Структурная идентификация интервальных моделей статических систем

Розглянуто особливості моделювання статичних систем методами інтервального аналізу експериментальних даних. Розроблено систему формальних критеріїв для оцінки якості структури інтервальних моделей. Запропоновано методи і алгоритми структурної ідентифікації інтервальних моделей статичних систем для в...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Дывак, Н.П., Манжула, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209125
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем / Н.П. Дывак, В.И. Манжула // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209125
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2091252025-11-15T01:07:25Z Структурная идентификация интервальных моделей статических систем Структурна ідентифікація інтервальних моделей статичних систем Structural identification of interval models of the static systems Дывак, Н.П. Манжула, В.И. Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов Розглянуто особливості моделювання статичних систем методами інтервального аналізу експериментальних даних. Розроблено систему формальних критеріїв для оцінки якості структури інтервальних моделей. Запропоновано методи і алгоритми структурної ідентифікації інтервальних моделей статичних систем для випадків активного і пасивного експериментів. Наведено приклади застосування інтервальних методів структурної ідентифікації для моделювання статичних систем Features of static systems modeling on the basis of methods of interval analysis of experimental data are considered. The system of formal criteria is developed for the estimation of quality of the interval models structure. Methods and algorithms of the structural identification of interval models of static systems are offered for cases of active and passive experiments. Examples of application of interval methods of structural identification are considered for modeling the static systems. 2008 Article Структурная идентификация интервальных моделей статических систем / Н.П. Дывак, В.И. Манжула // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209125 519.876.5 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i4.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов
spellingShingle	Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов Дывак, Н.П. Манжула, В.И. Структурная идентификация интервальных моделей статических систем Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто особливості моделювання статичних систем методами інтервального аналізу експериментальних даних. Розроблено систему формальних критеріїв для оцінки якості структури інтервальних моделей. Запропоновано методи і алгоритми структурної ідентифікації інтервальних моделей статичних систем для випадків активного і пасивного експериментів. Наведено приклади застосування інтервальних методів структурної ідентифікації для моделювання статичних систем
format	Article
author	Дывак, Н.П. Манжула, В.И.
author_facet	Дывак, Н.П. Манжула, В.И.
author_sort	Дывак, Н.П.
title	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем
title_short	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем
title_full	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем
title_fullStr	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем
title_full_unstemmed	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем
title_sort	структурная идентификация интервальных моделей статических систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Индуктивное моделирование с применением интервальных и нечетких методов
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209125
citation_txt	Структурная идентификация интервальных моделей статических систем / Н.П. Дывак, В.И. Манжула // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 2. — С. 105-117. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT dyvaknp strukturnaâidentifikaciâintervalʹnyhmodelejstatičeskihsistem AT manžulavi strukturnaâidentifikaciâintervalʹnyhmodelejstatičeskihsistem AT dyvaknp strukturnaídentifíkacíâíntervalʹnihmodelejstatičnihsistem AT manžulavi strukturnaídentifíkacíâíntervalʹnihmodelejstatičnihsistem AT dyvaknp structuralidentificationofintervalmodelsofthestaticsystems AT manžulavi structuralidentificationofintervalmodelsofthestaticsystems
first_indexed	2025-11-15T02:07:26Z
last_indexed	2025-11-16T02:04:34Z
_version_	1848910727458324480
