Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем

Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів Аліфанова розв’язання обернених задач для псевдогіперболічних багатокомпонентних розподілених систем. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі та спряжені задачі в слабких постановках....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209089
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 54-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209089
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2090892025-11-13T01:08:25Z Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем Розв’язання комплексних обернених задач для псевдогіперболічних багатокомпонентних розподілених систем An inverse complex problems solution for multicomponent pseudogiperbolic distributed systems Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів Аліфанова розв’язання обернених задач для псевдогіперболічних багатокомпонентних розподілених систем. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі та спряжені задачі в слабких постановках. The effective calculation algorithms of realization of Alifanov’s gradient methods of inverse problems solution for multicomponent pseudogiperbolic distributed systems are proposed. The proposed algorithms are based on a direct and conjugate problems in weak formulations. 2008 Article Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 54-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209089 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i1.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів Аліфанова розв’язання обернених задач для псевдогіперболічних багатокомпонентних розподілених систем. В основу запропонованих алгоритмів покладено прямі та спряжені задачі в слабких постановках.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_short	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_full	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_fullStr	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_full_unstemmed	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
title_sort	решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209089
citation_txt	Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 54-79. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâpsevdogiperboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem AT dejnekavs rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâpsevdogiperboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem AT sergienkoiv rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâpsevdogíperbolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem AT dejnekavs rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâpsevdogíperbolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem AT sergienkoiv aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentpseudogiperbolicdistributedsystems AT dejnekavs aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentpseudogiperbolicdistributedsystems
first_indexed	2025-11-13T02:16:00Z
last_indexed	2025-11-14T02:13:42Z
_version_	1848730108435628032
fulltext	© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2008 54 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 519.6 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека РЕШЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В работах [1−3] предложены явные процедуры построения градиентных ме- тодов [4] решения обратных задач соответственно для параболических, псевдопа- раболических многокомпонентных систем и идентификации параметров много- компонентного тела, функционирующего в термоупругом режиме. В данной статье рассмотрены вопросы реализации градиентных методов [4] для идентификации параметров многокомпонентной псевдогиперболической си- стемы. 1. Задача идентификации массовых сил Пусть в области =Ω∂∩Ω∂∅=Ω∩ΩΩ∪Ω=Ω×Ω=Ω 212121 ,,(),0( TT ;∅≠γ= 21, ΩΩ  связные ограниченные строго липшицевы области в nR ) определено псевдогиперболическое уравнение ),,()()()()( 1, 2 1, 2 2 txyxb x yxk xt yxa tx yxa xt y и j ij n ji i ij n ji i j =+        ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑∑ == (1) где ),(,),()(,;, 1 lllijijjiijjiij CbaCCkakkaa llll Ω∈Ω∩Ω∈== ΩΩΩΩ ,const,, ,0,0 110110 =′′∞<≤≤∞<′≤≤′< baabbaaa ,0const,;, 10 1 2 1 1,1 2 0 1, >=ααξα≥ξξξα≥ξξ ∑∑∑∑ ==== n i ijiij n ji n i ijiij n ji ka (1′) )).(;,0(),( 2 2 Ω=∈= LTLtxuu U На границе ) \)()(,0( 21 γΩ∂∪Ω∂=Γ×Γ=Γ TT заданы смешанные краевые условия: , 1 ϕ=Γ T y (2) ,),(, 2T L txgy Γ∈= ν∂ ∂ (3) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 55 ,),(, 3T L txyy Γ∈β+α−= ν∂ ∂ (4) где ),(,);(,0const)( 320 Γ∈βαβ=β>=α′≥α=α Lxx ],,0(),()( 22 TLxgg iiT ×Γ=ΓΓ∈= ∅=Γ∩ΓΓ∪=Γ = jii i , 3 1 при ,3,1,, =≠ jiji ),,(cos 1, 2 i n ji j ijij L x x yk tx yay j ν         ∂ ∂ + ∂∂ ∂ = ν∂ ∂ ∑ = ν  орт внешней нормали (внешняя нормаль) к границе Γ. На участке ),0( TТ ×γ=γ условия сопряжения имеют вид ,][21 δ+=       ν∂ ∂ +       ν∂ ∂ +− yyRyR LL (5) ,ω=    ν∂ ∂ yL (6) где ,const,;0),(,);(, 000210212 =′′≤+≤<γ∈γ∈ωδ RRRRRRCRRL ),(}{;][ txϕ=ϕ=ϕϕ−ϕ=ϕ ++−+ при );,0()(),( 2 Ttx Т ×γ∩Ω∂=γ∈ + ),(}{ txϕ=ϕ=ϕ −− при );,0()(),( 1 Ttx Т ×γ∩Ω∂=γ∈ − ν  орт нормали к γ (нормаль к γ), направленный в область Ω2. При 0=t заданы начальные условия ,),()0,( 210 Ω∪Ω∈= xxyхy (7) ,),( 211 0 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = xxy t y t (8) где },0,:)({),(, 1 0 1 021 1 00 =ϕ=∈=Ω∈∈ Γ tvVxvVLyVy }.2,1),(:)({ 1 20 =Ω∈= Ω iWvxvV i i Предполагаем, что на N (n−1)-мерных областях ,iγ разбивающих область Ω на 