Классификация и методы математического описания банковских рисков

Представлено загальний опис фінансових ризиків, підходів до опису ризиків і математичних методів розрахунків та моделювання ризиків. Описано структуру ризику, надано рекомендації щодо зниження багатьох видів ризиків у різних ситуаціях та запобігання їм. Наведено математичні методи опису та розрахун...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Бидюк, П.И., Басараб, А.В., Гасанов, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Экономические и управленческие системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209428
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Классификация и методы математического описания банковских рисков / П.И. Бидюк, А.В. Басараб, А.С. Гасанов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 92-107. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-209428
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2094282025-11-22T01:20:12Z Классификация и методы математического описания банковских рисков Класифікація і методи математичного опису банківських ризиків Classification and methods of bank risks mathematical description Бидюк, П.И. Басараб, А.В. Гасанов, А.С. Экономические и управленческие системы Представлено загальний опис фінансових ризиків, підходів до опису ризиків і математичних методів розрахунків та моделювання ризиків. Описано структуру ризику, надано рекомендації щодо зниження багатьох видів ризиків у різних ситуаціях та запобігання їм. Наведено математичні методи опису та розрахунків ризиків: розриви, простий VaR, ∆-γ-нормальний VaR, --нормальний VaR, метод історичного моделювання та метод Монте-Карло. Для кожного методу наведено приклади розрахунку та описано їх переваги і недоліки. Розглянуто такі види ризиків: операційний, ринковий, кредитний, діловий, ліквідності, юридичний. Для розрахунку ринкових ризиків використовуються декілька методів, найпростішим є розрахунок найбільшого збитку при заданому рівні довіри. Відсотковий ризик і ризик втрати ліквідності можуть бути обчислені з урахуванням розривів активів і пасивів. На значних історичних вибірках можна використовувати метод історичного моделювання. Найкращі результати досягаються за допомогою методу Монте-Карло, який базується на моделюванні процесів із заданими характеристиками. This article describes general introduction to financial risks and presents approaches to risks mathematical simulation. The risks structure, analysis approaches are described and recommendations for minimization of different kinds of risks in different situations are made. Mathematical methods for risks description and calculation are presented, such us: Gap, Value at Risks (VaR), Delta-Normal method of VaR calculation, Delta-Gamma-Normal method of VaR calculation, historical simulation, Monte-Carlo methods. The examples, advantages and disadvantages of each method and risk mitigation approaches are described. Most authors describe the following kinds of risks: operational, marketing, credit, business, liquid, low risks. Several methods can be used for calculation of market risks. Calculation of the biggest loss for standard confidential level. VaR is the simplest of them. Percentage and liquid risks can be calculated by creation of Gap function. The Historical simulation method can be used on the long historical samples. But the best results can be reached by using Monte-Carlo method, based on the simulation of the processes with standard parameters. 2009 Article Классификация и методы математического описания банковских рисков / П.И. Бидюк, А.В. Басараб, А.С. Гасанов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 92-107. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209428 62-50 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i2.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Бидюк, П.И. Басараб, А.В. Гасанов, А.С. Классификация и методы математического описания банковских рисков Проблемы управления и информатики
description	Представлено загальний опис фінансових ризиків, підходів до опису ризиків і математичних методів розрахунків та моделювання ризиків. Описано структуру ризику, надано рекомендації щодо зниження багатьох видів ризиків у різних ситуаціях та запобігання їм. Наведено математичні методи опису та розрахунків ризиків: розриви, простий VaR, ∆-γ-нормальний VaR, --нормальний VaR, метод історичного моделювання та метод Монте-Карло. Для кожного методу наведено приклади розрахунку та описано їх переваги і недоліки. Розглянуто такі види ризиків: операційний, ринковий, кредитний, діловий, ліквідності, юридичний. Для розрахунку ринкових ризиків використовуються декілька методів, найпростішим є розрахунок найбільшого збитку при заданому рівні довіри. Відсотковий ризик і ризик втрати ліквідності можуть бути обчислені з урахуванням розривів активів і пасивів. На значних історичних вибірках можна використовувати метод історичного моделювання. Найкращі результати досягаються за допомогою методу Монте-Карло, який базується на моделюванні процесів із заданими характеристиками.
format	Article
author	Бидюк, П.И. Басараб, А.В. Гасанов, А.С.
author_facet	Бидюк, П.И. Басараб, А.В. Гасанов, А.С.
author_sort	Бидюк, П.И.
