Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред

Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої зада...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Скопецкий, В.В., Марченко, О.А., Самойленко, Т.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45146
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-45146
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-451462013-06-09T03:08:31Z Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. Системный анализ Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої задачі, побудованої за методом Гальоркіна. An initial–boundary-value problem for a nonlinear system of one moisture-transfer or filtration parabolic equation and two hyperbolic equations from the theory of elasticity is analyzed. The rate of convergence is estimated for a time-continuous and a completely discrete approximate solutions of the corresponding generalized problem set up by the Galerkin method. 2010 Article Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45146 532.546:539.3 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред Кибернетика и системный анализ
description	Сформульовано початково-крайову задачу для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу–фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Отримано оцінки швидкості збіжності для неперервного за часом і повністю дискретно наближених розв’язків відповідної узагальненої задачі, побудованої за методом Гальоркіна.
format	Article
author	Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А.
author_facet	Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А.
author_sort	Скопецкий, В.В.
title	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_short	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_full	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_fullStr	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_full_unstemmed	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
title_sort	построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/45146
citation_txt	Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 2. — С. 92-104. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT skopeckijvv postroenieiissledovanienelinejnojdifferencialʹnojmodelidvuhfaznyhsred AT marčenkooa postroenieiissledovanienelinejnojdifferencialʹnojmodelidvuhfaznyhsred AT samojlenkota postroenieiissledovanienelinejnojdifferencialʹnojmodelidvuhfaznyhsred
first_indexed	2025-07-04T03:46:39Z
last_indexed	2025-07-04T03:46:39Z
_version_	1836686560204947456
fulltext	ÓÄÊ 519.64: 517.443: 519.254-37 Â.Ê. ÇÀÄÈÐÀÊÀ, Ñ.Ñ. ÌÅËÜÍÈÊÎÂÀ, Ë.Â. ËÓÖ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÊÂÀÄÐÀÒÓÐÍÛÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÈÍÒÅÃÐÀËÎÂ ÎÒ ÁÛÑÒÐÎÎÑÖÈËËÈÐÓÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÑËÓ×ÀÅ ÑÈËÜÍÎÉ ÎÑÖÈËËßÖÈÈ Â ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÎÌ ÊËÀÑÑÅ ËÈÏØÈÖÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: áûñòðîîñöèëëèðóþùèå ôóíêöèè, îïòèìàëüíûé ïî òî÷íîñòè àëãîðèòì. Ïðè ðåøåíèè òàêèõ êëàññîâ çàäà÷, êàê ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ýêñïåðèìåí- òàëüíûõ äàííûõ, öèôðîâàÿ ôèëüòðàöèÿ, ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ, ìîäåëèðîâàíèå îïòè÷åñêèõ ñèñòåì è ñèíòåçèðîâàííûõ ãîëîãðàìì, êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è äðóãèå, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â âû÷èñëåíèè èíòåã- ðàëîâ âèäà [1] I f x xdx1 0 1 ( ) ( )sin� �� , I f x xdx2 0 1 ( ) ( )cos� �� , (1) ãäå f x F( )� (F — íåêîòîðûé çàäàííûé êëàññ ôóíêöèé), � — ïðîèçâîëüíîå âå- ùåñòâåííîå ÷èñëî, \| \|� �� 2 è èíôîðìàöèÿ î f x( ) çàäàíà íå áîëåå ÷åì â N òî÷êàõ. Äàííàÿ ðàáîòà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ äàëüíåéøèì ïðîäîëæåíèåì è ðàçâèòèåì ðåçóëü- òàòîâ, ïîëó÷åííûõ â [2], ïîñâÿùåíà íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíûõ îöåíîê [3] è ïîñòðîå- íèþ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôèíèòíûõ ôóíêöèé âèäà (1) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî f x CL N( ) ,� , CL N, — èí- òåðïîëÿöèîííûé êëàññ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëèïøèöà (\| ( ) ( )\| \| \|f x f x L x x1 2 1 2� � � , x x 1 2 0 1, [ , ]� ) è çàäàííûõ 2N ôèêñèðîâàííûìè çíà÷å- íèÿìè { }fi N 0 1� è { }xi N 0 1� . Óêàçàííûé ñïîñîá çàäàíèÿ èñõîäíîé èíôîðìàöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñóæåíèÿ êëàññà F íà êëàññ FN . Îí ïðèáëèæàåò ê ðå- àëüíîé ñèòóàöèè, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è [3]. Â ñòàòüå ðàññìîòðåí ñëó÷àé ñèëüíîé îñöèëëÿöèè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè: \| \|� �� 2 è N � \| \|� . Îáîçíà÷èì R R f A� ( , , )� ðåçóëüòàò ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ I ( )� ñ ïî- ìîùüþ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû À. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè: � � �( , , , ) ( , )f A f I Ri N{ } 0 1� � , � � � �( , , ) ( , , , )F A f A fN f F i N N � � �sup { } 0 1 , (2) � � � � �� ( , ) ( , , )F F AN A Ninf . Çäåñü �( , )I R — ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ: � �( , ) \| ( ) \|I R I R� � . Êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó A * , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ îïòèìàëüíàÿ îöåíêà �, íà- çîâåì îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè. Åñëè äëÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû A * � � � �( , , , )F A NN � � , òî A íàçîâåì îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî �. Åñëè � � �� o O[ ], [ ] , òî A * íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíîé èëè îïòèìàëüíîé ïî ïîðÿäêó. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ è îáîñíîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè è áëèçêèõ ê íèì êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ I ( )� â êëàññå F CN L N , áóäåì ïðèìåíÿòü ìå- òîä ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé, êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì [3, 4]. Ñòðîÿòñÿ âåðõíÿÿ (ìàæîðàíòà) è íèæíÿÿ (ìèíîðàíòà) ãðàíèöû âîçìîæíûõ çíà- ÷åíèé èíòåãðàëà I ( )� : ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 105 © Â.Ê. Çàäèðàêà, Ñ.Ñ. Ìåëüíèêîâà, Ë.Â. Ëóö, 2010 I I f FN � � �( ) ( )� �sup , I I f FN � � �( ) ( )� �inf ; I ( )� äîñòèãàþòñÿ íà f x FN �( ) — ñîîòâåòñòâåííî ìàæîðàíòå è ìèíîðàíòå îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè âõîäíîé èíôîðìàöèè ôóíêöèé êëàññà F FN � . Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèþ f x ( ) íàçîâåì ìàæîðàíòîé (ìèíîðàíòîé) êëàññà ôóíêöèé FN , îïðåäåëåííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè D, åñëè 1) f x f x� �( ) ( ) ( f x f x� �( ) ( )) äëÿ âñåõ f F x DN� �, ; 2) f x FN � �( ) ( f x FN � �( ) ). ×åáûøåâñêèé öåíòð I * ( )� è ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ � �( ) îáëàñòè íåîïðåäåëåí- íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëü- íóþ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ I ( )� è îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ I ( )� íà êëàññå FN , âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì [3]: I I I ( ) ( ) ( ) � � � � �� 2 , � � � �* ( ) ( ) ( ) � �� I I 2 . (3) Ïðè äàííîé èíôîðìàöèè î çàäà÷å íèêàêàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà íå ìîæåò äàòü òî÷íîñòü ìåíüøå, ÷åì � �* ( ). Äëÿ èíòåðïîëÿöèîííûõ êëàññîâ FN ÷åáûøåâ- ñêèé ðàäèóñ � �* ( ) ñîâïàäàåò ñ îïòèìàëüíîé îöåíêîé �. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I1 ( )� è f x CL N( ) ,� , f x fi i( ) � � 0, i N� �0 1, . Ïóñòü íà îòðåçêàõ �x x xi i i� ��1 èìååòñÿ ki êîëåáàíèé ôóíêöèè sin �x è âûïîëíåíî óñëîâèå À: \| \|� � �� 1 óçëîâ xi âõîäÿò â ÷èñëî íóëåé sin �x. Òîãäà ïðè N � \| \|� ôóíêöèÿ p x( ) âèäà p x L x x x x x x x L x ik ik ik ik ik ik ( ) ( ) sin , ( ), ( � � � � � �sign � 1 2 1 � � �� 1 1 1 1 2 x x x x x xik ik ik ik) sin , ( ) ,sign � (4) ãäå k k x x x xi i i ik ii � � � � �0 1 0 1, , , , x x kik i� � �� 2 1 2 2 1 \| \| \| \| — íóëè sin �x íà �xi , k x x i Ni i i� �� \| \| \| \| , , � � � � 1 0 1, ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòîé îáëàñòè íåîïðå- äåëåííîñòè ôóíêöèé êëàññà CL N, . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ñó- ùåñòâóåò ôóíêöèÿ g x p x( ) ( )� , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � , ò.å. sup f x CL N I g x xdx ( ) , ( ) ( )sin � � �1 0 1 � � . Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ g x( ) â âèäå g x p x x g x p x i Ni i( ) ( ) ( ), ( ) ( ) , ,� � � � � �� 0 0 1. Òîãäà g x xdx p x xdx x xdx( )sin ( )sin ( )sin� � � �� 0 1 0 1 0 1 � � � � � �� g x xdx x xdx x x x x i i i i i ( )sin ( )sin� � � 1 1 0 1N � � . 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Ôóíêöèÿ �( )x äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû g x CL N( ) ,� . Äîêàæåì, ÷òî ïðè ýòîì � �( )sinx xdx x x i i� � � 1 0. (5) Äåéñòâèòåëüíî, � � � � �( )sin ( )sin (x xdx x xdx x x x x k k i i ik iki� � � �� 1 1 0 1 x xdx x x i i )sin \| \| � � � � � � 2 � � � � � �( ) ( )sin ( )sin \| \| \| \| k x xdx x xdxi x x xi i i 1 2 3 2 � � � � � � � � � � � � � � � � �� ! " " " "" � 3 2 5 2 � � � � \| \| \| \| xi � � � � � � � � � � � � � � � ( )sin ( ) ( ) ( ) ( \| \| x xdx v k v v x x i i i 1 1 2 1 2 31 { � �) ( )}� v4 . Èññëåäóåì âîçìîæíîå ïîâåäåíèå � �( )sinx xdx� íà èíòåðâàëàõ x xi i, \| \| � � � � � � � �2 , � � � � � � � �2 3 2 3 2 5 2\| \| , \| \| , \| \| , \| \| � � � � � � � � � � è x xi i� �� 1 1 2 � �\| \| , . 1. Ïóñòü x x xi i� � � � � � �, \| \| � �2 . #1. Ïóñòü x x k ki i, \| \| \| \| , \| \| � � � � � � � �� ! " � � � � � � � � � � �2 2 2 1 2 , k � 0 1 2, , ... Â ýòîì ñëó÷àå sin �x � 0 è ôóíêöèÿ �( )x äîëæíà áûòü óáûâàþùåé ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé: � � � �2 0L x x xi( ) ( )� , èíà÷å g x CL N( ) ,$ . Ïîñêîëüêó g x i Ni( ) , ,� � �0 0 1, p xi( ) � 0 , ñëåäîâàòåëüíî, �( )xi � 0 . Òàê êàê �( )x íå ìîæåò âîçðàñòàòü, çíà÷èò, �( )x � 0. Ó÷èòû- âàÿ, ÷òî sin �x � 0 , ïîëó÷àåì � � � � ( )sin \| \| x xdx x x i i � � � 0 2 . #2 . Ïóñòü x x k ki i, \| \| ( ) \| \| , \| \| � � � � � � � � �� ! " � � � � � � � � � � �2 2 1 2 3 2 , k � 0 1 2, , ... Â ýòîì ñëó÷àå sin �x � 0 è ôóíêöèÿ �( )x íå óáûâàåò. Îíà ìîæåò áûòü òîëüêî âîçðàñòàþùåé (îá- ëàñòü åå çíà÷åíèé 0 2� � ��( ) ( )x L x xi , èíà÷å g x CL N( ) ,$ ). Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûå ï. #1 ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå � � � � ( )sin \| \| x xdx x x i i � � � 0 2 . Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî èìååì v1 0( )� � . (6) 2. Ïóñòü x� � � � � � � � � �2 3 2\| \| , \| \| . Íà ýòîì èíòåðâàëå p x( ) ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, ñëåäî- âàòåëüíî, �( )x äîëæíà áûòü âîçðàñòàþùåé, èíà÷å g x CL N( ) ,$ . Òîãäà äëÿ ïðîèç- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 107 âîëüíîãî � � � � � � � � �0 2 , \| \| � � � � � � � � \| \| \| \| � � � �� ! "" � � � � �� ! "" . (7) Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà � � � � � � � � � � ( )sin lim \| \| \| \| \| \| x xdx t i i � � � � �� ! ""% � � � 0 2 3 2 20 2 2 M i t� � � � �� ! "" � � � � ! " "sin \| \| � � � � � , � i t�� , �t t t M i i� � ��1 2 � � , ãäå M — êîëè÷åñòâî èíòåðâàëîâ äëèíû �t íà îò- ðåçêå � � � �2\| \| , \| \| � � � � � . Ïóñòü � i i i it t i t� � � �& � & �( ) , 0 1� �& i . Òàê êàê � � � �2 � � � �( )i ti& � � � �� &t M i i( ), ïîëó÷èì � � � � �� ( )sin lim \| \| ( ) \| \| \| \| x xdx i t t i 2 3 2 0 2� % � � � � �� & � ! "" � � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � i M ii t t 0 2 2 sin \| \| ( )� � � & � � � � � � � � �� ! "" � � % � �lim � & � t i i M M i t M 0 0 2 � � � � � �\| \| ( ) sin \| \| ( i t ti� � � �� ! "" � � � � ! " " �& � �) � � � � � �� ! "" � � � � % � �lim � & � t i i M i t i 0 0 2 � � � � � �\| \| ( ) sin \| \| ( � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � � � �� ! "" '& � & �i it i t) \| \| ( )� � � ' � � � � �� ! "" � � � � ! " " � � � �� sin \| \| ( )� � � i t ti& � � . Ïîñêîëüêó ( � �� 0 2 , sin sin� � � � � � �� ! " � � � ! " � � �� ! " � � � ! " , ïîëó÷èì � � � � �� ( )sin \| \| ( ) \| \| \| \| x xdx i t t i� � � � � �� % � lim � & � 0 2 3 2 ! "" � � � � � �� ! "" � � � � � � ' � � � � �20 2 \| \| ( )i ti i M & � ' � � � � �� ! "" � � � � ! " "sin \| \| ( )� � �2 i t ti& � � . Òàê êàê sin \| \| ( )� � �2 0� � � � �� ! "" � � � � ! " " �i ti& � , � � � � � �2 2 � � � �( )i ti& � , i M� �0 1, , è ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (7), îêîí÷àòåëüíî èìååì v2 0( )� � . (8) Ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì îöåíêè (8) ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå x� � � � � � 3 2 5 2 � � � �\| \| , \| \| èìååì v3 0( )� � . 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ï. 1, ïîëó÷èì, ÷òî â ñëó÷àå x� � � � � � � �� x xi i1 1 2 � �\| \| , èìååì v4 0( )� � . Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå (5) äîêàçàíî. Ñëåäîâàòåëüíî, sup f x CL N g x xdx ( ) , ( )sin � � � 0 1 áóäåò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè g x p x( ) ( ) . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g x CL N( ) ,� èìååì g x xdx p x xdx( )sin ( )sin� � 0 1 0 1 � �� , ò.å. p x( ) ÿâëÿåò- ñÿ ôóíêöèåé, íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � . Òåîðåìà 1. Ïóñòü f x CL N( ) ,� , f x fi i( ) � , i N� �0 1, , N � \| \|� , íà îòðåçêàõ �xi èìååòñÿ ki êîëåáàíèé ôóíêöèè sin �x è âûïîëíåíî óñëîâèå A. Òîãäà ôóíêöèè f x p x f f x x xi i i i i � � � � �( ) ( ) ( )* � � , (9) f x f f x x x p xi i i i i � � � � �( ) ( ) ( )� � , (10) x xi�� , i N� �0 1, , �f f fi i i� ��1 , �x x x pi i i i x� ��1 , ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíè- åì (3) ïðè L L f x i i i � � � � , ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìàæîðàíòîé è ìèíîðàíòîé îá- ëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè èñõîäíûõ äàííûõ CL N, , ïðè÷åì sup f x CL N I x f x xdx ( ) , ( ) ( )sin � �� 1 0 1 � , (11) inf ( ) ( )sin ( ) ,f x CL N I x f x xdx � �� 1 0 1 � . (12) Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáóþ ôóíêöèþ f x CL N( ) ,� , f x f i Ni i( ) , ,� � �0 1, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f