2+N связных ограниченных строго липшицевых областей jΩ ,( Ω∈γ i ),,1 Ni = известны следы решения ),( txyy = начально-краевой задачи (1)−(8) ,,1),,( Nitxfy i iT ==γ (9) где .,1],,0( NiTiiT =×γ=γ 56 ISSN 0572-2691 Задача (1)−(9) состоит в нахождении функции ,),( U∈= txuu при которой решение ),;()( txuyuyy == начально-краевой задачи (1)−(8) удовлетворяет ра- венствам (9). При решении задачи (1)−(9) вместо классического решения )(uyy = началь- но-краевой задачи (1)−(8) будем использовать ее обобщенное решение. Определение 1. При каждом фиксированном U∈u обобщенным решением начально-краевой задачи (1)−(8) называется функция ∈== ),;()( txuyuyy ),,0( TW∈ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),(,, 102 2 Ttwиlwyaw t yaw t y ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (10) ),,()0)(,( 000 wyawya = (11) ),,()0(, 1 wyw t y =      ∂ ∂ (12) где , ),( 1, 0 dxa xx aa n ji ij ij∫ ∑ Ω =         ϕψ+ ∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ =ψϕ ,]][[1 ),( 3 3 211, 1 ∫∫∫ ∑ ΓγΩ = Γαϕψ+γψϕ + +        ϕψ+ ∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ =ψϕ dd RR dxb xx ka n ji ij ij ,][),();( 21 2 32 32 ∫∫∫∫ γ + γΓΓ γω−γ + δ−ω +Γβ+Γ+= dwdw RR Rdwdgwwиwиl ,),(),(),( ∫ Ω ψϕ=ψϕ dxtxtx (12′) ))},(;,0(),;,0(:);,0(),({),0( 2 2 2 2 22 Ω∈ ∂ ∂ ∈ ∂ ∂ ∈= LTL t vVTL t vVTLtxvTW ]}.,0(,2,1),(:),({},:{ 1 2 1 TtiWvtxvVvVvV i iT ∈=Ω∈=ϕ=∈= ΩΓ Задачу (9)−(12) будем решать приближенно. Для этого составим функционал- невязку ,)()( 2 )( 1 0 2 dtfuAtuJ iLii N i T i γ = −ρ= ∑ ∫ (13) где )(,,),;(,}{ 22 )(1 2 tdtxuyuAuAAu iiLi N ii i iiT ργϕ=ϕ== ∫ γ γγ=  весовые коэф- фициенты. Вместо задачи (9)−(12) будем решать задачу (10)−(13), состоящую в нахож- дении функции ,),( U∈txu при которой функционал (13) принимает минималь- ное значение на U при ограничениях (10)−(12). Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 57 Итерационная последовательность для нахождения приближения 1+nu реше- ния u задачи (10)−(13) имеет вид ,,,1,0,1 ∗ + =β−= nnpuu nnnn  (14) и начинается с некоторого начального приближения ,0 U∈u где направление спуска np и коэффициент nβ определяются выражениями [4]: — для метода минимальных ошибок ;, 2 2 n n u n nun J e Jp ′ =β′= (15) — для метода скорейшего спуска ;, 2 2 n n n u u nun JA J Jp ′ ′ =β′= (16) — для метода сопряженных градиентов 0, 01 =γγ+′= −nnun pJp n , , ),( , 22 2 1 n nu n u u n Ap pJ J J n n n ′ =β ′ ′ =γ − (17) где nuJ ′  градиент функционала (13) [4, 5] в точке .nu Следуя [6, 7], легко установить справедливость следующего утверждения. Теорема 1. При каждом фиксированном U∈u начально-краевая задача (1)−(8) имеет единственное обобщенное решение. Для допустимого приращения ∆и функции U∈u на основании зада- чи (10)−(12) приращение y∆=θ решения )(uyy = задачи (10)−(12) можем определить как решение следующей задачи: найти функцию ),,0(),( 0 TWtx ∈θ=θ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),(,, 102 2 Ttwuwaw t aw t ∈∆=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ (18) ,0)0(,,0)0)(,(0 =      ∂ θ∂ =θ w t wa (19) где ,))(;,0(),;,0(:);,0(),(),0( 2 2 2 2 0202 0         Ω∈ ∂ ∂ ∈ ∂ ∂ ∈= LTL t vVTL t vVTLtxvTW }.0:{ 1 0 =∈= Γ T vVvV При фиксированном ))(;,0( 2 2 Ω∈∆ LTLu решение задачи (18), (19) суще- ствует и единственно. 58 ISSN 0572-2691 Для каждого приближения nu решения u задачи (10)−(13), следуя [1, 2, 6, 7], введем в рассмотрение следующую сопряженную начально-краевую задачу: ,\),(,0)(2 2 dTtxbK t a t L t γΩ∈=ψ+ψ+ ∂ ψ∂ −      ∂ ψ∂ − ∂ ψ∂ ,0 1 =ψ Γ T ,),(,0),(cos 2 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a Γ∈=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,),(,),(cos 3 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a Γ∈ψα−=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = (20) ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a γ∈=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,0][,),(],[1),(cos 211, 2 =ψγ∈ψ + =         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ − γ ± = ∑ jT T n ji i j ij j ij tx RR x x k tx a ,,1,),(),)((),(cos 1, 2 Njtxfuyx x k tx a jTjпj n ji i j ij j ij =γ∈−ρ−=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,,0),(,0),( Ω∈= ∂ ψ∂ =ψ xTx t Tx где .,)(,)( 11,1, iT N i d j ij n ji ij ij n ji i x k x K x a x L γ∪=γ        ∂ ψ∂ ∂ ∂ −=ψ        ∂ ψ∂ ∂ ∂ −=ψ === ∑∑ Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (20) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d∈ψ которая 0 )( dVxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),(),(,, 102 2 Ttwlwaw t aw t ∈=ψ+      ∂ ψ∂ −        ∂ ψ∂ ψ (21) ,0)(,,0))(,(0 =      ∂ ψ∂ =ψ Tw t Twa (22) где ,))(;,0(),;,0(:);,0(),(),0( 2 2 2 2 22         Ω∈ ∂ ∂ ∈ ∂ ∂ ∈= LTL t vVTL t vVTLtxvTW ddd },,1,0][,0:),({ 1 NiVtxvV iTT dd ==ψ=ψ∈= γΓ )},,0(,1,0),(:),({ 1 2 TtNjWvtxvV jd j ∈+=Ω∈= Ω Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 59 },,1,0][,0:)({ 100 NjvvVxvV j dd ===∈= γΓ },1,0),(:)({ 1 20 +=Ω∈= Ω NiWvxvV id i .),)(()( )( 1 2 jLjj N j j wfytwl γ = ψ −ρ= ∑ (23) Области ,1,0, +=Ω Njj образованы разбиением области Ω поверхностя- ми ,jγ .,1 Nj = Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (18), (19) имеем −        − ∂ ψ∂ =−−ρ ∫∑ ∫ +γ = + dtuyuy t dtuyuyfuyt T nnLn N j njn T j j 0 12 2 )( 1 1 0 )()(,))()(,)(()( 2 =−ψ+      − ∂ ψ∂ − ++ ∫∫ dtuyuyadtuyuy t a nn T nn T ))()(,()()(, 1 0 11 0 0 +−ψ−         ψ ∂ −∂ + +      − ∂ ∂ ψ−      − ∂ ψ∂ = ∫ + + ++ T T nn nn T nn T nn uyuyadt t uyuy uyuy t uyuy t 0 0 102 1 2 0 1 0 1 ))()(,(, ))()(( ))()((,)()(, ,),()),()((), ))()(( 0 1 0 1 1 0 0 dtudtuyuyadt t uyuy a T nn T nn T ∫∫∫ ψ∆=ψ−+      ψ ∂ −∂ + + + или .),())()(,)(()( 0 )( 1 1 0 2 dtudtuyuyfuyt T Ln N j njn T j j ∫∑ ∫ ψ∆=−−ρ γ = + Следовательно, .