Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида
Запропоновано метод оцінювання ризиків дефолту, який базується на новій концепції еволюції вартості фірми. Метод застосовано для отримання оцінки дефолту фірми зі специфічною еволюцією внутрішньої дохідності....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209234 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида / Н.С. Гончар, Л.С. Терентьева // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-209234 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2092342025-11-17T01:17:45Z Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида Оцінка дефолту фірми для процесу внутрішньої дохідності спеціального виду Default risk valuation of the firm with the special process of internal yield Гончар, Н.С. Терентьева, Л.С. Экономические и управленческие системы Запропоновано метод оцінювання ризиків дефолту, який базується на новій концепції еволюції вартості фірми. Метод застосовано для отримання оцінки дефолту фірми зі специфічною еволюцією внутрішньої дохідності. A new method for default risks valuation is proposed. It is based on a new conception of a firm’s value evolution. The method is applied for the default pricing of a firm with the specific internal yield. 2008 Article Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида / Н.С. Гончар, Л.С. Терентьева // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209234 519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i8.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы |
| spellingShingle |
Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Гончар, Н.С. Терентьева, Л.С. Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано метод оцінювання ризиків дефолту, який базується на новій концепції еволюції вартості фірми. Метод застосовано для отримання оцінки дефолту фірми зі специфічною еволюцією внутрішньої дохідності. |
| format |
Article |
| author |
Гончар, Н.С. Терентьева, Л.С. |
| author_facet |
Гончар, Н.С. Терентьева, Л.С. |
| author_sort |
Гончар, Н.С. |
| title |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| title_short |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| title_full |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| title_fullStr |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| title_full_unstemmed |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| title_sort |
оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Экономические и управленческие системы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209234 |
| citation_txt |
Оценка дефолта фирмы для процесса внутренней доходности специального вида / Н.С. Гончар, Л.С. Терентьева // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT gončarns ocenkadefoltafirmydlâprocessavnutrennejdohodnostispecialʹnogovida AT terentʹevals ocenkadefoltafirmydlâprocessavnutrennejdohodnostispecialʹnogovida AT gončarns ocínkadefoltufírmidlâprocesuvnutríšnʹoídohídnostíspecíalʹnogovidu AT terentʹevals ocínkadefoltufírmidlâprocesuvnutríšnʹoídohídnostíspecíalʹnogovidu AT gončarns defaultriskvaluationofthefirmwiththespecialprocessofinternalyield AT terentʹevals defaultriskvaluationofthefirmwiththespecialprocessofinternalyield |
| first_indexed |
2025-11-17T02:15:04Z |
| last_indexed |
2025-11-18T02:09:19Z |
| _version_ |
1849092220751183872 |
| fulltext |
© Н.С. ГОНЧАР, Л.С. ТЕРЕНТЬЕВА, 2008
130 ISSN 0572-2691
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УДК 519.86
Н.С. Гончар, Л.С. Терентьева
ОЦЕНКА ДЕФОЛТА ФИРМЫ
ДЛЯ ПРОЦЕССА ВНУТРЕННЕЙ
ДОХОДНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Введение
Оценивание риска дефолта фирмы представляет интерес в первую очередь
для инвестора, финансирующего ее деятельность на некотором промежутке вре-
мени. Вкладывая капитал в определенные инвестиционные проекты, инвестор ру-
ководствуется информацией о нынешнем состоянии фирмы, т.е. о рискованности
и рентабельности ее деятельности, возможности их дальнейших изменений в ин-
тересующем инвестора временнóм горизонте, а также возможностях фирмы, ко-
торые описываются финансовыми потоками от ее деятельности в будущем.
Наиболее применяемые модели оценивания рисков дефолта основаны на
концепции, предложенной Мертоном [1], и не учитывают роль инвестора как ис-
точника финансирования и возможной субъективной оценки работы фирмы. Дан-
ная концепция, определяющая будущую стоимость фирмы как некоторый слу-
чайный процесс, параметры которого оцениваются исторически, не учитывает
возможные стратегии развития фирмы.
