Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных

Більшість обернених задач, пов’язаних з інтерпретацією отриманих в експерименті даних, відноситься до класу так званих некоректно поставлених математичних задач. З використанням ідей регуляризації було розглянуто постановки цих задач, що базуються на варіаційному принципі. Це дозволило знаходити наб...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Губарев, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209224
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 27-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209224
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2092242025-11-17T01:22:21Z Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных Задачі інтерпретації та асиміляції експериментальних даних Problems of interpretation and experimental data assimilation Губарев, В.Ф. Методы идентификации и адаптивного управления Більшість обернених задач, пов’язаних з інтерпретацією отриманих в експерименті даних, відноситься до класу так званих некоректно поставлених математичних задач. З використанням ідей регуляризації було розглянуто постановки цих задач, що базуються на варіаційному принципі. Це дозволило знаходити наближені розв’язки, узгоджені з похибкою вихідних даних, і, крім того, здійснювати асиміляцію даних вимірювань в математичну модель досліджуваного об’єкта. Most reverse problems dealing with interpretation of data obtained in experiment are known as ill-posed. Using regularization approach the problem settings based on the variational principle were considered. This allows to define the approximate solutions which are consistent with errors in initial data and besides such approach assumes assimilation of observation data into mathematical model of the plant to be investigated. Работа выполнена в рамках тематики интеграционного проекта НАН Украины и СО РАН «Исследование фундаментальных проблем создания интеллектуальных подводных роботов для изучения и освоения минеральных, биологических и энергетических ресурсов океана» и совместного проекта НАН Украины и РФФИ «Управление динамическими системами в условиях неопределенности и возмущений». 2008 Article Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 27-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209224 519.6:519.7:519.2 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i7.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Губарев, В.Ф. Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных Проблемы управления и информатики
description	Більшість обернених задач, пов’язаних з інтерпретацією отриманих в експерименті даних, відноситься до класу так званих некоректно поставлених математичних задач. З використанням ідей регуляризації було розглянуто постановки цих задач, що базуються на варіаційному принципі. Це дозволило знаходити наближені розв’язки, узгоджені з похибкою вихідних даних, і, крім того, здійснювати асиміляцію даних вимірювань в математичну модель досліджуваного об’єкта.
format	Article
author	Губарев, В.Ф.
author_facet	Губарев, В.Ф.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
title_short	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
title_full	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
title_fullStr	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
title_full_unstemmed	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
title_sort	задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209224
citation_txt	Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных / В.Ф. Губарев // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 27-37. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gubarevvf zadačiinterpretaciiiassimilâciiéksperimentalʹnyhdannyh AT gubarevvf zadačíínterpretacíítaasimílâcííeksperimentalʹnihdanih AT gubarevvf problemsofinterpretationandexperimentaldataassimilation
first_indexed	2025-11-17T02:14:24Z
last_indexed	2025-11-18T02:08:44Z
_version_	1849092183623204864
