Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности
На основі RNG k−ε моделі турбулентності для нестаціонарних потоків проаналізовані два типи течій. Перша задача — це осцилююча течія у плоскому каналі, друга — розгінна течія у плоскому каналі. Отримані результати дозволяють визначити область значень параметрів, у якій необхідно брати до уваги ренорм...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37569 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 88-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37569 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-375692012-10-18T12:11:05Z Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности Авраменко, А.А. Теплофізика На основі RNG k−ε моделі турбулентності для нестаціонарних потоків проаналізовані два типи течій. Перша задача — це осцилююча течія у плоскому каналі, друга — розгінна течія у плоскому каналі. Отримані результати дозволяють визначити область значень параметрів, у якій необхідно брати до уваги ренормалізаційну нестаціонарну поправку турбулентних течій. Two types of flows are analyzed on the basis of the RNG k−ε model of turbulence for unsteady streams. The first problem is the oscillating flow in a flat channel; the second one is the up-start flow in a flat channel. The results allow defining the range of parameter values, in which the account of renormalization unsteady corrections to turbulent flows is necessary. 2011 Article Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 88-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37569 532.526 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теплофізика Теплофізика |
| spellingShingle |
Теплофізика Теплофізика Авраменко, А.А. Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности Доповіді НАН України |
| description |
На основі RNG k−ε моделі турбулентності для нестаціонарних потоків проаналізовані два типи течій. Перша задача — це осцилююча течія у плоскому каналі, друга — розгінна течія у плоскому каналі. Отримані результати дозволяють визначити область значень параметрів, у якій необхідно брати до уваги ренормалізаційну нестаціонарну поправку турбулентних течій. |
| format |
Article |
| author |
Авраменко, А.А. |
| author_facet |
Авраменко, А.А. |
| author_sort |
Авраменко, А.А. |
| title |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| title_short |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| title_full |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| title_fullStr |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| title_full_unstemmed |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| title_sort |
апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Теплофізика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37569 |
| citation_txt |
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной турбулентности / А.А. Авраменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 88-93. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT avramenkoaa aprobaciârenormgruppovojmodelinestacionarnojturbulentnosti |
| first_indexed |
2025-07-03T19:23:19Z |
| last_indexed |
2025-07-03T19:23:19Z |
| _version_ |
1836654892961234944 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2011
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 532.526
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Авраменко
Апробация ренормгрупповой модели нестационарной
турбулентности
На основi RNG k−ε моделi турбулентностi для нестацiонарних потокiв проаналiзованi
два типи течiй. Перша задача — це осцилююча течiя у плоскому каналi, друга — роз-
гiнна течiя у плоскому каналi. Отриманi результати дозволяють визначити область
значень параметрiв, у якiй необхiдно брати до уваги ренормалiзацiйну нестацiонарну
поправку турбулентних течiй.
В работе [1] показано, что для нестационарных турбулентных процессов процедура группо-
вой ренормализации уравнений Навье–Стокса, Фурье–Кирхгофа и уравнений k− ε модели
турбулентности приводит к появлению дополнительного слагаемого, которое учитывает не-
стационарность турбулентных потоков. Указанные уравнения имеют следующий вид [1]:
∂un
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xm
[
Bd
(
ν3t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂un
∂xm
]
+
∂unum
∂xm
=−1
ρ
∂p
∂xn
+
∂
∂xm
[
(ν+νt)
∂un
∂xm
]
, (1)
∂T
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂T
∂xn
]
+
∂unT
∂xn
=
∂
∂xn
[
(a+ at)
∂T
∂xn
]
, (2)
∂k
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂k
∂xn
]
+
∂unk
∂xn
= 2νtS
2
nm − ε+
∂
∂xn
(
ν + νt
PrK
∂k
∂xn
)
, (3)
∂ε
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂ε
∂xn
]
+
∂unε
∂xn
= 2C1ενt
ε
k
S2
nm − C2ε
ε2
k
+
+
∂
∂xn
(
ν + νt
Prε
∂ε
∂xn
)
, (4)
где p — давление; t — время; un — компоненты скорости, соответствующие координатам xn;
T — температура; ν — кинематическая вязкость; ρ — плотность; a — температуропрово-
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
дность; k — кинетическая энергия турбулентности; ε — скорость диссипации; D0 — пара-
метр, пропорциональный скорости диссипации энергии, параметр ε∗ равен четырем,
Ad = Ãd
Sd
(2π)d
, Ãd =
d2 − d
2d(d + 2)
, Sd =
2πd/2
Γ(d/2)
, Bd =
Sd
(2π)d
d2 − d− 2
4d(d + 2)
.
Здесь d — размерность пространства; Γ — гамма-функция. Кроме того, Prε = PrK , C1ε =
= 1,42 и C2ε = 1,68 [2, 3].
Турбулентная вязкость νt определяется по формуле [4]
νt = 0,0847
k2
ε
,
а турбулентная температуропроводность at определяется через турбулентное число Пранд-
тля и турбулентную вязкость [4].
