Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании
Розглянуто задачу оцінювання вагових коефіцієнтів ознак, що використовуються в інтелектуальних системах підтримки прийняття рішень. На базі введених спеціальних мір відносної важливості ознак описано процедуру визначення значимості ознак, доведено її властивості і наведено ілюстративні приклади....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44372 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании / С.И. Колесникова // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 3. — С. 127-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-44372 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-443722013-06-01T03:03:37Z Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании Колесникова, С.И. Системный анализ Розглянуто задачу оцінювання вагових коефіцієнтів ознак, що використовуються в інтелектуальних системах підтримки прийняття рішень. На базі введених спеціальних мір відносної важливості ознак описано процедуру визначення значимості ознак, доведено її властивості і наведено ілюстративні приклади. The problem of estimation of weight coefficients of features used in intelligent decision-making support systems is considered. A procedure is proposed for estimating the significance of features that is based on introduced special relative feature importance measures. The properties of this procedure are proved and illustrative examples are given. 2009 Article Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании / С.И. Колесникова // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 3. — С. 127-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44372 519.7; 519.81 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Колесникова, С.И. Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто задачу оцінювання вагових коефіцієнтів ознак, що використовуються в інтелектуальних системах підтримки прийняття рішень. На базі введених спеціальних мір відносної важливості ознак описано процедуру визначення значимості ознак, доведено її властивості і наведено ілюстративні приклади. |
| format |
Article |
| author |
Колесникова, С.И. |
| author_facet |
Колесникова, С.И. |
| author_sort |
Колесникова, С.И. |
| title |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| title_short |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| title_full |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| title_fullStr |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| title_full_unstemmed |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| title_sort |
системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44372 |
| citation_txt |
Системный подход к оцениванию взаимного влияния признаков в тестовом распознавании / С.И. Колесникова // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 3. — С. 127-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kolesnikovasi sistemnyjpodhodkocenivaniûvzaimnogovliâniâpriznakovvtestovomraspoznavanii |
| first_indexed |
2025-07-04T02:47:53Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:47:53Z |
| _version_ |
1836682863159803904 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.7; 519.81
Ñ.È. ÊÎËÅÑÍÈÊÎÂÀ
ÑÈÑÒÅÌÍÛÉ ÏÎÄÕÎÄ Ê ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÞ ÂÇÀÈÌÍÎÃÎ ÂËÈßÍÈß
ÏÐÈÇÍÀÊÎÂ Â ÒÅÑÒÎÂÎÌ ÐÀÑÏÎÇÍÀÂÀÍÈÈ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåëëåêòóàëüíàÿ ñèñòåìà, òåñòîâîå ðàñïîçíàâàíèå, àíàëèç
äàííûõ è çíàíèé, ìóëüòèìíîæåñòâî, âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ïðèçíàêîâ, ìåòîä
àíàëèçà èåðàðõèé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îñíîâîé îäíîãî èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ ïîäõîäîâ ê ñîçäàíèþ èíòåëëåêòóàëü-
íûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ òåñòîâûå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ [1–3], èñïîëüçóþ-
ùèå äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé íàáîðû (òåñòû), ñîäåðæàùèå ìåíüøåå êîëè÷åñòâî
ïðèçíàêîâ è ñ áîëüøèì âåñîì, ãäå ïîä âåñîì òåñòà ïîíèìàåòñÿ ñóììà âåñîâûõ
êîýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ (ÂÊÏ) [1, 2].
Äëÿ âûÿâëåíèÿ îáùèõ ñâîéñòâ (ðàçëè÷èé), ïðèñóùèõ èçó÷àåìûì îáúåêòàì, ñó-
ùåñòâóåò ðÿä àëãîðèòìîâ àíàëèçà îáó÷àþùåé âûáîðêè, âêëþ÷àþùèõ ïîíÿòèå «çà-
êîíîìåðíîñòü». Ïîä çàêîíîìåðíîñòÿìè [3] áóäåì ïîíèìàòü ïîäìíîæåñòâà õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèõ ïðèçíàêîâ ñ îïðåäåëåííûìè ëåãêî èíòåðïðåòèðóåìûìè ñâîéñòâàìè,
âëèÿþùèìè íà ðàçëè÷èìîñòü îáúåêòîâ èç ðàçíûõ îáðàçîâ, óñòîé÷èâî íàáëþäàåìû-
ìè äëÿ îáúåêòîâ èç îáó÷àþùåé âûáîðêè è ïðîÿâëÿþùèìèñÿ íà äðóãèõ îáúåêòàõ
òîé æå ïðèðîäû, à òàêæå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû òàêèõ ïðèçíàêîâ, îòðàæàþùèå èõ
âêëàä â ðàçëè÷èìîñòü îáúåêòîâ.
Îäíèì èç ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ «âåñîâ» ñðàâíèâàåìûõ ïðèçíàêîâ (îáúåêòîâ,
àëüòåðíàòèâ) ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [4]. Îí ó÷èòûâàåò âêëàä ïðèçíàêîâ
â ðàñïîçíàþùóþ ñïîñîáíîñòü òåñòà ñ ó÷åòîì èõ âçàèìîçàâèñèìîñòè è áàçèðóåòñÿ
íà ïðåäñòàâëåíèè ñîâîêóïíîñòè âñåõ ðàçëè÷èìûõ ïàð îáúåêòîâ èç ðàçíûõ êëàññîâ
(îáðàçîâ) äëÿ êàæäîãî ïðèçíàêà â âèäå ìóëüòèìíîæåñòâà [5], à òàêæå ïðèìåíåíèè
ìåòîäà àíàëèçà èåðàðõèé (ÌÀÈ) [6], èñïîëüçóþùåãî ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ïðèçíàêîâ
íà îñíîâå ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáðàííûõ ìåð îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíà-
êîâ, ó÷èòûâàþùèõ èõ îñîáåííîñòè. Îäíàêî îòìå÷åííàÿ, íàïðèìåð, â [7, 8] íåãàòèâ-
íàÿ ñòîðîíà ÌÀÈ, ñâÿçàííàÿ ñ ýôôåêòîì åäèíè÷íîé íîðìèðîâêè è ïðèâîäÿùàÿ
ê òîìó, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ, âûÿâëåííûå íà âñåì ìíîæåñòâå ïðèçíàêîâ, ìîãóò íå ñî-
âïàäàòü ñ «÷àñòíûìè» ïðåäïî÷òåíèÿìè íà ïîäìíîæåñòâå ïðèçíàêîâ, ìîæåò ïðèâåñ-
òè ê íåòî÷íîñòè â ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñûâàåòñÿ ìàòðè÷íûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ è
çíàíèé, äàåòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, êðàòêî èçëàãàåòñÿ ìåòîä îöåíèâàíèÿ ÂÊÏ, îñíî-
âàííûé íà ôîðìàëèçìå ìóëüòèìíîæåñòâ è ÌÀÈ [4], äîêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà ïðîöå-
äóðû ñèñòåìíîãî ó÷åòà âçàèìîâëèÿíèÿ ïðèçíàêîâ (êîíñòðóêòèâíàÿ èäåÿ êîòîðîé
ïðèíàäëåæèò Þ.ß. Ñàìîõâàëîâó [7]) ïðèìåíèòåëüíî ê îöåíèâàíèþ èõ âåñîâûõ êî-
ýôôèöèåíòîâ, ïîçâîëÿþùàÿ îáîéòè ïðîòèâîðå÷èÿ ÌÀÈ, äàí èëëþñòðàòèâíûé ïðè-
ìåð ñðàâíèòåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ïðèâåäåííîé ïðîöåäóðû è ìåòîäà, ðàíåå èçëî-
æåííîãî â [4], ïðåäëàãàþòñÿ ïóòè äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ìåòîäà.
