Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести
A molecular-radiative mathematical model of unsteady creep and a numerical method of solution of the system of equations for thermocreep in an area with mobile borders are given. As an example, the results of the modeling of thermocreep in a thick-walled pipe are presented.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4085 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 102-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4085 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-40852010-03-11T14:21:37Z Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. Теплофізика A molecular-radiative mathematical model of unsteady creep and a numerical method of solution of the system of equations for thermocreep in an area with mobile borders are given. As an example, the results of the modeling of thermocreep in a thick-walled pipe are presented. 2008 Article Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 102-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4085 536.24:539.3. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теплофізика Теплофізика |
| spellingShingle |
Теплофізика Теплофізика Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| description |
A molecular-radiative mathematical model of unsteady creep and a numerical method of solution
of the system of equations for thermocreep in an area with mobile borders are given. As an example, the results of the modeling of thermocreep in a thick-walled pipe are presented. |
| format |
Article |
| author |
Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. |
| author_facet |
Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. |
| author_sort |
Никитенко, Н.И. |
| title |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| title_short |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| title_full |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| title_fullStr |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| title_full_unstemmed |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| title_sort |
развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Теплофізика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4085 |
| citation_txt |
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод расчета термоползучести / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 102-110. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nikitenkoni razvitiemolekulârnoradiacionnojteoriiimetodrasčetatermopolzučesti AT snežkinûf razvitiemolekulârnoradiacionnojteoriiimetodrasčetatermopolzučesti AT sorokovaânn razvitiemolekulârnoradiacionnojteoriiimetodrasčetatermopolzučesti AT kolʹčikûn razvitiemolekulârnoradiacionnojteoriiimetodrasčetatermopolzučesti |
| first_indexed |
2025-07-02T07:19:27Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:19:27Z |
| _version_ |
1836518754394046464 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2008
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.24:539.3.
© 2008
Н.И. Никитенко, член-корреспондент НАН Украины Ю. Ф. Снежкин,
Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик
Развитие молекулярно-радиационной теории и метод
расчета термоползучести
A molecular-radiative mathematical model of unsteady creep and a numerical method of solution
of the system of equations for thermocreep in an area with mobile borders are given. As an
example, the results of the modeling of thermocreep in a thick-walled pipe are presented.
Ползучесть представляет собой неравновесный процесс деформирования под действием
внешних сил, при котором местоположение отдельных частиц тела непрерывно изменяется.
Традиционно полагают [1–5], что для каждого конкретного материала зависимость дефор-
мации ползучести εп
ij от напряжения σ, времени t и температуры T может быть представ-
лена в виде произведения εп
ij = f1(σ)f2(t)f3(T ). Деформации ползучести при неизменных
внешних нагрузках могут проявиться через очень короткий отрезок времени, если темпера-
тура тела T является достаточно высокой, и через много лет, если она низкая. Столь силь-
ная зависимость динамики процесса от температуры является характерной чертой актива-
ционных процессов, в частности диффузии, испарения, тепловой ионизации, диссоциации.
Резкое возрастание их интенсивности с повышением температуры объясняется активацией
частиц вследствие некоторых флуктуационных процессов, природа которых до недавнего
времени оставалась неясной.
Математическая модель. На базе молекулярно-радиационной теории [6] сформулиро-
ван следующий механизм активационных процессов диффузии. Предельный уровень энер-
гии Iβν , на котором может находиться частица компонента β в активационных процессах,
определяется из условия Iβνhν < Aβ 6 (Iβν + 1)hν, где Aβ — энергия активации. Частица,
находящаяся на уровне Iβν , после поглощения фотона hν активизируется и, отдавая энер-
гию (Iβν+1)hν, разрывает связи с соседними частицами, совершает диффузионный переход.
Функция wiν распределения частиц по энергиям в активационных процессах, которая най-
дена на основе закона интенсивности спектрального излучения частиц [7, 8], имеет вид [6]
wiν =
[
1 − exp
(
− hν
kT
)]{
1 − exp
[
−(Iν + 1)
hν
kT
]}
−1
exp
(
− ihν
kT
)
. (1)
Из (1) при Iβν → ∞ следует закон распределения Максвелла–Больцмана.
