Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА
В реальних задачах моделювання часто виникає складність вибору оптимальної моделі, оскільки найточніших моделей може бути не одна, а декілька. Дя таких випадків запропоновано метод довизначення моделі з використанням додаткового критерію зміщення. Спочатку розраховується критерій регулярності, а пот...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209122 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА / А.Г. Ивахненко, Е.А. Савченко // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 65-76. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-209122 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2091222025-11-15T01:12:07Z Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА Дослідження ефективності методу довизначення вибору моделі в задачах моделювання із застосуванням алгоритмів МГУА Investigation of efficiency of additional determination method of the model choice in the modeling problems with application of GMDH algorithms Ивахненко, А.Г. Савченко, Е.А. Развитие и исследование алгоритмов МГУА В реальних задачах моделювання часто виникає складність вибору оптимальної моделі, оскільки найточніших моделей може бути не одна, а декілька. Дя таких випадків запропоновано метод довизначення моделі з використанням додаткового критерію зміщення. Спочатку розраховується критерій регулярності, а потім, якщо вибрати оптимальну модель не вдалося, додатково розраховується критерій зміщення для моделей, які потрапили в інтервал невизначеності. Наведено приклад довизначення моделей в задачі вибору матеріалу поверхні літальних апаратів. The problem of optimal model selection often occurs in a real problems of modeling because there can be several equally accurate models. For this case the method of determination of model by additional bias criterion is proposed. At first the criterion of regularity is calculated, then if the optimal model is not possible to select, the additional bias criterion is calculated for the models which belong to the interval of uncertainty. The example of model additional determination is shown on examples of selection of aircrafts surface material. 2008 Article Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА / А.Г. Ивахненко, Е.А. Савченко // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 65-76. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209122 621.513 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i3.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Развитие и исследование алгоритмов МГУА Развитие и исследование алгоритмов МГУА |
| spellingShingle |
Развитие и исследование алгоритмов МГУА Развитие и исследование алгоритмов МГУА Ивахненко, А.Г. Савченко, Е.А. Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА Проблемы управления и информатики |
| description |
В реальних задачах моделювання часто виникає складність вибору оптимальної моделі, оскільки найточніших моделей може бути не одна, а декілька. Дя таких випадків запропоновано метод довизначення моделі з використанням додаткового критерію зміщення. Спочатку розраховується критерій регулярності, а потім, якщо вибрати оптимальну модель не вдалося, додатково розраховується критерій зміщення для моделей, які потрапили в інтервал невизначеності. Наведено приклад довизначення моделей в задачі вибору матеріалу поверхні літальних апаратів. |
| format |
Article |
| author |
Ивахненко, А.Г. Савченко, Е.А. |
| author_facet |
Ивахненко, А.Г. Савченко, Е.А. |
| author_sort |
Ивахненко, А.Г. |
| title |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА |
| title_short |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА |
| title_full |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА |
| title_fullStr |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА |
| title_full_unstemmed |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА |
| title_sort |
исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов мгуа |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Развитие и исследование алгоритмов МГУА |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209122 |
| citation_txt |
Исследование эффективности метода доопределения выбора модели в задачах моделирования с применением алгоритмов МГУА / А.Г. Ивахненко, Е.А. Савченко // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 65-76. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT ivahnenkoag issledovanieéffektivnostimetodadoopredeleniâvyboramodelivzadačahmodelirovaniâsprimeneniemalgoritmovmgua AT savčenkoea issledovanieéffektivnostimetodadoopredeleniâvyboramodelivzadačahmodelirovaniâsprimeneniemalgoritmovmgua AT ivahnenkoag doslídžennâefektivnostímetodudoviznačennâviborumodelívzadačahmodelûvannâízzastosuvannâmalgoritmívmgua AT savčenkoea doslídžennâefektivnostímetodudoviznačennâviborumodelívzadačahmodelûvannâízzastosuvannâmalgoritmívmgua AT ivahnenkoag investigationofefficiencyofadditionaldeterminationmethodofthemodelchoiceinthemodelingproblemswithapplicationofgmdhalgorithms AT savčenkoea investigationofefficiencyofadditionaldeterminationmethodofthemodelchoiceinthemodelingproblemswithapplicationofgmdhalgorithms |
| first_indexed |
2025-11-15T02:07:16Z |
| last_indexed |
2025-11-16T02:04:23Z |
| _version_ |
1848910716873998336 |
| fulltext |
© А.Г. ИВАХНЕНКО , Е.А. САВЧЕНКО, 2008
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 65
УДК 621.513
А.Г. Ивахненко , Е.А. Савченко
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ
МЕТОДА ДООПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРА
МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ АЛГОРИТМОВ МГУА
Введение. В реальных задачах моделирования, когда данные содержат шум,
при поиске оптимальной модели, описывающей работу некоторой системы, мо-
жет возникнуть сложность, состоящая в том, что по минимуму заданного крите-
рия выбирается не одна модель, а некоторое их множество, содержащее несколь-
ко наиболее точных моделей. В таком случае в работах [1–3] предложено приме-
нять метод доопределения, который состоит в последовательной оценке моделей
по двум критериям, т.е. ставится задача выбора модели с учетом двух критериев.
