Об идентификации линейных стационарных систем

Розглянуто алгоритм ідентифікації лінійної стаціонарної системи за результатами виміру перехідного процесу. Цей алгоритм можна інтерпретувати як нелінійний аналог методу Проні. Запропонований алгоритм, як і метод Проні, дозволяє зробити декомпозицію задачі ідентифікації, однак виключає з розгляду пр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Апостолюк, А.С., Ларин, В.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209225
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об идентификации линейных стационарных систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 38-48. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209225
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2092252025-11-17T01:14:12Z Об идентификации линейных стационарных систем Про ідентифікацію лінійних стаціонарних систем On linear stationary systems identification Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто алгоритм ідентифікації лінійної стаціонарної системи за результатами виміру перехідного процесу. Цей алгоритм можна інтерпретувати як нелінійний аналог методу Проні. Запропонований алгоритм, як і метод Проні, дозволяє зробити декомпозицію задачі ідентифікації, однак виключає з розгляду проміжну лінійну модель з дискретним часом, що використовується в методі Проні. Наведено узагальнення алгоритму на випадок, коли відомі деякі з коренів характеристичного поліному системи, яка ідентифікується. На прикладах, опублікованих раніше, проведено порівняння точності оцінок, одержаних запропонованим методом та іншими відомими методами розв’язання цієї задачі. The linear stationary system identification algorithm is considered as the result of transient process measurement. This algorithm can be interpreted as nonlinear analog of the Prony’s method. The suggested algorithm as well as the Prony’s method allows making decomposition of an initial problem of identification. However this algorithm excludes from consideration the intermediate discrete time linear model which is used by Prony’s method. Generalization of the algorithm is obtained in case of some known roots of identified system characteristic polynomial. The comparison of precision of estimations obtained by proposed method and other well-known methods of solving this problem are shown on the examples published earlier. 2008 Article Об идентификации линейных стационарных систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 38-48. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209225 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i7.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Об идентификации линейных стационарных систем Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто алгоритм ідентифікації лінійної стаціонарної системи за результатами виміру перехідного процесу. Цей алгоритм можна інтерпретувати як нелінійний аналог методу Проні. Запропонований алгоритм, як і метод Проні, дозволяє зробити декомпозицію задачі ідентифікації, однак виключає з розгляду проміжну лінійну модель з дискретним часом, що використовується в методі Проні. Наведено узагальнення алгоритму на випадок, коли відомі деякі з коренів характеристичного поліному системи, яка ідентифікується. На прикладах, опублікованих раніше, проведено порівняння точності оцінок, одержаних запропонованим методом та іншими відомими методами розв’язання цієї задачі.
format	Article
author	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_facet	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_sort	Апостолюк, А.С.
title	Об идентификации линейных стационарных систем
title_short	Об идентификации линейных стационарных систем
title_full	Об идентификации линейных стационарных систем
title_fullStr	Об идентификации линейных стационарных систем
title_full_unstemmed	Об идентификации линейных стационарных систем
