № 12. C. 1597–1606. https://doi.org/10.1134/S0012266112120026 . 7. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeev A.V., Linke Yu.É. On the differential realization theory of nonlinear dynamic processes in Hilbert space. Far East Journal of Mathematical Sciences. 2015. 97, N 4. P. 495−532. http://dx.doi.org/10.17654/FJMSJun2015_495_532. 8. Русанов В.А., Данеев А.В., Линке Ю.Э. К геометрическим основам дифференциальной ре- ализации динамических процессов в гильбертовом пространстве. Кибернетика и систем- ный анализ. 2017. 53, № 4. С. 71−83. DOI: 10.1007/s10559-017-9957-z. 9. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Sizykh V.N. Higher-order differential realization of polylinear-controlled dynamic processes in a Hilbert space. Advances in Differential Equa- tions and Control Processes. 2018. 19, N 3. P. 263−274. http://dx.doi.org/10.17654/ DE019030263. 10. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений. Сиб. журн. индустр. математики. 2011. 14, № 1. С. 27−39. https://doi.org/10.1134/S1990478911040053; № 2. С. 28−33. https://doi.org/10.1134/ S1990478912010024. 11. Rusanov V.A., Banshchikov A.V., Daneev A.V., Lakeyev A.V. Maximum entropy principle in the differential second-order realization of a nonstationary bilinear system. Advances in Differential Equations and Control Processes. 2019. 20, N 2. P. 223−248. http://dx.doi.org/10.17654/DE020020223. 12. Daneev A.V., Lakeyev A.V., Rusanov V.A. Existence of a bilinear differential realization in the constructions of tensor product of Hilbert spaces. WSEAS Transactions on Mathematics. 2020. 19. P. 99−107. DOI: 10.37394/23206.2020.19.9. 13. Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2014. 360 с. 14. Brzychczy S., Poznanski R. Mathematical neuroscience. New York : Academic Press, 2013. 208 p. 15. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М. : Наука, 1978. 344 с. 16. Иосида К. Функциональный анализ. М. : Мир, 1967. 624 с. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9957-z 92 ISSN 0572-2691 17. Willems J.C. System theoretic models for the analysis of physical systems. Ric. Aut. 1979. N 10. P. 71−106. 18. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. Существование дифференциальной реализации ди- намической системы в банаховом пространстве в конструкциях расширений до Mp-опе- раторов. Дифференциальные уравнения. 2013. 49, № 3. C. 358−370. DOI: 10.1134/S0012 266113030105. 19. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. К разрешимости дифференциальной реализации минимального динамического порядка семейства нелинейных процессов «вход−выход» в гильбертовом пространстве. Дифференциальные уравнения. 2015. 51, № 4. С. 524−537. DOI: 10.1134/S037406411504010X. 20. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. М. : Мир, 1969. 1072 с. 21. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.É. On the theory of differential realization: Criteria of continuity of the nonlinear Rayleigh−Ritz operator. International Journal of Function- al Analysis, Operator Theory and Applications. 2020. 12, N 1. P. 1−22. http://dx. doi.org/10.17654/FA012010001. 22. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М. : Наука, 1989. 528 с. 23. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М. : МЦН- МО, 2014. 584 с. 24. Banshchikov A.V., Bourlakova L.A. Computer algebra and problems of motion stability. Mathe- matics and Computer in Simulation. 2001. 57, N 3. P. 161−174. 25. Косов А.А., Семенов Э.И. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии. Дифференциальные уравнения. 2018. 54, № 1. С. 108−122. DOI: 10.1134/S0374064118010090. 26. Brockett R.W. Nonlinear control theory and differential geometry. Proceeding ICM-82 in War- saw. Polish Scientific Publishers. 1984. P. 1357−1368. 27. Rusanov V.A., Daneev A.V., Lakeyev A.V., Linke Yu.É. To existence of a nonstationary quasi- linear vector field realizing the expansion of a control trajectory bundle in Hilbert space. WSEAS Transactions on Systems. 2020. 19. P. 115−120. DOI: 10.37394/23202.2020.19.16 28. Rusanov V.A., Antonova L.V., Daneev A.V., Mironov A.S. Differential realization with a mini- mum operator norm of a controlled dynamic process. Advances in Differential Equations and Control Processes. 2013. 11, N 1. P. 1−40. 29. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М. : Мир, 1964. 431 с. 30. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : МЦНМО, 2012. 344 с. 31. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М. : Мир, 1984. 434 с. 32. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1686; русский перевод: И. Ньютон Математические начала натуральной философии. Пер. А.Н. Крылова. В кн.: Собрание тру- дов академика А.Н. Крылова. М. ; Л. : Изд. АН СССР. 1936. 7. 33. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциаль- ными уравнениями высшего порядка. Теория систем. Математические методы и моделиро- вание. Пер. с англ. сб. статей (ред. А.Н. Колмогоров, С.П. Новиков). М. : Мир, 1989. С. 192−237. [Van der Schaft A.J. On Realization of Nonlinear Systems Described by Higher- Order Differential Equations. Mathematical Systems Theory. 1987 19. P. 239−275.] 34. Банщиков А.В., Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Программный комплекс для моделирования в символьном виде механических систем и электрических цепей. Свидетельство о госу- дарственной регистрации программы для ЭВМ. №2016618253 от 25.07.2016. Федеральная служба по интеллектуальной собственности (РОСПАТЕНТ). Получено 18.11.2019 После доработки 16.11.2020

К тензорному анализу разрешимости задачи реализации билинейной системы второго порядка с запаздыванием

Репозитарії

Схожі ресурси