О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах

Розглянуто клас задач нескалярної оптимізації в банахових просторах, показником якості яких не обов’язково є півнеперервне знизу відображення. Наведено умови розв’язання таких задач і показано, що деяку частину множини розв’язків можна отримати в результаті процедури скаляризації. Наведено ілюстрати...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Когут, П.И., Нечай, И.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209397
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах / П.И. Когут, И.В. Нечай // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 6. — С. 42-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209397
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2093972025-11-21T01:13:42Z О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах Про скаляризацію одного класу задач векторної оптимізації в банахових просторах On scalarization of one class of vector optimization problems in the Banach spaces Когут, П.И. Нечай, И.В. Оптимальное управление и методы оптимизации Розглянуто клас задач нескалярної оптимізації в банахових просторах, показником якості яких не обов’язково є півнеперервне знизу відображення. Наведено умови розв’язання таких задач і показано, що деяку частину множини розв’язків можна отримати в результаті процедури скаляризації. Наведено ілюстративні приклади. The main focus of this work is the one class of vector optimization problems with mapping that is not necessarily lower semicontinuous. The sufficient conditions of existence efficient solutions of such problems are given. We show that certain part of set of efficient solutions can be achieved by using the scalarization technique. All main theoretical notions are supported by illustrative examples. 2008 Article О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах / П.И. Когут, И.В. Нечай // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 6. — С. 42-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209397 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i12.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Когут, П.И. Нечай, И.В. О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто клас задач нескалярної оптимізації в банахових просторах, показником якості яких не обов’язково є півнеперервне знизу відображення. Наведено умови розв’язання таких задач і показано, що деяку частину множини розв’язків можна отримати в результаті процедури скаляризації. Наведено ілюстративні приклади.
format	Article
author	Когут, П.И. Нечай, И.В.
author_facet	Когут, П.И. Нечай, И.В.
author_sort	Когут, П.И.
title	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
title_short	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
title_full	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
title_fullStr	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
title_full_unstemmed	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
title_sort	о скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209397
citation_txt	О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах / П.И. Когут, И.В. Нечай // Проблемы управления и информатики. — 2008. — № 6. — С. 42-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kogutpi oskalârizaciiodnogoklassazadačvektornojoptimizaciivbanahovyhprostranstvah AT nečajiv oskalârizaciiodnogoklassazadačvektornojoptimizaciivbanahovyhprostranstvah AT kogutpi proskalârizacíûodnogoklasuzadačvektornoíoptimízacíívbanahovihprostorah AT nečajiv proskalârizacíûodnogoklasuzadačvektornoíoptimízacíívbanahovihprostorah AT kogutpi onscalarizationofoneclassofvectoroptimizationproblemsinthebanachspaces AT nečajiv onscalarizationofoneclassofvectoroptimizationproblemsinthebanachspaces
first_indexed	2025-11-21T02:16:29Z
last_indexed	2025-11-22T02:17:06Z
