Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем
Розв’язуються задачі еліпсоїдального оцінювання вектора стану дискретних, неперервних і неперервно-дискретних нелінійних динамічних систем за результатами вимірювання їх виходів. Передбачається, що нелінійності задовольняють умові Ліпшиця....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209087 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем / В.В. Волосов // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 36-42. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-209087 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2090872025-11-13T01:16:50Z Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем Робастні алгоритми еліпсоїдального оцінювання стану одного виду нелінійних динамічних систем Robust algorithms of ellipsoidal state estimation of one type of nonlinear dynamic systems Волосов, В.В. Проблемы динамики управляемых систем Розв’язуються задачі еліпсоїдального оцінювання вектора стану дискретних, неперервних і неперервно-дискретних нелінійних динамічних систем за результатами вимірювання їх виходів. Передбачається, що нелінійності задовольняють умові Ліпшиця. The problems of ellipsoidal estimation of the state vector of the discrete, continuous and continuously-discrete nonlinear dynamic systems by results of measurement of their outputs are solved. It is assumed that nonlinearities satisfy Lipschitz condition. 2008 Article Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем / В.В. Волосов // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 36-42. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209087 519.688 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i2.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Волосов, В.В. Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем Проблемы управления и информатики |
| description |
Розв’язуються задачі еліпсоїдального оцінювання вектора стану дискретних, неперервних і неперервно-дискретних нелінійних динамічних систем за результатами вимірювання їх виходів. Передбачається, що нелінійності задовольняють умові Ліпшиця. |
| format |
Article |
| author |
Волосов, В.В. |
| author_facet |
Волосов, В.В. |
| author_sort |
Волосов, В.В. |
| title |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| title_short |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| title_full |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| title_fullStr |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| title_sort |
робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209087 |
| citation_txt |
Робастные алгоритмы эллипсоидального оценивания состояния одного вида нелинейных динамических систем / В.В. Волосов // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 36-42. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT volosovvv robastnyealgoritmyéllipsoidalʹnogoocenivaniâsostoâniâodnogovidanelinejnyhdinamičeskihsistem AT volosovvv robastníalgoritmielípsoídalʹnogoocínûvannâstanuodnogovidunelíníjnihdinamíčnihsistem AT volosovvv robustalgorithmsofellipsoidalstateestimationofonetypeofnonlineardynamicsystems |
| first_indexed |
2025-11-13T02:15:49Z |
| last_indexed |
2025-11-14T02:13:32Z |
| _version_ |
1848730098208866304 |
| fulltext |
© В.В. ВОЛОСОВ, 2008
36 ISSN 0572-2691
УДК 519.688
В.В. Волосов
РОБАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО
ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ОДНОГО ВИДА
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Постановка задачи. Рассматривается нелинейная динамическая система
,)(1 kkkkkk uBxxAx +ϕ+=+ (1)
.T
kkk xhy = (2)
Здесь kx — n-мерный вектор состояния: ,n
k Rx ∈ nR — n-мерное вещественное
евклидово пространство; ku — вектор управления, ,m
k Ru ∈ ;nm ≤ ky — изме-
ряемый выход объекта ;m
k Ry ∈ T
kh — )( nm× -известные матрицы полного ран-
га ;T nm
k Rh ×∈ kA и kB — заданные матрицы соответствующих размерностей с
ограниченными элементами, причем матрицы kA невырожденные ;0det >kA
символ Т — операция транспонирования. По аналогии с [1, 2] полагаем, что не-
линейная вектор-функция )(xϕ удовлетворяет условию Липшица с известной
константой L
.,)()( 212121
nn RxRxxxLxx ∈∈∀−≤ϕ−ϕ (3)
Для формулировки постановки задачи введем в рассмотрение эллипсоид вида
},1),ˆ,(:{],ˆ[ ≤σ∈== kk
n
kkk HxxRxHxEE (4)
где ),ˆ()ˆ(),ˆ,( 1T
kkkkk xxHxxHxx −−=σ − kx̂ — центр эллипсоида, kH — nn× сим-
метрическая положительно-определенная матрица .0T >= kk HH Предполагается,
что при 0=k заданы центр kx̂ и матрица kH начального эллипсоида 0E ви-
да (4) такого, что для неизвестного вектора состояния 0x объекта (1), (2) выпол-
няется включение ].,ˆ[ 000 HxEx ∈ Предположение о выполнении включения
],ˆ[ 000 HxEx ∈ составляет в терминологии [3] содержание априорной информа-
ции об объекте.