fulltext	© Н.П. ДЫВАК, В.И. МАНЖУЛА, 2008 Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 105 ИНДУКТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНТЕРВАЛЬНЫХ И НЕЧЕТКИХ МЕТОДОВ УДК 519.876.5 Н.П. Дывак, В.И. Манжула СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Введение При определенных условиях системы можно считать безынерционными и рассматривать как статические. В частности это касается: задач исследования вза- имосвязи между характеристиками технических систем в установившемся режиме и факторами влияния на них; задач моделирования факторов, которые формируют фоновые уровни концентрации вредных выбросов, и их последствий от долговре- менного воздействия; задач исследования взаимосвязи между индикаторами раз- ных сегментов рынка в экономике и факторами их формирования. При этом для исследования и моделирования данных систем необходимым этапом является идентификация моделей «вход–выход» в виде алгебраических соотношений, которые связывают между собой характеристики системы и факто- ры влияния на них. Идентификация моделей «вход–выход» статических систем на основе экспе- риментальных данных осуществляется преимущественно в три этапа: планирова- ние оптимального эксперимента, результаты которого априори гарантируют по- лучение заданных свойств моделей; идентификация структуры модели; иденти- фикация ее параметров. При этом наиболее сложный этап, который не поддается полной формализации, — идентификация структуры модели [1]. Для решения задачи структурной идентификации необходимо установить при- роду погрешностей в экспериментальных данных. Способ их описания определяет общий подход, на котором базируются методы синтеза структуры модели. На се- годняшний день для построения методов структурной идентификации использу- ется два подхода: стохастический и теоретико-множественный (интервальный). При условиях ограниченных по амплитуде погрешностей с неизвестными за- конами распределения применение стохастических методов со статистическими критериями проверки качества структурной идентификации моделей «вход–вы- ход» статических систем становится невозможным. При этих условиях более применим интервальный подход и методы анализа интервальных данных, кото- рые развиваются в пределах данного подхода. В этом случае результаты экспери- мента представлены в виде гарантированных интервалов исходных характеристик системы, а интервальные модели обеспечивают гарантированные коридоры про- гнозирования этих характеристик. Методы построения интервальных моделей ба- зируются на гипотезах, которые легко проверяются на практике и не требуют больших выборок данных для обеспечения адекватности моделей. В то же время анализ методов структурной идентификации моделей «вход– выход» статических систем на основе интервального подхода свидетельствует об 106 ISSN 0572-2691 отсутствии систематизированного подхода к формализации количественных кри- териев для оценки качества структуры интервальной модели. При идентификации структуры не учитывается полнота отображения взаимосвязей между характери- стиками системы и факторами влияния на них, а также комбинаторная сложность алгоритмов структурной идентификации, что в совокупности затрудняет обеспе- чение адекватности моделей. Следовательно, актуально развитие системы формальных критериев для оценки качества структуры интервальных моделей и на этой основе разработка методов и несложных с вычислительной точки зрения алгоритмов структурной идентификации таких моделей. Современные подходы к задаче структурной идентификации статических систем Наиболее распространенными среди моделей статических (безынерционных) систем, которые строятся в условиях неопределенности, являются статистические и вероятностные модели типа «вход–выход», которые задают зависимость между показателями выхода системы и ее входами. При этом выдвигают предположение, что систему можно описать функциональной зависимостью в виде ),,,( zbxy    η= (1) где y — переменная выхода; T 1 ),,( nxxx   = — вектор входных переменных, ко- торые можно изменять в некоторой области χ; b  — вектор параметров функ- ции η; z — вектор неучтенных или неопределенных факторов, шумов, погреш- ностей случайной природы (как правило) и др. Основой для построения математической модели системы часто служат ре- зультаты эксперимента, отображаемые в виде матрицы входных значений и век- тора значений переменной выхода для всех наблюдений: },,,1,...{ 1 NixxX ini == }.,,1,{ NiyY i   == (2) Строкам матрицы X соответствуют векторы ix  входных переменных, кото- рым при экспериментировании отвечают значения переменной выхода .iy Ком- бинацию ,ix  iy называют наблюдением. Представление данных YX  , некоторой функцией ),( β   xf называют задачей идентификации статической системы. На сегодняшний день выделяют задачи идентификации объекта в широком понимании, когда нужно найти вид (структу- ру) функции ),,( β   xf и в узком — определить ее параметры ,β  т.