title_sort	об идентификации линейных стационарных систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209225
citation_txt	Об идентификации линейных стационарных систем / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 38-48. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT apostolûkas obidentifikaciilinejnyhstacionarnyhsistem AT larinvb obidentifikaciilinejnyhstacionarnyhsistem AT apostolûkas proídentifíkacíûlíníjnihstacíonarnihsistem AT larinvb proídentifíkacíûlíníjnihstacíonarnihsistem AT apostolûkas onlinearstationarysystemsidentification AT larinvb onlinearstationarysystemsidentification
first_indexed	2025-11-17T02:14:27Z
last_indexed	2025-11-18T02:08:48Z
_version_	1849092187740962816
fulltext	© А.С. АПОСТОЛЮК, В.Б. ЛАРИН, 2008 38 ISSN 0572-2691 УДК 517.977.58 А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ Введение. Проблемы идентификации, в той или иной постановке, занимают важное место в различных прикладных задачах (см., например [1–7], где есть дальнейшие ссылки). Вероятно, простейшей из такого рода задач является опре- деление параметров линейной стационарной системы. Так в [8] характеристики линейного объекта эволюционного типа описываются моделью ,)( 1 0      n j tj jebty (1) где jjb , — ее параметры. Идентификация таких объектов осуществляется по результатам измерений ey величины y в некоторые моменты времени :it ,)()(e iii tyty  .,,1 i (2) Здесь i — погрешности измерений. Обычно требуется определить количество экспонент в (1) (порядок модели) и получить оценки параметров ., jj b Можно отметить, что такого рода задачи имеют широкую область применения, например, процессы нефтегазодобычи [8], химия полимеров [9], определение параметров ра- диоактивного распада [10], идентификация гибких конструкций [11], оценка па- раметров гармонического сигнала [12] и др. Далее рассматривается только вторая часть сформулированной проблемы, а именно, внимание сосредотачивается на получении оценок ,, jj b полагая из- вестным порядок модели. Дело в том, что определение порядка модели — само- стоятельная задача [13, 14], и для ее решения могут использоваться различные подходы (процедура упорядоченной минимизации среднего риска [8], информа- ционные критерии [15] и др.). Что касается первой части упомянутой проблемы, то следует отметить одно из первых ее решений, которое было предложено еще в 1795 г. [16] (см. также [10, 17]). Этот подход (метод Прони) основан на введении промежуточной конечно-разностной системы, после оценки параметров которой строились оценки j и далее находились оценки параметров .jb Сравнение ме- тода Прони с другими методами приведено в [12]. Здесь надо отметить трудности, связанные с переходом от промежуточной конечно-разностной системы к исход- ной с непрерывным временем [18–20], что, в свою очередь, для повышения точ- ности результата может потребовать использования тех или иных оптимизацион- ных процедур [14, 21]. Кроме того, следует отметить подход [8], не требующий использования конечно-разностной системы, связанный с одновременным нахож- дением оценок ., jjb  Статья скомпонована следующим образом. Вначале рассматривается алго- ритм, который позволяет одновременно находить оценки ., jjb  На примере [10] показана его высокая чувствительность к выбору начального приближения. В этой связи далее предполагается, что измерения в (2) происходят через равные интервалы времени, описывается метод Прони, позволяющий путем использова- Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 39 ния промежуточной конечно-разностной системы произвести декомпозицию ис- ходной задачи на задачу нахождения оценок j и задачу определения оценок .jb Кратко излагаются основные алгоритмы, позволяющие оптимизировать эту проце- дуру (тотальный метод наименьших квадратов [22, 23], метод матричных пуч- ков [24] и др.). Далее предлагается нелинейный аналог метода Прони, который, с од- ной стороны, позволяет произвести декомпозицию исходной задачи, а с другой, не использует конечно-разностную систему. В итоге этот алгоритм обобщается на случай, когда часть параметров j в модели (1) задана (пример в [8]). В этом случае, строго говоря, метод Прони неприменим. 