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, 2008 Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 27 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.6:519.7:519.2 В.Ф. Губарев ЗАДАЧИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ И АССИМИЛЯЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ  Введение Необходимость использования математических методов при обработке экспе- риментальных результатов возникает, когда вместо прямых методов измерений используются косвенные или дистанционные. Особенно это востребовано при ис- следовании распределенных по пространству объектов с ограниченными возмож- ностями диагностических систем. Например, при исследованиях высокотемпера- турной плазмы термоядерных установок невозможно разместить датчики и зонды в самой плазме. Поэтому используется пассивная диагностика, при которой ана- лизируется электромагнитное или корпускулярное излучение исследуемой плаз- мы, или активная диагностика, при которой анализируется доля зондирующего пучка излучения или частиц, которая была рассеяна плазмой. В первом случае имеем классическую задачу спектроскопии, а также корпускулярной диагностики на основе высокочувствительных специализированных детекторов. При активной диагностике используется хорошо коллимированные интенсивные пучки микро- волнового, лазерного или корпускулярного излучения. При исследованиях околоземного пространства используются устанавливае- мые на спутниках приборы, с помощью которых измеряются электромагнитные поля и потоки частиц вдоль траектории движения спутника, а также проводятся спектроскопические и радиометрические измерения, что позволяет иметь локаль- ную и интегральную информацию о параметрах окружающей среды. Исследова- ния Солнца, других планет и объектов дальнего космоса осуществляются главным образом дистанционными методами. Во всех перечисленных, а также многих других случаях для получения дан- ных о параметрах и процессах в исследуемых системах возникает необходимость решения так называемых обратных задач. Описание постановок задач Суть задач интерпретации экспериментальных данных состоит в том, чтобы найти решение следующей математической задачи: ,)(  xFy (1)  Работа выполнена в рамках тематики интеграционного проекта НАН Украины и СО РАН «Исследо- вание фундаментальных проблем создания интеллектуальных подводных роботов для изучения и освоения минеральных, биологических и энергетических ресурсов океана» и совместного проекта НАН Украины и РФФИ «Управление динамическими системами в условиях неопределенности и воз- мущений». 28 ISSN 0572-2691 где y — вектор проводимых измерений, x — интересующие параметры исследуе- мого объекта, F — в общем случае оператор прямой задачи, а  — погрешности, естественным образом присутствующие при измерениях. В операторное уравне- ние (1) могут входить уравнения системы наблюдения, а также полная или час- тичная математическая модель исследуемого объекта. Обратная задача заключается в нахождении оценки x̂ по известному вектору y и определенных свойствах помехи . Наличие неопределенности за счет  по- зволяет получить только приближенную оценку интересующих параметров. Во многих случаях оператор F либо линейный, либо допускает приемлемую линей- ную аппроксимацию, так что (1) можно записать , Axy (2) где A — линейный оператор, а x, y,  — векторы предиктанта, предиктора и оши- бок измерений. Классический подход к решению (1), (2) состоит в нахождении обратного оператора. Тогда для (2), например, решение записывается как прямая задача ,ˆ 1   yAx (3) где y — зашумленный измеряемый сигнал, 1A — обратный к A оператор. Од- нако во многих случаях оказывается, что прямой оператор непрерывный, а обрат- ный ему является не вполне непрерывным. Тогда решение, определяемое (3), стано- вится чувствительным к возмущениям , что может приводить к большой погреш- ности оценивания .x̂ Поэтому вместо классического используют подход, основан- ный на идеях регуляризации. Первое, что предлагается, — заменить классическую задачу решения уравнения (2) или (1) на вариационную, определяемую как ))((inf xFyY Mx    или )(inf AxyY Mx    , (4) где измеряемые параметры принадлежат метрическому пространству Y с метри- кой );,( Y элемент x, доставляющий точную нижнюю грань невязке ))(,( xFyY  или ),,( AxyY  ищется на множестве M метрического пространства X. Если X и Y — гильбертовы пространства, то за