Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах
Запропоновано метод побудови точних розв'язків контактно-крайової задачі дифузії домішкових речовин у двофазних тілах регулярної структури з урахуванням механізму конвективного масоперенесення в одній із фаз. Цей метод базується на застосуванні різного роду інтегральних перетворень окремо в кон...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38167 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.А. Дмитрук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46-51. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38167 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-381672012-11-01T12:11:02Z Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Дмитрук, В.А. Інформатика та кібернетика Запропоновано метод побудови точних розв'язків контактно-крайової задачі дифузії домішкових речовин у двофазних тілах регулярної структури з урахуванням механізму конвективного масоперенесення в одній із фаз. Цей метод базується на застосуванні різного роду інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. На цій основі побудовано точний розв'язок задачі масопереносу в двофазному шарі періодичної структури, якщо в областях одного типу відбувається процес конвективної дифузії, а в областях другого типу — дифузії домішкової речовини. A method for constructing the analytical solutions of a contact-boundary value problem of admixture diffusion in two-phase bodies of a periodic structure with allowance for the convective mass transfer mechanism in one of the phases is proposed. The method is based on the usage of different integral transformations in the contacting regions separately. On this basis, an exact solution for the problem of mass transfer in a two-phase layer of a periodic structure is constructed for the case where there is a process of convective diffusion in the regions of one kind, and a process of admixture diffusion runs in those of another one. 2011 Article Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.А. Дмитрук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46-51. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38167 517.958:532.72 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Дмитрук, В.А. Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано метод побудови точних розв'язків контактно-крайової задачі дифузії домішкових речовин у двофазних тілах регулярної структури з урахуванням механізму конвективного масоперенесення в одній із фаз. Цей метод базується на застосуванні різного роду інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. На цій основі побудовано точний розв'язок задачі масопереносу в двофазному шарі періодичної структури, якщо в областях одного типу відбувається процес конвективної дифузії, а в областях другого типу — дифузії домішкової речовини. |
| format |
Article |
| author |
Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Дмитрук, В.А. |
| author_facet |
Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Дмитрук, В.А. |
| author_sort |
Чапля, Є.Я. |
| title |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| title_short |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| title_full |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| title_fullStr |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| title_sort |
математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38167 |
| citation_txt |
Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно-дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.А. Дмитрук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46-51. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT čaplâêâ matematičnemodelûvannâstacíonarnihprocesívkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuubínarnihperíodičnihstrukturah AT černuhaoû matematičnemodelûvannâstacíonarnihprocesívkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuubínarnihperíodičnihstrukturah AT dmitrukva matematičnemodelûvannâstacíonarnihprocesívkonvektivnodifuzíjnogomasoperenosuubínarnihperíodičnihstrukturah |
| first_indexed |
2025-07-03T20:03:02Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:03:02Z |
| _version_ |
1836657392351182848 |
| fulltext |
УДК 517.958:532.72
© 2011
Є.Я. Чапля, О. Ю. Чернуха, В. А. Дмитрук
Математичне моделювання стацiонарних процесiв
конвективно-дифузiйного масопереносу у бiнарних
перiодичних структурах
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком )
Запропоновано метод побудови точних розв’язкiв контактно-крайової задачi дифузiї до-
мiшкових речовин у двофазних тiлах регулярної структури з урахуванням механiзму
конвективного масоперенесення в однiй iз фаз. Цей метод базується на застосуван-
нi рiзного роду iнтегральних перетворень окремо в контактуючих областях. На цiй
основi побудовано точний розв’язок задачi масопереносу в двофазному шарi перiодичної
структури, якщо в областях одного типу вiдбувається процес конвективної дифузiї,
а в областях другого типу — дифузiї домiшкової речовини.
При дослiдженнi процесiв масопереносу домiшкових речовин в об’єктах природного се-
редовища у багатьох випадках виникає проблема оцiнки впливу неоднорiдної структури.