На основании работы [4]
2D0
Sd
(2π)d
= 1,575ε. (5)
Учитывая соотношения для скорости диссипации ε = νt(∂un/∂xm)2 и соотношение (5),
преобразуем второе слагаемое левой части (1) для ε∗ = 4 к виду
∂
∂t
∂
∂xm
[
Bd
(
ν3t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂un
∂xm
]
= Bd
(
8Sd
(2π)d3A3
d1,575
)1/2 ∂
∂t
∂νt
∂xm
. (6)
В работе [5] на основе теории TSDIA (two-scale direct-interaction approximation) показано,
что эффективная турбулентная вязкость равна
νG = νt − CG1
k
ε
Dνt
Dt
,
где CG1 = 0,078, D — полная производная. Используя соотношения для скорости диссипа-
ции, можно показать
∂
∂xm
[(
CG1
k
ε
Dνt
Dt
)
∂un
∂xm
]
=
CG1√
Cν
∂
∂xm
Dνt
Dt
, (7)
что согласуется по структуре с (6). При этом численное значение коэффициента
s = Bd
(
8Sd
(2π)d3A3
d1, 575
)1/2
(8)
в (6) равно 0,97, в то время как значение коэффициента в (7) — 0,26.
Для апробации предложенной модели рассмотрим две модельные задачи. Первая —
это осциллирующее течение в плоском канале с высотой 2h (вдоль оси y), когда градиент
давления по продольной координате x изменяется по гармоническому закону
−1
ρ
∂p
∂x
(t) = A cos(ωt) = ARe e[exp(iωt)].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 89
Уравнение движения при этом имеет вид
∂u
∂t
+ s
∂
∂t
∂νt
∂y
= A exp(iωt) +
∂
∂y
[
(ν + νt)
∂u
∂y
]
, (9)
где s = 0,97. Для турбулентной вязкости применяем простую модель турбулентной вязкос-
ти — модель пути смешения Прандтля
νt = (χy)2
∂u
∂y
, (10)
где χ = 0,4 — константа Кармана.
Решение уравнения (9) ищем в виде
u(t, y) = f(y) exp(iωt). (11)
Для того чтобы можно было использовать (11), необходимо линеаризировать последнее
слагаемое (9). Поэтому в этом слагаемом для турбулентной вязкости используем линей-
ную зависимость, которая является следствием логарифмического профиля скорости. Та-
кой подход предложен в [6]. Таким образом,
νt = χyuτ , (12)
где uτ — скорость трения.
Учитывая сказанное, представим (9) с учетом (10) и (12) в виде
iωf + iωsχ2 d
dy
(y2f) = A+
d
dy
[
(ν0 + χyuτ )
df
dy
]
.
После обезразмеривания получаем
(b+ z − i̟sχ2z2)
d2φ
dz2
+ (1− 2i̟sχ2z)
dφ
dz
− i̟φ = −B, (13)
где
̟ =
ωh
χuτ
, φ =
f
uτ
, B =
Ah
uτ
, b =
ν0
χuτh
, z =
y
h
.
Далее, на основе замены
ξ =
1− 2i̟sχ2z√
1 + 4ib̟sχ2
.
Преобразуем уравнение (13) к
(1− ξ2)
d2φ
dξ2
− 2ξ
dφ
dξ
− 1
sχ2
φ = − B
sω
.
Это неоднородное уравнение Лежандра. Его решение с граничными условиями φ = 0 при
z = 0, φ′ = 0 при z = 1 имеет следующий вид:
φ(ξ)=
iϑPn(1)[Qn(0)−Qn(ξ)]+θPn(1)[Qn(ξ)−Qn(0)]−Qn(1)[Pn(0)−Pn(ξ)][θ−iϑ]
[iθ−ϑ]Pn(1)Qn(0) + [iθ + ϑ]Pn(0)Qn(1)
, (14)
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
где Pn(ξ) и Qn(ξ) — функции Лежандра первого и второго рода, соответственно,
n =
1
2
(√
sχ2 − 4
sχ2
+1
)
, ϑ = [i+2̟sχ2][i+4b̟sχ2], θ = [i+4b̟sχ2]
√
1+4ib̟sχ2.
Подставляя (14) в (1) и выделяя реальную часть полученного выражения, приходим
к распределению скорости. Осреднив квадрат этого распределения за период колебания,
найдем среднеквадратичную скорость w(z) = u2(z)/u2τ = |φ(z)|2/2.
В случае s = 0 (стандартная модель) уравнение (13) трансформируется в уравнение
Бесселя. Среднеквадратичная скорость при этом выражается через функции Кельвина.
Анализ результатов расчетов для случаев s = 0,97 и s = 0 показал следующее. Влияние
параметра s начинает проявляться при увеличении частоты колебаний, т. е. при усилении
нестационарности. При ̟ = 1 обе модели дают монотонно увеличивающийся профиль и при
обоих значениях параметра s (s = 0,97 и s = 0) профили скорости практически совпадают.
