Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій
Запропоновано новий метод побудови рiвнянь плоских кривих у неявнiй формi Ґ: ω(x, y) = 0. В основi методу — оператори iнтерлiнацiї ODf(x, y) що належать C^r(R^2), r ≥ 1, невiдомої функцiї f(x, y) на системi взаємно перпендикулярних прямих, яка задовольняє рiвняння Ґ: f(x, y) = 0. Невiдомi слiди функ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29703 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.В. Ткаченко, В.О. Пасiчник, О.О. Черняк // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-29703 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-297032011-12-28T12:41:57Z Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. Пасічник, В.О. Черняк, О.О. Інформатика та кібернетика Запропоновано новий метод побудови рiвнянь плоских кривих у неявнiй формi Ґ: ω(x, y) = 0. В основi методу — оператори iнтерлiнацiї ODf(x, y) що належать C^r(R^2), r ≥ 1, невiдомої функцiї f(x, y) на системi взаємно перпендикулярних прямих, яка задовольняє рiвняння Ґ: f(x, y) = 0. Невiдомi слiди функцiї f(x, y), якi входять в оператор iнтерлiнацiї ODf(x, y), знаходяться з умови найкращого середньоквадратичного наближення ODf(x, y) до f(x, y), побудованої за допомогою R-функцiй. A new method of construction of the equations of 2D curves in an implicit form Ґ: ω(x, y) = 0 is offered. The method is based on operators of the interlineation functions ODf(x, y) belongs C^r(R^2), r ≥ 1 on a system of mutual-perpendicular straight lines. The unknown function f(x, y) satisfies the equation Ґ: f(x, y) = 0. Unknown traces of f(x, y) are determined from the condition of the best mean square approximation ODf(x, y) to f(x, y) constructed by means of R-functions. 2010 Article Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.В. Ткаченко, В.О. Пасiчник, О.О. Черняк // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29703 519.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. Пасічник, В.О. Черняк, О.О. Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано новий метод побудови рiвнянь плоских кривих у неявнiй формi Ґ: ω(x, y) = 0. В основi методу — оператори iнтерлiнацiї ODf(x, y) що належать C^r(R^2), r ≥ 1, невiдомої функцiї f(x, y) на системi взаємно перпендикулярних прямих, яка задовольняє рiвняння Ґ: f(x, y) = 0. Невiдомi слiди функцiї f(x, y), якi входять в оператор iнтерлiнацiї ODf(x, y), знаходяться з умови найкращого середньоквадратичного наближення ODf(x, y) до f(x, y), побудованої за допомогою R-функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. Пасічник, В.О. Черняк, О.О. |
| author_facet |
Сергієнко, І.В. Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. Пасічник, В.О. Черняк, О.О. |
| author_sort |
Сергієнко, І.В. |
| title |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| title_short |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| title_full |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| title_fullStr |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| title_full_unstemmed |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| title_sort |
математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/29703 |
| citation_txt |
Математична модель плоскої кривої у неявній формі на основі інтерлінації функцій / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, О.В. Ткаченко, В.О. Пасiчник, О.О. Черняк // Доп. НАН України. — 2010. — № 5. — С. 45-49. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT sergíênkoív matematičnamodelʹploskoíkrivoíuneâvníjformínaosnovíínterlínacíífunkcíj AT litvinom matematičnamodelʹploskoíkrivoíuneâvníjformínaosnovíínterlínacíífunkcíj AT tkačenkoov matematičnamodelʹploskoíkrivoíuneâvníjformínaosnovíínterlínacíífunkcíj AT pasíčnikvo matematičnamodelʹploskoíkrivoíuneâvníjformínaosnovíínterlínacíífunkcíj AT černâkoo matematičnamodelʹploskoíkrivoíuneâvníjformínaosnovíínterlínacíífunkcíj |
| first_indexed |
2025-07-03T09:55:10Z |
| last_indexed |
2025-07-03T09:55:10Z |
| _version_ |
1836619148534218752 |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2010
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. М. Литвин,
О.В. Ткаченко, В. О. Пасiчник, О. О. Черняк
Математична модель плоскої кривої у неявнiй формi
на основi iнтерлiнацiї функцiй
Запропоновано новий метод побудови рiвнянь плоских кривих у неявнiй формi
Γ: ω(x, y) = 0. В основi методу — оператори iнтерлiнацiї ODf(x, y) ∈ Cr(R2), r > 1,
невiдомої функцiї f(x, y) на системi взаємно перпендикулярних прямих, яка задовольняє
рiвняння Γ: f(x, y) = 0. Невiдомi слiди функцiї f(x, y), якi входять в оператор iнтер-
лiнацiї ODf(x, y), знаходяться з умови найкращого середньоквадратичного наближення
ODf(x, y) до f(x, y), побудованої за допомогою R-функцiй.