В работе кратко изложен новый метод оценивания рисков дефолта, приме-
нимый также к оцениванию реальных опционов, в котором не используются ис-
торические данные и учитывается оценка инвестором деятельности фирмы. Кон-
цепция эволюции стоимости фирмы основывается на разработанной одним из
авторов [2] теории широкого класса случайных процессов. Все обозначения в ра-
боте соответствуют обозначениям в монографии [2], на утверждения которой бу-
дем ссылаться далее. Конструктивным условием предложенного метода является
эффективность эволюции стоимости фирмы, которая заключается в отсутствии
временнóго арбитража. Мы рассматриваем класс случайных процессов, для кото-
рого стоимость фирмы эволюционирует эффективно. Строгое математическое оп-
ределение эффективности для такого класса случайных процессов для эволюции
стоимости фирмы приведено в [2, с. 746].
Этот метод применяется для получения оценки риска дефолта для конкретно-
го вида процесса, описывающего внутреннюю доходность.
Основные понятия и описание метода
Определение 1. Внутренней доходностью фирмы в момент времени t называ-
ется неотрицательный случайный процесс )(tx такой, что с вероятностью 1
справедливо равенство
,
)](1[
)(
0
i
i
N
i
t
rt
tx
A
Ve
(1)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 131
где )(tV — рыночная стоимость фирмы в момент времени t, NAA ,,0 — фи-
нансовый поток, генерируемый деятельностью фирмы; поступления осуществля-
ются кратно определенному временнóму интервалу (например, месяц или год),
который выбираем единицей измерения времени, ,0iA ,,0 Ni N — количе-
ство периодов , r — процентная ставка по депозиту при непрерывном начисле-
нии процентов.
Из (1) следует, что для моделирования рыночной стоимости фирмы доста-
точно задать случайный процесс внутренней доходности ).(tx
Определение 2. Пусть эволюция внутренней доходности фирмы задана на не-
котором вероятностном пространстве }.,,{ PF Информация инвестора о внут-
ренней доходности фирмы является полной, если процесс, описывающий эволю-
цию внутренней доходности, такой, что соответствующая ему эволюция стоимо-
сти фирмы эффективна.
Полнота информации о внутренней доходности фирмы дает возможность
оценивать дефолт в нейтральной к риску среде.
В рамках данной концепции внутренняя доходность рассматривается как ос-
новной показатель рискованности работы фирмы, а также ее рентабельности. Ис-
ходя из предположений, что при увеличении временнóго горизонта увеличивается
неопределенность, естественно моделировать )(tx как возрастающий процесс
ограниченной вариации.
Ниже рассматриваются классы случайных процессов, дающие инвестору
полную информацию о внутренней доходности фирмы. Будем считать, что инве-
стора интересует временнóй горизонт функционирования фирмы, в котором воз-
можны изменения в структуре производства, и он состоит из N периодов. По-
строение вероятностного пространства базируется на предположении, что изме-
нения внутренней доходности фирмы происходят в каждом из периодов с
вероятностью 1. Возможные изменения стоимости фирмы будем характеризовать
некоторым набором условных функций распределения [2, с. 694]. Каждый воз-
можный набор функций распределения будем называть сценарием реализации
стоимости фирмы. Построение вероятностного пространства для эволюции внут-
ренней доходности и соответственно стоимости фирмы для данной концепции
подробно описано в [2, с. 704] при условии реализации с вероятностью 1 разбие-
ния ),1,[ ii .1,0 Ni
Обобщенная задача оценивания риска дефолта фирмы
Дефолт — это несостоятельность должника выполнить финансовые обяза-
тельства. При финансировании фирмы такая ситуация возникает, когда ее стои-
мость падает ниже некоторого уровня, определяемого типом и объемом внешних
инвестиций. Рассмотрим внешнее финансирование как облигацию с нулевым ку-
поном номинальной стоимостью 00 U и временем погашения Т, выпущенную в
момент времени t 0, .00
rTeUV
Далее будем оценивать возможность дефолта фирмы в терминальный момент
времени Т. Используем функцию риска, предложенную Мертоном,
,)(),(min)( 000
xUUUxx (2)
где 0U — объем внешнего финансирования, )0,(max yy
.Ry
Оценкой дефолта в нейтральной к риску среде есть усреднение по мартин-
гальной мере функции риска, т.е. отклонения стоимости компании от долгового
обязательства.