Якщо розмiри неоднорiдностей є спiвмiрнi з розмiрами тiла, то процеси дифузiї, фiльтрацiї,
конвективної дифузiї тощо вивчаються на основi розв’язкiв крайових задач математичної
фiзики. При цьому побудова їх точних розв’язкiв навiть для найпростiших геометричних
областей викликає значнi труднощi, тодi, як правило, використовуються наближенi аналi-
тичнi [1–3] або числовi [4, 5] розв’язки.
У роботах [6, 7] запропоновано метод побудови точних розв’язкiв контактно-крайових
задач дифузiї в тiлах регулярної структури на основi iнтегральних перетворень за просто-
ровими змiнними окремо в контактуючих областях. У данiй роботi цей метод узагальнено
на випадок, коли в пiдшарах одного з типiв перiодичної структури враховується конвек-
тивне перенесення. Для усталеного режиму отримано аналiтичнi вирази для концентрацiї
домiшкової речовини.
Постановка задачi. Нехай частинки домiшкової речовини мiгрують в шарi товщи-
ною x0, який складається з перiодично розташованих областей двох типiв. Поверхнi, що
обмежують цi областi, перпендикулярнi до поверхонь шару (вiсь Ox перпендикулярна до
поверхонь тiла, Oy — до поверхонь складових областей). При цьому областi з коефiцiєнтом
дифузiї D1 мають ширину 2L, а з коефiцiєнтом D2 — 2l, крiм того, в областях з коефiцi-
єнтом дифузiї D1 масоперенос вiдбувається не тiльки за дифузiйним, а й за конвективним
механiзмом. Така структура має сiмейство площин симетрiї (y = ±n(L + l), n = 0, 1, . . . ),
якi дiлять навпiл сусiднi контактуючi областi. Тому можемо видiлити елемент тiла, на вер-
тикальних границях якого потоки в напрямку, паралельному поверхням шару (в напрямку
осi Oy), дорiвнюють нулю.
У стацiонарному випадку концентрацiя домiшкової речовини c∞1 (x, y) в областi Ω1 =
=]0;x0[×]0;L[, в якiй протiкає процес конвективної дифузiї, визначається з рiвняння
D1
[
∂2c∞1
∂x2
+
∂2c∞1
∂y2
]
− v
∂c∞1
∂x
= 0, x, y ∈ Ω1, (1)
де v — швидкiсть конвективного перенесення.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
В областi Ω2 =]0;x0[×]L;L + l[ концентрацiя частинок домiшки c∞2 (x, y) задовольняє
рiвняння дифузiї
D2
[
∂2c∞2
∂x2
+
∂2c∞2
∂y2
]
= 0, x, y ∈ Ω2. (2)
Приймаємо, що на поверхнi шару x = 0 пiдтримуються постiйнi значення концентрацiй,
а на поверхнi x = x0 концентрацiї дорiвнюють нулю:
c∞1 |x=0 = c
(1)
0 ≡ const, c∞2 |x=0 = c
(2)
0 ≡ const, c∞1 |x=x0
= c∞2 |x=x0
= 0. (3)
На бiчних поверхнях видiленого елемента y = 0, y = L+l нулю дорiвнюють потоки, тобто
∂c∞1 (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=0
= 0,
∂c∞2 (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=L+l
= 0. (4)
На мiжфазнiй границi y = L реалiзуються такi умови неiдеального контакту, що сфор-
мульованi для функцiї концентрацiї [8]:
η1c
∞
1 (x, y)|y=L = η2c
∞
2 (x, y)|y=L, D1
∂c∞1 (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=L
= D2
∂c∞2 (x, y)
∂y
∣∣∣∣
y=L
, (5)
де η1 i η2 — коефiцiєнти концентрацiйної залежностi хiмiчного потенцiалу частинок в об-
ластях Ω1 i Ω2 вiдповiдно.
