Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z)
The (τ, β) - generalized confluent hypergeometric function Ψτ,β(a; c; z) is introduced. Some properties of this function and its applications are given.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3227 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) / Н.О. Вірченко, О.М. Лисецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3227 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-32272017-11-18T13:48:07Z Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) Вірченко, Н.О. Лисецька, О.М. Математика The (τ, β) - generalized confluent hypergeometric function Ψτ,β(a; c; z) is introduced. Some properties of this function and its applications are given. 2007 Article Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) / Н.О. Вірченко, О.М. Лисецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3227 517.58/.5892 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вірченко, Н.О. Лисецька, О.М. Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| description |
The (τ, β) - generalized confluent hypergeometric function Ψτ,β(a; c; z) is introduced. Some
properties of this function and its applications are given. |
| format |
Article |
| author |
Вірченко, Н.О. Лисецька, О.М. |
| author_facet |
Вірченко, Н.О. Лисецька, О.М. |
| author_sort |
Вірченко, Н.О. |
| title |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| title_short |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| title_full |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| title_fullStr |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| title_full_unstemmed |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) |
| title_sort |
про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію ψτ,β(a; c; z) |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3227 |
| citation_txt |
Про узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію Ψτ,β(a; c; z) / Н.О. Вірченко, О.М. Лисецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT vírčenkono prouzagalʹnenukonflûentnugípergeometričnufunkcíûpstbacz AT lisecʹkaom prouzagalʹnenukonflûentnugípergeometričnufunkcíûpstbacz |
| first_indexed |
2025-07-02T06:29:29Z |
| last_indexed |
2025-07-02T06:29:29Z |
| _version_ |
1836515610873298944 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.58/.5892
© 2007
Н.О. Вiрченко, О. М. Лисецька
Про узагальнену конфлюентну гiпергеометричну
функцiю Ψτ ,β(a; c; z)
(Представлено академiком НАН України О. С. Парасюком)
The (τ, β) — generalized confluent hypergeometric function Ψτ,β(a; c; z) is introduced. Some
properties of this function and its applications are given.
При розв’язаннi рiзноманiтних задач математичної фiзики, аеромеханiки, астрофiзики,
квантової механiки, астрономiї, теорiї дифракцiї, теорiї iмовiрностей та математичної ста-
тистики, бiомедицини та iн. виникають спецiальнi функцiї рiзної природи та складностi.
У зв’язку з широкими потребами практичного застосування спецiальних функцiй iнтерес
до теорiї спецiальних функцiй значно посилився за останнє пiвстолiття [1–5]. Iз практи-
ки розв’язання конкретних задач набувають вагомостi питання про зображення функцiй
не тiльки у виглядi тригонометричних рядiв, але й у виглядi рядiв за iншими спецiаль-
ними функцiями. Цi питання особливо стимулювали розвиток теорiї спецiальних функцiй
(гiпергеометричних, елiптичних, функцiй Матьє, полiномiв Ермiта, Кравчука, Лежандра,
Лагерра, Якобi та iн.).