1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß È ÏÎÍßÒÈß
Èçëîæåíèå ìåòîäà è ìîäèôèöèðîâàííîé ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ ÂÊÏ îñíîâàíî
íà ìàòðè÷íîé ìîäåëè ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ è çíàíèé, âêëþ÷àþùåé ìàòðèöó
îïèñàíèé ( )Q îáúåêòîâ â ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïðèçíàêîâ è ìàòðèöó
ðàçëè÷åíèé (R) îáúåêòîâ â ïðîñòðàíñòâå êëàññèôèêàöèîííûõ ïðèçíàêîâ [3].
Ýëåìåíò qij ìàòðèöû Q çàäàåò çíà÷åíèå j-ãî ïðèçíàêà äëÿ i-ãî îáúåêòà. Åñëè çíà-
÷åíèå qij îòìå÷åíî ñèìâîëîì «�», òî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðèçíàê ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3 127
1Ðàáîòà ïîääåðæàíà ÐÔÔÈ (ïðîåêò ¹ 07-01-00452, ¹ 09-01-99014-ð_îôè).
© Ñ.È. Êîëåñíèêîâà, 2009
çíà÷åíèå èç ñîîòâåòñòâóþùåãî äîìåíà (íàïðèìåð, â ñëó÷àå k -çíà÷íûõ ïðèçíàêîâ —
ëþáûå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ èç çàäàííîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèé ïðèçíàêà).
Ýëåìåíò rij ìàòðèöû R çàäàåò ïðèíàäëåæíîñòü i-ãî îáúåêòà îäíîìó èç âûäåëåí-
íûõ êëàññîâ ïî j-ìó ìåõàíèçìó êëàññèôèêàöèè (êëàññèôèêàöèîííîìó àòðèáóòó).
Ìíîæåñòâî âñåõ íåïîâòîðÿþùèõñÿ ñòðîê ìàòðèöû R ñîïîñòàâëåíî ìíîæåñòâó âûäå-
ëåííûõ îáðàçîâ. Ýëåìåíòàìè îáðàçà ÿâëÿþòñÿ îáúåêòû, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû ñòðî-
êàìè ìàòðèöû Q, ñîïîñòàâëåííûìè îäèíàêîâûì ñòðîêàì ìàòðèöû R . Çàäà÷à ðàñïîç-
íàâàíèÿ ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïî ìàòðèöàì Q è R îáðàçà, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò çà-
äàííûé ñîâîêóïíîñòüþ ïðèçíàêîâ èññëåäóåìûé îáúåêò, êàê ïðàâèëî, íå âõîäÿùèé
â îáó÷àþùóþ âûáîðêó. Ïðè qij �{ , ,0 1 «�»} èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.
Ïðèçíàêè (àòðèáóòû) íàçîâåì çàâèñèìûìè, åñëè èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà ïàðà îáú-
åêòîâ èç ðàçíûõ îáðàçîâ, ðàçëè÷àåìàÿ ýòèìè àòðèáóòàìè. Ñîâîêóïíîñòü ïðèçíàêîâ,
ðàçëè÷àþùèõ âñå ïàðû îáúåêòîâ èç ðàçíûõ îáðàçîâ, íàçîâåì äèàãíîñòè÷åñêèì òåñ-
òîì (äàëåå ïðîñòî òåñò).
Ñòðîêè ìàòðèöû òåñòîâ T ñîîòâåòñòâóþò òåñòàì, à ñòîëáöû — ïðèçíàêàì Z,
êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû â îäíîì òåñòå.
Äâà îáúåêòà ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷èìûìè, åñëè õîòÿ áû îäèí ïðèçíàê â îïèñàíèè
îäíîãî èç íèõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 (0), à â îïèñàíèè äðóãîãî — èíâåðñíîå (0 (1)).
Ïîä âåñîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðèçíàêà (òåñòà) («âåñîì» ïðèçíàêà, òåñòà) ïîíè-
ìàåòñÿ ÷èñëîâàÿ îöåíêà åãî ðàçëè÷àþùåé ñïîñîáíîñòè [2, 3, 9].
Ìíîæåñòâî îáÿçàòåëüíûõ ïðèçíàêîâ (âõîäÿùèõ âî âñå áåçûçáûòî÷íûå èëè òó-
ïèêîâûå [1] òåñòû) íàçîâåì ÿäðîì âñåõ äèàãíîñòè÷åñêèõ òåñòîâ, ïîñêîëüêó èñêëþ-
÷åíèå ëþáîãî ïðèçíàêà èç ÿäðà íàðóøàåò ñâîéñòâî êàæäîãî èç òåñòîâ áûòü òåñòîì.