Метод розв’язування сформульованої задачi. Розв’язок контактно-крайової зада-
чi дифузiї (1)–(5) шукаємо за допомогою iнтегральних перетворень [9, 10] окремо в кон-
тактуючих областях. Для того щоб застосувати iнтегральнi перетворення, необхiдно знати
величину вiдповiдних функцiй або їхнiх похiдних на границях областi перетворення. Тому
доозначимо величину потокiв маси на поверхнi y = L, використовуючи умову (5):
D1
∂c∞1
∂y
∣∣∣∣
y=L
= D2
∂c∞2
∂y
∣∣∣∣
y=L
= g∞(x). (6)
Тодi можемо виконати скiнченнi iнтегральнi cos-перетворення [9] в областi Ω1: y → yk =
= kπ/L, c∞1 (x, y) → c∞1 (x, k) i в областi Ω2: y → yj = jπ/l, c∞2 (x, y) → c∞2 (x, j). У зображен-
нях контактно-крайова задача (1)–(5) набуде вигляду
D1
d2c∞1 (x)
dx2
− v
dc∞1 (x)
dx
−D1y
2
kc
∞
1 (x) + (−1)kg∞(x) = 0, (7)
D2
d2c∞2 (x)
dx2
−D2y
2
j c
∞
2 (x)− g∞(x) = 0, x ∈]0;x0[, (8)
c∞1 (x)|x=0 = akc
(1)
0 , c∞2 (x)t|x=0 = ajc
(2)
0 , c∞1 (x)|x=x0
= c∞2 (x)|x=x0
= 0, (9)
де
ak =
{
L, k = 0,
0, k = 1, 2, . . . ,
aj =
{
l, j = 0,
0, j = 1, 2, . . . .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 47
За змiнною x в областi Ω1 застосуємо перетворення [10]
c̃∞1 (n, k) =
x0∫
0
c∞1 (x)e
−
vx
2D1 sin(xnx) dx, c∞1 (x) =
2
x0
e
vx
2D1
∞∑
n=1
sin(xnx)c̃
∞
1 (n, k), (10)
а в областi Ω2 — sin-перетворення Фур’є
c̃∞2 (m, j) =
x0∫
0
c∞2 (x) sin(xmx) dx, c∞2 (x) =
2
x0
∞∑
m=1
sin(xmx)c̃
∞
2 (m, j), (11)
де xn = nπ/x0, xm = mπ/x0. Тодi задача (7)–(9) набуде вигляду
(
−
v2
4D2
1
−D1(x
2
n + y2k)
)
c̃∞1 +D1xnakc
(1)
0 + (−1)k g̃∞n = 0,
−D2(x
2
m + y2j )c̃
∞
2 +D2xmajc
(2)
0 − g̃∞m = 0.
Звiдси знаходимо
c̃∞1 =
D1xnakc
(1)
0 + (−1)k g̃∞n
v2D + (x2n + y2k)
, c̃∞2 =
D2xmajc
(2)
0 − g̃∞m
D2(x2m + y2j )
, (12)
де vD = v/2D1.
Пiсля застосування вiдповiдних обернених перетворень за змiнними x та y одержимо
c∞1 (x, y) =
2
x0
evDx
∞∑
n=1
sin(xnx)
[
c
(1)
0 xn
ψ2
n
+
g̃∞n
D1
R̃n(y)
]
, (13)
c∞2 (x, y) =
2
x0
∞∑
m=1
sin(xmx)
{
c
(2)
0
xm
−
g̃∞m
D2xm
ch[xm(L+ l − y)]
sh(xml)
}
, (14)
g̃∞n =
x0∫
0
g∞(x)e−vDx sin(xnx) dx, g̃∞m =
x0∫
0
g∞(x) sin(xmx) dx, (15)
де
R̃n(y) =
1
ψn
ch(ψny)
sh(ψnL)
+
1− (1/L)
ψ2
n
, ψn =
√
v2D + x2n.
У виразах (13), (14) залишаються невiдомими функцiї g̃∞n i g̃∞m . Шукатимемо їх з першої
контактної умови (5) стрибка функцiї концентрацiї на границi роздiлу областей Ω1 та Ω2.
