Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа
Если момент количества движения системы тел, сохраняющий направление в пространстве, отличен от нуля, то его можно использовать для построения неподвижных аксоидов. Существует решение, характеризуемое нулевым значением момента количества движения системы. Для этого решения, следуя [1], введен оп...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28005 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 69-82. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28005 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280052011-10-26T12:20:26Z Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. Если момент количества движения системы тел, сохраняющий направление в пространстве, отличен от нуля, то его можно использовать для построения неподвижных аксоидов. Существует решение, характеризуемое нулевым значением момента количества движения системы. Для этого решения, следуя [1], введен опорный базис на траектории центра сферического шарнира. Найдены кривизна и кручение траектории, скорость каждого из тел относительно опорного базиса. Впервые построены аксоиды тел в опорном базисе. Записаны уравнения подвижных аксоидов тел. 2009 Article Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 69-82. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28005 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Если момент количества движения системы тел, сохраняющий направление в пространстве, отличен от нуля, то его можно использовать для построения неподвижных аксоидов. Существует решение, характеризуемое нулевым значением момента количества движения системы. Для этого решения, следуя [1], введен опорный базис на траектории центра сферического шарнира. Найдены кривизна и кручение траектории, скорость каждого из тел относительно опорного базиса. Впервые построены аксоиды тел в опорном базисе. Записаны уравнения подвижных аксоидов тел. |
| format |
Article |
| author |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| spellingShingle |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа Механика твердого тела |
| author_facet |
Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| author_sort |
Лесина, М.Е. |
| title |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_short |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_full |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_fullStr |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_full_unstemmed |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа |
| title_sort |
уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов лагранжа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28005 |
| citation_txt |
Уравнения аксоидов в опорном базисе для задачи о движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 69-82. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT lesiname uravneniâaksoidovvopornombazisedlâzadačiodviženiipoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža AT zinovʹevaâv uravneniâaksoidovvopornombazisedlâzadačiodviženiipoinerciisistemydvuhgiroskopovlagranža |
| first_indexed |
2025-07-03T07:58:50Z |
| last_indexed |
2025-07-03T07:58:50Z |
| _version_ |
1836611829163360256 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39
УДК 531.38
c©2009. М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
УРАВНЕНИЯ АКСОИДОВ В ОПОРНОМ БАЗИСЕ
ДЛЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ
СИСТЕМЫ ДВУХ ГИРОСКОПОВ ЛАГРАНЖА
Если момент количества движения системы тел, сохраняющий направление в простран-
стве, отличен от нуля, то его можно использовать для построения неподвижных аксоидов.
Существует решение, характеризуемое нулевым значением момента количества движения
системы. Для этого решения, следуя [1], введен опорный базис на траектории центра сфе-
рического шарнира. Найдены кривизна и кручение траектории, скорость каждого из тел
относительно опорного базиса. Впервые построены аксоиды тел в опорном базисе. Записа-
ны уравнения подвижных аксоидов тел.
В пятой главе монографии [2] дана постановка задачи о движении по инер-
ции двух динамически осесимметричных тел, сочлененных упругим сфериче-
ским шарниром. Там же приведены кинематические и динамические харак-
теристики системы тел и шесть форм уравнений движения. Нам понадобятся
из них две формы уравнений движения, которые мы приведем здесь.
Исходные соотношения. Первая форма уравнений движения1 (5.38)∗−
(5.40)∗ имеет вид
Ġ1 +ω2G3−ω3G2 = 0, Ġ2 +ω3G1−ω1G3 = 0, Ġ3 +ω1G2−ω2G1 = 0. (1)
Здесь компоненты Gi момента количества движения g = G1e1 +G2e2 +G3e3
системы тел в полуподвижном базисе e1e2e3 даны соотношениями (5.15)∗ −
(5.17)∗
G1 = (A−N cos θ)ω1 + (A0 −N cos θ)Ω1, (2)
G2 = (A−N cos θ)ω2 + (A0 cos θ −N)Ω2 − n0 sin θ, (3)
G3 = (A0Ω2 −Nω2) sin θ + n+ n0 cos θ. (4)
Из второй формы уравнений движения приведем здесь (5.43)∗, (5.44)∗,
(5.6)∗, (5.11)∗
A0
(
Ω̇1−Ω2Ω3
)
+n0Ω2 = −Π′(θ) +N
[
(ω2
1 +ω2
2) sin θ+
(
ω̇1−ω2ω3
)
cos θ
]
, (5)
A0
(
Ω2 + Ω3Ω1
)
− n0Ω1 = N
(
ω̇2 + ω3ω1
)
, (6)
θ̇ = Ω1 − ω1, (7)
1Номера уравнений работы [2] снабжены звездочкой.