132 ISSN 0572-2691
Рыночная стоимость фирмы в момент времени t задается формулой
,
)](1[0
i
i
N
i
rt
t
tx
A
eV
(3)
где ,iA i 1, 2,…, N, — финансовый поток, порожденный деятельностью фирмы в
будущем, ,TN tx — внутренняя доходность фирмы, представленная случай-
ным процессом на },,,{ PF согласованным с потоком
0
tF локальным несингу-
лярным мартингалом
),()()1,[
1
0
i
i
tii
N
i
t xtx
,0 Mxt ,0 M
),(),}({)()}({)( )1,(1),[ iitiiitiiii
i
t tgx
);}{()}({
)}{(1
1
),}({ 1
)1,(1
1
iiiii
itii
ii dFg
tF
t
)}({ iig — измеримое отображение: )},(,{},{ 110
RBRi
i F ,1,0 Ni
),}({ 1 tii — измеримое отображение: )}(,{},{ 110
1
1 RBRi
i
F при каждом
фиксированном ),1,[ iit ,1,1 Ni где семейство пространств элементарных
событий имеет вид ),,0[ Ni
0
iF — семейство борелевских -алгебр на
i
вида )),1,([
0
iiBiF .1,0 Ni
Также считаем, что случайный процесс tx принадлежит классу
0K [2, c. 708].
Эволюция безрискового актива задается формулой
,)( 0
rteBtB (4)
,10 r 0B — начальный вклад на банковский счет.
Формула оценки риска дефолта
Исходя из специфики процесса, описывающего внутреннюю доходность, для
получения оценки дефолта и динамики хеджирующего портфеля используем ре-
зультаты [2, гл. 12], в частности теоремы 12.6.1 и 12.6.2. Обозначим
.
)1(
)(
0
i
i
N
i x
A
xf
(5)
Согласованное с разбиением ),1,[ ii ,1,0 Ni представление случайного про-
цесса эволюции стоимости фирмы имеет вид
)).}({()()1,[
1
1
i
i
tii
N
i
rt
t xfteV
(6)
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 133
Принимаем, что несингулярный равномерно ограниченный с вероятностью 1
мартингал tx удовлетворяет условиям теоремы 12.6.1 [2], модифицированной
при реализации с вероятностью 1 сценария, определяемого разбиением ),1,[ ii
,1,0 Ni и полным вероятностным пространством },,,{ PF построенным по
принципу [2, с. 704] относительно такого разбиения. Функция ),(xf заданная (5),
удовлетворяет условиям теоремы 12.6.1 [2]. Таким образом, по теореме 12.6.1 [2]
существует мартингальная мера 1P на },,{ 0
F порожденная некоторым соот-
ветствующим разбиению ),1,[ ii ,1,0 Ni семейством функций распределе-
ния, и модификация tV процесса tV такая, что tV — локальный несингулярный
мартингал на вероятностном пространстве },,{ 11 PF относительно потока
-алгебр ,
1
tF где -алгебры 1F и
1
tF — пополнения -алгебр соответственно 0F
и
0
tF относительно меры .1P -алгебра 0F и поток -алгебр
0
tF задаются как
прямые произведения соответствующих компонент: ,
0
1
0
0 i
N
i
FF
,
,0
1
0
0 t
i
N
i
t FF
где поток -алгебр на i
.1,]),([
,1]),,([
,0)},,0[,{
0
)1,[
,0
NtitiB
ititiB
itN
i
iit
t
i
F
F
]),([
)1,[
tiB
iit
— минимальная -алгебра, содержащая объединение борелевских
-алгебр ]).,([ tiB Также, если неотрицательная случайная величина )}({ 1 NN
на },,{ PF удовлетворяет условиям теоремы 12.6.1 [2], то для регулярного мар-
тингала }|)}({{
1
1
1
tNNE F на },,{ 11 PF справедливо представление
,)()}({})}({{
],0[
1
11
1
1
s
t
NtN VdsNENE F ),,0[ Nt
где
,
)}{(
)}{(
)()(
1
1 1
0
1
)1,[
N
i ii
ii
ii
s
s
ss
).}{())}({(
)}{(1
1
)),}({(
)}{(
1
1
)1,(1
11
1
0
iiiii
isii
ii
ii
dFgf
sF
sgf
s
Функция риска ),(x заданная формулой (2), удовлетворяет условиям теоре-
