Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса

На нулевом уровне интеграла площадей исследованы аналитические и качественные свойства решения В. Гесса классической задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Найдена явная зависимость фазовых переменных от времени. Изучена временн´ая и пространственная эволюция угловой скор...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
1. Verfasser:	Гашененко, И.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28040
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 12-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-28040
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-280402011-10-27T12:05:49Z Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса Гашененко, И.Н. На нулевом уровне интеграла площадей исследованы аналитические и качественные свойства решения В. Гесса классической задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Найдена явная зависимость фазовых переменных от времени. Изучена временн´ая и пространственная эволюция угловой скорости и кинетического момента.Движение тела представлено качением эллипсоида инерции по неподвижной плоскости. На нульовому рiвнi iнтеграла площ дослiджено аналiтичнi та якiснi властивостi розв’язку В. Гесса класичної задачi про обертання важкого твердого тiла навколо нерухомої точки. Знайдено явну залежнiсть фазових змiнних вiд часу. Вивчено часову i просторову еволюцiї кутової швидкостi i кiнетичного моменту. Рух тiла зображено коченням елiпсоїда iнерцiї по нерухомiй площинi. On the zero level of the momentum integral, analytic and qualitative properties of the Hess solution of the classical problem on rotation of a heavy rigid body about a fixed point are studied. The explicit time dependence of the phase variables is expressed in terms of Jacobi elliptic functions. The time and the spatial evolution of the angular velocity and angular momentum are investigated. The motion of the body is represented by the rolling motion of the body’s ellipsoid of inertia on a fixed plane in space. 2010 Article Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 12-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28040 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На нулевом уровне интеграла площадей исследованы аналитические и качественные свойства решения В. Гесса классической задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Найдена явная зависимость фазовых переменных от времени. Изучена временн´ая и пространственная эволюция угловой скорости и кинетического момента.Движение тела представлено качением эллипсоида инерции по неподвижной плоскости.
format	Article
author	Гашененко, И.Н.
spellingShingle	Гашененко, И.Н. Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса Механика твердого тела
author_facet	Гашененко, И.Н.
author_sort	Гашененко, И.Н.
title	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса
title_short	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса
title_full	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса
title_fullStr	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса
title_full_unstemmed	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса
title_sort	кинематическое представление по пуансо движения тела в случае гесса
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28040
