Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем

Для низки комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних еліптико-параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язків прямих та спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідн...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209134
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 3. — С. 74-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209134
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2091342025-11-16T01:12:12Z Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем Розв’язання комплексних обернених задач для еліптико-параболічних багатокомпонентних розподілених систем An inverse complex problems solution for multicomponent elliptic parabolic distributed systems Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Для низки комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних еліптико-параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язків прямих та спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна. Calculation algorithms of realization of gradient methods based on solution to a direct and adjoint problems in weak formulations are proposed for inverse problems of multicomponent ellyptic parabolic distributed system’s parameters restore. The proposed approach eliminates a necessity of construction of Lagrange functionals in an explicit form and using Green functions. 2008 Article Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 3. — С. 74-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209134 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i5.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем Проблемы управления и информатики
description	Для низки комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних еліптико-параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язків прямих та спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
title_short	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
title_full	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
title_fullStr	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
title_full_unstemmed	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
title_sort	решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209134
citation_txt	Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 3. — С. 74-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâélliptikoparaboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem AT dejnekavs rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâélliptikoparaboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem AT sergienkoiv rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâelíptikoparabolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem AT dejnekavs rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâelíptikoparabolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem AT sergienkoiv aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentellipticparabolicdistributedsystems AT dejnekavs aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentellipticparabolicdistributedsystems
first_indexed	2025-11-16T02:05:47Z
last_indexed	2025-11-17T02:08:38Z
_version_	1849001580333891584
fulltext	© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2008 74 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 519.6 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека РЕШЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В работах [1, 2] на основании теории оптимального управления [3, 4] получе- ны явные выражения градиентов функционалов-невязок для реализации гради- ентных методов [5] решения обратных задач соответственно для параболических и псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем. В данной работе представлены явные выражения градиентов функционалов- невязок для идентификации параметров эллиптико-параболических систем с ус- ловиями сопряжения неидеального контакта. 1. Задача восстановления внутренних источников / стоков Пусть в области T1 определено линейное параболическое уравнение ),,(1 1, txи x y k xt y j ij n ji i                   (1) а в области T2  эллиптическое уравнение ),,(2 1, txи x y k x j ij n ji i                 (2) где ;2,1),()(),( 1   lCCkхkk llijjiij l .,0const,, 210 1 2 0 1,    xRk ji n i iji n ji ij (2) На границе ),\)((),0( 2121  TT заданы смешанные краевые условия , 1  T y (3) ,),(,),(cos 2 1, Ti n ji j ij txgx x y k      (4) ,),(,),(cos 3 1, Ti n ji j ij txyx x y k      (5) Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 75 где ];,0();()();(,;0const)( 22320 TLxggLx iiT    jii i ; 3 1 при );(,;3,1,; 1ТСjiji    орт внешней нормали (внешняя нормаль) к границе . На участке ),0( TТ  условия сопряжения имеют вид ,][21   yqRqR yy (6) ,][ yq (7) где ;][;const,;0),(,);(, 000210212   RRRRRRCRRL ),(}{ tx  при ),(}{;),0()(),( 2 txTtx Т   при );,0()(),( 1 Ttx Т   ),,(cos 1, i n ji j ijy x x y kq         орт нормали к  (нормаль к ), направленный в область 2. При t  0 задано начальное условие ,),()0,( 210  xxyхy (8) где ).