мы 12.6.2 [2], эволюция стоимости фирмы описывается формулой (6), эволюция
стоимости безрискового актива — формулой (4). Оценкой дефолта в соответствии
с подходом Мертона является величина ).(1*
0 T
rT VEeX
134 ISSN 0572-2691
Для возможности возвращения долга в объеме 0A динамика хеджирующего
портфеля имеет вид }.|)({
11)(*
tT
Ttr
t VEeX F
Оценка риска дефолта для частного случая
эволюции внутренней доходности
Используем полученные выше результаты для оценки дефолта фирмы со
специфической эволюцией внутренней доходности. Предположим, что инвесто-
ра интересуют N периодов функционирования фирмы. Финансирование осуще-
ствляется в нулевой момент времени до некоторого времени T, ,NT посред-
ством выпуска облигации с нулевым купоном номинальной стоимостью 00 U
).( 00
rTeUV Изменения внутренней доходности фирмы моделируем на интер-
вале ),0[ T случайным возрастающим процессом ограниченной вариации
),()(
)(1
)()( ],(],0[
Tt
T
t
ttt dF
tF
b
bxx
заданным на вероятностном пространстве },,,{ PF где ),,0[ T )).,0([ TF
Функция распределения меры ./)( TttF Итак, будем считать, что ожидаемый
скачок внутренней доходности равномерно распределен на интервале ).,0[ T
Поток наблюдаемых событий на до момента времени t порождается от-
крытыми подмножествами из отрезка [0, t], т.е. }.0],,0[),{( tbatbat FF
Эволюция безрискового актива задается формулой (4).
Процесс, описывающий эволюцию стоимости фирмы, имеет вид )(tV
)),(( t
rt xfe где функция )(xf задана (5), )(tx — несингулярный равномерно
ограниченный с вероятностью 1 мартингал на },,,{ PF удовлетворяющий усло-
виям теоремы 12.6.1 [2], модифицированной при реализации с вероятностью 1
сценария, определяемого разбиением :),0[ T
;0 bTxt
,0)( bg );,0[ T
;
2
)(
],0[
T
bT
T
dg
.
2)/(1
)/1(
)/(1
1
],0[ ),(
bT
Ts
dsT
T
db
Ts
bs
T Ts
Таким образом, существует мера 1P на ,},{ F порожденная функцией рас-
пределения ,1F и модификация )(tV процесса )(tV такая, что )(tV — ло-
кальный несингулярный мартингал на вероятностном пространстве },,{ 11 PF
относительно потока σ-алгебр ,1
tF где 1F и 1
tF — пополнения σ-алгебр F и tF
соответственно относительно меры .1P
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 135
В нашем случае функция распределения мартингальной меры имеет вид
,
)()(
)(
exp1)(
0
1
x
yy
ydy
xF
где ,)(
)(1
)(
T
y
dF
yF
b
fy ),()( ybfy т.е.
2
)(
)(
yTb
fy
,
2
)(
1
0
/
N
і
i
i
yTb
A .
)1(
)(
0
i
i
N
i by
A
y
Рыночная стоимость фирмы имеет представление
.)()()(
)(1
1
)()()( ),(1
1
],0[
T
t
Ttt
rt
t dFbf
tF
bfeV
Эволюция стоимости фирмы эффективна, функция риска задается формулой
.))(()( 00
byfeUUy rT
T По теореме 12.6.2 [2] согласно подходу Мертона
эволюция капитала, соответствующая динамическому портфелю для хеджирова-
ния риска дефолта фирмы, описывается формулой
)],()()()([ 0),(
1
00],0[
)(*
TtTTt
Ttr
t teX
где ).()(
)(1
1
)( 1
1
1 ydFy
tF
t T
T
t
T
Оценка дефолта имеет вид
T
T
rT
T
rT ydFyeeX
0
1
1*
0 ),()()0(
,)())((
)()))(((
0
100
0
100
*
0
T
rTrTrT
T
rTrT
ydFbyfeUeeU
ydFbyfeUUeX
)(byf — монотонно убывающая функция переменной y. Обозначим решение
уравнения rTeUbyf 0)( через .0k Итак, если ,0 0 Tk то
T
k
rTrTrT ydFbyfeUeeUX
0
)())(( 100
*
0
2
)(
))(1())(1( 0
010100
kTb
fkFkFeUeU rTrT
.