В методе группового учета аргументов (МГУА) имеется два основных крите-
рия: регулярности и несмещенности (последний называется также критерием со-
гласованности или минимума смещения) [4]. Эти критерии по своей природе про-
тиворечивы, и каждый из них по отдельности может применяться как внешний
критерий МГУА, однако при этом стремятся достичь различных целей: наиболь-
шей точности прогнозирования (критерий регулярности) или наибольшей согла-
сованности моделей, построенных на различных частях выборки (критерий не-
смещенности).
В случае, когда выбрать эффективную в каком-либо смысле модель только
по одному из критериев не удается, рекомендуется применять комбинацию или
последовательность этих двух критериев. В целях выбора целесообразной после-
довательности критериев в данной работе рассматривается два варианта доопре-
деления выбора модели: первый, когда для построения модели вначале применя-
ется критерий регулярности, а затем лучшие модели оцениваются по критерию
смещения, и второй, когда, наоборот, сначала применяется критерий смещения,
затем — критерий регулярности.
В настоящей статье эффективность процесса доопределения модели демон-
стрируется на численных примерах в целях обоснования целесообразной после-
довательности применения критериев. Примеры эффективного применения ме-
тода доопределения в реальных задачах мониторинга сложных процессов при-
ведены в [1–3].
О выборе целесообразной формы критерия смещения
Идея определения оптимальных моделей в алгоритмах МГУА по многим
критериям возникла еще в 1970-х годах [5], но подробного исследования выбора
целесообразной последовательности критериев на численных примерах не прово-
дилось. Затем рассматривались вопросы многокритериального выбора моде-
лей [6], когда критерии вычисляются в виде линейной свертки с заданными веса-
ми, а также последовательного использования внешних критериев [7].
В данной работе рассматривается два основных критерия, характеризующих
качество моделей в алгоритмах МГУА: критерий регулярности и смещения [4].
Эти критерии по своим свойствам противоречивы, поэтому ставится задача двух-
критериального выбора модели, причем необходимо выбрать целесообразную по-
следовательность применения этих критериев.
66 ISSN 0572-2691
Для расчета критерия регулярности выборка ранжируется по дисперсии и де-
лится на обучающую A и проверочную B. Расчет критерия регулярности осу-
ществляется по формуле [4]:
,)ˆ(1AR
1
2
)/(/ ∑
=
−=
BN
i
iBABi
B
AB yy
N
(1)
где Biy — действительные (табличные) значения выходной величины на прове-
рочной выборке B; iBAy )/(ˆ — значения выхода на проверочной выборке B, вы-
численные по модели, коэффициенты которой получены на обучающей
выборке A; BN — число точек проверочной выборки B.
Формулу (1) представим следующим образом:
.ˆˆAR 22
// ABBABBAB Xyyy θ−=−= (2)
Критерий смещения или согласованности может быть рассчитан по различ-
ным формулам. Он строится как количественное выражение какого-либо дополни-
тельного требования к согласованности свойств искомой модели, например,
наиболее распространены критерии минимума смещения решений и коэффициен-
тов.
Расчет критерия минимума смещения решений осуществляется по формуле [4]:
,ˆˆ),(CBCB 2
BA yyBA −== (3)
где ,ˆ Ay Bŷ — выходы модели одной и той же структуры с коэффициентами,
оцененными на выборках A и B соответственно.