citation_txt	Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса / И.Н. Гашененко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 12-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT gašenenkoin kinematičeskoepredstavleniepopuansodviženiâtelavslučaegessa
first_indexed	2025-07-03T08:05:16Z
last_indexed	2025-07-03T08:05:16Z
_version_	1836612234473635840
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40 УДК 531.38 c©2010. И.Н. Гашененко КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО ПУАНСО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В СЛУЧАЕ ГЕССА На нулевом уровне интеграла площадей исследованы аналитические и качественные свой- ства решения В. Гесса классической задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Найдена явная зависимость фазовых переменных от времени. Изуче- на временна́я и пространственная эволюция угловой скорости и кинетического момента. Движение тела представлено качением эллипсоида инерции по неподвижной плоскости. Ключевые слова: динамика твердого тела, решение Гесса, угловая скорость, кинетиче- ский момент, полодия, герполодия, движение Пуансо. Введение. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описывается дифференциальными уравнениями Эйлера–Пуассона Aω̇ = Aω × ω + r× γ, γ̇ = γ × ω, (1) где A = diag(A1, A2, A3)− тензор инерции тела в неподвижной точке, ω− угловая скорость, Aω− кинетический момент, γ − орт вертикали, r− орт радиус-вектора центра масс тела. Уравнения (1) имеют три первых интеграла H def = 1 2 Aω · ω − r · γ = h, G def = Aω · γ = g, I def = γ · γ = 1. (2) В 1890 г. Вильгельм Гесс [1] показал, что при ограничениях на параметры r1 √ A1(A3 −A2) = r2 √ A2(A1 −A3), r3 = 0, A1 > A3 > A2 (3) уравнения (1) допускают линейное инвариантное соотношение A1ω1r1 +A2ω2r2 = 0. (4) При условии g = 0 уравнения (1) допускают дополнительное инвариантное соотношение, которое может быть записано в виде A3ω3r2 −A1ω1 sh {b(Arccos (r1γ1 + r2γ2)− θ0)} = 0. (5) Детальное аналитическое исследование решения Гесса выполнил П.А. Не- красов [2,3]: он свел задачу к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка с двоякопериодическими комплексными коэффи- циентами, изучил аналитические свойства решений этого уравнения и выявил основные свойства траекторий на сфере Пуассона. Некоторые результаты ра- бот [1,2] впоследствии были повторены Р. Лиувиллем [4]. В совместной работе Б.К. Млодзеевского и П.А. Некрасова сформулированы достаточные условия 12 Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса существования периодических и асимптотических движений. Важные каче- ственные свойства движения тела (в частности, при нулевой постоянной пло- щадей) отмечены Н.Е. Жуковским [5]. Полный качественный анализ фазо- вых траекторий решения Гесса выполнен А.М. Ковалевым [6]. Основанная на результатах [6] детальная классификация возможных годографов вектора кинетического момента в зависимости от значений h, g предложена в [7]. В работе [8] методом годографов [9] дано кинематическое истолкование движе- ния гироскопа Гесса при нулевой постоянной площадей. 