2
)(
))(1()( 0
01010
kTb
fkFkFeU rT
136 ISSN 0572-2691
Здесь учтено, что
.
2
)(
)(
)(1
1
)()(
)(1
1
1
1
sTb
fdFb
sF
fdFbf
sF
T
s
T
s
Если ,0 Tk то
,0
*
0
rTeUX
если ,00 k то
.
2
)())((
0
100
*
0
bT
fydFbyfeUeeUX
T
rTrTrT
Отсюда
.,
,0,
2
)(
))(1()(
,0,
2
00
0
0
01010
0
*
0
TkeU
Tk
kTb
fkFkFeU
k
bT
f
X
rT
rT
(7)
Пусть соответствующей дефолту внутренней доходностью фирмы есть стро-
го положительное решение k уравнения ,)( 0
rTeUxf .bTk Поскольку нас
интересует отклонение от стоимости инвестиций в нулевой момент времени
,0
rTeU из (7) следует, что фирму можно кредитовать, если .0 T
b
k
k
Изначальным условием получения кредита фирмой есть выполнение неравен-
ства ,00
rTeUV описывающего структуру допустимых финансовых поступлений
N
i
rT
i
i AeU
bT
A
1
00 .
2
1/
Определяем минимальный уровень соответствующей дефолту внутренней
доходности ,
2
bT
k .
2
0
T
k
Преобразование функции распределения мартингальной меры
Обозначим
,
)(
2
)(
2
2
)(
)(
0
byf
yTb
f
yd
yTb
fb
xz
x
),(exp1)(1 zxF .
)1(
)(
1
1
k
k
N
k t
kA
tf
Преобразуем выражение .
)(
2
)(
2
2
)(
ybf
yTb
f
yTb
fb
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 137
,
))(2(
2
2
)(
1
1
1
k
k
k
N
k yTb
kAyTb
f
N
k
kk
k
k
byyTb
Abyf
yTb
f
1 )1(
1
))(2(
2
)(
2
)(
.)1()](2[2
)1()](2[
)(
1
1
0
11
N
k
k
l
lNlkNlk
kNN
byyTbA
byyTb
yTb
Отсюда имеем
N
k
k
l
lNlkNlk
k
N
k
kNk
k
N
byyTbAyTb
yTbkAby
byf
yTb
f
yTb
f
1
1
0
111
1
1
)1()](2[2)(
)](2[2)1(
)(
2
)(
2
)(
,
)(
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l
ybcyTb
ybd
где коэффициенты ,ld lc определяются из уравнений
,)](2[2)1(
12
01
1
N
l
ll
l
N
k
kNk
k
N ybdyTbkAby
.)1()](2[2
12
01
1
0
111
N
l
ll
l
N
k
k
l
lNlkNlk
k ybcbyyTbA
Ниже приведем алгоритм построения коэффициентов ,ld .lc Принимая во
внимание
N
k
kN
l
lNlkNl
kN
k
k
N
k
kNk
k
N
bybTCkA
yTbkAby
1 0
1
1
1
)1(]1[2
)](2[2)1(
и введя ,]1[2
0
1
sN
k
skNs
kN
k
ksN bTCkAD получаем равенство вида
.)1()1(]1[2
1
01 0
1
N
l
lN
lN
N
k
kN
l
lNlkNl
kN
k
k byDbybTCkA
Учитывая, что
lN
i
ii
lN
lN byCby
0
,)()1( имеем
,)(
12
00
1
0
N
l
ll
l
lN
i
ii
lN
N
l
lN ybdbyCD
если ,
1
0
N
l
s
lNlNs CDd ,,0 Ns ,
1
N
kl
kN
lNlNkN CDd .1,1 Nk
138 ISSN 0572-2691
Ниже запишем алгоритм построения коэффициентов .lc Очевидно, что
