Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода
Отримано достатні умови абсолютної стійкості в середньому квадратичному нульового розв’язку Лур’є–Постнікова, що підлягає впливу дифузійного і пуассонового збурення. Узагальнено результати Д.Г. Коренівського на випадок більш загальних стохастичних диференціальних рівнянь, сильні розв’язки яких нале...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209222 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода / А.Я. Довгунь, Л.И. Ясинская // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-209222 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2092222025-11-17T01:17:46Z Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода Абсолютна стійкість в середньому квадратичному стохастичного диференціального рівняння Лур’є–Іто–Скорохода Absolute stability in mean-square of the Lourie−Ito−Skorokhod stochastic differential equation Довгунь, А.Я. Ясинская, Л.И. Проблемы динамики управляемых систем Отримано достатні умови абсолютної стійкості в середньому квадратичному нульового розв’язку Лур’є–Постнікова, що підлягає впливу дифузійного і пуассонового збурення. Узагальнено результати Д.Г. Коренівського на випадок більш загальних стохастичних диференціальних рівнянь, сильні розв’язки яких належать простору Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосторонні межі. Sufficient conditions of absolute stability in mean square of Lurie–Postnikov zero solution, that are under the influence of the diffusive and Puasson disturbance are obtained. D.G. Korenivskiy results for the case of more general stochastic differential equations, the strong solution of which depends upon Skorokhod area of continuous right functions, that have left-side limits are generalized. 2008 Article Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода / А.Я. Довгунь, Л.И. Ясинская // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209222 519.217, 519.718 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i7.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Довгунь, А.Я. Ясинская, Л.И. Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода Проблемы управления и информатики |
| description |
Отримано достатні умови абсолютної стійкості в середньому квадратичному нульового розв’язку Лур’є–Постнікова, що підлягає впливу дифузійного і пуассонового збурення. Узагальнено результати Д.Г. Коренівського на випадок більш загальних стохастичних диференціальних рівнянь, сильні розв’язки яких належать простору Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосторонні межі. |
| format |
Article |
| author |
Довгунь, А.Я. Ясинская, Л.И. |
| author_facet |
Довгунь, А.Я. Ясинская, Л.И. |
| author_sort |
Довгунь, А.Я. |
| title |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода |
| title_short |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода |
| title_full |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода |
| title_fullStr |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода |
| title_full_unstemmed |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода |
| title_sort |
абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения лурье–ито–скорохода |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209222 |
| citation_txt |
Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода / А.Я. Довгунь, Л.И. Ясинская // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 5-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT dovgunʹaâ absolûtnaâustojčivostʹvsrednemkvadratičeskomstohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâlurʹeitoskorohoda AT âsinskaâli absolûtnaâustojčivostʹvsrednemkvadratičeskomstohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâlurʹeitoskorohoda AT dovgunʹaâ absolûtnastíjkístʹvserednʹomukvadratičnomustohastičnogodiferencíalʹnogorívnânnâlurêítoskorohoda AT âsinskaâli absolûtnastíjkístʹvserednʹomukvadratičnomustohastičnogodiferencíalʹnogorívnânnâlurêítoskorohoda AT dovgunʹaâ absolutestabilityinmeansquareofthelourieitoskorokhodstochasticdifferentialequation AT âsinskaâli absolutestabilityinmeansquareofthelourieitoskorokhodstochasticdifferentialequation |
| first_indexed |
2025-11-17T02:14:15Z |
| last_indexed |
2025-11-18T02:08:36Z |
| _version_ |
1849092175914074112 |
| fulltext |
© А.Я. ДОВГУНЬ, Л.И. ЯСИНСКАЯ, 2008
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.217, 519.718
А.Я. Довгунь, Л.И. Ясинская
АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ
СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ–ИТО–СКОРОХОДА
Введение
Детерминированные дифференциальные уравнения с нелинейной обратной
связью Лурье–Постникова возникли в теории автоматического регулирования [1, 2]
и поведение нулевого решения вторым методом Ляпунова подробно исследовано
в работе [3].
Случай диффузионного стохастического уравнения Лурье–Постникова–Ито
рассмотрен в монографии Д.Г. Кореневского [3] и получены достаточные условия
абсолютной устойчивости в среднем квадратическом.