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Согласно (1), масса частиц единичного объема, которые за единицу времени достигают
энергии активации A и совершают диффузионный перескок, равна [6]
G =
ερ
exp(A/kT ) − 1
, (2)
где ε — осредненный по частотам коэффициент излучения.
Диффузия частиц вдоль линии действия внешних растягивающих напряжений σ тре-
бует меньших энергетических затрат по сравнению со случаем, когда σ = 0. Пусть тело
имеет решетчатую структуру. Частицы связаны с узлами решетки и их число в каждом
единичном объеме равно n. Расстояние между ближайшими узлами равно a. Частица, на-
ходящаяся на нулевом энергетическом уровне, после поглощения фотона hν, движущегося
вдоль некоторой оси ξ, возбуждается и совершает колебания вдоль оси ξ. В дальнейшем
частица поглощает и излучает фотоны hν, движущиеся параллельно этой оси. Если в ре-
зультате поглощения фотонов hν частица достигает энергии активации, то она совершает
диффузионный перескок в направлении ξ.
Рассмотрим два слоя частиц, расположенных в плоскостях z и z +a на расстоянии шага
кристаллической решетки. Пусть внешняя сила σ направлена вдоль оси z. Динамика ползу-
чести характеризуется плотностью результирующего потока J частиц вдоль оси z от слоя z
к слою z + a. При перескоке частицы в направлении, составляющем угол θ по отношению
к z, на частицу действует сила f = σ cos θ/(na) = σm cos θ/(ρa), где m — масса частицы.
Работа силы f на пути a равна ED = fa = σm cos θ/ρ. Энергия активации частицы для пе-
рескока в этом направлении равна Aσ(θ) = A — σm cos(θ)/ρ. Масса частиц dG(ϕ) из слоя z
единичной площади, достигающих за единицу времени энергии активации и совершающих
диффузионный перескок под углом θ к внешней силе в элементарный телесный угол dω =
= sin θdθdϕ, где ϕ — угол долготы, равна dG(θ) = aερ{exp[(A − σm cos θ/ρ)/(kT )] − 1}−1 ×
× sin θdθdϕ.
Плотность потока частиц через, покидающих плоскость z и движущихся в полусферу
0 6 θ 6 π/2, равна
J+ = aερ
2π
∫
ϕ=0
dϕ
π/2
∫
θ=0
[
exp
(
A − σm cos θ/ρ
kT
)
− 1
]
−1
cos θ sin θdθ.
При условии exp[(A − σm cos θ/ρ)/kT ] ≫ 1 из последнего выражения следует
J+ = 2πaερ exp(−Nд)
exp(Nσ)(Nσ − 1) + 1
N2
σ
. (3)
Здесь Nσ и Nд — критерии подобия, Nд = A/(kT ), Nσ = σm/(ρkT ). Число Nд характе-
ризует диффузионную активность частиц тела, а Nσ определяет влияние внешних сил,
температуры и плотности материала на динамику смещения частиц тела.
Аналогично находится плотность потока частиц J− в отрицательном направлении оси z.
Результирующая плотность потока массы частиц
J = J+ − J− = 4πaερ
exp(−Nд) sh(Nσ)(Nσ − 1)
N2
σ
. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 103
Скорость ползучести вдоль оси z пропорциональна результирующему потоку J
ε̇п = γ
J
aρ
= B
exp(−Nд) sh(Nσ)(Nσ − 1)
N2
σ
= g(T )f(σ, T ), (5)
где γ = const; B = γ4πε; g(T ) = B exp(−Nд); f(σ, T ) = sh(Nσ)(Nσ − 1)/N2
σ . Когда σ = 0,
величина ε̇п = 0. Поскольку при ползучести тело ведет себя как несжимаемая жидкость,
возникновение потока частиц вдоль внешней силы приводит к увеличению размера тела
вдоль оси z и к уменьшению вдоль осей x и y.