Вiдзначимо, що саме гiпергеометричнi функцiї вiдiграють особливо велику роль. Вiдо-
мо [1], що багато з вищих трансцендентних функцiй (функцiї Бесселя, Лежандра, Лагерра
тощо) є окремими випадками гiпергеометричної функцiї. Гiпергеометричнi функцiї узагаль-
нюються на випадок двох чи багатьох змiнних, запроваджуються параметри p i q, розгля-
даються рiзнi випадки вироджених (конфлюентних) гiпергеометричних функцiй. Так, Бух-
гольц будує теорiю конфлюентних гiпергеометричних функцiй на базi функцiй Вiттекера;
Трiкомi бере за основу функцiї Куммера, а Слейтер [6] об’єднує обидва пiдходи. Посилю-
ється увага до узагальнення гiпергеометричних функцiй за Райтом [7, 8], дослiджуються
окремi випадки, що мають не тiльки теоретичне, а й практичне значення. Особливо цiн-
ними для практики виявились конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї [1]. У [9] вивчалась
функцiя 1Φ
τ
1(a; c; z), в [10] — функцiя 1Φ
τ,β
1
(a; c; z).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 7
1. Розглянемо узагальнену (за Райтом) конфлюентну гiпергеометричну функцiю Трi-
комi у виглядi
Ψτ,β(a; c; z) =
1
Γ(a)
∞∫
0
ta−1(1 + t)c−a−1
1Ψ1
[
(a, β)
(a, τ)
∣∣∣∣∣−ztτ
]
dt, (1)
де Re a > 0, τ , β ∈ R, τ > 0, τ − β < 1; a, c ∈ C, Γ(a) — класична гамма-функцiя, 1Ψ1 —
функцiя Фокса–Райта [1]. При β = τ = 1 маємо класичну конфлюентну гiпергеометричну
функцiю Ψ(a; c; z) [1], при β = τ матимемо τ -узагальнену функцiю Ψτ (a; c; z):
Ψτ (a; c; z) =
1
Γ(a)
∞∫
0
ta−1(1 + t)c−a−1e−ztτ dt. (2)
Розглянемо основнi властивостi (τ, β)-узагальненої конфлюентної гiпергеометричної
функцiї Ψτ,β(a; c; z), подамо деякi її застосування.
Теорема 1 (про зображення функцiї Ψτ,β(a; c; z) рядом). Якщо виконуються умови
Re a > Re(c − 1) > 0, τ , β ∈ R, τ > 0, τ − β < 1, a, c ∈ C, то справедлива формула
Ψτ,β(a; c; z) =
1
Γ(a)Γ(a − c + 1)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)Γ(1 − c − nτ)
(−1)n
n!
zn. (3)
Доведення. Використовуючи зображення функцiї Фокса–Райта [3], умови iснування iн-
теграла (1), можливiсть перестановки операцiй iнтегрування та пiдсумовування, виконаємо
перетворення
Ψτ,β(a; c; z) =
1
Γ(a)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)
(a + nτ)
(−1)n
n!
zn
1∫
0
(
u
1−u
)a−1( 1
1−u
)c−a−1( u
1−u
)nτ du
(1−u)2
=
=
1
Γ(a)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)
Γ(a + nτ)
(−1)n
n!
zn
1∫
0
ua+nτ−1(1 − u)1−c−nτ−1du =
=
1
Γ(a)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)
Γ(a + nτ)
(−1)n
n!
znB(a + nτ, 1 − c − nτ),
де B(a + nτ, 1 − c − nτ) — бета-функцiя [1]. Отже, формула (3) доведена.
Зауважимо, що Ψτ,β(a; c; z) можна подати i у виглядi
Ψτ,β(a; c; z) =
1
Γ(a)
∞∫
0
ta−1(1 + t)c−a−1
1Ψ1
[
(1 − c,−τ)
(1 − c,−β)
∣∣∣∣∣−ztβ
]
dt. (4)
Лема 1 (основнi диференцiальнi спiввiдношення для Ψτ,β(a; c; z)). При виконаннi умов
iснування (τ, β)-узагальненої конфлюентної гiпергеометричної функцiї Ψτ,β(a; c; z) спра-
ведливi такi диференцiальнi спiввiдношення:
d
dz