е. структурную и параметрическую идентификации. Для поиска оптимальной структуры модели в регрессионном анализе разра- ботано достаточное количество методов [1, 2]. В основном их применяют для класса полиномиальных моделей. Среди них следует выделить метод полного пе- ребора всех возможных структур полиномиальных моделей известной степени (комбинаторные алгоритмы), методы последовательного исключения параметров из полиномиальной модели и последовательного «наращивания» структуры мо- дели (метод включения). Эти методы базируются на статистических критериях проверки значимости параметров модели и ее адекватности, критериях Стьюдента и Фишера. При неизвестных стохастических характеристиках погрешностей экс- периментальных данных или при условиях ограниченных выборок данных такие критерии не применимы. Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 107 Более эффективны алгоритмы метода группового учета аргументов (МГУА), они пригодны в условиях малой выборки данных. Однако для оценки качества построенной модели в этих методах также используются статистические крите- рии. Следует отметить относительно высокую вычислительную сложность алго- ритмов МГУА [3, 4]. При использовании интервального подхода задачу структурной идентифика- ции модели статической системы формулируют на базе таких предположений [5]: 1) предусматривается, что модель статической системы можно описать неко- торой функцией ),(xyyo  = где oy — истинное неизвестное значение выхода си- стемы; nRx∈  — вектор входных переменных; n задает количество входных пе- ременных, которое необходимо установить, исходя из результатов эксперимента; 2) для идентификации зависимости )(xy  известны результаты эксперимента, представлены в виде матрицы X значений входных переменных и соответствую- щих интервальных значений переменной y },,,1,{ 1 NixxX ini  == },,,1],;{[ NiyyY ii   == +− (3) и при этом известно, что в произвольном i-м наблюдении истинное значение oiy принадлежит интервалу, т.е. ;+− ≤≤ ioii yyy 3) зависимость )(xy  ищут среди линейно-параметрических уравнений в об- щем виде: ,)()( T bxxy   ϕ= (4) где b  — вектор неизвестных оценок параметров; )(T x  ϕ — вектор неизвестных базисных функций известного класса, например полиномиальных. Задача структурной идентификации модели «вход–выход» на основе интер- вальных данных (3) является задачей поиска такого множества зависимостей (4), которое обеспечивает условия совместимости интервальной системы линейных (относительно параметров) алгебраических уравнений (ИСЛАУ): .,,1,)()(11 Niyxbxby iimmii     =≤ϕ++ϕ≤ +− (5) Для фиксированного набора базовых функций решением ИСЛАУ (5) являет- ся множество Ω оценок параметров модели (4) — выпуклый многогранник в про- странстве параметров. Каждая оценка параметров из множества Ω, найденная для фиксированной структуры модели, позволяет получить одну интервальную мо- дель, которая принадлежит функциональному коридору )],();([)]([ xyxyxy +−=  где ( ) ))((min T bxxy b     ϕ= Ω∈ − и ))((max)( T bxxy b     ϕ= Ω∈ + — нижний и верхний пределы функционального коридора. Как и в регрессионном анализе, для поиска оптимальной структуры модели используют методы полного перебора возможных структур, последовательного включения и исключения параметров модели. Однако в данном случае они осно- ваны на анализе свойств системы интервальных уравнений (5). Критерии оценки качества интервальных моделей статических систем Адекватность — основная характеристика модели. Модель адекватна объек- ту, если результаты моделирования служат для прогнозирования поведения ре- ального объекта. Адекватность интервальной модели оценивается на основе ана- лиза совместимости ИСЛАУ, которая построена для заданной структуры модели в виде (4) и интервальных данных (3). Формально адекватность модели заданной 108 ISSN 0572-2691 структуры )(xy  в виде уравнения (4) можно задать таким правилом: «если ,][,),( ∅≠Ω YXxy   то модель )]([ xy   адекватна», где ][,),( YXxy  Ω — область пара- метров модели, получена из анализа интервальных данных ].[, YX  Для количественного оценивания сложности интервальной модели, пред- ставленной линейным по параметрам уравнением (4), используем такие ее харак- теристики: m — количество параметров модели, n — количество входных пере- менных; p — степень полинома в случае, когда базовые функции — полиномы. Для приближенной оценки точности интервальной модели-претендента в за- даче структурной идентификации целесообразно использовать размеры m-мерного прямоугольного параллелепипеда ,+Π описанного вокруг области Ω параметров модели-претендента [5]. Полнота модели — это характеристика, которая определяет степень отобра- жения множества отношений в системе. Авторами предложена количественная характеристика оценки полноты. Обозначим множество «входов», из которых сформированы наборы =іх  ),,,,( 21 inii xxx = в виде },,,,{ 21 ny xxx =χ а подмножества их отображения во входные переменные моделей-претендентов — в виде },,,,,,{ 21 nl χχχχ  ,......21 ynl χ⊆χ⊂χ⊂⊂χ⊂χ где lχ — подмножество мощности l. Соответ- ственно подвектор, сформированный из набора ix для подмножества входных переменных lχ моделей-претендентов, обозначим .lix  Идея количественного оценивания полноты базируется на оценивании степени вариации интервалов «выхода» системы во время повторных наблюдений для фиксированного набора «входов». А в случае известных данных, т.