69
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
J
(
ω3 + ϕ̇
)
= n, J0
(
Ω3 + Φ̇
)
= n0. (8)
Рассмотрим указанное в [2, гл. 10] решение, характеризуемое нулевым
значением постоянной момента количества движения системы тел: g = 0.
Предположим, что одно из тел системы закреплено в центре масс
N = 0. (9)
Тогда при ограничении (9) компоненты (2)–(4) таковы:
G1 = Aω1 +A0Ω1 = 0, (10)
G2 = Aω2 +A0Ω2 cos θ − n0 sin θ = 0, (11)
G3 = A0Ω2 sin θ + n+ n0 cos θ = 0. (12)
Из соотношений (10)–(12) находим
ω1 = −A0Ω1
A
, (13)
ω2 =
n0 + n cos θ
A sin θ
, (14)
Ω2 = −n0 cos θ + n
A0 sin θ
. (15)
Запишем уравнения (5), (6) при ограничении (9)
Ω̇1 − Ω2Ω3 = − n0
A0
Ω2 −
Π′(θ)
A0
, (16)
Ω̇2 + Ω3Ω1 =
n0
A0
Ω1. (17)
Умножая первое уравнение на Ω1, второе – на Ω2 и складывая, получим
Ω̇1Ω1 + Ω̇2Ω2 = −Π′(θ)
A0
Ω1. (18)
Вместо Ω2 введем новую переменную σ:
σ2 = Ω2
1 + Ω2
2, (19)
тогда уравнение (18) принимает вид
σσ̇ = −Π′(θ)
A0
Ω1. (20)
70
Уравнения аксоидов в опорном базисе
Подставив (13) в (7), получим
θ̇ =
Ω1
k∗
, (21)
где введен новый параметр k∗ =
A
A+A0
(0 < k∗ < 1).
В уравнении (20) перейдем от дифференцирования по t к дифференциро-
ванию по θ, с учетом (21) получим
σσ′ = −Π′(θ)k∗
A0
(22)
(предполагаем, что Ω1 отлично от нуля).
Так как в этом решении Π(θ) является произвольной дифференцируемой
функцией, можно ее конкретизировать, например, так: Π(θ) = −c2 cos θ, тогда
уравнение (22) запишем в виде σσ′ = −c
2k∗ sin θ
A0
. В результате интегрирова-
ния получим
σ2 = σ2
0(1 + b cos θ), (23)
где введен безразмерный параметр b =
2k∗c2
A0σ2
0
, а σ2
0 – постоянная интегриро-
вания.
Вместо переменной θ введем переменную u
u = cos θ (24)
и запишем ω2,Ω2, σ,Ω1 как функции u. Для этого подставим (24) в (14), (15),
(23), (19):
ω2 =
n0 + nu
A
√
1− u2
, (25)
Ω2 =
−(n0u+ n)
A0
√
1− u2
, (26)
σ2 = σ2
0(1 + bu), (27)
Ω2
1 =
σ2
0(1 + bu)(1− u2)− (n0u+ n)2/A2
0
1− u2
. (28)
Заменой n0 = A0σ0n
∗
0, n = A0σ0n
∗ преобразуем выражение σ2
0(1 + bu)(1−
−u2)− (n0u+ n)2/A2
0 к такому виду: A2
0σ
2
0
[
(1 + bu)(1− u2)− (n∗0u+ n∗)2
]
=
= A2
0σ
2
0P3(u), где P3(u) = (1 + bu)(1 − u2) − (n∗0u + n∗)2. P3(±1) =
= −(n∗ ± n∗0)2 < 0 при u = ±1 и P3(0) = 1 − (n∗)2 при u = 0. Ес-
ли постоянная (n∗)2 < 1, то всегда существует интервал, содержащий точку
u = 0, в котором это выражение больше нуля.