Ψτ,β(a; c; z) = −
Γ(a + β)Γ(a + β − c − τ + 1)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
Ψτ,β(a + β; c + τ ; z), (5)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
dn
dzn
Ψτ,β(a; c; z) = (−1)n
Γ(a + nβ)Γ(a + nβ − c − nτ + 1)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
Ψτ,β(a + nβ; c + nτ ; z), (6)
d
dz
(zaΨτ,β(a; c; zβ)) = a(a − c + 1)za−1Ψτ,β(a + 1; c; zβ), (7)
d
dz
(z1−cΨτ,β(a; c; z−τ )) = (a − c + 1)z−cΨτ,β(a; c − 1; z−τ ). (8)
Лема 2 (основнi iнтегральнi спiввiдношення для Ψτ,β(a; c; z)). При виконаннi умов iсну-
вання (τ, β)-узагальненої конфлюентної гiпергеометричної функцiї Ψτ,β(a; c; z) справедливi
такi iнтегральнi спiввiдношення:
z∫
0
ta−2Ψτ,β(a; c; tβ) dt =
za−1
(a − 1)(a − c)
Ψτ,β(a − 1; c; zβ), a > 1, a 6= c, (9)
z∫
0
t−c−1Ψτ,β(a; c; t−τ ) dt =
z−c
(a − c)
Ψτ,β(a; c + 1; z−τ ), a 6= c, (10)
∞∫
z
(t − z)τ−1tc−τ−1Ψτ,β(a; c − τ ; tτ ) dt = B(τ, a − c + 1)zc−1Ψτ,β(a; c; zτ ), (11)
1∫
0
(1 − t)a+c−1t−c−1Ψτ,β(a; c; zτ+β(1 − t)β) dt =
Γ(−c)Γ(a + c)
Γ(a − c + 1)
Ψτ,β(a + c; c; zτ+β), (12)
c < 0, a > 1 − c,
1∫
0
ta−1(1 − t)−a−cΨτ,β(a; c; zτ+β(1 − t)−τ ) dt = B(a, 1 − c)Ψτ,β(a; a + c; zτ+β), (13)
z∫
0
(z − t)α−1ta−α−1Ψτ,β(a; c; tβ) dt =
=
za−1Γ(α)Γ(a−α)Γ(a−α−c + 1)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
Ψτ,β(a − α; c; zβ), a > α > 0; a > 1−c, (14)
z∫
0
(z − t)α−1t−c−αΨτ,β(a; c; t−τ ) dt = B(a − c − α + 1, α)z−cΨτ,β(a; c + α; z−τ ). (15)
Доведення лем легко випливає з означення функцiї Ψτ,β (формула (1)), теореми 1, закон-
ностi перестановки операцiй iнтегрування i пiдсумовування, деяких простих перетворень.
Наприклад, доведемо (14).
z∫
0
(z − t)α−1ta−α−1Ψτ,β(a; c; tβ) dt =
z∫
0
(z − t)α−1ta−α−1 ×
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 9
×
(
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)Γ(1 − c − nτ)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
(−1)n
n!
tβn
)
dt =
=
1
Γ(a)Γ(a − c + 1)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)Γ(1 − c − nτ)
(−1)n
n!
Γ(a − α + nβ)Γ(α)
Γ(a + nβ)
za+nβ−1 =
=
Γ(α)Γ(a − α)Γ(a − α − c + 1)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
za−1Ψτ,β(a − α; c; zβ).
Лема 3 (про деякi функцiональнi спiввiдношення.) При умовах iснування (τ, β)-уза-
гальненої конфлюентної гiпергеометричної функцiї Ψτ,β(a; c; z) справедливi такi спiввiд-
ношення:
Ψτ,β(a; c;λx) =
1
Γ(a)Γ(a−c+1)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)Γ(a + nβ − c − nτ + 1)(1−λ)n
xn
n!
×
× Ψτ,β(a + nβ; c + nτ ;x), (16)
Ψτ,β(a; c;x + y) =
1
Γ(a)Γ(a−c+1)
∞∑
n=0
Γ(a+nβ)Γ(a+nβ−c−nτ + 1)
(−1)n
n!
yn ×
× Ψτ,β(a + nβ; c + nτ ;x), (17)
Γ(a + 1)Γ(a − c + 2)Ψτ,β(a + 1; c; z) − Γ(a + 1)Γ(a − c + 1)Ψτ,β(a; c; z) =
= zβΓ(a + β)Γ(a + β − c − τ + 1)Ψτ,β(a + β; c + τ ; z). (18)
Зауважимо, що спiввiдношення (16) i (17) можна назвати вiдповiдно теоремою множення
i теоремою додавання для випадку функцiї Ψτ,β(a; c;x). При β = τ = 1 матимемо вiдповiднi
формули для класичної функцiї Ψ(a; c;x) [1].