Его можно записать также в следующем виде:
).ˆˆ()ˆˆ(CB TT
BAWWBA XX θ−θθ−θ= (4)
В [1] предложена другая форма расчета критерия несмещенности в виде кри-
терия смещения (рассогласования) ошибок модели:
,ARARBS // BWAW −= (5)
где AW /AR и BW /AR — суммарные ошибки на объединенной выборке
BAW ∪= модели одной и той же структуры с параметрами, оцененными на вы-
борках A и B соответственно:
;ˆAR 2
/ AWAW Xy θ−= .ˆAR 2
/ BWBW Xy θ−= (6)
Тогда выражение (5) принимает вид
.ˆˆBS 22
BWAW XyXy θ−−θ−= (7)
Идея критерия смещения состоит в том, чтобы свойства лучшей модели ми-
нимально отличались при оценивании параметров как на обучающей, так и на
проверочной выборках A и B [4]. Если сравнить формулы (4) и (7), то видно, что
при BA θ=θ ˆˆ оба критерия (3) и (5) строго равны 0: для CB это очевидно, а для BS
это следует из равенства ошибок BWAW // ARAR = в (6). Это означает, что свой-
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 67
ства критериев одинаковы, т.е. оба отражают требование близости коэффициен-
тов моделей на выборках A и B.
В МГУА применяется еще один внешний критерий, построенный на двух
ошибках (6), — критерий стабильности [4]:
.ARARAS // BWAW += (8)
Отличие его состоит в том, что в этом критерии ошибки моделей суммируются,
тогда как в предлагаемой форме критерия вычитаются. Поэтому критерий ста-
бильности не может отражать требования близости коэффициентов и относится к
группе критериев точности моделей, а не их согласованности. Критерий смеще-
ния (5) требует, чтобы значения ошибок на выборках A и B были как можно бли-
же. В предельном случае, когда ошибки будут равны, модель на выборке A и B
будет одна и та же.
На примере сравнения расчета критерия смещения по формулам (3) и (5) по-
кажем, какая из двух форм критерия смещения предпочтительнее. С помощью ге-
нератора случайных чисел составлена выборка, содержащая 8 аргументов и 30 то-
чек. Выходная величина содержит 10 % шума в данных и задана выражением
. 7 3 73 ε++−= xxy (9)
Для моделей сложности 6,5,4,3,2=s рассчитаны два критерия смещения.
Результат сравнения значений критериев по формулам (4) и (5) показан на рис. 1.
8,38
12,4
2,4
0,54
7,48 7,1
0,16 0,135 0,03
0
2
4
6
8
10
12
14
2 3 4 5 6 s
CB, BS
CB BS
Рис. 1
Как видно из рисунка, минимумы двух критериев соответствуют одной и той
же модели, однако BS имеет значительно большую чувствительность при откло-
нении модели от истинной и предпочтительней для применения в алгоритмах
МГУА.
Метод доопределения выбора моделей по критерию смещения
В работе рассматривается задача доопределения выбора моделей с примене-
нием комбинаторного алгоритма МГУА [4]. Эта идея заключается в том, что мо-
дель оценивается последовательно по значениям двух критериев. Сначала для
всех перебираемых в алгоритме МГУА моделей рассчитывается критерий регу-
лярности по формуле (1). Затем для наиболее точных моделей, которые образова-
ли интервал неопределенности, рассчитываются значения дополнительного кри-
терия смещения (5) и выбирается наиболее несмещенная модель. Иллюстрация
идеи последовательного двухкритериального выбора модели показана на рис. 2.
Разработанный алгоритм доопределения состоит из следующих шагов.
68 ISSN 0572-2691
Шаг 1. Разделение ранжированной по дисперсии выборки на обучающую A
(2/3 точек) и проверочную B (1/3точек). В проверочную выборку поступает каж-
дое третье наблюдение ранжированной выборки.
Шаг 2. Генерация моделей. Комбинаторный алгоритм осуществляет полный
перебор всех возможных структур моделей. Рассматриваются только линейные по
коэффициентам полиномиальные модели.
Шаг 3. Расчет критерия регулярности на выборке B моделей, коэффициенты
которых получены на выборке A, по формуле (1).
Шаг 4. Отбор наилучших моделей по минимуму критерия регулярности.
Здесь можно получить либо одну модель, либо целый интервал.