71
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Умножим обе части уравнения (21) на sin θ, учтем замену (24), получим
u̇ = − 1
k∗
Ω1(u)√
1− u2
. (29)
Подставив (28) в (29), установим зависимость времени t от переменной u
σ0(t− t0) = −k∗
u∫
u0
du√
(1 + bu)(1− u2)− (n0u+ n)2/A2
0σ
2
0
. (30)
Отметим, что σ0(t− t0) есть безразмерное время.
Соотношениями (26), (27) и (13), (25), (8) заданы годографы тел S0 и S в
полуподвижных базисах. Чтобы найти годографы тел в неизменно связанных
с телами базисах, необходимо определить углы собственных вращений ϕ,Φ.
Перепишем уравнения (8) в виде
ϕ̇ =
n
J
− ω3, (31)
Φ̇ =
n0
J0
− Ω3, (32)
где Ω3, ω3 определены в [2] соотношениями (5.55)∗
ω3 = (Ω2 − ω2 cos θ)/ sin θ, (33)
Ω3 = (Ω2 cos θ − ω2)/ sin θ. (34)
Внесем (24)–(26) в (33), (34), определим Ω3(u), ω3(u) :
ω3(u) =
n
A
− n0u+ n
A0k∗(1− u2)
, (35)
Ω3(u) =
n0
A0
− nu+ n0
A0k∗(1− u2)
. (36)
Подставив соотношения (35), (36) в уравнения (31), (32), получим
ϕ̇ =
(
1
J
− 1
A
)
n+
n0u+ n
A0k∗(1− u2)
,
Φ̇ =
(
1
J0
− 1
A0
)
n0 +
nu+ n0
A0k∗(1− u2)
.
При интегрировании этих уравнений с учетом (29) находим углы собствен-
ных вращений тел S0, S:
ϕ−ϕ0 =
(
1
J
− 1
A
)
nt−
u∫
u0
(n0u+ n)du
(1− u2)
√
A2
0σ
2
0(1 + bu)(1− u2)− (n0u+ n)2
, (37)
72
Уравнения аксоидов в опорном базисе
Φ− Φ0 =
(
1
J0
− 1
A0
)
n0t−
u∫
u0
(nu+ n0)du
(1− u2)
√
A2
0σ
2
0(1 + bu)(1− u2)− (n0u+ n)2
.
(38)
Основные переменные отнесены к полуподвижным базисам, а необходи-
мо иметь кинематические характеристики в базисах, неизменно связанных с
телами.
Неизменный в S базис e∗1e
∗
2e
∗
3 связан с e1e2e3 соотношениями (5.30)∗
e∗1 = e1 cosϕ+ e2 sinϕ, e∗2 = −e1 sinϕ+ e2 cosϕ, e∗3 = e3 (39)
и для компонент ω∗1, ω∗2, ω∗3 угловой скорости ω∗ = ω∗1e
∗
1+ω∗2e
∗
2+ω∗3e
∗
3 получаем
значения
ω∗1 = ω1 cosϕ+ ω2 sinϕ, ω∗2 = −ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ, ω∗3 = n/J. (40)
Неизменный в S0 базис e0∗
1 e0∗
2 e0∗
3 связан с e1e0
2e
0
3 соотношениями [2] (5.35)∗
e0∗
1 = e1 cos Φ + e0
2 sin Φ, e0∗
2 = −e1 sinϕ+ e0
2 cos Φ, e0∗
3 = e0
3 (41)
и для компонент Ω∗1,Ω
∗
2,Ω
∗
3 угловой скорости Ω∗ тела S0 имеем
Ω∗1 = Ω1 cos Φ + Ω2 sin Φ, Ω∗2 = −Ω1 sin Φ + Ω2 cos Φ, Ω∗3 = n0/J0 (42)
( ω∗3 = ω3 + ϕ̇ = n/J, Ω∗3 = Ω3 + Φ̇ = n0/J0 – следствие циклических
интегралов (8)).
Так как ω1, ω2, ω3 и ϕ известны как функции переменной u, то подставив
(13), (25), (35), (37) в (40), сможем найти компоненты угловой скорости ω∗
тела S. Аналогично, подставив (28), (26), (36), (38) в (42), сможем определить
компоненты угловой скорости Ω∗ тела S0.
