О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов
Досліджено властивості заданих у комплексному сепарабельному гільбертовому просторі L^2(0,1) операторів (D^2−)^s+V(x), s що належить (1/2,∞), де D^2−=−d^2/dx^2 — диференціальний оператор з напівперіодичними граничними умовами, а 1-періодична узагальнена функція V(x) належить негативному простору Соб...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43821 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-43821 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-438212013-05-19T03:09:23Z О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. Математика Досліджено властивості заданих у комплексному сепарабельному гільбертовому просторі L^2(0,1) операторів (D^2−)^s+V(x), s що належить (1/2,∞), де D^2−=−d^2/dx^2 — диференціальний оператор з напівперіодичними граничними умовами, а 1-періодична узагальнена функція V(x) належить негативному простору Соболєва H^−sα +, α що належить [0,1]. Дано опис якісних спектральних властивостей таких операторів, знайдено многочленні асимптотичні формули для їх власних значень при s що належить (1,∞) як в самоспряженому випадку, так і в несамоспряженому. We investigate properties of the operators (D^2−)^s+V(x), s belongs (1/2,∞), given in the complex separable Hilbert space L^2(0,1), where D^2−=−d^2/dx^2 is a differential operator subject to semiperiodic boundary conditions, and the 1-periodic distribution V(x) is in the negative Sobolev space H^−sα +, α belongs [0,1]. We describe qualitative spectral properties of the operators and find polynomial asymptotic formulae for their eigenvalues for s belongs (1,∞) in a self-adjoint case and in a non-self-adjoint one. 2011 Article О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43821 517.984 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов Доповіді НАН України |
| description |
Досліджено властивості заданих у комплексному сепарабельному гільбертовому просторі L^2(0,1) операторів (D^2−)^s+V(x), s що належить (1/2,∞), де D^2−=−d^2/dx^2 — диференціальний оператор з напівперіодичними граничними умовами, а 1-періодична узагальнена функція V(x) належить негативному простору Соболєва H^−sα +, α що належить [0,1]. Дано опис якісних спектральних властивостей таких операторів, знайдено многочленні асимптотичні формули для їх власних значень при s що належить (1,∞) як в самоспряженому випадку, так і в несамоспряженому. |
| format |
Article |
| author |
Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Молибога, В.Н. |
| author_sort |
Михайлец, В.А. |
| title |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| title_short |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| title_full |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| title_fullStr |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| title_full_unstemmed |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| title_sort |
о спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43821 |
| citation_txt |
О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов / В.А. Михайлец, В.Н. Молибога // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 36-43. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlecva ospektresingulârnyhvozmuŝenijpoluperiodičeskihoperatorov AT molibogavn ospektresingulârnyhvozmuŝenijpoluperiodičeskihoperatorov |
| first_indexed |
2025-07-04T02:14:25Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:14:25Z |
| _version_ |
1836680757867708416 |
| fulltext |
УДК 517.984
© 2011
В.А. Михайлец, В. Н. Молибога
О спектре сингулярных возмущений
полупериодических операторов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Дослiджено властивостi заданих у комплексному сепарабельному гiльбертовому прос-
торi L2(0, 1) операторiв (D2
−
)s∔V (x), s ∈ (1/2,∞), де D
2
−
= −d2/dx2 — диференцiальний
оператор з напiвперiодичними граничними умовами, а 1-перiодична узагальнена функ-
цiя V (x) належить негативному простору Соболєва H−sα
+ , α ∈ [0, 1]. Дано опис якiс-
них спектральних властивостей таких операторiв, знайдено многочленнi асимптотич-
нi формули для їх власних значень при s ∈ (1,∞) як в самоспряженому випадку, так i
в несамоспряженому.
В комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве L2(0, 1) исследуются сингуляр-
ные возмущения самосопряженного положительно определенного оператора
D
2s
− := (D2
−)
s, s > 1/2,
D
2
− := −
d2
dx2
, Dom(D2
−) := {u ∈ H2[0, 1] | u(j)(0) = −u(j)(1), j = 0, 1},
комплекснозначными 1-периодическими распределениями
V (x) =
∑
k∈Z
V̂ (k)eik2πx ∈ H−s
+ [0, 1], т. е.,
∑
k∈Z
(1 + |k|)−2s|V̂ (k)|2 <∞.