е. для пассивного эксперимента оцени- вается степень вариации спрогнозированных интервалов «выходов», полученных на основе модели-претендента, по отношению к интервалам «выходов» ],[ +− ii yy системы, полученных экспериментально. Базируясь на модели аддитивной смешанной интервальной погрешности в экспериментальных данных ),()( 21 iii xx  ∆+∆=∆ где )(1 ix  ∆ и )(2 ix  ∆ — гра- ничные значения амплитуды соответственно неустранимой (систематической) и случайной составляющих погрешности в данных, а также на предположении, что ,,,1,const, Nixii   =∀=∆=∆ характеристику полноты модели в случае актив- ного эксперимента зададим формулой [6] = ∆ ∆−−∆+ = ∑ = ==N i ij Nj ij Nj A yy N R ii 1 ,...,1,...,1 2 }{max}{min 1 . 2 }{min}{max 11 1 ,...,1,...,1∑ = == ∆ − −= N i ij Nj ij Nj yy N ii (6) Здесь ∆+∆− ijij yy , — нижний и верхний пределы случайных интервалов при повторении наблюдений, iN — количество повторных наблюдений в і-й точке, ∆ — граничные значения амплитуды погрешностей, выбирается при условии ∅≠∆+∆+ = +−  iN j ijij yy 1 ];[ .,,1 Ni =∀ В случае пассивного эксперимента наборы ,,,1, Nixi   = следует считать полными, поскольку при данных условиях невозможно изменить множества «входов» yχ и соответственно оценки отклика системы на них. Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 109 Обозначим множества структурных элементов, т.е. наборы базовых функ- ций моделей-претендентов, которые формируются из множества «входов» =χ y },,,,{ 21 nxxx = в виде },,,,,,{ 21 tm χχχχ  .......21 tm χ⊂⊂χ⊂⊂χ⊂χ В слу- чае использования полиномиальных моделей для n входных переменных и мак- симальной степени p количество t элементов типа ,,,1,, njixx q j g i = =qg, ,,,0 p= во множестве tχ будет достаточно большим: . )!2(2 )!()1( −⋅⋅ ⋅ +−= pn pnpnt Количественную характеристику полноты вычислим по такой формуле [7]: . 2 )}(,max{)}(,min{1 1 ∑ = −−++ ∆ − = N i liilii P xyyxyy N R     (7) Здесь ( ) ))((max);)((min)( TT_ mli b limli b li bxxybxxy mmmm        ϕ=ϕ= Ω∈ + Ω∈ — нижний и верх- ний пределы прогнозируемого интервала переменной выхода на основе адекват- ной модели-претендента с подмножеством структурных элементов ,mχ m — ко- личество структурных элементов; mΩ — область параметров, вычисленная по решениям системы интервальных уравнений Niybxy imlii ,...,1,)(T =≤⋅ϕ≤ +−   . (8) Показатель полноты также позволяет определить степень влияния отдельных входных переменных или отдельного структурного элемента на выходную пере- менную при условиях пассивного эксперимента. С этой целью для отдельных структурных элементов оцениваем показатель полноты с использованием интервальных моделей с элементарной структурой. Например, для случая полиномиальных базовых функций эти интервальные мо- дели имеют вид )],(max);(min[)]();([ 1010 _ 1111 q j g s b q j g s b q j g s q j g s xxbbxxbbxxyxxy mmmm ++= ==== Ω∈Ω∈ +   ,,,0,,,,1, pqgnjs  == где 1=Ωm — область параметров 10 , bb модели, полученная на основе интерваль- ных данных .,,1],)(5,0;)(5,0[ Niyyyyxx iiii q ji g si =∆++∆−+→ +−+− Для приведения к единственной шкале оценивания показателя полноты зна- чение ∆ задаем одинаковым для всех моделей-претендентов равной сложности, но таким способом, чтобы обеспечить совместность системы интервальных урав- нений .,,1,)(5,0)(5,0 10 Niyyxxbbyy ii q ji g siii =∆++≤⋅+≤∆−+ +−+− В систематизированном виде критерии оптимальности структуры интерваль- ных моделей приведены в таблице. 110 ISSN 0572-2691 Таблица Критерий Формальная запись Критерии сложности Минимизация количества входных переменных n → min Минимизация количества параметров модели m → min Минимизация степени полинома p → min Критерий адекватности Совместимость ИСЛАУ ∅≠Ωm Критерий полноты Активный эксперимент — минимизация вариации интерва- лов «выхода» системы во время проведения повторных наблюдений для фиксированного набора «входов» max→AR Пассивный эксперимент — минимизация вариации прогнозируемого и экспериментального коридоров max→PR Критерий точности Минимизация объема П+ min))(( →Ω+ mΠV Постановка задачи структурной идентификации интервальных моделей На основе построенной системы критериев для оценки качества интерваль- ных моделей формализуем задачи оптимизации структуры моделей «вход–выход» статических систем для случая активного и пассивного экспериментов. При этом в уравнении (4) базовые функции, заданные вектором )(T x  ϕ , полиномиальны. Пусть kγ — k-я модель-претендент. Тогда каждая такая модель характеризу- ется множеством ))},((,,,,,{: mmk ПVRpnm Ωχγ + где ))(( mПV Ω+ — объем локализационного гиперпараллелепипеда, который