При более высоких частотах ̟ = 10 проявляется аннулярный эффект Ричардсона, когда
максимум среднеквадратичной скорости смещается от центра канала (рис. 1, а). В данном
случае обе модели по-прежнему дают одинаковый результат. Начиная, приблизительно, со
значения ̟ = 100 (рис. 1, б ), наблюдается отличия в профилях скорости, посчитанных по
Рис. 1. Профили скорости при осцилляционном течении в канале: а — ω = 10; б — 10
2; в — 10
5; 1 — s = 0,
2 — 0,97
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 91
Рис. 2. Профили скорости при разгонном течении в канале: а — Re = 1; б — 500; 1 — s = 0,97, Fo = 0,25;
2 — 0, 0,25; 3 — 0,97, 0,45; 4 — 0, 0,45; 5 — 0,97, 1; 6 — 0, 1; 7 — 0,97, 10; 8 — 0, 10
модели s = 0 и s >0. Это естественно, так как модель s > 0 как раз и учитывает допол-
нительное влияние нестационарности на турбулентные процессы. При дальнейшем росте
частоты результаты расчета по модели s >0 показывают проявление двойного аннулярного
эффекта Ричардсона, когда профиль скорости имеет два максимума (рис. 1, в). С увели-
чением частоты увеличивается разница в значениях максимумов скорости.
Второй пример, который мы рассмотрим, — это разгонное течение в плоском канале
высотой 2h (вдоль оси y), при условии, что продольный градиент давления описывается
функцией Хевисайда:
−1
ρ
∂p
∂x
(t) = AĤ(t).
В этом случае систему уравнений в безразмерной форме удобно представить в следу-
ющем виде:
∂v
∂Fo
+ s
∂
∂Fo
∂νt
∂z
= 1 +
∂
∂z
[
(1 + νtRe)
∂v
∂z
]
, (15)
∂K
∂Fo
+ s
∂
∂Fo
∂
∂z
[
νt
∂K
∂z
/
∂v
∂z
]
=
∂
∂z
[(
1 +
νtRe
Prk
)
∂K
∂z
]
+ νtRe
(
∂v
∂z
)2
− ERe, (16)
∂E
∂Fo
+s
∂
∂Fo
∂
∂z
[
νt
∂E
∂z
/
∂v
∂z
]
=
∂
∂z
[(
1+
νtRe
Prε
)
∂E
∂z
]
+C1ενt
E
K
(
∂v
∂z
)2
Re−C∗
2ε
E2
K
Re, (17)
где
v=
u
Um
, Fo=
th2
ν
, νt=
νt
Umh
, Re=
Umh
ν
, Um=A
h2
ν
, K=
k
U2
m
, E=
εh
U3
m
, (18)
Um — величина, пропорциональная среднерасходной скорости при установившемся течении.
Результаты расчета по модели (15)–(17) представлены на рис. 2. Видно, что при более
высоком числе Рейнольдса влияние нестационарной ренормгрупповой поправки (s > 0)
практически не ощущается. Имеется слабое влияние указанной поправки при малых числах
Рейнольдса, но при этом профили скорости носят ярко выраженный ламинарный характер.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Проведенные расчеты показали, что ренормгрупповая поправка, обусловленная неста-
ционарностью турбулентного процесса, оказывает заметное влияние на характеристики по-
тока при высокочастотных режимах. В случае небольших значений частоты пульсации
и при монотонно развивающихся процессах влияние указанной поправки практически неза-
метно и для расчетов таких процессов можно использовать традиционную математическую
модель турбулентности. Кроме того, нужно отметить, что при монотонно протекающем не-
стационарном турбулентном процессе влияние ренормгрупповой поправки на нестационар-
ность убывает с ростом числа Рейнольдса.
1. Авраменко А.А. Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности // Доп. НАН України. –
2007. – № 12. – С. 88–93.
2. Smith L.M., Reynolds W.С. On the Yakhot–Orszag renormalization group method for deriving turbulence
statistics and models // Phys. Fluids A. – 1992. – 4, No 2. – P. 364–390.
3. Yakhot V., Smith L.M. The renormalization group, the ǫ-expansion and derivation of turbulence models //
J. Sci. Comput. – 1992. – 7. – P. 35–52.
4. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory // J. Sci. Соmp.
1986. – 1, No 1. – P. 3–51.
5. Yoshizawa A., Nisizima S. A nonequilibrium representation of turbulent viscosity based on a two-scale
turbulence theory // Phys. Fluids A. – 1993. – 5, No 12. – P. 3302–3304.
6. Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. – Москва: Машиностроение, 1982. – 240 с.
Поступило в редакцию 25.08.2010Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Avramenko
Approbation of a renormalization group model for unsteady turbulence
Two types of flows are analyzed on the basis of the RNG k − ε model of turbulence for unsteady
streams. The first problem is the oscillating flow in a flat channel; the second one is the up-start
flow in a flat channel. The results allow defining the range of parameter values, in which the account
of renormalization unsteady corrections to turbulent flows is necessary.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 93
|