Полагая известными априорную информацию и результаты текущих наблюде-
ний ky выхода объекта при ,1,0, =k поставим задачу получения и исследова-
ния свойств разностных уравнений, описывающих эволюцию в дискретном вре-
мени k центров kx̂ и матриц kH оценивающих эллипсоидов ],ˆ[ kk HxE вида (4),
таких, что для неизвестных векторов состояния объекта kx выполняются вклю-
чения
.,2,1],ˆ[ =∀∈ kHxEx kkk (5)
Эллипсоиды ],ˆ[ kk HxE будем интерпретировать как «множественные» оценки
неизвестных векторов kx и, следуя [3], называть информационными множествами.
Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 37
Воспользовавшись известными оценками значений квадратичных форм и
свойствами собственных значений )(Hiλ и ),( 1−λ ki H ,,1 ni = матриц kH [4, 5],
из (5) получим .Sp)(ˆ max
2
kkkkk HHHxx <λ=≤− Учитывая это неравен-
ство, центры эллипсоидов ],ˆ[ kk HxE будем отождествлять с точечными оценка-
ми векторов ,kx а матрицы kH — с мерой точности этих оценок. Очевидно, что
если 0→kH при ,∞→k то и 0ˆ →− kk xx и алгоритм оценивания будет
сходящимся.
Рассматривается также задача оценивания вектора состояния непрерывной
системы
),()()()( tutBxxtAx +ϕ+= (6)
),()()( T txthty = .0≥t (7)
Предположения о размерностях векторов и матриц в системе (6), (7) аналогичны
предположениям, принятым в системе (1), (2). ),(tA ),(tB )(th и )(tu — задан-
ные матрицы и вектор с ограниченными кусочно-непрерывными элементами при
всех .0≥t Полагается, что при некотором ,0tt = которое далее без потери общ-
ности считается равным нулю ,00 =t известны параметры )(ˆ tx и )(tH эллипсо-
ида
},1))(),(ˆ,(:{)](),(ˆ[)( ≤σ∈== tHtxxRxtHtxEtE n (8)
где )),(ˆ)(())(ˆ())(),(ˆ,( 1T txxtHtxxtHtxx −−=σ − )(ˆ tx — центр эллипсоида и )(tH —
(n × n)-симметрическая положительно-определенная матрица .0)()( T >= tHtH
Полагается, что при 0tt = для неизвестного вектора начального состояния вы-
полняется включение )].(),(ˆ[)( tHtxEtx ∈ Ставится задача получения и исследо-
вания свойств дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию во време-
ни параметров эллипсоидов вида (8) таких, что для неизвестных векторов состоя-
ния )(tx системы (6), (7) выполняется включение )](),(ˆ[)( tHtxEtx ∈ .0tt ≥∀
Оценивание состояния дискретных систем. Пусть в некоторый момент
времени k известны центр kx̂ и матрица kH эллипсоида ],ˆ[ kk HxE вида (4) та-
кого, что для неизвестного вектора состояния kx системы (1), (2) выполняется
включение .],ˆ[ kkk HxEx ∈ Найдем центр 1
~
+kx и матрицу 1
~
+kH эллипсоида
],~,~[ 11 ++ kk HxE для которого имеет место включение ],~,~[][ 11 ++⊂ kkk HxEEW где
][ kEW — выпуклая оболочка [6] образа эллипсоида ],ˆ[ kk HxE при его нелиней-
ном отображении в силу соотношения (1). Воспользовавшись аппаратом опорных
функций [6] и формулой для эллипсоидальной аппроксимации геометрической
суммы двух эллипсоидов [7], по аналогии с [2] получим
,)ˆ(ˆ~
1 kkkkkk uBxxAx +ϕ+=+ (9)
,Sp)1()1(~ T
1 knkkkk HILLAHALH +++=+ (10)
где nI — единичная (n × n)-матрица.
