Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы

Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Болграбская, И.А., Савченко, А.Я., Щепин, Н.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28015
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28015
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280152011-10-26T12:24:01Z Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит из четырех цилиндров. 2009 Article Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28015 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигурацией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найденного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит из четырех цилиндров.
format	Article
author	Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н.
spellingShingle	Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы Механика твердого тела
author_facet	Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н.
author_sort	Болграбская, И.А.
title	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
title_short	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
title_full	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
title_fullStr	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
title_full_unstemmed	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
title_sort	необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28015
citation_txt	Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2009. — Вип 39. — С. 173-184. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT bolgrabskaâia neobhodimyeusloviâustojčivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutojkrugovojsistemy AT savčenkoaâ neobhodimyeusloviâustojčivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutojkrugovojsistemy AT ŝepinnn neobhodimyeusloviâustojčivostiotnositelʹnogoravnovesiâzamknutojkrugovojsistemy
first_indexed	2025-07-03T08:03:18Z
last_indexed	2025-07-03T08:03:18Z
_version_	1836612119355719680
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c©2009. И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ЗАМКНУТОЙ “КРУГОВОЙ” СИСТЕМЫ Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, с круговой конфигура- цией его упругой оси. Стержень моделировался с помощью системы n одинаковых гироско- пов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами. Полагалось, что упругие шарниры допускают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Изучена возможность существования у такой системы режима равновесия во вращающейся системе координат. Получены необходимые условия устойчивости найден- ного режима относительного равновесия. Детально изучен случай, когда система состоит из четырех цилиндров. В работах [1–4] были найдены равновесные конфигурации систем n сим- метричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что системы замкнуты, при этом начальная точка O1 оси симметрии тела S1 и конечная точка On+1 оси симметрии тела Sn совпадают. Кроме того, полагалось, что шарниры допус- кают повороты на углы, принимающие произвольное значение, однако их разность мала. Такие системы используются в качестве конечноразностной аппроксимации упругих стержневых