1. Определение параметров модели. Легко видеть, что функция ),(ty опре- деляемая (1), удовлетворяет дифференциальному уравнению 0)( 1 0 )(     j j n j n yy (3) с начальными условиями .1,,1,0),0()0()(  nmxy m m  Очевидно, что коэффициенты j однозначно связаны с параметрами j че- рез формулы Виета, а параметры jb определяются начальными условиями )0(mx и параметрами .j Таким образом, необходимо найти оценки параметров j и )0(mx по наблюдаемым значениям (2). Для этого перепишем (3) в виде системы n дифференциальных уравнений первого порядка: ,Axx  ,])0()0()0([)0( T 110  nxxxx  (4) ,Cxy  ],001[ C . 1000 0010 10               n A     Здесь и далее верхний индекс T означает транспонирование. Отметим, что со- гласно (4) имеем ).0()( xCety iAt i  (5) Введем квадратичную целевую функцию ,))(~)(( 2 1 e i i i tytyJ     (6) где )(~ ity — некоторое приближение, определяемое выбором оценок величин 10 ,,  n и вектора )0(x в соотношениях (4), (5). Отметим, что целевая функ- ция (6) является дискретным аналогом квадратичного функционала, используемо- го в [8]. Таким образом, задачу определения параметров )0(x и )1,,0(  njj  можно сформулировать как задачу минимизации по этим параметрам целевой функции (6). 40 ISSN 0572-2691 Отметим, что в случае действительных показателей ,j фигурирующих в (1), при одновременном определении параметров j и jb путем минимизации (7) могут возникнуть трудности, обусловленные неортогональностью экспоненци- альных функций, и как следствие, «…исключительной чувствительности показа- тельных функций и амплитуд к весьма малым изменениям данных» [10]. В частности, при использовании стандартных вычислительных процедур отме- ченная особенность задачи может проявиться в изменении результатов решения при изменении начального приближения. Проиллюстрируем это на примере. Пример 1 [10]. Радиоактивный распад. Фигурирующие в (1) параметры имеют следующие значения: .557,1,8607,0,0951,0,5,3,1 321321  bbb (7) Для решения задачи идентификации доступны 24 измерения, которые выполнены через равные промежутки времени, т.е. в (2) .24,05,0)1(  iti Погрешность измерений )( i моделируется следующим образом. Значения элементов последо- вательности (5) округляются до p цифр после запятой. Другими словами, если )( ity — точное значение, то принимается, что )},(10{10)( i pp i tyty  (8) где }{ — операция округления до ближайшего целого числа (процедура round.m пакета MATLAB). При этих исходных данных, при ,3p задача минимизации (6) решена ме- тодом Нелдера–Мида (поиск по деформируемому многограннику [25]) с исполь- зованием процедуры fminsearch.m пакета MATLAB. Было получено три решения задачи при различных значениях начального приближения. Во всех эксперимен- тах в качестве начального приближения для j выбирались точные значения, определяемые (7), а в качестве начального приближения для )0(x принималось точное значение T 0 ]7814,464652,105134,2[)0( x и два других, не совпадаю- щих с :)0(0x ,]50102[)0( T 1 x .]40102[)0( T 2 x В табл. 1 приведены зна- чения ,j полученные при решении задачи минимизации (6) при таком выборе начального приближения. Таблица 1 )0(x )0(0x )0(1x )0(2x 1 – 0,9554 – 0,8820 – 1,0935 2 – 3,0525 – 2,9750 –3,2300 3 – 5,0715 – 5,0420 – 5,1485 Полученное во всех этих трех экспериментах минимальное значение J равнялось 0,0010. Подчеркнем, что во всех численных экспериментах в качестве начального приближения принимались точные значения параметров .j Полученные резуль- таты подтверждают вывод [10, с. 284], что этот «… пример хорошо иллюстрирует те поразительные каверзы, которые может сделать неортогональный характер экспоненциальных функций». В этой связи целесообразно рассмотреть возмож- ность декомпозиции исходной задачи на задачу определения j и последующую задачу нахождения .jb Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 41 2. Декомпозиция задачи (метод Прони [16]). Рассмотрим случай, когда из- мерения проводятся через равные интервалы времени , т.