описан вокруг области параметров mΩ k-й модели-претендента. Задачу структурной идентификации интервальных моделей «вход–выход» статических систем на основе экспериментальных данных запишем в таком виде: • для случая активного эксперимента max,→γk AR min,→γkm min,→γkp min))(( →Ω γ+ k mПV (9) при условии совместности системы (8); • для случая пассивного эксперимента min))((min,min,max, →Ω→→→ γ+γγγ kkkk mP ПVpmR (10) при условии совместности системы (8). Данные задачи выступают задачами многокритериальной оптимизации с дискретным множеством решений kγ моделей-претендентов. С помощью средств компьютерного моделирования исследованы особенно- сти изменения характеристики полноты модели в ходе оптимизации ее структуры. Схематически эта зависимость отображена на рис. 1. Первая область — резкое увеличение показателя полноты при умеренном наращивании сложности, объяс- няется тем, что структура наращивается элементами, которые имеют наивысшие ранги. Вторая область — умеренный рост показателя полноты, в результате Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 111 усложнения структуры модели элементами с невысокими рангами. Даная область содержит оптимальную структуру с максимальным показателем полноты или множество структур, близких к оптимальной. Третья область характеризуется не- значительным снижением показателя полноты за счет переусложнения структуры модели элементами, которые имеют низкие ранги. На рис. 2 схематически приведена зависимость точности модели от количе- ства ее структурных элементов, а соответственно, и параметров. На участке 1 число структурных элементов не обеспечивает адекватности моделей. Модели, полученные на участке 2, адекватны для заданной ширины экс- периментального коридора и формируют множество решений, на котором опре- деляется оптимальная модель. Модели, полученные на участке 3, переусложнены. Для них увеличение количества структурных элементов ухудшает точность, т.е. увеличивает объем локализационного гиперпараллелепипеда параметров модели- претендента. Следовательно, увеличение количества структурных элементов или сложности модели не всегда повышает точность интервальной модели. При этих условиях можно утверждать, что существует некоторая оптималь- ная структура или множество равнозначных структур, которые являются решени- ем задач (9), (10). 0 R(m, χm, ∆) 1 2 3 m Рис. 1 0 m V(Π+) 1 2 3 Рис. 2 Методы структурной идентификации интервальных моделей статических систем Многокритериальные задачи структурной идентификаций интервальных мо- делей «вход–выход» статических систем — это оптимизационные задачи с дис- кретным множеством решений. Как правило, решение задач такого типа требует использования эволюционных и генетических алгоритмов, в которых применяет- ся поэтапная оценка качества структур моделей-претендентов по критериям оп- тимальности. Так, в многорядных алгоритмах МГУА используется основной кри- терий, по которому выбирается множество моделей-претендентов, и дополни- 112 ISSN 0572-2691 тельный, на основе которого уточняется оптимальная модель [3]. Поэтому целе- сообразно развитие методов структурной идентификации интервальных моделей для случаев активного и пассивного экспериментов на основе использования ука- занных алгоритмов. Однако следует заметить, что такого типа алгоритмы отли- чаются полным перебором моделей-претендентов, поэтому разработку алгорит- мов структурной идентификации интервальных моделей следует направлять на уменьшение их сложности и обеспечение адекватности и полноты полученных моделей. Метод дополнительного учета аргументов. Для случая активного экспери- мента, когда есть возможность проведения повторных наблюдений, многокрите- риальная задача структурной идентификации интервальных моделей «вход–вы- ход» статических систем при условиях оптимизации полноты, сложности и точ- ности имеет вид (9) при условии совместности системы (8). Идея метода дополнительного учета аргументов базируется на гипотезе, что случайная составляющая экспериментальной погрешности — следствие неучета важных входных переменных. В основу метода положено последовательное взвешивание моделей-претендентов по критериям полноты, адекватности и точ- ности при фиксированной степени полинома. Схематически последовательность синтеза структуры интервальной модели на основе дополнительного учета аргу- ментов приведена на рис. 3. x1 xn B SR SA SV G p )]([ xy   Рис. 3 Блок B — формирование базисных структур )(0 lxy  на основе множества входных переменных, которые удовлетворяют условию .];[ 1 ∅≠∆+∆+ = +−  iN j ijij yy В данном блоке проводится модификация существующего массива эксперимен- тальных данных путем расширения матрицы Х за счет дополнительных входных переменных kx и повторение экспериментов в фиксированных точках с учетом дополнительных «входов». Блок SR — селекция базовых