Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом

Записано вихідні співвідношення варіанта термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульсних електромагнітних полів із модуляцією амплітуди, які є основою опису резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми. Ці співвідношення конкретизовано для тіл канонічної форми (шар...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Мусій, Р., Шимчак, Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Schriftenreihe:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21904
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом / Р. Мусій, Ю. Шимчак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 113-129. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-21904
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-219042011-06-20T12:05:12Z Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом Мусій, Р. Шимчак, Ю. Записано вихідні співвідношення варіанта термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульсних електромагнітних полів із модуляцією амплітуди, які є основою опису резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми. Ці співвідношення конкретизовано для тіл канонічної форми (шару, необмеженого циліндра та кулі), для яких сформульовано відповідні початково-крайові задачі термомеханіки та розроблено методику побудови їх розв’язків із використанням кубічної апроксимації ключових функцій за просторовою змінною й інтегрального перетворення Лапласа за часом. Як приклад приведено розв’язки задачі для циліндра за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом і подано результати числового аналізу термомеханічної поведінки суцільного та порожнистого циліндрів за несучих частот сигналу, які знаходяться в околі та поза околом резонансних. The resulted correlations of the variant of electroconductive solids thermomechanics under the effect of impulse electromagnetic fields with amplitude modulation which are the bases of the description of resonance phenomena in nonferromagnetic electroconductive solids of canonical form have been recorded. For the solids of canonical form — a layer with plane-parallel borders, a sphere and an infinite cylinder — the corresponding initial boundary-value problems have been formulated and the methodology of their solutions construction using cubical approximation of key functions according to space variable and integral Laplace transformation by time has been developed. For the cylinder the solution of the problem under the effect of electromagnetic action with impulse modulating signal has been shown and the results of numerical analysis of thermomechanical behaviour of the solid and the hollow cylinders at the nonresonance and resonance frequency of carrying signal have been shown. Записаны исходные соотношения варианта термомеханики электропроводных тел при воздействии импульсных электромагнитных полей с модуляцией амплитуды, которые являются основанием описания резонансных явлений в неферромагнитных электропроводных телах канонической формы при электромагнитном воздействии в режиме с импульсным модулирующим сигналом. Эти соотношения конкретизированы для тел канонической формы (слоя, длинного цилиндра и шара), для которых сформулированы соответствующие начально-краевые задачи термомеханики и разработана методика построения их решений с использованием кубической аппроксимации ключевых функций по пространственной переменной и интегрального преобразования Лапласа по времени. В качестве примера приведены решения задачи для цилиндра при электромагнитном воздействии в режиме с импульсным модулирующим сигналом, а также результаты численного анализа термомеханического поведения сплошного и полого цилиндров при несущих частотах сигнала, которые находятся в окрестности и вне окрестности резонансных. 2008 Article Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом / Р. Мусій, Ю. Шимчак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 113-129. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1816-1545 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21904 539.3 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Записано вихідні співвідношення варіанта термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульсних електромагнітних полів із модуляцією амплітуди, які є основою опису резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми. Ці співвідношення конкретизовано для тіл канонічної форми (шару, необмеженого циліндра та кулі), для яких сформульовано відповідні початково-крайові задачі термомеханіки та розроблено методику побудови їх розв’язків із використанням кубічної апроксимації ключових функцій за просторовою змінною й інтегрального перетворення Лапласа за часом. Як приклад приведено розв’язки задачі для циліндра за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом і подано результати числового аналізу термомеханічної поведінки суцільного та порожнистого циліндрів за несучих частот сигналу, які знаходяться в околі та поза околом резонансних.
format	Article
author	Мусій, Р. Шимчак, Ю.
spellingShingle	Мусій, Р. Шимчак, Ю. Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Мусій, Р. Шимчак, Ю.
author_sort	Мусій, Р.
title	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
title_short	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
title_full	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
title_fullStr	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
title_full_unstemmed	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
title_sort	методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/21904