(20 Ly Предполагаем, что на N (n1)-мерных поверхностях ,i разбивающих область  на N2 связных ограниченных строго липшицевых областей j ),,1,( Nii  известны следы решения ),( txyy  начально-краевой зада- чи (1)(8) ,,1),,( Nitxfy i iT   (9) где .,1],,0( NiTiiT  Задача (1)(9) состоит в определении функции ,),( U txuu при которой решение ),;()( txuyuyy  начально-краевой задачи (1)(8) удовлетворяет ра- венствам (9), где ,)),(;,0( 2 2 iT ииLTL i  U .2,1)),(;,0( 2 2  iLTLи ii При решении задачи (1)(9) вместо классического решения у  у(и) начально- краевой задачи (1)(8) будем использовать ее обобщенное решение. Определение 1. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (1)(8) называется функция ),,0()( TWuyy  которая :)({)( 0 xvVxw  }0;2,1),( 1 1 2   viWv i i удовлетворяет системе тож- деств ),,0(),;(),( 1 Ttwиlwyadxw t y      (10) ,0),,(),( 0  twywy (11) 76 ISSN 0572-2691 где )},,0(,2,1),(:),({},:),({ 1 2 1 TtiWvtxvVvVtxvV i iT   ,),(,))(;,0(:);,0(),(),0( 12 22 1                dxLTL t v VTLtxvTW Т .][),();( , ]][[ ),( 32 21 2 1, 3 21 32 3                       wddgwdwdw RR R wиwиl dywd RR wy dx x w x y kwya n ji ij ij Следуя [3, 4], легко установить справедливость следующего утверждения. Теорема 1. При каждом фиксированном Uu начально-краевая задача (1)(8) имеет единственное обобщенное решение ).,0()( TWuyy  Для каждого Uu составим функционал-невязку ,)( 2 1 )( 2 )( 1 0 2 dtfuAtuJ iLii N i T i      (12) где ),;()(,),;(,}{ 1 txuyuyуtxuyuAuAAu iT i N ii    решение задачи (10), (11) при фиксированном .Uu Вместо задачи (1)(9) рассмотрим задачу (10)(12), состоящую в отыскании элемента ,Uu который минимизирует на U значение функционала (12) при ограничениях (10), (11). Приближение 1nu решения Uu задачи (10)(12) находим с помощью итерационного процесса ,,,1,0,1    nnpuu nnnn  (13) начиная с некоторого начального приближения ,0 Uu где направление спус- ка рп и коэффициент n определяются выражениями [5]: — для метода минимальных ошибок ,, 2 2 n n u n nun J e Jp   (14) — для метода скорейшего спуска ,, 2 2 n n n u u nun JA J Jp    (15) — для метода сопряженных градиентов , ),( , ,0, 22 2 01 1 n nu n u u n nnun Ap pJ J J pJp n n n n         (16) Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 77 где .}{, 1 N iiпп fffuAе  Для определения приращения у решения у начально-краевой задачи (1)(8), соответствующего приращению и элемента ,Uu запишем такую начально- краевую задачу: ,0 ,),(, ,),(, 1 22 1, 11 1,                                     T T j ij n ji i T j ij n ji i txu x k x txu x k xt ,),(,0),(cos 2 1, T n ji i j ij txx x k      (17) .0,,0 ,),(],[ 1 ,0][ ,),(,),(cos 21 3 1,            tx tx RR qq txx x k T T n ji i j ij Вместо классического решения начально-краевой задачи (17) будем исполь- зовать ее обобщенное решение. Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (17) назы- вается функция ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),;(),( 1 Ttwиlwadxw t       (18) ,0)0)(,(  w (19) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 12 202 0 1              LTL t v VTLtxvTW Т },0:{ 1 0   T vVvV ).,();( wиwиl  Следуя [3], легко установить справедливость следующего утверждения. Теорема 2. При каждом фиксированном Uu ,( 1 1 ии Т     Т и 2 )2и начально-краевая задача (17) имеет единственное обобщенное решение. Для каждого приближения ип решения Uu задачи (10)(12) рассмотрим такую сопряженную начально-краевую задачу: 78 ISSN 0572-2691 ,0 ,\),(,)( 1 1, 1                      T dT j ij n ji i tx x k xt ,),(,0),(cos 2 1, T n ji i j ij txx x k      ,),(,),(cos 3 1, T n ji i j ij txx x k      ,),(],[ 1 ,0][ 21 Ttx RR qq      (20) ,,1,),(),)((),(cos,0][ 1, Njtxfuyx x k jTjпj n ji i j ij                ,,0),(  xTx где .,если,0)(и,если,1)( 1 1111 iT N i dхх   Определение 3. Обобщенным решением начально-краевой задачи (20) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе тож- деств ),,0(),(),(, )( 12 Ttwlwaw t L            (21) ,0))(,(  Tw (22) где ,),)(()( )( 1 2 jLjnj N j wfuywl      (23) )},,0(,1,0),(:),({ },,1,0][,0:),({ ,))(;,0(:);,0(),(),0( 1 2 12 22 1 1 TtNjWvtxvV NiVtxvV LTL t v VTLtxvTW jd dd dd j iTT Т                  }.1,0),(:)({ },,1,0][,0:)({ 1 20 100     NiWvxvV NjvvVxvV id dd i j Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 79 Области ,j ,1,0  Nj образованы разбиением области  поверхностя- ми ,j .,1 Nj  Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy  с учетом (18), (19) получаем                                   dtuyuyadt t uyuy dtuyuyadtuyuy t dtuyuyfuyt nn TT L nn nn TT L nn Ln N j njn T j j )),()((, ))()(( )),()(()()(, ))()(,)(()( 1 00 )( 1 1 00 )( 1 )( 1 1 0 12 12 2 ,),();( )( 2 1 00 2 dtudtul iL i T inn T       или ,),())()(,)(()( 0 )( 1 1 0 2 dtudtuyuyfuyt T nLn N j njn T j j       где .2,1,   iии iТ nin Следовательно, ,~ nun J  (24) где пиJ   