~ Tn nuJ Ωψ=ψ=′ (24) Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) при определении (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (10)−(13) направление спуска np и коэффициент nβ можем определить с помощью фор- мул (15), где градиент nuJ ′ функционала-невязки )(иJ имеет вид (24). Решив задачу нахождения функции ),,0(),;~( TWtxz n ∈ψ удовлетворяющей 0Vw ∈∀ тождествам ),,0(),;~(),(,, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z n ∈ψ=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (25) 60 ISSN 0572-2691 ),,()0)(,( 000 wyawza = (26) ),,()0(, 1 wyw t z =      ∂ ∂ (27) найдем ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA =′=′ (28) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn пui =ψ=′ γ Учитывая (28), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и задачи (10)−(13). Имея , nuJ ′ ,, 11 − ′− nun Jp можем определить направление спуска np с помощью формул (17). Это позволит решить задачу определения функции ),,0(),;()( TWtхpzpz nn ∈= которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),(,, 102 2 Ttwрlwzaw t zaw t z n ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (29) ),,()0)(,( 000 wyawza = (30) ).,()0(, 1 wyw t z =      ∂ ∂ (31) На основании решения )( npz задачи (29)−(31) получим вектор ,)}({ 1 N inin pzAp == (32) где .,1,)()( Nipzpz iT nni == γ Учитывая (32), можем использовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и задачи (10)−(13). 2. Параметрическая идентификации массовых сил Предположим, что (n+1)-е приближение решения и задачи (10)−(13) ищется в подпространстве U⊂тН с базисом .)},({ 1 m ii tx =ϕ Произвольная функция U⊂∈ тНu~ представима в виде .,1,),,(),(~ 1 1 miRtxtxu i m i ii =∈αϕα= ∑ = (33) Следовательно, ).,(~ 1 txu m i ii∑ = ϕα∆=∆ Тогда для задачи (18), (19) имеем ).,(),( 1 wwu m i ii∑ = ϕα∆=∆ (34) Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность nn yy −+1 )),(( nn uyy = с учетом (18), (19), (34) имеем Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 61 ,~ nun J ψ=′ (35) где .~,),(~,}~{~ 2 1 2 0 1 inii n m i u T in m inn Jdt ψ=′ψϕ=ψψ=ψ ∑∫ = = Замечание 1. Если функции u~ множества тН представимы в виде ),()(),(~ 1 xttxu m i ii∑ = ϕα= (36) где m ii x 1)}({ =ϕ — система линейно независимых функций, то составляющие inψ~ градиента nψ~ имеют вид .)~(,,1),)(,()(~~ 1 0 22 dtJmitt m i T nuinn inii ∑ ∫ = ψ=′=ψϕ=ψ=ψ Учитывая (35), направление спуска np и коэффициент nβ для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) определим с помощью формул (15). Решив задачу (25)−(27), где ,][),(),(),(~);~( 21 2 )()( 1 3222 ∫∫∑ γ + γ ΓΓ = γω−γ + δ−ω +β++ϕψ=ψ dwdw RR Rwwgwwl LL m i inn i найдем nuJА ′ вида (28). Учитывая (28), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и зада- чи (10)−(13) на подпространстве .U⊂тН Имея ,,, 11 − ′′ − nn unu JpJ можем опреде- лить направление спуска np с помощью формул (17). Это позволит решить зада- чу вида (29)−(31) и определить вектор npА (32). Учитывая (32), можем использовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения U⊂∈ тНи зада- чи (10)−(13). Замечание 2. Пусть функции u~ множества U⊂тН представимы в виде ),()()()(),(~ 21 1 22 1 11 xtxttxu m i ii m i ii ∑∑ == ϕα+ϕα= (37) где lm i l i l l xmm 1 2 1 )}({, = = ϕ= ∑  система линейно независимых функций, определен- ных на области ).2,1;2,1;если,0( ==≠≡ϕΩ Ω jllj j j il Учитывая (37), для задачи (18), (19) имеем .),(),( )( 2 1 1 2 l l L l m i e i l i wwu Ω = = ∑ ∑ ϕα∆=∆ (38) Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность nn yy −+1 , с учетом (18), (19), (38) имеем 62 ISSN 0572-2691 ,~ nun J ψ=′ (39) где .),(~,)}(~{~),~,~(~ )(1 221 ll l ll Li i n m i i nnnnn x Ω= ψϕ=ψψ=ψψψ=ψ Учитывая (39), направление спуска np и коэффициент nβ для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) определим с помощью формул (15). Решив задачу (25)−(27), где ,][ ),(),(),(~);~( 21 2 )()( 2 1 1 )( 32222 ∫∫ ∑ ∑ γ + γ ΓΓ = = Ω γω−γ + δ−ω + +β++ϕψ=ψ dwdw RR R wwgwwl LL l m i L l i i nn l ll найдем nuJА ′ вида (28). Учитывая (28), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и зада- чи (10)−(13) на выделенном подпространстве .U⊂тН Определив направление спуска np и коэффициент nβ с помощью выражений (17), можем использовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (n+1)-го приближе- ния тn Нu ∈+1 решения U∈и задачи (10)−(13), предварительно решив задачу вида (29)−(31). 3. Восстановление коэффициентов уравнения состояния Пусть в области ),(),0( 2121 ∅≠γ=Ω∂∩Ω∂Ω∪Ω=Ω×Ω=Ω TT опреде- лено псевдогиперболическое уравнение ).,( ~ 43 1 2 2 1 1 2 2 txyu x yu xt yu tx yи xt y f i i n i i i n i i i =+      ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑∑ == (40) На границе ) \)((),0( 21 γΩ∂∪Ω∂=Γ×Γ=Γ TT заданы смешанные краевые условия вида (2)−(4), где ).,(cos 1 3 2 1 i n i i ii L x x yu tx yu y i ν         ∂ ∂ + ∂∂ ∂ = ν∂ ∂ ∑ = (40′) На участке Тγ условия сопряжения имеют вид (5), (6) , а при t = 0 заданы начальные условия (7), (8). Предполагаем, что на N (n−1)-мерных областях ,iγ разбивающих область Ω на N+2 связных ограниченных строго липшицевых областей ),,1,( Niij =Ω∈γΩ известны следы решения начально-краевой задачи (40), (2)−(8), заданные равен- ствами (9). Тем самым получена задача (40), (2)−(8), (13), состоящая в нахожде- нии вектора 2222 ++++ ×××=∈ RRRRu nnU )),,0(( ∞+=+R минимизирующего функционал (13) на множестве U при ограничениях (40), (2)−(8). Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 63 В задаче (40), (2)−(8), (13) вместо классического решения ),;( txuyy = начально-краевой задачи (40), (2)−(8) будем использовать ее обобщенное реше- ние. Определение 3. При каждом фиксированном U∈= = 4 1}{ iiuu ,}{( 1 n ijij uu == ),,( 21 jijiji uuu = )2,1,,;4,2),,(;3,1 21 ====== ΩΩ lииuиjuuuj ll j l jjl l jijjj обобщенным решением начально-краевой задачи (40), (2)−(8) называется функция ),,0(),;()( TWtxuyuyy ∈== которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе ра- венств ),,0(),(),;(,;, 102 2 Ttwlwyиaw t yиaw t y ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (41) ,, 2100 Ω∪Ω∈== xyу t (42) ,, 211 0 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = xy t y t (43) где ,]][[1 ),;( , ),;( 3 3 211 431 1 210 ∫∫∫ ∑ ∫ ∑ ΓγΩ = Ω = Γαϕψ+γψϕ + +        ϕψ+ ∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ =ψϕ         ϕψ+ ∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ =ψϕ dd RR dxu xx ииa dxи xx ииa n i ii i n i ii i ∫∫ γ + γ ΓΓ γω−γ + δ−ω +β++= .][),(),(), ~ ()( 21 2 )()( 3222 dwdw RR R wwgwfwl LL Для допустимого приращения ∆и вектора U∈u на основании задачи (41)−(43) приращение y∆=θ решения )(uyy = этой задачи можем определить как реше- ние следующей задачи: найти функцию ),,0(),( 0 TWtx ∈θ=θ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),;(,;, 102 2 Ttwulwиaw t иaw t ∈∆=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ θ (44) ,,00 Ω∈=θ = xt (45) ,,0 0 Ω∈= ∂ θ∂ = x t t (46) где . ),;(),,;(,;);( 4 1 3 0 1 0 10 dxyu xx yu wyuawyuaw t yuawul ii n i i∫ ∑ Ω = θ         ψ∆+ ∂ ψ∂ ∂ ∂ ∆= =∆∆−      ∂ ∂ ∆−=∆ 64 ISSN 0572-2691 Для каждого приближения nu решения U∈u задачи (41)−(43), (13) введем в рассмотрение следующую сопряженную начально-краевую задачу: ,\),(,0);(; 422 2 dTtxииK t и t иL t γΩ∈=ψ+ψ+ ∂ ψ∂ −      ∂ ψ∂ − ∂ ψ∂ ,0 1 =ψ Γ T ,),(,0),(cos 2 1 3 2 1 T n i i i i i i txx x и tx и Γ∈=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,),(,),(cos 3 3 1 3 2 1 T i i i i i i txx x и tx и Γ∈αψ−=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,),(,0),(cos 1 3 2 1 T n i i i i i i txx x и tx и γ∈=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = (47) ,),(],[1),(cos 211 3 2 1 T n i i i i i i tx RR x x и tx и γ∈ψ + =         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ − ± = ∑ ,),(),)((),(cos,0][ 1 3 2 1 jTjпj n i i i i i i txfuyx x и tx и γ∈−ρ−=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −=ψ ∑ = ,,1 Nj = ,,0),(,0),( 21 Ω∪Ω∈= ∂ ψ∂ =ψ xTx t Tx где .);(,);( 3 1 1 1       ∂ ψ∂ ∂ ∂ −=ψ      ∂ ψ∂ ∂ ∂ −=ψ ∑∑ == i i n i ii i n i i x u x uK x u x uL Определение 4. Обобщенным решением начально-краевой задачи (47) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d∈ψ которая 0 )( dVxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),(),;(,;, 102 2 Ttwlwuaw t uaw t ∈=ψ+      ∂ ψ∂ −        ∂ ψ∂ ψ (48) ,,0 Ω∈= ∂ ψ∂ =ψ = = x t Tt Tt (49) где правая часть тождества (48) определена выражением (23). Выбирая в тождествах (48), (49) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (44)−(46) имеем +        ψ ∂ θ∂ =−−ρ ∫∑ ∫ γ = + dt t dtuyuyfuyt T Ln N j njn T j j 0 2 2 )( 1 1 0 ,))()(,)(()( 2 Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 65 =∆=ψθ+      ψ ∂ θ∂ + ∫∫∫ θ dtwuldtиadt t иa TTT 00 1 0 0 );(),;(,; ,)),(;(, )( ; 0 0 1 0 0 dtuyuadt t uy ua n T n T ψ∆−      ψ ∂ ∂ ∆−= ∫∫ т.е. .)( )( )()( ))()(,)(()( 0 43 1 0 2 2 1 1 )( 1 1 0 2 ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ Ω = Ω = γ = +         ψ∆+ ∂ ψ∂ ∂ ∂ ∆− −         ψ ∂ ∂ ∆+ ∂ ψ∂ ∂∂ ∂ ∆−= =−−ρ T n ii n i n i T n ii n i n i Ln N j njn T j dtdxuyu xx uy u dtdx t uy u xtx uy u dtuyuyfuyt j (50) Следовательно, ,~ nun J ψ=′ (51) где ;3,1,~~),~,~(~,}~{~,}~{~ 21 1 4 1 =ψ=ψψψ=ψψ=ψψ=ψ Ω== j ljjjjjjji i n il n i n i n i n n i i nninn , )(~;2,1;4,2,~~),~,~(~ 0 2 21 1 dtxd xtx uy lj T ii nil nn l nnnn l ljjjjj ∫ ∫ Ω Ω ∂ ψ∂ ∂∂ ∂ −=ψ==ψ=ψψψ=ψ (51′) ;2,1,)( ~, )(~, )(~ 0 00 423 =ψ−= =ψψ ∂ ∂ −=ψ ∂ ψ∂ ∂ ∂ −=ψ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ Ω ΩΩ ldtxduy dtxd t uy dtxd xx uy T n l n T nl n T ii nil n l ll .))~()~(())~()~(( 2 1 22 2 1 22 1 2 4231 ∑∑∑ === ψ+ψ+ψ+ψ=′ l l n l n l il n il n n i un J Замечание 3. Равенство (50) позволяет также определять градиент nuJ ′ в слу- чае, когда все неизвестные коэффициенты ,4,1),( == ixuu ii или некоторые из них есть функции от переменной х. Пусть ),(22 xuu = тогда , )(~)),(~),(~()(~~ 0 21 22222 l dt t uy xxx T nl nnnnn Ω ψ ∂ ∂ −=ψψψ=ψ=ψ ∫ ;2,1=l .))(~()~())~()~(( 2 1 2 2 1 2 2 1 22 1 2 2431 ∑ ∫∑∑∑ = Ω=== ψ+ψ+ψ+ψ=′ l l n l l n l il n il n n i u dxxJ l n 66 ISSN 0572-2691 Замечание 4. Если восстанавливаемые коэффициенты ,4,1, =iui есть функ- ции переменной х, то для их идентификации можно использовать параметриче- ский метод. Пусть .),( 2222 22 U⊂×××== +++ RRНRНxuu n т n т Произвольная функция 2 2 )(~ тНхu ∈ представима в виде ),()()(~ 21 1 22 1 11 2 xxxu m i ii m i ii ∑∑ == ϕα+ϕα= (52) где ;2,1,,при0,,0,0 21 1 1 22111 2 =≠≡ϕ=+>ϕα+ϕα≥α Ω = = ∑ ∑ jljlmmm j l i m i m i iiii l i lm i l i x 1)}({ =ϕ  система линейно независимых неотрицательных функций, опреде- ленных на области .2,1, =Ω ll Учитывая (52), на основании (50) имеем . )(~,}~{~ 0 1 222 ∫ ∫ Ω = ψ ∂ ∂ ϕ−=ψψ=ψ T nl i li n m i li n l n l l dtdx t uy (52′) Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) при определении (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (41)−(43), (13) направление спуска np и коэффициент nβ можем определить с помощью фор- мул (15), где градиент nuJ ′ функционала-невязки (13) определен соответствую- щими выражениями (51), (51′), (52′). Решив задачу нахождения функции ),,0(),;~( TWtxz n ∈ψ удовлетворяющей 0)( Vхw ∈∀ тождествам ),,0(),(),;~(,;~, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z nn ∈=ψ+      ∂ ∂ ψ+        ∂ ∂ (53) ,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xy t zуz t t (54) найдем ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA =′=′ (55) где .,1,)()( NiJzJz iTnn uui =′=′ γ Учитывая (55), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (п+1)-го приближения 1+nu решения и задачи (41)−(43), (13). Вы- числив направление спуска np с помощью выражений (17) и решив задачу нахождения функции ),,0()( TWpzz n ∈= которая 0)( Vхw ∈∀ удовлетворяет си- стеме тождеств ),,0(),(),;(,;, 102 2 Ttwlwzpaw t zpaw t z nn ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (56) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 67 ,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xy t zуz t t (57) определим вектор ,)}({ 1 N inin pzAp == (58) где .,1,)()( Nipzpz iT nni == γ Учитывая (58), можем реализовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (п+1)-го приближения тn Нu ∈+1 решения U∈и зада- чи (41)−(43), (13). 4. Восстановление коэффициентов уравнения при определении приращения ∆у решения с помощью начально-краевой задачи Рассмотрим задачу (40), (2)−(8), (13), где .2222 ++++ ×××=∈ RRRRu nnU Для допустимого приращения ∆и вектора U∈и на основании начально-краевой зада- чи (40), (2)−(8) приращение y∆=θ ее решения ),(uyy = пренебрегая членами второго порядка малости, можем определить как решение следующей начально- краевой задачи: ,),(, 1 432 2 1 1 1 432 2 1 1 2 2 T n i i i ii i n i i п i i i ii i n i i txyu x u xt yu tx yи x u x u xt u tx и xt Ω∈∆−      ∂ θ∂ ∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∆−        ∂∂ ∂ ∆ ∂ ∂ = =θ+      ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∂ θ∂ +        ∂∂ θ∂ ∂ ∂ − ∂ θ∂ ∑∑ ∑∑ == == ,),(,),cos(),cos( 2 1 3 2 1 1 3 2 1 T n i i i i i i n i i i i i i txx x yи tx yиx x и tx и Γ∈ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆−=ν        ∂ θ∂ + ∂∂ θ∂ ∑∑ == ,),(,),(cos ),cos( 3 1 3 2 1 1 3 2 1 T n i i i i i i n i i i i i i txx x yи tx yи x x и tx и Γ∈ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆−θα−= =ν        ∂ θ∂ + ∂∂ θ∂ ∑ ∑ = = −         ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆−θ= =         ν        ∂ θ∂ + ∂∂ θ∂ +         ν        ∂ θ∂ + ∂∂ θ∂ − = + = − = ∑ ∑∑ n i i i i i i n i i i i i i n i i i i i i x x yи tx yиR x x и tx иRx x и tx иR 1 3 2 11 1 3 2 12 1 3 2 11 ),cos(][ ),(cos),(cos ,),(,),(cos 1 3 2 12 T n i i i i i i txx x yи tx yиR γ∈         ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− + = ∑ (59) 68 ISSN 0572-2691 ,),(,),cos( ),(cos 1 3 2 1 1 3 2 1 T n i i i i i i n i i i i i i txx x yи tx yи x x и tx и γ∈         ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆−= =         ν        ∂ θ∂ + ∂∂ θ∂ ∑ ∑ = = .,0 0 0 Ω∈= ∂ θ∂ =θ = = x t t t Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (59) называется функция ),,0(),( 0 TWtx ∈θ=θ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),;(,;, 102 2 Ttwulwuaw t uaw t ∈∆=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ θ (60) ,,0 0 0 Ω∈= ∂ θ∂ =θ = = x t t t (61) где −         ∆− ∂ ∂ ∆+ ∂ ∂ ∆− ∂∂ ∂ ∆=∆ ∫ ∑ ∑ Ω = = θ dxwyu x уu t yu tx yиwul n i n i i i i i 1 1 42 2 322 3 1);( −Γν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− ∫ ∑ Γ =2 1 23 2 1 ),(cos n i i i i i i dwx x yu tx yи ∫ ∑ Γ = −Γν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− 3 1 33 2 1 ),(cos n i i i i i i dwx x yu tx yи +γ+              ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− −         ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− −            ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆− − + = − = γ = ∑ ∑ ∫ ∑ dwRRx x yи tx yиR x x yи tx yиR x x yи tx yиR n i i i i i i n i i i i i i n i i i i i i ][)(),(cos ),(cos ),(cos 1 21 1 3 2 12 1 3 2 11 1 3 2 12 .),(cos 1 3 2 1 γ         ν        ∂ ∂ ∆+ ∂∂ ∂ ∆+ + γ = ∫ ∑ dwx x yи tx yи n i i i i i i (62) Для каждого приближения nu решения U∈и задачи (41)−(43), (13) сопря- женная задача имеет вид (48), (49). Выбирая в тождествах (48), (49) вместо функ- Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 69 ции w разность ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (60)−(62) получим следующие выраже- ния для определения составляющих ,4,1,~ =ψ i in градиента nuJ ′ (51): −Ω∂∩Γνψ ∂∂ ∂ −ψ ∂∂ ∂ =ψ ∫ ∫∫ ∫ Ω∂∩ΓΩ dtdx tx ydtxd tx y l T i i T i il n ll )(),(cos~ 2 0 2 0 2 3 2 1 , ~~)(),(cos 1 3 3 0 2 il nl T i i dtdx tx y l ψ+Ω∂∩Γνψ ∂∂ ∂ − ∫ ∫ Ω∂∩Γ −γψ+           ν         ∂∂ ∂ +ν         ∂∂ ∂ =ψ − γ −− ∫ ∫ dtdRRx tx yRx tx yR T i i i i i n ][)(),(cos),(cos ~~ 1 21 0 2 1 2 2 1 1 ,),(cos),(cos 0 22 ∫ ∫∫ γ − − γ + − γψν         ∂∂ ∂ −=γψν         ∂∂ ∂ − T i i i i dtdx tx ydtdx tx y (63) ;2,1,),(cos ~~ 0 2 2 1 =γψν         ∂∂ ∂ =ψ + γ + ∫ ∫ ldtdx tx yT i i i n .2,1,)(~,)(~ ;2,1, ~~,),(cos ~~ , ~~))((),(cos~ 00 0 2 0 1 32 0 )(0 2 2 42 33 3 32 3 =Ωψ−=ψΩψ ∂ ∂ −=ψ =γψ       ∂ ∂ =ψγψν       ∂ ∂ −=ψ ψ+Ω∂∩Γ∪Γνψ ∂ ∂ −ψ ∂ ∂ =ψ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ΩΩ + γ + − γ − Ω∩∂Γ∪ΓΩ ldtdydtd t y ldtd x ydtdx x y dtdx x ydtdx x y l T l nl T l n T i i n T i i i n il nli T i T i il n ll ll Используя выражения (63) для градиента nuJ ′ функционала-невязки (13), можем реализовать используемые градиентные методы для решения задачи иден- тификации (40), (2)−(8), (13). 