Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением
Розглянуто випадок процедури стохастичної апроксимації з функцією регресії, сингулярно збуреної за параметром серій. Граничний процес відповідає флуктуації процедури стохастичної апроксимації в околі точки рівноваги, побудовано його генератор. Наведено розв’язок проблеми сингулярного збурення для ас...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44413 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением / С.А. Семенюк // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 175-179. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-44413 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-444132013-06-02T03:02:30Z Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением Семенюк, С.А. Системный анализ Розглянуто випадок процедури стохастичної апроксимації з функцією регресії, сингулярно збуреної за параметром серій. Граничний процес відповідає флуктуації процедури стохастичної апроксимації в околі точки рівноваги, побудовано його генератор. Наведено розв’язок проблеми сингулярного збурення для асимптоматичного представлення генератора розширеного процесу марковського відновлення. Отриманий результат дозволяє розширити можливості вивчення асимптоматичної поведінки самої процедури. A stochastic approximation procedure with a singularly perturbed regression function is considered. The form of the limit process is obtained that corresponds to the fluctuation of the stochastic approximation procedure in the neighborhood of the equilibrium point. A generator for the limit process is also constructed. The solution of the singular perturbation problem is given for the asymptotic representation of the generator of a Markov renewal process. The results obtained allow one to extend the possibilities of investigation of the asymptotic behavior of the procedure itself. 2009 Article Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением / С.А. Семенюк // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 175-179. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44413 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Семенюк, С.А. Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто випадок процедури стохастичної апроксимації з функцією регресії, сингулярно збуреної за параметром серій. Граничний процес відповідає флуктуації процедури стохастичної апроксимації в околі точки рівноваги, побудовано його генератор. Наведено розв’язок проблеми сингулярного збурення для асимптоматичного представлення генератора розширеного процесу марковського відновлення. Отриманий результат дозволяє розширити можливості вивчення асимптоматичної поведінки самої процедури. |
| format |
Article |
| author |
Семенюк, С.А. |
| author_facet |
Семенюк, С.А. |
| author_sort |
Семенюк, С.А. |
| title |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| title_short |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| title_full |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| title_fullStr |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| title_full_unstemmed |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| title_sort |
флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/44413 |
| citation_txt |
Флуктуации процедуры стохастической аппроксимации с диффузионным возмущением / С.А. Семенюк // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 5. — С. 175-179. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT semenûksa fluktuaciiprocedurystohastičeskojapproksimaciisdiffuzionnymvozmuŝeniem |
| first_indexed |
2025-07-04T02:50:22Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:50:22Z |
| _version_ |
1836683019463688192 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ñ.À. ÑÅÌÅÍÞÊ
ÔËÓÊÒÓÀÖÈÈ ÏÐÎÖÅÄÓÐÛ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ
Ñ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÌ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôëóêòóàöèÿ, ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè, ìàð-
êîâñêèé ïðîöåññ, äèôôóçèîííîå âîçìóùåíèå.
Ïîâåäåíèå ôëóêòóàöèé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè (ÏÑÀ) õàðàê-
òåðèçóåò ñêîðîñòü ñõîæäåíèÿ ñèñòåìû ê òî÷êå ðàâíîâåñèÿ.  äàíîé ðàáîòå ðàñ-
ñìîòðåíû ñâîéñòâà ôëóêòóàöèé ÏÑÀ ñ äèôôóçèîííûì âîçìóùåíèåì âîêðóã òî÷-
êè ðàâíîâåñèÿ óñðåäíåííîé ñèñòåìû. Â äàëüíåéøåì ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðàñ-
ñìàòðèâàòü ïðîáëåìû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ÏÑÀ [1].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß
Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ ïðîöåäóðó ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè [2]
du t a t C u t� � �( ) ( ) ( ( )� , x t dt( / ))�4 (1)
ñ ôóíêöèåé ðåãðåññèè
C u� ( , x C u) (� , x C u) (� �� 1
0 , x u R n), � , x X� , (2)
òàêîé, ÷òî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ñîïðî-
âîæäàþùåé ñèñòåìû u t
dt
C u tx
x
�
� �( )
( ( )� , x) , x X� . (3)
Òàêæå ïóñòü C u C R n( , ) ( )� � 2 , C u C R n
0
3( , ) ( )� � . Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ x t t( ), � 0,
â ñòàíäàðòíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ( , )X X çàäàåòñÿ ãåíåðàòîðîì
Q x q x P x dy y x
X
� � �( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]� �� , � �B( )X ,
ãäå B( )X — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî äåéñâèòåëüíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé
ñ ñóïðåìóì-íîðìîé || || max | ( ) |� ��
�x X
x .