градиент функционала (12) в точке ),~,~(; 21 nnnnuи  ,~ iTin   ;2,1i .),( 0 2 dtJ T un   Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при определении (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (10)(12) на- правление спуска np и коэффициент n можно определить с помощью фор- мул (14), где градиент nuJ  функционала )(иJ в точке и  ип имеет вид (24). Решив задачу отыскания функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vхw  тождествам ),,0(),;~(),(, )( 12 Ttwlwzaw t z n L          (25) ),,()0)(,( 0 wywz  (26) находим ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA  (27) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn пui   80 ISSN 0572-2691 Учитывая (27), реализуем метод скорейшего спуска (13), (15) для определе- ния (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (10)(12). Определив на- правление спуска рп с помощью формул (16), можно решить задачу отыскания функции ),,0(),;()( TWtхpzpz nn  которая 0)( Vхw  удовлетворяет тож- дествам ),,0(),;(),(, )( 12 Ttwрlwzaw t z n L          (28) ).,()0)(,( 0 wywz  (29) На основании решения )( npz задачи (28), (29) получаем вектор ,)}({ 1 N inin pzAp  (30) где .,1,)()( Nipzpz iT nni   С учетом (30) метод сопряженных градиентов (13), (16) может применяться для определения (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (10)(12). Замечание 1. Если в системе уравнений (1), (2) одна из функций 21, uu из- вестна, то при известной функции iu выполняется ,~ jT n   где ij \}2,1{ и . 0 2 )( 2 2 dtJ T Lu jn    2. Параметрическая идентификация внутренних источников / стоков Предположим, что (п1)-е приближение решения Uu задачи (10)(12) ищется в подпространстве UтН с базисом .,)},({ 21 2, 1,1 mmmtx jm ji j i   Произвольная функция U тНu~ представима в виде ).,(),(~ 2 1 1 txtxu j j i m i j i j     (31) Здесь 0 lT j i при .2,1,;  ljlj Следовательно, ).,(~ 1 2 1 txu jm i j i j i j    Тогда для задачи (18), (19) .),(),( )( 1 2 1 2 j j L m i j i j i j wwu     (32) Выбирая в тождествах (21), (22) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy  с учетом (18), (19), (32) получаем ,~ nun J  (33) где .)~(,),(~,}~{~ 2 1 2 1 2 )( 0 2, 1,1 2      j j n m i uL j i T j n m ji j nn i j nji j i Jdt Замечание 2. Если функции u~ множества тН представимы в виде Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 81 ),()(),(~ 2 1 1 xttxu j i j m i j i j     где 2, 1,1 }{ jm ji j i    система линейно независимых функций, то составляющие j ni ~ градиента n~ имеют вид ,),()(~~ )(2 jii L j i j n j n t  .)~( 2 1 1 0 22 dtJ j m i T j nu j in      Замечание 3. Если )),(;,0( ~ 22 2  LTLНтU то )).(;,0(),,(~),,~(~ 22 2 2 1 121    LTLutxuuuu m i ii (34) На основании (34) ,~ nun J  где ,),(~,}~{~,~),~,~(~ 0 )(1 121112221 dt Т Li i n m i i nnnnnn Т    .)~( 1 0 2 )( 22 221 dtJ m i T L i nun      3. Идентификация коэффициента упругоемкости материала области 1 Пусть в области T1 определено параболическое уравнение , 1, f x y k xt y и j ij n ji i                   (35) а в области T2  эллиптическое уравнение . 1, f x y k x j ij n ji i                 (36) На границе Т заданы смешанные краевые условия (3)(5), на разрезе Т  условия сопряжения (6), (7) , а при t  0  начальное условие (8). Предполагаем, что на N (n1)-мерных поверхностях i известны следы решения у  у(x, t) начально-краевой задачи (35), (36), (3)(8), заданные равенст- вами (9). Задача (35), (36), (3)(8), (9) состоит в определении положительного вещест- венного числа ),,0(  Ru U при котором решение у начально-краевой за- дачи (35), (36), (3)(8) удовлетворяет равенствам (9). Вместо классического решения начально-краевой задачи (35), (36), (3)(8) будем использовать ее обобщенное решение. Определение 4. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (35), (36), (3)(8) называется функция  )(uyy ),,0(),;( TWtxuy  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам 82 ISSN 0572-2691 ),,0(),(),(, )( 12 Ttwlwyaw t y и L          (37) ,, 2100   xyу t (38) билинейная форма a(,) определена в п. 1, .][),()( 32 32 21 2         dwdgwdwdw RR R wfwl Теорема 3. При каждом фиксированном Uu решение задачи (37), (38) су- ществует и единственно. Для допустимого приращения и элемента Uu на основании задачи (35), (36), (3)(8) приращение   у ее решения можно, пренебрегая членами второго порядка малости, определить как решение начально-краевой задачи, заданной системой равенств (17), кроме первых двух, и уравнениями .),(,0 ,),(, 2 1, 1 1, T j ij n ji i T j ij n ji i tx x k x tx t у и x k xt и                                      Для этой начально-краевой задачи обобщенная задача состоит в определении функции ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),(, )( 12 Ttwulwaw t и L           (39) ,,00   xy t (40) где .,);( )( 12            L w t y uwul Для каждого приближения ип решения Uu задачи (37), (38), (12) сопря- женную задачу определим системой уравнений (20), кроме первого уравнения, и равенством .