11)1(
1
0
)1()11(2 lNlkNl
k
l
bybybT
.)1()11(2 2)(
1
sskNsN
N
kNs
bybybT
Здесь сделана замена ,1 slN .1 sNl Принимая во внимание
,)1()1()11( 2
2
2
0
2 iiskNi
skN
skN
i
skN bybTCbybT
получаем
sskNsN
N
kNs
bybybT )1()11(2 2)(
1
skN
i
isiskNi
skN
sN
N
kNs
bybTC
2
0
2
2
)(
1
)1()1(2
,)1()1(2
2
2
2
)(
1
kN
sr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
bybTC
где сделана замена суммирования .ris В результате имеем
kN
sr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
bybTC
2
2
2
)(
1
)1()1(2
1
2
2
)(
1
)1()1(2
N
sr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
bybTC
kN
Nr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
bybTC
2
2
2
)(
1
)1()1(2
1
2
2
)(
1
)1()1(2
N
rs
rrkNsr
skN
rN
N
kNr
bybTC
kN
Nr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
bybTC
2
2
2
)(
1
)1()1(2
rrkNrN
N
kNr
bybT )1()1(2 2)(
1
.)1()1()1(2 ,
2
2
2
)(
12
rkN
r
kN
kNr
rrkNsr
skN
sN
N
kNs
kN
Nr
byMbybTC
Пусть ,)1(2 2)(, rkNrNkN
r bTM ,1, NkNr kN
rM ,
,)1(2 2
2
)(
1
rkNsr
skN
sN
N
kNs
bTC
,2, kNNr .,1 Nk
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 139
Рассмотрим
kN
kNr
r
r
N
r
rkN
rk
k
N
k
byLbyMA
2 12
0
,
1
,)1()1(2 тогда sL
,2
0
,
s
i
iNN
siN
iN MA ,1,0 Ns ,2
0
,
22
s
i
iN
sNi
i
sN MAL ,,1 Ns и наконец,
,)()1(
12
0
12
0
N
l
l
l
N
r
r
r bycbyL
,)()1(
0
r
i
ii
r
r byCby
r
i
N
i
i
N
ir
i
rr
ii
rr
N
r
r
r
N
r
byCLbyCLbyL
0
12
0
1212
0
12
0
,)()()1(
,
12
l
rr
N
lr
l CLc
.12,0 Nl .
Используем данное представление для интегрирования выражения
12
0
12
0
)()(
2
)(
2
)(
N
l
ll
l
N
l
ll
l
ybcyTb
ybd
byf
yTb
f
yTb
f
.
)()(
)(
12
0
12
0
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l
N
l
ll
l
N
l
lll
l
ybcyTb
Tbd
ybcyTb
Tybd
Построим функциональный ряд для первого слагаемого:
12
0
22
0
12
0
12
0
1
0
1
12
0
12
0
)(
)(
N
l
ll
l
N
l
ll
l
N
l
ll
l
N
l
l
s
ssll
l
N
l
ll
l
N
l
lll
l
ybcb
yb
ybcb
Tybd
ybcyTb
Tybd
,
)(
1 22
00
12
0
12
0
12
0
ll
l
N
l
m
m
N
l
ll
l
N
l
lll
l
N
l
ll
l
yb
Tbc
yTbc
Tbcb
где
,
12
0
1
1
0
22
0
N
l
ssl
l
s
l
l
N
l
ll
l Tybdyb
,
12
1
11
l
N
ls
lsls
sl bTbdb
,22,0 Nl
140 ISSN 0572-2691
,
12
1
11
N
ls
lsls
sl Tbdb ,22,0 Nl
Таким образом,
x
N
l
ll
l
N
l
l
s
ssll
l
yd
ybcb
Tybd
0
12
0
12
0
1
0
1
.