_version_	1849455098527219712
fulltext	© П.И. КОГУТ, И.В. НЕЧАЙ, 2008 42 ISSN 0572-2691 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 681.31 П.И. Когут, И.В. Нечай О СКАЛЯРИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Постановка задачи векторной оптимизации Пусть X и Y — два действительные банаховы пространства. Будем считать, что X рефлексивно. Нулевой элемент пространства Y обозначим . Для произволь- ного множества YY 0 обозначим его внутренность, замыкание и границу соот- ветственно ,Int 0Y ,cl 0Y 0Y относительно топологии  s :( и w : — для случая сильной и слабой топологии Y соответственно). Будем считать, что банахово пространство Y полуупорядочено выпуклым  -замкнутым конусом , т.е. . xyyx Кроме этого, будем рассматривать конусы только такие, у которых }.{)(  Элемент y множества YY 0 назовем -минималь- ным в множестве ,0Y если не существует 0Yy такой, что , yy . yy Сово- купность всех -минимальных элементов множества 0Y обозначим ).(Min 0Y Введем в рассмотрение два несобственных элемента  и , считая в даль- нейшем, что они удовлетворяют таким условиям: 1)  y ;Yy 2) .0)(  Через Y обозначим множество }.{Y Тогда  есть -наибольший элемент множества ,Y а  — его -наименьший элемент. Кро- ме этого, будет удобным следующее обозначение: }.{  YY Под задачей векторной оптимизации традиционно понимают тройку ,,,  fX где X — множество допустимых элементов, f — показатель ка- чества, являющийся отображением со значениями в векторном пространстве, по- луупорядоченным конусом . Будем считать, что ,XX  ,: YXf  а конус  обладает всеми перечисленными выше свойствами. Понятие решения такой задачи можно ввести различными способами (см. [1–5]). Будем придерживаться следующего определения. Определение 1. Элемент    Xx называется  -эффективным решением задачи ,,,  fX если его образ )( xf является -минимальным элементом  - замыкания множества ),( Xf т.е. }{\)(  yxf )).((cl  Xfy Множест- во всех эффективных  -решений обозначим ).,,(Sol   fX Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 43 Определение 2 [1]. Элемент    Xx называется эффективным решением за- дачи ,,,  fX если его образ )( xf является -минимальным элементом множества ),( Xf т.е. }{\)()(  xfxf  Xx (рис. 1). F F(X) F(x  ) ) x  x1 y1 x2 y2 X Рис. 1 Определение 3 [1]. Пусть .Int  Элемент    Xx называется слабо эф- фективным решением задачи ,,,  fX если  Int)()( xfxf . Xx Множество всех эффективных решений обозначим ),,,(  fXX E а ),,(  fXX wE — множество всех слабо эффективных решений, тогда при ус- ловии Int очевидно включение ).,,(),,(   fXXfXX wEE Утверждение 1. Справедливо включение ).,,(),,(Sol   fXXfX E Доказательство. Пусть ),,,(Sol    fXx значит,  yxf )( y )).((lc  Xf Тогда  )()( xfxf . Xx Поэтому имеем ).,,(    fXXx E Таким образом, если ,Int  справедливо включение   ),,(Sol fX ),,,(),,(   fXXfXX wEE в общем случае (когда возможно, )Int  можно только утверждать, что ).,,(),,(Sol   fXXfX E Пример 1. Пусть ,XX  ,: YXf  ,2  R множество )( Xf (рис. 2) имеет вид ,)( 4 1 i i Xf     где ,}5,3,1:{ 2121 2 1  yyyyy R },5,2,2:{ 2121 2 2  yyyyy R ,}5,4,3:{ 2121 2 3  yyyyy R .)}1;3(),2;3(),3;2(:{ 2 4 R y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Рис. 2 44 ISSN 0572-2691 Легко видеть, что ),(),,( 1 eE ffXX    ),(),,( 1 wwE ffXX    ),(),,(Sol 0 1    ffX где )},1;3(),3;2{(e ,1:{}43,1:{ 2 2 21 2  yyyyyew RR  },43 1  y )}.1;3{(0  В этом примере между множествами решений задачи ,,,  fX опреде- ленными тремя указанными способами, имеем следующее соотношение: ).,,(),,(),,(Sol   fXXfXXfX wEE Достаточные условия существования  -эффективных решений Известно, что задача скалярной оптимизации с полунепрерывным снизу кри- терием качества, определенном на компактном множестве допустимых значений, имеет решение. Аналогичный результат имеет место и для задач векторной опти- мизации, однако