\),(,)( 1, 1 dT j ij n ji i tx x k xt и                    Для этой начально-краевой задачи обобщенная задача состоит в опредении функции ),,0( TWd которая 0 )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, )( 12 Ttwlwaw t и L            (41) .,0),(  xTx (42) На каждом шаге итерационного процесса (13) ,, U vu определим Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 83 ,))()(),(()(,))()(),()((),( )2)2 (( dd LL пппп иYvYиYfvLиYvYиYuYvu   где )(,})({)(,}{ 11 vyvyvYff N i N ii iT    решение задачи (37), (38) при и  v, ,}{,),(),( 1 1 )( 0 )( 22 N ii N i Liii T L dt id      )).(;,0(,;}{ 2 2 1 iii N ii LTL   Для всех Uv выполняется равенство ,)()(2),()(2 2 )(2 dLпиYfvLvvvJ   (43) где .),( )( 2 )( 22 dd LL   На каждом шаге итерационного процесса (13) введем в рассмотрение функ- цию у~ как решение начально-краевой задачи ,~ ,),(, )( )( ~~ )( 1 1 1, 1                         T y tx t иу иf x у k xt у и T n n j ij n ji i п ,),(,),(cos ~ 2 1, Ti n ji j ij txgx x y k      ,),(,~),(cos ~ 3 1, Ti n ji j ij txyx x y k      (44) ,,~ ,),(,][ ,),(,]~[ 2100 ~ ~2~1      xyy txq txyqRqR t Ty Tyy которая получена на основании задачи (35), (36), (3)(8) путем отбрасывания чле- нов второго порядка малости. Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (44) назы- вается функция ),,0(),;,(~~ TWtxииуу пп  которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;,(),~(, ~ )( 12 Ttwииlwyaw t y и пп L п          (45) ,, 2100   xyу t (46) где 84 ISSN 0572-2691 .][ , )( )();,( 32 32 21 2 1                  dwdgwdwdw RR R w t иу иfwииl n nnn Пусть .U пп uu Тогда .)1,0( Uпп uu Поскольку  )( пп uuу ),()( 0 пп uуuу  где  )(0 nuу  решение задачи (39), (40) при ,, nn uuuu  то )).()( ~ ()()( 11 ппппп иYиYиYииY   (47) Здесь .}~{)( ~ 11 N iп iT yиY   С учетом (43), (47) получаем .))()( ~ ,)(( )()( lim, )1 0 (2 dn Lnnn nnn nu uYuYfuY uJuuJ uJ       (48) Полагая ),(~ nuyyw  на основании задачи (41), (42), учитывая (48), (39), (40), находим     dtuluYuYfuYuJ Т nnnnnu dn L 0 )1 );())()( ~ ,)((, (2 ., )( , )( 0 ))0 1212 ((                      T nn T dt t uy udt t uy u LL (48) Следовательно, ,~ nun J  (49) где ., )(~ 0 )12(             T n n dt t uy L Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при определении (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (37), (38), (12) направление спуска np и коэффициент n можно определить с помощью фор- мул (14), где градиент nuJ  функционала J(u) имеет вид (49). Решив задачу отыскания функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vхw  равенствам ),,0(),(),(,~ )12( Ttwlwzaw t z L n           (50) ,, 2100   xуz t (51) получаем вектор , nuJA  что позволяет реализовать метод скорейшего спуска (13), (15) для определения (п1)-го приближения 1nu искомого решения .Uu Оп- ределив направление спуска np с помощью формул (16), решим задачу вида (50), Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 85 (51), где вместо n~ фигурирует величина .np На основании решения )( npz этой задачи получаем вектор ,nAp что дает возможность реализовать метод сопря- женных градиентов (13), (16) для определения (п1)-го приближения 1nu реше- ния .Uu 4. Параметрический способ восстановления коэффициента упругоемкости области 1 Пусть в задаче (37), (38), (12) ,тНU причем произвольная функция тт Нu  имеет вид ,0),( 1   txu m i iiт (52) где m ii tx 1)},({   система линейно независимых функций, определенных на об- ласти .1T Предпложим, что ).( 1Ti C  На основании (48) ., )( , )( , 0 )0 1)1 1212 ((                           T n i T m i i n i m i inu dt t uy dt t uy uJ LL n Следовательно, ,~ nun J  (53) где .)~(,, )(~,}~{~ 1 22 0 ) 1 12(               m i i nu T n i i n m i i nn n Jdt t uy L Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при определении (п1)-го приближения 1nu решения тНu задачи (37), (38), (12) направление спуска np и коэффициент n можно найти с помощью формул (14), где градиент nuJ  имеет вид (53). Решив задачу определения функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vхw  равенствам ),,0(),(),(,~ )1 12( Ttwlwzaw t z L i т i i n                (54) ,, 2100   xуz t (55) получаем вектор , nuJA  что позволяет реализовать метод скорейшего спуска (13), (15) для определения (п1)-го приближения 1nu искомого решения тНu U задачи (37), (38), (12). Определив направление спуска np с помощью фор- мул (16), можно решить задачу отыскания функции  ),;()( txpzpzz пn ),,0( TW которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, )(1 12 Ttwlwzaw t z p L i т i i n               (56) ,, 2100   xyz t (57) 86 ISSN 0572-2691 где .}{ 1 m i i nn pp  На основании решения )( npzz  задачи (56), (57) получаем вектор ,nAp что позволяет реализовать метод сопряженных градиентов (13), (16) для определения (п1)-го приближения 1nu решения тНu U задачи (37), (38), (12). 5. Восстановление коэффициентов диффузии Пусть в области T1 определено параболическое уравнение , 1 f x y и xt y i i n i i                  (58) а в области T2  эллиптическое уравнение . 