)(
1 22
00 0
12
0
12
0
12
0
ydyb
Tbc
yTbc
Tbcb
N
l
ll
l
m
m
x
N
l
ll
l
N
l
lll
l
N
l
ll
l
Рассмотрим
,
)()(
12
0
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l
N
l
ll
l
ybcyTb
A
ybcyTb
Tbd
где .
12
0
N
l
ll
l TbdA
Имеем представление
,
)(
)(
)(
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l ybc
y
yTb
D
ybcyTb
A
(8)
,)(
22
0
N
i
ii
i byy
где
,
1
11
1212
0
12
0
12
k
i
ii
ikNN
l
ll
l
N
l
ll
l
kN bTc
Tbc
Tbd
,12,1 Nk
или
,11
12
1
12
0
12
0
ii
is
sN
i
N
l
ll
l
N
l
ll
l
s bTc
Tbc
Tbd
,22,0 Ns (9)
.
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l
Tbc
Tbd
D
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 141
Действительно, из (8) получаем следующую систему уравнений:
,00 AbTDc
,01 lll bTDc ,22,1 Nl
.02212 NNDc
Решая ее, имеем
,1222 NN Dc ),( 122232 NNN bTccD
),( 12
22
223242 NNNN cTbbTccD ,
1
11
)(1212
k
i
ii
ikNkN bTcD
,
12
1
11
0
N
i
ii
i bTcD .
12
1
0 AbTcDDc
N
i
ii
i
Таким образом, получаем (9), где .
12
0
12
0
N
l
ll
l
N
l
ll
l
Tbc
Tbd
D
Итак,
x
N
l
ll
l
N
l
ll
l
yd
ybcyTb
Tbd
0
12
0
12
0
)(
.
)(
1
1ln
22
00 0
12
0
12
0
12
0
ydby
Tbc
yTbc
Tbc
T
x
b
D N
i
ii
i
m
m
x
N
l
ll
l
N
l
lll
l
N
l
ll
l
Как результат имеем представление
x
N
l
ll
l
N
l
ll
lx
yd
ybcyTb
ybd
b
byf
yTb
f
yd
yTb
fb
xz
0
12
0
12
0
0 )(
2
)(
2
)(
2
2
)(
)(
,
)(
1
1ln
2
22
00 0
12
0
12
0
12
0
ydbyb
Tbc
yTbc
Tbc
T
xD N
i
ii
i
m
m
x
N
l
ll
l
N
l
lll
l
N
l
ll
l
где .
2
ii
i
142 ISSN 0572-2691
Введем следующие коэффициенты:
,
11
11
mm
m
iii
kii
m
k
S
,120 Nis ,,1 ms
,220 1 Nim ,1)12)(1(,0 Nmk
,1
12
0
0
0
N
l
ll
l Tbc
c
,10 0 ,
12
0
N
l
ll
l
i
i
Tbc
c
.12,1 Ni
В результате
0 0
1)12)(1(
0
12
0
1ln
2
)(
m
x Nm
k
kkm
kN
l
ll
l
dyybS
Tbc
b
T
xD
xz
),()(
1
1
1ln
2
21
0
1)12)(1(
0
11
12
0
xx
k
xbS
Tbc
T
xD
m
Nm
k
kkm
k
N
l
ll
l
где ,1ln
2
)(1
T
xD
x .
1
1
)(
0
1)12)(1(
0
11
12
0
2
m
Nm
k
kkm
k
N
l
ll
l
k
xbS
Tbc
x
Для функции распределения мартингальной меры имеем представление
.11)(
)(
2/
1
2 x
D
e
T
x
xF
Рассмотрим остаток ряда для :)(2 x
Mm
Nm
k
kkm
k
N
l
ll
l
k
xbS
Tbc
1)12)(1(
0
11
12
0
1
1
.