дать определение понятия решения задачи в этом случае и опре- деление понятия полунепрерывности снизу векторнозначного отображения мож- но различными способами. Следующие два определения сформулированы для отображений, определенных на всем пространстве X. Это предположение не явля- ется существенным. Будем, как это делают традиционно, с векторнозначными отображениями вида YXf : связывать отображения ,:ˆ  YXf где          ., ,),( ˆ Xx Xxxf f Для отображений f, действующих в полурасширенное пространство ,Y будем использовать такое определение эффективного множества: fDom .})(:{  xfXx Определение 4 [6]. Отображение  YXf : называется полунепрерывным снизу в точке ,Dom0 Fx  если для любой окрестности V точки )( 0xf в Y су- ществует окрестность U точки 0x в X такая, что }.{)( VUf Отобра- жение  YXf : называется полунепрерывным снизу, если оно полунепрерыв- но снизу в каждой точке X. Утверждение 2 [7]. Пусть X — непустое и компактное множество в X, YXf : — полунепрерывное снизу отображение. Тогда .),,(  fXX E Сразу можно заметить чрезмерную жесткость достаточных условий, приве- денных в теореме 1. Для ослабления этих требований приведем еще одно опре- деление. Определение 5 [7]. Отображение YXf : называется (слабо) q-полунепре- рывным снизу в точке ,Dom0 fx  если для любого Yb такого, что ),( 0xfb  существует (слабая) окрестность U точки x0 в X такая, что )(xfb  .Dom fUx  Известно [7], что если отображение YXF : полунепрерывно снизу в точке ,Dom0 fx  то оно и q-полунепрерывно снизу в этой точке, обратное ут- Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 45 верждение в общем случае ложно. Легко привести примеры отображений, кото- рые не являются даже q-полунепрерывными снизу, но .),,(Sol   fX Пример 2. Пусть ,]1;3[: 2 RR f ,2 R        .1),1;2( ),1;3[),2;( )( x xx xf Это отображение (рис. 3) не является q-полунепрерывным снизу в точке .10 x Действительно, возьмем  .3;2/3b Очевидно, )( 0xfb  и не существует окре- стности )( 0xU точки x0 такой, что )(xfb  для всех .)( 0  XxUx В то же время, очевидно, что }.1{),,(Sol   fX 3 1 1 2 1 2 3 F Рис. 3 Проводя дальше аналогию со скалярным случаем, заметим, что полунепре- рывность снизу скалярной функции в точке является необходимым условием принадлежности этой точки множеству решений задачи оптимизации, однако для векторнозначного отображения из примера 2 q-полунепрерывность снизу наруша- ется именно в точке ,0x которая является решением задачи векторной оптимиза- ции. Именно поэтому в данной работе будем придерживаться другого понятия полунепрерывности снизу векторнозначного отображения (определение 9). Сна- чала введем ряд вспомогательных определений. Определение 6. Эффективным  -инфимумом множества YY 0 назовем множество -минимальных элементов  -замыкания множества YY 0 в про- странстве Y в случае, когда это множество непустое, и множество }{  в против- ном случае:           .)cl(Min},{ ,)cl(Min),cl(Min Inf 0 00 0 Y YY Y Определение 7. Эффективным  -инфимумом отображения YXf : на- зовем подмножество множества Y и обозначим ),(Inf xf Xx    которое является эффективным  -инфимумом образа )( Xf множества ,X т.е. ).(Inf)(Inf      Xfxf Xx Таким образом, множество  -эффективных решений задачи  ,, fX можно задать формулой )}.(Inf)(:{),,(Sol xfxfXxfX Xx        Пусть дана последовательность ,}{ Yyn  }{ nyL — множество всех ее  -предельных точек. Для неограниченных снизу (сверху) последовательностей 46 ISSN 0572-2691 будем считать, что }{ n yL }).{( n yL Для произвольного отображе- ния  YXf : используем множества )}({))(( 0}{ 0 n xx s xfLxfL s n      и )},({))(( 0}{ 0 n xx w xfLxfL w n      где 0}{ xx s n  и 0}{ xx w n  обозначают сходимость последовательности }{ nx относительно сильной и слабой топологий пространства X соответственно. Тогда справедливо включение  ))(( 0xfLs )).