Напряженно-деформированное состояние тела, подвергающегося ползучести вследствие
действия внешних сил и неравномерного поля температуры, характеризуется тензорами на-
пряжений σij и деформаций εij , определяемых шестью независимыми компонентами. Для
этого тела, как и в случае упругих и пластических деформаций, справедливы уравнения
равновесия, геометрические уравнения взаимосвязи между компонентами тензора дефор-
маций εij и вектора перемещения ui, уравнение переноса энергии. Полная деформация εij
тела складывается из упругой деформации εу
ij и деформации ползучести εп
ij [3]
εij = εу
ij + εп
ij . (6)
Тензор εу
ij связан с тензором напряжений следующими уравнениями [3]:
εу
ij =
(1 + ν)σij − νσijδij
E
+ αTδij , i, j = 1, 2, 3, (7)
где E — модуль упругости; ν — коэффициент Пуассона; δij — единичный тензор; α —
коэффициент линейного и термического расширения.
Согласно экспериментальным данным, деформации ползучести тела протекают без изме-
нения его объема. Для такой несжимаемой среды справедливы уравнения
εп
11 + εп
22 + εп
33 = 3εп
ср
= const и ε̇п
11 + ε̇п
22 + ε̇п
33 = 0. (8)
После освобождения тела от внешних нагрузок и выравнивания температуры тело пе-
реходит в состояние равновесия. Как и для несжимаемой жидкости, для произвольной час-
тицы тела, расположенной внутри тела, равнодействующая сил взаимодействия с другими
его частицами равна нулю. Только для частиц, расположенных в окрестности граничной
поверхности, эта равнодействующая отлична от нуля. Поэтому в энергетическом отношении
мера остаточных деформаций, возникших вследствие ползучести при неизменной темпера-
туре тела, полностью определяется изменением площади его наружной поверхности, и при
расчете динамики ползучести достаточно учитывать изменение геометрии тела, обуслов-
ленное остаточными деформациями. В теории ползучести, как и в теории течения вязкой
жидкости, принимается существование однозначной зависимости между интенсивностью
скоростей деформаций ε̇п
и
и интенсивностью напряжений σи. При этом для каждой точки
тела она сохраняется такой же, как для одномерной ползучести, обусловленной одноосным
растягивающим (или сжимающим) напряжением, считается известной и может быть пред-
ставлена в виде [3, 4]
ε̇п
и
= Ψσи, (9)
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
где
χи =
√
(χ11 − χ22)2 + (χ22 − χ33)2 + (χ33 − χ11)2 + 6(χ2
12
+ χ2
23
+ χ2
31
)√
2
, χ = ε̇п, σ.
Так как выражение (9) для скорости деформации ползучести ε̇п
и
аналогично по форме
закону Гука для упругого тела, то зависимость между компонентами тензора напряжений
и компонентами тензора скоростей деформаций может быть получена заменой в известных
уравнениях теории упругости [4] деформаций на скорость деформации и модуля сдвига на
модуль ползучести µп. С учетом (8) находим, что
σii − σср = 2µпε̇п
ii, σij = µпε̇п
ij , σср =
σ11 + σ22 + σ33
3
. (10)
Так как при одноосном растяжении σ22 + σ33 = 0 и σср = σ11/3, из первого уравнения
системы (10) находим εп
11 = 2σ11/(3µ
п). Поскольку деформация εп
i связана с σi той же
зависимостью, что и в эксперименте по одноосному растяжению (9), то
1
3µп
= Ψ =
ε̇п
и
σи
=
gf
σи
. (11)
Из уравнений (10) и (11) следует
ε̇п
ii = Ω(σii − σср); ε̇п
ij = 2Ωσij , i 6= j; Ω =
3gf
2σи
. (12)
В соответствии с уравнениями (6), (7) и (12) выражения для компонентов тензора де-
формаций εij(tn), возникающих вследствие изменений внешних напряжений, массовых сил,
температуры и геометрии тела принимают вид
εij =
(1 + ν)σij − νσijδij
E
+ αTδij + εп
ij , εп
ij =
t
∫
0
ε̇п
ij dt. (13)
Если в уравнениях (13) для εii, i = 1, 2, 3, два последних члена перевести в левую часть
и ввести обозначения
ε′ii = εii − αT − εп
ii, (14)
то они примут вид, аналогичный уравнениям линейной упругости. Их разрешение относи-
тельно компонентов напряжения σii, i = 1, 2, 3, дает
σii = 2µ1ε
′
ii + µ2(ε
′
11 + ε′22 + ε′33), (15)
где µ1 и µ2 — коэффициенты Ламе, µ1 = Eу/[2(1 + ν)] и µ2 = Eу/[(1 − 2ν)(1 + ν)].