Ðåàêöèÿ ìàòðèöû îïèñàíèé íà òåñò åñòü ñîâîêóïíîñòü ñòðîê ìàòðèöû îïèñà-
íèé, â êîòîðûõ çíà÷åíèå ïðèçíàêîâ, âõîäÿùèõ â òåñò, ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèÿìè àíà-
ëîãè÷íûõ ïðèçíàêîâ èññëåäóåìîãî îáúåêòà. Ïðèìåðû ìàòðèö îïèñàíèé Q, ðàçëè÷å-
íèé R è òåñòîâ T ïðèâåäåíû íèæå (äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ìàòðèöà ðàçëè÷åíèé R
ïðåäñòàâëåíà îäíèì ñòîëáöîì):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
Q �
1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1
�
� 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; ;R
1
2
2
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
T �
0
0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
.
2. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü ïî ìàòðèöàì Q è R ïîñòðîåíû âñå ìèíèìàëüíûå è âñå (÷àñòü) áåçûçáû-
òî÷íûå (òóïèêîâûå) äèàãíîñòè÷åñêèå òåñòû, ïðåäñòàâëåííûå ìàòðèöåé òåñòîâ T ,
ñòðîêè êîòîðîé ñîïîñòàâëåíû òåñòàì, à ñòîëáöû — õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïðèçíà-
êàì, è îïðåäåëåíî ÷èñëî ðàçëè÷àþùèõ ïàð «îáúåêò–îáúåêò» ïî êàæäîìó õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîìó ïðèçíàêó. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âåñîâûå êîýôôèöèåíòû õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèõ ïðèçíàêîâ, âõîäÿùèõ â îáúåäèíåíèå âñåõ (÷àñòè) äèàãíîñòè÷åñêèõ
òåñòîâ [3] áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ.
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3
3. ÑÈÑÒÅÌÍÛÉ Ó×ÅÒ ÂÇÀÈÌÍÎÃÎ ÂËÈßÍÈß ÏÐÈÇÍÀÊÎÂ
3.1. Ìåòîä îïðåäåëåíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ, îñíîâàííûé íà
ôîðìàëèçìå ìóëüòèìíîæåñòâ è ìåòîäå àíàëèçà èåðàðõèé. Êðàòêî èçëîæèì
îñîáåííîñòè ðàíåå ïîëó÷åííîãî ìåòîäà (ïîäðîáíî îïèñàííîãî â [4]), èëëþñòðà-
öèÿ ê êîòîðîìó ïðèâåäåíà â Ïðèëîæåíèè.
Ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèçíàêó zi i-é ñòîëáåö ìàòðèöû Q ïîðîæäàåò ñîâîêóï-
íîñòü Pi ðàçëè÷èìûõ ýòèì ïðèçíàêîì ïàð îáúåêòîâ èç ðàçíûõ îáðàçîâ (ñì. ïðèìåð
èç Ïðèëîæåíèÿ). Òàêèì îáðàçîì ïðåäñòàâëåííûå ïðèçíàêè ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè
Pi ñ ïîâòîðÿþùèìèñÿ ýëåìåíòàìè (ìóëüòèìíîæåñòâàìè) [4, 5].
Ìåòîä ñîñòîèò èç òðåõ ýòàïîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôîðìèðóåòñÿ ìàòðèöà
ïàðíûõ ñðàâíåíèé (ÌÏÑ) A aij g g� �|| || ïðèçíàêîâ ( , , , )z z zg1 2 � , îáðàçóþùèõ
òåñò � (äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òåñò � � ( , , , )z z zg1 2 � îáðàçî-
âàí ñîâîêóïíîñòüþ ïåðâûõ g ïðèçíàêîâ èç M èñõîäíûõ) íà îñíîâå îïðåäåëåííîé
ìåðû îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíàêà i íàä ïðèçíàêîì j, â êà÷åñòâå êîòîðîé ïî-
ýòàïíî âûáèðàþòñÿ âåëè÷èíû (âåðõíèé èíäåêñ ýëåìåíòà ÌÏÑ aij
s îáîçíà÷àåò íîìåð
ýòàïà, s �{ , , }1 2 3 ):
a
P
P
a
P P
P P
a
P
ij
i
j
ij
i j
j i
ij
i1 2 3� �
�
�
�
| |
| |
;
( | | )
( | | )
;
( /�
�
� �
�
P
P P
j
j i
/)
( / /)�
. (1)
Çäåñü | |Pi , / /Pi — ìîùíîñòü (îáùåå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñ-
òè) è ðàçìåðíîñòü i-ãî ìóëüòèìíîæåñòâà (êîëè÷åñòâî óíèêàëüíûõ ýëåìåíòîâ), ñî-
ïîñòàâëåííîãî ïðèçíàêó zi ñîîòâåòñòâåííî, P Pi j� — ðàçíîñòü ìóëüòèìíîæåñòâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèçíàêàì zi è z j , ãäå ôóíêöèÿ �( )x x� , åñëè x
0, è �( )x � 1
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îñîáåííîñòüþ ââåäåííûõ â [4] ìåð îòíîñèòåëüíîé âàæíîñ-
òè (1) ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñèñòåìíî ó÷åñòü íå òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà ñðàâíè-
âàåìûõ ïðèçíàêîâ (ñòåïåíü ñõîäñòâà èëè ðàçëè÷èÿ), íî, ÷òî îñîáåííî âàæíî,
è èõ óíèêàëüíûå ñâîéñòâà (ñòåïåíü ïðèîðèòåòíîñòè îäíîãî ïðèçíàêà íàä
äðóãèìè).
Íà s-ì ýòàïå ïî äàííîìó ìåòîäó âû÷èñëÿåòñÿ g — êîìïîíåíòíûé âåêòîð çíà-
÷åíèé âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ W w w ws
s s
g
s� ( , , , )
1 2
� , ñîâïàäàþùèé ñî
çíà÷åíèåì íîðìàëèçîâàííîé îöåíêè (êàê ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå ýëåìåíòîâ ñòðî-
êè) ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ÌÏÑ. Âåêòîð W W W W� ( ) /
1 2 3
1 3 ïðåäëàãàåòñÿ
ïðèíÿòü çà îáîáùåííûå çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ (ãëîáàëüíûå
ïðèîðèòåòû), âõîäÿùèõ â òåñò.
Ïðèâåäåì ïðèìåð èç ðàáîòû [2], ñâÿçàííûé ñ öåëåñîîáðàçíîñòüþ èçìåíåíèÿ
ñîñòàâà òåñòîâîãî íàáîðà (óäàëåíèå ïðèçíàêà).