Шаг 5. Разделение на две равные выборки ∗A и ,∗B каждое нечетное
наблюдение попадает в ,∗A а каждое четное — в .∗B
Шаг 6. Расчет критерия смещения BS для наиболее точных моделей.
Шаг 7. Выбор оптимальной модели по минимуму критерия смещения BS.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
2 3 4 5 6 7 8 s
AR, BS
AR BS
Рис. 2
На рис. 3 показана блок-схема описанного алгоритма последовательной
оценки модели по критерию регулярности и смещения.
Исходная выборка данных
Ранжирование точек
по дисперсии
Разделение выборки
на обучающую A и проверочную B
A B
Построение модели
объекта
AR1 AR2
ARV
BS2
BSV
...
Оптимальная модель
BS1
2/3 точек 1/3 точек
A* B*
2/3 точек 1/3 точек
...
Рис. 3
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 69
На рис. 3 VAR,,AR 1 — значения критерия регулярности для V моделей,
попавших в интервал неопределенности; VBS,,BS1 — значения критерия сме-
щения для V моделей. Оптимальная модель находится по минимальному значе-
нию критерия .minBS
,1 Vi
i
=
→
Ниже показаны тестовые примеры доопределения выбора модели для оценки
эффективности алгоритма. Первый численный пример с поочередным последова-
тельным применением двух критериев: смещения и регулярности, для выбора це-
лесообразной последовательности их применения. Второй пример — исследова-
ние помехоустойчивости метода доопределения.
Численный пример сравнения последовательности критериев
Для выбора эффективной последовательности критериев рассмотрим чис-
ленный пример для двух возможных вариантов последовательности критериев:
сначала рассчитаем критерий регулярности, потом — критерий смещения, а за-
тем, наоборот, сначала — смещение, потом — регулярность.
В расчетах применяем комбинаторный алгоритм МГУА [4], позволяющий
выполнить перебор всевозможных частных моделей из заданного базиса с выбо-
ром лучшей из них по заданному критерию селекции — регулярности или смеще-
ния. При переборе сложность частных моделей, т.е. число аргументов, постепенно
наращивается от 1 до максимального числа m (числа аргументов базисного набора
функций). Таким образом, общая схема комбинаторного алгоритма включает сле-
дующие операции: генерируются структуры всех возможных частных моделей
сложности ;,,2,1 msss === затем по методу наименьших квадратов (МНК)
определяются коэффициенты генерируемых моделей; для каждой из них вычис-
ляется значение внешнего индивидуального или комбинированного критерия се-
лекции; единственная модель оптимальной сложности выбирается по минималь-
ному значению критерия. Можно сказать, что комбинаторный алгоритм МГУА
основан на методе полной математической индукции, так как при этом не пропус-
кается ни один из возможных вариантов модели, заложенных в исходном полном
базисе.
Зададим выборку, содержащую 20 аргументов и 40 наблюдений и сгенериро-
ванную случайным образом. Выходная переменная задана следующей зависимо-
стью от части «истинных» аргументов при уровне шума 10 %:
.28347510 201612951 ε+−+−+++−= xxxxxxy (10)
Требуется по заданной выборке данных найти зависимость аргументов от
выходной величины. На рис. 4 показана зависимость критериев регулярности AR
и смещения BS от сложности модели, полученная по комбинаторному алгорит-
му МГУА для первого варианта: сначала — критерий регулярности, затем —
смещения.
70 ISSN 0572-2691
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 s
AR, BS
AR BS
Рис. 4
По минимуму критерия смещения получена следующая зависимость:
.179,1876,7834,27289,4826,6335,506,16 201612951 xxxxxxy −+−+++−= (11)
Эта модель сложности 7=s соответствует структуре заданной в примере
модели.
Если рассмотреть использование другой последовательности критериев: сна-
чала — критерия смещения, а затем — критерия регулярности, то оптимальная
модель может быть получена не всегда. Применим первым внешний критерий
смещения для построения модели в нашем примере. Вначале выборка делится на
две равные части, коэффициенты модели рассчитываются на одной части выбор-
ки, а проверяются на другой. Затем для наилучших моделей рассчитываем значе-
ния критерия регулярности. На рис. 5 приведена зависимость критериев смещения
BS и регулярности AR от сложности модели.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 s
BS, AR
BS AR
Рис. 5
Рис. 5 показывает, что минимальные значения критерия смещения соответ-
ствуют сложности модели 5,4,3=s и 6. Для этих моделей значение критерия ре-
гулярности слишком велико, поэтому ни одну из них использовать нецелесооб-
разно. Видно, что заданная структура заведомо не содержится среди лучших мо-
делей, отобранных по первичному критерию смещения.