е. когда в (2) имеем .)1(  iti (9) Пусть матрица A определяется (4), а характеристический полином матрицы Ae имеет вид .0 1 1 aa n n n     (10) Приняв во внимание (5), рассмотрим сумму   )()()( 011 ininni tyatyaty  ).0()]()()[( 0 1 1 xeIaeaeC iAnA n nA      (11) В (11) и далее I — единичная матрица соответствующего размера. Так как матри- ца обращает в нуль свой характеристический полином, то можно утверждать, что .0 Отметим, что корни i характеристического полинома (10) и корни i ха- рактеристического полинома матрицы A связаны соотношением .   iei (12) Таким образом, в случае точных равноотстоящих измерений задачу можно разбить на две: задачу нахождения ia — коэффициентов характеристического полинома (10) из системы линейных уравнений, что позволит найти корни i этого полинома и согласно (12) определить ;i и вторую задачу (при извест- ных ),i которая сводится к нахождению )0(x или коэффициентов jb в (1) пу- тем решения системы линейных уравнений. Эта декомпозиция исходной задачи и составляет суть алгоритма Прони. Остановимся на первой задаче. Коэффициенты полинома (10), при ,0 можно определить из следующей системы линейных уравнений: ,0ZZa  (13) где , 1 21 1                ini n n yy yy yy Z    , 1 0              in n y y Z  . 0 1             a a a n  Здесь и далее используются обозначения ).( jj tyy  Определив из (13) коэффи- циенты полинома (10) и вычислив i — корни этого полинома, согласно (12) на- ходим .i Располагая значениями ,i можно найти коэффициенты ,ib фигури- рующие в (1). Отметим, что алгоритм Прони можно представить в более общем виде. Так, аналогично (10) запишем выражение для характеристического полинома матрицы ,Ake где k — целое число: .0 1 1 knk n n aa     (14) 42 ISSN 0572-2691 Подчеркнем, что в (14) верхний индекс k не является показателем степени. В этом случае аналогом (11) будет соотношение .00)1(1   i k ikn k nink yayay  (15) Соответственно имеем аналог соотношения (12) ,   kik i e (16) где k i — корень характеристического полинома (14). 3. Оптимизация метода Прони. Выше, при изложении сути метода Прони, предполагалось, что погрешности i в (2) отсутствуют. Однако при наличии в (2) этих погрешностей соотношения (13) надо переписать следующим образом: ),(ˆ)( 00 ZZaZZ  (17) где матрица Z и вектор 0Z обусловлены погрешностями i в измерениях (2), вектор â является искомой оценкой вектора параметров a, т.е. наличие погреш- ностей в (2) приводит к появлению возмущений как в матрице, так и в правой части системы линейных уравнений, которая определяет вектор искомых пара- метров. Поэтому естественно, что наличие погрешностей измерений ставит зада- чу выбора алгоритма для получения наиболее точной оценки вектора параметров a. Здесь, кроме метода наименьших квадратов, можно отметить то- тальный метод наименьших квадратов [3, 22, 23], метод оценивания линейных систем с неопределенностью интервального типа [26], метод матричных пучков [24] и др. Кратко опишем метод наименьших квадратов и тотальный метод наи- меньших квадратов [22, 23] применительно к решению системы линейных урав- нений .bAx  (18) Метод наименьших квадратов решения (19) состоит в следующем. Необхо- димо определить x из условия ,min bAx x  (19) где  означает евклидову норму. Формулировка (19) эквивалентна следующей [22, 23]: b bx  , min при условии .bbAx  (20) При такой постановке искомое решение имеет вид ,†bAx  (21) где верхний символ «†» означает операцию псевдообращения. В случае переопре- деленной системы (18), когда матрица A имеет полный ранг, решение (21) можно записать в виде .)