Управление системами с дробными производными в условиях конфликта
Розглядається задача керування квазілінійними процесами з дробовими похідними в умовах протидії. Вивчаються дробові похідні Хільфера, що включають в себе, зокрема, класичні похідні Рімана–Ліувілля і регуляризовані похідні Капуто. Одержано зображення розв'язків таких систем, що дозволяє на основ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38568 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Управление системами с дробными производными в условиях конфликта / И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38568 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-385682012-11-13T12:10:49Z Управление системами с дробными производными в условиях конфликта Матичин, И.И. Інформатика та кібернетика Розглядається задача керування квазілінійними процесами з дробовими похідними в умовах протидії. Вивчаються дробові похідні Хільфера, що включають в себе, зокрема, класичні похідні Рімана–Ліувілля і регуляризовані похідні Капуто. Одержано зображення розв'язків таких систем, що дозволяє на основі методу розв'язувальних функцій отримати гарантований результат при зближенні траєкторії з заданою цільовою множиною. Якісні результати ілюструються на прикладі з рівнянням Баглі–Торвіка, що описує згасаючі коливання з дробовим демпфуванням. A problem of control over quasilinear processes with fractional derivatives under counteraction conditions is treated. Hilfer fractional derivatives including classical Riemann–Liouville derivatives and regularized Caputo derivatives are studied. Representations of solutions to such systems are derived, which allowed obtaining a guaranteed result in approaching the given target set by a trajectory within the method of resolving functions. The qualitative results are illustrated by an example with the Bagley–Torvik equation describing fractionally damped oscillations. 2011 Article Управление системами с дробными производными в условиях конфликта / И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38568 517.977 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Матичин, И.И. Управление системами с дробными производными в условиях конфликта Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається задача керування квазілінійними процесами з дробовими похідними в умовах протидії. Вивчаються дробові похідні Хільфера, що включають в себе, зокрема, класичні похідні Рімана–Ліувілля і регуляризовані похідні Капуто. Одержано зображення розв'язків таких систем, що дозволяє на основі методу розв'язувальних функцій отримати гарантований результат при зближенні траєкторії з заданою цільовою множиною. Якісні результати ілюструються на прикладі з рівнянням Баглі–Торвіка, що описує згасаючі коливання з дробовим демпфуванням. |
| format |
Article |
| author |
Матичин, И.И. |
| author_facet |
Матичин, И.И. |
| author_sort |
Матичин, И.И. |
| title |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| title_short |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| title_full |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| title_fullStr |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| title_full_unstemmed |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| title_sort |
управление системами с дробными производными в условиях конфликта |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38568 |
| citation_txt |
Управление системами с дробными производными в условиях конфликта / И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 38-42. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT matičinii upravleniesistemamisdrobnymiproizvodnymivusloviâhkonflikta |
| first_indexed |
2025-07-03T20:31:32Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:31:32Z |
| _version_ |
1836659185318625280 |
| fulltext |
УДК 517.977
© 2011
И.И. Матичин
Управление системами с дробными производными
в условиях конфликта
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Розглядається задача керування квазiлiнiйними процесами з дробовими похiдними в умо-
вах протидiї. Вивчаються дробовi похiднi Хiльфера, що включають в себе, зокрема, кла-
сичнi похiднi Рiмана–Лiувiлля i регуляризованi похiднi Капуто. Одержано зображення
розв’язкiв таких систем, що дозволяє на основi методу розв’язувальних функцiй отри-
мати гарантований результат при зближеннi траєкторiї з заданою цiльовою множи-
ною. Якiснi результати iлюструються на прикладi з рiвнянням Баглi–Торвiка, що опи-
сує згасаючi коливання з дробовим демпфуванням.
Дробное интегро-дифференцирование. Правосторонний интеграл Римана–Лиувилля
порядка α, 0 < α 6 1, от функции f определяется как
Jαf(t) =
1
Γ(α)
t
∫
0
f(τ)(t− τ)α−1dτ,
где Γ(α) =
∞
∫
0
e−uuα−1du — гамма-функция. Здесь и далее будем полагать, что J0 представ-
ляет собой оператор тождественного преобразования: J0f(t) ≡ f(t).
Для существования интеграла Римана–Лиувилля достаточно предположить, что f(t),
f : R+ → R
n — локально интегрируемая на R+ функция.
Пусть теперь m − 1 < α < m, m ∈ N, а функция f имеет абсолютно непрерывные
производные до порядка m. Положим производную порядка α, типа 0 6 µ 6 1 равной:
Dα,µf(t) = Jµ(m−α) d
m
dtm
J (1−µ)(m−α)f(t). (1)
Данная производная обобщает на случай α > 1 определение, введенное Хильфером [1].
При µ = 0 из (1) мы получим производную Римана–Лиувилля [2] порядка α
Dα,0f(t) = Dαf(t) =
dm
dtm
Jm−αf(t),
а типу µ = 1 соответствует производная Капуто:
Dα,1f(t) = D(α)f(t) = Jm−α dm
dtm
f(t). (2)
Представление решений уравнений дробного порядка. Рассмотрим обобщенную
матричную функцию Миттаг–Леффлера:
Eρ(B;µ) =
∞
∑
k=0
Bk
Γ(kρ−1 + µ)
,
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
где ρ > 0, µ ∈ C (C — множество комплексных чисел), а B — произвольная квадратная
матрица порядка n.