Ïðèìåð 1. Ïóñòü ìàòðèöà Q ñîäåðæèò îïèñàíèå øåñòè îáúåêòîâ, â ìàòðèöå R
óêàçûâàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâèå íîìåðîâ îáúåêòîâ è êëàññîâ, êîòîðûì îáúåêòû ïðè-
íàäëåæàò:
z z z z
Q
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
0 1 1 0
1 2 0 1
0 1 0 1
1 2 1 0
1 1 0 1
1 1 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; .R
1
2
3
4
5
6
1
1
1
2
2
2
Äëÿ äàííîãî ïðèìåðà ôðàãìåíòà òåñòà � � { , }z z1 2 , ðàçëè÷àþùåãî îáúåêòû
äâóõ êëàññîâ, òóïèêîâûìè òåñòàìè ÿâëÿþòñÿ íàáîðû ïðèçíàêîâ [2]
�1 1 2 3� { , , }z z z , �2 1 2 4� { , , }z z z è �3 2 3 4� { , , }z z z . Åñëè èñïîëüçîâàòü òåñòî-
âûé àëãîðèòì, òî îáúåêò S � ( , , , )0 1 2 1 íå áóäåò îòíåñåí íè ê îäíîìó èç êëàññîâ,
îäíàêî ôðàãìåíò (0, 1), ïîðîæäàåìûé íàáîðîì � � { , }z z1 2 , ñîäåðæèòñÿ â S è ñîîò-
âåòñòâóþùèõ îáúåêòàõ èç ïåðâîãî êëàññà è íå ñîäåðæèòñÿ â îáúåêòàõ èç âòîðîãî
êëàññà, ÷òî äàåò îñíîâàíèå ïîëàãàòü, ÷òî ðàñïîçíàâàåìûé îáúåêò áîëåå áëèçîê
ê ïåðâîìó êëàññó.
Ïðåæäå ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ðåçóëüòàò, â êîòîðîì âûÿñíÿþòñÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3 129
óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ áèíàðíîå îòíîøåíèå (ïðåäïî÷òåíèÿ) z zi j� ( )z zi j� ñî-
õðàíÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå �2 , íàïîìíèì òðåáîâàíèÿ ê ìàòðèöå îòíîñèòåëüíûõ âå-
ñîâ [6] A aij n n� �|| || , a
w
w
ij
i
j
� , ãäå wi , w j — êîìïîíåíòû âåñîâîãî âåêòîðà
W T� ( , , , } ,w w wn1 2 � n — êîëè÷åñòâî ñðàâíèâàåìûõ ïðèçíàêîâ:
1) aij � 0; i j n, ,� 1 ;
2) a aij ji� �1 ; i j n, ,� 1 ; (2)
3) a a aij ik kj� , i j n, ,� 1 ;
4) ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A , è äëÿ
íåêîòîðîãî åäèíñòâåííîãî (íîðìèðîâàííîãî) âåêòîð-ñòîëáöà W T� ( , , , }w w wn1 2 �
ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî A nW W� .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ ÌÏÑ � � � � � �A aij g g|| ||( ) ( )1 1 ( / )� � � �a w wij i j è A aij g g� �|| ||
( / )a w wij i j� ïðèçíàêîâ ìíîæåñòâ �1 1 2 1� �{ , , , }z z zg� è �2 1 2 1� �{ , , , , }z z z zg g�
ñîîòâåòñòâåííî âûïîëíåíû ñâîéñòâà 1–4, âûðàæåííûå ôîðìóëîé (2). Òîãäà ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé
� �a aij ij , i j g, � , (3)
( ) (( ) )� � � �a aij
g
ij
g1 1 (4)
áèíàðíûå îòíîøåíèÿ (ïðåäïî÷òåíèÿ) z zi j� ( )z zi j� , zi , z j � �� �1 2 , i j
,
èíäóöèðîâàííûå íà ìíîæåñòâàõ �1 è �2 ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ ñòàíäàðòíîé
ïðîöåäóðû ìåòîäà àíàëèçà èåðàðõèé, ñîâïàäàþò.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïðèâåäåíî â Ïðèëîæåíèè.
Ñëåäñòâèå. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ
ÂÊÏ äâóõ ìíîæåñòâ — �1 è �2 :
w w ai i
g g
ig
g� � �( ) ( )( )/ /1 1 . (5)
Çàìå÷àíèå. Óñëîâèå (3), âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì (ñì. ïðèìåðû
èç ðàáîòû [7]), îäíàêî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ «ãðóïïîâîé ýô-
ôåêò» è «÷åëîâå÷åñêèé ôàêòîð» ïðè ýêñïåðòíîì îöåíèâàíèè ïðèçíàêîâ (àëüòåðíà-
òèâ), ïðèâîäÿùèé, íàïðèìåð, ê íàðóøåíèþ ñâîéñòâà 3 ôîðìóëû (2), êîòîðîå,
â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò ê íåêîððåêòíîìó èñïîëüçîâàíèþ ÌÀÈ, òàê êàê ñîáñòâåí-
íûé âåêòîð òàêîé (íåñîâìåñòíîé) ÌÏÑ ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííî-
ìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå ñòðîãî áîëüøå n, à íå ðàâíî n (ñì. ñâîéñòâî 4).
3.2. Ïðîöåäóðà ñèñòåìíîãî ó÷åòà âçàèìîâëèÿíèÿ ïðèçíàêîâ ïðè îöåíèâà-
íèè èõ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ. Êðàòêî èçëîæèì ïðîöåäóðó, ïðåäëîæåííóþ
â [7], ïî øàãàì ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å îöåíèâàíèÿ ÂÊÏ â òåñòîâîì ðàñïîçíàâàíèè
è äîêàæåì åå îñíîâíîå ñâîéñòâî.
1. Ïîñòðîèì ÌÏÑ íà êàæäîì èç � ýòàïîâ (ïî ÷èñëó � ìåð îòíîñèòåëüíîé âàæíîñ-
òè îäíîãî ïðèçíàêà íàä äðóãèì). Ðåçóëüòàòîì êàæäîãî s-ãî ýòàïà ( { , , , })s � 1 2 � � ÿâëÿ-
åòñÿ g -êîìïîíåíòíûé âåêòîð íîðìàëèçîâàííûõ çíà÷åíèé âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ
ïðèçíàêîâ — W w w ws
s s
g
s� ( , , )
1 2
� . Ââåäåì âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ìåð îòíîñèòåëü-
íîé âàæíîñòè îäíîãî ïðèçíàêà íàä äðóãèì, îáîçíà÷åííûå cs, s �{ , , , }1 2 � � ,
s
sc
�
� �
1
1
�
.