Спочатку пiдставимо вирази (13), (14) в умову (5) i одержимо таке рiвняння:
η1e
vDx
∞∑
n=1
sin(xnx)
{
c
(1)
0 xn
ψ2
n
+
g̃∞n
D1
Rn
}
= η2
∞∑
m=1
sin(xmx)
{
c
(2)
0
xm
−
g̃∞m
D2xm
cth(xml)
}
, (16)
де
Rn =
1
ψn
cth(ψnL) +
1− (1/L)
ψ2
n
.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Для знаходження зв’язку мiж функцiями g̃∞n i g̃∞m розглянемо спiввiдношення, обернене
до (15), тобто
g∞(x) =
2
x0
evDx
∞∑
n=1
g̃∞n sin(xnx).
Домножимо обидвi частини цiєї рiвностi на sin(xmx) i проiнтегруємо за x вiд 0 до x0, тобто
застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є (10) за змiнною x. Маємо
x0∫
0
g∞(x) sin(xmx) dx =
x0∫
0
2
x0
evDx sin(xmx)
∞∑
n=1
g̃∞n sin(xnx) dx.
Лiва частина цiєї рiвностi є g̃∞m . Тодi пiсля iнтегрування отримаємо
g̃∞m =
2
x0
∞∑
n=1
An,mg̃
∞
n , (17)
де коефiцiєнти An,m визначаються таким чином:
An,m ≡
2vDπ
2
x20
nm[(−1)n+mevDx0 − 1]{
v2D +
π2
x20
(n−m)2
}{
v2D +
π2
x20
(n+m)2
} .
З iншого боку, якщо розглянемо рiвнiсть
g∞(x) =
2
x0
∞∑
m=1
g̃∞m sin(xmx)
i застосуємо до неї скiнченне iнтегральне sin-перетворення (11), отримаємо
x0∫
0
g∞(x)e−vDx sin(xnx) dx =
x0∫
0
2
x0
∞∑
m=1
g̃∞m sin(xmx)e
−vDx sin(xnx) dx.
Враховуючи, що за формулою (15) лiва частина цiєї рiвностi є g̃∞n , одержимо
g̃∞n =
2
x0
∞∑
m=1
Bn,mg̃
∞
m , (18)
де
Bn,m ≡ −
2vDπ
2
x20
nm[(−1)n+me−vDx0 − 1]{
v2D +
π2
x20
(n −m)2
}{
v2D +
π2
x20
(n+m)2
} .
Зазначимо також, що
Bn,m = −
(−1)n+me−vDx0 − 1
(−1)n+mevDx0 − 1
An,m.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 49
Зауважимо, що, зважаючи на спiввiдношення (17) i (18), для знаходження розв’язку
задачi необхiдно визначити лише одну з функцiй g̃∞n i g̃∞m .
Подамо перший доданок у правiй частинi (16) у виглядi розвинення за n. Її другий
доданок з урахуванням спiввiдношення (17) перетворимо до вигляду
∞∑
m=1
sin(xmx)
g̃∞m cth(xmL)
D2xm
=
(
2
x0
)2
evDx
∞∑
n=1
∞∑
m=1
An,mBn,m
g̃∞n cth(xmL)
D2xm
sin(xnx).
Тодi рiвняння (16) можна звести до форми
η1e
vDx
∞∑
n=1
sin(xnx)
{
c
(1)
0 xn
ψ2
n
+
g̃∞n
D1
Rn
}
=
= η2
∞∑
m=1
2
x0
evDx
∞∑
n=1
sin(xnx)
{
c
(2)
0
xm
Bn,m −
2
x0
cth(xml)
D2xm
Bn,mAn,mg̃
∞
n
}
.