1. Специальные оси. Успехи исследований решения Гесса во многом связаны с использованием специальной ортогональной системы подвижных координат, первая ось которой проходит через центр масс тела, а третья ось совпадает с главной осью инерции. Такие оси нашли применение в работах [3, 4, 6, 10, 11] и др. В новой системе координат проекции фазовых переменных выражаются по формулам [3] ωx = ω1r1 + ω2r2, ωy = ω2r1 − ω1r2, ωz = ω3, ν1 = γ1r1 + γ2r2, ν2 = γ2r1 − γ1r2, ν3 = γ3. (6) Дифференциальные уравнения (1) и их первые интегралы (2) при ограниче- ниях (3),(4) достаточно просто записываются в переменных (6): ω̇y = ωxωz − ν3/A3, ω̇z = −ωyωx + ν2/A3, ν̇1 = ν2ωz − ν3ωy, ν̇2 = ν3ωx − ν1ωz, ν̇3 = ν1ωy − ν2ωx, A3 2 (ω2 y + ω2 z)− ν1 = h, A3 (ωyν2 + ωzν3) = g, ν21 + ν22 + ν23 = 1. (7) Положим g = 0. Инвариантные соотношения (4),(5) запишем в виде ωx − bωy = 0, ωz + ωy sh {b(Arccos ν1 − θ0)} = 0, (8) где b2 = (A1−A3)(A3−A2)/(A1A2), \|b\| < 1, θ0 ∈ [0,∞). В результате замены переменных [12–14] ν1 = cos θ, ν2 = sin θ thσ, ν3 = sin θ/chσ, ωx = b θ̇ /ch σ, ωy = θ̇ /ch σ, ωz = −θ̇ thσ (9) система уравнений (7),(8) сводится к двум уравнениям: A3 2 θ̇2 − cos θ = h, σ = b(θ − θ0). (10) 13 И.Н. Гашененко 2. Зависимость переменных от времени. Из уравнений (9), (10) сле- дует важное свойство [1, §12]: решение Гесса в случае g = 0 выражается в эллиптических функциях времени. Пусть h ∈ (−1, 1), тогда решение Гесса записывается в следующем виде: ωx = 2abk cnτ chσ , ωy = 2ak cnτ chσ , ωz = −2ak cnτ thσ, τ = a (t− t0), ν1 = 2dn2 τ − 1, ν2 = 2k snτ dnτ thσ, ν3 = 2k snτ dnτ chσ , σ = b (2ε arccos {dn τ} − θ0), k = √ (h+ 1)/2, ε = sgn (snτ). (11) Здесь и далее использовано обозначение a = 1/ √ A3. Период T решения (11) не зависит от параметров b, θ0 и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода K(k) по формуле T = 4K(k)/a. Полагая θ0 = ∞, из (11) получим формулы, описывающие колебания фи- зического маятника вокруг третьей главной оси инерции: ωx = ωy = ν3 = 0, ωz = −2ak cnτ, ν1 = 2dn2 τ − 1, ν2 = 2k snτ dnτ. (12) В случае h > 1 решение Гесса имеет вид ωx = 2εb a k dnτ chσ , ωy = 2ε a k dnτ chσ , ωz = −2 a k dnτ thσ, ν1 = 2 cn2 τ − 1, ν2 = 2 snτ cnτ thσ, ν3 = 2ε snτ cnτ chσ , (13) σ = b (2Arccos {cn τ} − θ0), k = √ 2/(h + 1), τ = a k (t− t0), ε = ±1. При θ0 = ∞ формулы (13) описывают периодические (T = 2kK(k)/a) вращения физического маятника вокруг главной оси инерции: ωx = ωy = ν3 = 0, ωz = ∓ 2 a k dnτ, ν1 = 2 cn2τ − 1, ν2 = ± 2 snτ cnτ. (14) Если θ0 ∈ [0,∞), то решение (13) является гетероклиническим, при t → ±∞ оно асимптотически приближается к двум периодическим решениям (14). Пусть h = 1, тогда решение Гесса описывает движение твердого тела в окрестности неустойчивого положения равновесия: ωx = 2εab chτ chσ , ωy = 2εa chτ chσ , ωz = − 2a chτ thσ, ν1 = 2 ch2τ − 1, ν2 = 2 shτ ch2τ thσ, ν3 = 2ε shτ ch2τ chσ , σ = b (4 arctg{eτ} − θ0), τ = a (t− t0), ε = ±1. (15) При t → ±∞ решение (15) асимптотически стремится к точке (ω,ν) = (0, 0, 0,−1, 0, 0). Аналогичные (13),(15) явные выражения решения Гесса использовались ранее в работах [12, 13]. 14 Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса 3. Изменение угловой скорости в подвижном и неподвижном ба- зисе. Зададим значения параметров a > 0, b ∈ (0, 1), θ0 ∈ [0,∞). Зависящее от h однопараметрическое семейство годографов угловой скорости запол- няет плоскость P = {ωx, ωy, ωz : ωx = b ωy}, причем пересечения различ- ных траекторий этого семейства возможны только в начале координат. Если h ∈ (−1, 1), то подвижные годографы симметричны относительно преобра- зования (ωx, ωy, ωz) → (−ωx,−ωy,−ωz), они имеют вид восьмерки с точкой самопересечения в начале координат (см. рис. 1). Если h > 1, то подвижные годографы не проходят через начало координат, при t → ±∞ траектории