(( 0xfLw  Определение 8. Множество Yxf xx    )(inflim 0 назовем секвенциальным  -нижним пределом отображения YXf : в точке ,0  Xx если                       .)(Inf))(()),((Inf ,)(Inf))((),(Inf))(( )(inflim 00 00 0 xfxfLxfL xfxfLxfxfL xf Xx ss Xx s Xx s xx Множество Yxf xx w    )(inflim 0 назовем слабым секвенциальным  -нижним пределом отображения YXf : в точке ,0  Xx если                       .)(Inf))(()),((Inf ,)(Inf))((),(Inf))(( )(inflim 00 00 0 xfxfLxfL xfxfLxfxfL xf Xx ww Xx w Xx w xx w Определение 9. Отображение YXf : назовем  -полунепрерывным снизу в точке ,0  Xx если ).(inflim)( 0 0 xfxf xx    Отображение YXf : будем называть слабо  -полунепрерывным сни- зу в точке ,0  Xx если ).(inflim)( 0 0 xfxf xx w    Из определений 8 и 9 следует, что любое слабо  -полунепрерывное снизу отображение в точке ,0  Xx является также  -полунепрерывным снизу в этой точке. Если отображение f  -полунепрерывно (слабо  -полунепрерывно) снизу в каждой точке , Xx будем называть f -полунепрерывным (слабо  -полунепрерывным) снизу отображением. Определение 10 [7]. Элемент YYy  0 называется -наименьшим элемен- том (-идеальным минимумом) множества ,0Y если yy  .0Yy Используем обозначение .MinI 0Yy  Лемма. Пусть отображение YXf : слабо q-полунепрерывно снизу в точке .0  Xx Тогда )( 0xf — -наименьший элемент множества )),(( 0xfLw  т.е. )).((MinI)( 00 xfLxf w  Доказательство. Пусть )),(( 0 * xfLy w  тогда существует последователь- ность 0}{ xx w n  такая, что .)}({   yxf n Введем в рассмотрение множе- ство )},(:{ 0xfbYbB  и пусть )( 0xUb — слабая окрестность точки 0x та- Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 47 кая, что )(xfb  .)( 0  XxUx b Пусть ),()( ~ 00 xUxU b Bb   тогда существует Nn такое, что .)( ~ 0  nnxUxn (1) Докажем, что .)(  nnBxf n Для этого сначала сделаем обратное пред- положение: существует ,Np , np такое, что ,)( Bxf p  (2) тогда )()( xfxf p  .)( 0)(  XxUx pxf Поскольку справедливо включение ,))(())( ~ ( 0)(0   XxUXxU pxf имеем )()( xfxf p  .)( ~ 0  XxUx (3) Далее, учитывая (3), получаем: ).()( pp xfxf  Таким образом, предположение (2) ложно, поэтому ,)(  nnBxf n т.е. ),()( 0xfxf n  . nn Отсюда, пе- реходя к слабому пределу, получаем .)( 0  yxf Теорема 1. Пусть отображение YXf : слабо q-полунепрерывно снизу в точке .0  Xx Тогда f слабо  -полунепрерывно снизу в точке .0x Доказательство. Согласно лемме верно равенство )),((MinI)( 00 xfLxf w  тогда )}.({))}((MinI{))((Inf 000 xfxfLxfL ww    Поэтому согласно определению 8     ))}((MinI{)(inflim 0 0 xfLxf w xx w )}.({ 0xf Итак, по определению 9 f слабо  -полунепрерывно снизу в точке .0x Определение 11. Последовательность  Xxn}{ назовем  -минимизирую- щей для отображения ,: YXf  если существует элемент )(Inf xf Xx    такой, что .)}({   nxf Теорема 2. Пусть отображение YXf : слабо  -полунепрерывно сни- зу, а множество X слабо замкнуто и ограничено в пространстве X. Тогда: 1) отображение f -ограничено снизу; 2) всякая  -минимизирующая последовательность  Xxn}{ имеет пре- дельную точку; 3) если x — предельная точка  -минимизирующей последовательности ,}{  Xxn то x есть  -эффективным решением задачи    xfX :,, );,,(Sol   fX 4) .),,(Sol   fX Доказательство. Согласно определениям 6, 7    )(Inf xf Xx (возможно, }).{)(Inf    xf Xx Возьмем произвольный элемент ),(Inf xfy Xx     тог- 48 ISSN 0572-2691 да существует последовательность )(}{  Xfyn такая, что .}{   yyn Рас- смотрим последовательность )},({}{ 1 nn yfx  которая по условию является ог- раниченной. Учитывая рефлексивность пространства X, обозначим }{ x такую подпоследовательность последовательности },{ nx что ,}{    xx w где .Xx  Учитывая, что  Xxn}{ и то, что X слабо замкнутое, делаем вывод, что .   Xx Так как отображение YXf : слабо  -полунепрерывно снизу, справедливо включение ),(inflim)( xfxf xx w     (4) которое делает невозможным предположение .