1. Постановка задачи
Пусть на вероятностном пространстве ( PF,, ) с потоком -алгебр
}0, tt{F задан сепарабельный скалярный случайный процесс ),,()({ txtx
,},0 1Rt который является решением стохастического дифференциаль-
ного уравнения (СДУ) с нелинейной обратной связью [4–6]
),,(~)()()()()]()([)( dudttxuctdwtbxdtgtaxtdx
U
,0t (1)
с начальным условием
const,)0( 0 xx (2)
где ba ,0 — параметры; 1, Rgl — const; dtdududtdudt )(),(),(~ —
центрованная пуассоновская мера с параметром )},,({)( dudtMdtdu
1)},()({ Rtwtw — скалярный стандартный винеровский процесс [6, 7].
Это уравнение возникает из детерминированного уравнения автоматического
регулирования Луръе–Постникова [3]
,)]()([)( dtgtaxtdx (3)
const)0( 0 xx (4)
при возмущении параметра 0a случайными добавками винеровского и пуассо-
новского типов.
6 ISSN 0572-2691
Здесь нелинейная дифференцируемая функция ,1R интегрируемая на
),,0( удовлетворяет ограничениям [1, 3]
0);(;)(;0)0(;0;
)(
0
0
d
d
tlxydyhh ;1R (5)
1)( Ruc — функция переменной 1RUu такая, что
.)()(
2
duuc
U
(6)
Под сильным решением СДУ (1), (2) понимаем сепарабельный случайный
процесс ,)}({ 1Rtx который с вероятностью единица удовлетворяет интеграль-
ному уравнению для 0t
t
U
t t
dudsvsxucswdsbxdsgsaxxtx
00 0
0 ),,(~)()()()()]()([)( (7)
а для 0t удовлетворяет условию (2).
2. Абсолютная устойчивость в среднем квадратическом стохастического
дифференциального уравнения Лурье–Ито–Скорохода
Пусть ),0( TDD — пространство Скорохода непрерывных справа функ-
ций, которые имеют левосторонние пределы [4]; b
aN — минимальная -алгебра,
относительно которой измеримы приращения винеровского процесса и пуассо-
новской меры на отрезке ].,[ ba Для каждого 0s обозначим SG пространство
sN0-измеримых случайных процессов, интегрированных по времени в среднем
квадратическом [6].
В пространстве D рассматривается обычная метрика Скорохода:
)],([sup))](()(sup[inf),(
00
tttytxyx
TtTt
(8)
где ]},0[)},({ Ttt — множество всех возрастающих непрерывных ото-
бражений отрезка [0, T] на себя ))(,0)0(( TT [4].
Пространство D с метрикой сепарабельное, но неполное, поэтому рассмот-
рим расширение пространства D к ,
~
D где имеет место теорема существования и
единственности решения СДУ (1), (2) с точностью до стохастической эквивалент-
ности [5, 7].
Пусть детерминированная система (3), (4) имеет решение ;0)( tx 0a и
0 hgla [1].
Определение 1. Решение 0),,( 00 xttx СДУ (1), (2) называется устойчивым
в среднем квадратическом ),(l.i.m если для 0 существует 0)( такое, что
из условия )(0 x для математического ожидания выполняется неравенство
.})({
2
txM
Определение 2. Решение 0),,( 00 xttx СДУ (1), (2) называется асимптоти-
чески устойчивым в .,.. mil если оно устойчивое в ... mil и .0})({lim
2
txM
t
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 7
Определение 3. Решение 0),,( 00 xttx CДУ (1), (2) называется абсолютно
устойчивым в .,.. mil если оно асимптотически устойчивое в ... mil для любой
функции )},({ которая принадлежит гурвицеву сектору ].,0[ h
Лемма 1. Тривиальное решение 0),,( 00 xttx СДУ (1), (2) будет абсолютно
устойчивым в .,.. mil если существует положительно-определенный функционал
,0)( xV для которого математическое ожидание от производной этого функцио-
нала в силу уравнения (1) отрицательное [3, с. 172–177].
Функционал надо искать в виде [3]
0
2 ,)()()( ydytHxxV ),(txl (9)
где H и найдены ниже. Это означает, что построен функционал, который дает
достаточное условие абсолютной устойчивости.