5. Задача восстановления параметров составного тонкого включения Пусть в области TΩ определено уравнение − ∂ ∂ +         ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑ = t yxa tx yxa xt y j ij n ji i )()( 2 1, 2 2 ).,()()( ~ 1, txyxb x yxk x f j ij n ji i =+        ∂ ∂ ∂ ∂ − ∑ = (64) На границе TΓ заданы краевые условия (2)−(4). При 0=t начальные усло- вия имеют вид (7), (8), а на участке Tγ заданы условия сопряжения 70 ISSN 0572-2691 ,][ 321 иy y и y и LL +=       ν∂ ∂ +       ν∂ ∂ +− (65) .4и yL =    ν∂ ∂ (66) Предполагаем, что на N (n−1)-мерных областях ,iγ разбивающих область Ω на N+2 связных ограниченных строго липшицевых областей ,( Ω∈γΩ ij ),,1 Ni = известны следы решения ),( txyy = начально-краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66), заданные равенствами (9). Задача (2)−(4), (7), (8), (64)−(66), (9) состоит в нахождении вектора )),(;,0())(;,0( 2 2 2 211 γ×γ××=∈ ++ LTLLTLRRu U при котором решение )(uyy = начально-краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66) удовлетворяет равенствам (9). Вместо классического решения начально-краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66) будем использовать ее обобщенное решение. Определение 6. При каждом фиксированном U∈и обобщенным решени- ем начально-краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66) называется функция ),,0(),;()( TWtxuyuyy ∈== которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тож- деств ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwиlwyиaw t yaw t y ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (67) ),,()0)(,( 000 wyawya = (68) ),,()0(, 1 wyw t y =      ∂ ∂ (69) где билинейная форма ),(0 ⋅⋅a определена соответствующим выражением (12′), ,]][[1 ),;( 3 3 211, 1 ∫∫∫ ∑ ΓγΩ = Γαϕψ+γψϕ + +        ϕψ+ ∂ ψ∂ ∂ ϕ∂ =ψϕ dd ии dxb xx kиa n ji ij ij .][),(),(), ~ ();( 4 21 342 )()( 3222 ∫∫ γ + γ ΓΓ γ−γ + − +β++= dwиdw ии иии wwgwfwиl LL Следуя [6], легко установить справедливость следующего утверждения. Теорема 2. При каждом фиксированном U∈и обобщенное решение началь- но-краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66) существует и единственно. Для допустимого приращения ∆и вектора U∈и на основании начально- краевой задачи (2)−(4), (7), (8), (64)−(66) приращение y∆=θ решения )(uyy = этой задачи можем определить как решение следующей начально-краевой задачи: ,),(,0 1, 2 1, 2 2 T n ji j ij ij ij n ji i txb x k xt a tx a xt Ω∈=θ+        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∂ θ∂ +        ∂∂ θ∂ ∂ ∂ − ∂ θ∂ ∑∑ == Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 71 ,0 1 =θ Γ T ,),(,0 2T L tx Γ∈= ν∂ θ∂ ,),(, 3T L tx Γ∈αθ−= ν∂ θ∂ (70) ,),(,][ 21321 T LLLL tx y и y ииии γ∈       ν∂ ∂ ∆−       ν∂ ∂ ∆−∆+θ=       ν∂ θ∂ +       ν∂ θ∂ +−+− ,),(,4 T L txи γ∈∆=    ν∂ θ∂ .,,0 1 0 0 Ω∈= ∂ θ∂ =θ = = xy t t t Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (70) назы- вается функция ),,0(0 TW∈θ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тож- деств ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwulwиaw t aw t ∈∆=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ θ (71) ,0)0(,,0)0)(,(0 =      ∂ θ∂ =θ w t wa (72) где .][)( );( 4 1 21 32142 γ∆−γ+× ×        ∆−       ν∂ ∂ ∆+       ν∂ ∂ ∆+∆=∆ ∫ ∫ γ +− γ +− θ dwиdwии иyиyиииwul LL Для каждого приближения nu решения U∈и задачи (67)−(69), (13) введем в рассмотрение следующую сопряженную начально-краевую задачу: ,\),(,0 1, 2 1, 2 2 dT n ji j ij ij ij n ji i txb x k xt a tx a xt γΩ∈=ψ+        ∂ ψ∂ ∂ ∂ − ∂ ψ∂ −        ∂∂ ψ∂ ∂ ∂ + ∂ ψ∂ ∑∑ == ,0 1 =ψ Γ T ,),(,0),(cos 2 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a Γ∈=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = ,),(,),(cos 3 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a Γ∈ψα−=ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = (73) ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a γ∈=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −∑ = 72 ISSN 0572-2691 ,),(],[1),(cos 211, 2 T n ji i j ij j ij tx uu x x k tx a γ∈ψ + =         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ − ± = ∑ ,,1,),( ),)((),(cos,0][ 1, 2 Njtx fuyx x k tx a jT jпj n ji i j ij j ij =γ∈ −ρ−=         ν        ∂ ψ∂ + ∂∂ ψ∂ −=ψ ∑ = .,0),(,0),( Ω∈= ∂ ψ∂ =ψ xTx t Tx Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (73) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d∈ψ которая 0 )( dVxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),(),(,, 102 2 Ttwlwaw t aw t ∈=ψ+      ∂ ψ∂ −        ∂ ψ∂ ψ (74) .0)(,,0))(,(0 =      ∂ ψ∂ =ψ Тw t Тwa (75) Выбирая в тождествах (74), (75) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (71), (72) имеем =∆=−−ρ ∫∑ ∫ θγ = ++ dtwuldtuyuyfuyt T Ln N j njn T j j 0 )( 1 11 0 );())()(,)(()( 2 .][ 0 4 0 21 21342 ∫ ∫∫ ∫ γψ∆−γψ +       ν∂ ∂ ∆+       ν∂ ∂ ∆+∆−∆ = γ + γ +− TТ LL dtdиdtd ии y и y ииии Следовательно, ,~ nun J ψ=′ (76) где ,][1~,][1~,}~{~ 021021 4 1 21 ∫ ∫∫ ∫ γψ       ν∂ ∂ + =ψγψ       ν∂ ∂ + =ψψ=ψ γ + γ − = T L n T L ninn dtd y ии dtd y ииi ∑ ∫ ∫∑ = γ= γ + γ γψ+ψ=′ψ−ψ + =ψψ + −=ψ 4 3 0 2 2 1 22 21 2 21 .~~,][~],[1~ 43 i T n i nunn dtdJ ии u ии iin Замечание 5. Если ,, 1 43 Ruu ∈ то =ψγ+ψ−=ψ ∫ ∫ γ − 43 ~,)]([~ 0 1 21 n T n dtdии .