1 f x y u x i i n i i               (59) На границе Т заданы смешанные краевые условия , 1  T y (60) ,),(,),(cos 2 1 Ti n i i i txgx x y u      (61) .),(,),(cos 3 1 Ti n i i i txyx x y u      (62) Условия сопряжения на Т имеют вид ,][)()( 21   yиqRиqR yy (63) ,)]([ иqy (64) где ;2,1,),,(,}{ 21 1   lиuuuиии l i l iiii n ii ).,(cos)( 1 i n i i iy x x y uuq      При t  0 начальное условие ., 2100   xyy t (65) Предполагаем, что на N (n1)-мерных поверхностях i известны следы ре- шения ),( txyy  начально-краевой задачи (58)(65), заданные равенствами (9). Определение 6. При каждом фиксированном nRu 2 U обобщенным реше- нием начально-краевой задачи (58)(65) называется функция ),,0( TWy которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),(),;(, )( 12 Ttwlwyuaw t y L          (66) ),,()0)(,( 0 wywy  (67) где Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 87 .][),()( , ]][[ ),;( 32 3 32 21 2 1 3 21                       dwdgwdwdw RR R wfwl dywd RR wy dx x w x y иwyиa n i ii i Теорема 4. При каждом фиксированном Uu в непустом множестве W(0,T) решение задачи (66), (67) существует и единственно. Для допустимого приращения и элемента Uu на основании зада- чи (58)(65) приращение   у решения у  у(и; x, t), пренебрегая членами второго порядка малости, можно определить как решение начально-краевой задачи ,),(, 1 1 2 2 1 1 T n i i i i i n i i tx x у и x u xt                     ,),(,0 2 1 2 2 2 1 T n i i i i i n i i tx x у и x u x                   ,0 1   T ,),(,),(cos),(cos 2 11 T n i i i i n i i i i txx x y ux x u         (68) ,,0 ,),()],([)]([ ,),(),()(][)()( ,),(,),(cos),(cos 0 2 2 1 121 3 111                  x txuquq txиqRиqRиqRиqR txx x y ux x u t Ty Tyy T n i i i i n i n i i i i где .2,1,}{ 1   luu n i l i l Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (68) назы- вается функция ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),;(),;(, )( 12 Ttwulwuaw t L           (69) ,0)0)(,(  w (70) где 88 ISSN 0572-2691 .)]([][)))()(()]([( 1 ),(cos ),(cos,);( 2 2 1 12 21 3 1 2 1 2 1 1 )( 2 2 3 22                                       dwиqdwиqRиqRиqR RR dwx x у и wdx x у иw x у иwul yyyy n i i i i n i i i i l n i Li l i l (70) Замечание 4. Задачу вида (69), (70) для определения приращения , пренебре- гая членами второго порядка малости, можно получить на основании задачи в слабой постановке (66), (67), где .);( 1 xd x w x у иwul n i ii i          (71) Для каждого приближения nu решения Uu задачи (66), (67), (12) сопря- женная задача имеет вид ,0 ,\),(,)( 1 1 1                     T dT i i n i i tx x и xt ,),(,),(cos ,),(,0),(cos 3 1 2 1 T n i i i i T n i i i i txx x u txx x u           (72) ,,1,))(()]([,0][ ,),(],[ 1 )(,0)]([ 21 Nifuyuq tx RR uquq iTiTiT T iпi T        .,0   x Tt Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (72) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),(),;(, )( 12 Ttwlwuaw t L            (73) .0))(,(  Tw (74) Выбирая ),(~ uyyw  на основании (73), (74), с учетом (69), (70), получаем ,);(, 0 dtuluJ Т nun    (75) Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 89 где ),;(~~ txиуу п  решение начально-краевой задачи ,0~ ,),(, )(~~ )( 1 1 1                                           T y txf x иу u xx у u xt у T i n i ii i i n i ,),(),,(cos )( ),(cos ~ 2 11 Ti i n n i ii n i i i txx x иу ugx x y u         ,),(),,(cos )(~),(cos ~ 3 11 Ti i n n i ii n i i i txx x иу uyx x y u         (76) ,,~ ,),()],([)]([ ,),(),()(]~[)()( 2100 ~ 21~2~1      xyy txuquq txuqRuqRyuqRuqR t Tyy Tyyyy где и  ип. Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (76) назы- вается функция ),,0(~ TWу которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;,(),~;(, ~ )( 12 Ttwииlwyиaw t y ппп L          (77) ),,()0)(,~( 0 wywy  (78) где .)])([( ][))))(()(()])([(( ),(cos )( ),(cos )( )( );,( 1 21212 3 1 2 1 1 32                                                                   dwuq dwRRuqRuqRuqR dwx x иу иdwx x иу иg dxw x иу и x fwииl y yyy n i i i n i n i i i n i n i i n i i nn Следовательно, ,~ nun J  (79) где                                )(][ )(~ , ~ ,(cos )( ,(cos )((~,}~{~ 1 1 3 2 ) 2 1 13 22 2 ) ), ) ( d x uy dx x uy dx x uy x uy i ni n il n i n i nil n n i i nn l ll i i i n L 90 ISSN 0572-2691 ),( )( )( )( 11 11             d x uy d x uy i n i n ).