}{)(Inf    xf Xx Кроме этого, очевидно, что ;))((   xfLy w таким образом,   ))((( xfLy w .))(Inf    xf Xx Тогда по определению 8 ).(Inf))(()(inflim xfxfLxf Xx w xx w        (5) Из (5) и (6) следует, что )(Inf)( xfxf Xx     , т.е. ).,,(Sol    fXx Некоторые свойства линейных сверток векторнозначных отображений Обозначим через Y пространство, топологично сопряженное к пространст- ву Y, значение линейного функционала  Yy на элементе ., yyYy  Ли- нейный функционал , Yy определенный на конусе ,Y называется поло- жительным [3], если .0, y Обозначим  множество всех линей- ных положительных функционалов. Известно [3], что  — конус, а если ,Y то  содержит ненулевые элементы. Конус  назовем сопряженным к кону- су . В дальнейшем будем считать пространство Y рефлексивным, поэтому верно следующее равенство: .)(   Определение 12.  -сверткой )(  отображения YXf : будем назы- вать скалярную функцию ,: RXf λ которая определена по правилу:  )(xf .)(,  Xxxf В случае когда пространства X и Y конечномерные и ,m    R имеет место следующий результат. Утверждение 3 [7]. Пусть ,nX R .mY R Предположим, что x ,)(,minArg xf Xx   m  R . Тогда: 1) );,,( m wE fXXx    R 2) если ),(int m  R то );,,( m E fXXx    R Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 49 3) если ,)(,minArg}{ xfx Xx    то ),,( m E fXXx    R и не существует  Xx такого, что ).()( xfxf  Поскольку даже в случае конечномерных пространств X и Y может выполнять- ся строгое включение ),,(),,(Sol   fXXfX E (пример 1), ни одно соот- ношение между  -эффективными решениями задачи  ,, fX и решениями задачи минимизации для  -свертки не следует из этого утверждения, этот вопрос требует дополнительного исследования. Покажем сначала, что если вместо множест- ва эффективных решений задачи mfX  R,, рассматривать множество  -эф- фективных решений, аналог вывода 3) утверждения 2 уже не будет иметь места. Пример 3. Пусть ,]2;1[: 2 RR f ,2  R        .1),2;1( ,]2;1(),1;( )( x xx xf Возьмем ),0;1( тогда ,)(, xxf  },1{)(,minArg ]2;1[   xf x однако (рис. 4) .),,(Sol 2   RfX 1 2 y1 1 2 y2 Рис. 4 Кроме того, поскольку было введено новое определение решения задачи век- торной оптимизации, для которого, как демонстрирует пример 3, аналог утвержде- ния 2 требует уточненной формулировки, мы рассматриваем случай бесконечно- мерных пространств X и Y и конус  с возможно пустой внутренностью. К тому же необходимо учесть тот факт, что внутренность сопряженного конуса  также может быть пустой. Все эти моменты значительно усложняют ситуацию, однако, чтобы получить результат для банаховых пространств, аналогичный п. 2 утвер- ждения 2, можно отказаться от понятия внутренней точки сопряженного конуса  и заменить его более слабым понятием квазивнутренней точки. Определение 13 [8]. Точка  Yg называется квазивнутренней точкой кону- са , если ,0, g при каждом ненулевом . Множество всех квази- внутренних точек конуса  обозначим .0  Известно [8], что в случае телесного (с непустой внутренностью) конуса  справедливо равенство ,int0   однако квазивнутренние точки существуют в конусах , не являющихся телесными. 50 ISSN 0572-2691 Теорема 3. Пусть X и Y — рефлексивные банаховы пространства. Пусть ,)(,minArg xfx Xx      .0   Тогда .),,(Sol    fXx Доказательство. Согласно условию ,)(,)(,    Xxxfxf т.е. 0)()(,   xfxf . Xx (6) Возьмем произвольный элемент ),(cl  Xfz тогда существует последователь- ность  Xxn}{ такая, что zxf n   )}({ и в силу (6) 0)()(,   nxfxf .Nn (7) Переходя в неравенстве (7) к -пределу, получаем ,0)(,   zxf )).((cl  Xfz (8) Пусть .0   Предположим, что ),,,(Sol    fXx тогда существует )(cl  Xfy такой, что ).(  xfy Таким образом, }.