( T1T bAAAx  Тотальный метод наименьших квадратов используется, когда в (18) возму- щенными являются как матрица A, так и вектор b, т.е. Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 43 .)( bbxAA  (22) В этом случае по аналогии с (20) решение (18) интерпретируется как результат минимизации bA  при условии .)( bbxAA  Решение этой задачи имеет вид [22] ,)( T12T bAIAAx  (23) где  — минимальное сингулярное число матрицы ].[ bA Другие выражения для решений (21), (23) приведены, например, в [22, 23]. Кроме этих методов, следует отметить еще метод матричных пучков [24], который позволяет сразу находить оценки величин .i Суть его состоит в сле- дующем. Из элементов последовательности (2) формируются векторы  1x ,)]()()([ T 1e1ee  LNtytyty  где L — так называемый параметр пучка, а .1 N Из этих векторов формируется две матрицы размерности :)( LLN  ],[ 0210 xxxX LL  ].[ 111 xxxX LL  Собственные значения матричного пучка 01 XX  принимаются в качестве оце- нок собственных значений полинома (10), т.е. величин .i Использование описанных выше алгоритмов в таких задачах направлено на повышение точности определения .i Так, согласно первым двум алгоритмам вначале находится оценка вектора коэффициентов ,â затем оценки .i Метод матричных пучков позволяет сразу находить оценки .i Однако незначительная погрешность определения ,i вообще говоря, не гарантирует малости погрешно- сти оценки .i В связи с тем, что нас интересует получение наиболее точной оценки величины ,i необходимо проанализировать связь погрешностей оценок i и .i 4. Переход от дискретной системы к непрерывной [14, 21]. Отметим, что согласно (14)–(16) в методе Прони можно использовать различные значения k (интервала дискретизации). Таким образом, при использовании метода Прони возникает проблема выбора величины k. Отметим, что обычно метод Прони изла- гается без какого-либо указания на возможность оптимального выбора k, т.е. в предложении .1k Здесь можно упомянуть рекомендацию [10, с. 281] по выбору шага   kh : «…На практике не следует брать … ординаты близкоотстоящих то- чек, нужно сделать h как можно бóльшим, чтобы уменьшить влияние ошибок на- блюдения». Однако, как показано в [14], такое правило выбора величины k неоп- тимально. Проиллюстрируем это на простейшем примере. Рассмотрим связь по- грешностей i и k i определения i и ,k i предполагая эти погрешности малыми. Итак, согласно (16) имеем ).(ln 1 k i k iii k    В первом приближении .k i ki i k e     (24) 44 ISSN 0572-2691 Отсюда следует, что, вообще говоря, выбор максимальной величины k не явля- ется оптимальным. С другой стороны, при фиксированной величине погрешности k i в (24) погрешность i зависит от выбора величины k, т.е. в методе Прони при выборе промежуточной дискретной модели возникает проблема выбора вели- чины k. Другими словами, для получения наиболее точной оценки корня i дол- жен быть выбран соответствующий оптимальный интервал дискретизации, т.е. величина k. Некоторые алгоритмы нахождения оптимального значения k приведе- ны в [14, 21], однако они довольно громоздки. Отметим, что в [27] рассматрива- лись вопросы выбора k применительно к методу матричных пучков. Представля- ется, что кардинальное решение вопроса выбора величины k может быть получе- но, если вообще исключить из алгоритма промежуточную дискретную модель. В этой связи рассмотрим алгоритм, который, как и метод Прони, позволяет про- извести декомпозицию исходной задачи, но исключает промежуточную дискрет- ную модель, т.е. снимает проблему выбора оптимального значения k. 5. Нелинейный аналог метода Прони. Суть предлагаемого подхода состоит в формулировке задачи, исключающей промежуточную дискретную систему, а именно, оценки коэффициентов j в (3) получаются в результате минимизации некоторой целевой функции. В этом алгоритме, как и в методе Прони, исходная задача разбивается на две подзадачи: определение параметров j и последующее нахождение множителей jb при экспонентах в (1). Итак, пусть имеются некоторые приближенные значения коэффициентов ,j фигурирующих в (3), (4). Для этих значений j и принятого значения k вычисля- ются коэффициенты k ia характеристического полинома матрицы ,Ake т.