Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона
Исследованы условия существования одного класса полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Получено новое решение, которое отличается от решений В.А.Стеклова, Н.Ковалевского, Д.Н. Горячева и их обобщений, указанны...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28047 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 103-109. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-28047 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-280472011-10-27T12:12:07Z Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона Зыза, А.В. Исследованы условия существования одного класса полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Получено новое решение, которое отличается от решений В.А.Стеклова, Н.Ковалевского, Д.Н. Горячева и их обобщений, указанных П.В.Харламовым. Дослiджено умови iснування одного класу полiномiальних розв’язкiв рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона задачi про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Отримано новий розв’язок даних рiвнянь, який має вiдмiну вiд розв’язкiв В.А.Стєклова, Н.Ковалевського, Д.Н. Горячева та їх узагальнень, указаних П.В.Харламовим. The conditions of the existence of one class of polynomial solutions of Kirchhoff-Poisson equations for the problem of gyrostat movement under the influence of potential and gyroscopic forces has been studied. A new solution of the given equations has been obtained which differs from those by V.A. Steklov, N.Kovalevsky, D.N.Goriachev and their generalizations indicated by P.V.Kharlamov. 2010 Article Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 103-109. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28047 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследованы условия существования одного класса полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Получено новое решение, которое отличается от решений В.А.Стеклова, Н.Ковалевского, Д.Н. Горячева и их обобщений, указанных П.В.Харламовым. |
| format |
Article |
| author |
Зыза, А.В. |
| spellingShingle |
Зыза, А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона Механика твердого тела |
| author_facet |
Зыза, А.В. |
| author_sort |
Зыза, А.В. |
| title |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона |
| title_short |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона |
| title_full |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона |
| title_fullStr |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона |
| title_full_unstemmed |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона |
| title_sort |
один случай полиномиальных решений уравнений кирхгофа–пуассона |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/28047 |
| citation_txt |
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2010. — Вип 40. — С. 103-109. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zyzaav odinslučajpolinomialʹnyhrešenijuravnenijkirhgofapuassona |
| first_indexed |
2025-07-03T08:05:49Z |
| last_indexed |
2025-07-03T08:05:49Z |
| _version_ |
1836612268573327360 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2010. Вып. 40
УДК 531.38
c©2010. А.В. Зыза
ОДИН СЛУЧАЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА–ПУАССОНА
Исследованы условия существования одного класса полиномиальных решений уравнений
Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гиро-
скопических сил. Получено новое решение, которое отличается от решений В.А. Стеклова,
Н.Ковалевского, Д.Н. Горячева и их обобщений, указанных П.В. Харламовым.
Ключевые слова: полиномиальные решения, уравнения Кирхгофа–Пуассона, гиростат,
инвариантное соотношение, потенциальные и гироскопические силы.
При интегрировании уравнений динамики гиростата с неподвижной точ-
кой используют различные методы теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Среди них можно отметить: построение решений в виде
рядов по вспомогательной переменной [1]; исследование решений уравне-
ний движения на основе дополнительного первого интеграла (метода Якоби,
см., например, [2]); применение методов инвариантных соотношений, разви-
тых Т. Леви-Чивита [3], П.В. Харламовым [4].
Особый интерес представляют полиномиальные решения класса Стекло-
ва–Ковалевского–Горячева, которые обобщены на случай тяжелого гиростата
П.В. Харламовым [2]. Как показано в [5], полиномиальные решения указан-
ного класса существуют и для уравнений Кирхгофа–Пуассона. Эти решения
имеют как общие, так и отличительные свойства с решениями классической
задачи [2].
Данная работа посвящена исследованию условий существования полино-
миальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона в случае, когда квадрат
второй компоненты вектора угловой скорости является линейной функцией
от первой компоненты этого вектора. Построено новое частное решение, в ко-
тором компоненты вектора угловой скорости и вектора вертикали являются
эллиптическими функциями времени.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение заряженного и намагни-
ченного гиростата с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопи-
ческих сил. Потенциальные силы возникают при взаимодействии магнитов с
постоянным магнитным полем, электрических зарядов с электрическим по-
лем и ньютоновском притяжении масс. Центры ньютоновского и кулонов-
ского притяжений лежат на оси, проходящей через неподвижную точку и
параллельной вектору, характеризующему направление постоянного магнит-
ного поля. Гироскопические силы определяются лоренцевым воздействием
магнитного поля на движущиеся в пространстве электрические заряды и цик-
лическим движением роторов в теле–носителе. Уравнения движения такого
гиростата запишем в векторной форме [6]
103
А.В. Зыза
Aω̇ =
(
Aω + λ
)
× ω + ω ×Bν + ν ×
(
Cν − s
)
, ν̇ = ν × ω. (1)
Эти уравнения допускают три первых интеграла
Aω·ω−2
(
s·ν
)
+
(
Cν·ν
)
= 2E0, 2
(
Aω+λ
)
·ν−
(
Bν ·ν
)
= 2k0, ν ·ν = 1. (2)
Здесь ω = (p, q, r) – угловая скорость гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) – единич-
ный вектор, характеризующий направление оси симметрии силовых полей;
λ = (λ1, λ2, λ3) – гиростатический момент; s = (s1, s2, s3) – вектор обобщен-
ного центра масс; A – тензор инерции гиростата, построенный в неподвиж-
ной точке; B и C – симметричные матрицы третьего порядка; точка над
переменными обозначает относительную производную; E0 и k0 – постоянные
интегралов.