Задача побудови математичної моделi плоскої кривої складеної форми (яка є об’єднанням
частин вiдомих кривих) широко застосовується на практицi. Досить вiдзначити необхiднiсть
її розв’язання при описi рiвнянь границь плоских областей складеної форми (обмежених
дугами вiдомих кривих) у варiацiйних методах розв’язання крайових задач. Iнший при-
клад — необхiднiсть побудови кривої у явнiй або неявнiй формi на основi точок на нiй,
отриманих експериментальним шляхом.
Актуальнiсть теми. Одним з найскладнiших етапiв при побудовi математичних мо-
делей кривих у неявнiй формi є задовiльнення технологiчних обмежень диференцiального
типу (неперервнiсть похiдних порядкiв r, r > 1 у всiх точках площини, включаючи куто-
вi точки). Тому актуальною є задача побудови i дослiдження математичних моделей лiнiй
у неявнiй формi, якi допускають оптимальне наближення до реальної кривої (у тому або
iншому сенсi) при задовiльненнi технологiчних обмежень.
Аналiз лiтературних джерел, присвячених поставленiй задачi. Для опису лiнiй
використовуються:
явна форма задання лiнiї у виглядi y = f(x), x ∈ Dx або x = f(y), y ∈ Dy;
неявна форма задання лiнiї у виглядi F (x, y) = 0, (x, y) ∈ Dxy;
задання лiнiї у виглядi набору точок Mk(xk, yk), k = 1, N ;
параметричне задання лiнiї у виглядi x = x(t), y = y(t), t ∈ Dt, частинним випадком
якого є задання кривої у полярнiй системi координат x = r cosϕ, y = r sinϕ, 0 6 r <∞, 0 6
6 ϕ < 2π. В цих формулах вважається, що на лiнiї r = r(ϕ). На практицi використовуються
також iншi системи координат.
Теорiя iнтерлiнацiї, iнтерфлетацiї та мiшаної апроксимацiї функцiй [1–5] знаходить за-
стосування у рiзних галузях науки i технiки. Зокрема, її використання дозволяє розв’язати
поставлену задачу. Серед аналiтичних методiв опису лiнiй у неявнiй формi, що є об’єднан-
ням частин вiдомих лiнiй, слiд вiдзначити метод R-функцiй [6]. Вiн дозволяє за допомогою
вiдомих рiвнянь wi(x, y) = 0, i = 1, N , вказаних частин лiнiй та логiчної функцiї
F (u1, u2, . . . , uN ,∧,∨,¬),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 45
що описує область, обмежену даною кривою за допомогою логiчних операцiй кон’юнкцiї,
диз’юнкцiї, заперечення ∧, ∨, ¬ та R-функцiй
u ∧ 0v =
u+ v −
√
u2 + v2
2
, u ∨ 0v =
u+ v +
√
u2 + v2
2
,−u,
отримувати потрiбне рiвняння лiнiї у виглядi
F (w1, w2, . . . , wN ,∧0,∨0,−) = 0.
Недолiк цього методу полягає у тому, що одержана таким чином функцiя F (w1, w2, . . . ,
wN ,∧0,∨0,−) = F (x, y) у кутових точках є недиференцiйовною. Тому в задачах, де iстотною
є вимога, щоб наближуюча функцiя F (x, y) мала неперервнi похiднi високих порядкiв r,
r > 1, цей пiдхiд потребує додаткових дослiджень.