Ñòîõàcòè÷åñêîå ÿäðî P x( , B ) , x X� , B � X , îïðåäåëÿåò ðàâíîìåðíî ýðãîäè÷åñ-
êóþ âñòðîåíóþ öåïü Ìàðêîâà x xn n� ( )� , n � 0 , ñ ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëåíèåì
� ( )B , B � X . Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå �( )B , B �X , ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà x t( ) ,
t � 0, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
� � �( ) ( ) ( ), ( ) ( )dx q x q dx q dx q x
X
� � � .
Ïîòåíöèàëüíûé îïåðàòîð R0 ãåíåðàòîðà Q îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
R Q0
1� � � � ( ) , ãäå � � �( ) ( ) ( )x dy y
X
� � — ïðîåêòîð íà ïîäïðîñòðàíñòâî
NQ � {� : Q� � 0} íóëåé îïåðàòîðà Q .
Ïóñòü äëÿ âîçìóùåíèÿ C u0 ( , x) ôóíêöèè ðåãðåñèè (2) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
áàëàíñà
� ( ) (dx C u
X
0� , x)
0 . (4)
Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû [2] äîêàçàíî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ÏÑÀ (1) ñ âåðîÿòíîñòþ
åäèíèöà ñõîäèòñÿ ê òî÷êå ðàâíîâåñèÿ u0 0� óñðåäíåííîé ñèñòåìû
du t
dt
C u t
�( )
� ( �( ))� , (5)
ãäå � ( ) ( ) (C u dx C u
X
� � � , x) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 175
© Ñ.À. Ñåìåíþê, 2009
Óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè ðàâíîâåñèÿ u0 åñòü óñëîâèå áàëàíñà
C x dx C x
X
( , ) ( ) ( , )0 0 0� �� � . (6)
Òàêèì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ
a t a t( ) /� � , 0 0� �t t, a � 0, 1 2 1/ �
� .
Äèôôóçèîííîå âîçìóùåíèå çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [2]
C t a C u s
t
t
0
2
0
0
� ��( ) ( ( )� �
� , x s / s ds( ))�
�4 / .
(7)
Îáîçíà÷èì C x C x
0
0
0 0( ) ( , )� , òîãäà äèôôóçèîííîå âîçìóùåíèå â òî÷êå
ðàâíîâåñèÿ ïðèìåò âèä
C t a C
t
t
0
2
0
0
0� �( ) (� �
� , x s / s /ds a C x s / s ds
t
t
( )) ( ))�
�
� �
�4 42
0
0
0
� �
� ( / . (8)
Ôëóêòóàöèè ÏÑÀ (1) ðàññìàòðèâàþòñÿ â íîðìèðîâàíèè
V t t u t C t� � � �� �( ) [ ( ) ( )]� ��1
0
, (9)
ãäå � �� �1 .
ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ
Òåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ áàëàíñà (6) è (4), à òàêæå óñëîâèÿ ñõîäè-
ìîñòè ÏÑÀ (1), à ôóíêöèè �C u0 ( , x) è ��C u0 ( , x) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïî x :
sup
x X
C u
�
�|| (0 , x C) ||
� � �1 ; sup
x X
C u
�
��|| (0 , x C) ||
� � �2 . (10)
Òîãäà èìååò ìåñòî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ( ( )V t� , C t t W t
0
�
( )) ( ( ), ( ))� , t � 0 ,
� � 0 , â êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå 0 0� � �t t T. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ
( ( ), ( ))
t W t çàäàåòñÿ ãåíåðàòîðîì
L v w vt ac act w� �� �( , ) [ ( ) ]� � � �� �1 1 2 � � ��
�
� �
�
v wv w
a t
B v w( , ) ( , )
2
2
,
ãäå c dx C
X
� �� � ( ) (0, x) ;
B dx C x R C x
X
� �2 0 00 0 0� ( ) ( , ) ( , ) .
Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ
( )t óäîâëåòâîðÿåò ñòîõàñòè÷åñêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ d t t t ac act W t dt
�� �
( ) [ ( ) ( ) ( )]� � � �� �1 1 2 .
Çàìå÷àíèå. Ïðè � � 1 , � � 0 ïîëó÷èì óïðîùåííîå âûðàæåíèå
d t act t W t dt
( ) [ ( ) ( )]� ��1 .
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÔËÓÊÒÓÀÖÈÉ
Ëåììà 1. Íîðìèðîâàííàÿ ôëóêòóàöèÿ (9) óäîâëåòâîðÿåò ñòîõàñòè÷åñêîìó äèôôå-
ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
dV t V t� � �( ) ( ( )� C , x dtt
� ) , (11)
ãäå C� (v, x) � � �� �� �1 1 2at C z t( ( ), x)� � �� �� �2 1 2
0at C z t[ ( ( ), x C x) ( )]�
0
0 � � �( )1 1� vt ,
z t v w� ��� 1 , v V t� � ( ) , w C t�
0
� ( ) .
176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 177
Äîêàçàòåëüñòâî. Äèôôåðåíöèèðóÿ (9) è èñïîëüçóÿ (1), (8), ïîëó÷àåì (11).
Ðàññìîòðèì ïîëóãðóïïû îïåðàòîðîâ C
t s
t
x v V t s� � �� �� �,
( ) ( ) ( ( )) , V s vx
� ( ) � , ïî-
ðîæäåííûå ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (10) ñ ãåíåðàòîðîì
C Ct
V
x v v
� ��,
( ) ( ) (� , x v) ( )�� . (12)
Ëåììà 2. Ãåíåðàòîð (11) ïîëóãðóïïû îïåðàòîðîâ C
t s
t
x�
�,
( ) , x X� , èìååò àñèìï-
òîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
Ct
V
x v vt at zC
� �� �,
( ) ( ) [( ) ( (� � � �� �1 01 1 2 , x z C x v) ( , ) / )] ( )� �� � �2
0 0 2 �
� � �� �1 1 2 0at C[ ( , x zC x v x v) ( , )] ( ) ( ) ( )� � � � �0 0 � �� �� , (13)
ãäå �� ( )x — îãðàíè÷åííàÿ ðàâíîìåðíî ïî x ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå ôóíêöèé C è C0 â ðÿä Òåéëîðà ïî
ïåðâîé ïåðåìåííîé äëÿ ãåíåðàòîðà (12), ïîëó÷àåì (13).
Ëåììà 3. Ãåíåðàòîð òðåõêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåññà [3]
V t C t x t xt
� � � ��( ), ( ), ( / )
0
� , t � 0 , (14)
èìååò àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
L v w�� ( , , x Q at x xt
V) [ ( ) ( )],� � �� � �� � � �4 2
0C C , � ( , , )v w x , (15)
ãäå C0 0
0( ) ( , , ) ( )x v w x C x� � ��w v w x( , , ) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ x t xt( / )�4 � , V t vt
� ( ) � , C t wt0
� ( ) � , âû-
÷èñëèì óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå:
E V t C t[ ( ( ), ( )� � �� �� �
0
, x t(( / ))� �� �4 � � �( ( )V t , C t
0
� ( ) ,
x t V t v C t w( / ))| ( ) , ( )� � �4
0
� � , x t x( / ) ]�4 � �
= E v w x v w xt t t[ ( , , ) ( , , )]� �� � � � �� � �
= E v w x v wt[ ( , , ) ( ,� �� �� , x)]� E v w x v w xt t t[ ( , , ) ( , , )]� �� � �� �� � �
� � �� � � � �E v w x v w xt t t t t[ ( , , ) ( , , )]� �� � � � �
= E v w x v wt[ ( , , ) ( ,� �� �� , x)]� E v w x
dC t
dt
w t t�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
( , , )
( )
� � � �0
� � �� � �E v w x v w x ot t t[ ( , , ) ( , , )] ( )� �� � � � .