В результате совместного решения уравнений (8), (14), (15), а также геометрических
уравнений εij = εji = (ui,j + uj,i)/2 взаимосвязи между компонентами тензора εij и компо-
нентами вектора смещения ui,j находим, что
σii = 2µ1
∂ui
∂xi
+ µ2
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
)
− (2µ1 + 3µ2)αT − 2µ1ε
п
ii; (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 105
σij = µ1
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
− µ1ε
п
ij, i 6= j. (17)
После подстановки полученных выражений в уравнения равновесия σij,j+ρXi = 0 получаем
уравнение термоползучести в перемещениях, которое в проекции на ось x1 имеет следующий
вид:
(µ1+µ2)
∂θ
∂x1
+µ1∇2u1 −
∂
∂x1
[(2µ1+3µ2)αT ] − µ1
(
2
∂εп
11
∂x1
+
∂εп
12
∂x2
+
∂εп
13
∂x3
)
+ρF1 = 0, (18)
где θ = 3εср = ε11+ε22+ε33 = ∂u1/∂x1+∂u2/∂x2+∂u3/∂x3. Для нахождения содержащейся
в (18) температурной функции T используется уравнение переноса энергии [7]
cvρ
∂T
∂t
= div(λgrad T ) + (2µ1 + 3µ2)αT
∂θ
∂t
. (19)
Если на граничной поверхности S заданы напряжения, тогда граничные условия запи-
сываются таким образом:
piν(x1,гр, x2,гр, x3,гр, t) = σi1 cos(x1, ν) + σi2 cos(x2, ν) + σi3 cos(x3, ν), i = 1, 2, 3,
где ν — нормаль к граничной поверхности S.
По найденным в результате решения уравнений (18), (19) при заданных краевых усло-
виях функциям ui, i = 1, 2, 3, и T определяются компоненты тензоров напряжений и де-
формаций для момента времени tк.
Процесс ползучести может сопровождаться заметными изменениями геометрических
параметров тела. Для учета этого фактора период протекания процесса ползучести 0 6 t 6
6 tк разбивается на участки ∆ts согласно условию ts = ts−1 + ∆ts (s = 1, 2, . . . , S, tS = tк).
После проведения решения задачи (12)–(19) для участка ∆ts осуществляется коррекция гео-
метрии тела в соответствии с деформациями ползучести в точках граничной поверхности.
Численный метод решения задач термоползучести. Численное решение уравне-
ний (18) и (19) для тела произвольной конфигурации проводится на базе метода канони-
ческих элементов [9, 10]. Для простоты изложения рассмотрим двумерную односвязную
область в декартовых координатах (x, y). В ней вводится регуляризированная [9] разност-
ная сетка: ym = ym−1 + hy,m−1 (m = 1, 2, . . . ,M ; y0 = y′; yM = y′′); xim = xi−1,m + hx,i−1,m
(i = 1, 2, . . . , Im; x0m = x′
m; xIm,m = x′′
m). Здесь y′ и y′′ — минимальные и максимальное зна-
чения координаты y для точек области; x′
m и x′′
m — то же для координаты x точек сечения
области координатной прямой ym.