на рис. 1 асимптотически приближаются к оси Oωz. а) b = 0.7 б) b = 0.5 в) b = 0.3 г) b = 0.15 Рис. 1. Подвижные годографы угловой скорости для θ0 = 0, h ∈ (−1, 4]. Если построены фазовые траектории для θ0 = 0, то для произвольного значения θ0 фазовые траектории находим координатным преобразованием ω′ x =bω′ y, ω′ y = ωy √ ω2 y + ω2 z c1 √ ω2 y + ω2 z + c2ωz , ω′ z = ωz + c2 ω 2 y c1 √ ω2 y + ω2 z + c2ωz , ν ′1 =ν1, ν ′2 = ν2 − c2 ν 2 3 c1 √ ν2 2 + ν2 3 − c2ν2 , ν ′3 = ν3 √ ν2 2 + ν2 3 c1 √ ν2 2 + ν2 3 − c2ν2 , (16) где c1 = ch(b θ0), c2 = sh(b θ0), sgn( √ ω2 y + ω2 z) = sgn(ωy), sgn( √ ν2 2 + ν2 3 ) = = sgn(ν3). В частности, полученные для h ∈ (−1, 1), θ0 = 0 подвижные годо- графы отображением (16), где c1 = ch(2nπb), c2 = sh(2nπb), n ∈ Z, переводят- ся в траектории, которые на рис. 1 заполнят все пустые области, имеющиеся в окрестности начала координат. Орт вертикали ν описывает в подвижном базисе сферическую кривую, лежащую на пересечении двух поверхностей:    ν21 + ν22 + ν23 = 1, ν1 = cos ( θ0 + 1 b Arsh ν2 ν3 ) . (17) 15 И.Н. Гашененко Пусть (i1, i2, i3) – ортонормированный базис, состоящий из неподвижных в пространстве векторов, причем i1 = γ. С учетом результатов работы [8] найдем компоненты вектора угловой скорости тела ω = Ωξi1 +Ωηi2 +Ωζi3 в базисе (i1, i2, i3). В переменных (9) компоненты угловой скорости имеют вид Ωξ = b θ̇ cos θ ch σ , Ωη = b θ̇ sin θ ch σ , Ωζ = θ̇. (18) Зададим значение h = const, тогда из первого уравнения (10) следует урав- нение линейчатой поверхности ( Ω2 ζ 2a2 − h )2 (Ω2 ξ +Ω2 η)− Ω2 ξ = 0, несущей зависящее от θ0 семейство неподвижных годографов. Расположение годографов угловой скорости в R 3(Ωξ,Ωη,Ωζ) ограничено конусом: Ω2 ξ +Ω2 η − b2Ω2 ζ ≤ 0. (19) Если h ∈ (−1, 1), то движение твердого тела в случае Гесса является периодическим [3,8]. Из формул (9),(11),(18) найдем зависимость от времени величин Ωξ,Ωη,Ωζ для значений энергии h ∈ (−1, 1) : Ωξ = 2abk (2dn2 τ − 1) cnτ chσ , Ωη = 4abk2 snτ cnτ dnτ chσ , Ωζ = 2ak cnτ, (20) где σ = b (2ε arccos {dn τ}−θ0), k = √ (h+ 1)/2, ε = sgn (snτ), τ = a (t− t0). Для h > 1 из (9),(13),(18) получим выражения Ωξ = 2εab k (2 cn2 τ − 1) dnτ chσ , Ωη = 4ab k snτ cnτ dnτ chσ , Ωζ = 2εa k dnτ, (21) где σ = b (2Arccos {cn τ} − θ0), k = √ 2/(h + 1), τ = a (t− t0)/k, ε = ±1. При асимптотическом движении тела к неустойчивому положению равно- весия (h = 1) проекции угловой скорости на неподвижные оси имеют вид Ωξ = 2εab (1 − sh2τ) ch3τ chσ , Ωη = 4ab shτ ch3τ chσ , Ωζ = 2εa chτ , (22) где σ = b (4 arctg{eτ} − θ0), τ = a (t− t0), ε = ±1. Снова зафиксируем значения параметров a > 0, b ∈ (0, 1), θ0 ∈ [0,∞). Зависящее от h однопараметрическое семейство неподвижных годографов угловой скорости заполняет в R 3(Ωξ,Ωη,Ωζ) коническую поверхность N = {Ωξ,Ωη,Ωζ : Ωξ = bu cos (v + θ0)/ch bv, Ωη = bu sin (v + θ0)/ch bv, 16 Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса Ωζ = u, −∞ < u < ∞, −∞ < v < ∞} . Направляющей линией конической поверхности N может служить плоская кривая L = {Ωξ,Ωη,Ωζ : Ωξ = cos (v + θ0)/ch bv, Ωη = sin (v + θ0)/ch bv, Ωζ = 1/b, −∞ < v < ∞} . Кривые L, соответствующие различным значениям параметра b ∈ (0, 1), показаны на рис. 2. Подобные кривые (разделяющие герполодии) были изу- чены Пуансо в задаче о движении тела по инерции [10, п. 151]. –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 –1 1 а) b = 0.7 б) b = 0.5 в) b = 0.3 г) b = 0.15 Рис. 2. Герполодии на неподвижной плоскости. 