title	Классификация и методы математического описания банковских рисков
title_short	Классификация и методы математического описания банковских рисков
title_full	Классификация и методы математического описания банковских рисков
title_fullStr	Классификация и методы математического описания банковских рисков
title_full_unstemmed	Классификация и методы математического описания банковских рисков
title_sort	классификация и методы математического описания банковских рисков
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209428
citation_txt	Классификация и методы математического описания банковских рисков / П.И. Бидюк, А.В. Басараб, А.С. Гасанов // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 92-107. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bidûkpi klassifikaciâimetodymatematičeskogoopisaniâbankovskihriskov AT basarabav klassifikaciâimetodymatematičeskogoopisaniâbankovskihriskov AT gasanovas klassifikaciâimetodymatematičeskogoopisaniâbankovskihriskov AT bidûkpi klasifíkacíâímetodimatematičnogoopisubankívsʹkihrizikív AT basarabav klasifíkacíâímetodimatematičnogoopisubankívsʹkihrizikív AT gasanovas klasifíkacíâímetodimatematičnogoopisubankívsʹkihrizikív AT bidûkpi classificationandmethodsofbankrisksmathematicaldescription AT basarabav classificationandmethodsofbankrisksmathematicaldescription AT gasanovas classificationandmethodsofbankrisksmathematicaldescription
first_indexed	2025-11-22T02:18:49Z
last_indexed	2025-11-23T02:05:01Z
_version_	1849544935247708160
fulltext	© П.И. БИДЮК, А.В. БАСАРАБ, А.С. ГАСАНОВ, 2009 Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 92 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 62-50 П.И. Бидюк, А.В. Басараб, А.С. Гасанов КЛАССИФИКАЦИЯ И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ БАНКОВСКИХ РИСКОВ Введение Идея о рисках и возможности управления ими (риск-менеджменте) возникла недавно, после краха нескольких больших банков в конце 80-х и начале 90-х го- дов. С начала 90-х годов риск-менеджмент получил новый толчок к развитию, многие финансовые институты начали масштабные исследования в этой области. На финансовых рынках риски определяются как степень неопределенности буду- щих доходностей. Инвесторы стремятся убрать или снизить неопределенность и поэтому нуждаются в методологии для определения и расчета рисков. Подавляющее большинство зарубежных исследователей выделяют следую- щие риски [1]:  операционный риск (operational risk);  кредитный риск (credit risk);  рыночный риск (market risk). Подобного подхода придерживаются ведущие западные банки, специалисты Базельского комитета, разработчики систем анализа, измерения и управления рисками, а также украинские специалисты. К этим базовым рискам добавляют еще несколько вариантов, которые встре- чаются в той или иной последовательности [1]:  деловой риск (business risk);  риск потери ликвидности (liquidity risk);  юридический риск (legal risk);  риск, связанный с регулирующими органами (regulatory risk). Последние четыре вида рисков фигурируют не во всех работах по риск- менеджменту. Риск, связанный с регулирующими органами, наиболее актуален для банковских организаций, поэтому он чаще встречается в сферах, связанных с банковской деятельностью. Риск потери ликвидности некоторые авторы включают в понятие рыночных рисков [1]. Специфика классификации рисков в развитых странах состоит в том, что там существует устойчивая банковская система и развитые рынки — валютный и ценных бумаг. Таким образом, бóльшая часть работ, посвященных проблемам риск-менеджмента, неразрывно связанна с указанными институциями, а также с регулирующими их органами [1]. Проблематика и методология рисков, соотносящихся к деятельности банков и банковских организаций, достаточно глубоко изучены за рубежом. Основные документы, которыми руководствуются риск-менеджеры крупных компаний, раз- Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 93 рабатываются Базельским комитетом по банковскому присмотру (Basel Committee on Banking Supervision) [2]. Наиболее полно классифицируют риски «Основные положения касательно управления рисками деривативов» («Risk Management Guidelines for Derivatives»). В соответствии с этим документом, организация встречается со следующими видами рисков: кредитный риск (включая риск пога- шения); рыночный риск; риск потери ликвидности; операционный риск; юриди- ческий риск. Цель настоящей работы — критический обзор финансовых банковских рис- ков, методов их моделирования и оценивания, а также выработка рекомендаций по применению методов описания. 1. Классификация рисков Операционный риск — это риск, связанный с недостатками в системах и процедурах управления, поддержки и контроля. Он связан, в основном, с торго- выми операциями, а также с денежными соглашениями, касающимися финансо- вого инвестирования и дивидендных (процентных) платежей. Операционному риску подвержены как движение денежных средств, так и уровень прибылей. Операционный риск возникает при подписании соглашений на проведение платежей или получение средств в иностранной валюте, которые будут происхо- дит в какой-то момент времени в будущем. Кредитный риск — риск того, что участник-контрагент не выполнит свои обязательства в полной мере, или к необходимой дате, или в любое время после этой даты. Иначе говоря, это возможность возникновения убытков в результате неуплаты или просроченной оплаты клиентом своих финансовых обязательств; возможность того, что компания не сумеет погасить свои долги своевременно и полностью. Кредитному риску могут быть подвержены как кредитор (банк), так и заемщик (предприятие). Компании также могут встречаться с определенным кредитным риском в своих операциях с банком. Если компания имеет много свободных средств и по- мещает их на банковский депозит, то при возникновении риска ликвидации банка она рискует потерять бóльшую часть своих взносов. Кроме того, существует про- центный риск при размещении слишком большого депозита в одном банке, пото- му что этот банк, осознавая, что компания является регулярным вкладчиком, мо- жет не предложить такую же высокую ставку процента по новому взносу, какую компания могла получить в другом банке. Когда экономика находится в самой низкой точке спада, то кредитный риск при принятии решения о кредитовании значительно меньше, чем в случае эконо- мического подъема. Это связано с тем, что если компания получает прибыли в самой низкой точке спада, то