Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины
The definition of the linear width of a linear group is introduced. This definition is an analogy of the BFC-number of a group. The infinite locally finite infinite dimensional linear groups of finite linear width are investigated. It is proved that these groups contain an Abelian subgroup of fin...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4096 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 14-17. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4096 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-40962009-07-16T12:00:39Z Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины Дашкова, О.Ю. Математика The definition of the linear width of a linear group is introduced. This definition is an analogy of the BFC-number of a group. The infinite locally finite infinite dimensional linear groups of finite linear width are investigated. It is proved that these groups contain an Abelian subgroup of finite index that has finite central (fundamental) dimension. 2008 Article Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 14-17. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4096 512.544 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дашкова, О.Ю. Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| description |
The definition of the linear width of a linear group is introduced. This definition is an analogy
of the BFC-number of a group. The infinite locally finite infinite dimensional linear groups of
finite linear width are investigated. It is proved that these groups contain an Abelian subgroup
of finite index that has finite central (fundamental) dimension. |
| format |
Article |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| author_sort |
Дашкова, О.Ю. |
| title |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| title_short |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| title_full |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| title_fullStr |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| title_sort |
об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4096 |
| citation_txt |
Об одном классе бесконечномерных линейных групп конечной линейной ширины / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 14-17. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû obodnomklassebeskonečnomernyhlinejnyhgruppkonečnojlinejnojširiny |
| first_indexed |
2025-07-02T07:19:55Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:19:55Z |
| _version_ |
1836518784544800768 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2008
О.Ю. Дашкова
Об одном классе бесконечномерных линейных групп
конечной линейной ширины
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
The definition of the linear width of a linear group is introduced. This definition is an analogy
of the BFC-number of a group. The infinite locally finite infinite dimensional linear groups of
finite linear width are investigated. It is proved that these groups contain an Abelian subgroup
of finite index that has finite central (fundamental) dimension.
Группа всех автоморфизмов GL(F,A) векторного пространства A над полем F является
старейшим объектом исследования алгебры и называется полной линейной группой. Под-
группы группы GL(F,A) называются линейными группами. Пусть H 6 GL(F,A). Если
размерность dim
F
A векторного пространства A над полем F конечна, группа H называет-
ся конечномерной линейной группой. Группу GL(F,A) в этом случае можно отождествить
с группой невырожденных квадратных матриц размерности n × n, где n = dim
F
A. Конеч-
номерные линейные группы нашли широкое применение в различных областях матема-
тики.
В настоящей работе исследуются подгруппы группы GL(F,A) в случае, когда dim
F
A бес-
конечна. Эти группы изучались мало. Следует отметить, что исследования таких групп тре-
буют дополнительных ограничений на рассматриваемые группы. Хорошо известным при-
мером применения условий конечности для изучения бесконечномерных линейных групп
является теория финитарных линейных групп [1, 2]. Финитарные линейные группы явля-
ются линейным аналогом групп с конечными классами сопряженных элементов. Достаточно
полный обзор результатов о группах с конечными классами сопряженных элементов дан
в книге Ю.М. Горчакова [3]. Б. Нейманом изучались группы, у которых все классы сопря-
женных элементов конечны и их порядок ограничен фиксированным числом n [4]. В [4]
было доказано, что такие группы имеют конечный коммутант. В [5–12] установлены оцен-
ки порядка коммутанта группы, у которой все классы сопряженных элементов конечны
и их порядок ограничен фиксированным числом n. Эта оценка является функцией числа n.
В [9] было введено понятие ширины b конечной p-группы G. Число b называется шири-
ной конечной p-группы G, если pb является максимумом порядков классов сопряженности
группы G.