Опорный базис. Для построения аксоидов в работах [3 – 2] использо-
вались две системы координат: одна – неизменно связанная с движущимся
телом, а другая – выбрана в неподвижном пространстве. В этих работах фи-
гурировал неподвижный в пространстве вектор, компоненты которого по от-
ношению к движущимся осям определялись в зависимости от времени (или
вспомогательной переменной) вместе с компонентами угловой скорости тела
в этих осях. Иногда в прикладных задачах возникает необходимость изучать
движение тела по отношению к осям, которые в свою очередь движутся в
неподвижном пространстве. В работе [1] выделен случай, когда движущаяся
опорная система координат, определена естественным базисом на траектории
одной из точек движущегося тела.
В случае нулевого значения момента количества движения системы тел,
при решении задачи отсутствует имеющий физический смысл вектор, фикси-
рованный в неподвижном пространстве и задаваемый своими компонентами
в осях, связанных с телом. Однако в осях, связанных с телом, определен век-
тор абсолютной скорости точки O (центра сферического шарнира), и это дает
возможность строить полное решение на основе метода работы [1].
73
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
В монографии [2] указаны радиус-вектор r∗, скорость v∗ и ускорение w∗
точки O. При обращении в нуль параметра N =
mm0
m+m0
l l0, определяемого
(5.13)∗, необходимо рассматривать два варианта
l = 0, (43)
l0 = 0. (44)
При этом обращается в нуль один из параметров (5.23)∗
a =
ml
m+m0
, a0 =
m0l0
m+m0
.
Из двух возможностей (43), (44) выбираем первую
a = 0 (45)
(вторая рассматривается аналогично).
Запишем векторы r∗, v∗,w∗ по формулам (5.22)∗, (5.24)∗, (5.27)∗ − (5.29)∗
при ограничении (45)
r∗ = −a0e0
3,
v∗ = a0(−Ω2e1 + Ω1e0
2), (46)
w∗ = a0
{
−
(
Ω̇2 + Ω3Ω1
)
e1 +
(
Ω̇1 − Ω2Ω3
)
e0
2 +
(
Ω2
1 + Ω2
2
)
e0
3
}
. (47)
Подставив (16), (17), (19), (22) в (47) определим w∗:
w∗ = a0
[
− n0
A0
Ω1e1 +
(σσ′
k∗
− n0
A0
Ω2
)
e0
2 + σ2e0
3
]
. (48)
В дальнейшем потребуется вектор ẇ∗
ẇ∗ = ẇ1e1 + ẇ0
2e
0
2 + ẇ0
3e
0
3 + Ω× w∗, (49)
где Ω – угловая скорость базиса e1e0
2e
0
3:
Ω = Ω1e1 + Ω2e0
2 + Ω3e0
3. (50)
Продифференцировав w1, w
0
2, w
0
3, из (48) находим
ẇ1 = −a0n0Ω̇1
A0
, ẇ2 = a0
(σσ′
k∗
− n0
A0
Ω2
)·
, ẇ3 = 2a0σσ̇. (51)
Опорный базис э1э2э3, следуя [4, с. 96–99], вводим следующим образом
э1 =
v∗
v∗
, э2 =
B∗ × v∗
|B∗ × v∗|
, э3 =
B∗
B∗
, (52)
74
Уравнения аксоидов в опорном базисе
где B∗ – вектор бинормали
B∗ = v∗ × w∗ = B1e1 +B0
2e0
2 +B0
3e0
3. (53)
Запишем его разложение в базисе e1e0
2e
0
3, подставив (46), (48) в (53):
B∗ = a2
0
[
Ω1σ
2e1 + Ω2σ
2e0
2 +
(
−σσ
′
k∗
Ω2 +
n0
A0
σ2
)
e0
3
]
. (54)
Модули векторов v∗,B∗, B∗ × v∗ находим из (46), (54) с учетом (27):
v∗ = a0σ, (55)
B2
∗ = a4
0
[
σ6 +
( n0
A0
σ2 − σσ′
k∗
Ω2
)2]
, (56)
|B∗ × v∗| = B∗v∗.