структур по критерию полноты .max→ γk AR Блок SA — селекция структур по адекватности. Блок G — усложнение структуры на основе учета взаимодействий «входов» при заданной степени полинома p. Как правило, при наращивании структуры до- бавляются однотипные элементы. Например, если базовой структурой была линей- ная модель, то наращивание проводится элементами, которые включают взаимо- действия: ,,,1,, njsxx q j g s =⋅ .,,1, pqg = Такое наращивание позволяет по- лучить множество моделей-претендентов, равнозначных по критерию сложности. Блок SV — селекция адекватных моделей-претендентов по критерию точности. Алгоритмы решения многокритериальной задачи (9) при условиях (8), как и практически большинства задач структурной идентификации, относятся к эволю- ционным алгоритмам. Базой для их построения служат индуктивные методы, ко- торые реализуются алгоритмами перебора возможных структур в направлении их усложнения. Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 113 Метод ранжирования структурных элементов моделей. В случае струк- турной идентификации интервальных моделей алгоритмы перебора еще больше усложняются многокритериальностью задач структурной идентификации. Потому чрезвычайно важно уменьшить сложность алгоритмов перебора моделей-претен- дентов путем уменьшения количества структурных элементов, необходимых для синтеза моделей, но при высокой адекватности модели, простоте и получении од- нозначного решения. На основе предложенного показателя полноты интервальных моделей разра- ботана процедура ранжирования отдельных структурных элементов модели, ко- торая позволяет существенно снизить сложность алгоритмов структурной иден- тификации. Гипотеза. Пусть задана степень p сложности структуры интервальной моде- ли в виде (4) с полиномиальными базисными функциями, а также задан набор nχ входных факторов, которые можно использовать для генерирования структурных элементов в таком виде: ,,,1,, njixx q j g i =⋅ .,,0, pqg = Тогда модели-пре- тенденты целесообразно генерировать из множества структурных элементов, для которых частные модели вида ,)( 10 q j g i q j g i xxbbxxy ⋅⋅+=⋅ ,,,1, nji = =qg, ,,,0 p= имеют наивысшие ранги в соответствии с показателем полноты .PR Гипотеза подтверждена компьютерным моделированием, при котором иссле- довалась вероятность включения в адекватные модели структурных элементов в соответствии с их рангами. Результаты моделирования приведены на рис. 4. 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ранг структурного элемента P (%) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Рис. 4 Из рисунка видно, чем выше ранг структурного элемента, который задан по оси абсцисс, тем выше вероятность его включения в конечную структуру интер- вальной модели, что подтверждает предложенную гипотезу. Методы структурной идентификации на основе пассивного эксперимента Рассмотрим два метода структурной идентификации по известным данным эксперимента и соответственно два алгоритма их реализации. В основу первого метода положено последовательное взвешивание моделей-претендентов в соот- ветствии с критериями задачи (10). Последовательность этапов структурной иден- тификации интервальных моделей для случая пассивного эксперимента проиллю- стрирована на рис. 5. Для снижения вычислительной сложности реализации мето- да предлагается использовать процедуру ранжирования входных переменных на основе показателя полноты. 114 ISSN 0572-2691 Ранжирование входних переменных )]([ xy  x1…n x1…l Генерирование моделей- претендетов y(xl) pmax Проверка адекватности Оценка точности l = l + 1 )]([ xy  Рис. 5 Разработанный метод структурной идентификации на основе пассивного экс- перимента в случае ранжирования входных переменных апробирован при постро- ении интервальной модели, которая отображает взаимосвязь между индикатором социально-экономического развития в Украине (денежных расходов и сбереже- ний населения) и факторами рынка труда. Полное множество входных перемен- ных сформировали из семи факторов рынка: 1x — уровень занятости населения (в % к количеству обследованного населения в возрасте 15–70 лет); 2x — спрос на рабочую силу; 3x — трудоустройство не занятых трудовой деятель- ностью граждан; 4x — высвобождение; 5x — деление работников по уровню образования по регионам (в % к учетному количеству штатных работников); 6x — сумма невыплаченной заработной платы, в % к начисленной за отчетный год; 7x — среднемесячная зарплата в среднем на одного штатного работника. В результате идентификации структуры получена такая интервальная мо- дель [7]: .]0245,0;0244,0[]0005,0;0004,0[ ]4826,5;4802,5[]2749,22;2708,22[)](ˆ[ 7571 71 xxxx xxxy ⋅⋅+⋅⋅+ +⋅+⋅=  Для сравнения прогнозных свойств интервальной модели, полученной с по- мощью предложенного алгоритма, рассмотрим относительную погрешность про- гнозирования в сравнении с погрешностью прогнозирования модели, полученной с помощью МНК и содержащей семь параметров. На рис. 6 показано, что интер- вальная модель, которая является более простой, обеспечивает максимальную по- грешность прогнозирования 9,4 %, в то время как модель, полученная с использо- ванием МНК, — 12,8 %. Рассмотрим второй метод решения задачи структурной идентификации (10) с использованием процедуры ранжирования структурных элементов в таком виде: .,,0,,,,1,, pqgnjixx q j g i  ==⋅ Для его реализации на основе анализа извест- ных эволюционных и генетических алгоритмов синтезирована нейросетевая структура алгоритма идентификации интервальных моделей [8]. 