Нами рассматривается некоторый аналог данной задачи для бесконечномерных линей-
ных групп. Если H — подгруппа группы GL(F,A), H реально действует на факторпрост-
ранстве A/CA(H) естественным образом. Если dim
F
(A/CA(H)) конечна, будем говорить,
что H имеет конечную центральную размерность. В противном случае будем говорить,
что H имеет бесконечную центральную размерность. В [13] также было дано понятие фун-
даментальной размерности подгруппы H 6 GL(F,A). Рассмотрим подпространство [H,A]
пространства A, которое порождается следующими элементами:
[H,A] = 〈v(g − 1), g ∈ H, v ∈ A〉.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Фундаментальной размерностью группы H называется размерность подпространства
[H,A].
Введем следующее определение.
Определение. Будем говорить, что линейная группа G имеет конечную линейную ши-
рину n, если n является наименьшим числом с тем свойством, что для любого элемента
v ∈ A порядок G-орбиты элемента v не превосходит n. В случае, когда числа n с заданным
свойством не существует, линейная ширина группы G считается бесконечной.
В работе изучаются бесконечные локально конечные бесконечномерные линейные груп-
пы конечной линейной ширины. В частности, исследуется вопрос о существовании в беско-
нечной локально конечной бесконечномерной линейной группе G конечной линейной ши-
рины подгруппы H конечного индекса, для которой размерность подпространства [H,A]
конечна.
Теорема. Пусть G 6 GL(F,A) — бесконечная локально конечная бесконечномерная
линейная группа конечной линейной ширины, F является полем простой характеристи-
ки p, p 6∈ π(G), либо полем характеристики 0. Тогда группа G содержит нормальную
абелеву подгруппу H конечного индекса, имеющую конечную фундаментальную размер-
ность.
Доказательство. Обозначим через m линейную ширину группы G. Предположим, что
группа G не является почти абелевой. Положим C = CG(A). Выберем элементы a1 ∈ A,
a1 6∈ CA(G) и h1 ∈ G, a1(h1 − 1) 6= 0. Положим A1 = a1FG, C1 = CG(A1). Подпрост-
ранство A1 является конечномерным и G-допустимым. Рассмотрим факторпространство
A/A1. Поскольку линейная ширина группы G конечна, то индекс |G : C1| конечен. Пока-
жем, что группа C1 действует на факторпространстве A/A1 нетождественно. Предполо-
жим, что это не так. Тогда группа C1 действует в факторах ряда 〈0〉 6 A1 6 A тожде-
ственно, и тогда по теореме Ф. Холла [14, гл. 6] подгруппа C1 абелева. Следовательно,
группа G является почти абелевой. Получается противоречие. Поэтому можно выбрать
элементы a2 ∈ A, a2 6∈ A1, и h2 ∈ C1 такие, что a2(h2 − 1) 6∈ A1. Положим A2 = a2FG,
C2 = CG(A2). Рассмотрим факторпространство A/(A1 + A2). Поскольку индексы |G : C1|
и |G : C2| конечны, то индекс |G : (C1
⋂
C2)| также конечен. Как и ранее, устанавлива-
ем, что группа C1
⋂
C2 действует на факторпространстве A/(A1 + A2) нетождественно.
Поэтому можно выбрать элементы a3 ∈ A, a3 6∈ (A1 + A2), и h3 ∈ (C1
⋂
C2) такие, что
a3(h3 − 1) 6∈ (A1 + A2). Положим A3 = a3FG, C3 = CG(A3). Продолжим это построение.
На шаге с номером n, n > m, выбираем элементы an ∈ A, an 6∈ (A1 + A2 + · · · + An−1),
и hn ∈
n−1⋂
i=1
Ci такие, что an(hn − 1) 6∈ An−1. Положим An = anFG, A0 = A1 + A2 + · · · +
+ An.
Обозначим через K подгруппу, порожденную элементами h1, h2, . . . , hn. Положим B1 =
= a1FK, d1 = a1. Подпространство B1 является K-допустимым, поэтому по теореме Маш-
ке [14, гл. 7] для подпространства B1 в A0 существует K-допустимое дополнение D1, и тогда
A0 = B1 ⊕ D1. Элемент a2 однозначно представим в виде суммы a2 = b2 + d2, где b2 ∈ B1,
d2 ∈ D1, причем в силу выбора элемента a2 верно, что d2(h2 − 1) 6= 0. Пусть B2 = d2FK.