очевидно, что она выживет и в перспективе, когда экономические условия улучшатся, будет процветать. Рыночный риск — это риск потерь, зафиксированных на балансовых и вне- балансовых позициях, вызванный изменением рыночных цен; это риск изменения значений таких параметров рынка, как процентные ставки, курсы валют, цены на акции или товары, корреляция между разными параметрами рынка и изменчи- вость (волатильность) этих параметров. Рассмотрим коротко некоторые виды рыночных рисков. Процентный риск. Он заключается в непредвиденном изменении процентной ставки на финансовом рынке (как депозитной, так и кредитной). Причина возник- новения этого вида финансового риска — изменение конъюнктуры финансового рынка под воздействием государственной регуляции, роста или снижения пред- ложения свободных денежных ресурсов и другие факторы. Его негативные фи- нансовые последствия сказываются на эмиссионной деятельности предприятия (при эмиссии как акций, так и облигаций), его дивидендной политике, кратко- 94 ISSN 0572-2691 срочных финансовых вложениях и некоторых других финансовых операциях. Из- менение процентных ставок влечет возникновение нескольких разновидностей рисков. Риск для заемщика имеет двойную природу. Получая ссуду по фиксирован- ной ставке, он подвергается риску вследствие падения ставок, а в случае ссуды по ставке, которая свободно колеблется, — риску вследствие их увеличения. Риск для кредитора — это зеркальное отображение риска для заемщика. Валютный риск. Этот вид рисков свойственен предприятиям, ведущим внешнеэкономическую деятельность (импортирующим сырье, материалы и полу- фабрикаты и экспортирующим готовую продукцию). Это вероятность финансо- вых потерь в результате изменения курса валют, которое может произойти в пе- риод между заключением контракта и фактическим проведением расчетов по нему. Валютный риск проявляется в недополучении предусмотренных доходов в результате изменения обменного курса иностранной валюты, используемой во внешнеэкономических операциях предприятия. Различают валютные риски для импортера и валютные риски для экспортера. Риск для экспортера — это падение курса иностранной валюты с момента получения или подтверждения заказа к мо- менту получения платежа и во время переговоров. Риск для импортера — это по- вышение курса валюты в промежуток времени между датой подтверждения заказа и датой платежа. Существует также риск валютных операций — вероятность валютных убыт- ков по конкретным операциям в иностранной валюте. Риск операций возникает из-за неопределенной стоимости в национальной валюте инвалютной операции в будущем. Риск потери ликвидности — это риск того, что фирма не сможет в конкрет- ный момент погасить свои обязательства имеющимся капиталом. Это также веро- ятность потерь при необходимости высвобождения средств в нужном размере за достаточно короткий период времени из-за состояния рыночной конъюнктуры, а также вероятность возникновения дефицита средств для выполнения обяза- тельств. Юридический риск — риск того, что в соответствии с действующим на дан- ный момент законодательством партнер не обязан выполнять свои обязательства по операции. Каждый из указанных рисков включает значительное количество составляю- щих рисков, например: операционный риск — это риск обмана, аварий, стихий- ных бедствий; кредитный риск — это риск невозвращения основной суммы кре- дита, риск заемщика; рыночный риск — это процентный риск, валютный и др. Используя приведенную классификацию, учитывают также коммерческие и фи- нансовые риски, которые «разбросаны» по всем категориям. Допустимый, критический и катастрофический риски. Поскольку основ- ная задача предпринимателя — рисковать осмотрительно, не переходя ту грань, за которой возможно банкротство фирмы, следует выделять допустимый, критиче- ский и катастрофический риски. Допустимый риск — это угроза полной потери прибыли от реализации того или иного проекта или от предпринимательской дея- тельности в целом. Следующая степень риска, более опасная сравнительно с допустимым, — это критический риск. Этот риск связан с опасностью потерь в размере проведенных расходов на осуществление предпринимательской деятельности или отдельной операции. Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 95 Под катастрофическим понимают риск, который характеризуется угрозой потерь в размере, равном или превышающем все имущественное состояние пред- приятия. Катастрофический риск, как правило, приводит к банкротству, посколь- ку в этом случае возможна потеря не только всех вложенных предпринимателем в определенный вид деятельности или в конкретную операцию средств, но и его имущества. Страхуемые и нестрахуемые риски. Все предпринимательские риски мож- но также разделить на две большие группы: те, что можно застраховать, и те, что застраховать невозможно. Предприниматель может частично перевести риск на другие субъекты экономики, осуществив определенные расходы в виде страховых взносов. Таким образом, некоторые виды рисков — такие, как риск потери имуще- ства, возникновения пожара, аварий и т.п. — предприниматель может застраховать. 2. Количественные показатели риска Традиционные показатели. На начальной стадии работы с рисками инве- стору или предпринимателю необходимо определить, каким видам рисков под- вержена компания или проект. Сложность модели и точность расчетов прямо свя- заны с количеством учитываемых видов рисков. Выбор видов рисков, которые будут учитываться, зависит от желаемых сложности и точности модели. После определения вида риска инвестору необходимо определить количе- ственные показатели риска. Важными аспектами, которые характеризуют риск, являются изменчивость (волатильность), вероятность или частота событий и чув- ствительность критериев деятельности к их последствиям. Компании практически не имеют возможности контролировать изменчивость финансовых инструментов, но они могут приспосабливаться к этим рискам. Следовательно, можно предло- жить две основные категории показателей, с помощью которых возможно опре- деление риска: показатели чувствительности и вероятностные или статистические величины. На практике разделение между величинами, характеризующими чув- ствительность и вероятность, достаточно условно. Существуют разные обозначения для показателей линейной чувствительно- сти к движению финансовых переменных. На рынке инструментов с фиксирован- ным доходом чувствительность к движению процентных ставок