38 ISSN 0572-2691
Очевидно, что неизвестный вектор 1+kx принадлежит множеству
состояний ,1+kS совместимых с результатом измерения
},0:{ 1
T
11 =−= +++ kkk yxhxS поэтому ,11 ++ ∈ kk Dx где 1+kD — множество-
пересечение, определяемое соотношением
.]~,~[ 1111 ++++ = kkkk SHxED (11)
Покрывая множество-пересечение 1+kD из (11) эллипсоидом вида (4) по анало-
гии с [8], получаем следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть при 0=k известны центр 0x̂ и матрица 0H эллип-
соида ],ˆ[ 00 HxE вида (4) такого, что для неизвестного вектора состояния 0x объ-
екта (1), (2) выполняется включение ].,ˆ[ 000 HxEx ∈ Тогда эволюция в дискрет-
ном времени k эллипсоидов ],ˆ[ kk HxE вида (4) таких, что ],ˆ[ kkk HxEx ∈ =∀k
,,1,0 = описывается разностными уравнениями
,~~~ˆ 1
2
11111 +
−
+++++ ερ+= kkkkkkk yhHxx (12)
]~~)1(~[ 11
2
111
2
1
2
11 ++
−
++++++ ερβ−−χ= k
T
kkkkkkkkk HhhHHH (13)
при начальных условиях 00 ˆˆ xx kk == и 00 HH kk == . Здесь 1
~
+kx и 1
~
+kH опреде-
ляются формулами (9), (10),
,~
11
T
1
2
1 ++++ =ε kkkk hHh ,~~
1
T
111 ++++ −= kkkk xhyy
,11
2
1 +++ µρ−γ=χ kkkk ,~~
1
2
1
T
11 +
−
+++ ε=µ kkkk yy
δ>µµ+
δ≤µ
=γ
++
+
+ ,при)(1
,при1
11
1
1
kk
k
k f
)(µf — произвольная функция такая, что ,0)0( =f ;)( µ≥µf ,kρ kβ и δ — па-
раметры алгоритма ].1,0[),1,0(],1,0( ∈δ∈β∈ρ kk
Достаточные условия сходимости алгоритма оценивания 0ˆ →− kk xx
при ∞→k утверждения 1 при β≡β≡ρ kk ,1 и 1=δ даются следующим утвер-
ждением.
Утверждение 2. Пусть собственные значения )(Aiλ матрицы AAk ≡ систе-
мы (1), (2) лежат внутри единичного круга ,,1,1)( niAi =<λ а нелинейность
)(xϕ удовлетворяет условию Липшица (3) с константой L. Тогда алгоритм
наблюдателя состояния из утверждения 1 сходится при любом 10 2 <β< и про-
извольном начальном приближении ],ˆ[ 000 HxEx ∈ для любого значения ,0>L
при котором матрица
]Sp)1([ T QILQAALM n++− (14)
положительно-определенная. Здесь 0>M — произвольная положительно-опреде-
ленная (n × n)-матрица, 0>Q — решение уравнения Ляпунова .T MXAXA −=−
Доказательство утверждения 2 аналогично соответствующему доказатель-
ству из [2] для рассмотренного там случая скалярного выхода .ky
Оценивание состояний непрерывных систем. Пусть в момент времени t из-
вестны параметры — центр )(ˆ tx и матрица )(tH эллипсоида вида (8) такого, что для
вектора состояния )(tx системы (6), (7) выполняется включение )].(),(ˆ[)( tHtxEtx ∈
Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 39
Множество состояний )(tS системы, совместимых с результатом )(ty измерения
ее выхода, имеет вид
}.0)()(:{)( T =−= xthtyxtS (15)
При этом ),()( tDtx ∈ где ).()](),(ˆ[)( tStHtxEtD =
Пересечение )(tD содержит-
ся в эллипсоиде )],(~),(~[ tHtxE центр )(~ tx и матрица )(~ tH которого определяются