42
)1( 12
0
22
0
22
0
0
0
N
l
ll
l
N
i
ii
i
N
i
ii
iM
Tbc
bT
Tb
bT
Tb
Отсюда получаем
,
42
)1( 12
0
22
0
22
0
0
0
N
l
ll
l
N
i
ii
i
N
i
ii
iM
Tbc
bT
Tb
bT
Tb
если .
ln
ln
ln
42
ln
ln
)1(ln
0
12
0
0
22
0
22
0
0
0
N
l
ll
l
N
i
ii
i
N
i
ii
i TbcbT
Tb
bT
Tb
M
Проблемы управления и информатики, 2008, № 4 143
Поскольку с уменьшением параметра b повышается стоимость фирмы, что
ведет к уменьшению вероятности возникновения дефолта, исследуем поведе-
ние оценки *
0X риска дефолта фирмы при :0b ,0)(2 x ,
0
0
c
d
D
,11)( 0
0
2
1
c
d
T
x
xF
где
,)1(2
1
0 0
1
1
0
0
skNs
kN
N
s
sN
k
k
ksN
N
s
bTCkADd
N
s
s
i
iN
sNi
N
s
s
i
iNN
siNs
N
s
MAMALс
1 0
,
2
1
0 0
,
12
0
0
,)1(2)1(2
1 0
1
2
2
)(
1
0 0
)(
N
s
s
i
N
iNl
islsN
liN
lN
i
N
s
s
i
siNsN
iN bTCAbTA
1
0 0
1
0
0
,2lim
N
s
sN
k
s
kN
k
k
b
CkAd
.22lim
1 0
1
2
2
)(
1
0 0
)(
0
0
N
s
s
i
N
iNl
lsN
liN
lN
i
N
s
s
i
sN
iN
b
CAAc
Таким образом,
.,
,
2
,11
lim
00
0
0
0
20
0
*
0
0
0
0
TkeU
Tk
T
AeU
T
k
A
X
rT
N
i
i
rTc
d
N
i
i
b
Заключение
В настоящей работе кратко изложен метод оценивания рисков дефолта, бази-
рующийся на новой концепции эволюции стоимости фирмы, рассматриваемой
как дисконтированная по внутренней доходности стоимость будущих финансо-
вых поступлений от деятельности фирмы. Найдена оценка дефолта фирмы со
специфической эволюцией внутренней доходности, финансированной извне об-
лигацией с нулевым купоном. Полученная оценка проанализирована с точки зре-
ния выгодности финансирования фирмы. Описана структура допустимых финан-
совых поступлений от деятельности фирмы в будущем. Преобразована функция
распределения мартингальной меры и исследовано поведение оценки дефолта
фирмы при .0b Созданный метод удобен отсутствием использования истори-
ческих данных, для рассмотренного частного случая параметр b может быть оп-
ределен из достаточно малых по времени наблюдений за динамикой стоимости
фирмы.
144 ISSN 0572-2691
М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва
ОЦІНКА ДЕФОЛТУ ФІРМИ
ДЛЯ ПРОЦЕСУ ВНУТРІШНЬОЇ
ДОХІДНОСТІ СПЕЦІАЛЬНОГО ВИДУ
Запропоновано метод оцінювання ризиків дефолту, який базується на новій
концепції еволюції вартості фірми. Метод застосовано для отримання оцінки
дефолту фірми зі специфічною еволюцією внутрішньої дохідності.
N.S. Honchar, L.S. Terentieva
DEFAULT RISK VALUATION
OF THE FIRM WITH THE SPECIAL
PROCESS OF INTERNAL YIELD
A new method for default risks valuation is proposed. It is based on a new conception
of a firm’s value evolution. The method is applied for the default pricing of a firm
with the specific internal yield.
1. Merton R. Theory of rational option pricing // Bell J. of Econom. and Management Sci. — 1973. —
4. — P. 141–183
2. Гончар М.С. Фондовий ринок і економічний ріст. — Київ : Обереги, 2001. — 826 с.
3. Bielecki T.R., Rutkowski M. Credit risk: modeling, valuation and hedging. — Berlin : Springer-
Verlag, 2002. — 500 p.
4. Халмош П. Теория меры. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. — 350 с.
5. Guo X. Information and option pricings // Quantative finance. — Berlin : Springer, 2001. — 1. —
P. 12–15.
6. Cox J., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // J. of Financial Econom. —
1976 — 7. — P. 229–263.
7. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales, stochastic integrals and continuous trading // Stoch. Proc.
and Appl. — 1981. — 11, N 3. — P. 215–260.
Получено 01.04.2008
|