( )(~ 2 2 2       d x uy i ni n Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при определении (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (66), (67), (12) направление спуска np и коэффициент n можно найти с помощью формул (14), где градиент nuJ  функционала J(u) имеет вид (79). Определив направление спуска np с помощью формул (15), можно решить задачу отыскания функции ),,0()( TWJz nu  которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),(),;(, )( 12 TtwlwzJaw t z nu L          (80) ).,(),( 00 wywz t   (81) На основании решения задачи (80), (81) получаем вектор , nuJA  что позволяет реализовать метод скорейшего спуска (13), (15) для отыскания (п1)-го приближе- ния 1nu решения Uu задачи (66), (67), (12). Определив направление спуска np с помощью формул (16), можно решить задачу (80), (81), где вместо nuJ  использу- ется вектор .np На основании решения )( npz этой задачи получаем вектор ,пAр что дает возможность реализовать метод скорейшего спуска (13), (16) для опреде- ления (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (66), (67), (12). Замечание 5. Решение у~ можно определить как решение задачи: найти функцию ),,0(~ TWу которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ),,0(),),(;()(),~;(, ~ 0 )( 12 Ttwиyиawlwyиaw t y ппп L          (82) ),,(),~( 00 wywу t   (83) где . )( )),(;( 1 0 xd x w x uy иwиyиa n i ii n iппп          Тогда вместо (79) получаем ,~ nun J  (84) где . )(~,}~{~ 1 xd xx uy ii ni n n i i nn         6. Задача восстановления параметров составного тонкого включения Пусть в области T1 определено параболическое уравнение , 1, f x y k xt y j ij n ji i                   (85) Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 91 а в области T2  эллиптическое уравнение . 1, f x y k x j ij n ji i                 (86) На границе Т заданы смешанные краевые условия , 1  T y (87) ,),(,),(cos 2 1, Ti n ji j ij txgx x y k      (88) .),(,),(cos 3 1, Ti n ji j ij txyx x y k      (89) Условия сопряжения на Т имеют вид ,][ 321 uyququ yy   (90) ,][ 4иqy  (91) где ).,(cos 1, i n ji j ijy x x y kq       При t  0 задано начальное условие ., 2100   xyy t (92) Предполагаем, что на N (n1)-мерных поверхностях ,i разбивающих об- ласть  на N2 связных ограниченных строго липшицевых областей j ),,1,( Nii  известны следы решения ),( txyy  начально-краевой зада- чи (85)(92), заданные равенствами (9). Задача (85)(92), (9) состоит в определе- нии вектора ),()(}{ 4 1 TTii CCRRии   U при котором решение ),;()( txuyuyy  начально-краевой задачи (85)(92) удовлетворяет равенст- вам (9). Вместо классического решения начально-краевой задачи (85)(92) будем использовать ее обобщенное решение. Определение 10. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (85)(92) называется функция  ),;()( txuyuyy ),,0( TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ),,0(),;(),;(, )( 12 Ttwиlwyиaw t y L          (93) ),,()0)(,( 0 wywy  (94) где , ]][[ ),;( 3 3 211,               dywd uu wy dx x w x y kwyua ji n ji ij .][),();( 32 324 21 342         dwdgwdwudw uu uuu wfwul 92 ISSN 0572-2691 Теорема 5. При каждом фиксированном Uu решение задачи (93), (94) су- ществует и единственно. Для допустимого приращения и элемента Uu на основании начально- краевой задачи (85)(92) приращение   у решения ),(uyy  пренебрегая чле- нами второго порядка малости, можно определить как решение начально-краевой задачи ,),(,)( 1, 1 T j ij n ji i tx x k xt                    ,0 1   T ,),(,0),(cos 2 1, T n ji i j ij txx x k      ,),(,),(cos 3 1, T n ji i j ij txx x k      (95) ,),(,][ 21321 Tyy txququuququ      ,),(,][ 4 Ttxuq  .,0 0   x t Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (95) назы- вается функция ),,0(0 TW которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ,),(),;(),;(, )( 12 T L txwulwuaw t           (96) ,,0 0   x t (97) где .][ )( );( 4 21 21342           dwudw uu ququuuu wul yy Для каждого приближения nu решения Uu задачи (85)(92), (12) рассмот- рим следующую сопряженную задачу: ,0 ,\),(,)( 1 1, 1                      T dT j ij n ji i tx x k xt ,),(,0),(cos 2 1, T n ji i j ij txx x k      ,),(,),(cos 3 1, T n ji i j ij txx x k      (98) ,),(],[21 Ttxququ      Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 93 ,),(,0][ Ttxq  ,,1,))((][,0][ Nifuyq iTiTiT iпi   .,0   x Tt Определение 12. Обобщенным решением начально-краевой задачи (98) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0 )( dVхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),;(, )( 12 Ttwlwuaw t L            (99) .,0   x Tt (100) Выбирая в (99) ),(~ nuyyw  на основании (99), (100), (96), (97) получаем ,);(, 0 dtwuluJ n T nun    (101) где ),;(~~ txuyy n  решение начально-краевой задачи ,~ ,),(, ~~ )( 1 1, 1                      T y txf x y k xt y T j ij n ji i ,),(,),(cos ~ 2 1, T n ji i j ij txgx x y k      ,),(,~),(cos ~ 3 1, T n ji i j ij txyx x y k      (102) ,),(,]~[ 3321~2~1 Tyyyy txuuququyququ   ,),(,][ 44~ Ty txuuq  ., 2100   xyy t Определение 13. Обобщенным решением начально-краевой задачи (102) на- зывается функция ),,0(~ TWy которая 0)( Vхw  удовлетворяет тождествам ),,0(),;,(),~;(, ~ )( 12 Ttwuulwyuaw t y L          (103) ),,()0)(,~( 0 wywy  (104) где             .)(][ )()( ),();,( 44 21 2133442 32 32 dwuudw uu ququuuuuu dwdgwwfwuul yy 94 ISSN 0572-2691 С учетом (103), (104), (100), (96), (97), на основании (99) получаем .])