Теперь опорный базис (52) определяем, воспользовавшись соотношениями
(46), (54), (56)
э1 = −Ω2
σ
e1 +
Ω1
σ
e0
2,
э2 = э3 × э1, (57)
э3 =
a2
0
B∗
[
Ω1σ
2e1 + Ω2σ
2e0
2 +
( n0
A0
σ2 − σσ′
k∗
Ω2
)
e0
3
]
.
Чтобы упростить выражение (56) для модуля бинормали, введем новую
переменную χ с помощью дифференциального соотношения
tgχ =
k∗n0σ − σ′A0Ω2
A0k∗σ2
, (58)
тогда
B∗ =
a2
0σ
3
cosχ
. (59)
С учетом (19), переменные Ω1,Ω2 можно представить в виде
Ω1 = σ cosβ, Ω2 = σ sinβ. (60)
Подставив (59), (60) в (57), устанавливаем связь между опорным э1э2э3 и
полуподвижным e1e0
2e
0
3 базисами
э1 = −e1 sinβ + e0
2 cosβ, (61)
э2 = −e1 cosβ sinχ− e0
2 sinβ sinχ+ e0
3 cosχ, (62)
э3 = e1 cosβ cosχ+ e0
2 sinβ cosχ+ e0
3 sinχ.
75
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Формулы обратного преобразования можно записать в виде
e1 = −э1 sinβ − э2 cosβ sinχ+ э3 cosβ cosχ, (63)
e0
2 = э1 cosβ − э2 sinβ sinχ+ э3 sinβ cosχ, (64)
e0
3 = э2 cosχ+ э3 sinχ. (65)
Из соотношений (61), (62) заключаем, что χ – это угол между e0
3 и э2 , а β
– угол между e0
2 и э1. Чтобы определить угловую скорость опорного базиса,
необходимо найти кривизну κ∗ и кручение κ0 [5] траектории точки O:
κ∗ =
B∗
v3
∗
, (66)
κ0 =
ẇ∗ · B∗
B2
∗
. (67)
Внесем (55), (59) в (66) и определим кривизну траектории точки O
κ∗ =
1
a0 cosχ
. (68)
Вычислим скалярное произведение ẇ∗ · B∗, воспользовавшись соотноше-
ниями (49), (53),
ẇ∗·B∗ = B1ẇ1 +B0
2ẇ
0
2 +B0
3ẇ
0
3 + (v∗ × w∗)·(Ω×w∗). (69)
Второе слагаемое преобразуем к виду
(v∗ × w∗)·(Ω×w∗) = (Ω · v∗)w2
∗ − (Ω ·w∗)(v∗ · w∗).
Теперь (69) можно записать так:
B∗·ẇ∗ = B1ẇ1 +B0
2ẇ
0
2 +B0
3ẇ
0
3 + (Ω · v∗)w2
∗ − (Ω · w∗)(v∗·w∗).
Подставив в это выражение (50), (46), (48), (51), (54), получим
B∗·ẇ∗ =
a3
0Ω1
k∗
[
(σσ′)′
k∗
Ω2σ
2 − 3(σσ′)2
k∗
Ω2 +
2n0
A0
σ3σ′ − Ω3σ
3σ′
]
. (70)
Уравнение (17) запишем с учетом (21), считая Ω1 6= 0,
Ω′2
k∗
+ Ω3 =
n0
A0
(71)
76
Уравнения аксоидов в опорном базисе
(при Ω1 = 0, как следует из (21), θ = const), определим Ω3 из (71): Ω3 =
=
n0
A0
− Ω′2
k∗
. Теперь скалярное произведение (70) можно записать в виде
B∗·ẇ∗ =
a3
0Ω1σ
5
A0k2
∗
(A0Ω2σ
′ − k∗n0σ
σ2
)′
. (72)
Будем рассматривать вариант, при котором кручение κ0 не обращается в
нуль. Используя параметризацию (58), (59), получаем из (67)
κ0 = − χ̇
a0σ
. (73)
Угловая скорость Ω0 опорного базиса [4] вычисляется по формуле
Ω0 = v∗(κ0э1 + κ∗э3).