Доведення формул (16), (17) здiйснюється легко, якщо врахувати означення функцiї
Ψτ,β(a; c;x) (1), теорему 1, вiдповiднi формули диференцiювання.
Справедливiсть формули (18) перевiряємо, прирiвнюючи коефiцiєнти при zn у лiвiй та
правiй частинах (18).
2. Розглянемо деякi застосування функцiї Ψτ,β(a; c; z), зокрема, до узагальнення Γ-функ-
цiї, функцiї Лагерра.
У [9, 11] було запроваджено τ -узагальнену Γ-функцiю, в [10] — узагальнену ζ-функцiю
за допомогою функцiї Ψτ,β(a; c; z).
Запровадимо (τ, β)-узaгaльнену Γ-функцiю за допомогою Ψτ,β(a; c; z) у такiй формi:
τ,βΓc
a(α; γ;ω; b) ≡ Γ̃(α) =
∞∫
0
tα−1e−tωΨτ,β(a; c;−bt−γ) dt, (19)
де Re α > 0, Re c > Re a > 0, τ , β ∈ R, τ > 0, τ − β < 1, b > 0, γ > 1, ω > 0, Ψτ,β —
функцiя (1).
Зображення функцiї τ,βΓc
a(α; γ;ω; b) рядом матиме вигляд
τ,βΓc
a(α; γ;ω; b) =
1
ωΓ(a)Γ(a − c + 1)
∞∑
n=0
Γ(a + nβ)Γ(1 − c − nτ)
(−b)n
n!
Γ
(
α − γn
ω
)
. (20)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Для τ,βΓc
a — функцiї справедлива
Теорема 2. При умовах iснування функцiї τ,βΓc
a(α; γ;ω; b) та α > γ справедливе таке
рекурентне спiввiдношення для функцiї Γ̃(α) = τ,βΓc
a(α; γ;ω; b):
Γ̃(α) =
ω
α
Γ̃(α + ω) +
Abγ
α
Γ̃c+τ
α+β(α − γ), (21)
де
A =
Γ(a + β)Γ(a + β − c − τ + 1)
Γ(a)Γ(a − c + 1)
.
Доведення. Застосувавши перетворення Меллiна
M{f(t);α}
до функцiї
f(t) = e−tωΨτ,β(a; c;−bt−γ)
та її похiдної, одержимо (21).
(τ, β)-узагальнену функцiю Лагерра можна запровадити у такiй формi:
τ,βLα
ν (z) =
sin πν
π
1∫
0
t−ν−1(1 − t)α+ν
1Ψ1
[
(α + 1, τ)
(α + 1, β)
∣∣∣∣∣ztτ
]
dt, (22)
де Reα > −1, Re(α + ν) > −1/α, ν — нецiле, τ , β ∈ R, τ > 0, β > 0, 1Ψ1 — функцiя
Фокса–Райта. Частинний випадок цiєї функцiї див. у [12]. Подамо ще кiлька iлюстративних
прикладiв на застосування функцiї Ψτ,β(a; c; z).
Перетворення Лапласа:
∞∫
0
e−ptta−1Ψτ,β(a; c; tγ) dt =
H3,1
1,3
[
(1, 1)
(a, β), (1 − c,−τ), (a, γ)
∣∣∣∣∣p
γ
]
paΓ(a)Γ(a − c + 1)
,
де H3,1
1,3 [. . .] — функцiя Фокса [3];
∞∫
0
e−sttc−1Ψτ,β(a; c;−tτ ) dt = 1F
β
0
(a; (−s)−τ )Γ−1(a − c + 1)(−s)−c,
де 1F
β
0
— узагальнена (за Райтом) вироджена гiпергеометрична функцiя [3].