систем и позволяют учесть их геомет- рическую нелинейность. В работе [5] для систем, связанных упругими цилиндрическими шарни- рами (плоский случай), были найдены достаточные условия устойчивости их положения равновесия в случае “круговой” конфигурации и конфигурации “восьмерка”. В настоящей работе рассмотрена система тел, связанных упругими сфе- рическими шарнирами (пространственный случай), образующая “круговую” конфигурацию. Полагалось, что система, как целое, вращается со скоростью Ω вокруг неподвижной оси. Найдены условия существования и необходимые условия устойчивости положения равновесия изучаемой системы во враща- ющейся системе координат. 1. Постановка задачи. Рассмотрим систему n одинаковых гироскопов Лагранжа, связанных упругими сферическими шарнирами, расположенными в точках Ok пересечения осей симметрии тел Sk и Sk−1, k = 1, n. Полагаем, что на систему не действуют внешние силы и моменты, т.е. ее центр масс C неподвижен. Для замкнутых систем концевые точки тел S1 и Sn совпадают (O1 = On+1). Тогда, как и в [1], имеем n∑ k=1 OkOk+1 = 0. (1) 173 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин Свяжем с каждым телом Sk систему координат CkXkYkZk (k = 1, n), где Ck – центр масс тела Sk, а ось CkZk направлена вдоль его оси симметрии. Кроме того, введем неподвижную систему координат CXY Z и осевую систе- му координат CX ′Y ′Z ′, которая вращается вокруг неподвижной оси CY со скоростью Ω. В случае, когда все оси симметрии тел OkOk+1 лежат в одной плоскости CXZ, ось CY направлена перпендикулярно этой плоскости. Определим положение связанной системы координат CkXkYkZk по отно- шению к осевой углами Крылова ψk, θk, ϕk. Тогда, учитывая, что для одина- ковых тел имеем OkOk+1 = const = h, из (1) получаем f1 = n∑ k=1 sinψk cos θk = 0, f2 = n∑ k=1 sin θk = 0, f3 = n∑ k=1 cosψk cos θk = 0. (2) Кинетическая энергия системы имеет вид T = 1 2 n∑ k=1 [ mṙ2 kc + A(p2 k + q2 k) + Br2 k ] , (3) где m – масса тела Sk, A,B – соответственно его экваториальный и осевой моменты инерции, rkc− расстояние от центра масс тела Sk до неподвижной точки C, а pk, qk, rk – компоненты вектора абсолютной угловой скорости ωk тела Sk в связанной системе координат, которая может быть представлена как ωk = Ω + ωr k, где Ω = Ωey− угловая скорость осевой системы координат (ey− орт оси CY ), а ωr k – угловая скорость связанной системы координат относительно осевой. Компоненты абсолютной угловой скорости тела Sk, как функции углов Крылова и скорости вращения Ω, выражаются следующим образом: pk = (ψ̇k + Ω) cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk, qk = (ψ̇k + Ω) cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, (4) rk = ϕ̇k − (ψ̇k + Ω) sin θk. Если положить, что центр масс тела Sk – центр оси симметрии тела, и учесть неподвижность общего центра масс C, то, аналогично [1], получим ṙkc = h 2 {−(ωk × e3 k) + 1 n k∑ i=1 (2i− 1)(ωi × e3 i )− − 1 n n∑ i=k+1 [2(n− i) + 1](ωi × e3 i )}, k = 1, n, (5) где e3 k− орт оси симметрии тела Sk. В случае, когда нижний индекс второй суммы равен n + 1, считаем ее равной нулю. 174 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия Подстановка (4), (5) в (3) дает T = 1 2 n∑ j=1 { A ′ [(ψ̇j + Ω)2 cos2 θj + θ̇2 j ] + B[ϕ̇j − (ψ̇j + Ω) sin θj ]2+ +mc2 ( j∑ i=1 bijAij + n∑ i=j+1 cijAij )} . (6) Здесь A ′ = A + mc2; Aij = θ̇iθ̇j cos θi cos θj + [θ̇iθ̇j sin θi sin θj + (ψ̇i + Ω)(ψ̇j+ +Ω) cos θi cos θj ] cos(ψj − ψi) + [θ̇i(ψ̇j + Ω) sin θi cos θj− −θ̇j(ψ̇i + Ω) cos θi sin θj ] sin(ψj − ψi); bij = 4(i− 1) + 1 n [2j − 1− 2i(2i− 1)] + 1 n2 (2j − 1)(2i− 1)(i− j); cij = 4j + 1 n (4j2 + 2j + 2i− 8ij − 1) + 1 n2 (i− j)(2i− 1)(2j − 1). Потенциальную энергию системы, как и в [1], считаем равной Π = 1 2 n∑ k=1 {k1[(ψk − ψk−1)2 cos2 θk + (θk − θk−1)2]+ +k2[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]2}. (7) Здесь k1, k2 – соответственно жесткости изгиба и кручения. Кроме того, для замкнутых систем ( On+1 = O1) полагалось ψ0 = ψn − 2π; θ0 = θn − 2π; ϕ0 = ϕn − 2π. 2. Уравнения движения системы. Как известно [6], уравнения дви- жения системы в случае, когда ее обобщенные координаты удовлетворяют дополнительным связям (2), могут быть записаны в виде d dt ∂T ∂q̇i − ∂T ∂qi + ∂Π ∂qi + m∑ k=1 λk ∂fk ∂qi = 0, (8) где λk – неопределенные множители Лагранжа, характеризующие реакции дополнительных связей. В нашем случае m = 3, а обобщенными координата- ми являются ψi, θi, ϕi (i = 1, n). 175 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин Подставляя в (8) выражения для кинетической и потенциальной энергии (6), (7) и учитывая (2), получаем следующую систему уравнений: (A ′ cos2 θk + B sin2 θk)ψ̈k −Bϕ̈k sin θk + (ψ̇k + Ω)θ̇k(B −A ′ ) sin 2θk− −Bϕ̇kθ̇k cos θk + µ cos θk{(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1)Fkj + (2n− 2k+ +1) k∑ j=1 (2j − 1)Fkj}+ k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1]− −k2{sin θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]− sin θk+1[ϕk+1 − ϕk− −(ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+ λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0; A′[θ̈k + (ψ̇k + Ω)2 cos θk sin θk] + B cos θk(ψ̇k + Ω)(ϕ̇k− (9) −(ψ̇k + Ω) sin θk) + µ{(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1)Gkj+ +(2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j− 1)Gkj}− k1[sin 2θk(ψk −ψk−1)2/2 + θk+1− 2θk + θk−1]− −k2 cos θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk](ψk − ψk−1)− −λ1 sinψk sin θk + λ2 cos θk − λ3 cosψk sin θk = 0; B[ϕ̈k − ψ̈k sin θk − (ψ̇k + Ω)θ̇k cos θk]− k2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1+ +(ψk − ψk−1) sin θk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1] = 0 (k = 1, n). Здесь µ = mc2/n, ψn+1 = ψ1 + 2π, θn+1 = θ1 + 2π, ϕn+1 = ϕ1 + 2π; Fkj = ψ̈j cos θj cos(ψk − ψj) + θ̈j sin θj sin(ψk − ψj)− −2(ψ̇j + Ω)θ̇j sin θj cos(ψk − ψj) + [θ̇2 j + (ψ̇j + Ω)2] cos θj sin(ψk − ψj); Gkj = θ̈j [cos θj cos θk + sin θj sin θk cos(ψk − ψj)]− ψ̈j cos θj sin θk sin(ψk − ψj)+ +θ̇2 j [cos θj sin θk cos(ψk−ψj)−sin θj cos θk]+2(ψ̇j +Ω)θ̇j sin θj sin θk sin(ψk−ψj)+ +(ψ̇j + Ω)2 cos θj sin θk cos(ψk − ψj). 