формулами утверждения 1 из [8] при ,nk IA = ,0=kB )(tHHk γ= и имеют вид
,~)),()()()(ˆ)(~ yGthtHtxtx γθγ+= (16)
)],()()),()()()1()()[()(~ 22 tHthGthtHtHtH Τγθγβ−−γθχ= (17)
где ;1≥γ );(ˆ)()(~ T txthtyy −= ,))((),( 1θθθγ+θ=γθ −teIG m ),()()()( T thtHthte =
θ — положительно-определенная (m × m)-матрица ,0T >θ=θ ×−=θχ T~1)( y
,0~),( >γθ× yG ].1,0(∈β Скалярный γ и матричный θ параметры могут быть так-
же функциями времени .0)()(,1)( T >θ=θ=θ≥γ=γ ttt
Для решения )( τ+tx уравнения (6) имеет место формула
)],,())(([)()()(~)( τ+ϕτ+τ+=τ+ tftxtutBtxAtx (18)
где )(~ tAIA τ+= и 0)(),(),( →ττ≤τ qqtf при 0→τ [9]. При )](~),(~[)( tHtxEtx ∈∀
соотношение (18) определяет образ эллипсоида )].(~),(~[ tHtxE Найдем опорную
функцию выпуклой оболочки [6] )( τ+tW этих образов. По определению опорной
функции имеем
,)(max)]([ T nRltxltWl ∈∀τ+=τ+δ (19)
где ).()( τ+∈τ+ tWtx Из (19) и (18) получаем неравенство
)],ˆ()([max)],(~[max)]([ TT xxltMxAltWl ϕ−ϕτ+ττ+≤τ+δ (20)
где )](~),(~[ tHtxEx∈ и ).,()ˆ()()(),( τ+ϕ+=τ tfxtutBtM Для отыскания первого
из максимумов в правой части (20) воспользуемся методом неопределенных мно-
жителей Лагранжа [10]. При этом получим
,)()(ˆ)],(~[max 1
TTT ltHltxltMxAl τ++τ+=ττ+ (21)
где ),()(~)()(~)(ˆ ττ+τ+=τ+ tMtxtAtxtx и .~)(~~)( T
1 AtHAtH =τ+ Заметим, что пра-
вая часть (21) представляет собой опорную функцию })](),(ˆ[{ 1 τ+τ+δ tHtxEl
эллипсоида )](),(ˆ[)( 1 τ+τ+=τ+ tHtxEtE вида (8) [11, 12].
Воспользовавшись неравенством Коши–Буняковского [4, 5] и условием
Липшица (3) для оценки второго слагаемого в неравенстве (20) получаем
≤−≤ϕ−ϕ≤ϕ−ϕ xxlLxxlxxl ˆ)ˆ()()]ˆ()([max T
.)~Sp(~Sp)~( 2T
max lHILlHlLHlL n≤≤λ≤ (22)
40 ISSN 0572-2691
Из неравенства (20) с учетом неравенств (21), (22) имеем
)]},(,0[{)]}(),(ˆ[{)}({ 21 τ+δ+τ+τ+δ≤τ+δ tHEltHtxEltWl (23)
где .~Sp)( 22
2 HILtH nτ=τ+ Сумма опорных функций в правой части (23)
представляет собой опорную функцию геометрической суммы [6] эллипсоидов
)](ˆ),(ˆ[ 1 τ+τ+ tHtxE и )].(ˆ,0[ 2 τ+tHE Воспользовавшись известной формулой [7]
об эллипсоидальном покрытии геометрической суммы двух эллипсоидов, из (23)
получаем
)]},(),(ˆ[{)}({ τ+τ+δ≤τ+δ tHtxEltWl (24)
где
)],()()](ˆ[)(~)()(~)(ˆ tutBtxtxtAtxtx τ+ϕτ+τ+=τ+ (25)
)()1()()1()( 2
1
1 τ+++τ++=τ+ − tHpptHptH (26)
при всех .0>p Из неравенства (24) и предыдущего изложения следует, что для
неизвестного вектора )( τ+tx состояния системы (1), (2) имеет место включение
.0)](),(ˆ[)( ≥τ∀τ+τ+∈τ+ tHtxEtx Для получения дифференциальных уравнений
эволюции центров )(ˆ tx и матриц )(tH оценивающих эллипсоидов )](),(ˆ[ tHtxE
получим явное выражение для )(ˆ τ+tx и ).( τ+tH Полагая в правых частях (25),
(26) ,Lp τ= ),(tθτ=θ ,0)()( T >θ=θ tt ,~)()(~)(1 T ytRtytατ+=γ ),()( 2 ttR θ=