измеряется дю- рацией. На рынке акций чувствительность к фактору рынка в целом (например, к индексу рынка) называется систематическим риском, или коэффициентом . На рынке производных финансовых инструментов чувствительность к изменению цены базового актива характеризует коэффициент . Показатели этих параметров (производные второго порядка) называются выпуклостью на рынке инструментов с фиксированным доходом и коэффициентом  на рынке производных финансо- вых инструментов. Оба показателя измеряют чувствительность второго порядка к изменениям финансовых переменных. Существуют и другие показатели [3]. При измерении рыночных факторов в качестве случайной переменной ис- пользуют прибыльность финансового актива. Арифметическая прибыльность — прирост стоимости актива за определенный период — зависит от изменения цены актива (P) за этот период и промежуточных выплат, таких как дивиденды (D). Геометрическая, или непрерывная, прибыльность измеряется как логарифм изме- нения стоимости цен: .ln 1   i ii i P DP Χ Ожидаемая прибыльность может быть измерена простой средней X или математическим ожиданием доходностей, а вариация — оценкой дисперсии. Cтандартное отклонение (квадратный корень из оценки дисперсии прибыльности) 96 ISSN 0572-2691 называют изменчивостью. Она измеряет риск актива как степень распыления зна- чений прибыльности вокруг ожидаемого уровня. Кроме того, процентный риск и риск потери ликвидности могут оцениваться разрывами пассивов и активов [3]. Разрыв (gap, G) данной срочности определяет- ся как разность суммы процентных активов tA данной срочности и процентных пассивов tL той же срочности: .G ttt LA  Для каждого диапазона можно вы- числить величину такого разрыва. Кумулятивный разрыв (cumulative gap, CG) рассчитывается как накопленный разрыв для каждой срочности. Кумулятивный разрыв — это разрыв для диапазона, который включает предыдущие диапазоны, начиная с первого, со срочностью :0t .GCG 0    T ti i Коэффициент отношения разрыва к общей величине активов (gap ratio, GR) для разрывов и кумулятивных разрывов рассчитывается соответственно: , G GR   A t t . CG CGR   A t t Рассмотренные традиционные методы оценки рисков имеют такие недостатки: • многие из них не могут быть агрегированы (т.е. сведены в один показатель такого же типа) независимо от факторов риска; • они не измеряют капитал, который можно потерять вследствие данных рисков; • на основе этих методов трудно контролировать риск; лимиты позиций, определяемые по факторам риска или показателям чувствительности, часто неэф- фективны. VaR-показатель. Наиболее используемой вероятностной мерой, которая определяет величину возможных потерь от выполнения финансовых операций, является VaR (value at risk) — мера максимального потенциального изменения стоимости портфеля финансовых инструментов с определенной вероятностью на заданном временнóм интервале. Пусть существует некоторый фиксированный портфель открытых позиций. VaR портфеля для данного доверительного уровня 1 и периода сохранения позиции t определяется как величина, обеспечивающая покрытие возможных по- терь х держателя за время t с вероятностью 1 [3]. Показатель VaR обычно используют на рынках, которые находятся в устой- чивом состоянии. Для оценивания этой величины в общем случае необходимо от- ветить на два вопроса: какой объем активов потенциально рисковый и каков этот риск в численном выражении (т.е. какие составляющие риска необходимо учесть и что служит мерой этого риска). Для простоты допустим, что инвестор заинтере- сован только в оценке рыночных рисков [4]. Рассмотрим два основных подхода к оцениванию VaR: локальное и полное оценивание. Выбор подхода зависит от того, предпочтет ли инвестор или пред- приниматель точность, но сложность расчетов или простоту расчетов и локаль- ную, не всегда точную оценку. Линейное оценивание основывается на линейной или более сложной аппрок- симации функции стоимости финансового инструмента. Риск измеряется путем первичного определения стоимости в начальный момент времени, далее исполь- зуются производные для определения возможных изменений. -Нормальный ме- тод использует лишь линейную составляющую динамики через первую производ- ную или ; при этом считается, что будущие деления доходностей нормальны. Таким образом, -нормальный метод представляет собой аналитическую аппрок- Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 97 симацию производных первого и второго порядков и чаще всего применяется к портфелям с ограниченным потенциалом риска. При полном оценивании выполняется полный пересчет стоимости финансово- го инструмента без аппроксимирующих предположений. К методам полного оцени- вания относятся метод исторического моделирования и метод Монте-Карло [3]. Чем больше количество наблюдений, тем легче отклоняется модель оценки VaR в случае ее некорректности. Чем меньше вероятность, тем труднее понять, завышена ли оценка VaR, поэтому обычно вероятность задается на уровне 5 %. -нормальный метод. В основе этого метода лежит предположение о нор- мальном законе деления логарифмических доходностей факторов рыночного рис- ка. В таком случае деление доходностей переменных, представляющих собой ли- нейные комбинации факторов риска, также будет нормальным. Это справедливо для портфеля, который состоит из инструментов с линейными ценовыми характе- ристиками, например акций или валют. Для иллюстрации этого подхода выберем инструмент, стоимость которого зависит лишь от единственного основного фак- тора риска — цены S базового актива, входящего в портфель. Первый шаг заклю- чается в оценивании начальной стоимости портфеля: ).