У роботi [3] запропонований метод точного задовiльнення граничних умов (взагалi ка-
жучи, неоднорiдних) на границях областей D, обмежених дугами вiдомих кривих. Цей пiд-
хiд iстотно використовує сплайн-iнтерлiнацiю функцiй двох змiнних. Вiн лежить в основi
запропонованого у данiй роботi методу побудови неявних рiвнянь плоских кривих. Ме-
тою даної роботи є побудова математичної моделi кривої Γ: f(x, y) = 0 у неявнiй фор-
мi Fap(x, y) на основi використання iнтерлiнацiї функцiй двох змiнних. При цьому фун-
кцiя Fap(x, y) = 0 має найменше середньоквадратичне вiдхилення вiд нормальної фун-
кцiї Fn(x, y) = min
(ξ,η)∈Γ
√
(x− ξ)2 + (y − η)2 кривої Γ та належить до заданого класу Cr(D),
r = 0, 1, . . .. Критерiй вибору параметрiв, що входять у Fap(x, y), може бути iншим, наприк-
лад, можна мiнiмiзувати середньоквадратичне вiдхилення Fap(x, y) вiд функцiї F (x, y), по-
будованої за допомогою R-функцiй.
Допомiжнi твердження. При побудовi формул сплайн-iнтерлiнацiї використовуються
базиснi ермiтовi iнтерполяцiйнi полiноми hk,s(x, x1, x2), k = 1, 2; s = 0, . . . , n з властивостями
h
(p)
k,s(xℓ, x1, x2) = δk,ℓδp,s, k, ℓ = 1, 2; 0 6 p, s 6 n та базиснi В-сплайни Sn(x) := Sn(x,X, Y ) ∈
∈ Cn−1(R) степеня n, n > 2 дефекту 1 на нерiвномiрнiй (взагалi кажучи) сiтцi вузлiв
X = (X0,X1, . . . ,Xn,Xn+1), y = (y0, y1, . . . , yn, yn+1), sup p(Sn(x)) = (X0,Xn+1) [6]. Sn(x)
є сплайном n-го степеня з вузлами Xk, k = 0, n + 1 та невiдомими y1, . . . , yn, що знаходяться
з умов y0 = yn+1 = 0,
S(n−p)
n (x) =
x
∫
X0
S(n−p+1)
n (t) dt, p = 2, . . . , n,
S(n−1)
n (x) =
0, x 6 X0,
gn−1,k(x, y) = yk−1
x−Xk
Xk−1 −Xk
+ yk
x−Xk−1
Xk −Xk−1
, Xk−1 < x 6 Xk,
k = 1, n + 1,
0, x > Xn+1.
Тобто, знаходження невiдомих y1, . . . , yn зводиться до розв’язання системи S(n−p)
n (Xn+1) =
= 0, p = 2, . . . , n (необхiднi умови) та
Xn+1
∫
X0
Sn(t) dt = 1. Останню умову можна замiнити
iншою умовою нормування.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
Основнi твердження.Нижче будемо вважати, що D ⊂ R2 — область на площинi,
границя якої Γ є об’єднанням дуг вiдомих кривих. Для спрощення викладу матерiалу при-
пустимо, що область D повнiстю розмiщена в прямокутнику [a, b] × [c, d]. Розiб’ємо D на
пiдобластi прямими
x = xk, k = 0,M1, y = yℓ, ℓ = 0,M2,
a = x0 < x1 < · · · < xM1
= b; c = y0 < y1 < · · · < yM2
= d.