оценку x̂ можно брать элемент, который определяется из решения задачи ))((),(inf xFyxFy   или )(,inf AxyAxy   , (5) где  — положительно-определенная весовая матрица, с помощью которой можно учесть точностные свойства измерительной системы или достоверность математической модели исследуемого объекта. Когда можно найти ковариацион- ную матрицу  для вектора ошибок, то целесообразно положить .1 Одна- ко в дальнейшем будем полагать, что информация о погрешностях, присутствую- щих в исходных данных, достаточно скудная и сводится к грубой оценке в виде неравенств, ограничивающих по норме все возможные реализации  некоторой величиной . Через норму будем определять и метрику выбранного пространства, т.е. нормированное пространство рассматривается и как метрическое. В такой постановке расширяется класс разрешимых обратных задач, связан- ных с интерпретацией экспериментальных результатов, но еще не гарантируется устойчивость получаемого решения. Поэтому кроме перехода к вариационной за- Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 29 даче следует принять меры по обеспечению устойчивости. Для этого в соответст- вии с терминологией А.Н. Тихонова введем в рассмотрение множество всех эле- ментов x, сопоставимых по точности с данными измерений, которое представля- ется как ,,)(  xFy (6) где  задает ограничение на все возможные реализации погрешностей при изме- рениях. Любой элемент x, удовлетворяющий (6), может интерпретироваться как приближенная оценка .x̂ Естественно среди всех таких элементов следует отби- рать только устойчивые. Это можно делать различными способами, посвященны- ми методам решения некорректно поставленных задач [1]. Например, достаточно сузить множество M в (4) до компакта ,0M чтобы (4) или (5) давали устойчивые решения. Можно также искать минимизирующий элемент для сглаживающего функционала ],[)(][ xxFyxJ   т.е. решать задачу )},()({inf 1 xxFy Mx   (7) где в качестве )(x можно выбрать неотрицательный квадратичный функционал, определенный на множестве 1M всюду плотным в M. При этом обязательно, что- бы множество dx  )( было компактным в X для любого фиксированного .0d Скаляр 0 называют параметром регуляризации, и его значение можно находить, например, из уравнения невязки ,)ˆ(   xFy (8) где x̂ — элемент, минимизирующий (7) на 1M при фиксированном . Обычно его определяют варьируя (уменьшая)  до тех значений, когда (8) выполняется приближенно. Доказан ряд теорем, в которых сформулированы условия разреши- мости (8) [1]. Однако на практике часто имеем дело с ситуацией, когда известно только, что погрешность  ограничена, а величина  при этом неизвестна. Тогда нельзя использовать (8) и регуляризированное приближенное решение x задачи (7) можно находить по следующему алгоритму. Задать последовательности 0}{ n и 0}{ k при ,k например, в виде убывающих геометрических последовательностей. Затем для 1 решаем (7) при ,1 ,2 3 и т.д. Если при этом решение определяется построением минимизирующей последова- тельности },{ nk x то каждый раз будем ограничиваться приближенным решени- ем, соответствующим такому n, для которого выполняется ,][ 1   JxJ nk (9) где *J означает его оптимальное значение. Здесь возможно два исхода. Если по- лучаемые приближенные решения не проявляют признаков неустойчивого пове- дения при сколь угодно малых , то это означает, что исходная задача (4), (5) ли- бо корректно поставлена, либо построенная минимизирующая последователь- ность сходится к устойчивому решению. И в том, и в другом случае имеем приемлемый результат решения задачи. Когда же при некотором k появляются признаки неустойчивого поведения решения, то следует уменьшить ,1 взяв ,2 и попытаться продвинуться при выборе приближенного решения до меньших k 30 ISSN 0572-2691 за счет лучшей точности, определяемой (9). Процесс этот прекращается, когда дальнейшее уменьшение k не позволяет получать устойчивые решения при меньших .k Тогда приближенный устойчивый элемент ,nk x найденный для предельно допустимого ,k и будет приближенным регуляризированным реше- нием. Если такой элемент не является единственным, т.