В работе дано корректное определение операторов
S−(V )u := D
2s
− u+ V (x)u, s > 1/2,
и установлены их аппроксимативные и спектральные свойства (локализация и распределе-
ние собственных значений, полнота корневых функций).
1. Пространства. Введем необходимые нам определения и обозначения.
Пусть C∞
+ ≡ C∞
1,+([0, 1]) и D
′
+ ≡ D
′
1,+([0, 1]) — комплекснозначные пространства 1-пе-
риодических бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций соответственно. Для
характеристики гладкости таких распределений введем шкалу гильбертовых пространств
Соболева {Hs
+}s∈R, которые определяются с помощью коэффициентов Фурье:
Hs
+ ≡ Hs
+[0, 1] :=
{
f(x) =
∑
k∈Z
f̂(k)eik2πx ∈ D
′
+
∣∣∣‖f‖Hs
+
<∞
}
,
‖f‖2Hs
+
:=
∑
k∈Z
(1 + |k|)2s|f̂(k)|2, f̂(k) = 〈f(x), eik2πx〉+, k ∈ Z.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Периодическое распределение f ∈ D
′
+ является вещественнозначным тогда и только тогда,
когда
f̂(k) = f̂(−k), k ∈ Z.
Шкала пространств Соболева {Hs
−}s∈R 1-полупериодических функций/распределений
вводится аналогичным образом:
Hs
− ≡ Hs
−[0, 1] :=
{
g(x) =
∑
k∈Z
ĝ(k)ei(k+1/2)2πx ∈ D
′
−
∣∣∣‖g‖Hs
−
<∞
}
,
‖g‖2Hs
−
:=
∑
k∈Z
(
1 +
∣∣∣∣k +
1
2
∣∣∣∣
)2s
|ĝ(k)|2, ĝ(k) = 〈g(x), ei(k+1/2)2πx〉−, k ∈ Z.
Понятно, что H0
− ≡ H0
+ ≡ L2(0, 1).
Пусть
f(x) =
∑
k∈Z
f̂(k)eik2πx ∈ D
′
+, g(x) =
∑
k∈Z
ĝ(k)ei(k+1/2)2πx ∈ D
′
−.
Определим произведение f · g 1-периодического и 1-полупериодического распределений.
Перемножив формально соответствующие ряды Фурье–Шварца, получаем
(f · g)(x) =
∑
k∈Z
(̂f · g)(k)ei(k+1/2)2πx, (1)
(̂f · g)(k) :=
∑
j∈Z
f̂(k − j)ĝ(j), k ∈ Z. (2)
Поэтому произведение корректно определено, если свертка (2) существует и ряд (1) опре-
деляет распределение из D
′
−. Следующая известная лемма о свертке [1] дает достаточные
условия существования произведения f · g в классе распределений.
Лемма 1. Пусть s, r > 0 и t ∈ R, t 6 min(s, r).
Если s + r − t > 1/2, то произведение f · g, задаваемое формулами (1), (2), является
непрерывным отображением, действующим в пространствах:
Hs
+ ×Hr
− → Ht
−, ‖f · g‖Ht
−
6 C(s, r, t)‖f‖Hs
+
‖g‖Hr
−
;
H−t
+ ×Hs
− → H−r
− , ‖f · g‖H−r
−
6 C ′(s, r, t)‖f‖H−t
+
‖g‖Hs
−
.
2. Операторы. Приведем строгое определение исследуемых в работе операторов.