∞<α≤ )(0 t и пренебрегая слагаемыми со степенями τ выше первой, после вы-
полнения несложных преобразований получаем
,~)()()()](ˆ[)()()(ˆ)()(ˆ)(ˆ
yGthtHtxtutBtxtAtxtx
τ+ϕ++=
τ
−τ+ (27)
−α++=
τ
−τ+ )(~)(~)()()()()()()( TT tHytRyttAtHtHtAtHtH
)],(Sp)([)()()()()()1()(~)(~ T2T tHItHLtHthGthtHtHyGy n++τβ−−τ− (28)
где .))(()( 1θθθτ+θ=τ −teIG m Устремляя в (27), (28) τ к нулю и учитывая приня-
тые выше предположения, получаем следующее утверждение.
Утверждение 3. Пусть в момент времени 0tt = известны параметры )(ˆ 0tx и
)( 0tH априорного эллипсоида, для которого выполняется условие ∈)( 0tx
)].(),(ˆ[ 00 tHtxE∈ Тогда эволюция во времени центров )(ˆ tx и матриц )(tH оцени-
вающих эллипсоидов вида (8), для которых выполняется условие )](),(ˆ[)( tHtxEtx ∈
,0tt ≥∀ описывается дифференциальными уравнениями
),(~)()()ˆ()()(ˆ)(
ˆ
tytRtHhxtutBxtA
dt
xd
+ϕ++= (29)
−−α++= HtytRtyttAHHtA
dt
dH )(~)()(~]1)([)()( TT
),Sp()()()()1( T2 HIHLHthtRtHh n++β−− (30)
где ,ˆ)()()(~ T xthtyty −= )(,)(0],1,0( tRt ∞<α≤∈β — )( mm × -симметрическая
положительно-определенная матрица с ограниченными элементами.
Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 41
Заметим, что скалярный и матричный параметры )(tα и )(tR в (29), (30) мо-
гут выбираться в виде )],(),(),(),(ˆ[)( tythtHtxt α=α )].(),(),(),(ˆ[)( tythtHtxRtR =
Оценивание состояния дискретно-непрерывных систем. Получим уравне-
ния эволюции оценивающих эллипсоидов ][tE вида (8) для случая, представля-
ющего наибольший практический интерес, когда измерения выхода )( kk tyy =
системы (6), (7) осуществляется только в дискретные моменты времени ,ktt =
.,1,0 =k
Пусть в момент времени t, 1+<< kk ttt известны параметры )(ˆ tx и )(tH эл-
липсоида вида (8), для которого выполняется условие )].(),(ˆ[)( tHtxEtx ∈ Для
решения уравнения (6) при 1+<τ+< kk ttt справедлива формула (18). При ∈)(tx
)](),(ˆ[ tHtxE∈ уравнение (18) определяет образ эллипсоида )].(),(ˆ[ tHtxE Повто-
ряя рассуждения, проведенные при получении утверждения 3, получим, что для
неизвестного вектора состояния )( τ+tx системы (6), (7) выполняется включение
)],(),(ˆ[)( τ+τ+∈τ+ tHtxEtx где
)],()()](ˆ[)(ˆ)()(ˆ)(ˆ tutBtxtxtAtxtx τ+ϕτ+τ+=τ+
),()1()()1()( 2
1
1 τ+++τ++=τ+ − tHpptHptH
).(Sp)(,~)(~)( 22
2
T
1 tHILtHAtHAtH nτ=τ+=τ+
Проделав выкладки, аналогичные изложенным при получении утвержде-
ния 3, будем иметь дифференциальные уравнения эволюции эллипсоидов вида (8)
таких, что )](),(ˆ[)( tHtxEtx ∈ при .1+<< kk ttt При получении в момент времени
1+= ktt результатов измерения 11)( ++ = kk yty строится эллипсоид ],ˆ[ 11 ++ kk HxE
вида (4), содержащий пересечение эллипсоида )](),(ˆ[ tHtxE вида (8) с гиперплос-
костью .0)( 1
T
1 =− ++ xthy kk В результате получим следующее утверждение.