4. Кинематическая интерпретация движения. Неизменно связан- ную с телом коническую поверхность – геометрическое место мгновенных осей в теле – называют подвижным аксоидом. Вершиной его служит непо- движная точка, а направляющей линией – подвижный годограф угловой ско- рости. Неподвижный аксоид – это геометрическое место мгновенных осей в пространстве. Его вершина также находится в точке O, а направляющей ли- нией служит неподвижный годограф угловой скорости. По теореме Пуансо, вращение твердого тела вокруг неподвижной точки может быть представлено качением без скольжения подвижного аксоида по неподвижному. Вычислим элементы матрицы ориентации E, связывающей в заданный момент времени подвижный (e1(t), e2(t), e3(t)) и неподвижный (i1, i2, i3) ба- зисы: ij = 3∑ k=1 Ejk(t)ek(t), j = 1, 2, 3. Для рассматриваемого решения Гесса матрица E имеет вид E =   ν1 ν2 ν3 ∆ −ν1ν2/∆ −ν1ν3/∆ 0 ν3/∆ −ν2/∆   , где ∆ = √ ν2 2 + ν2 3 . (23) Запишем матрицу E в переменных θ, σ: E =   cos θ sin θ thσ sin θ /ch σ sin θ − cos θ thσ − cos θ /ch σ 0 1/ch σ −thσ   . 17 И.Н. Гашененко Отнесенные к подвижному (связанному с телом) базису (e1, e2, e3) векторы K =Kxe1 +Kye2 +Kze3 ≡ A3ωy e2 +A3ωz e3, ω =ωxe1 + ωye2 + ωze3, r = e1 в неподвижной системе координат (i1, i2, i3) имеют вид K =Kξi1 +Kηi2 +Kζ i3 ≡ A3θ̇ i3, ω = Ωξi1 +Ωηi2 +Ωζi3, r =rξi1 + rηi2 + rζi3 ≡ i1 cos θ + i2 sin θ. (24) Кинетический момент K def = Aω твердого тела направлен по i3 и, значит, сохраняет в пространстве неизменное горизонтальное положение [5, § 3]. Рис. 3. Качение эллипсоида (25) по неподвижной плоскости Π = {x1, x2, x3 : x3 = 1}. В неподвижном пространстве зададим плоскость Π = {x1, x2, x3 : x3 = 1}. Пересечение неподвижного аксоида N с плоскостью Π происходит в точках, радиус-векторы которых заданы вектор-функцией Ω̃(v) = ( b cos (v + θ0) ch bv , b sin (v + θ0) ch bv , 1 ) . Аналогичным преобразованием подвижного аксоида найдем вектор-функцию ω̃(v) def = ET Ω̃(v) = ( b 1 ch bv , 1 ch bv , th bv ) , которая при изменении параметра v ∈ (−∞,∞) задает дугу полодии (дугу эллипса) на эллипсоиде инерции: A11ω̃ 2 1 +A22ω̃ 2 2 +A33ω̃ 2 3 + 2A12ω̃1ω̃2 = A33, (25) 18 Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса где A11(A33−A22)+A2 12 = 0, A11A33 = A1A2, A11+A22 = A1+A2, A33 = A3. Для фиксированного значения θ0 = const вид полодии и герполодии не зависит от значения константы h. Если h ∈ (−1, 1), то v ∈ [v1, v2], где v1 = − arccos (−h) − θ0, v2 = arccos (−h) − θ0. В этом случае переменная v периодически изменяется с течением времени. Годографы векторов ω̃, Ω̃ вы- черчивают дуги плоских кривых, возвращаясь в исходную точку за время T = 4K(k)/a. Если h ∈ (1,∞), то v ∈ (−∞,∞), герполодия совершает беско- нечно много оборотов вокруг точки (0, 0, 1) ∈ Π. Движение твердого тела в случае Гесса может быть представлено качени- ем эллипсоида инерции по неподвижной плоскости. На рис. 3 вектор i3 на- правлен вертикально вниз, а плоскость, содержащая векторы i1, i3, является плоскостью симметрии для герполодии. Центр масс тела (см. (24)) движется по окружности [5, § 3], при этом векторы e1, i3 остаются ортогональными. Обкатывание годографов векторов ω̃, Ω̃ происходит без скольжения. 1. Hess W. Über die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue particuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt// Math. Ann. – 1890. – 37. – S. 153–181. 