Пусть g ∈ H−s
− , ψ ∈ Hs
−, s > 0, тогда определена форма
〈g, ψ〉− :=
∑
k∈Z
ĝ(k)ψ̂(k),
где ряд сходится абсолютно.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2(0, 1) полуторалинейную форму
τ−2s[u, v] := 〈D2s
− u, v〉−, u, v ∈ Hs
−, s >
1
2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 37
Она плотно определена и положительна, так как D
2
− > π2 в L2(0, 1). Определим теперь полу-
торалинейную форму, порожденную 1-периодическим распределением V (x) ∈ H−s
+ в про-
странстве L2(0, 1). В силу равенств (1), (2) и леммы о свертке, произведение V (x) · u(x)
корректно определено для произвольной функции u ∈ Hs
− и V (x) · u(x) ∈ H−s
− . Поэтому
периодическое распределение V (x) ∈ H−s
+ порождает в пространстве L2(0, 1) плотно опре-
деленную полуторалинейную форму
t−V [u, v] := 〈V (x)u(x), v(x)〉−, Dom(tV ) = Hs
−.
Положим
t−[u, v] := τ−2s[u, v] + t−V [u, v], Dom(t) := Hs
−.
Поскольку множество C∞
+ плотно в H−s
+ , то каждое распределение f ∈ H−s
+ допускает
представление
f = fε + gε, ‖fε‖H−s
+
6 ε, gε ∈ C∞
+ ,
где ε > 0 может быть сколь угодно малым. Используя этот факт и лемму о свертке, можно
показать, что верна
Лемма 2. Полуторалинейная форма t−V является 0-ограниченной относительно полу-
торалинейной формы τ−2s, т. е. для любого ε > 0 существует такое число bε > 0, что
|t−V [u]| 6 ετ−2s[u] + bε‖u‖L2(0,1), u ∈ Dom(τ−2s).
В силу [2, теорема VI.1.33] полуторалинейная форма t− является плотно определенной,
замкнутой и секториальной. Согласно первой теореме о представлении [2, теорема VI.2.1]
с нею ассоциирован m-секториальный оператор, который мы и примем за определение
возмущенного оператора S−(V ).
Теорема 1. Пусть V (x) ∈ H−s
+ , s > 1/2. Операторы S−(V ) корректно определены
в пространстве L2(0, 1) как форм-суммы D
2s
− ∔ V (x). При этом
S−(V )u = D
2s
− u+ V (x)u, u ∈ Dom(S−(V )) = {u ∈ Hs
−
∣∣D2s
− u+ V (x)u ∈ L2(0, 1)}.
В следующей теореме мы даем условия аппроксимации операторов S−(V ) с сингуляр-
ными коэффициентами операторами S−(Vn) того же класса, в частности с гладкими ко-
эффициентами.
Теорема 2. Пусть s > 1/2, Vn, V ∈ H−s
+ и ‖Vn−V ‖H−s
+
→ 0. Тогда последовательность
операторов S−(Vn) сходится к оператору S−(V ) в смысле равномерной резольвентной схо-
димости, т. е.
‖R(λ,S−(Vn))− R(λ,S−(V ))‖ → 0, n→ ∞, λ ∈ ρ(S−(V )) 6= ∅. (3)
Доказательство теоремы 2 опирается на лемму 1 и теорему VI.3.6 из [2].
В частности, соотношение (3) выполняется, если Vn(x) =
∑
|k|6n
V̂ (k)eik2πx ∈ C∞
+ .
Общий подход к исследованию сингулярных возмущений дифференциальных операто-
ров предложен в [3] (см. также библиографию там). Он основывается на теории мульти-
пликаторов.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Описание качественных спектральных свойств операторов S−(V ) дает
Теорема 3. Справедливы утверждения:
(a) для каждого сектора {λ ∈ C | | arg λ| 6 ε} найдется такое k ∈ R+, что числовой
образ оператора S−(V ) + k лежит в этом секторе;
(b) операторы S−(V ) являются самосопряженными тогда и только тогда, когда рас-
пределение V (x) является вещественнозначным;
(c) операторы S−(V ) имеют чисто дискретный спектр;
(d) системы корневых векторов операторов S−(V ) полны в гильбертовом пространс-
тве L2(0, 1).
Отметим, что для случая s ∈ N приведенные утверждения установлены ранее в [1, 4–6].