( 00 SVV  Определим 0 как частичную производную первого порядка или, иначе, как чувствительность портфеля к изменению цены актива. В финансовой литерату- ре [5–7] эта производная называется модифицированной дюрацией для портфеля инструментов с фиксированной прибыльностью или коэффициентом  для дери- вативов [7–9]. Таким образом, потенциальная потеря стоимости может быть вы- числена так: .0 0 dSdS S V dV VV      Если деление доходностей нормально, значение VaR для портфеля может быть вычислено как произведение размера актива на VaR и базового актива портфеля ),(VaR 00 S где  — коэффициент, соответствующий определенному уровню значимости (1,65 для 95 %; 2,33 для 99 %);  — среднеквадратическое отклонение возможных изменений стоимости базового актива. Этот метод оценивания называют анали- тическим. На практике VaR рассчитывают по выражению ),1(VaR 1   tk t eP где tP — цена актива в момент t, 1k — квантиль (для доверительного интерва- ла 95 % 1k 1,65; для 99 % 1k 2,33). Величину 11   tk e обычно заменяют ее приближенным значением ,1 tk  которое и является линейной аппроксимацией для малых значений t [3]. Для финансового инструмента с фиксированной прибыльностью факторами риска служат прибыльность и соотношение цена/прибыльность. В этом случае VaR инструмента находят таким образом: ;yVdDdV m ,VaR VDm где mD — модифицированная дюрация облигации [10]. Для позиции из нескольких инструментов, для которых характерен один и тот же фактор риска, величина VaR на временнóм горизонте T может быть рас- считана как произведение 98 ISSN 0572-2691 .VaR TkV t Для расчета VaR -нормальным методом стоимость всех финансовых ин- струментов, которые входят в портфель, должна быть предварительно представ- лена в виде аналитических зависимостей от некоторого набора факторов рыноч- ного риска; необходимо также подсчитать ковариационную матрицу доходностей. Среди преимуществ -нормальной оценки отметим простоту реализации и скорость вычислений даже для очень большого количества финансовых активов, которые входят в портфель, поскольку эта оценка заменяет каждую позицию в портфеле ее линейной аппроксимацией, а также небольшие расходы на сбор первичных данных и достаточно приемлемую точность вычислений в большин- стве случаев. Основной недостаток -нормального метода — недооценка значений, кото- рые не описываются нормальным делением доходностей («толстых хвостов»), и в некоторых случаях низкая точность оценки нелинейных инструментов — таких, как опционы. Этот метод измеряет чувствительность инструмента к риску только с помощью коэффициента , т.е. изменение цены актива рассчитывается пропор- ционально изменению величины  базисного актива, но для некоторых нелиней- ных инструментов важную роль играет и чувствительность к другим факторам. В этом случае -нормальный метод определения оценки при расчете цены базово- го актива может применяться лишь в узком диапазоне. Кроме того, этот метод не позволяет учитывать одиночные, редко происходящие события, не учитываемые при расчете корреляции и изменчивости доходностей, но которые могут привести к значительным убыткам [3]. 3. Пример расчета VaR и количества превышений этого показателя с помощью -нормального метода Для всех расчетов выбран доверительный интервал 95 % и временнóй гори- зонт, равный одному дню, период расчета VaR — 255 дней, т.е. количество рабо- чих дней в году. Расчеты велись для двух портфелей: рыночного, структура кото- рого отображает структуру торгов активами, и равномерного, в котором каждый из трех активов сначала составляет треть стоимости. В качестве статистических данных взяты данные торгов в российской торговой системе (РТС) за один год. Структура рыночного портфеля определяется следующим образом: на основе данных о дневных объемах торгов по доллару США, немецкой марке и данных о дневных объемах торгов в РТС за месяц получены средние значения объемов тор- гов. Пропорционально этим значениям рассчитаны доли активов, входящие в со- став портфеля для доллара США. Доля доллара США определяется так: доля доллара США  (объем торгов по доллару США) / (объем торгов по доллару США  объем торгов по немецкой марке  объем торгов РТС)  0,915. Доля каждого актива в портфеле составила: доллар США — 91,5 %, немецкая марка — 2 %, РТС — 6,5 %. Размер каждого актива установлен на уровне 1 млн российских рублей, который был размещен в указанные активы. Количество еди- ниц i-го актива в портфеле определяется по формуле Q (100000 i) /курс i-го актива; ежедневный 95 %-й показатель VaR рассчитывается по формуле 645,1VaR  ,iіV ,Covport   n i ji m j ji Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 99 где jiCov — ковариация доходностей i-го и j-го активов, i — доля i-го актива в портфеле; n — количество активов. В табл. 1 приведены первые значения исходных данных индекса РТС; в табл. 2 — расчет i для каждой позиции равномерного портфеля; в табл. 3 — расчет VaR для каждой позиции из равномерного портфеля (V100000Q). В табл. 4 представлен расчет VaR для каждой позиции рыночного портфеля. Как видно из этой таблицы, возможны ежедневные потери в рыночном портфе- ле даже без учета корреляции — недиверсифицированный VaR принимает зна- чения приблизительно в 2–2,5 раза меньше, чем недиверсифицированный VaR равномерного портфеля. Формула для расчета изменчивости портфеля из трех активов имеет такой вид: .Cov2Cov2Cov2CovCovCov 23232332122133 2 322 2 211 2 1 port   Таким образом, в табл. 4 приведены значения VaR портфелей, рассчитанные с учетом эффекта диверсификации. После расчета VaR портфеля проводится фак- тический пересчет его стоимости, ежедневные потери по портфелю сравниваются с соответствующими значениями VaR и рассчитывается количество превышений потерями величины VaR за весь период расчета. Таблица 1 № Доллар США Немецкая марка Индекс РТС 255 28,30 13,07 215,95 254 28,32 13.,09 220,60 253 28,34 13,15 222,58 252 28,36 12,99 228,72 251 28,36 12,92 228,29 250 28,36 12,94 225,92 Таблица 2 Доллар США Немецкая марка Индекс РТС 0,004305847 0,009416762 0,029462 0,00448766 0,009492356 0,030038 0,004509962 0,009839771 0,030321 0,004509962 0,009816612 0,030899 Таблица 3 Доллар США Немецкая марка РТС Сумма 2368,216 5179,219 16204,1861 23751,621 2468,216 5220,796 16520,8121 24209,824 2480,479 5411,874 16676,7404 24569,093 2480,479 5399,136 16994,267 24873,882 Таблица 4 Доллар США Немецкая марка РТС Сумма 6500,984 304,6599 3177,291 9982,9319 6775,495 307,1056 3239,375 10321,9756 6809,159 318,3455 3269,949 10397,4535 6809,159 317,5963 3332,209 10458,9643 100 ISSN 0572-2691 В табл. 5 приведена изменчивость рыночного портфеля, состоящего из трех активов, в табл. 6 — сравнение VaR равномерного и рыночного портфелей. В табл. 7 иллюстрируется вычисление количества случаев превышения вели- чины VaR. Если дневная смена стоимости портфеля больше чем VaR в этот же день, количество превышений увеличивается на 1. Общее количество превышений за весь период расчета оказалось равным 4. Это значит, что вероятность неадекватности модели 1–2,5 %; следовательно, мо- дель достаточно точно прогнозирует ежедневные изменения стоимости портфеля. Такой результат достигается благодаря низкой изменчивости доллара США, доля которого в портфеле составляет 91,5 %. На результат повлияла структура портфеля: в равномерном портфеле насчи- тывается четырнадцать случаев превышения, а вероятность неадекватности моде- ли увеличивается до 5–7,5 %. Проводя аналогичные исследования для каждого актива отдельно (т.