2. Ôîðìèðóåì âåêòîðû ëîêàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ ÂÊÏ ïî êàæäîé ïàðå ïðè-
çíàêîâ zi , z j : w
w
w w
w
w w
ij
s i
s
i
s
j
s
j
s
i
s
j
s
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, , s �{ , , , }1 2 � � , i j g, { , , , }� 1 2 � .
3. Ôîðìèðóåì âñåâîçìîæíûå âåêòîðû ( , )w wij
i
ij
j ëîêàëüíûõ îòíîñèòåëüíûõ
ÂÊÏ zi , z j îòíîñèòåëüíî âñåé ñîâîêóïíîñòè ìåð îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíà-
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3
êîâ, êîìïîíåíòû êîòîðûõ íàõîäèì ïî ôîðìóëàì: w c
w
w w
ij
i
s
s
i
s
i
s
j
s
�
��
�
1
�
,
w c
w
w w
ij
j
s
s
j
s
i
s
j
s
�
��
�
1
�
è îôîðìëÿåì â âèäå ìàòðèöû W w w wij ij
i
ij
j� �|| || || ( , )|| .
4. Èòîãîâûå çíà÷åíèÿ ÂÊÏ ñ÷èòàåì ïî îäíîé èç ôîðìóë [6]: V w
i
j
g
ij
i( )1
1
�
�
� èëè
V w
i ij
i
j
g
g
( )
/
,2
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� i g�{ , , , }1 2 � .
Ñâîéñòâî äàííîé ïðîöåäóðû ñôîðìóëèðîâàíî è äîêàçàíî â ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâà (íàáîðû, òåñòû) ïðèçíàêîâ �1 è �2 ,
� �1 2� . Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ (ïðåäïî÷òåíèÿ) z zi j� ( )z zi j� , zi ,
z j � �� �1 2 , i j
, èíäóöèðîâàííûå ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ ñòàíäàðòíîé ïðîöå-
äóðû ìåòîäà àíàëèçà èåðàðõèé íà ìíîæåñòâå �1 è ïðîöåäóðû ñèñòåìíîãî ó÷åòà âçà-
èìîâëèÿíèÿ ïðèçíàêîâ íà ìíîæåñòâå �2 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3), ñîâïàäàþò.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 âûíåñåíî â Ïðèëîæåíèå.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2 ñóùåñòâåííî îïèðàþòñÿ
íà ñâîéñòâà ÌÏÑ (2), â ÷àñòíîñòè íà ñâîéñòâà 2 è 3, ò.å. ýòè óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó
îíè ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè ïðèìåíåíèÿ ÌÀÈ) ñ÷èòàþòñÿ ïî óìîë÷àíèþ âûïîë-
íåííûìè. Îäíàêî, êàê áûëî çàìå÷åíî, ïðè îòíîñèòåëüíîì îöåíèâàíèè ïðèçíà-
êîâ ïðè ôîðìèðîâàíèè ÌÏÑ ýòè ñâîéñòâà ÷àñòî íàðóøåíû. Âûÿñíèì ïðàêòè÷åñ-
êè âàæíûå ïðåäïîñûëêè äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 3 ôîðìóëû (2) íà ìíîæåñòâå
ïðèçíàêîâ �2 1 2 1� �{ , , , , }z z z zg g� , åñëè îíè âûïîëíåíû äëÿ ìíîæåñòâà
�� � �{ , , , }z z zg1 2 1� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ ÌÏÑ � � � � � �A aij g g|| ||( ) ( )1 1 âûïîëíåíû ñâîéñòâà 1–4, âûðà-
æåííûå ôîðìóëîé (2). Òîãäà è äëÿ ìàòðèöû A aij g g� �|| || , ïîñòðîåííîé â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ ôîðìóëàìè (3) è a a aig gj ij
� , i j g, { , , , }� �1 2 1� , ñâîéñòâà 1–4 âûïîëíÿþòñÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 âûíåñåíî â Ïðèëîæåíèå.
Ïðèìåð 2. Ïóñòü çàäàíû ìàòðèöû
Q R Ò, , , ïðèâåäåííûå â ðàçä. 1. Íîðìàëè-
çîâàííûå çíà÷åíèÿ ÂÊÏ òåñòà
� � ( , , )z z z5 9 11 ïî ìåòîäó èç [4] è ïî èç-
ëîæåííîé âûøå ïðîöåäóðå ïðåäñòàâëåíû
â òàáë. 1.
Ñòðîêè 1–3 òàáëèöû ñîäåðæàò çíà-
÷åíèÿ ÂÊÏ, ïîëó÷åííûõ íà êàæäîì ýòàïå
ïî ìåòîäó, îñíîâàííîìó íà ìóëüòèìíî-
æåñòâàõ, è ïðåäñòàâëÿþùèõ ñàìîñòîÿòåëü-
íûé èíòåðåñ. Ñòðîêà 4 ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ
ÂÊÏ, ïîëó÷åííûõ êàê ñðåäíåå ãåîìåòðè-
÷åñêîå W çíà÷åíèé ÂÊÏ, ïîëó÷åííûõ íà
òðåõ ýòàïàõ (ðàçëè÷àþùèõñÿ ìåðàìè îòíî-
ñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíàêîâ). Ñòðîêà 5
ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ ÂÊÏ, ïîëó÷åííûõ êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîåV1 (èëè ñðåäíåå ãå-
îìåòðè÷åñêîå V2 ) çíà÷åíèé ÂÊÏ ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷åííûõ ïî ìîäèôèöèðîâàí-
íîé ïðîöåäóðå ÌÀÈ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðèîðèòåòû ïðèçíàêîâ, ïîëó÷åííûõ ïî ìåòîäó, ïðåäëîæåííîìó
â ðàáîòå [4], è ïî ïðèâåäåííîé â äàííîé ñòàòüå ïðîöåäóðå ñ ðàâíîâåñíûìè ìåðàìè
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíàêîâ, íå ñîâïàäàþò òîëüêî äëÿ 3-ãî ýòàïà ìåòîäà
èç [4], êîòîðûé íå ó÷èòûâàåò âçàèìîñâÿçåé ïðèçíàêîâ (ðàññìàòðèâàåò ïðèçíàêè êàê
íåçàâèñèìûå).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3 131
Ò à á ë è ö à 1 . Çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êî-
ýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ z z z5 9 11, ,
Âåñîâûå
êîýôôèöèåíòû
Ïðèçíàêè
z5
z9 z11
W1 0,326 0,349 0,326
W 2 0,316 0,375 0,308
W 3 0,385 0,308 0,308
W 0,341 0,343 0,314
V 1 0,338 0,339 0,324
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äëÿ ïðîöåäóðû (ìîäèôèêàöèè ÌÀÈ), ïðåäëîæåííîé â [7], äîêàçàíû ñâîéñòâà
â âèäå òðåõ òåîðåì è îáîñíîâàíî ïðèìåíåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà îïðå-
äåëåíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ( , , , )V V Vg1 2 � ïðèçíàêîâ ( , , , )z z zg1 2 � íà îñ-
íîâå èõ âçàèìíîãî âëèÿíèÿ íà ìíîæåñòâå ïðèçíàêîâ òåñòà, ðàññìàòðèâàåìûõ ñî-
âîêóïíî ïî âñåì âûáðàííûì ìåðàì îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ïðèçíàêîâ (ïðè
ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ).
Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå, ïî-âèäèìîìó, äîëæíî áûòü ñâÿçàíî ñ âûÿñíåíèåì óñëî-
âèé, íàëàãàåìûõ íà èñõîäíûå äàííûå è çíàíèÿ (ìàòðèöû Q R Ò, , ), ïîçâîëÿþùèå êîð-
ðåêòíîå ïðèìåíåíèå ëèíåéíîé ñâåðòêèV wi
j
g
ij
i�
�
�
1
(øàã 4 ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà),
òàê êàê åå ïðèìåíåíèå äîïóñòèìî ëèøü ïðè îïðåäåëåííûõ, äîâîëüíî îãðàíè÷èòåëü-
íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, èçëîæåííûõ, íàïðèìåð, â ðàáîòå [10].
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
ÈËËÞÑÒÐÀÖÈß ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÔÎÐÌÀËÈÇÌÀ ÌÓËÜÒÈÌÍÎÆÅÑÒÂ
Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçìà ìóëüòèìíîæåñòâ ïðè ïîëó÷åíèè
ÂÊÏ ïî ìåòîäó èç [4]. Ìóëüòèìíîæåñòâà, ïîðîæäåííûå ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðè-
çíàêàìè, èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
P5 � {4�(1-2), 1�(1-3), 2�(1-4), 8�(2-5), 4�(2-6), 2�(3-5), 1�(3-6), 4�(4-5), 2�(4-6)},
P9 � {4�(1-2), 1�(1-6), 4�(2-3), 8�(2-4), 8�(2-5), 1�(3-6), 2�(4-6), 2�(5-6)},
P11 � {2�(1-4), 2�(1-5), 8�(2-4), 8�(2-5), 2�(3-4), 2�(3-5), 2�(4-6), 2�(5-6)}.
Çàïèñü 8�(2-5) îçíà÷àåò, ÷òî ýëå-
ìåíò âèäà (2-5) â ìóëüòèìíîæåñòâî
P5 âõîäèò âîñåìü ðàç. Ìîùíîñòè
ìóëüòèìíîæåñòâ ðàâíû: | |P5 28� ,
| |P9 30� , | |P11 28� . Íà ïåðâîì ýòàïå
ñîñòàâëÿåì ÌÏÑ ïðèçíàêîâ íà îñíî-
âå ìåðû îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè (1)
a
P
P
ij
i
j
1 �
| |
| |
(òàáë. 2).
Íà âòîðîì ýòàïå âû÷èñëÿåì ðàç-
íîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìóëüòèìíîæåñòâ è çíà÷åíèÿ èõ ìîùíîñòåé:
P P5 9� � {1�(1-3), 2�(1-4), 4�(2-6), 2�(3-5), 4�(4-5)},
P P9 5� � {1�(1-6), 4�(2-3), 8�(2-4), 2�(5-6)},
P P5 11� � {4�(1-2), 1�(1-3), 4�(2-6), 1�(3-6), 4�(4-5)},
P P11 5� � {2�(1-5), 8�(2-4), 2�(3-4), 2�(5-6)},
P P9 11� � {4�(1-2), 1�(1-6), 4�(2-3), 1�(3-6)},
P P11 9� � {2�(1-4), 2�(1-5), 2�(3-4), 2�(3-5)}.
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûå âåëè÷èíû ðàâíû: | |P P5 9 13� � , | |P P9 5 15� � ,
| |P P5 11 14� � , | |P P11 5 14� � , | |P P9 11 10� � , | |P P11 9
8� � . Ñîñòàâëÿåì ÌÏÑ íà
îñíîâå ìåðû îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè (1) a
P P
P P
ij
i j
j i
2 �
�
�
�
�
( | | )
( | | )
(òàáë. 3).
Íà òðåòüåì ýòàïå âû÷èñëÿåì ðàçìåðíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìóëüòèìíîæåñòâ
è çíà÷åíèÿ èõ ìîùíîñòåé: / /P P5 9 5� � , / /P P9 5 5� � , / /P P5 11 5� � , / /P P11 5 4� � ,
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 2 . Çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ íà ýòàïå 1
Ïðèçíàêè z5 z9 z11 W1
z5 1 28/30 1 0,326
z9 30/28 1 30/28 0,349
z11 1 28/30 1 0,326
/ /P P9 11 4� � , / /P P11 9 4� � . Ñîñòàâëÿåì ÌÏÑ ïðèçíàêîâ íà îñíîâå ìåðû îòíîñè-
òåëüíîé âàæíîñòè (1) a
P P
P P
ij
i j
j i
3 �
�
�
�
�
(/ / )
(/ / )
(òàáë. 4).
Íàéäåì îáîáùåííûå çíà÷åíèÿ ÂÊÏ, âõîäÿùèõ â òåñò, êàê ñðåäíåå ãåîìåòðè-
÷åñêîå âåëè÷èí, íàéäåííûõ íà ýòàïàõ 1–3 (òàáë. 5).