~,)(1 4 1 22 0 21 21 ∑∫ ∫ =γ −+ ψ=′γψ+ψ× + − i nu T in Jdtdии ии Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) при определении (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (67)−(69), (13) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 73 направление спуска np и коэффициент nβ можем определить с помощью фор- мул (15), где градиент nuJ ′ функционала-невязки )(иJ имеет вид (76). Решив задачу нахождения функции ),,0(),;~( TWtxz n ∈ψ удовлетворяющей 0Vw∈∀ тождествам ),,0(),;~(),;~(,, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z nn ∈ψ=ψ+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (77) ),,()0)(,( 000 wyawza = (78) ),,()0(, 1 wyw t z =      ∂ ∂ (79) найдем ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA =′=′ (80) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn пui =ψ=′ γ Учитывая (80), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (67)−(69), (13). Определив направление спуска np с помощью формул (17), можем решить зада- чу определения функции ),,0(),;()( TWtхpzpz nn ∈= которая 0)( Vxw ∈∀ удо- влетворяет системе тождеств ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwрlwzрaw t zaw t z nn ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (81) ),,()0)(,( 000 wyawza = (82) ).,()0(, 1 wyw t z =      ∂ ∂ (83) На основании решения )( npz задачи (81)−(83) получим вектор nAp вида (32). Учитывая (32), можем использовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (67)−(69), (13). 6. Восстановление начальных условий Пусть на области ΩТ определено псевдогиперболическое уравнение . ~ 1, 2 1, 2 2 fby x yk xt ya tx ya xt y j ij n ji i ij n ji i j =+        ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑∑ == (84) На границе TΓ заданы краевые условия (2)−(4). На участке Tγ условия со- пряжения имеют вид (5), (6). При 0=t заданы начальные условия ,),()0,( 211 Ω∪Ω∈= xxихy (85) .),()0,( 212 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ xxих t y (86) 74 ISSN 0572-2691 Предполагаем, что на N (n−1)-мерных областях iγ известны следы решения начально-краевой задачи (84), (2)−(6), (85), (86), заданные равенствами (9). Вме- сто этой начально-краевой задачи будем использовать соответствующую ей обобщенную задачу, состоящую в нахождении функции ),,0(),;( TWtxuy ∈ ко- торая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(,, 102 2 Ttwlwyaw t yaw t y ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (87) ),,()0)(,( 100 wиawya = (88) ).,()0(, 2 wиw t y =      ∂ ∂ (89) Для допустимого приращения ∆и функции )(),( 2 1 021 Ω×=∈= LVuuu U на основании задачи (87)−(89) приращение y∆=θ ее решения можем определить как решение следующей задачи: найти функцию ),,0(),( 0 TWtx ∈θ=θ которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(,0),(,, 102 2 Ttwaw t aw t ∈=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ (90) ,, 2110 Ω∪Ω∈∆=θ = xиt (91) ., 212 0 Ω∪Ω∈∆= ∂ θ∂ = xи t t (92) Для каждого приближения nu решения U∈u задачи (87)−(89), (13) началь- но-краевая сопряженная задача записывается в виде (20), для которой имеем обобщенную задачу (21), (22). Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (90)−(92) получаем =−−ρ γ = +∑ ∫ dtuyuyfuyt jLn N j njn T j )( 1 1 0 2 ))()(,)(()( ).0)(,()0(,)0(, 1021 ψ∆+      ∂ ψ∂ ∆+      ∂ ψ∂ ∆−= ua t u t u (93) Пусть m ii x 1)}({ =ϕ  система линейно независимых функций в .1 0V Предста- вим приращение 1u∆ в виде .),( 1 1 1 Raxau i m i ii ∈∆ϕ∆=∆ ∑ = (94) Следовательно, ,~ nun J ψ=′ (95) Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 75 где ),0)(,()0(,~ ,~),(~,}~{~),~,~(~ 0 212 1 12111 ψϕ+      ∂ ψ∂ ϕ−=ψ ∈ψΩ∈ψψ=ψψψ=ψ = ii i n m nn m i i nnnnn a t RL .~)~(),0(~,,1 2 )( 1 22 221 21 2 Ω =Ω∪Ω ψ+ψ=′ ∂ ψ∂ =ψ= ∑ Ln m i i nun n J t mi Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) при определении (п+1)-го приближения 1+nu решения )(2 Ω×=∈ LRu mU зада- чи (87)−(89), (13) направление спуска np и коэффициент nβ можем определить с помощью формул (15), где градиент nuJ ′ функционала-невязки (13) определен выражением (95). Решив задачу нахождения функции ),,0(),;~( TWtxz n ∈ψ удовлетворяющей 0)( Vxw ∈∀ равенствам ),,0(),(),(,, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (96) ,,~,)(~ 21 01 0 21 Ω∪Ω∈ψ= ∂ ∂ ϕψ= == = ∑ x t zxz n t m i i i nt (97) найдем ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA =′=′ (98) где .,1,)()( NiJzJz iTnn uui =′=′ γ Учитывая (98), можем реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (87)−(89), (13). Вычислив направление спуска np с помощью выражений (17) и решив задачу нахождения функции ),,0()( TWpzz n ∈= которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет ра- венствам ),,0(),(),(,, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (99) ,,,)( 21 01 0 21 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ ϕ= == = ∑ xp t zxpz n t m i i i nt (100) определим вектор ,)}({ 1 N inin pzpA == (101) где .}{),,(,,1,)()( 11121 m i i nnnnnnni pppppNipzpz iT =γ ==== Учитывая (101), можем реализовать метод сопряженных градиентов (14), (17) для определения (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (87)−(89), (13). 