е. разные минимизирую- щие последовательности не будут сходиться к одному элементу, то любой из них может быть взят искомым приближенным решением задачи оценивания парамет- ра x, сопоставимого по точности с исходными данными. В последнее время повышенный интерес проявляется к множественной оцен- ке искомого решения, когда вместо одного элемента x̂ определяются все при- ближенные элементы, среди которых гарантированно содержится его точное зна- чение. Естественным является желание дать по возможности менее консерватив- ную оценку этого множества. Это возможно, если допускается многократное проведение эксперимента при идентичных условиях. Тогда множество принад- лежности x будет определяться не (6), а системой неравенств ,,,2,1,)( MmxFy m  (10) где M — число проведенных идентичных экспериментов. Пересечение множеств (10) даст наименьшее множество принадлежности. Однако в этом множестве, со- гласно изложенному выше, содержатся как устойчивые, так и неустойчивые ре- шения, если задача некорректно поставлена. Целесообразно исключить неустой- чивые решения. Сделать это можно, используя дополнительную информацию о качественных и количественных свойствах искомого решения. Например, это мо- жет быть ограниченность, монотонность, непрерывная дифференцируемость и другие характерные особенности точного решения. Все эти свойства можно учесть, формируя соответствующим образом стабилизирующий функционал или функцию ).(x Тогда добавляем к системе (10) еще одно неравенство ,)( dx  которое в метрическом пространстве X является всюду плотным компактным множеством. Положительное число d следует выбрать по возможности наимень- шим и гарантирующим принадлежность компакту точного решения. Важную роль при этом играет условие, что среди элементов множества ,XX  на котором определен стабилизирующий функционал ),(x должно находиться и точное ре- шение. Другими словами, построение )(x следует осуществлять с учетом толь- ко реальных свойств искомого решения. Совместное решение системы неравенств (10), (11) даст множественную оценку всех тех элементов, которые по точности сопоставимы с погрешностью исходных данных. Такая задача достаточно сложна, и ее конструктивное решение можно найти только в простых случаях линейных систем не очень большой размерности [2]. Во многих задачах F или A определяют только математическую модель изме- рений. При этом параметры x исследуемого объекта недоступны для прямого на- блюдения, а измеряется некоторое проявление этого объекта через наблюдаемые величины y. Если объект распределен в пространстве, то x является элементом не- которого функционального пространства бесконечной размерности. Естественно, измерительная система для такого объекта должна быть многоканальной, и задача восстановления распределенных в пространстве параметров при неточных дан- ных и большом объеме выполненных измерений практически всегда будет некор- ректно поставленной. Достаточно эффективными для решения таких задач явля- ются методы томографии с регуляризацией, которые позволяют восстанавливать Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 31 распределения полей различной природы. Разработаны и широко используются на практике медицинские томографы [3]. Плазменные томографы используются при диагностике высокотемпературной замагниченной плазмы [4]. Однако во многих таких задачах данных измерений недостаточно, чтобы вос- становить по ним все интересующие параметры исследуемого объекта, т.е. имеем случаи с неполной исходной информацией. Тогда для восполнения недостающих данных обычно используют математические модели объекта или закономерности, связывающие измеряемые величины с параметрами x. В этих случаях в математи- ческое описание (1) или (2), кроме уравнений измерений, будет входить также модель объекта. При этом модель может быть приближенной, т.е. содержать не- определенные факторы, о которых известно только, что они по соответствующей норме не превышают некоторой заданной (как правило, малой) величины. Из-за проблемы некорректности, которая может возникать при определенных условиях, целесообразно и в этом случае перейти к вариационной постановке задачи. В ре- зультате будем иметь задачу математического программирования, т.