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ 1
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ îòíîøåíèÿ z zi j� íà ìíîæåñòâå �2 äîëæíî âû-
ïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî w wi j� , è, ïîñêîëüêó àâòîð ÌÀÈ [6] íå âîçðàæàåò ïðî-
òèâ ïðèìåíåíèÿ â êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ÌÏÑ òàêîãî âåê-
òîðà, êîìïîíåíòû êîòîðîãî âû÷èñëÿþòñÿ êàê ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå ïî ýëåìåí-
òàì ñòðîê, à çàòåì íîðìàëèçóþòñÿ, ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ
a ail
l
g
jl
l
g
� �
� ��
1 1
. (Ï1)
Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (3) a a ail
l
g
il
l
g
ig
� �
�
� �� �
1 1
1
, a a ajl
l
g
jl
l
g
jg
� �
�
� �� �
1 1
1
, i j g, � ,
òîãäà íåðàâåíñòâî (Ï1) ïðèìåò âèä � � �� �D a D ai g ig j g jg, ,1 1 , i j g, � , ãäå
� � ��
�
�
�D at g tl
l
g
, 1
1
1
, t i j�{ , }. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè îòíîøåíèÿ (5)
äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâî îòíîøåíèå
a
a
D
D
ig
jg
j g
i g
�
�
�
�
�
,
,
1
1
, i j g, � . Ïðåîáðàçóåì âûðà-
æåíèå ñëåâà îò íåðàâåíñòâà, îñóùåñòâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå çàìåíû, ïðèìåíÿÿ ñâîéñò-
âà 2 è 3 èç ôîðìóëû (2):
a
a
a a
a
a a
ig
jg
ij jg
jg
ij ij� � � � ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
D
D
a
a
a
a
j g
i g
jl
l
g
il
l
g
jl
ill
g
,
,
1
1
1
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�� � ��
� �
�
�
�
� �
1
1
1
1
1
11a a
a a
a
ji il
ill
g
ijl
g
ij
g( ) .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè îòíîøåíèÿ (Ï1) íåîáõîäèìî äîëæíî âû-
ïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî � � � �a aij ij
g( ) ,1 i j g, � , èëè ( )� �aij
g 1, i j g, � ÷òî, î÷åâèäíî,
áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3 133
Ò à á ë è ö à 3 . Çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êî-
ýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ íà ýòàïå 2
Ïðèçíàêè z5 z9 z11 W2
z5 1 13/15 14/14 0,316
z9 15/13 1 5/4 0,375
z11 14/14 4/5 1 0,308
Ò à á ë è ö à 4 . Çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êî-
ýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ íà ýòàïå 3
Ïðèçíàêè z5 z9 z11 W3
6
z5 1 5/4 5/4 0,385
z9 4/5 1 1 0,308
z11 4/5 1 1 0,308
Ò à á ë è ö à 5 . Îáîáùåííûå çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèçíàêîâ
Ïðèçíàêè
Âåñîâûå êîýôôèöèåíòû
W1 W2 W3 W
z5 0,326 0,316 0,385 0,341
z9 0,349 0,375 0,308 0,343
z11 0,326 0,308 0,308 0,314
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè z zi j� äëÿ z zi j, ��1, ò.å. � � �w wi j , îòêóäà ñëåäó-
åò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4) (â ñèëó (5)) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
w
w
i
j
� 1,
ò.å. w wi j� , è z zi j� äëÿ z zi j, ��2 .
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ 2
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåõíîëîãèåé ÌÀÈ ïðè íàëè÷èè � ìåð îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
ñôîðìèðóåì ÌÏÑ — �A As s, (s �{ , , , }1 2 � � ) íà ìíîæåñòâàõ ïðèçíàêîâ �1 �
� �{ , , , }z z zg1 2 1� , �2 1 2 1� �{ , , , , }z z z zg g� , � �1 2� ñîîòâåòñòâåííî. Ñîáñò-
âåííûå âåêòîðû ÌÏÑ �A As s, îáîçíà÷èì � � � � �
�
W w w ws s s
g
s( , , , )
1 2 1
�
T è W s �
� ( , , , ) .w w ws s
g
s
1 2
�
T
Ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ ÌÀÈ íà ìíîæåñòâå ïðèçíàêîâ �1 1 2 1� �{ , , , }z z zg�
ÿâëÿþòñÿ ÂÊÏ, îïðåäåëÿþùèåñÿ ïî ôîðìóëå � � �
�
�w c wi s i
s
s 1
�
, i g� �{ , , , }1 2 1� .
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû 2 íà ìíîæåñòâå �1 çàäàíî îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ
z zi j� , ò.å. w wi j� . Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ( z zi j� ) ñîõðà-
íèòñÿ íà ìíîæåñòâå �2 â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ïðîöåäóðû ãðóïïîâîãî ó÷åòà ïðè-
çíàêîâ ïðè îöåíèâàíèè èõ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, ò.å. äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðà-
âåíñòâî w wi j� .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîöåäóðîé âåñîâûå êîýôôèöèåíòû wi , w j ïðèçíàêîâ zi , z j
ðàâíû w w c
w
w w
i il
i
l
g
l
g
s
s
i
s
i
s
l
s
� �
�� � �
� � �
1 1 1
�
, w w c
w
w w
j jl
j
l
g
l
g
s
s
j
s
j
s
l
s
� �
�� � �
� � �
1 1 1
�
. Ðàññìîòðèì
ðàçíîñòü: w w c
w
w w
w
w w
i j
l
g
s
s
i
s
i
s
l
s
j
s
j
s
l
s
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
1 1
�
.
Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà 2 è 3 ÌÏÑ ôîðìóëû (2), çàìåòèì, ÷òî
w
w w w w
i
s
i
s
l
s
l
s
i
s�
�
�
�
1
1 /
�
�
1
1 a
li
s
, è, ïðîâåäÿ ñåðèþ ïðåîáðàçîâàíèé ñ ïðèìåíåíèåì ñâîéñòâ 2 è 3 ôîðìóëû (2)
è óñëîâèÿ òåîðåìû, ïîëó÷èì
w w
w
w w
w
w w a
i j
l
g
i
s
i
s
l
s
j
s
j
s
l
s
l
g
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
1 1
1
1
li
s
lj
s
l
g
lj
s
li
s
li
s
lj
a
a a
a a
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
� ��
�
1
1 1 11 ( )( s )
�
�
�
� �
� �
� �
� �
l
g
li
s
ij
s
li
s
lj
s ij
s
l
ga a
a a
a
1 1
1
1 1
1
1( )
( )( )
( )
(1 1
1
1
1 11� �
� � �
� ��
�
a a
a
a a
il
s
lj
s ij
s
l
g
il
s
lj
s)( )
( )
( )( )
.