Обобщенная матричная функция Миттаг–Леффлера играет важную роль при изучении
линейных систем дробного порядка.
Пусть z = z(t), z ∈ R
n, — фазовый вектор, задающий состояние динамической системы
в момент t, а эволюция системы описывается уравнением
Dα,µz = Az + f, m− 1 < α < m, 0 6 µ 6 1, (3)
с начальными условиями
di
dti
J (1−µ)(m−α)z(t)
∣
∣
∣
∣
t=0+
= z0i , i = 0, . . . ,m− 1. (4)
Применяя преобразование Лапласа и приведенные в [3, 4] результаты относительно пре-
образования Лапласа обобщенной матричной функции Миттаг–Леффлера, можно получить
явное представление решения (3) с начальными условиями (4):
z(t) =
m−1
∑
i=0
ti−(1−µ)(m−α)E1/α(At
α; i− (1− µ)(m− α) + 1)z0i +
+
t
∫
0
(t− τ)α−1E1/α(A(t− τ)α;α)f(τ) dτ.
Положив µ = 1, получаем регуляризованную производную Капуто и система принимает
вид
D(α)ž = Až + f
с начальными условиями
di
dti
ž(t)
∣
∣
∣
∣
t=0+
= ž0i , i = 0, . . . ,m− 1. (5)
Решение данной задачи Коши запишется в виде
ž(t) =
m−1
∑
i=0
tiE1/α(At
α; i+ 1)ž0i +
t
∫
0
(t− τ)α−1E1/α(A(t− τ)α;α)f(τ) dτ. (6)
Постановка задачи, схема метода. Рассмотрим квазилинейную конфликтно управ-
ляемую систему с дробной производной Хильфера произвольного порядка α, α > 0, типа µ,
0 6 µ 6 1:
Dα,µz = Az + ϕ(u, v), m− 1 < α < m, m = 1, 2, . . . . (7)
Здесь фазовый вектор z принадлежит n-мерному вещественному евклидовому пространс-
тву R
n, n > 1, A — квадратная матрица порядка n, блок управления — непрерывная по
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 39
совокупности переменных функция ϕ(u, v), ϕ : U × V → R
n, где u и v — это управляющие
параметры игроков, которые выбираются из множеств U и V , являющихся компактами
пространства R
n, U , V ∈ K(Rn).
Начальные условия для процесса (7) заданы в виде (4). В частости, при µ = 1 начальные
условия задаются формулой (5). Обозначим z0 = (z00 , . . . , z
0
m−1).
Кроме динамического процесса (7) задано терминальное множество M∗, имеющее ци-
линдрический вид
M∗ = M0 +M, (8)
где M0 — линейное подпространство в R
n, а M ∈ K(L) (L = M⊥
0 — ортогональное допол-
нение к M0 в R
n).
Первый игрок (u) пытается вывести траекторию процесса (7) на множество (8), а второй
(v) — максимально оттянуть момент попадания траектории на терминальное множество.
Приняв сторону первого игрока, будем считать, что он формирует свое управление на
основании информации о z0 и v(t), т. е. u(t) = u(z0, v(t)), и является контруправлением.
Изложим схему метода разрешающих функций [5] применительно к задаче (7), (8).
Обозначим через π ортопроектор, действующий из Rn на L. Положив ϕ(U, v) = {ϕ(u, v) :
u ∈ U}, введем многозначные отображения
W (t, v) = πtα−1E 1
α
(Atα;α)ϕ(U, v), W (t) =
⋂
v∈V
W (t, v).
Условие 1 [Понтрягина]. domW = [0,+∞). В силу предположений о параметрах про-
цесса (7), отображение W (t) является замкнутозначным и измеримым по t. Поэтому, в силу
условия Понтрягина и теоремы измеримого выбора [6], в нем существует измеримый селек-
тор γ(·), t > 0. Зафиксируем его и введем функцию
ξ(t, z0, γ(·)) = π
m−1
∑
i=0
ti−(1−µ)(m−α)E1/α(At
α; i− (1− µ)(m− α) + 1)z0i +
t
∫
0
γ(t− τ) dτ.
Рассмотрим многозначное отображение
R(t, τ, v) = {ρ > 0: [W (t− τ, v)− γ(t− τ)]
⋂
ρ[M(t)− ξ(t, z0, γ(·))] 6= ∅}
и его опорную функцию в направлении +1
ρ(t, τ, v) = sup{ρ : ρ ∈ R(t, τ, v)}.
Функцию ρ(t, τ, v) называют разрешающей [5].
Рассмотрим множество
T(z0, γ(·)) =
{
t ∈ R+ : inf
v(·)∈ΩV
t
∫
0
ρ(t, τ, v(τ))dτ > 1
}
,
где ΩV — совокупность измеримых функций, принимающих значения из области V . Полагая
T(z0, γ(·)) 6= ∅, зафиксируем в нем элемент T и сформулируем два условия.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Условие 2. R(T, τ, v) = [0, ρ(T, τ, v)] ∀ τ ∈ [0, T ], v ∈ V .