е. задачу на- хождения минимума невязки измерения на допустимом множестве, которое зада- ется ограничениями в виде уравнений связи или уравнений, определяющих мате- матическую модель объекта. Кроме того, для получения устойчивых решений находить его следует на компактных множествах. Для этого можно использовать, например, дополнительные ограничения. В случае когда привлекаются уравнения модели, можно применить другой подход. Из уравнений измерения и уравнений модели формируется расширенный сглаживающий функционал с положительными весовыми матрицами (как прави- ло, диагональными). Элементы этих весовых матриц находятся из решений урав- нений невязок, определяющих предельно допустимую погрешность в соответст- вующих уравнениях измерений и модели объекта. В результате получим аппрок- симацию экспериментальных данных приближенными интегральными кривыми уравнений модели. Благодаря использованию уравнений невязок получаем реше- ние, согласованное по точности с погрешностями в исходных данных, а также улучшаем условия его устойчивости. Такой способ благотворно влияет на ус- тойчивость получаемого решения, но про этом не гарантируется его непрерыв- ность. В ряде случаев приходится применять специальные меры по обеспече- нию устойчивости. Совместное решение вариационной задачи и уравнений невязок можно ин- терпретировать как ассимиляцию данных в математическую модель. Такая интер- претация становится понятной, если для вариационной задачи записать соответ- ствующие уравнения Эйлера, которые определяют необходимые условия экстре- мума для неограниченных областей. Задача оценивания состояния Продемонстрируем данный подход к интерпретации результатов измерений с ассимиляцией на задаче оценки вектора состояния линейной многомерной дина- мической системы. Дискретный аналог такой системы математически можно за- писать в виде . , 1 kkkk kkk BUAxx Cxy    (11) Здесь ky — вектор наблюдений размерности kxm, — вектор параметров объек- та размерности n; которые характеризуют внутреннее недоступное для непосред- ственного наблюдения состояние системы; C — матрица параметров наблюдателя 32 ISSN 0572-2691 размерности ;nm kU — вектор возбуждающих воздействий на систему раз- мерности r; матрица B имеет размерность ;rn с помощью векторов k и k соответствующих размерностей представляются погрешности при измерениях и воздействия неконтролируемых факторов. Необходимо по неточным данным за счет k и k восстановить или дать оценку состояния системы .kx При этом, как уже отмечалось, не будем предпола- гать, что k и k являются возмущениями типа белого шума. Дальнейшее рас- смотрение будет проводиться для более общего случая, когда о неопределенности известно только, что нормы k и k в соответствующих пространствах ограни- чены, т.е. меньше некоторых заданных величин. Если для оценивания состояния x использовать одни уравнения наблюдения, то в классической постановке о решении можно говорить только при ,mn  т.е. для квадратной матрицы C. Использование вариационного принципа, т.е. нахож- дение оценки x из задачи kkkk N k CxyCxy   ~,~min 1 (12) позволяет расширить условия разрешимости. Действительно, уравнения Эйлера, определяющие минимизирующий элемент для задачи (12), имеют вид .~TT kk yCxCC  (13) Здесь CCT — симметричная, квадратная матрица nn , имеющая действитель- ные собственные значения, а ky~ — измеренные с учетом шума выходные пара- метры. Поэтому уравнение (13) будет иметь либо единственные решение при ,0det T CC либо множество решений, когда ,0det T CC в частности, при .nm  Когда же ,nm  из (13) получаем усредненную оценку. Поскольку (13) дает локальную оценку kx в каждый момент времени без связи с предшествую- щими состояниями, то привлечение уравнений движения позволит в условиях не- точных данных получать оценку ,kx согласованную с динамикой системы. Более того, опираясь на текущие измерения, можно восстанавливать kx и при неполной информации, т.