В результатi D розiб’ється на прямокутники
Ri,j = [xi, xi+1]× [yj, yj+1] ⊂ D
або чотирикутники
R
(1)
i,j = [xi, xi+1]× [yj, yj+1(x)] ⊂ G,
R
(2)
i,j = [xi, xi+1]× [yj(x), yj+1] ⊂ D,
R
(3)
i,j = [xi(y), xi+1]× [yj, yj+1] ⊂ D,
R
(4)
i,j = [xi, xi+1(y)]× [yj, yj+1] ⊂ D,
в яких три прямi паралельнi осям координат, а одна — криволiнiйна (взагалi кажучи) сто-
рона є частиною границi Γ областi D. Крiм того, пiдобластi, на якi розбивається область D,
можуть бути трикутниками
T
(1)
i,j = (x, y) | x > xi, y > yi, y 6 ηj+1(x),
dηj+1(x)
dx
< 0, xi < x < xi+1,
T
(2)
i,j = (x, y) | x > xi, y 6 yi, y > ηj−1(x),
dηj−1(x)
dx
> 0, xi < x < xi+1,
T
(3)
i,j = (x, y) | x 6 xi, y > yi, y 6 ηj+1(x),
dηj+1(x)
dx
> 0, xi−1 < x < xi,
T
(4)
i,j = (x, y) | x 6 xi, y 6 yi, y > ηj−1(x),
dηj−1(x)
dx
> 0, xi−1 < x < xi,
в яких одна зi сторiн є криволiнiйною (взагалi кажучи) частиною границi Γ.
Викладемо загальний алгоритм побудови оператора ODf(x, y), який iнтерлiнує функцiю
f(x, y) на лiнiях x = xk, k = 1,M , та y = yℓ, ℓ = 1, N та на границi Γ областi D дорiвнює
нулю ODf(x, y) = 0, (x, y) ∈ Γ. Вважаємо, що нам заданi рiвняння частин лiнiй, з яких
складається лiнiя Γ. Сформулюємо алгоритм побудови оператора ODf(x, y) за кроками.
К р о к 1 . Задаємо розбиття x = xk, k = 1,M , та y = yℓ, ℓ = 1, N , областi D на пiдобластi.
Для побудови ODf(x, y) використовуємо оператори сплайн-iнтерлiнацiї ODf(x, y) ∈ Cr(R2),
r > 1, з невiдомими слiдами функцiї ODf(x, y) та її немiшаних похiдних ϕk,s(y), ψj,p(x) на
вказаних лiнiях iнтерлiнацiї x = xk, k = 1,M , та y = yℓ, ℓ = 1, N .
К р о к 2 . Пiдставляємо у формулу ODf(x, y) нулi замiсть слiдiв функцiї f(x, y) в точках
границi (x, y) ∈ Γ. Вважаємо, що функцiї однiєї змiнної ψk,s(y), ϕj,p(x) є слiдами (невiдо-
мими, взагалi кажучи) функцiї f(x, y) та її частинних похiдних на лiнiях x = xk, k = 1,M ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 47
та y = yℓ, ℓ = 1, N , вiдповiдно, i входять в оператори iнтерлiнацiї ORi,jf(x, y) для функцiї
f(x, y) на прямокутниках та в оператори iнтерлiнацiї OTi,jf(x, y) для функцiї f(x, y) на
трикутниках. В результатi отримаємо функцiю ODf(x, y), яка точно дорiвнюватиме нулю
на границi Γ областi D. Слiди невiдомої функцiї ODf(x, y) та її похiдних ϕk,s(y), ψj,p(x)
у вузлових точках задовольняють умови
∃fk,ℓ,s,p ∈ R : ϕ
(p)
k,s(yℓ) = ψ
(s)
ℓ,p(xk) = fk,ℓ,s,p, k = 1,M, ℓ = 1, N ; s, p = 0, n, (1)
ϕk,s(y) =
∂sODf
∂xs
(xk, y), k = 1,M, ψℓ,p(x) =
∂pODf
∂xs
(x, yℓ), ℓ = 1, N ; s, p = 0, n. (2)
К р о к 3 . Покладемо
ODf(x, y) =
ORi,jf(x, y), (x, y) ∈ Πi,j ,
OTi,jf(x, y), (x, y) ∈ Ti,j ,
0, (x, y) ∈ Γ.