citation_txt	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом / Р. Мусій, Ю. Шимчак // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2008. — Вип. 8. — С. 113-129. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT musíjr metodikadoslídžennârezonansnihâviŝuneferomagnítnihelektroprovídnihtílahkanoníčnoíformizaelektromagnítnoídíívrežimízímpulʹsnimmodulûûčimsignalom AT šimčakû metodikadoslídžennârezonansnihâviŝuneferomagnítnihelektroprovídnihtílahkanoníčnoíformizaelektromagnítnoídíívrežimízímpulʹsnimmodulûûčimsignalom
first_indexed	2025-07-02T22:50:27Z
last_indexed	2025-07-02T22:50:27Z
_version_	1836577328123084800
fulltext	Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом Роман Мусій1, Юзеф Шимчак2 1 д. ф.-м. н., доцент, Національний університет «Львівська політехніка», вул. С. Бандери, 12, Львів, 79013, e-mail: Musiy@polynet.lviv.ua 2 ад’юнкт, Інститут математики та фізики Політехніки Опольської, вул. Любошицька, 3, Ополє, Польща, 45-370 Записано вихідні співвідношення варіанта термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульс- них електромагнітних полів із модуляцією амплітуди, які є основою опису резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах канонічної форми. Ці співвідношення конкрети- зовано для тіл канонічної форми (шару, необмеженого циліндра та кулі), для яких сформульо- вано відповідні початково-крайові задачі термомеханіки та розроблено методику побудови їх розв’язків із використанням кубічної апроксимації ключових функцій за просторовою змінною й інтегрального перетворення Лапласа за часом. Як приклад приведено розв’язки задачі для ци- ліндра за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом і подано резуль- тати числового аналізу термомеханічної поведінки суцільного та порожнистого циліндрів за несучих частот сигналу, які знаходяться в околі та поза околом резонансних. Ключові слова: електромагнітне поле, імпульсна дія, резонансні частоти, інтенсивності напружень, несуча здатність. Вступ. Резонансні явища широко використовують у багатьох пристроях сучасної тех- ніки. Дослідженню таких явищ у механічних системах, які перебувають під дією сило- вих, температурних та електромагнітних навантажень, присвячено багато наукових праць [1, 3, 4, 6, 7, 11, 13-15]. Зокрема, значна увага приділяється вивченню ефекту крайового резонансу у зв’язку з явищем концентрації електромагнітної та механічної енергії у скінченних тілах, яке використовується при функціонуванні сучасних електромагнітомеханічних, акустоелектричних і ультразвукових пристроїв. У даній роботі досліджено закономірності термомеханічної поведінки не- феромагнітних електропровідних тіл канонічної форми за електромагнітної дії в режимі з імпульсним модулюючим сигналом (РІМС) за використання несучої частоти, рівної резонансній. Для цього використано варіант теорії термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульсних електромагнітних полів (ЕМП) із модуля- цією амплітуди, запропонований у роботі [2]. Він включає математичні моделі кількісного опису у взаємозв’язку електромагнітних, теплових і механічних про- цесів у циліндричних і сферичних тілах, а також тілах із плоскопаралельними границями за врахування особливостей дії електромагнітного поля на електро- провідне тіло для характерних типів модулюючого сигналу. УДК 539.3 113 Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 114 1. Вихідні співвідношення варіанта термомеханіки електропровідних тіл за дії імпульсних ЕМП Розглядаємо імпульсні ЕМП, вектори напруженості магнітного поля ( ),H r t яких на поверхні електропровідного тіла подаємо виразами ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0, , , cosH r t H r t H r t t= ≡ ω чи ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0, , , sinH r t H r t H r t t= ≡ ω . (1) Тут ( ) ( ) ( )0 * 0 * 0 0,H r t H t H r= — модульована амплітуда; ( )* 0 0H r — амплітуда коли- вань несучої частоти сигналу, H(t) — функція імпульсного характеру, що описує закон зміни в часі сигналу, який модулює амплітуду електромагнітних коливань (амплітуду несучого режиму) та задовольняє умови H(t) ≤ 1, t ∈ [0, ti], H(0) = 0, H(ti) = 0; ω — несуча кругова частота; ti — час тривалості електромагнітної дії; r , 0r — радіуси-вектори точок усередині та на поверхні електропровідного тіла. Приймаємо, що величини ( ) ( )* 0 0 ,H r H t , ω, ti є такі, що діюче імпульсне ЕМП на- лежить до класу імпульсних «неруйнівних» ЕМП [8, 12, 16] з імпульсом, довжина якого менша від часток секунди (t ≤ 0,1 c), та з індукцією магнітного поля, що не перевищує 50 Тл (Bmax ≤ 50 Тл). Розглядаємо такі ЕМП, дія яких ще не приводить до виникнення ударних хвиль (Hmax ≤ 10 7A / м, де Hmax — найбільше значення на- пруженості магнітного поля на поверхні тіла). Сформулюємо задачі математич- ної фізики для визначення теплових і механічних процесів в електропровідних тілах канонічної форми за такої електромагнітної дії. За окреслених величин параметрів електромагнітної дії напруження та де- формації, а також їх швидкості є настільки малі, що можна застосувати співвід- ношення лінійної теорії пружності та знехтувати впливом рухомості середовища на характеристики ЕМП. Процес деформування електропровідного тіла має динаміч- ний характер, для якого властиві відомі особливості механічної поведінки дефор- мівних тіл за динамічних та імпульсних силових і теплових навантажень (значення динамічних модулів пружності металів і їх сплавів мало відрізняються від ста- тичних, а значення динамічної межі пружної деформації σd може зростати у 2-3 рази порівняно зі статичною межею пружної деформації σs і визначене експеримен- тально для різних матеріалів залежно від швидкості деформування). Розглядаємо ізотропні однорідні електропровідні