е. рас- сматривая портфель, в состав которого входит лишь один актив) и учитывая, что в каждый актив был вложен одинаковый капитал, получаем результаты, представ- ленные в табл. 8, которые можно интерпретировать следующим образом. Доллар США. Изменения курса доллара контролируются центральным бан- ком и поэтому характеризуются низкой изменчивостью и легко прогнозируются. Небольшое количество превышений объясняется тем, что VaR, как правило, пре- вышал реальное изменение стоимости портфеля в несколько раз. Немецкая марка. Количество превышений удовлетворяет 95 %-му довери- тельному уровню. Большее в сравнении с долларом количество превышений объ- ясняется более свободным формированием курса (отсутствием контроля со сто- роны центрального банка). РТС. Поскольку актив характеризуется наибольшей изменчивостью, то для пакета акций РТС характерна наибольшая погрешность работы метода VaR. Од- нако количество превышений также удовлетворяет 95 %-му доверительному уровню. В табл. 9, 10 показано влияние глубины ретроспективы (табл. 9 — 43 дня, табл. 10 — 85 дней), по которой рассчитывается изменчивость, на точность -нормального метода. Таблица 5 Изменчивость рыночного портфеля Значения 0,0044007 0,004669 0,004659 0,0046707 0,0047154 0,00471 ... Таблица 6 VaR равномерного портфеля 17863 18437 18891 19173 20060 20043 20122 2012 ... VaR рыночного портфеля 7261 7704 7687 7706 7780 7778 7771 7829 ... Таблица 7 VaR рыночного портфеля Переоценка стоимости портфеля Дневная смена стоимости портфеля Отклонение от VaR Количество превышений 7261,209 1233005 – 3756,8 3504,41 0 7704,494 1236762 – 2109,4 5595,089 0 7687,696 1238872 – 4443,67 3244,022 0 7706,816 1243315 318,365 8088,182 0 7780,555 1242934 1482,46 9263,015 0 Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 101 7778,969 1241452 – 892,967 6886,002 0 7771,66 1242344 – 2463,51 5308,151 0 Таблица 8 Актив Доллар США Немецкая марка РТС Количество превышений VaR рыночного портфеля 1 10 19 Таблица 9 Актив Доллар США Немецкая марка РТС Портфель Количество превышений VaR рыночного портфеля 2 9 22 9 Таблица 10 Актив Доллар США Немецкая марка РТС Портфель Количество превышений VaR рыночного портфеля 1 10 19 4 4. Применение метода --оценки Если в портфеле содержатся нелинейные инструменты (такие, как опционы), то применение -нормального метода для расчета VaR может вызвать такие про- блемы: • высокая скорость () изменения коэффициента  портфеля; • коэффициент  портфеля может быть разным для роста и падения цены ба- зисного актива; • функция поведения стоимости может быть немонотонной; в этом случае нужно не только принимать во внимание предельные точки, но и измерять пове- дение в промежуточных точках; • не учитываются другие виды рисков, кроме рисков . Очевидный способ дополнения -нормального подхода — рассмотрение в ряде Тейлора производных высшего порядка. С их помощью можно повысить точность аппроксимации: . 2 1 ),( 2 2 2           dS S V dt t V dS S V tSdV Запишем это выражение, используя финансовые обозначения: . 2 1 ),( 2dSdtdStSdV  По аналогии с преобразованиями, которые были сделаны при описании -нормального подхода, получим формулу соотношения цена–прибыльность для облигаций в терминах метода --оценки: , 2 1 2CVdyVdyDdV m  здесь mD — модифицированная дюрация, С — коэффициент при производной второго порядка. Если деление нормально, то аналитическая формула для риско- вой стоимости достаточно проста и для нелинейных инструментов (в частности, опционов), и для инструментов с фиксированной доходностью: 102 ISSN 0572-2691 ;)( 2 1 VaR 2SS  .)( 2 1 VaR 2 fixed VCVDm  Недостатки этого метода такие: при его применении предусматриваются нормальные распределения не только доходностей базовых активов, но и их квад- ратов, что обычно неверно; объем вычислений растет геометрически с ростом ко- личества факторов; необходимость проверки поведения стоимости портфеля при всех промежуточных факторах риска сохраняется, если он состоит из нелинейных инструментов с немонотонной функцией изменения стоимости. Еще один способ улучшения точности оценки — так называемый --метод Монте-Карло, в рамках которого генерируются случайные реализации факторов риска с последующей подстановкой полученных значений в ряд Тейлора для определения возможных сценариев движений исследуемого актива. Этот метод также известен как метод частичного моделирования [5, 6]. Такие методы могут быть использованы для более точной настройки параметров скорости и точности в системах оценки рисковой стоимости. 5. Метод исторического моделирования Этот метод основан на предположении о стационарности поведения рыноч- ных цен в ближайшем будущем. На основании выбранной глубины ретроспекти- вы и временнóго интервала берется соответствующее количество Т стоимостей портфеля (при расчете на глубину ретроспективы 1 год с временнм интервалом 1 месяц Т 12). Вычисляются исторические изменения цен активов , 1, 1,, ,    ti titi ti P PP P где tiP , — цена i-го актива за период t. Каждая группа таких изменений каждого инструмента рассматривается как сценарий, в соответствии с которым переоценивается стоимость портфеля. Рас- считываются гипотетические цены ,,0,, tiiti PPP  т.е. цены каждого инструмента на один период на будущее. С учетом этих цен получают оценку стоимости порт- феля на основании исторических сценариев. Для каждого сценария рассчитывается изменение стоимости сегодняшнего портфеля ,0VVV tt  где tV — сценарная стоимость портфеля, 0V — сего- дняшняя стоимость портфеля. После этого полученные Т изменений стоимости портфеля упорядочиваются по возрастанию — от наибольшего убытка к наибольшему приросту стоимостей. Далее, в соответствии с желаемым уровнем доверия величина VaR определяется как максимальный убыток, не превышаемый в соответствующем количестве слу- чаев (например, 95 %-й VaR означает убыток, который не был превышен в более чем 95 % случаев). При использовании этого метода чем больше количество исторических дан- ных берется в расчет, тем выше точность измерения VaR, но, с другой стороны, устаревшие данные могут привести к недостоверным результатам, если в настоя- щий момент рынок изменил свое поведение. Следовательно, подход должен быть в разных случаях различным. Преимущества