76 ISSN 0572-2691 7. Идентификация параметров краевых условий Пусть на области TΩ определено уравнение состояния (84). На границе TΓ заданы краевые условия: , 1 ϕ=Γ T y (102) ,),(,),(cos 21 1, 2 Ti n ji j ijij txиx x yk tx ya j Γ∈=ν         ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = (103) .),(,),(cos 332 1, 2 Ti n ji j ijij txиyиx x yk tx ya j Γ∈+−=ν         ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = (104) На участке Tγ условия сопряжения имеют вид ],[21 y y R y R LL =       ν∂ ∂ +       ν∂ ∂ +− (105) .4и yL =    ν∂ ∂ (106) При 0=t заданы начальные условия .,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xy t yyy t t (107) Определение 9. При каждом фиксированном ×Γ=∈ ))(;,0( 22 2 LTLu U ))(;,0())(;,0())(;,0( 2 2 32 2 32 2 γ×Γ×Γ× + LTLLTLLTL обобщенным решением на- чально-краевой задачи (84), (102)−(107) называется функция ),,0()( TWuyy ∈= которая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwиlwyиaw t yaw t y ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (108) ,,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xy t yyy t t (109) где },0),(:))(;,0(),({))(;,0( 32 2 32 2 >Γ∈=Γ+ txvLTLtxvLTL ,]][[1 ),;( 3 32 211, 1 ∫∫∫ ∑ ΓγΩ = Γ+γ + + ∂ ∂ ∂ ∂ = dywudwy RR dx x w x ykwyиa n ji ij ij .][), ~ ();( 32 33214 21 42 ∫∫∫∫ ΓΓγ + γ Γ+Γ+γ−γ + += dwudwudwиdw RR uR wfwиl Для допустимого приращения ∆и функции U∈u на основании зада- чи (108), (109) приращение y∆=θ решения )(uyy = этой задачи можем опреде- Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 77 лить как решение следующей задачи: найти функцию ),,0(),( 0 TWtx ∈θ=θ кото- рая 0)( Vxw ∈∀ удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwиlwиaw t aw t ∈∆=θ+      ∂ θ∂ +        ∂ θ∂ θ (110) ,,0,0 0 0 Ω∈= ∂ θ∂ =θ = = x t t t (111) где ∫∫ ∫∫∫ γ + γ ΓΓΓ θ γ∆−γ + ∆ + +Γ∆+Γ∆+Γ∆−=∆ .][ );( 4 21 42 332132 323 dwиdw RR uR dwudwudywuwиl Для каждого приближения nu решения U∈u задачи (108), (109), (13) со- пряженная задача состоит в нахождении функции ),,0(),( TWtx d∈ψ которая 0 )( dVxw ∈∀ удовлетворяет равенствам ),,0(),(),;(,, 102 2 Ttwlwиaw t aw t ∈=ψ+      ∂ ψ∂ −        ∂ ψ∂ ψ (112) .,0 Ω∈= ∂ ψ∂ =ψ = = x t Тt Тt (113) Выбирая в тождествах (112), (113) вместо функции w разность )()( 1 nn uyuy −+ , с учетом (110), (111) имеем .);())()(,)(()( 0 )( 1 1 0 2 dtuldtuyuyfuyt T Ln N j njn T j j ∫∑ ∫ ψ∆=−−ρ θγ = + Следовательно, ,~ nun J ψ=′ (114) где ,][~,~ ,~,~,}~{~ 21 2 4 1 433 3221 TTТ ТТi RR R у nn nninn γ + γΓ ΓΓ= ψ−ψ + =ψψ=ψ ψ−=ψψ=ψψ=ψ ∑ ∫∫∫ = γΓΓ ψ+ψ+ψ=′ 3 2 0 2 )( 0 2 )( 0 2 )( 2 .~~~ 2432221 i T Ln T Ln T Lnu dtdtdtJ in Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (14), (15) при определении (п+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (108), (109), (13) направление спуска np и коэффициент nβ определим с помощью формул (15), где градиент nuJ ′ функционала-невязки (13) определен выражением (114). 78 ISSN 0572-2691 Решив задачу нахождения функции ),,0(),;~( TWtxz n ∈ψ удовлетворяющей 0)( Vxw ∈∀ равенствам ),,0(),;~(),;~(,, 102 2 Ttwlwzaw t zaw t z nn ∈ψ=ψ+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ (115) ,,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xу t zуz t t (116) найдем вектор , nuJA ′ что позволит реализовать метод скорейшего спуска (14), (16) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и задачи (108), (109), (13). Вычислив направление спуска np и коэффициент nβ с помощью выражений (17) и решив задачу определения функции ),,0(),;( TWtxpz n ∈ удовлетворяющей 0)( Vxw ∈∀ равенствам ),,0(),;(),;(,, 102 2 Ttwplwzpaw t zaw t z nn ∈=+      ∂ ∂ +        ∂ ∂ ,,, 211 0 00 Ω∪Ω∈= ∂ ∂ = = = xy t zyz t t определим вектор .nAp Имея вектор ,nAp можем реализовать метод сопряжен- ных градиентов (14), (17) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения U∈u задачи (108), (109), (13). Замечание 6. Для определения всех или отдельных составляющих градиента пun J ψ=′ ~ можно применить параметрический подход. І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека РОЗВ’ЯЗАННЯ КОМПЛЕКСНИХ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОГІПЕРБОЛІЧНИХ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ Запропоновано ефективні обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних ме- тодів Аліфанова розв’язання обернених задач для псевдогіперболічних багато- компонентних розподілених систем. В основу запропонованих алгоритмів пок- ладено прямі та спряжені задачі в слабких постановках. I.V. Sergienko, V.S. Deineka AN INVERSE COMPLEX PROBLEMS SOLUTION FOR MULTICOMPONENT PSEUDOGIPERBOLIC DISTRIBUTED SYSTEMS The effective calculation algorithms of realization of Alifanov’s gradient methods of inverse problems solution for multicomponent pseudogiperbolic distributed systems are proposed. The proposed algorithms are based on a direct and conjugate problems in weak formulations. Проблемы управления и информатики, 2008, № 1 79 1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комбинированных обратных задач для параболиче- ских многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.  2007.  № 5.  С. 48−71. 2. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач для псевдопараболи- ческих многокомпонентных распределенных систем // Проблемы управления и информа- тики.  2007.  № 4.  С. 33–58. 3. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач термоупругости // Там же.  2007.  № 5.  С. 64–87. 4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач.  М. : Наука, 1988.  288 с. 5. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.  М. : Мир, 1978.  336 с. 6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами.  Киев : Наук. думка, 2003.  506 с. 7. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. — New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005.  400 p. Получено 16.10.2007 1. Задача идентификации массовых сил 2. Параметрическая идентификации массовых сил 3. Восстановление коэффициентов уравнения состояния 4. Восстановление коэффициентов уравнения при определении приращения (у решения с помощью начально-краевой задачи 5. Задача восстановления параметров составного тонкого включения 6. Восстановление начальных условий 7. Идентификация параметров краевых условий

Решение комплексных обратных задач для псевдогиперболических многокомпонентных распределенных систем

Institution

Ähnliche Einträge