Общий случай s ∈ (1/2,∞) исследуется сходным образом.
3. Спектры. Пусть {νk(V )}∞k=0 — последовательность собственных значений оператора
S−(V ), с учетом их алгебраической кратности, которая упорядочена лексикографически.
Собственное значение νk(V ) предшествует собственному значению νk+1(V ), если
Re νk(V ) < Re νk+1(V ) или Re νk(V ) = Re νk+1(V ), Im νk(V ) 6 Im νk+1(V ).
Локализацию спектра операторов S−(V ) описывает
Теорема 4. Пусть V (x) ∈ H−s, s > 1. Существуют такие числа M =M(‖V ‖H−s
+
) > 1
и n0 = n0(‖V ‖H−s
+
) ∈ N, что:
(I) в треугольнике
{
λ ∈ C | | Imλ| −M 6 Reλ 6
((
n0 +
1
2
)2s
−
(
n0 +
1
2
)s)
(2π)2s
}
находится в точности 2n0 собственных значения оператора S−(V );
(II) при n > n0 в диске
{
λ ∈ C |
∣∣∣∣λ−
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣ <
(
n+
1
2
)s}
находится в точности два собственных значения ν2n(V ), ν2n+1(V ) оператора S−(V ).
Доказательство (набросок). Первым шагом при доказательстве теоремы будет опи-
сание резольвентного множества Resolv(S−(V )) операторов S−(V ), а также удобное для
работы представление его резольвенты R(λ,S−(V )).
Введем множества:
ExtM := {λ ∈ C | | Im λ| > Reλ+M}, M > 1,
Vertn :=
{
λ=
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s+z ∈ C
∣∣∣∣ |Re z|6
(
n+
1
2
)s
(2π)2s, |z|>
(
n+
1
2
)s}
, n ∈ N.
Можно показать, что существуют такие числа M =M(‖V ‖H−s
+
) > 1 и n0 = n0(‖V ‖H−s
+
) ∈ N,
что
MM,n0 := ExtM
⋃ ⋃
n>n0
Vertn ⊆ Resolv(S−(V )), (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 39
и на множестве MM,n0 резольвента R(λ,S−(V )) операторов S−(V ) допускает представление
R(λ,S−(V )) = Uλ|λ−D
2s
− |−1/2(Id− |λ− D
2s
− |−1/2V |λ− D
2s
− |−1/2Uλ)
−1|λ− D
2s
− |−1/2. (5)
Здесь операторы Uλ и |λ− D
2s
− |−1/2 определяются из полярного представления
(λ− D
2s
− )−1 = Uλ|(λ− D
2s
− )−1|.
Представление (5) полезно, поскольку теперь мы имеем дело только с ограниченными опе-
раторами. В частности, таковыми являются операторы
Aλ ≡ A(λ, V (x)) : = |λ− D
2s
− |−1/2V |λ− D
2s
− |−1/2 : L2(0, 1) → Hs
− → H−s
− → L2(0, 1).
Из условия
‖A(λ, V (x))‖ < 1 (6)
мы получаем включение (4). Для решения неравенства (6) мы используем матричное пред-
ставление операторов в базисе {ei(k+1/2)2πx}k∈Z невозмущенных операторов D
2s
− :
D
2s
− (k, j) = 〈D2s
− e
i(j+1/2)2πx, ei(k+1/2)2πx〉 =
(
k +
1
2
)2s
(2π)2sδkj , (7)
(λ− D
2s
− )(k, j) =
(
λ−
(
k +
1
2
)2s
(2π)2s
)
δkj , (8)
V (k, j) = 〈V (x) · ei(j+1/2)2πx, ei(k+1/2)2πx〉 = V̂ (k − j), (9)
|(λ− D
2s
− )|−1/2(k, j) =
1
∣∣∣∣λ−
(
k +
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣
1/2
δkj,
Uλ(k, j) =
∣∣∣∣λ−
(
k +
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣
λ−
(
k +
1
2
)2s
(2π)2s
δkj ,
(10)
и
Aλ(k, j) =
V̂ (k − j)
∣∣∣∣λ−
(
k +
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣
1/2∣∣∣∣λ−
(
j +
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣
1/2
, k, j ∈ Z. (11)
Теперь, для локализации собственных значений операторов S−(V ) нужно заметить, что
вместе с (4) также справедливо вложение
MM,n0 ⊆ Resolv(S−(εV )), ε ∈ [0, 1],
поскольку ‖A(λ, εV (x))‖ = ε‖A(λ, V (x))‖. Тогда для произвольного контура Γ ⊂ MM,n0
проекторы Рисса
P (ε) :=
1
2πi
∫
Γ
R(λ,S−(εV )) dλ, ε ∈ [0, 1],
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
определены в L2(0, 1) и, как можно показать, используя представление (5), непрерывно
зависят от параметра ε ∈ [0, 1].