Утверждение 4. Пусть в момент времени 0tt = известны центр )(ˆˆ 00 txx = и
матрица )( 00 tHH = эллипсоида )](),(ˆ[ 00 tHtxE такого, что для неизвестного векто-
ра состояния 00)( xtx = системы (7), (8) имеет место включение ∈)( 0tx
)].(),(ˆ[ 00 tHtxE∈ Тогда эволюция в дискретном времени k эллипсоидов ],ˆ[ kk HxE
вида (4) таких, что ],ˆ[ kkk HxEx ∈ ,,1,0 =∀k описывается разностными урав-
нениями (12), (13) утверждения 1, в которых 11
~
++ = kk zx и ,~
11 ++ = kk QH где под
)( 11 ++ = kk tzz и )( 11 ++ = kk tQQ понимаются решения системы дифференциаль-
ных уравнений
),()()()( tutBzztA
dt
dz
+ϕ+=
)Sp()()( T QIQLtQAQtA
dt
dQ
n+++=
начальными условиями kk xtz ˆ)( = и ,)( kk HtQ = .,1,0 =k
42 ISSN 0572-2691
В.В. Волосов
РОБАСТНІ АЛГОРИТМИ ЕЛІПСОЇДАЛЬНОГО
ОЦІНЮВАННЯ СТАНУ ОДНОГО ВИДУ
НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Розв’язуються задачі еліпсоїдального оцінювання вектора стану дискретних,
неперервних і неперервно-дискретних нелінійних динамічних систем за резуль-
татами вимірювання їх виходів. Передбачається, що нелінійності задовольня-
ють умові Ліпшиця.
V.V. Volosov
ROBUST ALGORITHMS OF ELLIPSOIDAL
STATE ESTIMATION OF ONE TYPE
OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS
The problems of ellipsoidal estimation of the state vector of the discrete, continuous
and continuously-discrete nonlinear dynamic systems by results of measurement of
their outputs are solved. It is assumed that nonlinearities satisfy Lipschitz condition.
1. Ройтенберг Е.Я. О применении круга идей, связанных с прямым методом Ляпунова в тео-
рии устойчивости, к задаче наблюдаемости динамических систем в условиях неопределен-
ности // Устойчивость движения. — Новосибирск : Наука, 1985. — С. 235–239.
2. Волосов В.В., Одинцова Е.А. Исследование сходимости алгоритмов одного вида наблюда-
телей состояния дискретных динамических систем с использованием функций Ляпунова //
Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 12. — С. 41–51.
3. Куржанский A.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М. : Наука,
1977. — 392 с.
4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984. — 320 с.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1967. — 576 с.
6. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973. — 469 с.
7. Schweppe F.G. Recursive state estimation: Unknown error and systems input // IEEE Trans. Au-
tomat. Contr. — 1968. — 13. — P. 22–28.
8. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Разработка и исследование робастных алгоритмов гаранти-
рованного эллипсоидального оценивания состояния многомерных линейных дискретных
динамических систем. Часть 1 // Проблемы управления и информатики. — 1997. — № 4. —
С. 31–43.
9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М. : Наука, 1987. —
600 с.
10. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. — М. :
Наука, 1975. — 320 с.
11. Волосов В.В. Эллипсоидальный наблюдатель состояния непрерывных динамических си-
стем с неконтролируемым возмущением // Проблемы управления и информатики. —
1999. — № 2. — С. 128–135.
12. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсои-
дов. — М. : Наука, 1988. — 320 с.
Получено 03.10.2007
|