2. Некрасов П.А. К задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точ- ки// Мат. сборник. – 1892. – 16, вып. 3. – С. 508–517. 3. Некрасов П.А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжелого твер- дого тела около неподвижной точки// Там же. – 1896. – 18, вып. 2. – С. 161–274. 4. Liouville R. Sur la rotation des solides// Comptes rendus de l’Acad. des Sci. Paris. – 1895. – 120, № 17. – P. 903–906. 5. Жуковский Н.Е. Локсодромический маятник Гесса// Тр. Отд. физ. наук О–ва лю- бителей естествознания. – 1893. – 5, вып. 2. – С. 37–45; Собр. соч.: В 7 т. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – Т. 1. – С. 257–274. 6. Ковалев А.М. Подвижный годограф угловой скорости в решении Гесса задачи о дви- жении тела, имеющего неподвижную точку// Прикл. математика и механика. – 1968. – 32, вып. 6. – С. 1111–1118. 7. Ковалев А.М., Кириченко В.В. Годограф вектора кинетического момента в решении Гесса// Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 9–20. 8. Ковалев А.М. О движении тела в случае Гесса// Там же. – 1969. – Вып. 1. – С. 12–27. 9. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд–во Новосибир. ун-та, 1965. – 221 с. 10. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. – М.: Наука, 1983. – Т. 2. – 544 с. 11. Bressan A. Sulle precessioni d’un corpo rigido costituenti moti di Hess// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. – 1957.– 27. – С. 276–283. 12. Довбыш С.А. О сепаратрисе неустойчивого положения равновесия волчка Гесса–Ап- пельрота// Прикл. математика и механика. – 1992. – 56, № 4. – С. 632–642. 13. Ковалев В.М. Асимптотические движения гироскопа Гесса с нулевым значением по- стоянной площадей// Механика твердого тела. – 1993. – Вып. 25. – С. 20–26. 14. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера–Пуассона. – Киев: Наук. думка, 1992. – 168 с. 19 И.Н. Гашененко I.N.Gashenenko Poinsot kinematic representation of the motion of a body in the Hess case On the zero level of the momentum integral, analytic and qualitative properties of the Hess solution of the classical problem on rotation of a heavy rigid body about a fixed point are studied. The explicit time dependence of the phase variables is expressed in terms of Jacobi elliptic functions. The time and the spatial evolution of the angular velocity and angular momentum are investigated. The motion of the body is represented by the rolling motion of the body’s ellipsoid of inertia on a fixed plane in space. Keywords: dynamics of a rigid body, the Hess solution, angular velocity, angular momentum, polhode, herpolhode, Poinsot motion. I.М. Гашененко Кiнематичне зображення за Пуансо руху тiла у випадку Гесса На нульовому рiвнi iнтеграла площ дослiджено аналiтичнi та якiснi властивостi розв’язку В. Гесса класичної задачi про обертання важкого твердого тiла навколо нерухомої точки. Знайдено явну залежнiсть фазових змiнних вiд часу. Вивчено часову i просторову еволюцiї кутової швидкостi i кiнетичного моменту. Рух тiла зображено коченням елiпсоїда iнерцiї по нерухомiй площинi. Ключовi слова: динамiка твердого тiла, розв’язок Гесса, кутова швидкiсть, кiнетичний момент, полодiя, герполодiя, рух Пуансо. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк gashenenko@iamm.ac.donetsk.ua Получено 19.08.10 20

Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса

Institution

Ähnliche Einträge