Производные от функций, содержащихся в исходных дифференциальных уравнениях,
для произвольной внутренней узловой точки области определяются через производные
вдоль нормалей к граничным поверхностям канонического элемента, который строится в
окрестности этой узловой точки при помощи координатных поверхностей ортогональной
системы координат. Для узловой точки (xim, ym) каноническим элементом является пря-
моугольник, образованный координатными прямыми x = xi+0,5,m, x = xi−0,5,m, y = ym+0,5,
y = ym−0,5.
Решение уравнения (19) на временной сетке tn = nlT (n = 1, 2, . . ., lT = const) проводится
на базе трехслойной явной разностной схемы Н.И. Никитенко [11]
cvρ[(1 + θT )δtT − θT δtT
n−1] =
B
∑
β=0
3
∑
i=1
δj(λδjT ) + (2µ1 + 3µ2)αTδt(ε11 + ε22 + ε33), (20)
106 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
где весовой параметр θT > 0. Первые производные от искомой функции W по t и по x на
гранях элемента x = xi+0,5,m и x = xi−0,5,m определяется разностными отношениями
δtW
n
im =
W n+1
im − W n
im
lT
, δxWi+0,5,m =
Wi+1,m − Wim
hxim
,
δxWi−0,5,m =
Wim − Wi−1,m
hx,i−1,m
.
(21)
Производные ∂W/∂x и ∂(λ∂W )/∂x2 в точке (xm, ym) аппроксимируются выражениями
δxWim = αxδxWi+0.5,m + (1 − αx)δxWi−0,5,m,
δx(λδxWim) =
λi+0,5,mδxWi+0,5,m − λi−0,5,mδxWi−0,5,m
hxim + hx,i−1,m
2
, (22)
где αx = hx,i−1,m/(hxim + hx,i−1,m), λi+0,5,m = (λi+1,m + λim)/2.
Производная ∂W/∂y в точке (xim, ym+0,5) грани y = ym+0,5 канонического элемента
с погрешностью O(h2
xim + h2
ym) определяется по формуле [9]
δyWi,m+0,5 =
(Wi′′,m+1 − Wim)h′′
x,m+1 + (Wi′′+1,m+1 − Wim)h′
x,m+1
hym(h′
x,m+1 + h′′
x,m+1)
−
−
h′
x,m+1h
′′
x,m+1
2hym
δxxWi,m, (23)
где h′
x,m+1 = xim−xi′′,m+1, h′′
x,m+1 = xi′′+1,m+1−xim. Формула (23) получена на базе диффе-
ренциальных уравнений [9], определяющих взаимосвязь между производными от скалярной
функции в направлении осей ортогональных и неортогональных координат.
Абсциссы xi′′,m+1 и xi′′+1,m+1узловых точек (xi′′,m+1, ym+1) и (xi′′+1,m+1, ym+1), лежащих
на прямой y = ym+1 на ближайшем расстоянии от прямой x = xim, определяются из условия
|xi′′,m+1 − xim| + |xi′′+1,m+1 − xim| = min(|xs,m+1 − xim| + |xs+1,m+1 − xim|),
s = 1, 2, . . . , Im+1 − 1.
(24)
Если одна из точек (xi′′,m+1, ym+1) или (xi′′+1,m+1, ym+1) лежит в плоскости x = xim,
то формула для δyWi,m+0,5 переходит в симметричное разностное соотношение, аналогич-
ное выражению для δxWi+0,5,m. Разностные выражения производных ∂W/∂y, ∂2W/∂y2
и ∂2W/∂x∂y в узловой точке (xim, ym) имеют вид
δyWim = αyδyWi,m+0,5 + (1 − αy)δyWi,m−0,5, αy =
hy,m−1
hym + hy,m−1
;
δyyWim =
δyWi,m+0,5 − δyWi,m−0,5
ym+0,5 − ym−0,5
; δxyWim =
ym+0,5 − ym−0,5
xi,m+1 − xi,m−1
.