е. при .nm  Однако для этого необходимо сначала накопить ис- ходные данные, чтобы иметь при классической постановке задачи достаточное число уравнений для оценивания. Чем меньше уравнений наблюдения и больше размерность системы n, тем длиннее должен быть минимально необходимый ин- тервал измерений. Самым неблагоприятным для многомерной системы будет случай с одним скалярным наблюдаемым параметром .ky Тогда для оценивания состояния системы необходимо иметь данные наблюдения на интервале длитель- ности не менее n. В классической постановке задачи из (11) можно получить сис- тему уравнений для оценки состояния в момент 1k по данным наблюдения ky на интервале от 1 до n в следующем виде: ,)(1  Uxy nn (14) где ),,,,(col),,,,(col 2121 nnyyyy   Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 33 , 1T T T              n n Ac Ac c  , 000 0000 TT3T2T T               cAcAcAc c nn n     .),,,(col),,,,(col T 1 T 2 T 1 TT 1 TT 2 TT 1   nn BUBUBUU  В (14) n — матрица наблюдаемости системы (11), в которой при скалярном выходе матрица C становится вектор-строкой .Tc Для точной модели 0k с точными измерениями 0k система (14) раз- решима относительно вектора ,1x если ,0det A и имеет место полная наблю- даемость, т.е. ранг n равен n и эта матрица n обратима. Тогда при надлежащей точности вычисления соответствующих обратных матриц, которая должна быть согласованной с числом обусловленности матриц n и 1,1,  niAi , можно по- лучить близкую к точной оценку .ˆ1x Однако в условиях неопределенности, когда вся информация о погрешностях в исходных данных сводится только к их огра- ниченности по заданным нормам, формальный подход к решению (14) в опреде- ленных случаях может давать неустойчивую оценку. Укажем условия, при кото- рых задача (14) становится некорректно поставленной. Это произойдет, когда матрица n близка к вырожденной, т.е. плохо обусловлена. Такое возможно в трех случаях. Первый соответствует наличию у матрицы A хотя и различных, но очень близких собственных значений. Тогда моды, соответствующие близким собственным значениям, на фоне возмущений могут стать неразличимыми. Вто- рой случай связан с размерностью системы. Если n велико, то даже не очень большое число обусловленности матрицы A может трансформироваться в очень большое для матрицы 1nA и обращение ,n а также и вычисление матрицы n превращается в неустойчивую процедуру. Третий случай связан с особенностями вектора c. Если неособым преобразованием V исходной системы (11) перейти к ее жордановой канонической форме, то получим обобщенные степени свободы в ви- де разложения по независимым модам. Тогда те моды, для которых соответст- вующие им компоненты преобразованного вектора Vcc T близки к нулю, будут плохо наблюдаемыми, а это приведет к плохой обусловленности .n Рассмотрим теперь оценку вектора состояния .nx Поступая аналогично пре- дыдущему и используя те же данные наблюдений, получим в классической поста- новке систему уравнений для оценки nx в виде ,)(  RRRnnRn Uxy (15) где ,y — те же векторы, что и в случае (14), , T 1T 1T                  c Ac Ac Г n Rn  , 0000 000 0 T 1T3T2T 1T2T2T1T                           c AcAcAc AcAcAcAc nn nn Rn .),,,(col),,,,(col T 1 T 2 T 1 TT 1 TT 2 TT 1    nnRnnR BUBUBUU 34 ISSN 0572-2691 Конструкцию Rn можно рассматривать как матрицу наблюдаемости той же системы, но с движением в обратном направлении. При этом если система (11) устойчива, т.е. собственные значения матрицы A находятся внутри единичного круга, то в обратном времени она будет неустойчивой с собственными значения- ми за пределами единичного круга. Условия, при которых задача (14) становится некорректно поставленной , в полной мере распространяются и на задачу (15). Аналогично можно рассмотреть задачу оценивания любого состояния kx из интервала ],1[ n . Таким образом, для многомерной системы задача оценивания состояния системы по неполным и неточным данным при определенных условиях может превращаться в некорректно поставленную и при численной реализации давать неустойчивые решения, поэтому применим описанный выше вариацион- ный подход. Из уравнений наблюдения и движения формируем функцию     N k kkkkkkkkkk BUAxxBUAxxCxyCxy 1 1211 })(,)~(,~{ (16) и будем находить элемент, доставляющий минимум этой функции. Квадратные матрицы 1 и ,2 входящие в (16), считаем диагональными с положительными элементами, а ky~ — измеренные с погрешностью выходы. При этом 1 имеет размерность m по числу измеряемых параметров, а матрица 2 — размерность вектора состояния системы. Кроме того, считаем