Звiдси знаходимо
g̃∞n =
D1D2
(
2η2
x0
c
(2)
0
∞∑
m=1
1
xm
Bn,m − η1
c
(1)
0 xn
ψ2
n
)
η1D2Rn + η2D1
4
x20
∞∑
m=1
cth(xml)
xm
Bn,mAn,m
. (19)
I остаточно функцiї концентрацiї домiшкової речовини (14), (15) набудуть вигляду
c∞1 (x, y) = evDx
{
c
(1)
0
sh(vD(x0 − x))
sh vDx0
+
2
x0D1
∞∑
n=1
sin(xnx)g̃
∞
n R̃n(y)
}
,
c∞2 (x, y) = c
(2)
0
(
1−
x
x0
)
−
2
x0D2
∞∑
m=1
sin(xmx)g̃
∞
m
ch[xm(L+ l − y)]
xm sh(xml)
.
Вiдзначимо, що для знаходження g̃∞m використовуємо спiввiдношення (17) разом з ви-
разом (19).
Таким чином, для стацiонарного випадку отримано точний аналiтичний розв’язок кон-
тактно-крайової задачi дифузiї домiшкової речовини у двофазнiй регулярнiй структурi
з урахуванням конвективної складової в однiй з фаз. Для цього був запропонований метод
побудови розв’язкiв у таких тiлах, який базується на використаннi окремих iнтегральних
перетворень у рiзних областях. Знайдено зв’язок мiж вiдповiдними iнтегральними перетво-
реннями за допомогою контактних умов, сформульованих для функцiї концентрацiї.
Зауважимо, зважаючи на вигляд рiвнянь (1), (2), що розв’язки задачi масоперенесення
в регулярних структурах можна застосовувати для вивчення процесiв теплопровiдностi,
розглядаючи iдеальнi умови контакту як окремий випадок щодо наведеного в роботi.
1. Fisher J. S. Calculation of diffusion penetration curves for surface and grain boundary diffusion // J. Appl.
Phys. – 1951. – 22. – P. 74–77.
2. Xy C. Диффузия в кремнии и германии // Атомная диффузия в полупроводниках / Под ред.
Д. Шоу. – Москва: Мир, 1975. – С. 248–405.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
3. Кановский И.Я., Ткаченко И.В. Эффективный коэффициент диффузии в неоднородной среде //
Укр. физ. журн. – 1991. – 36, № 3. – С. 432–434.
4. Savula Y.H., Koukharskiy V.M., Chaplia Y.Y. Numerical analysis of advection diffusion in the continuum
with thin canal // Numerical Heat Transfer. Part A. – 1998. – 38, No 3. – P. 657–679.
5. Сергиенко И.В., Скопецкий В. В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование про-
цессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
6. Чернуха О.Ю. Про один метод побудови розв’язку контактно-крайових задач дифузiї при мiшаних
граничних умовах // Доп. НАН України. – 2006. – № 1. – С. 82–87.
7. Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. Математичне моделювання дифузiйних процесiв у випадкових i регу-
лярних структурах. – Киев: Наук. думка, 2009. – 302 с.
8. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. – Москва: Наука, 1982. – 584 с.
9. Снеддон И. Преобразования Фурье. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1955. – 667 с.
10. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение
к исследованию систем с распределенными параметрами. – Москва: Наука, 1986. – 304 с.
Надiйшло до редакцiї 25.10.2010Центр математичного моделювання Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
Y.Y. Chaplya, O.Y. Chernukha, V.A. Dmytruk
Mathematical modeling of stationary processes of convective-diffusive
mass transfer in binary periodic structures
A method for constructing the analytical solutions of a contact-boundary value problem of admixture
diffusion in two-phase bodies of a periodic structure with allowance for the convective mass transfer
mechanism in one of the phases is proposed. The method is based on the usage of different integral
transformations in the contacting regions separately. On this basis, an exact solution for the problem
of mass transfer in a two-phase layer of a periodic structure is constructed for the case where there
is a process of convective diffusion in the regions of one kind, and a process of admixture diffusion
runs in those of another one.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 51
|