Запишем уравнения (1) и первые интегралы (2) в скалярном виде, полагая
A = diag (A1, A2, A3), B = diag (B1, B2, B3), C = diag (C1, C2, C3):
A1ṗ = (A2 −A3)qr +B3ν3q −B2ν2r + (C3 − C2)ν2ν3 + λ2r − λ3q+
+ ν3s2 − ν2s3,
A2q̇ = (A3 −A1)rp+B1ν1r −B3ν3p+ (C1 − C3)ν3ν1 + λ3p− λ1r+
+ ν1s3 − ν3s1,
A3ṙ = (A1 −A2)pq +B2ν2p−B1ν1q + (C2 − C1)ν2ν1 + λ1q − λ2p+
+ ν2s1 − ν1s2;
(3)
ν̇1 = rν2 − qν3, ν̇2 = pν3 − rν1, ν̇3 = qν1 − pν2; (4)
A1p
2+A2q
2 +A3r
2 − 2(s1ν1 + s2ν2 + s3ν3) + C1ν
2
1 +C2ν
2
2+
+ C3ν
2
3 = 2E0,
2(A1p+λ1)ν1 + 2(A2q + λ2)ν2 + 2(A3r + λ3)ν3 −B1ν
2
1 −B2ν
2
2−
−B3ν
2
3 = 2k0;
ν21 + ν22 + ν23 = 1.
(5)
Следуя [5], поставим задачу об исследовании условий существования у урав-
нений (3), (4) при s2 = s3 = 0, λ2 = λ3 = 0 решений следующего вида
q2 = Q(p) =
n∑
k=0
bkp
k, r2 = R(p) =
m∑
i=0
cip
i, ν1 = ϕ(p) =
l∑
j=0
ajp
j ,
ν2 = qψ(p), ν3 = rκ(p), ψ(p) =
n1∑
i=0
gip
i, κ(p) =
m1∑
j=0
fjp
j ,
(6)
где n,m, l, n1,m1 – натуральные числа или нули; коэффициенты bk, ci, aj , gi,
fj – некоторые параметры, подлежащие определению.
104
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона
Известно, что в классической задаче о движении тяжелого твердого тела к
указанному классу можно отнести решения В.А.Стеклова, Н.Ковалевского,
Д.Н. Горячева [2].
Подставим выражения (6) в уравнения (3), (4) и геометрический интеграл
из (5):
ṗ = µ(p)
√
Q(p)R(p), µ(p) =
(
ψ(p)− κ(p)
)(
ϕ′(p)
)
−1
; (7)
(
Q(p)ψ2(p)
)
′
µ(p) = 2ψ(p)
(
pκ(p)− ϕ(p)
)
,
(8)(
R(p)κ2(p)
)
′
µ(p) = 2κ(p)
(
ϕ(p)− pψ(p)
)
;
A1µ(p) =
(
C3 − C2
)
ψ(p)κ(p) +B3κ(p)−B2ψ(p) +A2 −A3,
A2Q
′(p)µ(p) = 2
[(
C1 − C3
)
ϕ(p)κ(p)− κ(p)
(
B3p+ s1
)
+
+B1ϕ(p) +
(
A3 −A1
)
p− λ1
]
,
A3R
′(p)µ(p) = 2
[(
C2 − C1
)
ϕ(p)ψ(p) + ψ(p)
(
B2p+ s1
)
−
−B1ϕ(p) +
(
A1 −A2
)
p+ λ1
]
;
(9)
ϕ2(p)− 1 +Q(p)ψ2(p) +R(p)κ2(p) = 0. (10)
В уравнениях (7)–(9) штрихом обозначено дифференцирование по независи-
мой переменной p. Если функции Q(p), R(p), ϕ(p), ψ(p), κ(p) определены, то
зависимость p от времени устанавливается из дифференциального уравнения
(7).