С учетом (55), (68), (73) Ω0 принимает вид
Ω0 = −χ̇э1 +
σ
cosχ
э3. (74)
Угловая скорость Ω0∗ тела S0 относительно опорного базиса [4] – это разность
угловых скоростей тела и опорного базиса
Ω0∗ = Ω∗ −Ω0, (75)
Ω0 = Ω1e1 + Ω2e0
2 +
n0
J0
e0
3. (76)
Чтобы получить разложение вектора Ω∗ в опорном базисе, подставим в (76)
соотношения (65):
Ω∗ = э2
(
−σ sinχ+
n0
J0
cosχ
)
+ э3
(
σ cosχ+
n0
J0
sinχ
)
. (77)
Теперь внесем (77), (74) в (75) и найдем угловую скорость Ω0∗
Ω0∗ = э1χ̇+ э2
(
−σ sinχ+
n0
J0
cosχ
)
+ э3
(
−σ sinχ+
n0
J0
cosχ
)
tgχ. (78)
Аксоид тела S0 в опорном базисе э1э2э3 имеет вид
ζ0 = µ0
Ω0∗
Ω0∗
+
Ω0∗ × v∗
Ω2
0∗
= ζ0
1э1 + ζ0
2э2 + ζ0
3э3. (79)
Из (52), (55) следует представление для скорости шарнира v∗
v∗ = a0σэ1. (80)
77
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Подставив (78), (80) в уравнение (79), для компонент ζ0
i получим выражения
ζ0
1 =
µχ̇
Ω0∗
,
ζ0
2 =
( µσ
Ω0∗
+
a0σ
2
Ω2
0∗
tgχ
)(
− sinχ+
n0
J0σ
cosχ
)
,
ζ0
3 =
( µσ
Ω0∗
tgχ+
a0σ
2
Ω2
0∗
)(
− sinχ+
n0
J0σ
cosχ
)
,
(81)
где Ω2
0∗ = χ̇2 + σ2
(
tgχ− n0
J0σ
)2
, а σ и tgχ определены в (23), (58).
Подвижный аксоид ξ0 тела S0 определен уравнением (12.9)∗
ξ0 = µ
Ω∗
Ω∗
+
Ω∗ × v∗
Ω2
∗
(82)
и в базисе e1e0
2e
0
3 имеет разложение
ξ0 = ξ01e1 + ξ02e0
2 + ξ03e0
3. (83)
Для определения ξ0i внесем (76), (46) в уравнение (82):
ξ01 = F 0(µ, θ)Ω1(θ), ξ02 = F 0(µ, θ)Ω2(θ), ξ03 = a0 + F 0(µ, θ)
n0
J0
,
где
F 0(µ, θ) =
µ
Ω∗(θ)
+
a0n0
J0Ω2
∗(θ)
, (84)
Ω2
∗(θ) = σ2(θ) +
n2
0
J2
0
. (85)
Чтобы записать аксоид тела S0 в неизменно связанном с ним базисе e0∗
1 e0∗
2 e0∗
3 ,
необходимо учесть, что этот базис вращается с угловой скоростью Φ̇ относи-
тельно полуподвижного базиса e1e0
2e
0
3. Подставив (41) в (83), с учетом (42)
находим компоненты ξ0∗i вектора ξ0:
ξ0 = ξ0∗1 e0∗
1 + ξ0∗2 e0∗
2 + ξ0∗3 e0∗
3 ,
ξ0∗1 = F 0(µ, θ)Ω∗1(θ), ξ0∗2 = F 0(µ, θ)Ω∗2(θ), ξ0∗3 = ξ03(µ, θ). (86)
Скалярное произведение Ω∗ · v∗ с учетом (46), (76) равно нулю, и, следо-
вательно, скорость скольжения равна нулю. Таким образом, при движении
тела S0 его подвижный аксоид (84)–(86) катится без скольжения по аксоиду
(81) в опорном базисе.