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. – Москва: Наука, 1965. – 296 с.
2. Aomoto K. Hypergeometric functions: the past, today and . . . // Sugaku Expositions. – 1996. – 9. –
P. 99–116.
3. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – London: Chapman and Hall, 2004. – 390 p.
4. Chaudhry M.A., Zubair S.M. On a class of incomplete gamma functions with applications. – Chapman
and Gall/CRC, 2000. – 494 p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 11
5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация. – Москва: Мир, 1980. – 608 с.
6. Slater L. Confluent hypergeometric functions. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1960. – 287 p.
7. Wright E.M. On the coefflicient of power series having exponential singularities // J. Lond. Math. Soc. –
1938. – 8. – P. 71–79.
8. Wright E.M. On asymptotic expansions of generalized Bessel function // Proc. Lond. Math. Soc. – 1935. –
38. – P. 257–270.
9. Virchenko N.O. On some generalizations of the functions of hypergeometric type // Fractional Calculus
and Appl. Anal. – 1999. – 2, No 3. – P. 233–244.
10. Вiрченко Н.О. Узагальненi спецiальнi функцiї та їх застосування // “Наук. вiстi” НТУУ “КПI”. –
2006. – № 4(48). – С. 42–49.
11. Virchenko N.O., Kalla S. L., Zamel F. Fl. Some results on a generalized hypergeometric function //
Integral transforms and special function. – 2001. – 12, No 1. – P. 89–100.
12. Virchenko N. On a generalized Laguerre’s function and its applications // Fractional Calculus and Appl.
Anal. – 1999. – 2, No 4. – P. 529–536.
Надiйшло до редакцiї 15.03.2007НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
УДК 512.544
© 2007
М. Р. Дiксон, Л.А. Курдаченко, М. В. Поляков
Локально узагальнено радикальнi групи
з обмеженнями на деякi ранги
(Представлено академiком НАН України В.В. Пилипенком)
A group G is said to be generalized radical if G has an ascending series of normal subroups
whose factors are locally nilpotent or locally finite. Classes of locally generalized radical groups
with finite Hirsch–Zajcev rank have been studied, and the relation of Hirsch–Zajcev rank to the
other ranks is given.
Група G має скiнченний спецiальний ранг r(G) = r, якщо кожна її скiнченно породжена
пiдгрупа може бути породжена не бiльше нiж r елементами i r є найменшим числом з цiєю
властивiстю. Це поняття було введено для довiльних груп А. I. Мальцевим [1], а для абе-
левих груп — X. Прюфером. Тому цей ранг називають також рангом Мальцева–Прюфера.
Вивчення груп скiнченного спецiального рангу, а також iнших рангiв групи (вони також
будуть розглядатись у цiй роботi) є важливою частиною теорiї нескiнченних груп. Одними
з найбiльш загальних результатiв для радикальних груп є результати Р. Бера та Г. Хай-
некена [2], якi довели, наприклад, що радикальна група, усi абелевi пiдгрупи якої мають
скiнченний спецiальний ранг, сама має скiнченний спецiальний ранг. Приклад, що був побу-
дований Ю. I. Мерзляковим [3] свiдчить про те, що цей результат не може бути розширений
на довiльнi локально розв’язнi групи. Разом з тим Ю. I. Мерзляков довiв [4], що якщо спе-
цiальнi ранги абелевих пiдгруп локально розв’язної групи обмеженi в сукупностi, то сама
група має скiнченний спецiальний ранг.
Будемо говорити, що група G має скiнченний ранг Хiрша–Зайцева rhz(G) = r, якщо G
має субнормальну систему, цiлком впорядковану за зростанням, в якiй точно r факторiв
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
|