неферомагнітні тіла, для яких електромеханічні та термоелектричні ефекти є неістотні. Приймаємо, що мате- ріальні рівняння електродинаміки мають вигляд 0, ,D E B H j E= ε = µ = σ , де ε = ε0ε, µ = µ0µ; ε0, µ0 — відповідно електрична та магнітна сталі; ε, µ* — відносні елект- рична та магнітна проникливості (сталі величини), σ0 — коефіцієнт електропровід- ності. За прийнятих припущень вплив імпульсного ЕМП із модуляцією амплітуди на процеси теплопровідності та пружного деформування в електропровідному тілі, як і для квазіусталених ЕМП, враховується через зумовлені цим полем джоулеве ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 115 тепловиділення 0Q E E= σ ⋅ та пондеромоторну силу F = = 0 E Hσ µ × . Ці фактори приводять до виникнення нестаціонарних температурних і механічних полів. Пон- деромоторні моменти кручення ( * * * E MM M M= + , де * EM P E= × — електричні моменти, а * MM M B= × — магнітні моменти; P D E= − ε та 0M B H= µ − — вектори поляризації та намагнічування відповідно) за рахунок паралельності век- торів індукцій і напруженостей електричного та магнітного полів є рівні нулю. У такому наближенні за постійних характеристик матеріалу (зокрема, рівних се- реднім значенням у розглядуваному інтервалі зміни температур) вихідні співвід- ношення для визначення параметрів, що характеризують електромагнітні, теплові та механічні процеси в тілах за імпульсної електромагнітної дії, можна сформулювати у два етапи. На першому записуємо рівняння на визначення параметрів ЕМП і ви- рази для виробництва тепла та пондеромоторних сил, як функцій параметрів ЕМП. На другому етапі формулюємо співвідношення, що описують зв’язок механічних та теплових параметрів за заданих початкових і граничних умов на температуру T та компоненти σij тензора напружень σ̂ , в яких джерелами тепла й об’ємними си- лами є джоулеві тепловиділення та пондеромоторні сили, визначені на першому етапі. За відомих температури та компонент тензора напружень σ̂ аналізуємо ве- личини, які характеризують досліджувані фізико-механічні процеси та їх особливості залежно від параметрів імпульсних електромагнітних навантажень, а з умови [6, 9] ( ) ( )2 2 1ˆ ˆ3 2i dI Iσ = σ − σ ≤ σ (2) (σi — інтенсивність напружень; ( )ˆ , 1,2jI jσ = — інваріанти тензора напружень; σd — межа пружної деформації) визначаємо допустимі параметри імпульсного ЕМП, які забезпечують граничну несучу здатність розглядуваних тіл. Розв’язування такої комплексної задачі, навіть для тіл простої геометричної конфігурації, пов’язане зі значними математичними труднощами. З метою вико- ристання наближених підходів до розв’язування сформульованих задач (зокрема, задачі термопружності) за ключові функції виберемо Н , T, σ̂ . Зазначимо, що фор- мулювання прямих задач відносно цих ключових функцій дозволяє ефективно використати метод поліноміальної апроксимації розв’язків і суттєво підвищити їх точність. На першому етапі, нехтуючи струмами зміщення та за відсутності вільних зарядів у тілі, на основі рівнянь Максвелла для неферомагнітного електропровідного тіла записуємо рівняння для визначення вектора напруженості магнітного поля Н 0 0HH t ∂ ∆ − σ µ = ∂ , div 0H = (3) і вирази для тепловиділення та пондеромоторної сили ( ) 2 0rot ,jQ Q H r t ≡ = σ  , ( ) ( )rot , ,F H r t H r t= µ × . (4) Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 116 Рівняння (3) розв’язуємо за граничної умови (1) і початкової умови ( ),0 0H r = (відсутність поля в початковий момент часу t = 0). Для визначення параметрів, що описують термопружний стан тіла, за клю- чові функції вибрано температуру T та тензор напружень σ̂ . Приймаючи, що у початковий момент часу t = 0 переміщення U та швидкості dU dt дорівнюють нулю, а температура T дорівнює T0 [К], отримано початкові умови ( ),0 0T r = , ( ),0 0iк rσ = , ( ) ( ) ( )ˆ , , ,1 ˆ 0 2 r t T r t r t G t t E t  ∂σ ∂ ∂σν + α − =  ∂ ∂ ∂  I при t = 0. (5) Тут T — відхилення температури від початкової T0; ( ) 1 11 22 33ˆ ккIσ ≡ σ = σ = σ + σ + σ ; ( )2 1G E=  + ν   — модуль зсуву; α, ν — коефіцієнти лінійного теплового роз- ширення та Пуассона; E — модуль Юнга; Î — одиничний тензор. З огляду на співвідношення (4) температуру T та тензор напружень σ̂ по- даємо у вигляді суми двох складників Q FT T T= + , ˆ ˆ ˆQ Fσ = σ + σ , (6) де QT , ˆ Qσ і FT , ˆ Fσ — складники, зумовлені відповідно джоулевим теплом і пондеромоторними силами. Відомо, що тіла, які перебувають під дією імпульсних «неруйнівних» ЕМП, нагріваються адіабатично — температура в точці визначається тільки кіль- кістю енергії ЕМП, незворотно поглинутої у відповідному елементарному об’ємі тіла (джоулевим теплом) [8, 12, 16]. За таких умов температурне поле TQ описується рівнянням QT Q t ∂ κ = ∂ λ , де κ, λ — коефіцієнти температуро- та теплопровідності. Тому в розглядуваному випадку для складника температури TQ маємо ( ) ( ) 0 , , t QT r t Q r t dtκ = λ ∫ . (7) Приймаємо, що тіло вільне від силового навантаження. Тоді з рівнянь тер- мопружності для визначення компонент Q ікσ складника ˆ Qσ тензора напружень, зумовленого температурою TQ, отримано систему рівнянь ( ) 2 2 1 ˆˆ ˆDef Div 2 Q Q QT I G Et  ∂ ν σ = ρ σ + α − σ  ∂    , (8) яку розв’язуємо за початкових ( )ˆ ,0 0Q rσ = , ˆ ( , ) ˆ 1 2 Q QE T r t t t ∂σ α ∂ = − ∂ − ν ∂ I при t = 0 (9) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 117 і граничних ˆ 0Q nσ ⋅ = при 0r r= умов. Тут ρ — густина матеріалу тіла; n — вектор зовнішньої нормалі до поверхні тіла. Під час визначення складників температури T F і напружень F iкσ , зумовлених дією пондеромоторної сили, враховуємо, що термічне збурення в електропровід- ному тілі (викликане деформацією від динамічної силової дії — пондеромоторної