3. Положение относительного равновесия системы. Рассмотрим случай, когда оси симметрии системы образуют плоскую кривую, которая 176 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия равномерно вращается, как целое, со скоростью Ω вокруг оси, перпендику- лярной этой плоскости. Во вращающейся системе координат этот режим опи- сывает положение равновесия изучаемой системы. Нас интересуют условия, при которых существует такое относительное равновесие. Полагая в (9) ско- рости и ускорения обобщенных координат равными нулю, а ψk = ψ0 k, θk = 0, ϕk = ϕ0 k (k = 1, n); λi = λ0 i (i = 1, 3), получаем µΩ2 { (2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1) sin(ψ0 k − ψ0 j ) + (2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j− −1) sin(ψ0 k − ψ0 j ) } − k1(ψ0 k+1 − 2ψ0 k + ψ0 k−1) + λ0 1 cosψ0 k − λ0 3 sinψ0 k = 0, (10) k2(ϕ0 k − ϕ0 k−1)(ψ 0 k − ψ0 k−1) = λ0 2, (11) ϕ0 k+1 − 2ϕ0 k + ϕ0 k−1 = 0. (12) Кроме того, должны удовлетворяться и уравнения (2), из которых следует n∑ k=1 sinψ0 k = 0, n∑ k=1 cosψ0 k = 0. (13) Из уравнения (12) получаем ϕ0 k − ϕ0 k−1 = const = a. Это равенство возможно либо при a = 0 (тогда ϕ0 k = ϕ0 k−1 = const = b и, не ограничивая общно- сти, можно считать b = 0), либо при a = 2π/n (тогда ϕ0 k = 2πk/n). Из (11) находим λ0 2 = k2a(ψ0 k − ψ0 k−1), а из уравнений (10), (13) – значения множите- лей Лагранжа λ0 1, λ 0 3 и углы ψ0 k (k = 1, n), определяющие форму замкнутой конфигурации. Очевидно, что если эта замкнутая фигура симметрична относительно оси CY , а это возможно в случае, когда система содержит четное количество тел, то как целое она представляет собой симметричное твердое тело с осью сим- метрии CY , для которого существует режим равномерного вращения вокруг оси CY . В системе, которая изучалась в [1], ψ0 k равны ψ0 k = 2πk/n + α1, k = 1, n, (14) где α1 – произвольная постоянная. Нетрудно видеть, что это решение удовлетворяет системе уравнений (13), а подстановка его в (10) дает возможность определить λ0 1 = λ0 1(Ω), λ0 3 = λ0 3(Ω) в виде λ0 1 = −nµΩ2 ctg π n , λ0 3 = −nµΩ2 ctg2 π n . (15) 177 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин Замечание. Отметим, что в случае Ω = 0 из уравнений (10) следует, что λ0 1 = λ0 3 = 0, что соответствует результатам, полученным в [1] при изучении положения равновесия круговой замкнутой системы. Итак, установлено, что при условии четного числа тел в системе, ее урав- нения движения имеют решение, описывающее относительное положение рав- новесия системы, в котором все оси симметрии тел лежат в одной плоскости и при этом углы ψ0 k определяются из (14). Найдем необходимые условия устой- чивости найденного положения равновесия в случае, когда число тел в систе- ме равно четырем. 4. Уравнения возмущенного движения. Пусть n = 4. Тогда уравне- ния движения системы (9) допускают решение ψ̇0 k = θ̇0 k = ϕ̇0 k = θ0 k = 0, ϕ0 k = ψ0 k = πk 2 , k = 1, 4, (16) λ0 1 = λ0 3 = −4µΩ2, λ0 2 = (π 2 )2 . Полагая ψ̇k = ψ̇1 k, θ̇k = θ̇1 k, ϕ̇k = ϕ̇1 k, θk = θ1 k, ψk = ψ0 k + ψ1 k, ϕk = ϕ0 k + ϕ1 k, λ1 = λ0 1 + λ1 1, λ2 = λ0 2 + λ1 2, λ3 = λ0 3 + λ1 3, запишем систему уравнений возмущенного движения. Имеем A ′ ψ̈1 k + µ{(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1)[C0 kjψ̈ 1 j + 2ΩS0 kjψ̇ 1 j + Ω2C0 kj(ψ 1 k − ψ1 j )]+ +(2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j − 1)[C0 kjψ̈ 1 j + 2ΩS0 kjψ̇ 1 j + Ω2C0 kj(ψ 1 k − ψ1 j )]}+ +k1(−ψ1 k−1 + 2ψ1 k − ψ1 k+1)− k2Γ(θ1 k − θ1 k+1)− λ0 1ψ 1 k sinψ0 k− −λ0 3 cosψ0 kψ 1 k + λ1 1 cosψ0 k − λ1 3 sinψ0 k = 0; (17) A′(θ̈1 k + Ω2θ1 k) + BΩ(ϕ̇1 k − Ωθ1 k) + µ[(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1)(θ̈1 j + Ω2C0 kjθ 1 k)+ +(2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j − 1)(θ̈1 j + Ω2C0 kjθ 1 k)]− k1(Γ2θ1 k + θ1 k+1 − 2θ1 k + θ1 k−1)− −k2Γ(ψ1 k − ψ1 k−1 + ϕ1 k − ϕ1 k−1 − Γθ1 k)− λ0 1 sinψ0 kθ 1 k − λ0 3θ 1 k cosψ0 k + λ1 2 = 0; B(ϕ̈1 k − Ωθ̇1 k)− k2[ϕ1 k+1 − 2ϕ1 k + ϕ1 k−1 + Γ(θ1 k − θ1 k+1)] = 0, k = 1, 4. 178 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия Здесь Γ = π/2, C0 kj = cos(ψ0 k − ψ0 j ), S0 kj = sin(ψ0 k − ψ0 j ). Уравнения (2), линеаризованные в окрестности решения (16), имеют вид 4∑ k=1 ψ1 k sinψ0 k = 0, n∑ k=1 θ1 k = 0, n∑ k=1 ψ1 k cosψ0 k = 0. Подставляя в них значения ψ0 k из (16), находим, что переменные ψ1 k и θ1 k, k = 1, 4, связаны соотношениями ψ1 3 = ψ1 1, ψ1 4 = ψ1 2, θ1 4 = −θ1 1 − θ1 2 − θ1 3. (18) Систему уравнений (17) с учетом (18) и исключением реакций связи λ1 1, λ 1 2, λ 1 3 приводим к следующему виду: ÿ1 = 0; ẍs = 0, (19) aÿ0 + 4k1y0 − 2k2Γz1 = 0, (A′ + a)z̈1 + 2(D + 2k1)z1 + BΩẋ− 2k2Γ(2y0 + x) = 0, Bẍ− 2BΩż1 + 4k2(x− Γz1) = 0, az̈0 + Dz0 + BΩ ( ẋ− ẋ0 2 − ẋ2 ) − k2Γx0 = 0, (20) aθ̈ + Dθ + BΩ ( ẋ + ẋ0 2 + ẋ2 ) − k2Γ(x + 2x2) = 0, Bẍ0 −BΩ(θ̇ + ż0) + 2k2(x0 − Γz0) = 0, Bẍ2 + BΩ 2 (2ż1 + ż0 − θ̇)− k2(x− 2x2) + k2Γ(2z1 − θ) = 0. В (19) и (20) введены новые переменные y1 = ψ1 1 + ψ1 2, xs = ϕ1 1 + ϕ1 2 + ϕ1 3 + ϕ1 4, y0 = ψ1 1 − ψ1 2, z0 = θ1 1 − θ1 3, z1 = θ1 1 + θ1 3, θ = 2θ1 2 + z1, xk = ϕ1 k − ϕ1 k−1 k = 1, 4 (ϕ1 0 = ϕ1 4), x = x1 − x3, x0 = x1 − x3. Кроме того, в (20) введены обозначения a = A′ + 8µ, A′ = A + mc2, µ = mc2 4 , D = Ω2(a−B)− k1(Γ2 − 2) + k2Γ2. 179 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин 5. Необходимые условия устойчивости решения (16).Систему урав- нений (20) можно представить в виде AijẌi + BijẊi + CijXi, i, j = 1, 7. (21) Здесь Xi = (y0, z1, z0, θ, x, x0, x2)T – вектор неизвестных. Тогда, разыскивая решение системы (21) в виде Xi = Die λt, получаем характеристическое урав- нение ∆ = ∆3∆4 = 3∑ i=0 (aiλ 2i) 4∑ j=0 (bjλ 2j) = 0, (22) где ∆3 = αε(α + 1)ν3 + 2{α2εω2 + 2ακ(α + 1) + ε[2 + α(4− γ)+ +ακ(γ + 2)]}ν2 + 8{α[ακ + ε(1− κ)]ω2 + κ(2 + 4α− αγ)+ (23) +ε[2− γ + κ(γ + 2)− κ2(γ + 2)]}ν + 32κ[ω2(α− ε) + 2− γ − κ2(γ + 2)] = 0. ∆4 = α2ε2ν4 + 2αε{αεω2 + 2ακ + ε[−γ + κ(γ + 2)]}ν3+ +{ε2α2ω4 + 2ε[εαγ(κ − 1) + 4κα2]ω2 + 4α2κ2 + 4αεκ[−2γ + κ(γ + 2)]+ +ε2[γ − κ(γ + 2)]2}ν2 + 4κ{αε(α− ε)ω4 + [2α2κ+ (24) +εαγ(κ − 2) + ε2γ]ω2 − 2αγκ + εγ[γ − κ(γ + 2)]}ν+ +4κ2[ω2(α− ε)− γ]2 = 0. Здесь введены безразмерные параметры ν = A k1 λ2, κ = k2 k1 , ω2 = AΩ2 k1 , ε = B A , α = a A (25) и обозначение γ = Γ2 − 2 = (π/2)2 − 2 > 0. Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения (22) зависят от четырех безразмерных пара- метров ω, ε, α,κ. Следует отметить, что представляет интерес случай, когда A À B, так как система является моделью упругого стержня. Поэтому ε можно считать малым параметром. 