е. поли- нома (14). Далее, подставив в (15) экспериментальные значения (2), получим ве- личины kjS невязок, соответствующих индексам jk, (количество этих невязок, естественно, определяется числом экспериментальных данных в (2)): .e0)(e1)(e j k kjn k nkjnkj yayayS    (25) Пусть в соответствии с количеством наблюдений (2) выбранному значению k соот- ветствует kq значений .kjS Целевую функцию J определим следующим образом: . 1 2            k j kj k S q J (26) Как следует из выражения (25), функция J зависит от значений j и наблюдае- мых величин .e jy Введение этой функции позволяет формулировать алгоритм решения первой подзадачи (нахождение оценок )j как процедуру минимизации (26) выбором значений .j Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1. Сравним точность описан- ных выше вариантов метода Прони на этом примере. Итак, исходные данные оп- ределяются (7). Принимаем, что в (8) ,4p т.е. сохраняется четыре знака после запятой. Результаты вычислений оценок i при использовании различных алго- ритмов сведены в табл. 2. Таблица 2 1 2 3 4 5 6 – 1 – 1,8840 – 1,5378 – 0,9971 – 0,9769 – 1,2354 Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 45 – 3 – 4,6442 – 4,0495 – 3,0194 – 2,9678 – 2,2866 – 5 – 18,7896 – 5,7448 – 5,0124 – 4,9899 – 5,0056 В первом столбце приведены точные значения ,i во втором — оценки, по- лученные при использовании метода наименьших квадратов по формуле (21). В третьем приведены оценки, полученные тотальным методом наименьших квад- ратов. В четвертом использовался метод матричных пучков, а в пятом — проце- дура минимизации целевой функции (26) (алгоритм минимизации аналогичен ис- пользованному в примере 1). При этом в качестве начального приближения для коэффициентов j использовались результаты, приведенные во втором столбце. При получении оценок, содержащихся в столбцах 2–4, принималось, что .1k В последнем, шестом столбце, приведены результаты [14], полученные при ис- пользовании процедуры [14, 21] оптимизации выбора величины .k Отметим, что в [14] применялись данные, содержащие пять значащих цифр после запятой, а не четыре, как при получении остальных оценок. Результаты, приведенные в табл. 2, свидетельствуют о том, что максимальную точность оценок обеспечивают метод матричных пучков и предлагаемый алгоритм, связанный с минимизацией (26) (столбцы 4, 5). Существенно, что последний алгоритм легко можно обобщить на случай, когда известно значение некоторых из параметров ,i фигурирующих в (1), в частности, пример, рассмотренный в [8]. Отметим, что такого рода задачи исследовались также в [14]. 6. Обобщение нелинейного алгоритма. Пусть в (1) известны  показателей ,i т.е. характеристический полином уравнения (3) можно представить в виде ),)(( 0 1 10 1 10 1 1         n n nn n n (27) где  коэффициентов i определяются известными значениями ,i а n ко- эффициентов i подлежат определению. Для нахождения коэффициентов i можно использовать алгоритм, описанный в п. 5, который нужно дополнить про- цедурой вычисления, согласно (27), коэффициентов i как функций .i Проил- люстрируем это на следующем примере. Пример 3 [8]. Функция (1) имеет вид ,2 2 1 10 tt ebebby   (28) ,25,100 210  bbb .2,1 21  Задача состоит в определении 21210 ,,,, bbb по экспериментальным данным, которые заданы в моменты .20,1),1(1,0  iiti Погрешности i в (2), как и в предыдущих примерах, моделируются путем сохранения определенного числа знаков после запятой. В этом примере сохранялся только один знак после запятой, т.е. в (8) .1p Структура выражения (28) говорит о том, что в данном примере известен один показатель ,00  т.е. согласно (27) 0,1 0  и .)