[()( );()),()(~;( , ))()(( ))()(~,)(()( 0 1 0 0 1 0 0 )( 1 )( 1 1 0 42134221 12 2 dtdudtdququuuuuu dtuldtuyuyua dt t uyuy dtuyuyfuyt T nynynnnnnn T n T nnn T T L nn Ln N i nin T i i                            Следовательно, ,~ nun J  (105) где ,][)( ~,][)(~,}~{~ 0 )( 1 2 0 )( 114 1 21 21 dtdquu dtdquu T uynn n T uynnni i nn n n            ,                      2 1 0 2222 1413 .)()~( ,][)(~,][)(~ 22121 i T i n i nu TnnnnTnnn dtdJ uuuuu n Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при отыскании (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (93), (94), (12) на- правление спуска np и коэффициент n можно найти с помощью формул (14), где градиент nuJ  функционала )(uJ имеет вид (105). Решив задачу определения функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vхw  равенствам ),,0(),;(),;(, )12( TtwJlwzJaw t z nn uu L          (106) ),,()0)(,( 0 wуwz  (107) находим ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA  (108) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn пui   С учетом (108) можно реализовать метод скорейшего спуска (13), (15) для определения (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (93), (94), (12). Определив направление спуска np с помощью формул (16), решаем задачу опре- деления функции ),,0(),;( TWtхpzz n  которая 0)( Vxw  удовлетворяет тож- дествам вида (106), (107), где вместо вектора nuJ  следует использовать вектор .np По решению )( npz получаем вектор ,)}({ 1 N inin pzAp  Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 95 где .,1,)()( Nipzpz iT nni   Это позволяет реализовать метод сопряженных градиентов (13), (16) для оп- ределения (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (93), (94), (12). 7. Восстановление начального условия Пусть на областях TT 21 ,  определены соответственно уравнения (85), (86). На границе Т заданы смешанные краевые условия (87)(89). На участке Т усло- вия сопряжения имеют вид ,][21   yqRqR yy (109) ,][ yq (110) где  ,,,));(;,0(,;0,0const, 212 2 2121 RRLTLRRRR заданы. При t  0 имеем начальные условия .)0,(,)0,( 0 21 yxyuxy   (111) Предполагаем, что на N (п1)-мерных поверхностях і известны следы реше- ния начально-краевой задачи (85)(89), (109)(111), заданные равенствами (9). Задача (85)(89), (109)(111), (9) состоит в определении функции ),( 1 Cu U при которой решение ),;()( txuyuyy  начально-краевой задачи (85)(89), (109)(111) удовлетворяет равенствам (9). Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (85)(89), (109)(111) называется функция ),,0(),;()( TWtxuyuyy  которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, )( 12 Ttwlwyaw t y L          (112) ,)0(,)0( 0 21 yуuу   (113) где , ]][[ ),( 3 3 211,               dywad RR wy dx x w x y kwya ij n ji ij         .][),()( 21 2 dwdw RR R wfwl Для допустимого приращения и элемента Uu на основании начально- краевой задачи (85)(89), (109)(111) или обобщенной (112), (113) приращение   у решения )(uyy  можно определить как решение задачи, состоящей в отыскании функции ),,0(0 TW которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(,0),(, )( 12 Ttwaw t L          (114) .0)0(,, 2 10   xu t (115) 96 ISSN 0572-2691 Для каждого приближения ип решения Uu задачи (85)(89), (109)(111), (12) сопряженная начально-краевая задача имеет вид ,0 ,\),(,)( 1 1, 1                      T dT j ij n ji i tx x k xt ,),(,),(cos ,),(,0),(cos 3 1, 2 1, T n ji i j ij T n ji i j ij txx x k txx x k           (116) ,),(],[ 1 ,0][ 21 Ttx RR qq      ,,1,))((][,0][ Nifuyq iTiTiT iпi   .,0   x Tt Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (116) на- зывается функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVхw  удовлетворяет равен- ствам ),,0(,0),(, )( 12 Ttwaw t L           (117) .,0   x Tt (118) Выбирая в (117) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy  с учетом (114), (115), (118) находим      dtuyuyfuyt iLn N i nin T i )( 1 1 0 2 ))()(,)(()(               dt t uyuy uyuy T L nn Lnn 0 )( 1 )(1 12 12 , ))()(( )0()),()(( ).0(),()),()(( )(1 0 12    Lnn T udtuyuya (118) Следовательно, ,~ nun J  (119) где .~),0(~ 1 1 22 dxJ nun n     Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 97 Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (13), (14) при определении (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (112), (113), (12) направление спуска np и коэффициент n можно найти с помощью формул (14), в которых градиент nuJ  имеет вид (119). Решив задачу определения функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0Vw равенствам ),,0(),(),(, )( 12 Ttwlwzaw t z L          (120) ,)0(,, 0100 2 yxz tt   (121) получим вектор ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA  (122) где .,1,)()( NiJzJz iTnn uui   С учетом (122) можно реализовать метод скорейшего спуска (13), (15) для определения (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (112), (113), (12). Найдя направление спуска np с помощью формул (16), можем решить задачу оп- ределения функции ),,0(),;( TWtхpzz n  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам вида (120), (121), где вместо функции п~ используем функцию .np Это позволяет найти вектор nAp и использовать метод сопряженных градиентов (13), (16) для определения (п1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (112), (113), (12). Замечание 6. Если ,тНU где mH  некоторое подпространство с бази- сом m ii x 1)}({  непрерывных на 1 функций, то на основании (118) получаем ,~ nun J  где ,}~{~ i nn  .)