(25)
При граничных условиях первого рода функция W в граничных точках считается задан-
ной. Для нахождения температуры T n+1
I,m в некоторой граничной узловой точке, например
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 107
в точке (xI,m, ym), при граничных условиях второго или третьего рода целесообразно ввес-
ти в рассмотрение приграничный элемент, одна из сторон которого образована границей
области и может быть криволинейной, две другие — координатными прямыми. Одна из
них параллельна оси x и проходит через точку (xI,m+0,5, ym+0,5), если производная Πy =
= (xI,m+1−xI,m−1)/(2hy) >0, и через точку (xI,m−0,5, ym−0,5), если эта производная меньше
нуля. Вторая прямая есть y = ym−0,5, если Πy >0 или y = ym+0,5, если Πy < 0. Плотности
потоков энергии через границы элементов y = ym−0,5, y = ym+0,5 определяются по фор-
мулам q′yIm = λI,m−0,5δyTI,m−0,5 и q′′yIm = λI,m+0,5δyTI,m+0,5. Уравнение баланса энергии
для приграничного элемента треугольной формы при Πy <0, согласно трехслойной явной
разностной схемой [11], можно записать в виде
Sтрcρ
[
(1 + θ)
T n+1
Im − T n
Im
l
− θ
T n
Im − T n−1
Im
l
]
= qxImhy + q′yImhxm − qгhг. (26)
Площадь треугольного элемента Sтр для случая, когда кривизной граничной поверхности
можно пренебречь, равна Sтр = hyhxm/2; hxm = |xI,m+0,5 − xI,m−0,5|; qг — плотность тепло-
вого потока на границе области, qг = λ∂T (xг, yг, t)/∂ν. Плотность теплового потока qxim
через координатную поверхность x = xI,m+0,5 или x = xI,m−0,5 с погрешностью поряд-
ка h2
xm определяется по разностной формуле qxim = λ(α0T
n
Im + α1T
n
I−1,m + α2T
n
I−2,m), где
α0 = (3hxm − hxm)/(5h2
xm − 4hxmhxm), α1 = (1 − 2hxmα0)/hxm, α2 = −(α0 + α1).
Уравнения (19) решаются методом установления через интервал времени ∆t > lT ,
т. е. в моменты времени ts = s∆t (s = 0, 1, . . ., ∆t = const). Интервал ∆t целесообразно
выбирать таким, чтобы на нем укладывалось целое число шагов lT . Решение осуществ-
ляется методом установления. При этом к правым частям уравнений (19) прибавляется
произведение модуля сдвига µ1 и производной ∂ui/∂τ по фиктивному времени τ , выпол-
няющему роль итерационного параметра. Шаг по τ выбирается согласно условию τn = nlu
(n = 0, 1, . . ., lu > 0), причем на слое n = 0 сеточная функция un
ik1k2k3
принимается рав-
ной us
ik1k2k3
. Численное решение преобразованных к нестационарному виду уравнений (19)
базируется на трехслойной явной разностной схеме. Разностная аппроксимация первого из
уравнений системы (19) имеет вид
(1 + θu)δτu1 − θuδτu
n−1
1 =
3
∑
j=1
δjju1 +
(
1 +
µ2
µ1
) 3
∑
j=1
δ1juj −
(
2 + 3
µ2
µ1
)
αδ1T −
− (2εп
11 + εп
12 + εп
13) + ρ
F1
µ1
. (27)
С применением функций un+1
ik1k2k3
и T s+1
k1k2k3
находятся компоненты тензора напряжений
σn+1
ijk1k2k3
и интенсивности напряжений σn+1
иk1k2k3
. Итерации прекращаются, когда функции
un+1
ik1k2k3
на временных слоях n и n+1 практически совпадают. При этом сеточным функци-
ям ui, εij , σij , σi, εп
ij на слое s + 1 присваиваются значения этих функций на слое n + 1,
и они служат исходными для расчета искомых функций на слое s + 2. Если деформации
ползучести εп
ij за период ∆t превышают некоторое допустимое значение с точки зрения по-
грешности решения задачи, осуществляется изменение геометрии тела, исходной для вре-
менного стоя ts+2. Для этого в результате суммирования для каждой граничной узловой
точки ее радиуса-вектора в момент ts и вектора смещения этой точки вследствие ползучести
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Рис. 1. Графики изменения общей деформации ε и деформации ползучести ε
′
= ε
п наружного диаметра
полого цилиндра при различных давлениях давлениях ρ на его внутренней поверхности
за время ∆ts находится массив координат точек, определяющих геометрию тела в момент
времени ts+1 при условии отсутствия внешних нагрузок. На базе этого массива строится
так же, как и для начального момента времени, регуляризированная разностная сетка.