сили F , яка має імпульсний характер) є мале. Тому за час імпульсної електромаг- нітної дії процес деформування електропровідного тіла можна вважати адіаба- тичним, за якого приріст температури T F визначається формулою [7, 10] ( ) * 03 2F F ккT T = − λ + µ ακ ε λ  , (10) де F ккε — перший інваріант тензора деформацій ˆFe , зумовлених дією пондеро- моторної сили; λ, µ ≡ G — ізотермічні коефіцієнти Ляме. Враховуючи, що у ви- падку адіабатичного деформування тіла закон Гука визначається співвідношенням * ˆˆˆ 2F F F s ккσ = µ ε + λ ε I [7, 10], де ( )2 * * * 03 2s T λ = λ + λ + µ ακ λ  — адіабатичний коефіцієнт Ляме, ( ) ( )2 2 * * * 0 * 3 2 2T ε = λ + µ α κ  λ + µ λ   — параметр зв’язаності полів деформації та температури, вираз для об’ємної деформації тіла записуємо у вигляді ( )3 2F F кк кк sε = σ λ + µ . Тоді приріст температури T F відносно початкової температури тіла T0 буде дорівнювати ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 0 * * 3 2 3 2 1 3 1 1 F ккF F кк s T TT λ + µ ακ σ ακ = − = − σ λ λ + µ  + ε − ν + ν λ  , (11) а компоненти складника ˆ Fσ тензора напружень задовольняють рівняння ( ) 2 * 2 1 ˆˆ ˆDef Div 2 F F FF G Et νν∂  σ + = ρ σ − σ ∂   I , (12) початкові умови ( )ˆ ,0 0F rσ = , ( )ˆ , 0 F r t t ∂σ = ∂ при t = 0 (13) і граничні умови ˆ 0F nσ ⋅ = при 0r r= , t > 0. Тут ( )( ) ( ){ 1 1 1 2 1ν = +  −ν − ν ε  ν +ν ×  ( ) ( ) }1 3 1 1× + ε − ν + ν   . Зауважимо, що діючи на рівняння (8) і (12) оператором несумісності Ink і враховуючи рівняння Ink Def ≡ 0, а також початкові умови (9) і (13) для тензорів ˆ Qσ та ˆ Fσ , отримаємо ˆInk 0Qe = і ˆInk 0Fe = , тобто за виконання рівнянь (8) і (12) умови неперервності деформацій виконуються тотожно. Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 118 Для моментів часу, більших за тривалість імпульсної дії t > ti, температурне поле ( )* , Q FT r t T T T= = + визначаємо з рівняння * 1 0TT t ∂ ∆ − = κ ∂ за початко- вої умови ( ) ( ) ( )* ,0 , ,Q F i iT r T r t T r t= + та граничних умов, які відповідають конвективному теплообміну тіла з зовнішнім середовищем. Враховуючи висновки робіт [7, 10] про заникання динамічних ефектів за теплового удару та скінченної швидкості росту температури на поверхні тіл, поле напружень ˆ Tσ знаходимо в квазістатичній постановці з системи рівнянь ˆDiv 0Tσ = , * *1 ˆˆInk 0T T ккT E E  + ν ν σ + α − σ =     I , (14) яка випливає зі співвідношень (8) за граничних умов ˆ 0T nσ ⋅ = на поверхні електропровідного тіла. Для електропровідних тіл канонічної форми (шар, необмежені суцільний і порожнистий циліндри, порожниста та суцільна кулі) сформульовано математичні постановки одновимірних крайових задач термомеханіки у разі однорідної за ко- ординатами нестаціонарної електромагнітної дії. Для циліндрів сформульовано плоску осесиметричну задачу за заданих значень дотичної осьової компоненти Hz(r, t) вектора H , а для куль — центральносиметричну задачу за заданих зна- чень азимутальної компоненти Hφ(r, t) на відповідних граничних поверхнях, а для пластини — динамічну задачу у разі задання дотичної компоненти Hy(z, t) на лицевих поверхнях z = ± h. Рівняння для визначення відповідної компоненти Hi вектора H має вигляд 2 02 0i i Hm H r r tr   ∂∂ ∂ + −σ µ = ∂ ∂∂  . (15) Тут i = y, m = 0, r ≡ z — для пластини; i = z, m = 1 — для циліндрів; i = φ, m = 2 — для куль. Початкова умова при t = 0 за відсутності ЕМП в тілі буде: Hi (r, 0) = 0. Якщо функції Hi (r, t) відомі, то вирази для питомих густин джоулевих тепловиді- лень Q та пондеромоторної сили F записуємо на основі формул (4). Складники температури T Q та напружень Q jjσ визначаємо з системи рівнянь QT Q t ∂ κ = ∂ λ , 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Q Q Q Q rr rr к T E l T r r r rr c t t   ∂ σ∂ ∂ + ν ∂ α ∂ + σ − = αρ − ⋅ ⋅ ∂ − ν − ν ∂∂ ∂ ∂  , ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 QQ Q QrrQ rr rc cp p E T rt r r t t ϕϕ ϕϕ ∂ σ∂ σ ∂ σν α ∂ + σ = ⋅ + − − ν − ν ∂ − ν − ν∂ ∂ ∂ , ( )Q Q Q Q zz rr ETϕϕσ = ν σ + σ −α , Q Q ϕϕθθσ ≡ σ (16) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 119 за початкових умов ( ),0 0QT r = , ( ),0 0Q jj rσ = , ( ) ( ),0 ,0 1 Q Q jj r T rE t t ∂σ ∂α = − ∂ − ν ∂ . (17) Тут j ∈ {x, y, z}; к = 0; l = 0; r ≡ x; Q Q rr zzσ = σ ; 1 1 2 Q Q Q Q xx yy zz E Tν α σ = σ = σ − − ν − ν — для пластини та Q zzσ визначається з другого рівняння системи (16); j ∈ {r, φ, z}; к = 3; l = 1; p = 1 — для циліндрів і розв’язки плоскої осесиметричної задачі зна- ходимо з 1-4 рівнянь системи (16); j ∈ {r, θ, φ}; к = 4; l = 2; p = 2 — для куль і розв’язки центральносиметричної задачі шукаємо на основі 1-3 та п’ятого рівнянь цієї системи. У випадку адіабатичного деформування електропровідного тіла внаслідок дії пондеромоторної сили F рівняння для знаходження температури T F і напружень F jjσ будуть мати вигляд ( ) ( ) 22 2 2 2 1 * 1 11 F F rr r r rr nF Fк r r r rr c t   ∂ σ ∂∂ ∂ + σ − = − − ∂ − ν ∂∂ + ε ∂  , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 FF FrrF r rr rc p c Fp r rt r r t ϕϕ ϕϕ  ∂ σ∂ σ ∂ σν + σ = + + − ν ∂ − ν∂ − ν ∂   , ( )F F F zz rr ϕϕσ = ν σ + σ , F F θθ ϕϕσ ≡ σ , ( ) ( )0 * * 1 2 1 1 1 3 1 1 F F sNT T E − ν − ν − = −ε ⋅ ⋅ α + ν + ε − ν + ν , (18) а початкові умови ( ),0 0FT r = , ( ),0 0F jj rσ = , ( ),0 0 F jj r t ∂σ = ∂ . (19) Тут j ∈{x, y, z}; к = 0; n = 0; s = 0; F F rr zzσ = σ ; ( ) ( )1F F F xx yy zzσ = σ = νσ − ν ; 0 F F zzN = σ — для пластини; { }, ,j r z∈ ϕ ; 3к = ; 2n = − ν ; 1p = ; 1s = ; ( )( )1 1F F F rrN ϕϕ= + ν σ + σ — для циліндрів у випадку плоскої осесиметричної задачі; j ∈ {r, θ, φ}; к = 4; p = 2; s = 2; ( ) ( )( )2 1 1 2F F F rrN ϕϕ= − ν + ν σ + σ — для куль у випадку центральносиметрич- ної задачі. Квазістатичні напруження T jjσ , зумовлені температурою T = T Q + T F, визначаємо з системи квазістатичної задачі термопружності, відповідної до системи (16). Записані вище рівняння для визначення напружень Q jjσ і F jjσ розв’язуємо за умови відсутності навантажень на поверхнях тіл. Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 120 2. Методика побудови розв’язків крайових задач Розв’язки сформульованих вище задач, знайдені відомими методами, зокрема, з використанням інтегральних перетворень, мають вигляд багатократних функці- ональних рядів, які погано збігаються за умови імпульсної електромагнітної дії, що суттєво ускладнює їх числове аналізування. Для ключових функцій { }* , , , ,Q F i ік ік ікH TΦ = σ σ σ задач електродинаміки, теплопровідності та термопружності для циліндричних (і, к ∈{r, φ, z}), сферичних (і, к ∈{r, θ, φ}) тіл і тіл із плоскопаралельними границями (і, к ∈{x, y, z}) вико- ристано апроксимацію їх розподілів многочленом третього степеня за відповід- ною координатною змінною γ. Коефіцієнти апроксимаційних многочленів визначаються через інтегральні характеристики Φs(α1, α2, t) ключових функцій (віднесені до відповідної елемен- тарної площі), тобто ( ) ( ) 1 0 1 2 1 21 1 1 0 1, , , , , r s l s s l s l r s lt t d r r + + + + + + + Φ α α = Φ α α γ γ γ − ∫ , 1,2s = (20) та задані граничні значення Φ ±(α1, α2, t) цих функцій чи відомі граничні умови стосовно них на граничних поверхнях. Тут α1 = x, α2 = y; l = – 1; r0 = 0, r1 = h (h — товщина) — для шару з плоскопаралельними границями; α1 = φ, α2 = z; l = 0 — для циліндричного тіла; α1 = φ, α2 = θ; l = 1 — для сферичного тіла; r0 і r1 — внутрішній і зовнішній радіуси порожнистих циліндра чи кулі; r0 = 0 і r1 = R (R — радіус) — для суцільних циліндра та кулі. Рівняння для визначення інтегральних характеристик Φs(α1, α2, t) (s = 1, 2) отримано шляхом множення вихідних рівнянь на γ s + l та інтегрування по γ з ураху- ванням співвідношення (20). Таким чином, розв’язування крайових задач зведено до знаходження розв’язків відповідних задач Коші стосовно інтегральних харак- теристик. Отримані системи звичайних диференціальних рівнянь за часовою змінною відносно інтегральних характеристик ключових функцій розв’язуємо з викорис- танням перетворення Лапласа та теореми про згортку функцій. Зокрема, у випадку порожнистого циліндра для інтегральних характеристик His(t), ( ) sT t та ( )j rrs tσ ( ),j Q F= ключових функцій отримано такі вирази ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 m t pm m is i s i s m H t H t H t e dτ+ − =  = − τ Φ + − τ Φ τ ∑ ∫ , (21) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * * 1 1 1 2 1 2 1 0 t p t s s sT t T t R T t R e dα −τα α α=  = + τ ∑∫ , (22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 13 1 4 1 2 1 0 2 sin t j jj rrs s st d d N t N t d − β β β β=    σ = λ + + λ − τ + − τ λ τ τ  ∑ ∫ . (23) ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 121 Тут ( )iH t± — задані довільні значення напруженості магнітного поля на поверх- нях r = r0 і r = r1 порожнистого циліндра; ( )11 3 6 2 7 0 т m md p d d d d Φ = − +  ; ( )12 4 6 2 8 0 т m md p d d d d Φ = − +  ; ( )21 7 1 3 5 0 т m md p d d d d Φ = − +  ; ( )22 8 1 4 5 0 т m md p d d d d Φ = − +  ; ( )* * 11 4 0R p d dα α α= − ; * * 12 2 0R d dα α= ; * * 21 3 0R d dα α= ; ( )* * 22 1 0/ ;R p d dα α α= − ( )2 411 1 Q QN d Wβ= λ − ; 212 2 Q QN d W= ; 321 1 Q QN d W= ; ( )2 122 2 Q QN d Wβ= λ − ; ( ) ( )2 ** 11 6 1* F FN t c Nβ= ξ − ; ( ) ** 12 2 2* F FN t c N= ; ( ) ** 21 5 1* F FN t c N= ; ( ) ( )2 ** 22 1 2* F FN t c Nβ= ξ − ; ( )1* 1 F FN W t= ; ( )2* 2 F FN W t= ; pm, pα, λβ, ξβ — корені відповідних характеристичних рівнянь; ( ) ( )1* * 1 1, r s s r T t T r t r dr= ∫ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1, 1,2; , ; 1 1 Q Qr pp s Q s r T El TW t W r t r dr s p Q F W r rt + ν ∂ α ∂ = = = = αρ − − ν − ν ∂∂∫ ; ( )1 F r rnF FW r r ∂ = − − − ν ∂ ; d1 ÷ d8, * * 1 4d d÷ , 1 4d d÷ , 1 6c c÷ — числові коефіцієнти, які визначаються через геометричні параметри тіл і фізико-механічні характерис- тики матеріалу. Зауважимо, що запропонована методика суттєво спростила знаходження часткових розв’язків складників задач термомеханіки електропровідних тіл. Вико- ристання апроксимації ключових функцій кубічним поліномом дозволило побуду- вати аналітичні розв’язки динамічних задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми в замкнутому вигляді на всьому часовому проміжку незалежно від характеру зміни в часі імпульсної електромагнітної дії. 3. Розв’язок крайової задачі для необмеженого циліндра за електромагнітної дії в РІМС Із використанням запропонованої вище методики побудовано розв’язок задачі для необмеженого порожнистого циліндра за електромагнітної дії в РІМС, що задається на поверхні електропровідного тіла умовою (1). Така дія використову- ється для запобігання обледеніння систем, в інших функціональних пристроях для зняття небажаних чужорідних нашарувань і т. і. [1]. За модулюючу функцію H(t) у формулі (1) приймаємо функцію H(t) ≡ ( ) ( )1 2 0 t tH t к e e−β −β≡ = − , яка з достатньою точністю відображає характерну часову залежність для поширеного в практиці електромагнітного обробляння модулюю- чого імпульсного сигналу — він швидко зростає до максимального значення та Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 122 далі повільно спадає [5]. Тут β1, β2 — параметри, що характеризують часи фронтів наростання tiner і спадання tdecr імпульсу, які пов’язані з часом тривалості імпульсу ti рівністю ti = tiner + tdecr; ( ) ( )1 1iner inert rtre e− −β = − , де величину r за заданої точності ε = 10 – m заникання до нуля експоненти 1te−β визначаємо як r = (m ln 10) / ti; β2 = = β1 + r; ( )1 