2. Новое частное решение. Рассмотрим случай, когда в решении (6)
m = l = 2, а n = n1 = m1 = 1. Тогда
q2 = Q(p) = b1p+ b0, r2 = R(p) = c2p
2 + c1p+ c0,
ν1 = ϕ(p) = a2p
2 + a1p+ a0, ν2 = ψ(p)q, ν3 = κ(p)r,
ψ(p) = g1p+ g0, κ(p) = f1p+ f0.
(11)
Подставим полиномы из (11) в уравнения (8)–(10). Требование того, чтобы
полученные равенства были тождествами по p приводит к следующей системе
уравнений на параметры задачи и коэффициенты решения (11):
C1 = C2 = C3, B3f1 −B2g1 = 0, g1 − f1 − 2a2µ0 = 0,
µ0 =
(
B3f0 −B2g0 +A2 −A3
)
A−1
1
, g0 − f0 − a1µ0 = 0,
f1 − a2 = 0, 3µ0b1g1 + 2(a1 − f0) = 0, 2µ0c2f1 + g1 − a2 = 0,
µ0(b1g0 + 2g1b0) + 2a0 = 0, µ0(c1f0 + 2c0f1)− 2a0 = 0,
105
А.В. Зыза
µ0(2c2f0 + 3c1f1) + 2(g0 − a1) = 0, B1a2 − f1B3 = 0,
B1a1 − f0B3 − f1s1 +A3 −A1 = 0,
µ0b1A2 − 2(B1a0 − λ1 − f0s1) = 0,
B2g1 −B1a2 = 0, µ0c2A3 −B2g0 − s1g1 +B1a1 −A1 +A2 = 0,
µ0c1A3 − 2(g0s1 −B1a0 + λ1) = 0, a20 + b0g
2
0 + c0f
2
0 − 1 = 0.
(12)
Считая A1 −A3 6= 0, представим решение системы (12) в виде
B1 = B3 = kB2, k =
2A2 − 3A1 +
√
9A2
1
− 4A1A2 + 4A2
2
2A1
, µ0 =
k − 1
2
,
b1 =
4s1
k2(1 − k)B2
, b0 =
2[(k(1 − k)A1 + 2(k + 1)A2 − 2kA3)s1 − 2k2λ1B2]s1
k4(1− k)(A3 −A1)B2
2
,
C1 = C2 = C3, c2 = −1, c1 =
2(k − 3)s1
k(1− k)B2
,
c0 =
[(k(1 − k)(2k + 3)A1 + 4(k2 + 1)A2 − k(k + 3)A3)s1 − 4k2λ1B2]s1
k3(1− k)(A1 −A3)B
2
2
, (13)
a2 =
A1 −A3
2s1
, a1 =
(1− k)(k + 3)A1 + 2kA2 + (k − 3)A3
k(1− k)B2
, a0 =
=
(k(1 − k)(2k + 3)A1 + 2(2k − 1)(k + 1)A2 − k(k + 3)A3)s1 + 2k2(1− k)λ1B2
2k3(1− k)B2
2
,
g1 =
(A1 −A3)k
2s1
, g0 =
(1− k)(k + 4)A1 + 2(k + 1)A2 + (k − 5)A3
2(1 − k)B2
,
f1 = a2, f0 =
k[(2k + 1)A1 − 4A2 +A3] + 3(A3 −A1)
2k(k − 1)B2
.
Здесь λ1 – корень квадратного уравнения
∆1λ
2 +∆2λ+∆3 = 0, а ∆1 = 2k4(k − 1)2(A1 −A3)B
2
2 ,
∆2 = −2k2(k − 1)s1B2
[
k(k − 1)(k2 + 3k + 6)A2
1 + 2(2k2A2
2 − (2k2(k + 1)−
− (k − 1))A1A2 − (k − 1)A2A3 + k(k − 3)(A3 − 2A1)A3)
]
,
∆3 = 2k6(k − 1)2B4
2(A3 −A1) + s21
{
k(k − 1)A2
1[k(k − 1)(3k2(k + 4)+
+ 17k + 18)A1 − 2(k2(9k2 + 21k + 7)− 3(k − 2))A2 + 2k(2k2(k + 4)+
106
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона
+ 3(k + 9))A3] + 2A2
2[(6k
3(3k2 + 2k − 3) + k(5k − 2) + 1)A1−
− 4k2(3k2 + 1)A2 + (8k3(k + 3)− (k − 1)2)A3] + 2kA2
3[k(k
2(2k + 11)−
− 24k + 27)A1 − 2(k2(2k + 5) + 4k − 3)A2 − k(k − 1)(k − 9)A3]−
− 8k(2k3(k + 3) + (k − 1)(k − 3))A1A2A3
}
.