( 01 2 01 2 2 3  (29) Из (29) следует, что .,,0 01120  Таким образом, первая часть общей задачи, а именно, задача определения оценок ,, 21  которые определяются оценками коэффициентов ,, 01  состоит в минимизации (26) путем выбора 46 ISSN 0572-2691 ., 01  Вторая часть исходной задачи, а именно, задача нахождения оценок 210 ,, bbb при полученных оценках ,, 21  не вызывает затруднений. Для мини- мизации (26), как и выше, использовалась процедура fminsearch.m пакета MATLAB. В качестве начального значения в ней принималось довольно грубое приближение: .101  В результате вычислений получены следующие оцен- ки параметров модели (28): .1566,20,7167,29,8787,99,133,2,0800,1 21021  bbb В [8] приведены оценки :, 21  .18,2,93,0 21  Таким образом, в данном примере можно констатировать одинаковую точ- ность результатов как предлагаемого алгоритма, так и алгоритма, рассмотренного в [8]. Однако алгоритм из [8] требует решения минимизационной задачи больше- го числа переменных, поэтому чувствительность этих алгоритмов к выбору на- чального приближения может существенно отличаться (см. пример 1). Заключение. Рассмотрен алгоритм идентификации линейной стационарной системы по результатам измерения переходного процесса. Этот алгоритм можно интерпретировать как нелинейный аналог метода Прони. Предлагаемый алго- ритм, как и метод Прони, позволяет провести декомпозицию исходной задачи идентификации, однако исключает из рассмотрения промежуточную линейную модель с дискретным временем, которая используется в методе Прони. Приведено обобщение алгоритма на случай, когда известны некоторые из корней характери- стического полинома идентифицируемой системы. На примерах, опубликованных ранее, проведено сравнение точности оценок, получаемых предлагаемым методом и другими известными методами решения этой задачи. О.С. Апостолюк, В.Б. Ларін ПРО ІДЕНТИФІКАЦІЮ ЛІНІЙНИХ СТАЦІОНАРНИХ СИСТЕМ Розглянуто алгоритм ідентифікації лінійної стаціонарної системи за резуль- татами виміру перехідного процесу. Цей алгоритм можна інтерпретувати як нелінійний аналог методу Проні. Запропонований алгоритм, як і метод Проні, дозволяє зробити декомпозицію задачі ідентифікації, однак виключає з розг- ляду проміжну лінійну модель з дискретним часом, що використовується в методі Проні. Наведено узагальнення алгоритму на випадок, коли відомі де- які з коренів характеристичного поліному системи, яка ідентифікується. На прикладах, опублікованих раніше, проведено порівняння точності оцінок, одер- жаних запропонованим методом та іншими відомими методами розв’язання ці- єї задачі. A.S. Apostolyuk, V.B. Larin ON LINEAR STATIONARY SYSTEMS IDENTIFICATION The linear stationary system identification algorithm is considered as the result of transient process measurement. This algorithm can be interpreted as nonlinear analog of the Prony’s method. The suggested algorithm as well as the Prony’s method al- lows making decomposition of an initial problem of identification. However this al- gorithm excludes from consideration the intermediate discrete time linear model which is used by Prony’s method. Generalization of the algorithm is obtained in case Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 47 of some known roots of identified system characteristic polynomial. The comparison of precision of estimations obtained by proposed method and other well-known methods of solving this problem are shown on the examples published earlier. 1. Льюнг Л. О точности модели в идентификации систем // Техн. кибернетика. — 1992. — № 6. — С. 55–64. 2. Identification of positive real models in subspace identification by using regularization / I. Goethals, T. Van Gestel, J. Suykens, P. Van Dooren, B. De Moor // IEEE Trans. on Automat. Contr. — 2003. — 48, N 10. — P. 1843–1847. 3. Application of structural total least squares for system identification and model reduction / I. Mar- kovsky, J.C. Willems, S. Van Huffel, B. De Moor, R. Pintelon // Ibid. — 2005. — 50, N 10. — P. 1490–1499. 