21/ iner inert tк e e−β −β= − — нормувальний множник. При цьому β2 > β1, що забезпечує згадану часову залежність модулюючого імпульсу. Нехай амплітуда ( )0 * 0H r несучого сигналу дорівнює H0. Приймаючи у виразі (21) для інтегральної характеристики Hzs(t) осьової компоненти ( ),zH r t вектора H значення функцій ( )iH t± рівні ( ) ( ) ( )1 2 0 0 cost tH t кH e e t−β −β± = − ω , (24) інтегруючи співвідношення (21) за часом і враховуючи кубічне подання для шуканих розв’язків, компоненту Hz записуємо так ( ) ( ) ( ){ 1 4 2 1 2 0 1 1 , sin cosz t im im i m H r t к e C t C t H −β = =  = ω + ω + ∑∑ ( ) ( ) }2 3 4 5 1sin cos mp tt i im im ime C t C t C e r−β − + ω + ω +  . (25) Тут 1 1im im mC B C= ; 2 2im im mC B C= ; 3 3im im mC B C= ; 4 4im im mC B C= ; 5 5im im mC B C= ; ( )2 2 1 1m mC p = ω β + + ω   ; ( ) ( )2 2 2 1 1m i m mC d p p = − β + β + + ω   ; ( )2 2 3 2m mC p = ω β + + ω   ; ( ) ( )2 2 4 2 2m i m mC d p p = + β + β + + ω   ; ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 5 1 1 2 2m m m m mC p p p p   = β + β + + ω + β + β + + ω     ; 1,3 1,4i i id a a− −= + ; ( ) ( )1,1 11 12 1,2 21 22 m m m m im i iB a a− −= Φ +Φ + Φ +Φ . Відповідно до формул (4) питомі густини джоулевого тепловиділення Q та пондеромоторної сили { },0,0rF F= визначаємо зі співвідношень ( ) ( )( ) ( ) 4 22 4 2 0 , 2 , 10 , 1 1 i j ijmn i j m n Q r t к i j t r H + − = = = − − ϕ σ ∑ ∑ , ( ) ( ) ( ) 4 2 2 3 2 , 2 , 10 , 1r i j ijmn i j m n F r t к i t r RH + − = = µ = − − ϕ∑ ∑ , (26) де ( ) ( ) ( )1 21 22 21 2 3 4 m nt p p tt t ijmn ijmn ijmn ijmn ijmnt E e E e E e E e− β +β +− β − βϕ = + + + + ( ) ( )1 21 22 25 6 7sin 2 tt t ijmn ijmn ijmnt E e E e E e− β +β− β − β + ω + + +  ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 123 ( ) ( )1 21 22 28 9 10cos 2 tt t ijmn ijmn ijmnt E e E e E e− β +β− β − β + ω + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 211 12 13 14sin m m n np t p t p t p t ijmn ijmn ijmn ijmnt E e E e E e E e−β −β −β −β + ω + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 215 16 17 18cos m m n np t p t p t p t ijmn ijmn ijmn ijmnt E e E e E e E e−β −β −β −β + ω + + +   ; ( )1 1 1 2 2 2ijmn im jn im jnE C C C C= + ; ( )2 4 2 2ijmn im jnE C C= ; ( )3 3 3 4 4 2ijmn im jn im jnE C C C C= + ; 4 5 5 ijmn im jnE C C= ; ( )5 1 2 2 1 2ijmn im jn im jnE C C C C= + ; ( )6 3 2 4 1 1 4 2 3 2ijmn im jn im jn im jn im jnE C C C C C C C C= + + + ; ( )7 3 4 4 3 2ijmn im jn im jnE C C C C= + ; ( )8 2 2 1 1 2ijmn im jn im jnE C C C C= − ; ( )9 4 2 3 1 1 3 2 4 2ijmn im jn im jn im jn im jnE C C C C C C C C= − − + ; ( )10 4 4 3 3 2ijmn im jn im jnE C C C C= − ; 11 5 1 ijmn im jnE C C= ; 12 5 3 ijmn im jnE C C= ; 13 1 5 ijmn im jnE C C= ; 14 3 5 ijmn im jnE C C= ; 15 5 2 ijmn im jnE C C= ; 16 5 4 ijmn im jnE C C= ; 17 2 5 ijmn im jnE C C= ; 18 4 5 ijmn im jnE C C= . Формули для 1 5 jn jnC C÷ отримуємо з виразів для 1 5 im imC C÷ заміною індексів i → j, m → n. Складник температури T Q має вигляд ( ) ( )( ) ( ) 4 4 2 4 2 0 , 2 , 10 , 1 1 Q T i j ijmn i j m n T r t к i j t r H + − = = κ = − − ϕ σ λ ∑ ∑ , де ( ) ( ) 0 tT ijmn ijmnt t dtϕ = ϕ∫ . Підставляючи вирази температури T Q та пондеромоторної сили F у фор- мулу (23), для інтегральних характеристик напружень ( ),Q rr r tσ отримуємо ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ 2 4 22 2 1 2 2 1 4 22 2 0 1 , 2 , 10 0 1 1 1 1 Q t rr ij ij i j m n t к E i j d d H β β= = = σ κα ∂ = − − + ν α λ − + αα − σ λ − ν ∂τ∑ ∑ ∑∫ ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 3 3 1 4 sin 4 2 T ij ij ijmn t i j d d d d d β β β β λ − τ  − + − α λ − + α ϕ τ τ  λ + + λ ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ 2 4 22 2 2 0 2 1 4 32 2 0 1 , 2 , 10 0 1 1 1 1 Q t rr ij ij i j m n t к E i j d d H β β= = = σ κα ∂ = − − + ν α λ − + α − σ λ − ν ∂τ∑ ∑ ∑∫ ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 3 1 4 sin 4 2 T ij ij ijmn t i j d d d d d β β β β λ − τ − + − α λ − + α ϕ τ τ  λ + + λ ; Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 124 інтегральні характеристики напружень ( ),F rr r tσ подаються виразом ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 2 2 6 2 2 22 1 , 1 , 10 0 21 3 1 tF rr ij ij i j m n t к i i j c c H β β= = = σ −ν   = µ − − + − ξ − α + α ×   −ν  ∑ ∑ ∑∫ ( ) ( ) ( )3 1 6 sin 2ijmn t d c c β β β ξ − τ ×ϕ τ τ ξ + + ξ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 1 2 5 22 1 , 1 , 10 0 21 3 1 tF rr ij ij i j m n t к i i j c c H β β= = = σ −ν   = µ − − + − ξ − α + α ×   −ν  ∑ ∑ ∑∫ ( ) ( ) ( )3 1 6 sin 2ijmn t d c c β β β ξ − τ ×ϕ τ τ ξ + + ξ , а радіальні напруження — ( ) ( ) ( ) 4 1 1,1 1,2 1 , p pp p p к rr rr rrк к к r t c t c t r − − − =  σ = σ + σ ∑ ( p = Q, F). 4. Результати числового аналізу З аналізу виразів для радіальних напружень σrr у циліндрі встановлено, що за час- тоти ЕМП * 2j rω= ω ≈ ω (тут rω — частота власних механічних коливань ци- ліндра, j — номер резонансної частоти) значно зростають рівні складників напру- жень F iкσ порівняно зі складниками напружень Q iкσ . Такі частоти ЕМП за аналогією з індукційним нагріванням усталеним ЕМП будемо називати резонансними [3, 11, 14]. Виконано кількісний аналіз отриманого розв’язку розглянутої крайової за- дачі залежно від параметрів імпульсного модулюючого сигналу H(t) та несучої частоти ω коливань. Числові дослідження проведено для таких параметрів імпульсно- го модулюючого сигналу: tiner = 0,1 ti (при цьому β2 = 2β1; к = 4), ti = 10 – 4 c (β1 = 69000) і ti = 10 – 3 с (β1 = 69000), що відповідають параметрам імпульсних ЕМП, які вико- ристовуються в технічних пристроях [1]. Як приклад на рис. 1-5 подано результати досліджень термомеханічної пове- дінки електропровідних порожнистого (з внутрішнім