Таким образом, эффективной является именно первая последовательность
«критерий регулярности, затем критерий смещения», так как только при ее при-
менении будет отобрана модель, заданная в примере.
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 71
Численный пример исследования помехоустойчивости
доопределения выбора модели
Пусть задана некоторая зависимость:
.3947251,0 1198531 ε+−+−+−+= xxxxxxy (12)
Требуется восстановить эту зависимость на основе заданной выборки данных
по МГУА и при необходимости доопределить выбор модели с применением опи-
санной выше методики. Случайным образом сгенерировано четыре выборки дан-
ных, выходная величина в которых содержит уровень равномерного шума 0, 5,
10 %, 20 %. Выборки содержат 12 аргументов-кандидатов, по 40 точек каждая, из
которых 30 используется для построения модели и 10 для экзамена. Выборка ис-
ходных данных представлена в табл. 1.
Таблица 1
№ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 y
1 0,5 2,9 −0,6 2,0 0,3 −3,5 2,9 −0,2 4,8 3,9 2,9 0,7 41,0
2 −4,3 4,5 −1,2 1,1 3,1 −1,0 4,7 3,1 −3,9 2,5 2,4 −2,5 −52,0
3 −2,6 −4,9 4,2 1,1 0,5 −4,1 2,4 −0,4 −3,3 −1,8 1,6 −4,6 −51,0
4 −2,1 −2,7 4,5 −0,9 −2,4 0,6 −3,8 −0,5 −1,7 −4,8 −3,7 −4,9 −39,0
5 2,5 3,4 −3,2 −3,1 2,8 −2,2 −0,8 −0,4 −0,6 0,7 2,3 −4,2 28,0
6 −1,6 −3,4 −4,4 −4,9 0,4 −3,6 −3,3 0,7 5,0 2,9 −1,3 −0,8 50,0
7 1,7 −0,3 1,2 1,5 4,9 4,0 0,5 −3,9 −4,2 1,7 −1,1 1,3 21,0
8 2,4 −4,1 −3,2 −2,9 2,2 3,5 −2,4 1,2 3,1 1,1 −3,4 4,6 67,0
9 3,3 −3,7 3,1 −3,5 5,0 4,9 3,8 4,4 0,5 4,1 3,1 1,2 23,0
10 2,0 −2,5 −1,7 1,5 −2,3 −4,8 0,6 −4,4 −0,2 0,1 −3,7 2,7 24,0
… … … … … … … … … … … … … …
39 0,3 4,4 3,4 −3,5 3,0 −3,8 −0,9 0,6 3,8 4,7 2,7 2,2 40,0
40 3,8 0,0 3,0 −2,5 −0,9 2,4 4,7 −3,8 −3,7 −3,0 0,7 −3,7 −13,0
На рис. 6. показаны все значения внешнего критерия регулярности, переби-
раемые в комбинаторном алгоритме при уровне шума 20 % при возрастающем
уровне сложности моделей s.
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
s
AR
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Рис. 6
По оси абсцисс отложена сложность модели s. Для каждого значения слож-
ности генерируется целое множество моделей, которые оцениваются по критерию
регулярности. Значения критерия регулярности всех возможных моделей отложе-
ны по оси ординат. Как видно, при увеличении сложности значения критерия ре-
72 ISSN 0572-2691
гулярности для лучших моделей последовательно улучшаются, а для худших сна-
чала ухудшаются, а затем улучшаются.
Мы рассматриваем только нижнюю огибающую, соответствующую миниму-
му внешнего критерия регулярности AR. В табл. 2 приведены результаты перебо-
ра моделей по комбинаторному алгоритму для уровня шума 20 %: значения кри-
териев регулярности AR, смещения модели BC, CAR — ошибка модели на экза-
менационной выборке (10 строк).
Как видно из табл. 2, в интервал неопределенности по критерию AR попало
шесть моделей. Для них и был рассчитан критерий смещения BS по формуле (5).