По теореме Машке имеем разложение A0 = B1 ⊕ B2 ⊕ D2, где подпространство D2 явля-
ется K-допустимым. Элемент a3 однозначно представим в виде суммы a3 = b3 + d3, где
b3 ∈ B1 ⊕ B2, d3 ∈ D2, причем в силу выбора элемента a3 верно, что d3(h3 − 1) 6= 0. Пусть
B3 = d3FK. По теореме Машке A0 = B1 ⊕ B2 ⊕ B3 ⊕ D3, где подпространство D3 K-допу-
стимо. Продолжим этот процесс. На шаге с номером n, n > m, элемент an однозначно
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 15
представим в виде суммы an = bn + dn, где bn ∈ B1 ⊕ B2 ⊕ · · · ⊕ Bn−1, dn ∈ Dn−1, при-
чем в силу выбора элемента an верно, что dn(hn − 1) 6= 0. Пусть Bn = dnFK. По теореме
Машке имеем разложение A0 = B1 ⊕ B2 ⊕ B3 ⊕ · · · ⊕ Bn ⊕ Dn, где подпространство Dn
K-допустимо. Рассмотрим элемент d = d1 + d2 + · · · + dn. В силу выбора элементов h1,
h2, . . . , hn, элементы dh1, dh2, . . . , dhn попарно различны. Поскольку n > m, получили про-
тиворечие с тем, что линейная ширина группы G равна m. Следовательно, группа G почти
абелева.
Для почти абелевой группы G проведем аналогичные рассуждения. Положим C =
= CG(A). Выберем элемент a1 ∈ A, a1 6∈ CA(G). Положим A1 = a1FG, C1 = CG(A1).
Выберем элемент h1 ∈ G, a1(h1 − 1) 6= 0. Подпространство A1 является конечномерным
и G-допустимым. Рассмотрим факторпространство A/A1. Если можно выбрать элементы
a2 ∈ A, a2 6∈ A1, и h2 ∈ C1 такие, что a2(h2 −1) 6∈ A1, то положим A2 = a2FG, C2 = CG(A2).
Рассмотрим факторпространство A/(A1 + A2). Если это возможно, то выбираем элементы
a3 ∈ A, a3 6∈ (A1 + A2), и h3 ∈ C1
⋂
C2 такие, что a3(h3 − 1) 6∈ (A1 + A2). Продолжим это по-
строение. На некотором шаге с номером l, l 6 m, выбор элементов с указанными свойствами
становится невозможным, поскольку в противном случае мы, как и в первой части доказа-
тельства, приходим к противоречию с тем, что линейная ширина группы G равна m. Сле-
довательно, подгруппа H =
l⋂
i=1
Ci действует в факторах ряда 〈0〉 6 (A1 +A2 + · · ·+Al) 6 A
тождественно, и тогда по теореме Ф. Холла [14, гл. 6] подгруппа H =
l⋂
i=1
Ci абелева, причем
по построению индекс |G : H| конечен. Следовательно, [H,A] 6 (A1+A2+· · ·+Al). Посколь-
ку подпространство (A1 + A2 + · · · + Al) конечномерно, то фундаментальная размерность
подгруппы H конечна. Теорема доказана.
Следствие. Пусть G 6 GL(F,A) — бесконечная локально конечная бесконечномерная
линейная группа, F является полем простой характеристики p, p 6∈ π(G), либо полем
характеристики 0. Тогда группа G содержит нормальную абелеву подгруппу H конечного
индекса, имеющую конечную центральную размерность.
Доказательство. Подгруппа H группы G, построенная при доказательстве теоремы 1,
является абелевой и имеет конечную фундаментальную размерность. Согласно теореме
С [15], центральная размерность подгруппы H конечна. Следствие доказано.