r0 = 8 мм і зовнішнім r1 = 10 мм радіусами) та суцільного ( 10R = мм) циліндрів, виготовлених зі сталі Х18Н9Т за тривалостей імпульсу ti = 10 – 4 с; 10 – 3 с. Рис. 1-2 показують зміну в часі колових напружень Q ϕϕσ та F ϕϕσ у порожнистому (рис. 1) і суцільному (рис. 2) циліндрах за частоти несучого сигналу jω≠ ω ( 628ω= КГц). Колові напруження Q ϕϕσ у по- рожнистому циліндрі в декілька разів більші від напружень F ϕϕσ , а в суцільному — вони однакового порядку. При * jω≠ ω величина T F в обох циліндрах є нехтовно мала порівняно з величиною T Q. Рис. 3 ілюструє зміну в часі при 1ω= ω колових напружень у порожнистому циліндрі ( 1 4,87ω = МГц). Встановлено, що в обох ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 125 циліндрах напруження F ϕϕσ на порядок більші від напружень Q ϕϕσ , а температура T F складає 10-15 % від T Q. Залежність максимальних значень інтенсивності напружень у порожнистому (штрихові лінії) та суцільному (суцільні лінії) циліндрах при ω = ω 1 від величини H0 за тривалостей електромагнітної дії в РІМС ti = 10 – 4 с (криві 1) і ti = 10 – 3 с (криві 2) показано на рис. 4. Бачимо, що інтенсивності напружень досягають межі пружності σd = 300 МПа за тривалості дії в РІМС ti = 10 – 3 с при ω = ω 1 за величин H0 відповідно рівних H0 = 2·10 5 А/м — для порожнистого та H0 = 6·10 5 А/м — суцільного циліндрів. Рис. 5 показує амплітудно-частотні ха- рактеристики (АЧХ) інтенсивності напружень у суцільному (криві 1) і порожнистому (криві 2) циліндрах. Рис. 5а відповідає тривалості дії ti = 10 – 4 с, а рис. 5б — ti = 10 – 3 с. В обох циліндрах максимальні значення інтенсивності напружень при ω = ω 1 при- близно удвічі більші від значень при при ω = ω 2. Максимальні значення інтенсивності Рис. 1. Динаміка колових напружень σφφ в порожнистому циліндрі за частоти ω ≠ ωj Рис 2. Динаміка колових напружень σφφ у суцільному циліндрі за частоти ω ≠ ωj 0 20 40 60 -90 -60 -30 0 , мксt Q ϕϕσ F ϕϕσ 0 20 40 60 -60 -30 0 30 60 , мксt Q ϕϕσ F ϕϕσ 2 0 7 2 2 , 10 Па м А Hϕϕ − σ ⋅ 2 0 7 2 2 , 10 Па м А Hϕϕ − σ ⋅ 0 – 30 – 60 – 90 – 30 – 60 0 30 60 0 20 40 40 200t, мкс t, мкс 0 20 40 60 -1.0 -0.5 0.0 , мксt0 20 40 60 -10 -5 0 5 10 ,мксt a б Рис. 3. Динаміка колових напружень F ϕϕσ та Q ϕϕσ в порожнистому циліндрі за частоти ω = ωj – 0,5 – 1,0 0,0 0 20 40 t, мкс t, мкс 0 20 40 0 5 10 – 5 – 10 2 0 7 2 2 , 10 Па м А Hϕϕ − σ ⋅ 2 0 7 2 2 , 10 Па м А Hϕϕ − σ ⋅ Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 126 напружень у порожнистому циліндрі є на порядок більші від таких же ж у су- цільному циліндрі. Зі збільшенням тривалості імпульсу ширина околу резонансних частот ω j ( j = 1, 2) звужується. Це узгоджується з відомими закономірностями АЧХ за індукційного нагрівання усталеним ЕМП [3, 11, 14]. Висновки. Виявлено нові закономірності термомеханічної поведінки електропро- відних тіл канонічної форми й особливості їх несучої здатності за умов електро- магнітної дії в РІМС. Основні з них є такі. 1. Якщо несуча частота сигналу ω, відмінна від частот околу резонансних ωj , то: • у порожнистих електропровідних циліндричних і сферичних тілах склад- ники напружень Q ijσ у декілька разів більші від складників напружень F ijσ ; • у суцільних електропровідних циліндричних і сферичних тілах складники напружень Q ijσ і F ijσ є величини однакового порядку; • температура T F у суцільних та порожнистих циліндричних і сферичних ті- лах нехтовно мала порівняно з температурою T Q; • за максимально можливих із технічної точки зору значень H0 (H0max = = 10 5 A / м) напруженості магнітного поля на поверхні тіла величина тем- ператури T Q не перевищує декілька градусів К, а величина максимальних значень сумарних інтенсивностей напружень для різних неферомагнітних матеріалів значно менша, ніж допустима (що відповідає межі пружної де- формації тіла); • зі збільшенням часу тривалості електромагнітної дії з РІМС за фіксованої частоти несучого сигналу максимальні значення температури та напружень зростають; Рис. 4. Залежність максимальних значень інтенсивності напружень у порожнистому та суцільному циліндрах (криві 1 і 2 відповідно) за частоти ω = ω1 від величини H0 Рис 5. Амплітудно-частотні характеристики інтенсивності напружень у суцільному (криві 1) і порожнистому (криві 2) циліндрах для ti = 10 – 4 с (рис. а) та ti = 10 – 3 с (рис. б) 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0 100 200 300 MPai ,maxσ 2 1 7 0 , 10 AH m 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 0 20 40 60 80 , МГцω 1 1 2 310it c−= 410it c−=2 2 2 4 2 0 10, А мПа H i ⋅−σ 300 200 100 max iσ , МПа 0,00 0,02 0,04 0,06 H0, 10 7 А/м 1 1 2 2 1 2 0 4 8 ti = 10 – 4 с ti = 10 – 3 с 0 40 80 б а σi / H 2 0 , 10 – 4 Па·м2 / A2 0 2 4 6 8 ω, МГц ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 127 2. Якщо несуча частота ω сигналу належить околу резонансних частот ωj , то: • рівні складників напружень F ijσ у суцільних та порожнистих циліндричних і сферичних тілах на порядок більші від рівнів напружень Q ijσ ; • сумарні значення інтенсивності напружень за H0max ≤ 10 5 A / м можуть до- сягати межі пружності тіла; • у розглядуваних електропровідних тілах канонічної форми, виготовлених зі сталі, максимальне значення складника температури T F складає 10-25 % від максимального значення температури T Q, а в тілах, виготовлених із міді, T F може бути співмірним із T Q; • для порожнистих циліндра та кулі (за дії магнітного поля на внутрішніх і зовнішніх поверхнях) максимальні значення інтенсивності напружень на по- рядок більші, ніж у суцільних. Ці значення за частоти несучого сигналу ω = ω1 приблизно удвічі більші від таких же значень при ω = ω*2 та лінійно зростають зі збільшенням тривалості