Условие 3. inf
v(·)∈ΩV
T
∫
0
ρ(T, τ, v(τ)) dτ =
T
∫
0
inf
v∈V
ρ(T, τ, v) dτ .
Теорема 1. Пусть для игровой задачи (7), (8), где конфликтно управляемый процесс
содержит производные Хильфера, выполнено условие Понтрягина, M = coM , причем для
начального состояния z0 и селектора γ(·), γ(t) ∈ W (t), t > 0, множество T(z0, γ(·)) 6= ∅
и T ∈ T(z0, γ(·)). Тогда, если для T выполнены условия 2 и 3, то траектория процесса
(7) может быть приведена на множество (8) в момент T с помощью некоторого кон-
труправления.
Колебательные процессы с дробным демпфированием. При описании физичес-
ких явлений и процессов, как правило, используется производная Капуто, соответствую-
щая типу µ = 1, поскольку в таком случае начальные условия имеют ясную физическую
интерпретацию. Рассмотрим уравнение Багли–Торвика, описывающее колебания твердой
пластины, погруженной в ньютоновскую жидкость [7], с производной в смысле Капуто
ay′′(t) + bD(3/2)y(t) + cy(t) = u(t)− v(t), (9)
где u, v — управления первого и второго игроков, соответственно, такие, что |u| 6 r, r > 1,
|v| 6 1, с начальными условиями
y(0) = y0, y′(0) = y′0.
Обозначим z1(t) = y(t), z2(t) = D(1/2)y(t), z3(t) = y′(t), z4(t) = D(3/2)y(t). Можно по-
казать, что D(1/2)z1 = z2, D
(1/2)z2 = z3, D
(1/2)z3 = z4, D
(1/2)z4 = y′′ и данное уравнение
эквивалентно системе
D(1/2)z = Az +B(u− v), (10)
где
A =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
− c
a
0 0 − b
a
, B =
0
0
0
1
a
, z =
z1
z2
z3
z4
,
с начальными условиями
z(0) = z0 = (y0, 0, y
′
0, 0)
∗,
где звездочка обозначает транспонирование.
В силу (6), решение данной системы задается формулой
z(t) = E2(A
√
t; 1)z0 +
t
∫
0
E2
(
A
√
t− τ ;
1
2
)
B
u(τ)− v(τ)√
t− τ
dτ.
Будем полагать, что первый игрок стремится привести систему в состояние z1 = 0,
а второй препятствует этому.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 41
Исследование разрешающей функции для определения гарантированного времени окон-
чания игры в общем случае является трудной задачей, так как зависит от конкретного ви-
да обобщенных матричных функций Миттаг–Леффлера E2(A
√
t; 1) и E2(A
√
t; 1/2). Однако
в некоторых частных случаях задача упрощается.
Например, положим в уравнении (9) c = 0. В таком случае, применяя описанную выше
схему метода разрешающих функций, получим, что время окончания игры может быть
определено из уравнения
ep
2t
p4
erfc(−p
√
t)− 1
p4
− 2
√
t
p3
√
π
− t
p2
− 4
√
t3
3p
√
π
=
a|y0 + ty′0|
r − 1
.
Здесь p =
b
a
, erfc(z) =
2√
π
∞
∫
z
e−t2dt — дополнительная функция ошибок.
Данное уравнение всегда имеет решение, поскольку при t = 0 его левая часть равна
нулю и имеет скорость роста O(t3/2), в то время как правая часть в начальный момент
времени положительна и растет линейно по t.
Работа выполнена при поддержке украинско-российского проекта ДФФД – Ф 40.1/021.
1. Hilfer R. Fractional time evolution // Fraction. Calculus, Applications in Physics. – Singapore: World
Scientific, 2000. – P. 87–130.
2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
3. Chikrii A.A., Matychyn I. I. Game problems for fractional-order systems // New Trends in Nanotechnology
and Fractional Calculus Applications. New York: Springer, 2010. – P. 233–241.
4. Чикрий А.А., Матичин И.И. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка // Тр. Ин-та
математики и механики УрО РАН. – 2009. – 15, № 3. – С. 262–278.
5. Chikrii A. A. Conflict-controlled processes. – Dordrecht: Kluwer, 1997. – 424 p.
6. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. – Boston: Birkhäuser, 1990. – 461 p.
7. Bagley R., Torvik P. On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real materials //
J. Appl. Mech. – 1984. – No 51. – P. 294–298.
Поступило в редакцию 25.11.2010Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
I. I. Matychyn
Control over systems with fractional derivatives under conflict
conditions
A problem of control over quasilinear processes with fractional derivatives under counteraction
conditions is treated. Hilfer fractional derivatives including classical Riemann-Liouville derivati-
ves and regularized Caputo derivatives are studied. Representations of solutions to such systems
are derived, which allowed obtaining a guaranteed result in approaching the given target set by a
trajectory within the method of resolving functions. The qualitative results are illustrated by an
example with the Bagley–Torvik equation describing fractionally damped oscillations.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|