известной оценку погрешностей измерения и возмуще- ния в уравнениях движения, которые зададим в виде следующих неравенств:       N k jkj i N k ki nj N mi N 1 22 2 1 2 ,,1, 1 ,,1, 1 (17) или .,1,max ,,1,max ],1[ ],1[ nj mi jkj Nk iki Nk     (18) Условия (17) соответствуют ограничениям на среднеквадратическую по- грешность в исходных данных, а неравенства (18) дают оценку сверху на макси- мально допустимые отклонения от точных значений. Другими словами, (17) явля- ется аналогом дисперсии на конечной выборке данных, а (18) ограничивает ло- кально допустимое возмущение в каждой точке процесса. Тогда в соответствии с процедурами регуляризации и правилом нахождения приближенных решений со- гласованных по точности с исходными данными, элементы матриц 1 и 2 должны находиться из уравнений ,,1,])()ˆ(ˆ[ 1 ,,1,])ˆ(~[ 1 22 1 1 22 1 njBUxAx N mixCy N jjkjkjk N k iikki N k          (19) Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 35 или .,1,)()ˆ(ˆmax ,,1,)ˆ(~max 1 ],1[ ],1[ njBUxAx mixCy jjkjkjk Nk iikki Nk        (20) В (19) и (20)  kx̂ — это элемент, доставляющий минимум (16) с фиксирован- ным ).,( 21  В результате задача оценивания текущего вектора kx̂ сводит- ся к нахождению минимизирующего аргумента для (16) и решению уравнений (19) или (20), из которых определяется матрица . Если найти первую вариацию функции (16) и приравнять ее нулю, то получим уравнения Эйлера для вариаци- онной задачи. В результате будем иметь уравнения .0ˆˆ ,0)ˆ~()(ˆˆ ),ˆ~()()( ˆ)(ˆ])([ˆ 1 111 T1T1 2112 1 T1T1 212 1T1 2 12 1T1 22 1T1 21             NNN kkkk kkk BUxAx xCyCABUxAx xCyCABUABU xAAxAAx (21) Последние два уравнения в (21) можно рассматривать как некоторый аналог краевых условий, заданных на концах интервала наблюдения. Совместное реше- ние (21) и (19) или (21) и (20) позволяет найти соответствующую оценку векто- ра .ˆkx Полученные системы уравнений (19), (21) или (20), (21) могут интерпрети- роваться как обобщенный фильтр Калмана, распространенный на случай, когда вся информация о помехах и возмущениях сводится к неравенствам (17) или (18). Другими словами, полученные системы уравнений можно рассматривать как ас- симиляцию данных наблюдений в математическую модель исследуемого объекта. Фактически решение систем уравнений (19), (21) или (20), (21) дает аппрок- симацию данных измерений на интервале ],1[ N приближенными интегральными кривыми уравнений движения, причем весовые коэффициенты целевой функции, определяемые элементами матриц 21,  , задаются так, чтобы все невязки вы- полнялись в пределах допустимой погрешности. При больших размерностях матриц 21,  существенно усложняется задача оценивания за счет того, что возрастает число неявных функциональных уравне- ний (19) или (20), которые необходимо решить. В таких случаях можно приме- нить упрощенный итеративный алгоритм их решения. Сначала выбираем значе- ния диагональных элементов матрицы 2 равными ,,1,12 njjj   а для матрицы 1 — равными .,1,11 miii   Параметр  варьируем и подбираем такое его значение, при котором, по крайней мере, одно из уравнений (19) или (20) выполняется, а все остальные дают значение невязки, равное или меньшее, чем i или .j Если при этом значение невязки не сильно отличается от правых частей соответствующих уравнений, то выбранные i2 и j1 при найденном , принимаем за решение (19) или (20). Если же значения каких-либо невязок суще- ственно отличаются от значений правых частей в (19) или (20), то следует скор- ректировать соответствующие значения i1 или j2 в сторону их увеличения и 36 ISSN 0572-2691 снова подобрать приемлемое . В принципе эту процедуру можно сделать итера- тивной, но главное, чтобы хотя бы одно уравнение невязки приближенно выпол- нялось, а все остальные не превышали накладываемое на них ограничение. Рассмотренную процедуру ассимиляции данных в модель легко распростра- нить на случай, когда измерения проводятся не на каждом шаге, а гораздо реже, например, в моменты времени },,,,,{ 21 Ii kkkk  такие, что все ),1( Ιiki  принадлежат границам интервалов и .NI  В таких случаях уравнения Эйлера соответствующей вариационной задачи становятся уравнениями составного типа. Для непрерывно протекающих процессов они трансформируются в многоточеч- ную краевую задачу. Возвращаясь к дискретной системе, запишем уравнения оценивателя, получаемые приравниваем нулю коэффициентов разложения первой вариации расширенной сглаживающей функции аналогичной (16). Для ],1[]1,1[]1,1[]1,1[ 1211 Nkkkkkkk Iii    будем иметь ,)(ˆ)(ˆ])([ˆ 12 1T1 212 1T1 22 1T1 21       kkkkk BUABUxAAxAAx а для ),1( Iikk i  —    11 ˆ)(ˆ])([ˆ 2 1T1 22 1T1 2 iii kkk xAAxAAx ).