Поскольку проекторы P (ε1) и P (ε2), для которых
‖P (ε2)− P (ε1)‖ < 1, ε1, ε2 ∈ [0, 1],
имеют изоморфные области значений, то из непрерывности отображения ε → P (ε) мы
получаем независимость размерности области значений проекторов P (ε) от параметра ε ∈
∈ [0, 1] [2, лемма I.4.10].
Таким образом, количество собственных значений невозмущенного оператора D
2s
− и воз-
мущенных операторов D
2s
−∔V (x), с учетом их алгебраических кратностей, одинаково внутри
произвольного контура Γ ⊂ MM,n0 .
Для завершения доказательства теоремы остается рассмотреть проекторы Рисса P (ε)
по контуру треугольника TM,n0 (см. формулировку теоремы), а также по контурам
{
λ ∈ C
∣∣∣
∣∣∣∣λ−
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣ =
(
n+
1
2
)s}
⊆ Vertn, n > n0,
где n0 выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие (6) при λ ∈ Vertn.
Для удобства дальнейших формулировок введем обозначения:
ν−n (V ) := ν2n(V ), ν+n (V ) := ν2n+1(V ), n ∈ Z+,
hs :=
{
a = {a(k)}k∈N
∣∣∣∣ ‖a‖
2
hs :=
∑
k∈N
(1 + |k|)2s|a(k)|2 <∞
}
.
Через hs(n) будем обозначать n-й член последовательности из пространства hs. Понятно,
что если a = {a(k)}k∈N ∈ hs, то a(k) = o(|k|−s), k → ∞.
Основным результатом работы является
Теорема 5. Пусть V (x) ∈ H−sα
+ , s > 1, α ∈ [0, 1]. Тогда:
(a) равномерно на ограниченных множествах распределений V (x) ∈ H−sα
+ верны асимп-
тотические оценки:
ν±n (V ) =
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s + V̂ (0) ±
√
V̂ (−2n)V̂ (2n) + r±n (V ),
{r±n (V )}n∈Z+ ∈
hs(1−2α), если α ∈
[
1
2
, 1
]
,
hs(1/2−α), если α ∈
[
0,
1
2
]
;
(b) если, кроме того, распределение V (x) вещественнозначно, то
ν±n (V ) =
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s + V̂ (0) ± |V̂ (2n)|+ hs(1−2α)(n).
При s = 1, α ∈ [0, 1] сходные оценки были установлены ранее в [1, 7] для периодических
задач.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 41
Доказательство (набросок). Как и при доказательстве теоремы 4, мы при n > n0
вводим в рассмотрение проекторы Рисса:
P 0
n :=
1
2πi
∫
Γn
R(λ,D2s
− ) dλ,
Pn :=
1
2πi
∫
Γn
R(λ,S−(V )) dλ, Γn :=
{
λ ∈ C
∣∣∣
∣∣∣∣λ−
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s
∣∣∣∣ =
(
n+
1
2
)s}
.
Введем обозначения
τn =
ν−n + ν+n
2
, γn := ν+n − ν−n , n > n0.
Тогда
TrS−(V )Pn = 2τn, det(S−(V )− τn)Pn = −
(
γn
2
)2
. (12)
Здесь через Tr обозначен след оператора, а через det — его детерминант.