78
Уравнения аксоидов в опорном базисе
Для вычисления аксоида тела S в опорном базисе вначале представим
угловую скорость тела S
ω∗ = ω1e1 + ω2e2 +
n
J
e3 (87)
в опорном базисе. Для этого запишем соотношения, связывающие полупо-
движные базисы e1e2e3 тела S и e1e0
2e
0
3 тела S0:
e2 = e0
2 cos θ − e0
3 sin θ, (88)
e3 = e0
2 sin θ + e0
3 cos θ. (89)
Подставив (88), (89) в (87), получим разложение
ω = ω1e1 +
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)
e0
2 +
(
−ω2 sin θ +
n
J
cos θ
)
e0
3. (90)
Вносим в (90) соотношения (63)–(65)
ω∗ = э1
1
σ
[
−ω1Ω2 + Ω1
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)]
+
+э2
{
− 1
σ
[
Ω1ω1 + Ω2
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)]
sinχ+
(
−ω2 sin θ +
n
J
cos θ
)
cosχ
}
+
+э3
{ 1
σ
[
Ω1ω1 + Ω2
(
ω2 cos θ +
n
J
sin θ
)]
cosχ+
(
−ω2 sin θ +
n
J
cos θ
)
sinχ
}
.
С учетом (13)–(15), (60) этот вектор принимает вид
ω∗ = э1
(A
J
− 1
) n
A
cosβ sin θ+
+э2
{
−
[
−A0
A
σ+
(A
J
− 1
) n
A
sinβ sin θ
]
sinχ+
[
−n0
A
+
(A
J
− 1
) n
A
cos θ
]
cosχ
}
+
+э3
{[
−A0
A
σ+
(A
J
−1
) n
A
sinβ sin θ
]
cosχ+
[
−n0
A
+
(A
J
−1
) n
A
cos θ
]
sinχ
}
. (91)
Тело S имеет по отношению к опорному базису угловую скорость ω0∗, рав-
ную разности ω∗−Ω0. Разложение этого вектора в опорном базисе получим,
воспользовавшись соотношениями (91), (74)
ω0∗ = э1
[
χ̇+
(A
J
− 1
) n
A
cosβ sin θ
]
+ (92)
+э2
{
−
[
−A0
A
σ+
(A
J
− 1
) n
A
sinβ sin θ
]
sinχ+
[
−n0
A
+
(A
J
− 1
) n
A
cos θ
]
cosχ
}
+
+э3
{[
−A0
A
σ+
(A
J
−1
) n
A
sinβ sin θ
]
cosχ+
[
−n0
A
+
(A
J
−1
) n
A
cos θ
]
sinχ− σ
cosχ
}
.
79
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Аксоид ζ тела S в опорном базисе имеет вид
ζ = µ
ω0∗
ω0∗
+
ω0∗ × v∗
ω2
0∗
= ζ1э1 + ζ2э2 + ζ3э3. (93)
Подставив (92), (80) в (93), для компонент ζi получим выражения
ζ1 =
µ
ω0∗
[
χ̇+
(A
J
− 1
) n
A
cosβ sin θ
]
, (94)
ζ2 =
µσ
ω0∗
{[A0
A
−
(A
J
−1
) n
Aσ
sinβ sin θ
]
sinχ−
[ n0
Aσ
−
(A
J
−1
) n
Aσ
cos θ
]
cosχ
}
+
+
a0σ
2
ω2
0∗
{[
− 1
k∗
+
(A
J
− 1
) n
Aσ
sinβ sin θ
]
cosχ+
[ n0
Aσ
−
(A
J
− 1
) n
Aσ
cos θ
]
sinχ
}
,
(95)
ζ3 =
µσ
ω0∗
{[
− 1
k∗
+
(A
J
−1
) n
Aσ
sinβ sin θ
]
cosχ+
[ n0
Aσ
−
(A
J
−1
) n
Aσ
cos θ
]
sinχ
}
−
−a0σ
2
ω2
0∗
{[A0
A
−
(A
J
− 1
) n
Aσ
sinβ sin θ
]
sinχ−
[ n0
Aσ
−
(A
J
− 1
) n
Aσ
cos θ
]
cosχ
}
,
где
ω0
0∗(u) =
[(A
J
− 1
) n
A
− dχ
du
· σ(u)
k∗
]2[
1− u2 − (n0u+ n)2
A2
0σ
2(u)
]
+
+
[
σ(u)
k∗
+
(A
J
− 1
)n(n0u+ n)
AA0σ(u)
]2
+
[(A
J
− 1
)nu
A
− n0
A0k∗
+
(n0u+ n)
A0k∗σ(u)
dσ
du
]2
,
χ(u) = arctg
[
n0
A0σ(u)
− (n0u+ n)
A0k∗σ2(u)
dσ
du
]
.