{\)(  yxf Тогда по определению 13 имеем ,0)(,   yxf что противоречит неравенству (8). Итак, ).,,(Sol    fXx Следствие. Пусть X и Y — рефлексивные банаховы пространства. Тогда справедливо .)),,(Sol),,(Sol()(,minArg 0      fXfXxf ws Xx  (9) Таким образом, установлен результат, аналогичный п. 2) утверждения 2. В примере 3 было показано, что просто переформулировать п. 3) утверждения 2 для задачи  ,, fX в терминах  -эффективных решений будет неверным. Даже, если несколько ослабить понятие  -эффективного решения, а именно: ввести понятие обобщенного  -эффективного решения, аналог п. 3) утвержде- ния 2 не будет иметь места (см. пример 4). Определение 14. Назовем    Xx обобщенным  -эффективным решением задачи ,,,  fX если существуют последовательность  Xxn}{ и элемент )(Inf xf Xx    такие, что  xx w n}{ и .)}({   nxf Множество всех обобщенных  -эффективных решений задачи  ,, fX обозначим ).,,(GenSol   fX Легко видеть, что ).,,(GenSol),,(Sol   fXfX Заметим, что множество ),,(GenSol   fX не имеет прямой связи со множеством ).,,(  fXX E Для иллюстрации отличий между этими множествами рассмотрим следующий пример. Пример 4. Пусть ,]2;1[: 2 RR f ,2  R          .1),1;2( ;2),2;1( );2;1(),;( )( x x xxx xf Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 51 В этом случае имеем (рис. 5): )},1;2();2;1{())((Min  Xf поэтому };2;1{),,(  fXX E )},1;1{()(Inf    xf Xx значит, .),,(Sol   fX Од- нако последовательность }/11{ nxn  такая, что 1}{ nx и ),1;1()}({   nxf тогда по определению 14, ).,,(GenSol1   fX К тому же других элементов, удовлетворяющих определению 14, нет. Итак, }.1{),,(GenSol   fX Если ),0;1( то  -свертка примет вид          .1,2 ;2,1 );2;1(, )(, x x xx xf Тогда ),,,(GenSol}2{)(,minArg ]2;1[    fXxf x т.е. единственное ре- шение задачи минимизации для  -свертки может не являться даже обобщенным  -эффективным решением исходной задачи .,,  fX 1 2 y1 1 2 y2 Рис. 5 Рассмотрим теперь частный случай задачи ,,,  fX когда множество X ограничено и слабо замкнуто, а отображение f слабо  -полунепрерывно снизу, т.е. случай, в котором известно, что задача разрешима (теорема 2). Для того чтобы включение (9) получило возможность практического применения, необходимо, чтобы .)(,minArg 0      xf Xx (10) Очевидно, если для отображения f найдется   0 такое, что  -свертка будет слабо полунепрерывной снизу, то неравенство (10) будет справедливым. Возника- ет вопрос: можно ли для любого  -полунепрерывного снизу отображения f га- рантировать существование такой свертки? Следующий пример дает отрицатель- ный ответ. Пример 5. Пусть ,]2;1[: 2 RR f ,2  R . ., 1 1),1;0( \]2;1[),1;( )( , 1 1                 N N n n xn xx xf n n Пусть ,1u тогда )}1;1{()(inflim    xf ux и f  -полунепрерывно в этой точ- ке (рис. 6). Пусть , 1 1 n vn  тогда                1; 1 1);1;0()(inflim n nxf nvx и f  -полунепрерывно в этих точках. Рассмотрим  -свертку отображения f: 52 ISSN 0572-2691          . 1 1),1( , 1 1, )( 2 21 n xn n xx xf 1 2 1 2 y1 F y2 3 х 0 1 2 Рис. 6 Для полунепрерывности )(xf в точках 1 1nv n   необходимо выполнение неравенства N       n n n 212 1 1)1( . Переходя к пределу и учитывая неотрицательность вектора , получаем .02  Тогда  -свертка принимает следующий вид:          . 1 1,0 , 1 1, )( 1 n x n xx xf Однако если ,01  для последовательности n xn 1 1 не будет выполняться неравенство ,)(inflim)1( n n xff    т. е. функция )(xf не будет полунепрерывной снизу в точке 1. Поэтому для дан- ного отображения единственной полунепрерывной снизу сверткой будет .0)(  xf Итак, относительно множества      0 )(,minArg xf Xx в общем случае нель- зя утверждать, что оно пустое. Рассмотрим теперь множество      0 )( ~ minArg xf Xx , где )( ~ xf — слабо полунепрерывная снизу регуляризация свертки .)(, xf В рамках ситуации, когда множество X ограничено и слабо замкнуто, очевидно, что    )( ~ minArg xf Xx при каждом .0  Вместе с тем справедлив следующий результат. Теорема 4. Пусть X и Y — рефлексивные банаховы пространства, множество XX  ограничено и слабо замкнуто, отображение YXf : слабо  -полу- непрерывно снизу. Тогда справедливо включение: ).,,(GenSol)( ~ minArg 0       fXxf Xx  Проблемы управления и информатики, 2008, № 6 53 Доказательство. Пусть .0  Из условия следует, что .)