Результаты расчета отражены на рис. 7, где показана зависимость критериев регу-
лярности и смещения от сложности.
Как видно из рис. 7, минимум предлагаемого критерия смещения BS указы-
вает модель сложности ,7=s причем эта же модель выбирается по минимуму
ошибки на экзаменационной выборке C, т.е. имеет лучшие прогнозирующие
свойства.
Таблица 2
s AR BS Модель CAR
7 0,363 0,294 y = 0,096 + 4,91x1 − 1,985x3 + 6,99x5 – 3,95x8 + 8,965x9 − 2,968x11 0,212
8 0,341 0,429
y = 0,095 + 4,915x1 − 1,987x3 + 6,99x5 – 0,009 x7 +
+ 3,95x8 +8,965x9 – 2,968x11
0,213
9 0,342 0,436
y = 0,093 + 4,916 x1 – 0,0067x2 – 1,987x3 + 6,989x5 +
+ 0,013x7 − 3,9489x8 + 8,964x9 – 2,968x11
0,231
10 0,380 1,119
y = 0,135 + 4,90 x1 − 0,0023x2 – 1,98x3 + 6,977x5 +
+ 0,015x7 − 3,95x8 + 8,98x9 – 2,977x11 + 0,038x12
0,245
11 0,401 2,891
y = 0,066 + 4,92x1 + 0,017x2 – 1,98x3 + 0,0325x4 + 6,992x5 +
+ 0,0412x6 + 0,0044x7 – 3,957x8 + 8,957x9 − 2,959x11
0,228
12 0,421 3,523
y = 0,0718 + 4,921x1 + 0,017x2 − 1,98x3 + 0,307x4 + 6,99x5 +
+ 0,0401x6 + 0,005x7 − 3,957x8 + 8,959x9 – 2,96x11 + 0,005x12
0,220
0,00E + 00
2,00E − 01
4,00E − 01
6,00E − 01
8,00E − 01
1,00E +00
1,20E + 00
1,40E + 00
6 7 8 9 10 11 s
AR, BS
AR BS
Рис. 7
Аналогично получены результаты моделирования для всех остальных выбо-
рок при различном уровне шума. Результаты перебора моделей по комбинатор-
ному алгоритму для различного уровня шума 0, 5, 10, 20 % приведены в табл. 3.
Таблица 3
s
Уровень шума, %
0 5 10 20
AR BS AR BS AR BS AR BS
7 0,177 0,563 0,260 0,076 0,869 0,304 0,363 0,294
8 0,173 0,689 0,237 0,185 0,823 0,334 0,341 0,429
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 73
9 0,166 0,688 0,237 0,216 0,787 0,471 0,342 0,436
10 0,165 0,764 0,241 1,342 0,781 0,886 0,380 1,119
Таким образом, минимум критерия смещения указывает структуру модели
,7=s т.е. модель, которая содержит шесть аргументов: ,,,,,, 1198531 xxxxxx как
это и было задано в исходной выборке данных. Описанный выше метод позволил
найти заданную зависимость по минимуму критерия смещения при сравнительно
небольших уровнях шума в данных.
Реальный пример: обнаружение закономерностей взаимодействия
ионов с поверхностью с применением доопределения выбора модели
Цель примера — найти зависимость коэффициента распыления от свойств
материалов (молекулярного веса, температуры сублимации, теплоемкости и энер-
гии связи) по МГУА с доопределением. Более подробно содержание задачи опи-
сано в [8]. Здесь ограничимся задачей, когда вид ионов, их энергия и угол падения
фиксированы.
Данные для обнаружения закономерностей — это значения коэффициента
распыления ряда материалов (в примере их 20) ионами ксенона при фиксирован-
ных параметрах потока ионов: энергия частиц Ei = 300 эВ, масса одной частицы
Mk = 131 а.е.м., угол падения THETA = 0 град. Нужно найти зависимость коэффи-
циента распыления от свойств материалов. В табл. 4 представлены данные взаи-
модействия ионов с поверхностью материалов.