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Точки наблюдений О тн ос ит ел ьн ая п ог ре ш но ст ь пр ог но зи ро ва ни я, % Интервальная модель Модель по МНК Рис. 6 Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 115 На рис. 7 приведена структура генетического алгоритма, где использованы такие обозначения: nxxx ,,, 21  — входные переменные, )(,),(1 xyxy t    — частные модели, сгенерированные при заданной степени полинома p, например: ,)( 10 q j g i q j g i xxbbxxy ⋅⋅+=⋅ ,,,1, nji = .,,0, pqg = После ранжирования и определения порогового значения характеристики полноты элементы   ),(1 xy )(, xys   являются основой для генерирования моделей-претендентов соответ- ственно, элементы )(,),(1 xyxy ts    + используются для мутации. Блок G обозна- чает генерирование моделей-претендентов на основе аддитивного попарного вза- имодействия структурных элементов и селекцию адекватных моделей- претендентов по показателю полноты (адекватность модели-претендента устанав- ливается с помощью параметрической идентификации). Блок М обозначает мута- цию на основе замены (дополнения) структурных элементов модели-претендента частными моделями из множества ).(,),(1 xyxy ts    + Блок V обозначает верифи- кацию модели по показателям сложности и точности. Блок p обозначает управле- ние сложностью модели. G G G G G G G G G G G G G M V     x1    p x2 xn )(1 xy  )(2 xy  )(xys  )(xyt  yi yj Σ β Рис. 7 Пример построения интервальной модели фонового (интегрированного) уровня выбросов окислов азота в атмосферу Задания, связанные с экологическим мониторингом среды, выполняют сани- тарно-эпидемиологические станции (СЭС) городов, которые располагают измери- тельной аппаратурой и специально оборудованными лабораториями. Одна из ос- новных задач этих лабораторий — контроль превышений допустимых норм за- грязнений атмосферы как транспортом, так и промышленными предприятиями. По обнаруженным концентрациям вредных выбросов в точках отбора воздуха можно установить картину загрязнения данным веществом в определенных ра- йонах города. При этом для объективной оценки нанесенных убытков окружаю- щей среде важно установить фоновые уровни концентраций вредных выбросов, которые воздействуют на окружающую среду длительные периоды времени. Для построения модели фоновых уровней концентрации вредных выбросов необходимо сформировать множество основных факторов, которые влияют на формирование этих фоновых уровней. На основе результатов, представленных санитарно-эпидемиологической станцией г. Тернополя, установлено, что множество основных входных перемен- ных включает семь факторов :},,,,,,{ 7654321 xxxxxxxy =χ 21, xx — координа- ты точки отбора воздуха для измерения концентрации вредных выбросов; 3x — температура внешней среды на момент проведения отбора воздуха; 4x — влаж- ность воздуха; 5x — атмосферное давление; 6x — направление ветра по шкале; 7x — погода по шкале. 116 ISSN 0572-2691 С использованием журналов регистрации измерений концентрации вредных выбросов была создана база данных, которая содержит выборки эксперименталь- ных данных ][YX  → для разных периодов формирования фоновых уровней. Од- на из таких выборок содержит сорок четыре наблюдения (N = 44). При этом ин- тервальные значения исходной переменной получены по схеме ],;[ 00 ∆+∆− ii yy ,,,1 Ni = где %10=∆ — систематическая составляющая погрешности изме- рения концентрации окислов азота приборами Тайфун Р-20-2 и СФ-26, случайной составляющей погрешности можно пренебречь, поскольку учтены все основные факторы влияния. С помощью генетического алгоритма получена такая структура модели: , )( 2 21465135123117110529 2 58 6746615314213412110 xbxxbxbxbxxbxxbxb xbxbxxbxxbxxbxxbxbbxy ⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+ +⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+= +  и аппроксимация области параметров 14=Ωm m-мерным параллелепипедом — bRbП m  ∈=+ { = ([0,2312; 0,2403]; [0,5133; 0,5358]; [−0,4958; −0,4722]; [−1,2191; −1,1895]; [−0,1518; −0,1378]; [0,6539;0,6857]; [0,1036; 0,1217]; [−0,3016; −0,2895]; [−0,3119; −0,3027]; [0,5373; 0,5532]; [0,1589; 0,1685], [−0,0369; −0,0263]; [0,1007; 0,1136]; [−0,6497; −0,6277]; [0,3120; 