Ñïðàâåäëèâîñòü ÷åòâåðòîãî è ïÿòîãî ðàâåíñòâ ñëåäóåò èç ñâîéñòâà ÌÏÑ:
a a a
lj
s
li
s
ij
s� , a a
lj
s
il
s� 1/ , ñïðàâåäëèâîñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà — èç ôàêòà � �a aij
s
ij
s
äëÿ i j g, � . Çíàê ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âûðàæåíèÿ � �aij
s 1. Íî
â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 2 � �
�
�
�a
w
w
ij
s i
s
j
s
1 ïðè s � 1, ñëåäîâàòåëüíî, w wi j� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
l
g
i
i l
j
j l
w
w w
w
w w1
1
1 1
1
1 1
0.
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3
Äàëåå ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî óòâåðæäåíèÿ ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî
èíäóêöèè.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ 3
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåõíîëîãèåé ÌÀÈ ñîáñòâåííûå âåêòîðû ÌÏÑ �A , A îáîçíà-
÷èì � � � � � �W w w wg( , , , )1 2 1�
T è W w w wg� ( , , , )1 2 �
T ñîîòâåòñòâåííî. Ñïðàâåä-
ëèâîñòü ñâîéñòâ 1 è 2 ôîðìóëû (2) ÌÏÑ A aij g g� �|| || ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåí-
íî èç óñëîâèÿ (3). Äîêàæåì ñâîéñòâî 3, èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå òåîðåìû 1,
à èìåííî ôîðìóëó (5).
Îáîçíà÷èì îòíîøåíèå � ij
i
j
w
w
� , i j g, { , , , }� 1 2 � , è ïîêàæåì, ÷òî â óñëîâè-
ÿõ (3) òåîðåìû 1 � ij ija� , i j g, { , , , }� 1 2 � . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì � ij
i
j
w
w
� , i j, �
� �{ , , , }1 2 1� g :
� ij
i
j
i
g g
ig
g
j
g g
jg
g
w
w
w a
w a
� �
�
�
�
�
�
( ) ( )
( ) ( )
( )/ /
( )/ /
1 1
1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�w
w
a
a
ai
j
g g
ig
jg
g
ij
g
( )/ /
( )( )
1 1
1 / /( )g
ig gj
ga a 1 .
Åñëè (ïî óñëîâèþ òåîðåìû) a a aig gj ij� , òî
� ij ij
g g
ig gj
g
ij
g g
ij
ga a a a a� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )( )/ / ( )/ /1 1 1 1 � ��( ) ( )( )/ /a a aij
g g
ij
g
ij
1 1 .
Ñâîéñòâî 3 äîêàçàíî.
Ñïðàâåäëèâîñòü ñâîéñòâà 4 óñòàíàâëèâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíîãî âèäà
ÌÏÑ A . Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ íåå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå [6]
det ( ) det
( )
( )
( )
A E� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
1 1 1
1 1 1
�
�
� � � �
�
� � � ��( ) ( )1 01g g g� � ,
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà À èìååò òîëüêî äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ,
ïðè ýòîì çíà÷åíèå g ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Æ ó ð à â ë å â Þ . È . , Ã ó ð å â è ÷ È . Á . Ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ è àíàëèç èçîáðàæåíèé // Èñêóññò-
âåííûé èíòåëëåêò.  3-õ êí. Êí. 2. Ìîäåëè è ìåòîäû: Ñïðàâî÷íèê / Ïîä ðåä. Ä.À. Ïîñïåëîâà. — Ì.:
Ðàäèî è ñâÿçü, 1990. — Ñ. 149–190.
2. Ä þ ê î â à Å . Â . , Ï å ñ ê î â Í . Â . Ïîñòðîåíèå ðàñïîçíàþùèõ ïðîöåäóð íà áàçå ýëåìåíòàðíûõ
êëàññèôèêàòîðîâ (www.ccas.ru/frc/papers/djukova05construction.pdf).
3. ß í ê î â ñ ê à ÿ À . Å . Ëîãè÷åñêèå òåñòû è ñðåäñòâà êîãíèòèâíîé ãðàôèêè â èíòåëëåêòóàëüíîé ñèñòå-
ìå // Íîâûå èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè â èññëåäîâàíèè äèñêðåòíûõ ñòðóêòóð: Äîêë. 3-é Âñåðîñ.
êîíô. ñ ìåæäóíàð. ó÷àñòèåì. — Òîìñê: Èçä-âî ÑÎ ÐÀÍ, 2000. — Ñ. 163–168.
4. ß í ê î â ñ ê à ÿ À . Å . , Ê î ë å ñ í è ê î â à Ñ . È . Ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèç-
íàêîâ â èíòåëëåêòóàëüíûõ ñèñòåìàõ // Âåñòí. Òîìñê. ãîñ. óí-òà. — 2004. — Ïðèëîæåíèå ¹ 9. —
Ñ. 76–83.
5. Ï å ò ð î â ñ ê è é À . Á . Óïîðÿäî÷èâàíèå è êëàññèôèêàöèÿ îáúåêòîâ ñ ïðîòèâîðå÷èâûìè ïðèçíà-
êàìè // Íîâîñòè èñêóññòâ. èíòåëëåêòà. — 2003. — ¹ 4. — Ñ. 34–43.
6. Ñ à à ò è Ò . Ë . Ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. — 311 ñ.
7. Ñ à ì î õ â à ë î â Þ . ß . Îñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà àíàëèçà èåðàðõèé ïðè îöåíêå ïðîáëåì ïî
ìåòðè÷åñêèì êðèòåðèÿì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 15–19.
8. Ñ à ì î õ â à ë î â Þ . ß . Ãðóïïîâîé ó÷åò îòíîñèòåëüíîãî ïðåâîñõîäñòâà àëüòåðíàòèâ â çàäà÷àõ ïðè-
íÿòèÿ ðåøåíèé // Òàì æå. — 2003. — ¹ 6. — Ñ. 141–145.
9. Ò ó Ä æ . , Ã î í ñ à ë å ñ Ð . Ï ðèíöèïû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. — Ì.: Ìèð, 1978. — 411 ñ.
10. Í î ã è í Â . Ä . Îáîáùåííûé ïðèíöèï Ýäæâîðòà–Ïàðåòî è ãðàíèöû åãî ïðèìåíèìîñòè // Ýêîíîìèêà
è ìàò. ìåòîäû. — 2005. — 41, ¹ 3. — Ñ. 128–134.
Ïîñòóïèëà 31.07.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 3 135
|