Таблица 4
Химический
элемент x1 x2 x3 x4 x5 x6
С 0,00681100 2,300 12,0000 4473 8,536 7,410
Be 0,02281800 1,848 9,0100 2744 16,440 3,480
Si 0,11722100 2,300 28,0855 3573 19,790 3,910
Ti 0,11756600 4,505 47,8800 3560 25,060 4,340
V 0,14095600 5,960 50,9400 3665 24,480 3,700
Cr 0,23101900 7,200 51,9600 2945 23,550 3,680
Nb 0,23225000 8,570 92,9000 5073 24,440 7,500
AI 0,24074400 2,689 26,9815 2793 24,350 3,260
Fe 0,31687600 7,870 55,8470 3145 24,980 4,150
Co 0,37866000 8,900 58,9332 3230 24,800 4,380
Mo 0,38376000 10,220 95,9400 4700 23,930 6,900
Ge 0,43554000 5,323 72,5900 3120 23,220 3,770
Cu 0,65659500 8,960 63,5460 2816 24,430 3,560
Ta 1,15879700 16,650 180,940 5623 25,290 8,700
Pd 1,17062000 12,200 106,420 3273 25,860 4,800
Mn 1,27194500 7,320 54,9380 2353 26,280 3,150
W 1,34088800 19,340 183,850 5953 24,270 8,760
Pt 1,65818000 21,450 195,080 4100 25,860 5,560
Ag 1,94148000 10,500 107,860 2440 25,360 2,700
Au 2,36352000 19,320 196,960 3150 25,400 3,920
В этой задаче характеристиками взаимодействия ионов с поверхностью яв-
ляются следующие переменные: 1x — коэффициент распыления материала, мг/K;
2x — массовая плотность, г/см3; 3x — молекулярный вес, а.е.м.; 4x — темпера-
тура сублимации, K; 5x — теплоемкость, Дж/моль/град; 6x — энергия связи, эВ.
74 ISSN 0572-2691
Для повышения точности модели, построенной по МГУА, к основным аргу-
ментам добавлены дополнительные: квадраты и парные ковариации основных ар-
гументов. Таким образом, ищется зависимость вида
.),,,,,,,,
,,,,,,,,,,,(
2
665
2
56454
2
4635343
2
362524232
2
2654321
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxfxy ==
(13)
Для определения оптимальной модели построена зависимость внешнего кри-
терия ошибки от сложности модели с применением комбинаторного алгоритма
МГУА. Эта зависимость в области минимума имела участок, содержащий пять
моделей, примерно равных по значению ошибки, и для каждой из них было рас-
считано значение критерия смещения. На рис. 8 показана зависимость критерия
регулярности и смещения от сложности модели.
Получена следующая оптимальная модель:
++−−++= x xx xxxxxy 62524262 891,7309,1435,4856,54302,0434,1
.992,458,07226,0781,4189,7 6454
2
45343 x xxxxxxxx +−+++ (14)
Показатели модели: AR = 0,0002728, BS = 3,55.
Доопределение проводилось по критерию смещения, поскольку цель при-
мера — найти модель, которая давала бы хорошие результаты не только на дан-
ной выборке, но и на других выборках этого объекта. Ошибка модели не превы-
сила 20 %. Полученная модель имеет наименьшее смещение, и это позволяет
ожидать минимальную ошибку при ее применении на новых выборках данных,
т.е. эта модель обладает свойством обобщения.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s
AR
0
1
2
3
4
5
6
7
BS
AR BS
Рис. 8
Разработанная методика была использована в Московском авиационном ин-
ституте для идентификации и прогнозирования характеристик распыления кон-
струкционных материалов космических аппаратов. Модели, построенные по
МГУА, позволили учесть большее количество входных параметров и описать си-
стему частицы-материал точнее и в более широком диапазоне значений парамет-
ров, чем традиционно используемые модели с физической параметризацией [9].
Погрешность моделей МГУА составила около 20–40 %, что редко достигается по
физическим моделям.
Заключение
Описанный метод доопределения выбора модели по критерию смещения
позволяет найти оптимальную модель по комбинаторному алгоритму МГУА в
случае, когда возникает неоднозначность выбора по внешнему критерию регу-
Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 75
лярности. На численных примерах показана целесообразность применения после-
довательности двух критериев: сначала критерий регулярности, а затем для
наиболее точных моделей, отобранных по минимуму этого критерия, рассчиты-
ваются значения критерия смещения. Применение такой последовательности кри-
териев МГУА названо доопределением выбора модели по критерию смещения.
Эффективность метода доопределения показана на примере построения модели
зависимости коэффициента распыления от свойств различных материалов.