~(),0(),(~ 1 22 )( 12     m i i nuLi i n n J 8. Идентификация краевых условий Пусть на областях TT 21 ,  соответственно определены уравнения (85), (86). На границе Т заданы смешанные краевые условия , 1  T y (123) ,),(,),(cos 21 1, T n ji i j ij txux x y k      (124) .),(,),(cos 332 1, T n ji i j ij txuyux x y k      (125) На участке Т условия сопряжения имеют вид ],[21 yqRqR yy   (126) 98 ISSN 0572-2691 .][ 4uqy  (127) При t  0 задано начальное условие ., 2100   xyy t (128) Предполагаем, что на N (n1)-мерных поверхностях ,i разбивающих  на N2 областей ,j равенствами (9) заданы следы решения у задачи (85), (86), (123)(128). Определение 16. Обобщенным решением начально-краевой задачи (85), (86), (123)(128) называется функция ),,0()( TWuyy  которая 0)( Vхw  удовле- творяет равенствам ),,0(),;(),;(, )( 12 Ttwulwyuaw t y L          (129) ,, 2100   xyу t (130) где .][),();( , ]][[ ),;( 32 3 33214 21 42 32 211,                      dwudwudwudw RR uR wfwul dywud RR wy dx x w x y kwyua ij n ji ij Для допустимого приращения и вектора   ))(;,0(} 22 24 1{ LTLu iiu U ))(;,0(( 2 2 32 2 ));,0(  LTLL LTR приращение   у решения )(uyy  начально-краевой задачи (85), (86), (123)(128) можно определить как решение задачи ,),(,)( 1, 1 T j ij n ji i tx x k xt                    ,),(,),(cos 21 1, T n ji i j ij txux x k      ,),(,),(cos 3322 1, T n ji i j ij txuyuux x k      (131) ,),(],[21 TtxqRqR      ,),(,][ 4 Ttxuq  .,0 0   x t Определение 17. Обобщенным решением начально-краевой задачи (131) на- зывается функция ),,0(0 TW которая 0)( Vхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),;(, )( 12 Ttwulwuaw t L           (132) Проблемы управления и информатики, 2008, № 3 99 ,,0 0   x t (133) где .][)();( 4 21 42 32321 32          dwudw RR uR dwyuudwuwul Для каждого приближения ип решения Uu задачи (129), (130), (12) сопря- женная начально-краевая задача имеет вид ,0 ,\),(,)( 1 1, 1                      T dT j ij n ji i tx x k xt ,),(,0),(cos 2 1, T n ji i j ij txx x k      ,),(,),(cos 32 1, T n ji i j ij txux x k      (134) ,),(],[ 1 ,0][ 21 Ttx RR qq      ,,1,))()((][,0][ Nifuytq iTiTiT iпi   .,0   x Tt Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (134) на- зывается функция ),,0( TWd которая 0 )( dVхw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),;(, )( 12 Ttwlwuaw t L            (135) .,0   x Tt (136) Выбирая в тождестве (135) вместо функции w разность ),()( 1 nn uyuy  с учетом (132), (133), (136) получаем ,~ nun J  (137) где ,][)(~ ,~,)(~,~,}~{~ 2 1 21 4 3 3 0 214 1 32 3         RRR dtduy n n T nnni i nn ТТ .)~()()~()~( 0 24 3 0 2322 2 0 212 32 dtddtddtdJ T n T nn T nun       100 ISSN 0572-2691 Наличие градиента nuJ  (137) позволяет реализовать градиентные мето- ды (13) для определения (n1)-го приближения 1nu решения Uu задачи (129), (130), (12). І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека РОЗВ’ЯЗАННЯ КОМПЛЕКСНИХ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЕЛІПТИКО-ПАРАБОЛІЧНИХ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ Для низки комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпо- нентних еліптико-параболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язків прямих та спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна. I.V. Sergienko, V.S. Deineka AN INVERSE COMPLEX PROBLEMS SOLUTION FOR MULTICOMPONENT ELLYPTIC PARABOLIC DISTRIBUTED SYSTEMS Calculation algorithms of realization of gradient methods based on solution to a direct and adjoint problems in weak formulations are proposed for inverse problems of multicomponent ellyptic parabolic distributed system’s parameters restore. The proposed approach eliminates a necessity of construction of Lagrange functionals in an explicit form and using Green functions. 1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комбинированных обратных задач для параболиче- ских многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.  2007.  № 5.  С. 4871. 2. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач для псевдопараболи- ческих многокомпонентных распределенных систем // Проблемы управления и информа- тики.  2007.  № 4.  С. 33–58. 3. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами.  Киев : Наук. думка, 2003.  506 с. 4. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.  New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005.  400 p. 5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач.  М. : Наука, 1988.  288 с. Получено 14.12.2007

Решение комплексных обратных задач для эллиптико-параболических многокомпонентных распределенных систем

Institution

Similar Items