електромагнітної дії в РІМС; • зі збільшенням тривалості дії зменшується величина околу резонансних час- тот за збільшення амплітуд, що узгоджується з відомими закономірностями АЧХ за умови індукційного нагрівання електропровідного тіла усталеним ЕМП. Зі зменшенням тривалості дії в РІМС збільшується величина околу резонансних частот, але при цьому суттєво зменшуються максимальні зна- чення інтенсивності напружень на резонансній частоті. Література [1] Батыгин Ю. В., Лавинский В. И., Хименко Л. Т. Импульсные магнитные поля для про- грессивных технологий — Харьков: МОСТ «Торнадо», 2003. — 288 с. [2] Бурак Я. Й., Гачкевич О. Р., Мусій Р. С. Термопружність електропровідних тіл за умов дії імпульсних електромагнітних полів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2006. — Т. 49, № 1. — С. 75-84. [3] Гачкевич А. Р. Термомеханика электропроводных тел при действии квазиустано- вившихся электромагнитных полей. — Киев: Наук. думка, 1992. — 217 с. [4] Гачкевич А. Р., Мусий Р. С. Термомеханика электропроводных тел при воздействии неустановившихся электромагнитных полей. — Львов: 1993. — 54 с. (Препр. / АН Украины. Ин-т прикл. проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача, 3-93). [5] Гачкевич А. Р., Мусий Р. С., Стасюк Г. Б. Температурные поля и напряжения в длин- ном полом электропроводном цилиндре при электромагнитном воздействии в ре- жиме с модуляцией амплитуды при импульсном модулирующем сигнале // Теорет. и прикладная механика. — 2004. — Вып. 39. — С. 168-181. [6] Ионов В. Н., Огибалов П. М. Напряжения в телах при импульсном нагружении. — Москва: Высшая шк., 1975. — 463 с. [7] Коваленко А. Д. Основы термоупругости. — Киев: Наук. думка, 1970. — 307 с. Роман Мусій, Юзеф Шимчак Методика дослідження резонансних явищ у неферомагнітних електропровідних тілах ... 128 [8] Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. — Москва: Мир, 1972. — 392 с. [9] Орленко Л. П. Поведение материалов при интенсивных динамических нагрузках. — Москва: Машиностроение, 1964. — 168 с. [10] Новацкий В. Теория упругости. — Москва: Мир, 1975. — 872 с. [11] Термоупругость электропроводных тел / Подстригач Я. С., Бурак Я. И., Гачкевич А. Р., Чернявская Л. В. — Киев: Наук. думка, 1977. — 247 с. [12] Сильные и сверхсильные магнитные поля и их применение / Под ред. Херлаха Ф. — Москва: Мир, 1988. — 456 с. [13] Фізико-математичне моделювання складних систем / Я. Бурак, Є. Чапля, Т. Нагір- ний та ін.; під ред. Я. Бурака, Є. Чаплі. — Львів: СПОЛОМ, 2004. —264 с. [14] Gaczkiewicz A., Kasperski Z. Modele i metody matematycz,ne w zagadnieniach brzego- wych termomechaniki ciał przewodzących. — Opole: OWPO, 1999. — 367 s. [15] Maugin G. A., Eringen A. C. Deformable magnetizable saturated media. Part 2. Constitu- tive theory // Ibid. — 1972. — Vol. 13. — P. 1334-1347. [16] Moon F. O. Problem in magneto-solid mechanics // Mechanics Today. — 1978. — Vol. 4. — P. 307-309. The methodology of investigation of resonance phenomena in nonferromagnetic electroconductive solids of canonical form under electromagnetic action with impulse modulating signal Roman Musij, Yuzef Shymchak The resulted correlations of the variant of electroconductive solids thermomechanics under the effect of impulse electromagnetic fields with amplitude modulation which are the bases of the de- scription of resonance phenomena in nonferromagnetic electroconductive solids of canonical form have been recorded. For the solids of canonical form — a layer with plane-parallel borders, a sphere and an infinite cylinder — the corresponding initial boundary-value problems have been formulated and the methodology of their solutions construction using cubical approximation of key functions according to space variable and integral Laplace transformation by time has been deve- loped. For the cylinder the solution of the problem under the effect of electromagnetic action with impulse modulating signal has been shown and the results of numerical analysis of thermomecha- nical behaviour of the solid and the hollow cylinders at the nonresonance and resonance frequency of carrying signal have been shown. The new principles of resonance effect in electroconductive solids of canonical form under the effect of the considered electromagnetic action have been revealed. ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2008, вип. 8, 113-129 129 Методика исследования резонансных явлений в неферромагнитных электропроводных телах канонической формы при электромагнитном воздействии в режиме с импульсным модулирующим сигналом Роман Мусий, Юзеф Шимчак Записаны исходные соотношения варианта термомеханики электропроводных тел при воздействии импульсных электромагнитных полей с модуляцией амплитуды, которые явля- ются основанием описания резонансных явлений в неферромагнитных электропроводных телах канонической формы при электромагнитном воздействии в режиме с импульсным модулирующим сигналом. Эти соотношения конкретизированы для тел канонической фор- мы (слоя, длинного цилиндра и шара), для которых сформулированы соответствующие начально-краевые задачи термомеханики и разработана методика построения их решений с использованием кубической аппроксимации ключевых функций по пространственной пере- менной и интегрального преобразования Лапласа по времени. В качестве примера приведены решения задачи для цилиндра при электромагнитном воздействии в режиме с импульсным модулирующим сигналом, а также результаты численного анализа термомеханического поведения сплошного и полого цилиндров при несущих частотах сигнала, которые нахо- дятся в окрестности и вне окрестности резонансных. Отримано 24.06.08

Institution

Ähnliche Einträge