( ~ minArg    xf Xx Возьмем ,)( ~ minArg      xfx Xx тогда ),( ~ )( ~ xfxf     . Xx (11) Так как )( ~ xf — слабо полунепрерывна снизу регуляризация свертки ,)(, xf можно утверждать следующее:  во-первых, существует последовательность  xx w n}{ такая, что );( ~ )(,lim     xfxf n n (12)  во-вторых, )(,)( ~ xfxf  . Xx (13) Из (11)–(13) делаем вывод: существует последовательность  xx w n}{ такая, что )(,)(,lim xfxf n n   , Xx или )(,)(lim, xfxf n n   . Xx (14) Предположим, что ),,,(GenSol    fXx тогда по определению 14 ),(Inf)(lim xfxf Xx n n     т.е. существует )(Inf xf Xx    такое, что )(lim n n xf   или }.{\)(lim   n n xf Тогда по определению  0 приходим к неравенству ,0)(lim,   n n xf которое запишем так: .,)(lim,   n n xf (15) С другой стороны, существует последовательность  Xun}{ такая, что .)}({   nuf Учитывая слабую компактность ,X можно считать, что .}{    Xuu w n Из неравенства (14) делаем вывод:   )(lim, n n xf )(, nuf .Nn Откуда, переходя к пределу при ,n получаем неравен- ство ,,)(lim,   n n xf которое противоречит (15). Значит, сделанное пред- положение ложно. Таким образом, ).,,(GenSol    fXx П.І. Когут, І.В. Нечай ПРО СКАЛЯРИЗАЦІЮ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ Розглянуто клас задач нескалярної оптимізації в банахових просторах, показ- ником якості яких не обов’язково є півнеперервне знизу відображення. Наведе- 54 ISSN 0572-2691 но умови розв’язання таких задач і показано, що деяку частину множини розв’язків можна отримати в результаті процедури скаляризації. Наведено ілю- стративні приклади. P.I. Kogut, I.V. Nechay ON SCALARIZATION OF ONE CLASS OF VECTOR OPTIMIZATION PROBLEMS IN BANACH SPACES The main focus of this work is the one class of vector optimization problems with mapping that is not necessarily lower semicontinuous. The sufficient conditions of existence efficient solutions of such problems are given. We show that certain part of set of efficient solutions can be achieved by using the scalarization technique. All main theoretical notions are supported by illustrative examples. 1. Ehrgott M., Gandibleux X. Multiple criteria optimization : State of the art annotated bibliographic surveys. — Dordrecht : Kluwer Academ. Publ., 2003. — 496 p. 2. Miglierina, E. Molho E., Rocca M. Well-posedness and scalarization in vector optimization // J. of Optimization Theory and Appl. — 2005. — 126, N 2 — P. 391–409. 3. Ng K.F., Zheng X.Y. Existence of efficient points in vector optimization and generalized Bishop– Phelps theorem // J. Optim. Theory Appl. — 2002. — 115. — P. 29–47. 4. Ginchev I., Guerraggio A., Rocca M. Second-order in conditions in C 1,1 vector optimization with inequality and equality constraints. Recent advances in optimization // Lecture Notes in Econom. and Math. Systems. — 563. — Berlin : Springer, 2006. — P. 29–44. 5. Santos L.B., Brandao A.J.V., Osuna-Gomez R., Rojas-Medar M.A. Prenvex functions and weak efficicient solutions for some vectorial optimization problems in Banach spaces // Computers & Mathemat. with Appl. — 2004. — 48. — P. 885–895. 6. Mansour M., Metrane A., Thera M. Lower semicontinuous regularization for vector-valued map- pings. Universite de Limoges, Rapport de recherché n 2004-06. Depose le juin 2004. — 29 p. 7. Ehrgott M. Multicriteria optimization. — Berlin : Springer, 2005. — 323 p. 8. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. — М. : Физматгиз, 1962. — 396 с. Получено 10.01.2008 Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Чикрием

О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах

Репозитарії

Схожі ресурси