0,3270])}. Построенная интервальная модель применялась для исследования влияния факторов на фоновый уровень выбросов окислов азота. Внедрение полученных моделей в СЭС г. Тернополь дает возможность прогнозировать гарантированные границы концентрации вредных выбросов транспорта в зависимости от факторов окружающей среды и сформировать предложения по регулированию транспорт- ных потоков. Выводы 1. Формализована задача многокритериального синтеза структуры моделей «вход–выход» статических систем на основе интервальных данных для более полного учета специфики исследуемого объекта и отображения его свойств в мо- делях, что позволило согласовать требования к точности, адекватности, полноте и сложности этих моделей. 2. Создан новый метод структурной идентификации интервальных моделей статических систем для активного эксперимента, который базируется на дополни- тельном учете аргументов в модели на основе критерия полноты, что обеспечива- ет более полное отображение реальных влияний на систему в построенной модели. 3. Разработан метод и алгоритм структурной идентификации при условиях известных интервальных данных, базирующийся на ранжировании входных пе- ременных и последовательном взвешивании моделей-претендентов по критериям полноты, точности, адекватности и сложности. 4. На основе ранжирования структурных элементов создан новый метод и ге- нетический алгоритм структурной идентификации интервальных моделей, отли- чающийся множественностью критериев селекции и снижением вычислительной сложности по сравнению с комбинаторными методами селекции. Проблемы управления и информатики, 2008, № 2 117 М.П. Дивак, В.І. Манжула СТРУКТУРНА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ІНТЕРВАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧНИХ СИСТЕМ Розглянуто особливості моделювання статичних систем методами інтерваль- ного аналізу експериментальних даних. Розроблено систему формальних кри- теріїв для оцінки якості структури інтервальних моделей. Запропоновано мето- ди і алгоритми структурної ідентифікації інтервальних моделей статичних сис- тем для випадків активного і пасивного експериментів. Наведено приклади застосування інтервальних методів структурної ідентифікації для моделювання статичних систем. N.P. Dyvak, V.I. Manzhula STRUCTURAL IDENTIFICATION OF INTERVAL MODELS OF THE STATIC SYSTEMS Features of static systems modeling on the basis of methods of interval analysis of experimental data are considered. The system of formal criteria is developed for the estimation of quality of the interval models structure. Methods and algorithms of the structural identification of interval models of static systems are offered for cases of active and passive experiments. Examples of application of interval methods of structural identification are considered for modeling the static systems. 1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. — М. : Наука, 1991. — 431 с. 2. Томашевський В.М. Моделювання систем. — К. : Видавнича група ВHV, 2005. — 352 с. 3. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование систем по экспериментальным дан- ным. — М. : Радио и связь, 1986. — 120 с. 4. Степашко В.С. Костенко Ю.В. Исследование свойств комбинаторно-селекционного (мно- гоэтапного) алгоритма МГУА // Моделирование и управление состоянием эколого- экономических систем региона. — Киев: МНУЦ ИТиС, 2001. — С. 96–100. 5. Дивак М.П. Аналіз точності лінійної інтервальної моделі в задачах статичної ідентифіка- ції // Вісник ДУ «Львівська політехніка». Автоматика, вимірювання та керування. — 1999. — № 366. — С. 31–35. 6. Дивак М., Манжула В. Урахування додаткових аргументів в задачах структурної іденти- фікації інтервальних моделей статичних систем // Комп’ютинг. — 2004. — 3, вип. 2. — С. 102–112. 7. Дивак М., Манжула В. Багатокритеріальний підхід до структурної ідентифікації інтерваль- них моделей статичних систем // Міжнар. наук.-техн. журн. «Інформаційні технології та комп’ютерна інженерія». — 2005. — № 2. — С. 37–44. 8. Манжула В. Синтез генетичного алгоритму для задач структурної ідентифікації інтерваль- них моделей статичних систем // Наук.-техн. журн. «Вісник Хмельницького національного університету». — 2007. — № 1. — С. 160–165. Получено 27.12.2007 Введение Современные подходы к задаче структурной идентификации статических систем Критерии оценки качества интервальных моделей статических систем Постановка задачи структурной идентификации интервальных моделей Методы структурной идентификации интервальных моделей статических систем Методы структурной идентификации на основе пассивного эксперимента Пример построения интервальной модели фонового (интегрированного) уровня выбросов окислов азота в атмосферу Выводы

Структурная идентификация интервальных моделей статических систем

Institution

Ähnliche Einträge