Лемма 2. Пусть для случайного процесса 1}],,0[),,()({ RTttt
из вероятностного пространства ),,( PF существует стохастический дифференциал
U
dudtuttdwtdtttd ),,(~),()()()()( (10)
где случайные процессы ,)},()({ 1Rtt 1)},()({ Rtt и случайная
функция 1)},,(),({ Rutt такие, что обеспечивают существование соот-
ветствующих стохастических интегралов. Тогда для обычной функции ),( xtG
)],0[( 12,1 RTC существует стохастический дифференциал, если вместо второ-
го аргумента подставить 1)( Rt [6]:
)()(,(
2
1
)())(,())(,())(,( 2 tttGtttGttGttdG xxxt
dtduutttGttGutttG
U
x )()],())(,())(,()),()(,([
).,(~)](,()),()(,([)()())(,( dudtttGutttGtdwtttG
U
x (11)
Докажем следующее утверждение, которое дает условие абсолютной асим-
птотической устойчивости решений СДУ (1), (2).
Teoрема. Положение равновесия 0)( tx СДУ (1), (2) абсолютно асимптоти-
чески ууссттооййччииввоо в среднем квадратическом, если:
1) выполнимы предположения (5), (6);
2) ;0;0;0 glhglaa
3) существует положительное решение Н скалярного обобщенного уравнения
Сильвестра, которое определяется следующим образом:
;0
)()(2
1
2
U
duucba
H
8 ISSN 0572-2691
4) выполняется неравенство
,0)()(
2
1 2
U
duucalgHgl
где произвольное отрицательное число 0 выбирается из интервала
;0)/2( 2 hlH
5) ,))](()))(1)((([))((0
U
tlxuctlxtx .1Rx
Доказательство. Согласно общей замене Ито–Скорохода (11) найдем сто-
хастический дифференциал )(xdV от функционала )(xV вида (9):
)(2
2
1
))()()((2)())())(( 22
0
2 txbgtaxtxHdyydtxdHtxdV
dtdutxuctxtxtxuctx
U
)()]()()(2)())()()([( 22
U
dudtvtxtxuctxHtdwtxhbtx ),(~))]()()()([()()()(2 22
)()(
2
1
))()())((( 222 txblgtaxl
dtdutxucldyyydy
U
txuctxl tlx
)}()()()()()(
))()()((
0
)(
0
U
tlxtxuctxl
dudtvydydyytdwtbxl ),(~))()()()()(
)(
0
))()()((
0
)()(
2
1
)()()()(2 2222222 txblgltxduucbaH
U
dtxtxduuclalΗg
U
)()()()()(2
)(])()()(2[ 2 tdwtxbHtxbl
),,(~))]}(()))(1)((([)())()(2({ 22 dudtvtlxuctxltxucucΗ
U
(12)
где )(y — первообразная функция для :)(y
.)())](()))(1)((([))((0 dutlxuctlxtx
U
(13)
Пусть
)()()(2))((),()(),()(( 222
1 txduucbaHtxtxtxF
U
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 9
U
duucllaΗgtxblgl )()(2)()(
2
1
)( 2222
));(()()( txtx (14)
),()()(2))()(),(( 2
2 txbltxbΗtxtxF (15)
))].(()))(1)((([)())(2)((()),((),(( 2
3 txluctxltxucuΗcutxtxF (16)
Тогда по определению стохастического дифференциала (12) и в силу обозначений
(14)–(16) можем переписать выражение (12) для ))(( txdV в интегральной форме
)())(()),((),(())0(())((
0
1 sxsxlsxlsxFxVtxV
t
.),(~))),((),(()())())((),(())((
0
3
0
2
t
U
t
dudsusxsxFsdwsxsxlsxFdssx (17)
Учитывая равенство нулю математического ожидания от интеграла Вине-
ра–Ито и интеграла по случайной мере, после вычисления математического ожи-
дания (17) получим следущее выражение для математического ожидания от пол-
ной производной dtdV / в силу СДУ (1):
)))}.(();()();();(({
))((
1 txtxtxFM
dt
txdV
M
(18)
Правую часть равенства (18) можем рассматривать как квадратическую фор-
му от фазовой переменной )(tx и фиктивных переменных )}()({)},({ tx
и ).(x Для абсолютной асимптотической устойчивости в ... mil положение рав-
новесия 0)( tx СДУ (1) (см. лемму 1), квадратическая форма в правой части (18)
должна быть отрицательно-определенной.
Составим матрицу F коэффициентов этой квадратической формы:
)(000
0
2
1
00
00
00
22
x
bl
glN
NL
F (19)
где ,)()(2 22
U
duucbaHL .)()(
2
1
U
duucalHgN
Согласно критерию Сильвестра необходимым и достаточным условием от-
рицательной определенности квадратической формы (т.е. )0}/{ dtdvM является
условие смены знаков определителей, которые составлены из элементов
матрицы F, т.е.