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ãåíåðàòîðà ìàðêîâñüêîãî ïðîöåññà (13), ïîëó÷àåì
L v w x E V t C t� � �� �( , , ) lim [ ( ( ), ( )� � �
�� �
� �
0 0
1
, x t(( ) ))� �� � �4
�� � �( ( ), ( )V t C t
0
, x t V t v( / ))| ( )� �4 � , C t w
0
� ( ) � , x t x( / ) ]�4 � �
� �
�
� � �lim [ ( , , ) ( ,
�
� � �
�0
1
E v w x v wt t t� � , x))] �
� � �
�
�lim [ ( , , ) ( , , )]
�
�
�0
1
E v w x v w xt� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �lim ( , , )
( )
�
� �
�
�
0
01
E v w x
dC t
dt
w t t�
�
� �
�
� � �lim [ ( , , ) ( , , )]
�
� � �
�0
1
E v w x v w xt t t� � . (16)
Ïîñêîëüêó
lim [ ( , , ) ( ,
�
�
��
� �
0
1
E v w x v wt� � , x Q v w x)] ( , , )� �� �4 ,
lim ( , , )
( )
�
� �
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0 2
0
E v w x
dC t
dt
at Cw t t� �
�
� 0 ( ) ( , , )x v w x��� ,
lim [ ( , , ) ( , , )] ( ) ( ,
,
�
� � �
��
� � �� �
0
1
E v w x v w x x vt t t t
V� � ��C w, x) ,
èç (14) ïîëó÷èì (15).
Ëåììà 4. Ãåíåðàòîð L� èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
L v w��( , , x Q at x) [ ( )� � �� � �� � �4 2
0C
� � �� � �� � �� � �1 1 2
1at x at x x v w x
L
C C( ) ( ) ( )] ( , , ) , (17)
ãäå
C0 ( ) ( ,x v w� , x C x v w xw) ( ) ( , , )� �
0
0 � ; (18)
C ( ) ( , , )x v w x� � [ (C 0, x zC x v w xv) ( , )] ( , , )� � �0 0 � ;
C1 ( ) ( ,x v w� , x t z C) ( [ (� ��1 0� , x zC x) ( , ) / ]� �� �0 0 2
�
�
��v
a
t v w xv
( )
) ( , , )
1 1�
�� , z t v w� ��� 1 , (19)
îñòàòî÷íèé ÷ëåí òàêîé, ÷òî || ( ) ( , , ) ||� ��
L
x v w x � 0 ïðè � � 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (13) ëåììû 2, èìååì (17).
ÐÅØÅÍÈÅ ÏÐÎÁËÅÌÛ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÃÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß
Óñå÷åííûé îïåðàòîð èìååò âèä
L Q at x at x at x
0
4 2
0
1 1 2
1
� � � �� � �� � � �� � � � � �C C C( ) ( ) ( ) . (20)
Ðåøèì ïðîáëåìó ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ äëÿ óñå÷åííîãî îïåðàòîðà (20), èñ-
ïîëüçóÿ òåñò-ôóíêöèþ [3]
�� ( ,v w , x v w t v w) ( , ) ( ,� � �� � ��2
2 , x t v w) ( ,� �� ��3 1 2
1 , x t v w) ( ,� �� ��4
0 , x) .
Ëåììà 5. Ðåøåíèå ïðîáëåìû ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ äëÿ óñå÷åííîãî îïåðà-
òîðà (19) â óñëîâèÿõ òåîðåìû ðåàëèçóåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
L v w x t L v w x v w
0
� � � �� � �� �( , , ) ( , ) ( ) ( , )� �� , (21)
ãäå îñòàòî÷íèé ÷ëåí �� ( )x îãðàíè÷åí ðàâíîìåðíî ïî x.