x f x f f x x xi i i i( ) ( ) ( )� � � �1 � � , x xi�� , ãäå f x1 ( ) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ â óçëàõ { }xi N 0 1� è òàêàÿ, ÷òîáû f x C L N ( ) , � . Òîãäà sup sup f x C f x CL N L N I x f x xdx f x ( ) ( ), , ( ) ( )sin ( )s � � � ��1 0 1 � in �xdx x x i N i i� �� 1 0 1 � � � � � � � �sup f x C x x i x x L N i i i i f x xdx f xdx ( ) , ( )sin sin1 1 1 � � � � f x x x xdxi i i x x i N i i ( )sin� � � � �� 1 0 1 � � � �� 1 1 1 1 1 \| \| (cos cos ) cos \| \| (sin � � � � � �f x x x x xi i i i i i� � � � � � � � � � � � sin )�xi i N 0 1 � � � �sup f x C x x L N i i f x xdx ( ) , ( )sin1 1 � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 109 Ïîñêîëüêó f x CL N( ) ,� , ôóíêöèÿ f x CL Ni1 ( ) ,� , ãäå L L f x i i i � � � � , i N� �0 1, . Òàê êàê ëåììà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî L , òî, èñïîëüçóÿ åå ðåçóëüòàò äëÿ L Li� íà êàæ- äîì îòðåçêå �xi , ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî sup sup f x C f x CL N Li N f x xdx f x xdx ( ) ( ), , ( )sin ( )sin � � �1 1� � � �� x x x x i x x i N i i i i i i p x xdx 11 1 0 1 * ( )sin � , ãäå p xi * ( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (4) ïðè L Li� . Ñëåäîâàòåëüíî, sup f x CL N I ( ) , ( ) � 1 � äîñòèãàåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà f x f x( ) ( ) � , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ (10) ÿâëÿåòñÿ ìèíîðàíòîé îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè èñõîäíûõ äàííûõ ôóíêöèé êëàññà CL N, , äîñòàâëÿþùåé inf f x CL N I x ( ) , ( ) � 1 (12). Òåîðåìà 2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå äëÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè � � � �( , ) ( ) inf ( ), ( ) ( ) , , C I IL N f x C f x C L N L N � � � � � 1 2 1 1sup � �� 2 2 2 1 L x xi i � � � � � � � \| \| \| \| \| \| sin \| \| ( )2 0 1 4 � � � � f L x Ai ii N � � � � � � � � � � , ãäå A L ( ) sin \| \| \| \| cos� � � � � � � � � � �� ! "" � � � � ! " " 2 1 2 1 � � � � � 1 1 2 1� �� ! " " " " � � � � � �� ! " " " "" � � \| \| \| \| \|� � � � � \| \| \| cos �� ! "" � � � � ! " " , ïðè÷åì êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà R f x xdxik x x k k i N i k i ki 5 0 1 0 1 1 ( ) ( )sin* , , � �� , (13) ãäå f xik * ( ) — ÷åáûøåâñêèé öåíòð îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèé êëàññà CL N, íà îòðåçêàõ � �x xi k i k, ,, �1 , f x f f x k x x x f f x k ik i i i i k i k i i i * , , ( ) \| \| , , \| \| � � � � � � � � � � � � � � L x x k L f x k i i i � � �� \| \| \| \| \| \| � � � � � � 1 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � , , ( ) \| \| , , , , , x x x f f x k x x x i k i k i i i i k i � � 1 1 � � � � � � � � x x x f x i k i k i k i i , , , \| \| \| \| � � � �1 2 � � � � , x x x f x i k i k i k i i , , , \| \| \| \| � � � �1 2 � � � � , k xi i k, , îïðåäåëåíû â ëåììå, ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé âû÷èñëåíèÿ I1 ( )� â êëàññå CL N, ïðè N � \| \|� . 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ñíèçó ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåã- ðèðîâàíèÿ íà êëàññå CL N, îöåíèì ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè CL N, . Èñïîëüçóÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.13 â [3] è ñîîòíîøåíèÿ (11), (12), ïîëó÷èì � � � �( , ) ( ) inf ( ), ( ) ( ) , , C I IL N f x C f x C L N L N � � � � � 1 2 1 1sup � � � � � �� 1 2 0 1 0 1 f x xdx f x xdx( )sin ( )sin� � � �� 1 2 0 1 0 1 0 1 1 ( ( ) ( ))sin , , f x f x xdx x x k k i N i k i ki �� f x xdx x x k k i N i k i ki 