4. Aldemir U., Gavin H.P. Optimal semiactive control of structures with isolated base // Int. Appl. Mech. — 2006. — 42, N 2. — P. 235–240. 5. Yuksek I., Sivrioglu S. Structural mode filtering of a discrete-parameter system using PVDF sensors // Ibid. — 2006. — 42, N 2. — P. 241–246. 6. Voropai A.V., Yanyutin E.G. Identification of several impulsive loads on a plate // Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, N 7. — P. 780–785. 7. Gulyaev V.I., Lugovoi P.Z., Khudolii S.N., Glovach L.V. Theoretical identification of forces resist- ing longitudinal movement of drillstrings in curved wells // Ibid. — 2007. — 43, N 11. — P. 1248–1255. 8. Бахтизин Р.Н., Латыпов А.Р. Оценка порядка линейных объектов по экспериментальной информации // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 3. — С. 108–112. 9. Тобольский А.В. Свойства и структура полимеров. — М. : Химия, 1964. — 324 c. 10. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справ. руководство. — М. : Физ- матгиз, 1961. — 524 с. 11. Moustafa K.A.F. Time-domain structural identification using free response measurements // Int. J. Contr. — 1992. — 56, N 1. — P. 51–65. 12. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа: обзор // ТИИЭР. — 1981. — 69, № 11. — С. 5–51. 13. Bellman R. On the separation of exponentials // Boll. Unione Matem. Ital. — 1960. — III, 15, N 1. — P. 38–39. 14. Апостолюк А.С., Б.Ф. Бобров, Б.А. Бордюг и др. Оптимизация метода Прони при иденти- фикации линейных динамических систем. — Киев : — 1987. — 64 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 87–66). 15. Reddy V.U., Biradar L.S. SVD-based information theoretic criteria for detection of the number of damped/undamped sinusoids and their performance analysis // IEEE Trans. on Signal Proces. — 1993. — 41, N 9. — P. 2872–2881. 16. Hildebrand F.B. Introduction to numerical analysis. — New York : McGraw-Hill, 1956. — 341 p. 17. Хемминг Р.В. Численные методы. Для научных работников и инженеров. — М. : Наука, 1972 . — 400 с. 18. Smith Fred W. System Laplace-transform estimation from sampled data // IEEE Trans. on Auto- mat. Contr. — 1968. — 13, N 1. — P. 37–45. 19. Немура А.А. Оптимизация шага дискретности времени при идентификации непрерывных динамических систем и процессов // Тез. докл. VII Всесоюзн. сов. по проблемам управле- ния, Минск, 21–25 нояб. 1977 г. — М. : Минск : Ин-т проблем управления, Ин-т техниче- ской кибернетики, 1977. — Кн. 1. — С. 221–225. 20. Fassions S.D., Eman K.F., Wu S.M. Sensitivity analysis of the discrete-to-continuous dynamic system transformation // J. Dynamic System Measurment and Contr. — 1990. — 112. — P. 1–9. 21. Deychenkova L.V., Larin V.B. The method of least squares used in the identification of vibromeasuring systems // Soviet Automat. Contr. — 1977. — N 3. — P. 11–17. 22. Abatzoglou T.J., Mendel J.M., Harada G.A. The constrained total least squares technique and its applications to harmonic superresolution // IEEE Trans. on Signal Proces. — 1991. — 39, N 5. — P. 1070–1086. 23. DeGroat R.D., Dowling E.M. The data least squares problem and channel equalization // Ibid. — 1993. — 41, N 1. — P. 407–411. 24. Ниа У,. Sarkar Т.K. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/un- damped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. — 1990. — 38, N 5. — P. 814–824. 25. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М. : Мир, 1975. — 534 c. 26. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интер- вальной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1–2. — С. 103–115. 48 ISSN 0572-2691 27. Larin V.B. The use of matrix pencils in an identification problem // J. of Automat. and Inform. Sci. — 1996. — 28, N 3&4. — P. 53–62. Получено 23.04.2008

Об идентификации линейных стационарных систем

Репозитарії

Схожі ресурси