Ïðåäåëüíûé îïåðàòîð L îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
L a x a t x R x � � �C C C1
2
0 0 0( ) ( ) ( )� . (22)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ ïðèâåäåì
ïîäîáíûå ÷ëåíû â ëåâîé ÷àñòè (20) ñ ó÷åòîì �� :
L
0
� �� � � � � � � � � �� �� � � � �� � � � �4 2
2 0
1 1 2
1Q t Q a x t Q a x[ ( ) ] [ ( ) ]C C
� � � �� �t Q at x a x x� � �� � � �� �[ ( ) ( ) ] ( )0 0 2 1C C .
Ïîñêîëüêó � íå çàâèñèò îò x, òî Q� � 0 � �� NQ .
Óñëîâèåì áàëàíñà (4) åñòü óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ Q a x� �2 0 0� �C ( ) ,
ïîýòîìó
� �2 0 0� aR xC ( ) . (23)
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5
Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ áàëàíñà (6) è (4), ïîëó÷àåì
C ( ) ( , )x v w� � [ ( C 0, x v w C) ( ) (� � � 0 0, x v wv)] ( , )� ��
� � � � � � � C x v w v w C x v wv u v( , ) ( , ) ( )[ ( , )] ( , )0 0 00� � ,
÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, åñòü óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ Q a x� �1 0� �C( ) ,
ïîýòîìó
� �1 0� aR xC ( ) . (24)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå Q at x a x L� � � ��
0 0 2 1� � �� C C( ) ( ) ñ ïîìîùüþ (23) è (24)
ìîæíî ñâåñòè ê âèäó Q a x a t x R x L� � ��
0 1
2
0 0 0� � ��[ ( ) ( ) ( )]C C C .
Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ è äàåò ïðåäåëüíûé îïåðàòîð L
â ôîðìå (22).
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ
Èñïîëüçóÿ (18) è (19) ïðè âû÷èñëåíèè ïðàâîé ÷àñòè (22), ïîëó÷àåì
L v w a x a t x R x v w� ��( , ) [ ( ) ( ) ( )] ( , )� � �� C C C1
2
0 0 0
� � � �� �
�� �
�at dx zC x z C x
v
a
t
X
1 2 2
0
10 0 2
1� ��
�
( ) ( ( , ) ( , ) /
( )
) �
�
�
�
�
�
�
�
�
��v v w( , )
� �� ���
�a t dx C x R C x v w
X
w
2
0 0 00 0� � �( ) ( , ) ( , ) ( , ) . (25)
Ïîñêîëüêó èç óñëîâèé (4) è (9) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå �( ) ( , )dx C x
X
0 0 ��
� �� � C x0 0 0( , ) , îêîí÷àòåëüíî èìååì
L v w vt ac act w v w
a t
Bv� � � �� �
�
( , ) [ ( ) ] ( , )� � � � � � ��� �
�
1
2
1 2
2
v v w( , ) .
Ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ðåàëèçóåòñÿ ïî ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà òåîðå-
ìû 2.1 â [ ]4 .
Ôëóêòóàöèè ÏÑÀ ñ äèôôóçèîííûì âîçìóùåíèåì ïðè íàëè÷èè òî÷êè ðàâíîâå-
ñèÿ óñðåäíåííîé ñèñòåìû íà âîçðàñòàþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè îïèñûâàþòñÿ ñòî-
õàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, â êîòîðîì ñêîðîñòü ýâîëþöèè
çàâèñèò îò âèííåðîâñêîãî ïðîöåññà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Í å â å ë ü ñ î í Ì . Á . , Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è ðåêóðåíòíîå îöåíè-
âàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 304 ñ.
2. × à á à í þ ê ß . Ì . Íåïðåðûâíàÿ ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åêñêîé àïïðîêñèìàöèè ñ ñèíãóëÿðíûì âîçìó-
ùåíèåì â óñëîâèÿõ áàëàíñà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 3. — Ñ. 133–139.
3. L j u n g L . , P f l u n g G . , W a l k H . Stochastic approximation and optimization of random systems. —
Basel: Birkhauser Verlag, 1992. — 113 p.
4. K o r o l y u k V . S , L i mn i u s N . Stochastic Systems in Merging Phase Space. — Dordrecht: World Scien-
tific, 2005. — 330 p.
Ïîñòóïèëà 23.02.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2009, ¹ 5 179
|