метода: • не нужно знать закон деления факторов риска, не нужно предполагать нор- мальное деление; • возможно решение проблемы «толстых хвостов», которая порождается не- правильным предположением о нормальном делении факторов риска; • поскольку модель не строится, то отсутствует риск выбора неправильной модели; Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 103 • хорошая точность оценки рисков для нелинейных инструментов; • модель учитывает множество рисков; • простота реализации, простота и наглядность метода. Недостатки метода: • если в расчет берется небольшая обучающая выборка данных, то метод становится неточным; • если расчеты проводить на большой исторической выборке, то существует риск использования устаревших данных, которые могут искажать прогноз, если в данный момент рынок ведет себя не так, как в используемой выборке; • для больших диверсифицированных портфелей при большой исторической выборке расчеты могут быть очень громоздкими. 6. Метод Монте-Карло В некоторых ситуациях способ аппроксимации путем разложения в ряд Тей- лора неприемлем (например, в случае, когда наихудшие потери не могут быть по- лучены при экстремальных изменениях базисных активов, как это происходит для длинного стреда (long straddle), когда покупаются одновременно опционы типа «put (на продажу)» и типа «call (на на покупку)» с одинаковыми договорными це- нами и сроками выполнения в расчете на неустойчивость конъюнктуры). Потеря, которую составляет сумма оплаченных премий по опционам, становится макси- мальной, когда цена базисного актива вообще не изменяется. В этом случае используется метод полной оценки, который рассматривает стоимость портфеля для широкого значения возможных ценовых изменений: ).()( 01 SVSVdV  Новые значения можно получать с помощью методов статистического моде- лирования, в частности метода Монте-Карло, который основывается на априор- ном задании распределения возможных приращений [7]. Метод Монте-Карло основан на моделировании случайных процессов с за- данными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования, в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами деления, например математи- ческим ожиданием и изменчивостью. Этот метод аналогичен методу историче- ского моделирования, имитируемое деление может быть любым, а сценариев много [9]. Моделирование траектории цен может проводиться по разным моделям, например по аналогии с броуновским движением. Броуновское движение на каж- дом шаге дает прирост ),)(()( tdzdttStdS  где tdz — винеровский случайный процесс. Если шаг dt всегда одинаков, то случайная величина  траектории цены яв- ляется сценарием, по которому цена определяется на основе текущей цены. Один из алгоритмов расчета методом Монте-Карло следующий. 1. Рассчитываются оценки математического ожидания и дисперсии выборки. 2. Генерируются случайные числа с найденными математическим ожиданием и дисперсией. 3. Вычисляется траектория моделируемых цен по формуле   eStS t 1)( (траектория цен — это последовательность псевдослучайным образом сгенериро- ванных цен, начиная от текущей цены к конечному шагу). 104 ISSN 0572-2691 4. Переоценивается стоимость портфеля ),( 01 SSQdV  Q — количество единиц актива, 1S — смоделированная конечная цена актива (или курс), 0S — начальная цена актива (или курс), распределенная нормально (0, 1). 5. Предыдущие шаги повторяются для заполнения таблицы значениями. За- тем значения ранжируются по возрастанию и выбирается значение для данного доверительного интервала (как в методе исторического моделирования). Пример расчета методом Монте-Карло. В качестве основы примем индекс РТС как случайный процесс. Используем индекс РТС для 1500 значений. Приведем лишь первые и по- следние значения выборки. Сгенерированы также случайные числа в диапазоне (–1, 1) и заполнена матрица (1500, 500). Для каждого из 1500 значений рассчитано случайное блуждание на 500 ша- гов (m). Пример такого блуждания для первого значения показан на рисунке. – 2000 – 1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 28 82 136 190 244 298 352 406 460 dS(t) m Поскольку временнóй ряд рассматриваемой выборки индекса РТС имеет су- щественный спадающий тренд и дисперсия изменяется во времени, то для по- строения случайного блуждания лучше использовать дисперсию на момент T, т.е. нужно построить вектор дисперсий (1, 1000) для каждого шага. Прирост актива вычисляется как разность ).( 01 PPdP  Заполняется вектор (1, 1000) значений приростом dP. Начальные и конечные значения следующие: 206,882; 189,494; 75,421; 65,39; 120,173; 87,543; ... 6,192; 262,7; 84,095. Значения dP сортируются по возрастанию: 0,1782; 0,7304; 0,9992; 1,3188; 1,9566; ...; 689,63; 690,2; 693,57; 695,27; 695,92. Если значение VaR определяется для доверительного интервала 95 %, то вы- бирается отклонение, которое было превышено лишь в 5 % случаев, т.е. при 1000 значений это будет 50-е значение dP в отсортированном векторе. Это значе- ние приблизительно равно 674. Таким образом, вероятностью 95 % изменение ин- декса за один день торгов не превысит 674. Такое большое значение VaR объяс- няется высокой дисперсией процесса. Для моделирования актива (риски которого зависят от многих факторов) ме- тодом Монте-Карло нужно учитывать корреляцию между факторами риска. Гене- рируются случайные величины e1 и e2, которые коррелируются между собой. Для этого используется распределение Холецкого [11], суть которого заключается в разложении корреляционной матрицы на две и использовании их для вычисления коррелируемых случайных чисел. Коррелируемые случайные числа находят путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел [3]. Преимущества метода: • высокая точность расчетов, возможность применения к элементам с нели- нейными характеристиками; Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 105 • возможность моделирования любых исторических делений; • это мощнейший метод, который может, в принципе, учитывать много раз- ных рисков, включая и нелинейные эффекты: колебание изменчивости во време- ни, «толстые хвосты» делений и даже экстремальные сценарии развития событий; моделирование возобновляет полностью плотность вероятности данных и может быть использовано для проверки ожидаемых потерь после использования VaR. Недостатки метода: • высокая сложность и высокий риск неадекватности модели; • высокая вычислительная сложность и сложность расчетов — это важней- ший недостаток метода Монте-Карло; • большая трудоемкость с точки зрения требований к инфраструктуре и интеллектуальным ресурсам; • зависимость от стохастического процесса при моделировании рисков (в са- мом деле, метод Монте-Карло зависит от определенного стохастического про- цесса для базисных факторов риска так же, как модели ценообразования для оп- ционов или ипотечных инструментов; чтобы проверить, получены ли устойчи- вые результаты к изменениям модели, результаты моделирования должны быть дополнены каким-то анализом чувствительности). Однако в целом этот метод демонстрирует наилучшие результаты, если мо- делирование проводится корректно [4]. 