1. Phillips R.E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119, No 2. –
P. 400–448.
2. Philips R.E. Finitary linear groups: a survey. “Finite and locally finite groups” // NATO ASI ser. C Math.
Phys. Sci. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1995. – Vol. 471. – P. 111–146.
3. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. – Москва: Наука, 1978. –
120 с.
4. Neumann B.H. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. – 1954. – 29. – P. 236–248.
5. Wiegold J. Groups with boundedly finite classes of conjugate elements // Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1957. –
238. – P. 389–401.
6. Macdonald I.D. Some explicit bounds in groups with finite derived groups // Proc. London Math. Soc. –
1961. – 3, No 11. – P. 23–56.
7. Wiegold J. Multiplicators and groups with finite central factor-groups // Math. Z. – 1965. – 89. – P. 345–347.
8. Bride I.M. Second nilpotent BFC groups // J. Austral. Math. Soc. – 1970. – 11, No 1. – P. 19–27.
9. Neumann P.M. An improved bound for BFC p-groups // Ibid. – 1970. – 11, No 1. – P. 9–18.
10. Vaughan-Lee M.R. Metabelian BFC p-groups // J. London Math. Soc. – 1972. – 5, No 2. – P. 673–680.
11. Neumann P.M., Vaughan-Lee M.R. An essay on BFC groups // Proc. London Math. Soc. – 1977. – 35,
No 3. – P. 213–237.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
12. Cartwright M. The order of the derived group of a BFC-group // J. London Math. Soc. – 1984. – 30,
No 2. – P. 227–243.
13. Диксон М.Р., Курдаченко Л.А., Дашкова О.Ю. Бесконечномерные линейные группы с ограничени-
ями на подгруппы бесконечных рангов // Изв. Гомельск. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2006. – 36,
№ 3. – C. 109–123.
14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1972. – 240 с.
15. Kurdachenko L.A., Kirichenko V.V., Polyakov N.V. On certain finitary modules // Укр. математ. кон-
гресс-2001. III Междунар. алгебраическая конф. в Украине. Алгебраические структуры и их исполь-
зование: Тр. – Киев, 2002. – С. 283–296.
Поступило в редакцию 22.05.2007Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
УДК 517.988
© 2008
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов,
I. I. Демкiв
Iнтерполяцiйнi iнтегральнi операторнi дроби
в банаховому просторi
For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are
studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.
Питання наближення функцiй та операторiв у вiдповiдних просторах за допомогою iнтег-
ральних ланцюгових дробiв розглядалися у рядi робiт [1–3]. Дослiдженню iнтерполяцiй-
ностi на континуальних вузлах (тобто на вузлах, що залежать вiд неперервних скалярних
аргументiв) присвяченi роботи [2, 3]. У данiй роботi вперше вивчаються iнтерполяцiйнi опе-
раторнi iнтегральнi ланцюговi дроби на континуальних вузлах для нелiнiйних операторiв,
визначених на лiнiйних топологiчних просторах.
Постановка задачi та її розв’язок. Знайдемо зображення iнтегрального n-поверхо-
вого операторного дробу, який буде iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв
xn(~ξn) = x0 + gξ1(x1 − x0) + · · · + gξn
(xn − xn−1), 0 6 ξn 6 · · · 6 ξ1 6 1, (1)
для оператора F (x), що дiє з лiнiйного топологiчного простору X у алгебру Y з одиницею I.
Тут gz — лiнiйний, диференцiйований за z оператор, що дiє з X в X, i має властивостi
g0 = 0, g1 = E, gτgξ = gmin(τ,ξ), τ, ξ ∈ [0, 1], (2)
де E : X → X тотожний оператор. Приклад операторiв gz з властивостями (2) для випадку
гiльбертового простору X = H та просторi кусково-неперервних функцiй Q[0, 1] див. у [4, 5].
Має мiсце
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 17
|