ˆ~()()( 1 T1T1 212 1T1 2 ikikikk xCyCABUABU i     (22) Кроме того, на границах задаются дополнительные условия .0ˆˆ ,0ˆˆ 1 112    NNN BUxAx BUxAx По аналогии можно построить уравнения оценивателя для случаев с более сложной реализацией измерений, например на изолированных кластерах. Заключение Как говорилось ранее, вариационный принцип нахождения согласованного с погрешностями приближенного решения задачи интерпретации, в том числе с ас- симиляцией данных в модель, обеспечивает ее разрешимость, но не гарантирует при этом устойчивости получаемого решения. Условия, при которых может воз- никать неустойчивость, по существу уже приведены при анализе задачи (14). В значительной мере это относится и к задаче (19), (21) или (20), (21). Чтобы ус- тановить их применительно к конкретной задаче, целесообразно провести сле- дующие действия. С помощью невырожденного преобразования привести исход- ные уравнения (11) к форме, соответствующей управляемой или наблюдаемой жордановой реализации, затем произвести редукцию получаемой системы, ис- ключив те моды, которые дают отклик на уровне имеющихся погрешностей на все возможные воздействия, что соответствует их плохой управляемости или на- блюдаемости. Кроме того, объединяются в одно уравнение те моды, у которых настолько близкие собственные значения, что разность их отклика дает сигнал на уровне возмущений. Оставшиеся уравнения группируются по субмоделям. Это позволит реализовывать итеративные схемы оценивания по отдельным субмоде- лям по аналогии с итеративной идентификацией, рассмотренной в [5, 6]. В ре- зультате можно построить регуляризующие алгоритмы, позволяющие получать устойчивую оценку вектора состояния системы. Однако для этого необходимы дополнительные исследования. Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 37 В.Ф. Губарев ЗАДАЧІ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ТА АСИМІЛЯЦІЇ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ Більшість обернених задач, пов’язаних з інтерпретацією отриманих в експери- менті даних, відноситься до класу так званих некоректно поставлених матема- тичних задач. З використанням ідей регуляризації було розглянуто постановки цих задач, що базуються на варіаційному принципі. Це дозволило знаходити наближені розв’язки, узгоджені з похибкою вихідних даних, і, крім того, здійснювати асиміляцію даних вимірювань в математичну модель досліджу- ваного об’єкта. V.F. Gubarev PROBLEMS OF INTERPRETATION AND EXPERIMENTAL DATA ASSIMILATION Most reverse problems dealing with interpretation of data obtained in experiment are known as ill-posed. Using regularization approach the problem settings based on the variational principle were considered. This allows to define the approximate solu- tions which are consistent with errors in initial data and besides such approach as- sumes assimilation of observation data into mathematical model of the plant to be in- vestigated. 1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М. : Наука, 1979. — 286 с. 2. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев: Наук. думка, 2006. — 264 с. 3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томогра- фии. — М. : Наука, 1987. — 160 с. 4. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. — Ново- сибирск : Наука, 1982. — 237 с. 5. Губарев В.Ф. Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным дан- ным. Часть 1. Теоретические основы // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16–31. 6. Губарев В.Ф., Тигунов П.А. Метод итеративной идентификации многомерных систем по не- точным данным. Часть 2. Алгоритмы // Там же. — 2007. — № 2. — С. 5–15. Получено 21.02.2008 После доработки 02.04.2008

Задачи интерпретации и ассимиляции экспериментальных данных

Репозитарії

Схожі ресурси