Ползучесть толстостенной трубы при осесимметричном нагружении. Описан-
ный метод решения был численно опробован при решении задачи ползучести для одно-
родного достаточно длинного полого цилиндра r0 6 r 6 R с постоянными физическими
характеристиками. Начиная с момента t = 0, цилиндр подвергается равномерно распреде-
ленному давлению p(r0, t) = P (t) на внутренней поверхности и p(R, t) = pR(t) — на внешней.
В направлении оси z к цилиндру приложена нагрузка Pz(t). Для уравнения теплопроводно-
сти принимаются следующие краевые условия: T (r0, t) = T1(t), T (R, t) = T2(t), T (r, 0) = T0.
Вследствие ползучести накапливаются необратимые изменения геометрии тела. Они мо-
гут быть учтены изменением разностной сетки согласно выражению rs+1
i = rs
i +ls(ε̇
п
ϑϑ)s+1
i rs
i ,
либо путем нахождения по (27) смещений граничных поверхностей с последующим постро-
ением равномерной пространственной сетки. Численные эксперименты показали: оба вари-
анта коррекции геометрии дают практически одинаковые результаты. На рис. 1 приведены
результаты расчета общей деформации ε и деформации ползучести ε′ = εп (остаточной де-
формации) наружного диаметра стального цилиндра в изотермических условиях в зависи-
мости от времени и внутреннего давления при следующих исходных данных: r0 = 0,0125 м,
R = 0,025 м, T = 723K , B = 3,5 · 10−3. Представленные на рис. 1 кривые имеют вид,
характерный для экспериментальных кривых ползучести [3, 4].
1. Качанов Л.М. Теория ползучести. – Москва: Физматгиз, 1960. – 452 с.
2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – Москва: Наука, 1966. – 452 с.
3. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. – Москва: Высш. шк., 1968. –
512 с.
4. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. – Москва: Мир, 1986. –
360 с.
5. Никитенко Н.И., Никитенко Н.Н. Численное моделирование взаимосвязанных процессов теплопе-
реноса и ползучести // Тепловое проектирование систем. Сб. научн. трудов. – Москва: МАИ, 1990. –
С. 31–40.
6. Никитенко Н.И. Проблемы радиационной теории тепло- и массопереноса в твердых и жидких сре-
дах // Инж.-физ. журн. – 2000. – 73, № 4. – С. 851–860.
7. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. – Киев: Наук. думка, 1983. – 352 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 109
8. Никитенко Н.И. Закон интенсивности спектрального излучения частиц и связанные с ним проблемы
тепло- и массопереноса. Пятый Минский междунар. форум по тепло- и массообмену. – Т. 1. Тез.
докл. – Минск, 2004. – С. 204–206.
9. Никитенко Н.И. Об усовершенствовании метода канонических элементов для моделирования про-
цессов переноса в системах с криволинейными границами // Инж.-физ. журн. – 1994. – 66, № 6. –
С. 710–714.
10. Никитенко Н.И., Кольчик Ю.Н. Метод канонических элементов для моделирования переносных
процессов в многосвязных областях произвольной формы границами // Там же. – 1999. – 72, № 5. –
С. 837–847.
11. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи тепломассопереноса. – Киев: Наук. думка, 1988. –
240 с.
Поступило в редакцию 24.07.2007Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
Киевский национальный университет
строительства и архитектуры
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
|