Подвижный аксоид ξ тела S, определяемый уравнением (12.9)∗
ξ =
µω∗
ω∗
+
ω∗ × v∗
ω2
∗
, (96)
запишем в полуподвижном базисе e1e2e3. Скорость шарнира (46) в этом ба-
зисе с учетом (88), (89) такова:
v∗ = −a0Ω2e1 + a0Ω1(e2 cos θ + e3 sin θ). (97)
80
Уравнения аксоидов в опорном базисе
Подставив (87), (97) в уравнение (96), получим компоненты ξi:
ξ1 =
µω1
ω∗
+
a0
ω2
∗
(
ω2Ω1 sin θ − Ω1
n
J
cos θ
)
,
ξ2 =
µω2
ω∗
− a0
ω2
∗
(
ω1Ω1 sin θ + Ω2
n
J
)
,
ξ3 =
µn
Jω∗
+
a0
ω2
∗
(ω1Ω1 cos θ + Ω2ω2).
Внесем (13)–(15), (19) в эти соотношения, тогда
ξ1(µ, u) =
[
−µA0
ω∗A
+
a0
ω2
∗
(
n0 + nu
A
− nu
J
)]√
σ2 − (n0u+ n)2
A2
0(1− u2)
,
ξ2(µ, u) =
[
µ(n0 + nu)
Aω∗
+
a0
ω2
∗
(
A0
A
· σ2(u)(1− u2)−
−(n0u+ n)2
AA0
+
(n0u+ n)n
A0J
)]
1√
1− u2
,
ξ3(µ, u) = − µn
Jω∗
− a0
ω2
∗
[
A0σ
2(u)
A
+
(n0u+ n)n0
AA0
]
,
(98)
где
ω2
∗(u) =
A2
0σ
2(u)
A2
+
n2
0 − n2
A2
0
+
n2
J2
. (99)
Воспользовавшись следующими из (39) соотношениями
e1 = e∗1 cosϕ+ e∗2 sinϕ, e2 = e∗1 sinϕ+ e∗2 cosϕ,
запишем подвижный аксоид в неизменно связанном с телом S базисе e∗1e
∗
2e
∗
3
ξ = ξ∗1e∗1 + ξ∗2e∗2 + ξ∗3e∗3,
где ξ∗1 = ξ1 cosϕ + ξ2 sinϕ, ξ∗2 = −ξ1 sinϕ + ξ2 cosϕ, ξ∗3 = ξ3. Здесь угол ϕ
определен в (38) квадратурой.
С учетом выражений (90), (46), (25), (26) определим скорость скольжения
ω∗ · v∗
ω∗
подвижного аксоида по опорному
ω∗ · v∗
ω∗
=
a0Ω1
ω2
∗
√
1− u2
[
n(1− u2)
J
− (n0u+ n)
A0
+
(n0 + nu)u
A
]
, (100)
которая, вообще говоря, в нуль не обращается.
81
М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева
Таким образом, при движении тела S подвижный аксоид (98), (99) катится
по опорному – (94), (95). Это качение сопровождается скольжением вдоль
общей образующей со скоростью (100).
Впервые в задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа
записаны аксоиды тел в опорном базисе. Это дает возможность представить
движение тел качением подвижного аксоида по опорному аксоиду. При этом
выяснилось, если тело S закреплено в центре масс, то качение его подвиж-
ного аксоида по аксоиду в опорном базисе сопровождается скольжением, а
качение подвижного аксоида тела S0 по опорному аксоиду происходит без
скольжения.
1. Харламов М.П., Харламов П.В. Построение полного решения задачи об относительном
движении тела // Докл. АН УССР. – 1983. – Сер. А. - № 12. - С. 36–38.
2. Лесина М.Е. Точные решения двух новых задач аналитической динамики системы со-
члененных тел. – Донецк: ДонГТУ, 1996. – 238 с.
3. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную
точку // Прикл. математика и механика. – 1964. - 28. — № 3. – С. 502-507.
4. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
5. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.
– 428 с.
Национальный техн. ун-т, Донецк Получено 19.12.07
82
|