1 0 1 0 1 0 1 1 ( )sin , , � , ãäå f x L x x x x x x L x i k i k i k i k i k 1 1 2 ( ) ( ) sin , ,, , , , , � � � �sign si � � gn sin \| \| , , ( , , , , � � � x f x x x x L x i k i i i k i k i k � � � �� ! "" � � � � � 1 � � � � � � � $ �x x x x x i N k k x i k i k i k i ) sin , , , , , , [ , , ,sign � 1 0 1 0 1 x x L x x x N N N N � � �� 1 1 1 ,[\| \| / ] , [\| \|/ , [\| , ], ( ), sin � � � � �sign � � � �\| / ] , [\| \| / ] , [ , ].x x N � � � � � � � � � � � � �1 1 Îêîí÷àòåëüíî èìååì f x xdx x x k k i N i k i ki 1 0 1 0 1 1 ( )sin , , � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � �� sin ( ) sin sin \| , , ,� � � ik k i N i A � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 ( )� , ãäå A L x x N N ( ) sin cos,[\| \|/ ] , [\| \|/ ] � � � � �� 2 2 1 2 1 1 � � � ! " "� ��xN 1,[\| \|/ ] cos� � � � � � � � � ! " " � � �L x xN N � � � � � � �2 2 1 2 1 1 1 sin cos , [\| \|/ ] ,[\| \|� � / ] ,[\| \|/ ] cos � � � � 2 1 2 1� � � � ! " " � � � � � � ! " " ��xN . Òîãäà f x xdx L f L x Ai ik 1 0 1 2 24 1 2 4 ( )sin sin \| \| ( )� � � �� 0 1 0 1 k i N i � �� 4 1 2 1 1 2 1 0 1L x xi i i N � � � � � \| \| \| \| � � � �� \| \| \| \| sin \|� � � � � x xi i i N 1 0 1 21 � f L x Ai i \| ( ) � � 4 � � � � �� 2 2 2 1 L x xi i � � � � � � � \| \| \| \| \| \| i N i i f L x A � � � � � � � � � � 0 1 2 4 sin \| \| ( ) � � � � � . (14) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2 111 Íåîáõîäèìàÿ îöåíêà ñíèçó äîêàçàíà. Ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ � �N L NC R( , , ), 5 . � � �N L N f x C i k x C R f x f x xdx L N i ( , , ) [ ( ) ( )] sin, ( ) , * , 5 � � � sup , , k i ki x k k i N � �� 1 0 1 0 1 � � � � � �� ( ) sin sin, , , , x x x xdxi k i k x x k k i k i ki sign � � 0 1 i N � � � � 0 1 � � � � �� ! "" � L x f L x x xdxi k i i i k xi 2 � � � , , \| \| sin sin � � � �sign , , k i kx � � � � � � �� L x x x xdxi k i k x x i k i k ( ) sin sin, , , , 1 1 sign � � � � � � � L x x x xdxN N xN ( ) sin sin, [\| \|/ ] , [\| \|/ ] , 1 1 1 � � � �� sign [\| \|/ ]� � 1 � � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � � � � sin ( ) sin sin \| \| , , ,� � � ik k i N i � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 � � � � � � ! "� �L x x N N � � � �� 2 2 1 2 1 1 sin cos, [\| \|/ ] , [\| \|/ ] � � "� ��xN 1, [\| \|/ ] cos� � � � � �� 4 2 42 1 2 2L x x x f L x i k i k i k i � � � � � � sin ( ) sin sin \| \| , , ,� � � ik k i N i A � � � � ! " " � � � � � �� 0 1 0 1 ( )� . (15) Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû çàâåðøàåòñÿ ñðàâíåíèåì îöåíîê (14) è (15). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Á à õ â à ë î â Í . Ñ . Îá îïòèìàëüíîñòè ëèíåéíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåíèÿ îïåðàòîðîâ íà âûïóêëûõ êëàññàõ ôóíêöèé // ÆÂÌ è ÌÔ. — 1971. — 11, ¹ 4. — C. 1014–1018. 2. Ç à ä è ð à ê à Â . Ê . , Ì å ë ü í è ê î â à Ñ . Ñ . , Ë ó ö Ë . Â . Îïòèìàëüíûå êâàäðàòóðíûå è êóáàòóðíûå ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôèíèòíûõ ôóíêöèé îäíîãî êëàññà (ñëó÷àé ñèëüíîé îñöèëëÿöèè) // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 5. — C. 144–164. 3. Ç à ä è ð à ê à Â . Ê . Òåîðèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1983. — 212 ñ. 4. Ç à ä è ð à ê à Â . Ê . , Ì å ë ü í è ê î â à Ñ . Ñ . Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1993. — 294 ñ. Ïîñòóïèëà 19.05.2009 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2010, ¹ 2

Построение и исследование нелинейной дифференциальной модели двухфазных сред

Institution

Ähnliche Einträge