Решение (11) при условиях (13) будет действительным, если
b0 ≥ 0, c0 > 0, ∆2
2 ≥ 4∆1∆3. (14)
Зависимость p от времени устанавливаем из (7):
ṗ = µ0
√
(b1p+ b0)(c2p2 + c1p+ c0). (15)
Итак, найдено новое частное решение полиномиального вида дифферен-
циальных уравнений, описывающих задачу о движении гиростата в поле по-
тенциальных и гироскопических сил. Полученное решение выражается через
эллиптические функции времени и зависит от пяти свободных параметров:
A1, A2, A3, B2, s1.
Это решение также можно найти из уравнений, указанных в [7].
Рассмотрим численный пример решения (11), (13)–(15) уравнений (3), (4).
Пусть
C1 = C2 = C3, A1 =
2
3
A3, A2 =
3
2
A3, A3 = a,
B1 = B3 = 3B2, B2 = b, s1 = −54
b2
a
, λ1 = −6b (a > 0, b > 0).
Тогда из (13)–(15) имеем
q2 = 12ξp, r2 = −p2 + 324ξ2,
ν1 =
1
324ξ2
p2 − 1
6ξ
p+ 1, ν2 =
( 1
108ξ2
p− 1
6ξ
)√
12ξp, (16)
ν3 =
1
324ξ2
p
√
−p2 + 324ξ2;
ṗ =
√
12ξp(−p2 + 324ξ2), (17)
где ξ =
b
a
, 0 ≤ p ≤ 18ξ. В этом решении остался свободный параметр ξ,
который, вообще говоря, не существенный — его можно устранить переходом
к безразмерным величинам.
Рассмотрим сведение задачи к квадратурам в случае (16), (17). В эллип-
тическом интеграле, полученном из (17) при y =
√
p
∫
dy√(
1− y2
18ξ
)(
1 +
y2
18ξ
) = 18ξ
√
3ξ(t− t0),
107
А.В. Зыза
произведем замену
hy =
√
1− u2, (18)
где 0 ≤ u ≤ 1 и h =
1
3
√
2ξ
, тогда
u∫
0
du√
(1− u2)(1− k̃2u2)
= h̃(t− t0), (19)
а k̃ = 2−
1
2 , h̃ = −6
√
3ξ.
Если положить u = sinϕ,
(
ϕ ∈
[
0;
π
2
))
, то интеграл (19) примет форму
Лежандра
ϕ∫
0
dϕ√
1− 1
2
sin2 ϕ
= θ, (20)
где θ = −6
√
3ξ(t − t0). В результате обращения (20) получим значение для
угла ϕ: ϕ = am θ, а u = sn θ.
Так как y =
√
p, то полученное значение для y из (18) дает зависимость
переменной p от времени, с помощью которой из (16) можно получить выра-
жение всех переменных от t.
1. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). – М.: Высшая
школа, 1984. – 232 с.
2. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосибир.
ун-та, 1965. – 221 с.
3. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1951. – Т. II, ч. 2. – 555 с.
4. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне-
ний // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
5. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата
с неподвижной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – №6. – С. 12–21.
6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк:
ДонНУ, 2010. – 364 с.
7. Горр Г.В., Зыза А.В. О редукции дифференциальных уравнений в двух задачах дина-
мики твердого тела // Тр. ИПММ НАНУ. – 2009. – 18. – С. 29–36.
A.V. Zyza
One case of polynomial solutions of Kirchhoff–Poisson equations
The conditions of the existence of one class of polynomial solutions of Kirchhoff-Poisson equa-
tions for the problem of gyrostat movement under the influence of potential and gyroscopic
forces has been studied. A new solution of the given equations has been obtained which differs
from those by V.A. Steklov, N.Kovalevsky, D.N.Goriachev and their generalizations indicated
by P.V.Kharlamov.
Keywords: polynomial solutions, Kirchhoff–Poisson equations, gyrostat, invariant correlation,
potential and gyroscopic forces.
108
Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона
О.В.Зиза
Один випадок полiномiальних розв’язкiв рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона
Дослiджено умови iснування одного класу полiномiальних розв’язкiв рiвнянь Кiрхгофа–
Пуассона задачi про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Отри-
мано новий розв’язок даних рiвнянь, який має вiдмiну вiд розв’язкiв В.А.Стєклова,
Н.Ковалевського, Д.Н. Горячева та їх узагальнень, указаних П.В.Харламовим.
Ключовi слова: полiномiальнi розв’язки, рiвняння Кiрхгофа–Пуассона, гiростат, iнварi-
антнi спiввiдношення, потенцiальнi i гiроскопiчнi сили.
Национальный ун-т, Донецк
3bl3a@mail.ru
Получено 23.09.09
109
|