О.Г. Івахненко , Є.А. Савченко
ДОСЛІДЖЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ
МЕТОДУ ДОВИЗНАЧЕННЯ ВИБОРУ
МОДЕЛІ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛЮВАННЯ
ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ АЛГОРИТМІВ МГУА
В реальних задачах моделювання часто виникає складність вибору оптимальної
моделі, оскільки найточніших моделей може бути не одна, а декілька. Для та-
ких випадків запропоновано метод довизначення моделі з використанням дода-
ткового критерію зміщення. Спочатку розраховується критерій регулярності,
а потім, якщо вибрати оптимальну модель не вдалося, додатково розраховуєть-
ся критерій зміщення для моделей, які потрапили в інтервал невизначеності.
Наведено приклад довизначення моделей в задачі вибору матеріалу поверхні
літальних апаратів.
A.G. Ivakhnenko , E.A. Savchenko
INVESTIGATION OF EFFICIENCY
OF ADDITIONAL DETERMINATION
METHOD OF THE MODEL CHOICE
IN THE MODELING PROBLEMS
WITH APPLICATION OF GMDH ALGORITHMS
The problem of optimal model selection often occurs in a real problems of modeling
because there can be several equally accurate models. For this case the method of de-
termination of model by additional bias criterion is proposed. At first the criterion of
regularity is calculated, then if the optimal model is not possible to select, the addi-
tional bias criterion is calculated for the models which belong to the interval of un-
certainty. The example of model additional determination is shown on examples of
selection of aircrafts surface material.
1. Ivakhnenko A.G., Ivakhnenko G.A., Savchenko E.A. GMDH algorithm for optimal model choice
by the external error criterion with the extension of definition by model bias and its applications
to the committees and neural networks // Pattern Recognit. and Image Analys. — 2002. — 12,
N 4. — P. 347–353.
2. Івахненко О.Г., Савченко Е.А., Івахненко Г.О. Алгоритм МГУА для вибору оптимальної
моделі за зовнішнім критерієм помилки з додатковим визначенням за зміщенням моделі та
його використання в комітетах і нейромережах // Праці міжнар. конф. з індуктивного мо-
делювання МКІМ. — Львів, 2002. — С. 47–56.
3. Inductive method of choosing a model with the least error and bias for solving interpolation tasks
of artificial intelligence / A.G. Ivakhnenko, E.A. Savchenko, G.A. Ivakhnenko, A.B. Nadiradze,
A.O. Rogov // Pattern Recognit. and Image Analys. — 2003. — 13, N 3. — P. 452–458.
4. Ивахненко А.Г., Степашко В.С. Помехоустойчивость моделирования. — Киев : Наук. дум-
ка, 1985. — 216 с.
5. Ивахненко А.Г., Степашко В.С., Хомовненко М.Г., Галямин Е.П. Самоорганизация моделей
динамики роста сельскохозяйственных культур для управления орошаемым севооборо-
том // Автоматика. — 1977. — № 5. — С. 32–44.
76 ISSN 0572-2691
6. Акишин Б.А., Юнусов Н. Последовательное применение самоорганизации и статистической
проверки гипотез для выбора адекватных математических моделей // Там же. — 1978. —
№ 3. — С. 64–67.
7. Ивахненко А.Г., Степашко В.С. Численное исследование помехоустойчивости многокрите-
риальной селекции моделей // Там же. — 1982. — № 4. — С. 26–35.
8. Обнаружение закономерностей взаимодействия ионов с поверхностью по комбинаторному
алгоритму МГУА / А.Г. Ивахненко, Е.А. Савченко, Г.А. Ивахненко, А.Б. Надирадзе,
А.О. Рогов // Проблемы управления и информатики. — 2003. — № 2. — C. 80–89.
9. Плешивцев Н.В., Бажин А.И. Физика воздействия ионных пучков на материалы. — М. : Ву-
зовская книга, 1998. — 392 с.
Получено 28.12.2007
О выборе целесообразной формы критерия смещения
Метод доопределения выбора моделей по критерию смещения
Численный пример сравнения последовательности критериев
Численный пример исследования помехоустойчивости доопределения выбора модели
Реальный пример: обнаружение закономерностей взаимодействия ионов с поверхностью с применением доопределения выбора модели
Заключение
|