К ро к 4 . Невiдомi функцiї ϕk,s(y), ψj,p(x) замiнюємо iнтерполяцiйними полiномами
або сплайнами s2k,s(y), s1ℓ,p(x), k = 1,M , ℓ = 1, N , 0 6 s, p 6 n вiдповiдного степеня iз
забезпеченням виконання умов (1), умови
ODf(x, y; {fk,ℓ,s,p}) = ODf(x, y) ∈ Cr(D), r > 1 (3)
та умови
ODf(x, y) = 0, (x, y) ∈ Γ (4)
i вибираємо невiдомi сталi fk,ℓ,s,p з умови мiнiмуму функцiонала
J(f) =
∫ ∫
D
(ωΓ(x, y)−OD(x, y; fk,ℓ))
2dxdy → min
fk,ℓ,s,p
,
де ωΓ(x, y) = 0 — нормальне рiвняння кривої Γ, або рiвняння Γ, побудоване за допомогою
R-функцiй.
Теорема. Iснують такi функцiї ϕk,s(y), ψℓ,p(x) i сталi fk,ℓ,s,p, якi задовольняють умо-
ви (1), (2) на лiнiях iнтерлiнацiї та у вузлових точках розбиття, що оператор ODf(x, y),
визначений вище та задовольняючий умови
∂sOD(x, y)
∂xs
∣
∣
∣
∣
x=xk
= ϕk,s(y), k = 1,M ; s = 0, n,
∂pOD(x, y)
∂yp
∣
∣
∣
∣
y=yℓ
= ψℓ,p(x), ℓ = 1, N ; p = 0, n,
буде задовольняти умови (3), (4), незалежно вiд вибору сталих fk,ℓ,s,p i функцiй ϕk,s(y),
ψj,p(x) у iнших точках.
Таким чином, запропонований метод побудови рiвнянь кривих складеної форми у неяв-
нiй формi Γ: OD(x, y) = 0, який використовує iнтерлiнацiю функцiй. При цьому OD(x, y) >
> 0, (x, y) ∈ D; OD(x, y) ∈ Cr(D), r = 1, 2, . . . i OD(x, y) є найкращим середньоквадратичним
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №5
наближенням до функцiї ω(x, y) ∈ C(D), що входить у нормальне рiвняння ω(x, y) = 0 цiєї
кривої Γ, або у рiвняння, побудоване за допомогою R-функцiй.
Отже, побудованi ODf(x, y) можна використовувати для опису рiвнянь кривої Γ у тих
задачах, у яких iстотною є належнiсть ODf(x, y) до класу диференцiйовностi Cr(R2), r > 1,
при умовi gradODf(x, y) 6= 0, (x, y) ∈ Γ.
1. Сергиенко И.В., Литвин О.Н. Методы вычислений, ориентированные на современные компьютер-
ные технологии // Кибернетика и систем. анализ. – 2007. – № 1. – С. 56–72.
2. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
3. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 333 с.
4. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя та iнтерфлетацiя функцiй i структурний метод В. Л. Рвачова // Мат.
методи та фiз.-мат. поля. – 2007. – 50, № 4. – С. 25–35.
5. Литвин О.Н., Пасечник В.А. Оптимизация математической модели поверхности трехмерного те-
ла // Кибернетика и систем. анализ. – 2006. – № 1. – С. 103–112.
6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1986. – 555 с.
7. Литвин О.М., Ткаченко О.В. Математичне моделювання процесiв iнтерполяцiйними сплайнами на
нерегулярнiй сiтцi вузлiв // Доп. НАН України. – 2010. – № 1. – С. 34–29.
Надiйшло до редакцiї 01.10.2009Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
Academician of the NAS of Ukraine I.V. Sergienko, O. N. Lytvyn,
A.V. Tkachenko, V. A. Pasechnik, O.A. Chernjak
A mathematical model of a 2D curve in an implicit form on the basis of
the interlineation of functions
A new method of construction of the equations of 2D curves in an implicit form Γ: ω(x, y) = 0
is offered. The method is based on operators of the interlineation functions ODf(x, y) ∈ Cr(R2),
r > 1 on a system of mutual-perpendicular straight lines. The unknown function f(x, y) satisfies
the equation Γ: f(x, y) = 0. Unknown traces of f(x, y) are determined from the condition of the
best mean square approximation ODf(x, y) to f(x, y) constructed by means of R-functions.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №5 49
|