;01 ;02 ;03 .04 (20)
Распишем неравенства (20):
.0)()(2 22
1
U
duucbaH
10 ISSN 0572-2691
Например, неизвестный параметр H можем определить из условия
,1)()(2 22
U
duucbaH откуда
,0
)()(2
1
22
U
duucba
H (21)
т.е.
.0)()(2 22
U
duucba (22)
Далее определитель ,02 т.е.
glduucalHg
duucalHg
U
U
)()(
2
1
)()(
2
1
1
2
.0)()(
2
1
2
U
duucalHggl (23)
Если
,0 gl (24)
то для выполнения условия 02 необходимо, чтобы .0
Найдем нижнюю границу для .0 Для этого рассмотрим значение функ-
ционала (9) на линейной характеристике гурвицевого сектора :)( h
,0)(
22
)(
)()( 2
222
2
)(
0
2
)(
tx
l
hH
txl
htHxydyhtHxV
tlx
h
т.е. .0
2
2
l
hH
Значит, 0 надо выбирать из условия 3:
.0
2
2
hl
H
(25)
Проверка условий 03 и 04 доказывают выбор .0 Действитель-
но, ,0
2
1 22
23 bl где .0;0 22
2 lb Тогда .0
Если же ,0)(34 x где ,0)(;03 x то .0
Теорема доказана.
Замечание 1. Если ,0)( uc то теорема совпадает с результатами моногра-
фии [3, теорема 8.1, с. 169–174].
Замечание 2. Чем ближе число 0 к числу ,
2
2hl
H
тем больше приближа-
ется в пространстве коэффициентов СДУ (1) область достаточных условий абсо-
лютной устойчивости к области необходимых и достаточных условий при
2
2
hl
H
3.
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 11
Замечание 3. В теореме условие 2) обозначает асимптотическую устой-
чивость по Ляпунову замкнутого детерминированного уравнения )(tyd
dttylgtay ))](()([ на линейных предельных характеристиках сектора ],,0[ h
а условие 3) обозначает асимптотическую устойчивость в l.i.m. СДУ (1), (2) на
этих же характеристиках при выполнении условий 4), 5).
Заметим, что математической моделью (1), (2) являются реальные процессы,
которые имеют непрерывные винеровские возмущения и пуассоновские переклю-
чения в случайные моменты времени.
Заключение
В настоящей работе рассмотрено стохастическое дифференциальное уравне-
ние Лурье–Ито–Скорохода, для нулевого решения которого найдены достаточные
условия абсолютной устойчивости в среднем квадратическом.
Результаты могут использоваться в теории автоматического регулирования.
А.Я. Довгунь, Л.І. Ясинська
АБСОЛЮТНА СТІЙКІСТЬ
В СЕРЕДНЬОМУ КВАДРАТИЧНОМУ
СТОХАСТИЧНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
РІВНЯННЯ ЛУР’Є–ІТО–СКОРОХОДА
Отримано достатні умови абсолютної стійкості в середньому квадратичному
нульового розв’язку Лур’є–Постнікова, що підлягає впливу дифузійного і пуа-
ссонового збурення. Узагальнено результати Д.Г. Коренівського на випадок
більш загальних стохастичних диференціальних рівнянь, сильні розв’язки яких
належать простору Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосто-
ронні межі.
A.Ya. Dovgun, L.I. Yasinskaya
ABSOLUTE STABILITY IN MEAN SQUARE
OF LOURIE–ITO–SKOROKHOD
STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION
Sufficient conditions of absolute stability in mean square of Lurie–Postnikov zero
solution, that are under the influence of the diffusive and Puasson disturbance are ob-
tained. D.G. Korenivskiy results for the case of more general stochastic differential
equations, the strong solution of which depends upon Skorokhod area of continuous
right functions, that have left-side limits are generalized.
1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М. :
Изд-во АН СССР, 1963. — 159 с.
2. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // ПММ. — 1944. —
8, вып. 3. — С. 1012–1085.
3. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях пара-
метров. Алгебраические критерии. — Киев : Наук. думка, 1989. — 208 с.
4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М. : Наука, 1977. — 352 с.
5. Скороход А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных урав-
нений. — Киев: Наук. думка, 1987. — 328 с.
6. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические дифференциально-функцио-
нальные уравнения. — Рига : Ориентир, 1992. — 328 с.
7. Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Задачі стійкості та стабілізації стохастичних динамічних
систем зі скінченною післядією. — Київ : ТВіМС, 2005. — 580 с.
Получено 04.03.2008
|