Таким образом, задача сводится к нахождению приемлемых оценок для следа TrS−(V )Pn
и детерминанта det(S−(V )− τn)Pn. Это нетривиальная проблема. Для ее решения мы опе-
раторы (S−(V )− (n+ 1/2)2s(2π)2s)Pn и (S−(V )− τn)Pn представим через их спектральные
интегралы:
(S−(V )− (n+ 1/2)2s(2π)2s)Pn :=
1
2πi
∫
Γn
(
λ−
(
n+
1
2
)2s
(2π)2s
)
R(λ,S−(V )) dλ, (13)
(S−(V )− τn)Pn :=
1
2πi
∫
Γn
(λ− τn)R(λ,S−(V )) dλ. (14)
Ключевыми моментами при вычислении следа интеграла (13), а также детерминанта инте-
грала (14) являются представление резольвенты R(λ,S−(V )) в виде ряда Неймана (см. (5)):
R(λ,S−(V )) = R(λ,D2s
− ) + Uλ|λ− D
2s
− |−1/2
[
∞∑
l=1
(A(λ, V )Uλ)
l
]
|λ− D
2s
− |−1/2, (15)
оценки (позволяющие получить хорошие оценки для остатка ряда (15)):
∥∥∥
(
sup
λ∈Vertn
‖A(λ, V )‖
)
n∈N
∥∥∥
hs(1−α)
6 C(α, s)‖V ‖H−sα
+
,
а также матричные представления операторов (7)–(11). Используя их, мы можем записать
матричные представления спектральных интегралов (13) и (14), после чего можно непо-
средственно приступать к вычислению следа и детерминанта. При этом мы следуем той же
схеме, что и в случае полупериодических операторов, определенных в негативных соболев-
ских пространствах H−s
− , s ∈ N (см. [8]).
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
1. Михайлець В.А., Молибога В.М. Спектральнi задачi на класах перiодичних узагальнених функцiй. –
Київ, 2004. – 46 с. – (Препр. Iн-т математики НАН України; 2004.10).
2. Като Т. Теория возмущений линейных операторов: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1972. – 740 с.
3. Neiman-zade M., Shkalikov A. Strongly elliptic operators with singular coefficients // Rus. J. Math. Phys. –
2003. – 13, No 1. – P. 70–78.
4. Михайлец В.А., Молибога В.Н. Возмущение периодических и полупериодических операторов рас-
пределением Шварца // Доп. НАН України. – 2006. – № 7. – С. 26–31.
5. Mikhailets V., Molyboga V. Singularly perturbed periodic and semiperiodic differential operators // Укр.
мат. журн. – 2007. – 59, No 6. – P. 785–797.
6. Молибога В. Повнота системи кореневих векторiв деяких несамоспряжених операторiв // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 128–144.
7. Mikhailets V., Molyboga V. Spectral gaps of the one-dimensional Schrödinger operators with singular pe-
riodic potentials // Meth. Funct. Anal. Topol. – 2009. – 15, No 1. – P. 31–40.
8. Mikhailets V., Molyboga V. Uniform estimates for the semi-periodic eigenvalues of the singular differential
operators // Ibid. – 2004. – 10, No 4. – P. 30–57.
Поступило в редакцию 14.02.2011Институт математики НАН Украины, Киев
V.A. Mikhailets, V.M. Molyboga
On a spectrum of singular perturbations of the semiperiodic operators
We investigate properties of the operators (D2
−
)s ∔ V (x), s ∈ (1/2,∞), given in the complex
separable Hilbert space L2(0, 1), where D
2
−
= −d2/dx2 is a differential operator subject to semipe-
riodic boundary conditions, and the 1-periodic distribution V (x) is in the negative Sobolev space
H−sα
+ , α ∈ [0, 1]. We describe qualitative spectral properties of the operators and find polynomial
asymptotic formulae for their eigenvalues for s ∈ (1,∞) in a self-adjoint case and in a non-self-
adjoint one.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 43
|