6. Частный случай. Рассмотрим частный случай, когда тела представ- ляют собой одинаковые круговые цилиндры. Для цилиндров имеют место соотношения A = 1 12 m(3R2 + h2), B = 1 2 mR2, c = h 2 , где R – радиус цилиндра, h – его высота. Вводя малый параметр ε0 = R/h, получаем ε = 6ε2 0 1 + 3ε2 0 , α = 10− 9 2 ε. (26) 180 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия Итак, в изучаемом частном случае остается три безразмерных параметра: ω, ε,κ, причем ε – малый параметр. Необходимые условия устойчивости решения (16) будут выполнены в слу- чае, когда характеристическое уравнение (22) не имеет положительных кор- ней. Это условие эквивалентно тому, что уравнения (23), (24) должны иметь действительные отрицательные корни. Учитывая сказанное, условия устой- чивости могут быть представлены так: ai > 0 (i = 1, 3), bj > 0 (j = 1, 4) (27) – (коэффициенты уравнений (23), (24) положительны); a3(4a2 3 − 18a3a2a1 + 27a4a 2 0) + a2 3(4a3b0 − a1) < 0 (28) – (дискриминант уравнения (23) отрицателен [7]); F1 > 0, 12F 2 1 − a2 4F2 > 0, F 3 2 − 27(F3 −M5F1) > 0 (29) – (критерий Покровского [8] действительности корней уравнения четвертой степени). В (29) введены следующие обозначения: F1 = 1 2 ( 1 8 b2 3 − 1 3 b2b4 ) , F2 = b4a0 − 1 6 b2b3 + 1 12 b3 2, F3 = 1 8 ( 1 6 b1b2b3 − 1 2 b2 1b4 − 1 12 b3 2 ) . Найдем области выполнения неравенств (27)–(29) при учете малости пара- метра ε. Начнем с анализа неравенства (27). Из вида коэффициентов урав- нений (23), (24) следует, что a3, a2, b4, b0 всегда больше нуля. Замечание. Отметим, что параметр κ, входящий в (25), для прикладных исследований не является произвольной величиной. Этот параметр не равен нулю (жесткость кручения отлична от нуля) и ограничен (величины жестко- стей изгиба и кручения имеют один порядок). В частности, в работах [9, 10], в которых с помощью упругих стержневых систем описывают конфигурацию молекулы ДНК, этот параметр определен на интервале (0.5; 2.5). В данной статье области выполнения неравенств (27)–(29) определялись для тех же значений κ. При учете малости ε и κ ∈ (0.5; 2.5) из (23), (24) заключаем, что коэф- фициенты a1, b3, b2 положительны. Осталось определить области, в которых a0 > 0 и b1 > 0. Имеем из (23) a0 = 32κ[ω2(α− ε) + 2− γ − κ2(γ + 2)] > 0. Это неравенство выполняется при условии ω2 > ω1 = κ2(γ + 2) + γ − 2 α− ε . (30) 181 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин Разлагая ω1 в ряд по ε и учитывая (26), получаем ω1 = ω10 + εω11, где ω10 = κ2(γ + 2) + γ − 2 10 , ω11 = ω11(κ). (31) Область положительности коэффициента b1 такова αε(α− ε)ω4 + [2α2κ+ εαγ(κ− 2)+ ε2γ]ω2− 2αγκ+ εγ[γ−κ(γ +2)] > 0. (32) Неравенство (32) выполнено, если ω2 > ω2 = ω20 + εω21, где ω20 = γ 10 , ω21 = ω21(κ). (33) Учитывая (31), (33), окончательно получаем, что неравенства (27) выполня- ются при условии ω2 > ω1 при κ2 > 2 2 + γ ; ω2 > ω2 при κ2 ≤ 2 2 + γ (34) (напомним, что γ = (π/2)2 − 2 > 0). Дискриминант уравне- Рис. 1. ния (23) может быть пред- ставлен так F (ω2) = 4∑ i=1 d3i(ε,κ)ω2i. Проведенный анализ по- казал, что при малых ε этот дискриминант всегда отри- цателен. График функции F (ω2) при ε = 0.1 и различных значениях 0.5 < κ < 1.5 приведен на рис. 1. Здесь первая кривая по- лучена для κ = 0.9, вторая – для κ = 1, а третья – для κ = 1.1. Перейдем к изучению неравенств (29). Первое неравенство после подста- новки в него bj , j = 1, 4, из (25) может быть представлено так F1 = ε2ω4α2+2{α[−γ+κ(γ+6)]ε2−2α2κε}ω2+{ε[κ(γ+2)−γ]+ακ}2+8ακε > 0. Дискриминант уравнения F1 = 0 равен ∆ = 2ε3α2κ{−ακ(γ + 4) + ε[κ(γ + 4)− γ]}. 