7. Сравнительный анализ методов Сравним преимущества и недостатки рассмотренных методов. Простой метод, который не требует большой выборки для расчета и пересче- та всех позиций — -нормальный метод. Главный его недостаток — гипотеза о нормальном делении, которая не всегда оправдывается. Кроме того, этот метод не всегда годится для оценки активов с нелинейными ценовыми характеристиками. Метод --оценки — более сложный в сравнении с -нормальным. Он позво- ляет учитывать не только риски , но и другие, однако это приводит к ухудшению точности расчетов. Метод исторического моделирования позволяет наглядно и довольно точно оценить риск с учетом «толстых хвостов», не требует задания характера деления, но нуждается в большом объеме исторической выборки для расчетов, которая не всегда может точно отобразить будущие изменения на рынке. Метод Монте-Карло признан лучшим, поскольку позволяет провести расчет с высокой точностью для нелинейных инструментов, не использует гипотезу о нормальном делении и дает высокую точность результатов. В сочетании с мето- дом исторического моделирования позволяет сделать полный расчет, в отличие от -нормального и --нормального, которые являются методами локального оце- нивания. Имеет недостатки: высокую сложность расчетов и риски, связанные с выбором приемлемой модели. В табл. 11 приведено сравнение методов по средней процентной погрешно- сти и времени, необходимому для расчетов. Таблица 11 Метод Средняя процентная ошибка Скорость вычислений t, с -нормальный 5,34 0,08 Исторический 3,09 4,08 Монте-Карло 0 66,27 Таким образом, -нормальный метод дает наилучшую скорость выполнения, но приводит к определенным погрешностям, которые могут быть несуществен- ными для многих операций на рынке. Метод может применяться в случаях, когда 106 ISSN 0572-2691 скорость более важна, чем точность. Исторический метод показывает меньшую погрешность в сравнении с -нормальным, но скорость его работы существенно ниже. Метод Монте-Карло показывает прекрасные результаты, но требует боль- ших затрат времени на вычисление траекторий случайного блуждания. П.І. Бідюк, А.В. Басараб, А.С. Гасанов КЛАСИФІКАЦІЯ І МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОГО ОПИСУ БАНКІВСЬКИХ РИЗИКІВ Представлено загальний опис фінансових ризиків, підходів до опису ризиків і математичних методів розрахунків та моделювання ризиків. Описано структуру ризику, надано рекомендації щодо зниження багатьох видів ризиків у різних ситуаціях та запобігання їм. Наведено математичні методи опису та розраху- нків ризиків: розриви, простий VaR, -нормальний VaR, --нормальний VaR, метод історичного моделювання та метод Монте-Карло. Для кожного ме- тоду наведено приклади розрахунку та описано їх переваги і недоліки. Розгля- нуто такі види ризиків: операційний, ринковий, кредитний, діловий, ліквіднос- ті, юридичний. Для розрахунку ринкових ризиків використовуються декілька методів, найпростішим є розрахунок найбільшого збитку при заданому рівні довіри. Відсотковий ризик і ризик втрати ліквідності можуть бути обчислені з урахуванням розривів активів і пасивів. На значних історичних вибірках можна використовувати метод історичного моделювання. Найкращі результати дося- гаються за допомогою методу Монте-Карло, який базується на моделюванні процесів із заданими характеристиками. P.I. Bidyuk, A.B. Basarab, A.S. Gasanov CLASSIFICATION AND METHODS OF BANK RISKS MATHEMATICAL DESCRIPTION This article describes general introduction to financial risks and presents approaches to risks mathematical simulation. The risks structure, analysis approaches are de- scribed and recommendations for minimization of different kinds of risks in different situations are made. Mathematical methods for risks description and calculation are presented, such us: Gap, Value at Risks (VaR), Delta-Normal method of VaR calcu- lation, Delta-Gamma-Normal method of VaR calculation, historical simulation, Mon- te-Carlo methods. The examples, advantages and disadvantages of each method and risk mitigation approaches are described. Most authors describe the following kinds of risks: operational, marketing, credit, business, liquid, low risks. Several methods can be used for calculation of market risks. Calculation of the biggest loss for stand- ard confidential level. VaR is the simplest of them. Percentage and liquid risks can be calculated by creation of Gap function. The Historical simulation method can be used on the long historical samples. But the best results can be reached by using Monte-Carlo method, based on the simulation of the processes with standard parameters. 1. Рахманов В.С. Классификация рисков: принципы и критерии. — www.aup.ru. 2. http://bis.org. 3. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А. Лобанова, А.В. Чугунова. — М. : 2003. — 786 с. 4. Агаев И.А. Развитие методов VaR для оценки рисков на финансовых рынках. http:// region.mcnip.ru. 5. Jorion Ph. Value at risk: the new benchmark for managing financial risk. — New York : McGrow-Hill, 2001. — 295 p. 6. RiskMetrics technical document. — New York : JPMorgan, 1996. — 296 p. 7. Sharpe W., Gordon A., Bailey J. Investments. — New York : Prentice Hall International, 1997. — 838 p. 8. Fabozzi F. Bond markets, analysis and strategies. — New York : Prentice Hall International, 1996. — 781 p. 9. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice of financial engineering. — New York : John Wiley & Sons, 1999. — 360 р. Проблемы управления и информатики, 2009, № 1 107 10. Лукашов А.В. Риск-менеджмент // Управление корпоративными финансами. — 2005. — № 5. — С. 43–60. 11. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М. : Мир, 1980. — 456 с. Получено 20.08.2008

Классификация и методы математического описания банковских рисков

Institution

Ähnliche Einträge