182 Необходимые условия устойчивости относительного равновесия Рис. 2. Очевидно, что при малых ε имеем ∆ < 0 и, следовательно, F1 > 0. Второе неравенство (29) удовлетворено, если αω2 + [κ(γ + 2)− γ]ε + 2ακ > 0. Это условие выполнено при κ ∈ (0.5; 2.5) и малых ε. Последнее неравенство (29) имеет вид f(ω2) = 7∑ i=1 d4i(ε,κ)ω2i > 0. Установлено,что уравнение f(ω2) = 0 имеет только один положительный ко- рень ω3 = ω30 + εω31(κ), причем ω30 = ω20 = γ/10. График кривых f(ω2) при различных значениях κ и ε = 0.1 приведен на рис. 2. На нем, как и на рис. 1, изображены три кривые, на которых соответ- ственно κ равно 0.9; 1 и 1.1. При этом изображен общий вид кривой f(ω2) на интервале (0; 5), на котором функция имеет точки экстремума, а также от- дельно выделен интервал, на котором находится корень уравнения f(ω2) = 0, равный ω3. При значениях ω > 5 функция f(ω2) монотонно возрастает. Итак, неравенства (27)–(29), а, следовательно, и необходимые условия устойчивости решения (16) выполнены на интервалах ω2 > ω1 при κ2 > 2 2 + γ и ω2 > max(ω2, ω3) при κ2 ≤ 2 2 + γ и замкнутая система, состоящая из четырех тел, неустойчива в случае Ω = 0. 183 И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин 1. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39. 2. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер- дых тел // Там же. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103. 3. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопере- сечением // Там же. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151. 4. Bolgrabskay I.A., Shchepin N.N. Finite dimensional model of closed elastic systems // Proc. of the 9th conf. of dynamical systems – theory and applications (December 17 – 20, 2007, Lodz, Poland). – 2007. – 2. – P. 135–143. 5. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Устойчивость положения равновесия замкнутой систе- мы тел конфигурации “восьмерка” // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 151–160. 6. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с. 7. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. – Киев: Наук. думка, 1977. – 160 с. 8. Покровский П.М. Об алгебраических уравнениях в связи с аналитическими функция- ми Вейерштрасса // Тр. отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. – 1983. – 6, вып. 1. – С. 26–42. 9. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // В кн.: Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999. – С. 308–338. 10. Hoffman K.A. Methods for determining stability in continuum elastic-rod models of DNA // Phil. Trans. R. Lond. A. – 2004. – 362. – P. 1301–1315. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк bolg@iamm.ac.donetsk.ua Получено 10.07.09 184

Необходимые условия устойчивости относительного равновесия замкнутой “круговой” системы

Institution

Ähnliche Einträge